Seguidores I N T R O D U Ç Ã O R A S T R E A M E N T O DE S I N A I S C O N S T A N T E S

Texto

(1)

I N T R O D U Ç Ã O

R A S T R E A M E N T O D E S I N A I S C O N S T A N T E S

• exemplo

R A S T R E A M E N T O D E S I N A I S V A R I A N T E S N O T E M P O

• exemplo

C A S O G E R A L : R A S T R E A M E N T O D E S I N A I S V A R I A N T E S N O T E M P O E D I S T Ú R B I O .

Seguidores

1

(2)

Introdução

2

 Até aqui estudamos o problema do Regulador, cujo

objetivo é levar o Estado para zero: x(t f )0. Os

reguladores são capazes de rejeitar distúrbio muito

bem, mas em geral, são ruins para seguir trajetórias

ou sinais de referência na entrada. Para adicionar

esta característica ao controlador é preciso modificar

a lei de controle. Os Seguidores de Referência são

também conhecidos como Rastreadores ou

Traqueadores (“tracking”). Iniciaremos com os

Rastreadores de Sinais Constantes (tipo degrau).

(3)

Rastreadores de Sinais Constantes

3

 Até aqui:

 Vamos introduzir no modelo a informação sobre o sinal de referência x r (t) ou a trajetória descrita no tempo que desejamos seguir (rastrear). A maneira mais direta para isso seria adicionar termos proporcionais a x r (t) na equação do controlador.

Podemos tentar usar o erro de rastreamento e=(x-x r ) para gerar a ação de controle:

u = - K(x-x r )

 



 

x BK A

x

Cx y

Kx u

Bu x

A x

(4)

Rastreadores de Sinais Constantes

4

 A equação de malha fechada ficaria:

 Com uma escolha adequada dos autovalores de F podemos levar o erro de rastreamento para zero. No entanto, quando x r é um sinal constante, como um degrau, o sistema controlado apresenta erro em regime permanente.

  x BKx

r

F BK A

x        

t

r =1

(5)

Rastreadores de Sinais Constantes - SISO

5

 Para que não ocorra erro em Regime Permanente (RP) vamos calcular o Estado no RP (x RP ) e a acão de controle (u RP ) que garanta que o erro na variável observada (y) seja nulo e vamos forçar o estado x e a ação de controle a assumirem estes valores. Para isso a nova lei de controle será:

u = u RP - K(x-x RP ) (3)

para evitar e RP para chegar a trajetória em RP

 obs: 1) u = - Kx + Kx RP + u RP

regulador chegar a trajetória sem erro

2) quando e RP =0x = x RP e u = u RP

(6)

6

Rastreadores de Sinais Constantes - SISO

(6)

: referência de

a trajetóri à

chegado tenha

sistema o

RP em que impor

(5)

(4)

: RP ao chegar sistema

o Quando

r

RP RP

RP RP

x y

Vamos

u y

u u

y

u RP

 

 

 

 

 

D x

C

B x

A 0

D Cx

B x

A x

0 x

u

RP

x

RP

x

r

(7)

7

 Também é razoável admitir que o Estado em RP (x RP ) e a ação de controle (u RP ) ) sejam proporcionais à trajetória de referência (x r ), formalmente:

Rastreadores de Sinais Constantes - SISO

 

 

 

1

: é ) 0 (

trivial não

solução Cuja

: (5) e

(4) em

(8) e

(7) (6),

(8)

(7)

u u

r r

u r

r

r u r

r u RP

r RP

x x

x x

x x

Pondo

x u

x

DN CN

BN AN

0

DN CN

BN AN

0

N N x

x x

x x

x

(8)

8

 Ou na forma matricial:

 Tendo N x e N u , de (7) e (8) temos x RP e u RP e usando (3) calculamos a nova lei de controle, que garante e RP nulo para sinais de referência constantes.

 (3)  u = u RP - K(x-x RP ) = - Kx + Kx RP + u RP u = - Kx + (KN x + N u ) x r = - Kx + N x r

Rastreadores de Sinais Constantes - SISO

. inversível for

se

1 1

1

Λ

0 D

C

B A

N N 0

N N D

C

B A

Λ

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



u u

 

x

r

u

u u

N Kx

B x

A x

regulador pré-alimentação

(9)

9

Rastreadores de Sinais Constantes - MIMO

 

 

 

: é ) (

trivial não

solução Cuja

u x

u x

r r

u r

x r

r u r

x r u RP

r x RP

DN CN

I

BN AN

0

0 x

x DN x

CN x

x BN x

AN 0

x N u

x N x

. inversível for

se Λ

I 0 D

C

B A

N N I

0 N

N D

C

B

A

1

u x u

x

Λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



(10)

Esquema de controle para este seguidor:

10

K N u

N x x r

Regulador

pré-alimentação

(11)

Esquema de controle para este seguidor:

11

K x r N

Regulador

pré-alimentação

(12)

Seguidor de degrau unitário

12

A=[0 1;-1 0];

eig(A)

B=[0 1]';

CT=ctrb(A,B);

rank(CT)

C=[1 0];

D=0;

A1=[A B;C D];

A2=inv(A1);

No=[0 0 1]';

Nxu=A2*No;

% Regulador: p1=p2*=-1+j

v=[-1+j -1-j];

K=place(A,B,v);

F=A-B*K;

eig(F)

Nx=Nxu(1:2);

Nu=Nxu(3);

urp=Nu+K*Nx;

B1=[0 urp]';

step(F,B1,C,D)

hold on

C1=[0 1];

step(F,B1,C1,D)

+-j 2

 

 

 1 0

1 Nx

Nu

(13)

Seguidor de degrau unitário

13

B=[0 1]’

C=[1 0]

Sistema

massa/mola

(14)

Seguidor de degrau unitário

14

B=[1 0]' C=[0 1]

Sistema

hipotético

(15)

Seguidor com referência variante

15

x(t)

x

r

(t)

(16)

Seguidor com referência variante

16

 

A Ax Ae Bu

e

Bu x

A x

e A e

x e

x

Bu x

A Ax

e

x x

e

x x

e x A x

Bu Ax

x

r r

r r r

r r r r

r r

r r

 

: (3)

(3)

:

) 2 (

) 1 (

De Seja

Vamos admitir por facilidade que

x e x

r

tenham a mesma

dimensão.

(17)

Seguidor com referência variante

17

 Notação matricial:

u será calculado adiante.

 

 

B u A x

x

0 u B x

e A

0

A A

A x

e

r r

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18)

Seguidor com referência variante e distúrbio

18

 

 

 

 

 

r w r

2

r r 2

w r

r r w

r

r r w

r r

r r

r r

w w w

w

x A x

A B

u B Ae

e

x A u

B x

B Ax

Ae e

x A u

B x

B x

e A e

x A u

B x

B Ax

e

x x

e

x e

x

x x

e x A x

x A x

u B x

B Ax

x

1 1

2 1

2 1

2 1

(5)

(4)

:

) 3 (

) 2 (

) 1 (

 

Seja

sistema

referência

distúrbio

(19)

Seguidor com referência variante e distúrbio

 

 

 

x

x C C

C y

B u x

e A

F A

x e

x x A

A x

x

x A x

x A x

Fx u

B Ae

e

x A x

A B

u B Ae

e

r w

e

2 ex

0 ex

r w r

w r

w

r r r

w w w

2

r w r

2

x B x Λ

A x x

F x

ex

0

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

] [

0 0

) 7 ( 0

0

) 3 (

) 2 (

) 6 (

1

 



 





 

 

 

 

 

ex

ex

(20)

Seguidor com referência variante e distúrbio

20

x

w

A r

C w A w

A B 2

x w

B 1

x

r

ee

u

A-A r x r

C e

C r

Sensor de distúrbio

Sensor de erros de

rastreamento

Sensor de referência (guiagem)

y y

(21)

Cálculo de u

21

       

 

 

 

tação pré-alimen

regulador

) (

o antecipaçã tação -

men reali-

:

ex ex ex

Seja

x K

B F

e K B

A e

Fx x

K Ke

B Ae

e

x K

x K Ke

u

x K

Ke u

Fx u

B Ae

e

ex 2

2

ex ex

2

w w r

r

ex ex

2

(22)

Seguidor com referência variante e distúrbio

22

x r e

K K r

K w x w

x y

PLANTA

pré-alimentação

C C

realimentação

(23)

Cálculo de u

23

 Em RP: e =0 e queremos e(t)0

e(t) não pode ser anulado já que e = f (x ex )

   

 

2 22 2 ex ex ex ex

ex 2

2 2

)x K

B (F

K B A

e

)x K

B (F

e K B A

0 x

K B F

e K B A

Fx u

B Ae

e

1

ex

ex

O ideal seria escolher K e K ex para manter o erro em zero, mas isso em geral não é possível. Temos que nos contentar com objetivos mais modestos e fazer uma combinação linear de e(t) ser anulada:

x ex

0 z

C

0 e

C z

de temente independen

singular

matriz

(24)

Cálculo de u

24

 

 

   

 

 

inversa pseudo

tem portanto

e esquerda à

inversa -

pseudo é

seja

1 1 1

inversível for

1 1

1 1

T T

T

T se

ou onde

W

I W

W

F W K

F W

K B A

C B

K B A

C K

K B K

B A

C F

K B A

C

0 )

K B (F

K B A

C e

C

)x K

B (F

K B A

e

ex

2 2

2 ex

ex 2

2 2

ex 2

2

ex ex

2 2

 

 

 

 

 

(25)

Observações : 1)

25

 se j > m, mais incógnitas do que equações: sistema

sobredeterminado => não há solução; (sistema sub-atuado)

 se j < m, mais equações do que incógnitas : sistema

subdeterminado => há múltiplas solução; (sistema sobre- atuado)

 se j = m, solução única (sistema quadrado)

 

  

anular a

erro de

medidas

controle de

entradas )

(

) (

1

) ) (

(

) 1 ( )

1 (

 

 

 

j m

jxn

nxn nxm jxn

nx jx

2

2

K B

B A

C C

e C z

 



(26)

 Inversibilidade de:

Poderíamos pensar que a existência desta inversa depende de K ou seja da malha fechada, mas não é verdade. A existência desta inversa depende apenas da malha aberta. A inversa não depende de K, porquê a realimentação não altera os zeros de um sistema. Caso escalar, por simplicidade:

26

Observações : 2)

 

C AB 2 K 1 B 2

 

 

 

 

) (

) ( ) (

) (

1 1 1

s N

s D s D

s N

 

2 2

2 2

B K

B A

C

B K

B A

C

Se fosse possível, variaríamos

K e alteraríamos N(s), e por-

Tanto os zeros do sistema!

(27)

27

 Podemos mostrar que

possui inversa se e somente se:  CAB 2 K 1 B 2

 

 

 

contínua) (corrente

nula frequência

: 0 s

: obs lim

: por a

substituíd ser

pode 0

: inversível for

se Ainda,

0

0 s

1

 

2 1 2

1 2 1

2

B A

C 0

B A

I C

B A

I C

A

K B

A I

C

s s

independe aberta

malha s

U B A)

I ( C Z

e C z

U B A)

I ( E

u B Ae

e

2 1

2 1 2

 

 

s

s s

Laplace

Laplace

)

 (

Seja o erro em malha aberta, sem distúrbio externo:

(28)

Exemplo

28

 

 

 

 

  F

W

K B A C B

K B A C K

x x A

A x

x

x K x

x K x

K Ke u

x x x F

A A B

u B Ae e

x x e

x A x

x A x

u B x

B Ax x

2 2

2 ex

r w r

w r

w

ex ex r

ex ex

ex r w r

2 r r

r r

w w w

w

ex

A x

ex

x

0

 

 





 

 

 

 

T

Seja

1 1 1

1 2 1

0

0

) (

(4)

:

) 3 (

) 2 (

) 1 (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(29)

Exemplo

29

 

 

   

     

) (

2 2

1 2

2 2

1 2

2 2

1 2

2 1

 

 

 

 

 

ex 0

ex

ex ex

ex ex

x r w

ex ex

r w

ex 0

ex

ex ex

r w

x A x

x K

B K

B B

x K B

A x

x K

x B K x

B B

x K B

A x

x K

B Kx

B x

B x

K B

A x

x A x

x K

x x

K B

x B Ax

x

ex

(30)

Exemplo

30

     

e

t

t

t t

t

 

 

 

 

  

 

 

A

ex 0

A

ex ex

x x

x A x

x x

x

A

A 0

K B K

B B

K B A

x x

x

y

) (

) ( ) ( )

(

0 1

2 2

1 2

 

 

 

 

 

 

(31)

Seguidor com referência variante e distúrbio

% Seguidor de sinal variante no tempo 31

A=[0 1;-1 0]

display('polos de sem controle') eig(A)

B1=[0 1]' B2=[0 1]'

CT=ctrb(A,B2);

display('posto da matriz de controlabilidade') rank(CT)

C=[1 0]

D=0

Aw=[0 1; -100 0 ] Ar= [0 1; -1 0]

C1=[1 0] C

(32)

Seguidor com referência variante e distúrbio

32

v=[-1+j -1-j];

display('ganho de realimentaçao') K=place(A,B2,v)

F=A-B2*K;

F1=inv(F);

F2=[ B1 (A-Ar)];

Ke=inv(C1*F1*B2)*C1*F1*F2;

Ax=zeros(2);

Ao=[Aw Ax;Ax Ar];

Ay=[B1 B2*K]-B2*Ke;

Ay=[Ay [ 0 0]'];

AT=[(A-B2*K) Ay ; [0 0;0 0; 0 0;0 0] Ao];

xTo=[1 0 1 0 1 0]';

sys=ss(AT,xTo,AT,xTo);

[y,T]=step(sys,30);

plot(T,y(:,1))

K

ex

A

(33)

Seguidor com referência variante e distúrbio

33

Imagem

Referências

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