ISCTE - Instituto Universitário Lisboa

(1)

ISCTE - Instituto Universitário Lisboa

Lic: Gestão, Finanças, GEI, Marketing, Economia, Ano lectivo: 2008/2009

Exame de OPTIMIZAÇÃO / MATEMÁTICA II

16 de Junho de 2009 Duração: 2h 30m + 30m

Nome: _____________________________________________

Número de aluno ___ Curso Turma _

Docente ___________________

• Durante o teste, devem manter-se desligados os telemóveis.

• Não se tiram dúvidas durante o teste.

• Formulário disponível no final do enunciado

1. (1.5 val.) Seja a função f : D ⊂ R

²

−→ R definida por f (x, y) =

√ xy p 1 − x

²

− y

²

Determine o domínio da função e represente-o graficamente.

Resolução Questão 1:

(2)

Resolução Questão 1:

(3)

2. Considere a seguinte função:

f (x, y ) =

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

x

⁴

− 2y

⁴

(x

²

+ y

²

)

²

se (x, y) 6 = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

.

(a). (1.0 val.) Estude a continuidade da função no ponto (0, 0) . (b). (1.0 val.) Determine

µ ∂f

∂x

¶

(0, 0) . O que pode concluir sobre a diferenciabilidade de f (x, y) no ponto (0, 0)?

Resolução Questão 2:

(4)

Resolução Questão 2:

(5)

3. (1.5 val.) Considere a função f : D ⊂ R

²

−→ R definida por f (x, y) = xy ln x

y .

Calcule a derivada dirigida de f no ponto (1, 1) segundo o vector − → v = ( − 1, 2) .

Resolução Questão 3:

(6)

4. (1.5 val.) Considere a seguinte equação

ln (x + y) − xy

²

+ 2y

³

− 2 = 0.

Mostre que a equação dada define implicitamente y como função de x numa vizinhança do ponto (x, y) = (0, 1). Determine a derivada da variável dependente y em ordem à variável independente x no ponto dado.

Resolução Questão 4:

(7)

5. (2.0 val.) Estude a natureza da seguinte série de potências:

X

∞ k=1

( − 1)

^k

k

²

3

^k

(x + 2)

^k

.

Resolução Questão 5:

(8)

Resolução Questão 5:

(9)

6. (1.5 val.) Determine, caso existam, os extremos livres da seguinte função f : D ⊆ R

²

→ R

f (x, y) = x

²

− 2xy

²

+ 18y

²

.

Resolução Questão 6:

(10)

Resolução Questão 6:

(11)

7. (1.5 val.) Resolva o seguinte problema de Programação Linear:

max Z = y

1

+ 2y

2

+ y

3

s.a :

y

1

+ 2y

2

+ y

3

≥ 3 3y

1

+ 2y

2

+ 5y

3

≤ 9 y

1

, y

2

, y

3

≥ 0

Resolução Questão 7:

(12)

Resolução Questão 7:

(13)

8. Considere a seguinte matriz de pagamentos de um jogo de dois jogadores:

Jogador B

1 2 3

Jogador A I 5 7 2

II 0 − 1 8 (a). (1.0 val.) Mostre que o jogo não é estável.

(b). (1.5 val.) Formule em Programação Linear o problema do Jogador B.

Resolução Questão 8:

(14)

Resolução Questão 8:

(15)

9. Considere o seguinte problema de Programação Linear:

max Z = 24x

1

+ 32x

2

+ 11x

3

s.a :

4x

1

+ 2x

2

+ x

3

≤ 200 x

1

+ 3x

2

+ x

3

≤ 155 x

3

≥ 20

x

1

, x

2

, x

3

≥ 0

Utilizando o Solver do Excel obtiveram-se os seguintes resultados:

(a). (1.0 val.) Indique a solução óptima e o valor óptimo do problema.

(b). (1.5 val.) Formule o problema Dual e indique a sua solução óptima, bem como o valor óptimo.

(c). (1.0 val.) Suponha que o coeficiente da variável x

2

na função objectivo sofre um de-

créscimo de 5 u.m.. Quais as consequências desta alteração? Justifique a sua resposta.

(16)

Resolução Questão 9:

(17)

Resolução Questão 9:

(18)

10. Uma exploração florestal é responsável pelo abastecimento de cortiça a três centros de transformação. As necessidades de cortiça dos centros 1, 2 e 3 são de 10, 20 e 15 mil toneladas, respectivamente. A exploração possui dois armazéns cujas disponibilidades são de 20 e 30 mil toneladas. Os custos, em u.m., de envio de um milhar de toneladas de cortiça para cada um dos centros de transformação dependem do armazém e são apresentados na tabela seguinte:

Centro 1 Centro 2 Centro 3

Armazém 1 10 11 13

Armazém 2 12 10 11

A exploração florestal pretende distribuir a cortiça pelos centros de forma a minimizar os custos totais.

(a). (1.0 val.) Determine uma solução básica admissível para o problema.

(b). (1.5 val.) Verifique se a solução construída em a) é óptima. Caso não seja, melhore a solução.

Resolução Questão 10:

(19)

Resolução Questão 10:

(20)

Formulário:

(u

ⁿ

)

⁰

= nu

ⁿ⁻¹

u

⁰

(e

^u

)

⁰

= u

⁰

e

^u

(log u)

⁰

= u

⁰

u (ku)

⁰

= ku

⁰

(uv)

⁰

= u

⁰

v + uv

⁰

³ u v

´

₀

= u

⁰

v − uv

⁰

v

²

| A + B | ≤ | A | + | B | | A − B | ≤ | A | + | B | | AB | = | A | | B |

¯ ¯

¯ ¯ A B

¯ ¯

¯ ¯ = | A |

| B | | x | ≤ p

x

²

+ y

²

| y | ≤ p

x

²

+ y

²

(21)

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Exame de OPTIMIZAÇÃO / MATEMÁTICA II

16 de Junho de 2009 Duração: 2h 30m + 30m

Nome: _____________________________________________

Número de aluno _________ Curso ________ Turma _______

Docente ___________________

• Durante o teste, devem manter-se desligados os telemóveis.

• Não se tiram dúvidas durante o teste.

• Formulário disponível no final do enunciado

1. (1.5 val.) Seja a função f : D ⊂ R

−→ R definida por f (x, y) =

√ xy p 1 − x

− y

Determine o domínio da função e represente-o graficamente.

Resolução Questão 1:

Resolução Questão 1:

2. Considere a seguinte função:

f (x, y ) =

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

x

− 2y

(x

+ y

)

se (x, y) 6 = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

.

(a). (1.0 val.) Estude a continuidade da função no ponto (0, 0) . (b). (1.0 val.) Determine

µ ∂f

∂x

¶

(0, 0) . O que pode concluir sobre a diferenciabilidade de f (x, y) no ponto (0, 0)?

Resolução Questão 2:

Resolução Questão 2:

3. (1.5 val.) Considere a função f : D ⊂ R

−→ R definida por f (x, y) = xy ln x

y .

Calcule a derivada dirigida de f no ponto (1, 1) segundo o vector − → v = ( − 1, 2) .

Resolução Questão 3:

4. (1.5 val.) Considere a seguinte equação

ln (x + y) − xy

+ 2y

− 2 = 0.

Mostre que a equação dada define implicitamente y como função de x numa vizinhança do ponto (x, y) = (0, 1). Determine a derivada da variável dependente y em ordem à variável independente x no ponto dado.

Resolução Questão 4:

5. (2.0 val.) Estude a natureza da seguinte série de potências:

X

( − 1)

k

3

(x + 2)

.

Resolução Questão 5:

Resolução Questão 5:

6. (1.5 val.) Determine, caso existam, os extremos livres da seguinte função f : D ⊆ R

→ R

f (x, y) = x

− 2xy

+ 18y

.

Resolução Questão 6:

Resolução Questão 6:

7. (1.5 val.) Resolva o seguinte problema de Programação Linear:

max Z = y

+ 2y

+ y

s.a :

y

+ 2y

+ y

≥ 3 3y

+ 2y

+ 5y

≤ 9 y

, y

, y

Número de aluno ___ Curso Turma _