m como classes de curvas suaves e como deriva¸cões de fun¸cões diferenciáveis; reparametriza-

(1)

UFPE — MA1051(MA995) 2012.1 — prof. fernando j. o. souza LISTA 01 – v. 1.0 — curvas suaves no

^R

³ , parte I.

Assuntos: Curvas diferenci´aveis (suaves) no

^R

³ ; vetores velocidade e ace- lera¸c˜ao; modelos de vetores (com ponto de aplica¸c˜ao) no

^R

^m como classes de curvas suaves e como deriva¸cões de fun¸cões diferenciáveis; reparametriza-

¸cão; curva reversa; comprimento de arco; curvas regulares; parametriza¸cão por comprimento de arco; vetor e reta tangentes, e curvatura de uma curva regular; vetores e retas normal principal e binormal; tor¸cão; triedro, aparato e fórmulas de Frenet-Serret, tanto no caso parametrizado por comprimento de arco como induzidos em curvas regulares de curvatura positiva; o teorema fundamental da geometria diferencial de curvas no

^R

³ ; planos osculador, nor- mal e retificador; aproxima¸cão de Frenet-Serret (forma local canônica) e sua interpreta¸cão; c´ırculo osculador, centro e raio de curvatura; estudo das curvas planas e algumas de suas curvas associadas (curvas derivadas delas).

Obs. Esta Parte I é um comentário sobre os exerc´ıcios dispon´ıveis nas duas referências principais de nosso curso, [Carmo] e [O’Neill]. Continuaremos cur- vas suaves e trabalharemos curvas planas na Parte II ! Uma longa (re)visão de requisitos da topologia geral, da geometria anal´ıtica vetorial e da aná- lise diferencial (bom, dos cálculos diferenciais na reta, real e vetorial, in- cluindo as derivadas dos produtos escalar e vetorial) constitu´ıram o “Tópico 00”. Assumiremos familiaridade com a álgebra vetorial (combina¸cões linea- res, produtos escalar, vetorial e misto, normas e coordenadas) no

^R

³ .

Obs. Como em [Carmo], curva diferenci´ avel ou curva parametrizada (ou, simplesmente, curva) significa a parametriza¸ c˜ ao de uma curva suave (ou seja, de classe C ^∞ ) dada por uma fun¸c˜ao de um intervalo real aberto em

^R

³ (ou

^R

^m ). Já o tra¸ co daquela curva é a sua imagem que, em alguns (con)textos, também é chamada de curva.

Obs. Cuidado com o sinal da tor¸ c˜ ao: em alguns textos, ela tem um sinal e, em outros, o sinal oposto !

Quest˜ ao 1. Exerc´ıcios do livro-texto [Carmo]. Os exerc´ıcios estão comenta- dos. Quando aparecem agrupados, pelo menos alguns dentro de cada grupo devem ser tentados. Em algumas situa¸cões, será indicado que todo os exer- c´ıcios de um grupo devem ser tentados.

Se¸ c˜ ao 1.2. J´a fizemos o Exerc´ıcio 5, que ´e muito importante. O Exerc´ıcio 1

é bem elementar; 2 a 4 discutem algumas situa¸cões simples ilustrando restri¸cões sobre o vetor velocidade levando às restri¸cões correspondentes sobre a curva e seu tra¸co;

1

(2)

Se¸ c˜ ao 1.3. O Exerc´ıcio 8 e o correspondente Item 9.b sobre comprimento de arco são muito importantes do ponto-de-vista conceitual. 1 a 6 são exemplos interessantes de curvas. 10 adianta um exemplo de geodésicas (curvas que minimizam distância). 7 e o Item 9.a são opcionais;

Se¸ c˜ ao 1.5. Devem ser entendidos e tentados todos os exerc´ıcios 2, 6, 12, 15 e 16, que lidam com resultados e fórmulas ´ uteis. Os exerc´ıcios 1 (parte do qual já resolvemos), 10, 17 (generalizando 1) e 18 tratam de exemplos de curvas e tipos de curvas; 4, 5 e 13 ilustram como algumas restri¸cões nas grandezas geométricas de uma curva correspondem a restri¸cões a respeito do tra¸co daquela curva;

Se¸ c˜ ao 1.6. Todos os trˆes lidam com caracteriza¸c˜oes do plano e do c´ırculo osculadores e devem ser tentados;

Se¸ c˜ ao 1.5. Sobre curvas planas: devem ser entendidos e tentados todos os exerc´ıcios 9 e 11, que possui f´ormulas ´ uteis, e 3 e 7, que lidam com curvas obtidas de uma curva dada. 8 trata de um exemplo de curva.

14 ilustra como algumas restri¸cões nas grandezas geométricas de uma curva correspondem a restri¸cões a respeito do tra¸co daquela curva.

Quest˜ ao 2. Exerc´ıcios complementares provenientes do livro-texto [O’Neill]

(tor¸cão com sinal oposto àquela em [Carmo]). Antes de tudo, recomendamos a leitura dos exemplos e proposi¸cões que não aparecem em [Carmo].

Se¸ c˜ ao 1.4. Os exerc´ıcios 3, 4 e 8 são exemplos de parametriza¸cões. 6 e 7 lidam com o modelo de vetores por curvas. 9 é sobre reta tangente.

22 ´e um exemplo que adianta a ideia final do teorema fundamental:

primeiro, a curvatura, a tor¸cão e os valores iniciais determinam o campo tangente à curva p.p.c.a.; então, juntamente com o ponto inicial, este determina a curva;

Se¸ c˜ ao 1.3 O modelo de vetores como deriva¸cões através das derivadas dire- cionais: as proposi¸cões são importantes. Os exerc´ıcios 1 a 3 lidam com exemplos, aplicando os resultados. 4 e 5 contêm resultados importantes (5 mostra que vetores estão bem determinados como deriva¸cões);

Se¸ c˜ ao 1.5 Uso da Se¸cão 1.3 no diferencial de fun¸cões reais: os exerc´ıcios 1 e 3 a 6 lidam com exemplos. Já 2 e 9 a 11 são resultados muito im- portantes, devendo ser compreendidos e tentados. Em particular, eles cobre pontos cr´ıticos, ótimos (extremos) locais e aproxima¸cão linear, incluindo exemplos;

2

(3)

Se¸ c˜ ao 1.7 Esta se¸c˜ao trata do diferencial de fun¸c˜oes do

^R

ⁿ no

^R

^m , sua matriz jacobiana, fun¸cões regulares e o teorema da fun¸cão inversa, as- suntos interessantes à nossa revisão de requisitos, embora limitados a suas rela¸cões com curvas.Ńo estudo de superf´ıcies regulares, bem como no que mencionarmos a respeito de variedades diferenciáveis (suaves), eles aparecerão de uma maneira mais ampla. Os exerc´ıcios 1 a 4 e 10 lidam com exemplos; 6 e 8 lidam com aspectos e escopos conceituais básicos, enquanto 5, 7 e 9 lidam com fatos e fórmulas fundamentais, devendo todos serem tentados;

Obs. Cuidado ! F ´e fun¸ c˜ ao regular se, e somente se, D _p F ≡ dF _p ≡ F ∗

_p

é injetiva em todo p do dom´ınio de F . Isto inclui as curvas regulares e as parametriza¸cões das superf´ıcies regulares. Já a é valor regular de F se, e somente se, D _p F é sobrejetiva para todo p na imagem inversa F ⁻¹ ({a});

Obs. Recordar que, em [Carmo], a discussão sobre alguns requisitos prove- nientes da topologia e da análise real, bem como o modelo de vetores por curvas e a no¸cão (ou interpreta¸cão) do diferencial de uma fun¸cão em termos dele, aparecem no Apêndice ao Cap´ıtulo 2;

Se¸ c˜ ao 2.1 Revisão de álgebra vetorial. Os exerc´ıcios 12 e 11 (bem como o requisito, Exerc´ıcio 8 da Se¸cão 1.6) são opcionais, apesar de constitui- rem uma revisão instrutiva de alguns tópicos de Cálculo 3;

Se¸ c˜ ao 2.2 Os exerc´ıcios 1, 3, 4 e 6 são exemplos da parte mais básica desta se¸cão; 2 e 5 foram resolvidos em sala-de-aula; 9 é opcional; todos os demais devem ser todos compreendidos e tentados: 7 e 8 lidam com fundamenta¸cão; 10 relaciona paralelismo do campo de vetores veloci- dade ao paralelismo por transla¸cão; e 11 relaciona comprimento de arco

à distância euclidiana. O Lema 2.3 contém exemplos da determina¸cão ou restri¸cão da curva por seus vetores velocidade e acelera¸cão;

Se¸ c˜ ao 2.3 Os exerc´ıcios 1 a 3 são exemplos básicos; 5 contêm fórmulas im- portantes, e 7 lida com fundamenta¸cão, tendo sido ambos discutidos;

devem ser compreendidos e tentados 6, 8 e 9, que discutem c´ırculo osculador, centro de curvatura, curvas planas (curvatura planar e de- clividade), proje¸cão ortogonal de uma curva, e os planos osculador, retificador e normal. A discussão logo após o Lema 3.6, e os exerc´ıcios 10 e 11 continuam o que o Lema 2.3 da Se¸cão 2.2 iniciou (compará-los com o enunciado do teorema fundamental das curvas);

3

(4)

Se¸ c˜ ao 2.4 Adapta¸cão do aparato de Frenet-Serret a curvas regulares: os exerc´ıcios 1 a 3 e 16 são exemplos; 4, 5 e 12 apresentam fórmulas interessantes, e seus enunciados devem ser compreendidos; 6 a 10 e 21 fazem um longo estudo de hélices cil´ındricas; 11ab e 13 introduzem algumas curvas associadas a uma curva plana; o Lema 4.2 e o Teorema 4.3 contêm fórmulas muito importantes. O Teorema 4.6, os comentários finais e o Exerc´ıcio 9 continuam o que foi iniciado pelo Lema 2.3. Os exerc´ıcios 17 e 18 são opcionais mas muito interessantes, estudando a curvatura global de uma curva. Os exerc´ıcios 11c, 14, 15, 19 e 20 são computacionais e opcionais.

m como classes de curvas suaves e como deriva¸cões de fun¸cões diferenciáveis; reparametriza-

UFPE — MA1051(MA995) 2012.1 — prof. fernando j. o. souza LISTA 01 – v. 1.0 — curvas suaves no

3 , parte I.

Assuntos: Curvas diferenci´aveis (suaves) no

3 ; vetores velocidade e ace- lera¸c˜ao; modelos de vetores (com ponto de aplica¸c˜ao) no

m como classes de curvas suaves e como deriva¸cões de fun¸cões diferenciáveis; reparametriza-

3 ; planos osculador, nor- mal e retificador; aproxima¸cão de Frenet-Serret (forma local canônica) e sua interpreta¸cão; c´ırculo osculador, centro e raio de curvatura; estudo das curvas planas e algumas de suas curvas associadas (curvas derivadas delas).

3 .

Obs. Como em [Carmo], curva diferenci´ avel ou curva parametrizada (ou, simplesmente, curva) significa a parametriza¸ c˜ ao de uma curva suave (ou seja, de classe C ∞ ) dada por uma fun¸c˜ao de um intervalo real aberto em

3 (ou

m ). Já o tra¸ co daquela curva é a sua imagem que, em alguns (con)textos, também é chamada de curva.

Obs. Cuidado com o sinal da tor¸ c˜ ao: em alguns textos, ela tem um sinal e, em outros, o sinal oposto !

Quest˜ ao 1. Exerc´ıcios do livro-texto [Carmo]. Os exerc´ıcios estão comenta- dos. Quando aparecem agrupados, pelo menos alguns dentro de cada grupo devem ser tentados. Em algumas situa¸cões, será indicado que todo os exer- c´ıcios de um grupo devem ser tentados.

Se¸ c˜ ao 1.2. J´a fizemos o Exerc´ıcio 5, que ´e muito importante. O Exerc´ıcio 1

é bem elementar; 2 a 4 discutem algumas situa¸cões simples ilustrando restri¸cões sobre o vetor velocidade levando às restri¸cões correspondentes sobre a curva e seu tra¸co;

1

Se¸ c˜ ao 1.3. O Exerc´ıcio 8 e o correspondente Item 9.b sobre comprimento de arco são muito importantes do ponto-de-vista conceitual. 1 a 6 são exemplos interessantes de curvas. 10 adianta um exemplo de geodésicas (curvas que minimizam distância). 7 e o Item 9.a são opcionais;

Se¸ c˜ ao 1.6. Todos os trˆes lidam com caracteriza¸c˜oes do plano e do c´ırculo osculadores e devem ser tentados;

Se¸ c˜ ao 1.5. Sobre curvas planas: devem ser entendidos e tentados todos os exerc´ıcios 9 e 11, que possui f´ormulas ´ uteis, e 3 e 7, que lidam com curvas obtidas de uma curva dada. 8 trata de um exemplo de curva.

14 ilustra como algumas restri¸cões nas grandezas geométricas de uma curva correspondem a restri¸cões a respeito do tra¸co daquela curva.

Quest˜ ao 2. Exerc´ıcios complementares provenientes do livro-texto [O’Neill]

(tor¸cão com sinal oposto àquela em [Carmo]). Antes de tudo, recomendamos a leitura dos exemplos e proposi¸cões que não aparecem em [Carmo].

Se¸ c˜ ao 1.4. Os exerc´ıcios 3, 4 e 8 são exemplos de parametriza¸cões. 6 e 7 lidam com o modelo de vetores por curvas. 9 é sobre reta tangente.

22 ´e um exemplo que adianta a ideia final do teorema fundamental:

primeiro, a curvatura, a tor¸cão e os valores iniciais determinam o campo tangente à curva p.p.c.a.; então, juntamente com o ponto inicial, este determina a curva;

2

Se¸ c˜ ao 1.7 Esta se¸c˜ao trata do diferencial de fun¸c˜oes do

n no

Obs. Cuidado ! F ´e fun¸ c˜ ao regular se, e somente se, D p F ≡ dF p ≡ F ∗

é injetiva em todo p do dom´ınio de F . Isto inclui as curvas regulares e as parametriza¸cões das superf´ıcies regulares. Já a é valor regular de F se, e somente se, D p F é sobrejetiva para todo p na imagem inversa F −1 ({a});

Obs. Recordar que, em [Carmo], a discussão sobre alguns requisitos prove- nientes da topologia e da análise real, bem como o modelo de vetores por curvas e a no¸cão (ou interpreta¸cão) do diferencial de uma fun¸cão em termos dele, aparecem no Apêndice ao Cap´ıtulo 2;

Se¸ c˜ ao 2.1 Revisão de álgebra vetorial. Os exerc´ıcios 12 e 11 (bem como o requisito, Exerc´ıcio 8 da Se¸cão 1.6) são opcionais, apesar de constitui- rem uma revisão instrutiva de alguns tópicos de Cálculo 3;

à distância euclidiana. O Lema 2.3 contém exemplos da determina¸cão ou restri¸cão da curva por seus vetores velocidade e acelera¸cão;

Se¸ c˜ ao 2.3 Os exerc´ıcios 1 a 3 são exemplos básicos; 5 contêm fórmulas im- portantes, e 7 lida com fundamenta¸cão, tendo sido ambos discutidos;

3

4

³ , parte I.

³ ; vetores velocidade e ace- lera¸c˜ao; modelos de vetores (com ponto de aplica¸c˜ao) no

^m como classes de curvas suaves e como deriva¸cões de fun¸cões diferenciáveis; reparametriza-

³ ; planos osculador, nor- mal e retificador; aproxima¸cão de Frenet-Serret (forma local canônica) e sua interpreta¸cão; c´ırculo osculador, centro e raio de curvatura; estudo das curvas planas e algumas de suas curvas associadas (curvas derivadas delas).

³ .

Obs. Como em [Carmo], curva diferenci´ avel ou curva parametrizada (ou, simplesmente, curva) significa a parametriza¸ c˜ ao de uma curva suave (ou seja, de classe C ^∞ ) dada por uma fun¸c˜ao de um intervalo real aberto em

³ (ou

^m ). Já o tra¸ co daquela curva é a sua imagem que, em alguns (con)textos, também é chamada de curva.

ⁿ no

Obs. Cuidado ! F ´e fun¸ c˜ ao regular se, e somente se, D _p F ≡ dF _p ≡ F ∗

é injetiva em todo p do dom´ınio de F . Isto inclui as curvas regulares e as parametriza¸cões das superf´ıcies regulares. Já a é valor regular de F se, e somente se, D _p F é sobrejetiva para todo p na imagem inversa F ⁻¹ ({a});