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I N T R O D U Ç Ã O
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R A S T R E A M E N T O D E S I N A I S C O N S T A N T E S
• exemplo
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R A S T R E A M E N T O D E S I N A I S V A R I A N T E S N O T E M P O
• exemplo
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C A S O G E R A L : R A S T R E A M E N T O D E S I N A I S V A R I A N T E S N O T E M P O E D I S T Ú R B I O .
Seguidores
1
Introdução
2
Até aqui estudamos o problema do Regulador, cujo
objetivo é levar o Estado para zero: x(t f )0. Os
reguladores são capazes de rejeitar distúrbio muito
bem, mas em geral, são ruins para seguir trajetórias
ou sinais de referência na entrada. Para adicionar
esta característica ao controlador é preciso modificar
a lei de controle. Os Seguidores de Referência são
também conhecidos como Rastreadores ou
Traqueadores (“tracking”). Iniciaremos com os
Rastreadores de Sinais Constantes (tipo degrau).
Rastreadores de Sinais Constantes
3
Até aqui:
Vamos introduzir no modelo a informação sobre o sinal de referência x r (t) ou a trajetória descrita no tempo que desejamos seguir (rastrear). A maneira mais direta para isso seria adicionar termos proporcionais a x r (t) na equação do controlador.
Podemos tentar usar o erro de rastreamento e=(x-x r ) para gerar a ação de controle:
u = - K(x-x r )
x BK A
x
Cx y
Kx u
Bu x
A x
Rastreadores de Sinais Constantes
4
A equação de malha fechada ficaria:
Com uma escolha adequada dos autovalores de F podemos levar o erro de rastreamento para zero. No entanto, quando x r é um sinal constante, como um degrau, o sistema controlado apresenta erro em regime permanente.
x BKx
rF BK A
x
t
r =1
Rastreadores de Sinais Constantes - SISO
5
Para que não ocorra erro em Regime Permanente (RP) vamos calcular o Estado no RP (x RP ) e a acão de controle (u RP ) que garanta que o erro na variável observada (y) seja nulo e vamos forçar o estado x e a ação de controle a assumirem estes valores. Para isso a nova lei de controle será:
u = u RP - K(x-x RP ) (3)
para evitar e RP para chegar a trajetória em RP
obs: 1) u = - Kx + Kx RP + u RP
regulador chegar a trajetória sem erro
2) quando e RP =0 x = x RP e u = u RP
6
Rastreadores de Sinais Constantes - SISO
(6)
: referência de
a trajetóri à
chegado tenha
sistema o
RP em que impor
(5)
(4)
: RP ao chegar sistema
o Quando
r
RP RP
RP RP
x y
Vamos
u y
u u
y
u RP
D x
C
B x
A 0
D Cx
B x
A x
0 x
u
RPx
RPx
r7
Também é razoável admitir que o Estado em RP (x RP ) e a ação de controle (u RP ) ) sejam proporcionais à trajetória de referência (x r ), formalmente:
Rastreadores de Sinais Constantes - SISO
1
: é ) 0 (
trivial não
solução Cuja
: (5) e
(4) em
(8) e
(7) (6),
(8)
(7)
u u
r r
u r
r
r u r
r u RP
r RP
x x
x x
x x
Pondo
x u
x
DN CN
BN AN
0
DN CN
BN AN
0
N N x
x x
x x
x
8
Ou na forma matricial:
Tendo N x e N u , de (7) e (8) temos x RP e u RP e usando (3) calculamos a nova lei de controle, que garante e RP nulo para sinais de referência constantes.
(3) u = u RP - K(x-x RP ) = - Kx + Kx RP + u RP u = - Kx + (KN x + N u ) x r = - Kx + N x r
Rastreadores de Sinais Constantes - SISO
. inversível for
se
1 1
1
Λ
0 D
C
B A
N N 0
N N D
C
B A
Λ
x
x
u u
x
ru
u u
N Kx
B x
A x
regulador pré-alimentação
9
Rastreadores de Sinais Constantes - MIMO
: é ) (
trivial não
solução Cuja
u x
u x
r r
u r
x r
r u r
x r u RP
r x RP
DN CN
I
BN AN
0
0 x
x DN x
CN x
x BN x
AN 0
x N u
x N x
. inversível for
se Λ
I 0 D
C
B A
N N I
0 N
N D
C
B
A
1u x u
x
Λ
Esquema de controle para este seguidor:
10
K N u
N x x r
Regulador
pré-alimentação
Esquema de controle para este seguidor:
11
K x r N
Regulador
pré-alimentação
Seguidor de degrau unitário
12
A=[0 1;-1 0];
eig(A)
B=[0 1]';
CT=ctrb(A,B);
rank(CT)
C=[1 0];
D=0;
A1=[A B;C D];
A2=inv(A1);
No=[0 0 1]';
Nxu=A2*No;
% Regulador: p1=p2*=-1+j
v=[-1+j -1-j];
K=place(A,B,v);
F=A-B*K;
eig(F)
Nx=Nxu(1:2);
Nu=Nxu(3);
urp=Nu+K*Nx;
B1=[0 urp]';
step(F,B1,C,D)
hold on
C1=[0 1];
step(F,B1,C1,D)
+-j 2
1 0
1 Nx
Nu
Seguidor de degrau unitário
13
B=[0 1]’
C=[1 0]
Sistema
massa/mola
Seguidor de degrau unitário
14
B=[1 0]' C=[0 1]
Sistema
hipotético
Seguidor com referência variante
15
x(t)
x
r(t)
Seguidor com referência variante
16
A A x Ae Bu
e
Bu x
A x
e A e
x e
x
Bu x
A Ax
e
x x
e
x x
e x A x
Bu Ax
x
r r
r r r
r r r r
r r
r r
: (3)
(3)
:
) 2 (
) 1 (
De Seja
Vamos admitir por facilidade que
x e x
rtenham a mesma
dimensão.
Seguidor com referência variante
17
Notação matricial:
u será calculado adiante.
B u A x
x
0 u B x
e A
0
A A
A x
e
r r
r r
Seguidor com referência variante e distúrbio
18
r w r
2
r r 2
w r
r r w
r
r r w
r r
r r
r r
w w w
w
x A x
A B
u B Ae
e
x A u
B x
B Ax
Ae e
x A u
B x
B x
e A e
x A u
B x
B Ax
e
x x
e
x e
x
x x
e x A x
x A x
u B x
B Ax
x
1 1
2 1
2 1
2 1
(5)
(4)
:
) 3 (
) 2 (
) 1 (
Seja
sistema
referência
distúrbio
Seguidor com referência variante e distúrbio
x
x C C
C y
B u x
e A
F A
x e
x x A
A x
x
x A x
x A x
Fx u
B Ae
e
x A x
A B
u B Ae
e
r w
e
2 ex
0 ex
r w r
w r
w
r r r
w w w
2
r w r
2
x B x Λ
A x x
F x
ex
0ex
] [
0 0
) 7 ( 0
0
) 3 (
) 2 (
) 6 (
1
ex
ex
Seguidor com referência variante e distúrbio
20
x
wA r
C w A w
A B 2
x w
B 1
x
re e
u
A-A r x r
C e
C r
Sensor de distúrbio
Sensor de erros de
rastreamento
Sensor de referência (guiagem)
y y
Cálculo de u
21
tação pré-alimen
regulador
) (
o antecipaçã tação -
men reali-
:
ex ex ex
Seja
x K
B F
e K B
A e
Fx x
K Ke
B Ae
e
x K
x K Ke
u
x K
Ke u
Fx u
B Ae
e
ex 2
2
ex ex
2
w w r
r
ex ex
2
Seguidor com referência variante e distúrbio
22
x r e
K K r
K w x w
x y
PLANTA
pré-alimentação
C C
realimentação
Cálculo de u
23
Em RP: e =0 e queremos e(t) 0
e(t) não pode ser anulado já que e = f (x ex )
2 2 2 2 ex ex ex ex
ex 2
2 2
)x K
B (F
K B A
e
)x K
B (F
e K B A
0 x
K B F
e K B A
Fx u
B Ae
e
1
ex
ex
O ideal seria escolher K e K ex para manter o erro em zero, mas isso em geral não é possível. Temos que nos contentar com objetivos mais modestos e fazer uma combinação linear de e(t) ser anulada:
x ex
0 z
C
0 e
C z
de temente independen
singular
matriz
Cálculo de u
24
inversa pseudo
tem portanto
e esquerda à
inversa -
pseudo é
seja
1 1 1
inversível for
1 1
1 1
T T
T
T se
ou onde
W
I W
W
F W K
F W
K B A
C B
K B A
C K
K B K
B A
C F
K B A
C
0 )
K B (F
K B A
C e
C
)x K
B (F
K B A
e
ex
2 2
2 ex
ex 2
2 2
ex 2
2
ex ex
2 2
Observações : 1)
25
se j > m, mais incógnitas do que equações: sistema
sobredeterminado => não há solução; (sistema sub-atuado)
se j < m, mais equações do que incógnitas : sistema
subdeterminado => há múltiplas solução; (sistema sobre- atuado)
se j = m, solução única (sistema quadrado)
anular a
erro de
medidas
controle de
entradas )
(
) (
1
) ) (
(
) 1 ( )
1 (
j m
jxn
nxn nxm jxn
nx jx
2
2
K B
B A
C C
e C z
Inversibilidade de:
Poderíamos pensar que a existência desta inversa depende de K ou seja da malha fechada, mas não é verdade. A existência desta inversa depende apenas da malha aberta. A inversa não depende de K, porquê a realimentação não altera os zeros de um sistema. Caso escalar, por simplicidade:
26
Observações : 2)
C A B 2 K 1 B 2
) (
) ( ) (
) (
1 1 1
s N
s D s D
s N
2 2
2 2
B K
B A
C
B K
B A
C
Se fosse possível, variaríamos
K e alteraríamos N(s), e por-
Tanto os zeros do sistema!
27
Podemos mostrar que
possui inversa se e somente se: C A B 2 K 1 B 2
contínua) (corrente
nula frequência
: 0 s
: obs lim
: por a
substituíd ser
pode 0
: inversível for
se Ainda,
0
0 s
1
2 1 2
1 2 1
2
B A
C 0
B A
I C
B A
I C
A
K B
A I
C
s s
independe aberta
malha s
U B A)
I ( C Z
e C z
U B A)
I ( E
u B Ae
e
2 1
2 1 2
s
s s
Laplace
Laplace
)
(
Seja o erro em malha aberta, sem distúrbio externo:
Exemplo
28
F
W
K B A C B
K B A C K
x x A
A x
x
x K x
x K x
K Ke u
x x x F
A A B
u B Ae e
x x e
x A x
x A x
u B x
B Ax x
2 2
2 ex
r w r
w r
w
ex ex r
ex ex
ex r w r
2 r r
r r
w w w
w
ex
A x
exx
0
T
Seja
1 1 1
1 2 1
0
0
) (
(4)
:
) 3 (
) 2 (
) 1 (
Exemplo
29
) (
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
ex 0
ex
ex ex
ex ex
x r w
ex ex
r w
ex 0
ex
ex ex
r w
x A x
x K
B K
B B
x K B
A x
x K
x B K x
B B
x K B
A x
x K
B Kx
B x
B x
K B
A x
x A x
x K
x x
K B
x B Ax
x
ex
Exemplo
30
e
tt
t t
t
A
ex 0
A
ex ex
x x
x A x
x x
x
A
A 0
K B K
B B
K B A
x x
x
y
) (
) ( ) ( )
(
0 1
2 2
1 2