arctg x y F q E q v B d F d q E q v B se y r sen sen

1

Produto misto, Planos e retas

1. Ache a equação do plano contendo o ponto P₀ dado e o vetor normal N:

(a) P₀(1, 2,3) N 1iˆ 2 ˆj 3 kˆ

(b) P₀( 3, 2,5) N 6 iˆ 3 ˆj 2 kˆ

(c) P₀(0, 1, 2) N 0 iˆ 1 ˆj 1 kˆ

(d) P₀(2,1, 1) N 1 iˆ 0 ˆj 1 kˆ

2. Ache a equação do plano que contenha os três pontos indicados.

(a)

P

(3,4,1); (1,7,1); P

P

( 1, 2,5)

(b)

P

(0,0,2); (2,4,1); P

P

( 2,3,3)

3. Ache a equação do plano que satisfaça às condições dadas:

(a) Perpendicular à reta que passa pelos pontos (2, 2, 4) e (7, 1,3)e contendo o ponto

( 5,1, 2)^.

(b) Paralelo ao plano 4x – 2y + z -1 = 0 e contendo o ponto (2, 6, -1).

(c) Perpendicular ao plano x + 3y – 4z -5 e contendo o ponto (4, 0, -2).

(d) Perpendicular a cada um dos planos 2x + y - 4z –5 = 0 e x – y + z = 0 e contendo o ponto (4, 0, -1).

4. Ache um conjunto de equações simétricas:

0 0 0

x x y y z z

a b c t

para a reta que intercepta os planos:

4 3 2 0

2 5 3 4 0

x y z

x y z

5. Uma partícula de carga q penetra numa

região onde há um campo elétrico

C

k

j i

E  3 ˆ 4 ˆ 6 ˆ

, e um campo magnético

T j i

B 0.2ˆ 0.4ˆ

. (a) Encontre a relação

q F

se a velocidade desta partícula é de

v  12 i ˆ 22 ˆ j

. A força é dada pela Lei de Lorentz:

F  q E  q v B  

(b) Ache o valor de

d F   d  q E q v B   

se

ˆ ˆ ˆ 0.06 0.08 0.12

d  i j k m

Coordenadas cilíndricas e esféricas

1. Transforme de coordenadas cilíndricas para cartesianas:

P( , , z) P(x, y, z):

cos x

y sen z z

Exemplo

(a) P( 2, 50°, 7) (b) P( 3, 160°, 7) (c) P( 3, 230°, 2) (d) P( 1, 330°, -5) (e) P( 2, , 7) (f) P( 1, ₃ , 7) (g) P( 6, ₂, 2) (h) P( 3, ³₄ , -5)

2. Transforme de coordenadas cartesianas para cilíndricas :

P(x, y, z) P( , , z):

2 2

x y

x arctg y

z=z

(a) P( 1, 2, 7) (b) P( 6, -3, 7) (c) P( 2, 1, 2) (d) P( -5, -4, -5) (e) P( -3, 2, 7) (f) P( -3, 4, 7) (g) P( -5, 1, 2) (h) P( 3, 2, -5)

3. Transforme de coordenadas esféricas para cartesianas:

P(r, , ) P(x, y, z):

cos

x r sen

y r sen sen

cos

z r

2

Exemplo:

(a) P( 1, 30°, 60°) (b) P( 4, 120°, 120°) (c) P( 2, 230°, 150°) (d) P( 5, 320°, 90°) (e) P( 1, , ) (f) P( 1, ₃, ) (g) P( 1, ₂ , ₆) (h) P( 4, ³₄ , ₂) 4. Transforme de coordenadas cartesianas para esféricas:

P(x, y, z) P(r, , ):

2 2 2

r x y z

x arctgy

2 2

x y

arctg z

(a) P( 4, 2, 7) (b) P( 1, -3, 7) (c) P( 3, 1, 2) (d) P( -2, -2, -5)

Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

1. Dada a matriz:

2 6 2

3 8 0

4 9 2

A

(a) Ache a matriz dos cofatores A_c. (b) Encontre a matriz inversa de A, A^-1.

2. Dada a matriz:

1 2 4 7

1 3 2 1

7 5 1 2

2 1 0 7

A

(a) Ache a matriz dos cofatores A_c. (b) Encontre a matriz inversa de A, A^-1.

3. Efetue:

(a) 1 3 2 4

4 5 5 5

(b) 1 3 2 4

4 5 5 5

(c) 1 3 6 4

4 5 0 5

(d)

1 9 7 3 1

1 2 3 5 9 3 4 3 4 5

0 2 1 2 1 2 3 2 2 1

2 2 1 0 1 1 2 1 1 0

4. Encontre o determinante das matrizes indicadas:

(a) 1 3

det 4 5

(b) 4 3

det 6 5

(c) 4 9

det 6 5

3

(d)

2 1 4 7

1 0 2 1

det 7 3 1 2

2 1 0 7

(e)

2 6 2

det 3 8 0

4 9 2

5. Resolva os sistemas lineares:

(a) Aplicando X A ¹ B

(b) Usando a Regra de Cramer.

(i) 2 3 1

0 0

x y x

x y y

(ii)

5 1

2 5 2

2 3 2 4 2

x y z x

x y z y

x y z z

(iii)

1 2

3

2 1 3

92 140 210 55 0 35 57 55 0

I I

I

I I I

4

Cônicas

1. Determine, para cada cônica, os parâmetros indicados na tabela e esboce o gráfico.

(a)

2 x

2 y

1

(b)

2 y

2 x

1

(c)

2 2

2y 4x 1 (d) y² (x 2)² 1

2. Determine os parâmetros e construa a equação das cônicas em coordenadas polares para:

(a) Elipse: e = ½ e a = 3 (b) Hipérbole: e = 2 e a = 4 (c) Elipse: e = 8/10 e a = 8 (d) Hipérbole: e = 3/2 e a = 6 (e) Parábola: a = 3

3. Sabendo que:

Cônicas Elipse Hipérbole Parábola

Equação em coordenadas cartesianas com centro/

Vértice na origem (0,0)

Eixo focal em Ox

2 1 2 2 2

b y a

x ₂ 1

2 2 2

b y a x

ax y² 4

Equação em coordenadas cartesianas com centro/

Vértice na origem (0,0)

Eixo focal em Oy

2 1 2 2 2

a y b

x ₂ 1

2 2 2

b x a y

ay x² 4

Equação em coordenadas cartesianas

com centro/Vértic e em (x0 , y0) Eixo focal

em Ox

) 1 ( ) (

2 2 0 2

2 0

b y y a

x

x ( ) ( ) 1

2 2 0 2

2 0

b y y a

x

x 2 0

0 4ax x y y

Equação em coordenadas cartesianas com centro/

Vértice em (x0 , y0) Eixo focal

em Oy

) 1 ( ) (

2 2 0 2

2 0

a y y b

x

x ( ) ( ) 1

2 2 0 2

2 0

b x x a

y

y x x₀² 4ay y₀

Equação em coordenadas polares Eixo focal

em Ox 1 cos

1 ² e

e r a

cos 1

2 1 e e

r a _{1 cos}

r 2a

Equação em coordenadas polares Eixo focal

em Oy

esen e r a

1 1 ²

esen e r a

1

2 1

sen r a

1 2

Excentricidade:

a e c

0 < e <1 e > 1 e = 1

Parâmetros

Semi-eixo maior a Semieixo menor

b Distância focal

2c e Foco F

Semi-eixo real a Semieixo imaginário b Distância focal

2c e Foco F

Foco Parâmetro p

a

Excentricidade e Retas diretrizes

assíntotas Pontos A, B

Equações possíveis em coordenadas

polares

1 e cos

e r d

sen e

e r d

1

Esboce os gráficos e ache os principais parâmetros:

(a)

1 3 cos

r 16

5

(b)

1 3 cos

r 16

(c)

r sen

3 1

16

(d)

sen r

2 1 1

3

(e)

sen r

2 1 1

3

(f)

2 cos

1 1

r 3