Open Soluções clássicas para uma equação elíptica semilinear não homogênea

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Mestrado em Matem´

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Suelen de Souza Rocha

Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Ciˆ

encias Exatas e da Natureza

Programa de P´

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Mestrado em Matem´

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enea

por

Suelen de Souza Rocha

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros

R672s Rocha, Suelen de Souza.

Soluções clássicas para uma equação elíptica semilinear não homogênea / Suelen de Souza Rocha.-- João Pessoa, 2011.

96f.

Orientador: Everaldo Souto de Medeiros Dissertação (Mestrado) – UFPB/CCEN

1. Matemática. 2. Equação não homogênea semilinear. 3. Métodos sub e supersolução. 4. Teoremas de ponto fixo.

Jamais entenderemos os princ´ıpios

descritos lendo, memorizando ou

imitando. A interpreta¸c˜ao leviana

nos desvia do caminho, portanto, se

ao inv´es disso pudermos realmente

sentir, deixar que tomem conta de

nosso corpo, estaremos longe de

erros.

A minha família, em especial aos meus pais e minha irmã.

A todos os professores que me acompanharam e ajudaram durante todo o período do mestrado e graduação, em especial ao meu orientador da graduação professor Da-niel Pellegrino e ao meu orientador de mestrado o professor Everaldo Souto, por terem guiado os meus passos por todos os desafios enfrentados e pela compreensão.

Resumo

Neste trabalho, estamos interessados na existência e não existência de solução clássica para a equação não homogênea semilinear ∆u+up _{+f(x) = 0 em R}n_{, u > 0 em R}n_,

n_≥3 onde f _≥0 é uma função Hölder contínua. A não existência de solução clássica é estabelecida quando 1 < p _≤ n/(n₋2). Para p > n/(n₋2), temos resultados de existência e não existência de solução clássica, dependendo do comportamento assin-tótico def no infinito. Os resultados de existência foram obtidos usando o método de sub e supersolução e teoremas de ponto fixo. A não existência de solução clássica é obtida usando-se estimativas integrais a priori via média esférica.

Palavras-chave: Equação diferencial parcial, Sub e supersolução, Teorema do ponto

This work is mainly concerned with the existence and nonexistence of classical solution to the nonhomogeneous semilinear equation ∆u+ up _{+f(x) = 0 in R}n_{, u > 0 in}

Rn, when _{n ≥ 3}, where _{f ≥ 0} is a Hölder continuous function. The nonexistence of

classical solution is established when 1< p _≤n/(n₋2). For p > n/(n₋2) there may be both existence and nonexistence results depending on the asymptotic behavior of

f at infinity. The existence results were obtained by employed sub and supersolutions techniques and fixed point theorem. For the nonexistence of classical solution we used

a priori integral estimates obtained via averaging.

Sumário

Introdução v

1 Resultados Auxiliares 1

1.1 Introdução . . . 1

1.2 Espaços de Hölder . . . 1

1.3 Média Esférica . . . 3

1.4 Princípios do Máximo e Regularidade . . . 6

1.5 Autovalores do Laplaciano . . . 8

1.6 Solução Fundamental e o Potencial Newtoniano . . . 12

1.7 Teorema do Ponto Fixo para Contrações . . . 24

1.8 Método de Sub e Supersolução . . . 24

1.9 Soluções Radiais . . . 32

2 Não Existência de Solução 34 2.1 Introdução . . . 34

2.2 Estimativas Integrais a Priori . . . 35

2.3 Resultados de Não Existência . . . 46

3 Existência de Solução 51 3.1 Introdução . . . 51

3.2 Existência de Solução Via Método de Sub e Supersolução . . . 55

3.3 Existência de Solução Via Ponto Fixo . . . 66

A Comentário Sobre o Caso Homogêneo 79

Neste trabalho, estudaremos o problema

∆u+up_{+f(x) = 0 em R}n

u >0, (P)

ondep_≥1, n_∈N com _n≥3 e _{f ∈C(}Rn₎ com _{f ≥0}, _{f ̸≡0}.

Nosso objetivo é investigar sob quais circunstâncias asseguramos a existência e a não existência de solução clássica para o problema (P). Para isto, estabeleceremos condições sob o termo não homogêneo f e o expoente p.

Equações elípticas não homogêneas de segunda ordem, definidas em todo o espaço, surgem em teoria da probabilidade no estudo de processos estocásticos. Esta área é vastíssima e tem beneficiado diversos ramos da ciência e da tecnologia tais como a Física Quântica, a estabilidade de estruturas, a Biologia (dinâmica de populações) e principalmente em economia e finanças.

Em [16], Lee obteve solução para o problema (P) quando o termo não homogêneo

f tem suporte compacto e é dominado por uma função da forma C/(1 +_|x_|)(n−2)p

para alguma constanteC(n, p)>0suficientemente pequena. O problema (P) também foi estudado em [22] por Pokhozhaev e em [7] por Egnell e Kaj. Pokhozhaev obteve soluções radiais quando o termo não homogêneo é radialmente simétrico em relação a origem e satisfaz certas condições de integrabilidade. Paralelamente, Egnell e Kaj trabalharam em um problema semelhante ao problema (P), mas tendo um parâmetro positivo pequeno ε como coeficiente do termo não homogêneo f e a existência de so-lução é obtida quando o termo não homegeneo tem suporte compacto e o parâmetro

ε >0 é suficientemente pequeno.

uti-lizados em virtude da imersão de Sobolev H1

0(Ω)֒→Lp(Ω). Entretanto, a dificuladede

é maior quando trabalhamos no espaço inteiro devido a perda de compacidade. Para continuar utilizando os métodos variacionais, necessitamos recuperar a compacidade e isto pode ser feito buscando soluções radiais. Porém, em nosso problema, estamos inte-ressados em soluções não necessariamente radiais para qualquer expoente (subcrítico, crítico ou supercrítico) em um domínio não limitado. Dessa forma, deparamos-nos com a impossibilidade de utilização dos métodos variacionais. No entanto, estas limitações são contornadas quando usamos métodos topológicos. Desta maneira, em nosso tra-balho utilizaremos métodos topológicos, a saber, o método de sub e supersolução e o Teorema do Ponto Fixo de Banach para contrações.

Este trabalho está organizado em três capítulos. O Capítulo 1 é dedicado a resul-tados e definições referentes a média esférica, potencial Newtoniano e suas estimativas, o método de sub e supersolução e Teorema de Ponto Fixo de Banach para contrações. Estes resultados serão utilizados nos capítulos subsequentes.

O Capítulo2é baseado nos artigos de Guy Bernard [3] e de Soohyu Bae, Wei-Ming

Ni [2]. Este capítulo é voltado ao estudo de não existência de solução para o proble-ma (P). Primeiramente, obtemos estiproble-mativas integrais para a solução do probleproble-ma. Tais estimativas serão utilizadas na demonstração dos principais teoremas apresenta-dos neste capítulo, apresenta-dos quais destacamos:

Teorema. Sejam p > n/(n₋2)e n _≥3. Suponha que f(y)_≥ C1/_|y_|2p/(p−1) para _|y_|

suficientemente grande, ondeC1 >2[n₋2_{− (p−}2₁₎] λ11/(p−1)

(p−1) , ondeλ1 denota o primeiro

autovalor de₋∆na bola unitária doRncom condição de fronteira de Dirichlet. Então,

o problema (P) não possui solução.

Finalmente, no Capítulo 3, estudaremos a existência de solução para o problema (P) baseado no artigo de Guy Bernard [3]. Neste capítulo, assumiremos que f _∈ Cγ_(Rn_),

para 0 < γ _≤ 1. Em cada um dos teoremas apresentados neste capítulo, iremos im-por condições sobre o termo não homogêneo f para garantirmos a existência de uma solução. Todos, exceto um desses resultados, serão obtidos pelo método de sub e su-persolução. Desta forma, as soluções obtidas serão dominadas pelas suas respectivas supersoluções. Entre os principais resultados apresentados, destacamos:

ondeC2 = _(p−1)11/(p−1)

2

p n−

2p

p−1 . Então, o problema (P) tem solução.

Comparando os resultados acima, observamos que juntos eles tentam conciliar condi-ções necessárias e suficientes para a existência de solucondi-ções quando p tende a infinito, pois, neste caso, a razão entre as constantes C1 e C2 converge para um.

Capítulo 1

Resultados Auxiliares

1.1

Introdução

Neste capítulo temos dois objetivos: o primeiro é expor alguns resultados e definições que serão utilizados no decorrer do nosso trabalho, e o segundo é apresentar o método de sub e supersolução para domínio não limitado que será utilizado para demonstrar alguns resultados no Capítulo 3.

1.2

Espaços de Hölder

Definição 1 Seja Ω _⊂ Rn _{aberto. Dizemos que uma função f : Ω →} R _{é Hölder}

contínua com expoenteγ em Ω, para algum 0< γ _≤1, se

sup

x,y∈Ω

x̸=y

|f(x)₋f(y)_|

|x₋y_|γ <∞.

Denotaremos por Ck_{(Ω) o espaço vetorial das funções cujas derivadas parciais de}

or-dem até k (inclusive) existem e são todas contínuas.

Além disso, denotaremos também

[f]Cγ_(Ω) = sup x,y∈Ω

x̸=y

|f(x)₋f(y)_|

|x₋y_|γ . (1.1)

Dizemos que uma função é localmente Hölder contínua com expoente γ em Ω, se ela for Hölder contínua com expoente γ em todo subconjunto compacto de Ω.

Definição 2 Seja Ω_⊂Rn _{aberto. Os espaços de Hölder C}k,γ_{(Ω) serão definidos como} os subespaços de Ck_{(Ω) consistindo das funções cujas derivadas parciais até a ordem}

Observemos que (1.1) é uma seminorma em Ck,γ_{(Ω). Como Ω é aberto, funções em}

Ck_{(Ω) (e suas derivadas) não são necessariamente limitadas em Ω. Portanto, não}

podemos adotar a norma do supremo para transformarCk_{(Ω) em um espaço normado.}

Por isso, lembrando que uma função limitada e uniformemente contínua em Ω possui uma única extensão contínua limitada para Ω, podemos considerar

Ck(Ω) =

{

f _∈Ck(Ω); D

α_{f é limitada e uniformemente contínua}

em Ω para todo_|α_{| ≤}k

}

.

Tornaremos este espaço vetorial um espaço normado (completo) definindo a norma

||f_||Ck_(Ω) = max

|α|≤k||D α_f

||L∞(Ω).

Definiremos então

Ck,γ(Ω) =_{f _∈Ck(Ω);Dαf _∈Cγ(Ω) para todo_|α_{| ≤}k_}

e tornaremosCk,γ_{(Ω) um espaço normado (completo) definindo}

||f_||Ck,γ(Ω) =||f||_Ck_(Ω)+ max

|α|≤k [D α_f]

Cγ(Ω).

Seja E um subespaço vetorial normado de um espaço normado F. Dizemos que a inclusãoE _⊂F é uma imersão (contínua) se a aplicação inclusão I :E _→F definida porIx=x for contínua e denotaremos

E ֒_→F.

Além disso, se a aplicação inclusão for compacta, dizemos que a imersão E ֒_→ F é compacta.

Teorema 1.1 Seja Ω _⊂ Rn _{aberto. Então, para todo inteiro k ≥ 0 e para todos}

0< α < β _≤1, valem as seguintes imersões:

Ck+1_(Ω)֒→Ck_(Ω)

Ck,γ_{(Ω) ֒→C}k_(Ω)

Ck,β_{(Ω) ֒→C}k,α_(Ω).

Além disso, se Ω é limitado então as duas últimas imersões são compactas.

1.3 Média Esférica

1.3

Média Esférica

Nesta seção, apresentaremos a definição de média esférica e algumas de suas proprie-dades que serão utilizadas em nosso trabalho.

Definição 3 A média esférica de uma função u_∈C(Rn_{) é definida por}

u(x, r) = 1

ωn ∫

|ξ|=1

u(x+rξ) dSξ, ∀r ∈R (1.2)

onde ωn é a área da esfera unitária em Rn.

Temos que u(x, r) é uma função par em relação a variável r, pois, a substituição de

r por ₋r em (1.2) pode ser compensada pela substituição da variável de integração

ξ por ₋ξ. Claramente, de (1.2) temos que se u _∈ Cs(Rn₎, onde _s é um inteiro não

negativo, então u(_·, r) _∈ Cs_(Rn+1_{) desde que podemos derivar sob o sinal de integral.}

Além disso, u(x,0) =u(x).

Proposição 1.1 A média esférica satisfaz:

1. u+v =u+v.

Se u_∈C2_(Rn_{) então a média esférica também satisfaz:}

2. ∂

∂r

(

rn−1∂u ∂r(x, r)

)

=rn−1∆u(x, r);

3. (n−1)

r ∂u

∂r(x, r) + ∂2_u

∂r2(x, r) = ∆u(x, r) (equação de Darboux);

4. ∂u

∂r(x, r)

r=0

= 0;

5. ∆u(_·, r) = ∆(u(_·, r)).

Demonstração: Seu, v _∈C(Rn₎então

(u+v)(x, r) = 1

ωn ∫

|ξ|=1

(u+v)(x+rξ)dSξ

= 1

ωn ∫

|ξ|=1

u(x+rξ) dSξ+

1

ωn ∫

|ξ|=1

v(x+rξ)dSξ

o que prova o item 1. Agora, suponha queu _∈C2_(Rn_{). Derivando (1.2) com respeito}

ar e usando a regra de Leibniz obtemos

∂u

∂r(x, r) =

1

ωn ∫

|ξ|=1 ∂u

∂r(x+rξ) dSξ =

1

ωn ∫

|ξ|=1∇

u(x+rξ)ξ dSξ.

Fazendo a mudança de variávely=x+rξ, temos

∂u

∂r(x, r) =

1

ωnrn−1 ∫

|y−x|=r∇

u(y)

(

y₋x r

)

dSy =

1

ωnrn−1 ∫

|x−y|=r

∂u

∂η(y)dSy,

onde η denota o vetor normal exterior unitário. Pelo Teorema da Divergência

∂u

∂r(x, r) =

1

ωnrn−1 ∫

|y−x|<r

∆u(y) dy= r

ωn ∫

|ξ|<1

∆u(x+rξ) dξ.

Pela regra de Leibniz

∂u

∂r(x, r) = r ωn

∆

[∫

|ξ|<1

u(x+rξ) dξ

]

= r

ωn

∆

[∫

|y−x|<r

u(y)

rn dy ]

= r

1−n

ωn

∆

[∫

|y−x|<r

u(y) dy

]

.

Utilizando coordenadas polares, obtemos

∂u

∂r(x, r) = r1−n

ωn

∆

[∫ r

0

∫

|y−x|=ρ

u(y) dSy dρ ]

.

Fazendo a mudança de variávely=x+ρε, obtemos

∂u

∂r(x, r) = r1−n

ωn

∆

∫ r

0

∫

|ξ|=1

u(x+ρε)ρn−1 dSξ dρ.

Pela definição de u, temos

∂u

∂r(x, r) = r1−n

ωn

∆

∫ r

0

ωnρn−1u(x, ρ) dρ=r1−n∆ ∫ r

0

ρn−1u(x, ρ)dρ,

ou seja,

rn−1∂u

∂r(x, r) = ∆

∫ r

0

ρn−1u(x, ρ) dρ.

Derivando novamente com respeito a r, encontramos

∂ ∂r

(

rn−1∂u ∂r(x, r)

)

= ∂

∂r∆

(∫ r

0

ρn−1u(x, ρ) dρ

)

=rn−1∆u(x, r),

o que completa a prova do item 2. Note que o item 3 segue imediatamente do item 2 por derivação.

Como u _∈ C2_(Rn_{) é par em relação a r temos que (∂u/∂r) é uma função ímpar em}

relação a variávelr e, portanto, (∂u/∂r(x, r))_r=0 = 0. Além disso, ∆u= ∆u, pois,

∆u= 1

ωnrn−1 ∫

|ξ|=1

∆u(x+rξ)dSξ = ∆ (

1

ωnrn−1 ∫

|ξ|=1

u(x+rξ)dSξ )

= ∆u,

1.3 Média Esférica

Observação 1.1 Pela definição da média esférica, temos

u(0, r) = 1

ωn ∫

|ξ|=1

u(rξ) dSξ, ∀r >0.

Além disso, u(0,0) =u(0). Fazendo a mudança de variável y=rξ, obtemos

u(0, r) = 1

ωnrn−1 ∫

|y|=r

u(y)dSy, ∀r >0.

Consideremos X = _{(x, r) _∈ Rn_×R_{; x = 0 e r ≥ 0}. Denotaremos a restrição de}

u(x, r) a X por u(r), isto é,

u(r) =

        

1

ωnrn−1 ∫

|y|=r

u(y)dSy, se r >0,

u(0) se r = 0.

Seja ω um aberto de Rn−1 e _F de _ω em Rn uma função de classe _C1. Dizemos que

F é uma imersão se F e F′ _{são injetivas (dizer que F}′ _{é injetiva significa que para}

todox _∈ω a matriz F′_{(x) tem posto n−1). Se F é uma imersão, então F}′_(x)∗_F′_(x)

(definida por ai,j = (∂1F(x)|∂jF(x))), onde (·|·) é o produto interno em Rn) é uma

matriz quadrada positiva definida de ordemn₋1. A integral de superfície é definida como sendo,

Definição 4 Sejam ω _⊂ Rn−1 _{um aberto, F uma função de classe C}1 _{de ω em} Rn_.

Suponha que F é uma imersão e que S :=_{F(x);x_∈ω_}. Se u é uma função contínua de S em R _{com suporte compacto, definimos}

∫

S

u(σ)dσ:=

∫

ω

u(F(x))(det(F′(x)∗F′(x)))1/2dx.

A medida dσ é chamada a medida superficial sobre S.

Para que esta definição faça sentido, é necessário que ela dependa unicamente de S e não da imersão F. De fato, temos que se Ω _⊂ Rn−1 é um aberto e _G de _Ω em Rn é

uma imersão tal que

S =_{F(x);x_∈w_}=_{G(x);x_∈Ω_},

então podemos usar o Teorema da mudança de variáveis para provar que as integrais de superfície definidas a partir deF e de G coincidem.

Teorema 1.2 (Desigualdade de Jensen) Sejam (Ω,_A, µ)um espaço de medida tal

que µ(Ω) = 1, X : Ω _→R _{uma função mensurável e g :} R_→ R _{uma função convexa.} Então,

g

(∫

Ω Xdµ

)

≤

∫

Ω

Demonstração: Veja Teorema 4.3.3.1em [9], pg. 95.

Sabendo a definição de integral de superfície (Definição 4) segue da desigualdade de Jensen queup _≤up _{para todo p >1.}

1.4

Princípios do Máximo e Regularidade

Para esta seção, consideraremos operadores lineares de segunda ordem da forma

Lu=

n ∑

i,j=1 aij(x)

∂2_u ∂xi∂xj

+c(x)u,

com aij, c ∈ C(Ω), onde Ω é um aberto de Rn. Relembremos que a fronteira de Ω

satisfaz a condição da esfera interior emx0 se existe uma bola B _⊂Ω com x0 _∈∂B. Dizemos que o operador L é elíptico se a matriz (aij(x))é positiva definida para todo

x_∈Ω, ou seja, seλ(x) eΛ(x) denotam o menor e o maior autovalor de(aij(x)), então

0< λ(x)_|ξ_|2 _≤

n ∑

i,j=1

aij(x)ξiξj ≤Λ(x)|ξ|2,

para todoξ _∈Rn_\{0}.

Se existeλ0 >0tal que λ(x)_≥λ0 para todo x_∈Ω, dizemos que o operador L é estri-tamente elíptico. SeΛ(x)/λ(x)é limitada em Ω, então dizemos queLé uniformemente elíptico.

Lema 1.1 (Lema de Hopf ) Considere u _∈ C2_{(Ω) ∩C(Ω). Suponha que c ≡ 0 e}

Lu_≤0 em Ω. Se existe x0 _∈∂Ω tal que (i) u(x0)> u(x) para todo x_∈Ω;

(ii) ∂Ω satisfaz a condição da esfera interior em x0.

Então, a derivada normal de u em x0, se existir, satisfaz a desigualdade

∂u

∂η(x0)>0,

onde ∂u_∂η :=_⟨∇u, η_⟩ e η é o vetor normal unitário exterior a ∂Ω no ponto x0. Se c_≥0

em Ω temos a mesma conclusão se u(x0)_≥0.

1.4 Princípios do Máximo e Regularidade

Teorema 1.3 (Princípio do Máximo Fraco) Considereu_∈C2_{(Ω)∩C(Ω) ec≥0}

em Ω.

(i) Se Lu_≤0 em Ω, então

max

Ω

u_≤max

∂Ω u +_.

(ii) Do mesmo modo, se Lu_≥0 em Ω, então

min

Ω u≥ −max∂Ω u

−_.

Demonstração: Ver Teorema2 em [8], pg. 329.

Teorema 1.4 SejaΩum subconjunto aberto e limitado do Rn_{, com fronteira de classe}

C1_{. Suponha que u∈W}k,p_(Ω).

(i) Se k < n

p, então u∈L

q_{(Ω), onde} 1

q =

1

p − k

n. Além disso,

∥u_∥Lq_(Ω) ≤C∥u∥_Wk,p_(Ω),

onde C=C(k, p, n,Ω) >0.

(ii) Se k > n_p, então u_∈Ck−[np]−1,γ(Ω), onde

γ =

  

[ n p ]

+ 1₋ n

p, se

n

p não é um inteiro

qualquer número positivo γ <1, se n_p é um inteiro.

Além disso,

∥u_∥

Ck−[

n

p]−1,γ_(Ω) ≤C∥u∥Wk,p(Ω),

onde C=C(k, p, n, γ,Ω) >0.

Demonstração: Ver Teorema6 em [8], pg. 270.

Teorema 1.5 (Agmon-Douglis-Nirenberg) Suponha que Ω é de classe C2 _com

fronteira limitada. Seja 1 < p < _∞. Então, para todo f _∈ Lp_{(Ω), existe uma única}

solução u_∈W2,p_(Ω)∩W1,p

0 (Ω) da equação

−∆u+u=f em Ω. (1.3)

Além disso, se Ω é de classe Cm+2 _{e se f ∈W}m,p_{(Ω) (m≥1 um inteiro), então}

u_∈Wm+2,p(Ω) e _||u_||Wm+2,p ≤C||f||_Wm,p.

Demonstração: Ver Teorema9.32 em [5], pg. 316.

Teorema 1.6 (Teorema de Schauder) Suponha que Ω é limitado e de classe C2,γ

com 0< γ <1. Então, para cada f _∈Cγ_{(Ω) existe uma única soluçãou∈C}2,γ_{(Ω) do}

problema _

     

−∆u+u = f em Ω

u = 0 sobre ∂Ω.

(1.4)

Além disso, se Ω é de classe Cm+2,γ _{(m≥1 um inteiro ) e se f ∈C}m,γ_{(Ω), então}

u_∈Cm+2,γ(Ω) com _||u_||Cm+2,γ ≤C||f||_Cm,γ.

O resultado é análogo se (1.4) for substituído por uma equação elíptica de segunda ordem com coeficientes suaves.

Demonstração: Ver Teorema9.33 em [5], pg. 317.

Teorema 1.7 Seja L um operador estritamente elíptico num domínio limitado Ω _⊂

Rn_{, comc≥0. Suponha quef e os coeficientes deLsão limitados e pertencem aC}γ_(Ω). Suponha queΩsatisfaz a condição da esfera exterior em todo ponto da fronteira. Se φ

é contínua sobre ∂Ω, então o problema de Dirichlet,

{

Lu = f em Ω

u = φ sobre ∂Ω,

possui uma única soluçãou_∈C0_(Ω)∩C2,γ_(Ω).

Demonstração: Ver Teorema6.13 em [13], pg. 106.

1.5

Autovalores do Laplaciano

Nesta seção, consideraremos o problema de autovalor para o laplaciano com condição de fronteira de Dirichlet

{

−∆u = λu em Ω

u = 0 sobre ∂Ω, (1.5)

ondeΩ_⊂Rn é um subconjunto aberto e limitado.

Definição 5 Dizemos que u_∈W₀1,2(Ω) é uma solução fraca para o problema de auto-valor (1.5) se _∫

Ω∇

u_∇v =λ

∫

Ω

1.5 Autovalores do Laplaciano

Proposição 1.2 Seja Ω _⊂ Rn _{um aberto limitado com fronteira de classe C}∞_{. Seja}

λ_∈R_{. Se u∈W}1,2

0 (Ω) é uma solução fraca de (1.5) então u∈C∞(Ω).

Proposição 1.3 Existe uma base ortonormal _{wn} de L2(Ω) e uma sequência de

nú-meros reais positivos _{λm} com λm → ∞ quando m→ ∞, tal que

0< λ1 _≤λ2 _≤. . ._≤λm ≤. . . , 

  

  

−∆wm =λmwm em Ω

wm ∈H01(Ω)∩C∞(Ω)

Demonstração: Ver Teorema3.6.1em [15], pg. 147.

Proposição 1.4 Defina, para v _∈H1

0(Ω), v̸= 0, o coeficiente de Rayleigh R(v) =

∫

Ω|∇v| 2

∫

Ωv2 .

Então

λ1 = min

v∈H1_{0 (Ω)} v̸=0

R(v) = R(w1).

λm = max

v∈⟨w1,...,wm⟩

v̸=0

R(v) =R(wm).

λm = min

v⊥{w_1,...,wm−1}

v̸=0

R(v).

λm = min

W <H_{0 (Ω)}1 dimW=m

max

v∈W R(v).

para m _≥2, onde wi é uma autofunção associada ao autovalor λi. Demonstração: Veja Teorema 3.6.2 em [15], pg. 149.

Lema 1.2 Seja w_̸= 0 em H1

0(Ω) satisfazendo

R(w) = λ1.

Então, w é uma autofunção associada a λ1.

Demonstração: Ver Lema 3.6.1 em [15], pg. 150.

Definição 6 As partes positiva e negativa de uma função u são definidas por

u+ = max_{u,0_}, u− =₋min_{u,0_}.

Proposição 1.5 O primeiro autovalor λ1 de ₋∆ em Ω com condição de fronteira de Dirichlet é simples e a autofunção associada não muda de sinal em Ω.

Demonstração: Primeiro, mostraremos que a autofunção associada a λ1 não muda

de sinal em Ω. Seja w uma autofunção associada a λ1. Como w = w+ _−w− _com

w+_{, w}− _∈H1

0(Ω), então ∫ Ω∇

w_∇w+ =λ1

∫

Ω ww+.

Daí, _∫

Ω|∇

w+_|2 =λ1

∫

Ω

(w+)2. (1.6) Analogamente, _∫

Ω|∇

w−_|2 =λ1

∫

Ω

(w−)2. (1.7) Suponhamos que w muda de sinal em Ω. Logo, w+_{, w}− _{̸= 0. Dividindo (1.6) por}

∫

Ω(w

+₎2 _{e (1.7) por} ∫ Ω(w

−₎2 _{temos que}

R(w+) =R(w−) =λ1.

Pelo Lema 1.2, w+ _{e w}− _{são autofunções associadas a λ1, isto é, −∆w}+ _{= λ1w}+ _e

−∆w− _{= λ1w}−_{. Pelo Teorema 1.3 temos que w}+_{(x) >0 e w}−_{(x) > 0 em Ω, o que é}

impossível, pois, sew+ _{é sempre positiva temos quew}−_{= 0 e vice-versa. Desta forma,}

wtem sinal definido em Ω.

Agora, mostraremos que λ1 é simples. Suponha que λ1 não seja simples, ou seja,

dimW1 > 1, onde W1 é o subespaço associado a λ1. Assim, deve existir uma outra autofunção we_∈H1

0(Ω) tal que ∫ Ω

ww_e= 0,

o que é absurdo, poisw e we possuem sinais definidos.

Proposição 1.6 Seja λ1 o primeiro autovalor de ₋∆ em B1(0) _⊂ Rn _{com condição}

de fronteira de Dirichlet. Se λR é o primeiro autovalor de −∆ em BR(0) ⊂ Rn com

condição de fronteira de Dirichlet, então λR = _Rλ12.

Demonstração: SejaφR _{uma autofunção associada ao autovalor λ}

R, ou seja, {

−∆φR _{= λ}

RφR em BR(0)

φR _{= 0 sobre ∂B} R(0).

Considere

1.5 Autovalores do Laplaciano

Notemos que

φxi(x) = Rφ

R

xi(Rx); |x| ≤1, e

φxixi(x) =R

2_φR

xixi(Rx); |x| ≤1. Logo,

−∆φ =₋R2∆φR(Rx) =R2λRφR(Rx) =R2λRφ(x); |x| ≤1.

Assim, φ é uma autofunção em B1(0). Portanto,

λRR2 ≥λ1. (1.8)

Agora, sejaφ uma autofunção associada ao autovalor λ1, ou seja,

{

−∆φ = λ1φ em B1(0) φ = 0 sobre ∂B1(0).

Considere

φR(x) = φ(x R

)

; _|x_{| ≤}R.

Notemos que

φR_xi(x) = 1

Rφxi

(_x

R

)

; _|x_{| ≤}R,

e

φR_xixi(x) = 1

R2φxixi

(_x

R

)

; _|x_{| ≤}R.

Logo,

−∆φR=₋ 1

R2∆φ

(_x

R

)

= 1

R2λ1φ

(_x

R

)

= 1

R2λ1φ

R_(x);

|x_{| ≤}R.

Assim, φR _{é uma autofunção em B}

R(0). Portanto,

λRR2 ≤λ1. (1.9)

Por (1.8) e (1.9), concluímos que

λRR2 =λ1.

Lema 1.3 (Mythily Ramaswamy) SejaΩum domínio limitado e suave doRn_{,n ≥}

2. Não existe uma função u_∈C2_(Ω)∩C1_{(Ω) satisfazendo}

∆u+λ1u_≤0 em Ω

u >0 sobre ∂Ω, (1.10)

Demonstração: Primeiramente, temos que o primeiro autovalor de ₋∆ é simples e possui uma autofunção positiva (Proposição 1.5). Seja ϕ esta autofunção. Assim,

−∆ϕ=λ1ϕ em Ω ϕ >0 em Ω

ϕ= 0 sobre ∂Ω.

Além disso, pelo Lema de Hopf temos ∂ϕ

∂η <0, sobre ∂Ω.

Desde queΩé um domínio limitado e suave, pela teoria da regularidade elíptica temos queϕ _∈C1_{(Ω). Multiplicando a inequação (1.10) porϕ e integrando obtemos}

∫

Ω

ϕ∆u dx+λ1

∫

Ω

ϕu dx _≤0. (1.11) Pela Segunda Identidade de Green, temos

∫

Ω

ϕ∆u dx=

∫

Ω

u∆ϕ dx+

∫

∂Ω ϕ∂u

∂η dS−

∫

∂Ω u∂ϕ

∂η dS.

Sabendo queϕ= 0 sobre ∂Ω, temos

∫

Ω

ϕ∆u dx=

∫

Ω

u∆ϕ dx₋

∫

∂Ω u∂ϕ

∂η dS. (1.12)

De (1.11) e (1.12) obtemos

∫

Ω

u∆ϕ dx₋

∫

∂Ω u∂ϕ

∂ηdS+λ1

∫

Ω

ϕu dx_≤0.

Desde que ∆ϕ+λ1ϕ= 0, concluímos que

∫

∂Ω u∂ϕ

∂η dS ≥0,

o que contradiz o Lema de Hopf.

1.6

Solução Fundamental e o Potencial Newtoniano

A equação homogênea

∆u= 0 em Rn

é chamada equação de Laplace.

Queremos encontrar uma solução não constanteu da equação de Laplace da forma

1.6 Solução Fundamental e o Potencial Newtoniano

onde r =_|x_| = (x2

1+. . .+x2n)1/2 > 0. Devemos escolher v de forma que ∆u = 0 em

Rn_{\ {0}}. Notemos que

uxi =v

′_(r)xi

r e uxixi =v

′′x2i

r2 +v

′ ( 1 r − x2 i r3 ) ,

para r_̸= 0. Logo,

∆u=v′′

n ∑

i=1 x2

i

r2 +v

′ n ∑ i=1 ( 1 r − x2 i r3 )

=v′′+n−1

r v

′_.

Assim, ∆u= 0 se, e somente se,

v′′+n−1

r v

′ _{= 0,}

equivalentemente,

(rn−1v′)′ = 0.

Integrando a equação acima obtemos

v′(r) = a

rn−1, (1.13)

para alguma constante a. Integrando (1.13), obtemos

v(r) =

  

blogr+c se n= 2

b

rn−2 +c se n ≥3

(1.14)

onde b ec são constantes.

Fazendo uma escolha adequada de b e cem (1.14), temos a seguinte definição:

Definição 7 A função

Γ(x₋y) = Γ(_|x₋y_|) =

           1

nαn(n−2)|x−y|n−2

, n_≥3

−₂1_π log_|x₋y_|, n = 2

definida parax_∈Rn_{, x̸=y, é a solução fundamental da equação de Laplace, onde αn} é o volume da esfera unitária em Rn_.

Um cálculo simples mostra que as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de

Γsão dadas por

DiΓ(x−y) = −

1

nαn|

e

DijΓ(x−y) = −

1

nαn {

−n(xi−yi)(xj −yj) +|x−y|2δij }

|x₋y_|−n−2.

Claramente Γ é harmônica parax_̸=y. As seguintes estimativas serão úteis:

|DiΓ(x−y)| ≤

1

ωn|

x₋y_|1−n (1.15) e

|DijΓ(x−y)| ≤

1

αn|

x₋y_|−n, (1.16) onde ωn =nαn.

Denotaremos o potencial Newtoniano de uma função mensurável f, definida em Rn,

por

Nf(x) = ∫

Rn

Γ(x₋y)f(y)dy, x_∈Rn_.

Os próximos dois resultados encontram-se em [18].

Lema 1.4 Seja f :Rn_→R_{, com n ≥3, uma função localmente Hölder contínua com}

o seguinte decaimento no infinito

|f(y)_{| ≤}C_|y_|l_{, (1.17)}

onde C >0, l <₋2 são constantes. Seja Nf o potencial Newtoniano de f, isto é,

Nf(x) = Cn ∫

Rn

f(y)

|x₋y_|n−2dy, (1.18)

onde Cn = [(n−2)ωn]−1. Então, Nf está bem definida e

|Nf(x)| ≤       

C_|x_|2−n _{se l <−n}

C_|x_|2−n_{ln|x| se l=−n}

C_|x_|2+l _{se −n < l <−2,}

para algum C >0.

Demonstração: Primeiramente, mostraremos que o potencial Newtoniano está bem

definido. De fato, escolheremos R >0 de forma que (1.17) seja satisfeita, isto é,

|f(y)_{| ≤}C_|y_|l se _|y_{| ≥}R. (1.19) Comof é localmente Hölder contínua, existe uma constanteC0 >0 tal que

1.6 Solução Fundamental e o Potencial Newtoniano

Considerando K = max_{C, C0_}, temos por (1.19) e (1.20) que

|f(y)_{| ≤}

{

K_|y_|l_{, se |y|> R}

K, se _|y_{| ≤}R.

Assim, se_|y_|> R

(1 +_|y_|−l)_|f(y)_|=_|f(y)_|+_|y_|−l_|f(y)_{| ≤}K_|y_|l+K _≤C1,

pois,l <₋2. Se _|y_{| ≤}R então

(1 +_|y_|−l)_|f(y)_{| ≤}K +R−lK _≤C2.

Considerando K1 = max_{C1, C2_}, obtemos

|f(y)_{| ≤} K1

(1 +_|y_|−l₎, ∀y ∈R

n_{. (1.21)}

Por (1.18) e (1.21) temos

|Nf(x)| ≤Cn ∫

Rn

K1

|x₋y_|n−2_{(1 +|y|}−l₎dy.

Notemos que

|Nf(x)| ≤C [∫

|x−y|≤|x₂|

A dy+

∫

|x|

2 ≤|x−y|≤2|x|

A dy+

∫

|x−y|≥2|x|

A dy

]

=C[I1+I2+I3],

onde A= 1/[_|x₋y_|n−2_{(1 +|y|}−l_{)]. Agora, vamos estimar I1, I2 e I3.}

Estimativa para I1: Seja Ω1 :={y∈ Rn;|y−x| ≤ |x|/2}. Logo, para y ∈Ω1 temos

|y_{| ≥} |x₂|, o que implica

I1 ≤

∫

|x−y|≤|x₂|

C

|x₋y_|n−2

[

1 +(|x₂|)−l

]dy

≤

∫

|x−y|≤|x₂|

C

|x₋y_|n−2_|x|−ldy.

Usando coordenadas polares temos

I1 _≤ C

|x_|−l ∫ |x|

2

0

rn−1

rn−2dr =C|x|

Estimativa para I2: Seja Ω2 :={u∈Rn;|x₂| ≤ |x−y| ≤2|x|}. I2 =

∫

|x|

2 ≤|x−y|≤2|x|

C

|x₋y_|n−2_{(1 +|y|}−l₎dy

≤C_|x_|2−n

∫

|x|

2 ≤|x−y|≤2|x| 1

(1 +_|y_|−l₎dy.

Comoy_∈Ω2 temos |y| ≤ |x−y|+|x| ≤2|x|+|x|= 3|x|. Logo, I2 _≤C_|x_|2−n

∫

|y|≤3|x|

1

(1 +_|y_|−l₎dy

≤C_|x_|2−n

(∫

|y|≤1

1

(1 +_|y_|−l₎dy+ ∫

1≤|y|≤3|x|

1

|y_|−ldy )

.

Utilizando coordenadas polares, temos

I2 _≤C_|x_|2−n

(

C+C

∫ 3|x|

1

rn−1rldr

)

. (1.23)

Primeiro, suponhamos que n₋1 +l < ₋1. Logo,

∫ 3|x|

1

rn−1+ldr= r

n+l

n+l

3|x|

1

=₋ 1

n+l

(

1₋ 1

(3_|x_|)−(n+l)

)

≤ −_n1_+l =C. (1.24) Por (1.23) e (1.24), temos

I2 _≤C_|x_|2−n se n₋1 +l <₋1. (1.25) Suponhamos agora quen₋1 +l=₋1. Logo,

∫ 3|x|

1

rn−1+ldr=

∫ 3|x|

1

1

r dr= ln(3|x|) = ln(3) + ln(|x|) = C+ ln(|x|). (1.26)

Por (1.23) e (1.26) temos

I2 _≤C_|x_|2−n(C+Cln_|x_|) se n₋1 +l=₋1. (1.27) Suponhamos finalmente que n₋1 +l > ₋1. Assim,

∫ 3|x|

1

rn−1+ldr= r

n+l

n+l

3|x|

1

= (3|x|)

n+l

n+l −

1

n+l ≤C|x|

n+l_{. (1.28)}

De (1.23) e (1.28) temos

I2 ≤C|x|2−n(C+C|x|n+l) se n−1 +l > −1. (1.29)

Assim, por (1.25), (1.27) e (1.29) concluímos que

I2 ≤

      

C_|x_|2−n_{, se n−1 +l < −1}

C_|x_|2−n_{(C+Cln|x|), se n−1 +l =−1}

C_|x_|2−n_(C+C|x|n+l_{), se n−1 +l > −1.}

1.6 Solução Fundamental e o Potencial Newtoniano

Estimativa para I3: Seja Ω3 :={y∈Rn; 2|x| ≤ |x−y|}. Assim, para y ∈Ω3 temos

|x₋y_{| ≤ |}y_|+_|x_{| ≤ |}y_|+_|x₋y_|/2. Desta forma,_|x₋y_|/2_{≤ |}y_| e

I3 _≤

∫

Ω3

C

|x₋y_|n−2

[

1 +(|x−₂y|)−l

]dy

≤

∫

Ω3

C

|x₋y_|n−2_|x−y|−ldy.

Usando coordenadas polares, obtemos

I3 _≤C

∫ +∞

2|x|

rn−1

rn−2−ldr=C

r2+l

2 +l

∞

2|x|

.

Desde que l <₋2, temos

I3 _≤C_|x_|2+l. (1.31) Assim, para_|x_|suficientemente grande, o resultado segue das estimativas (1.22), (1.30) e (1.31).

Paraf não negativa, temos o seguinte resultado:

Lema 1.5 Se f _≥ 0 em Rn _{com n ≥ 3 e f(y) ≥ C|y|}l _{no infinito para algum l <}

−2, C > 0, então existe C1 >0 tal que

Nf(x)≥    

  

C1_|x_|2−n _{se l <−n}

C1_|x_|2−n_{ln|x| se l=−n}

C1_|x_|2+l _{se −n < l <−2.}

Demonstração: Notemos que

Nf(x)≥Cn ∫

Ω2

f(y)

|x₋y_|n−2dy

onde Ω2 := {u∈ Rn;|x|/2≤ |x−y| ≤2|x|}. Escolheremos R suficientemente grande

tal que f _̸≡0 em BR(0). Seja

I =Cn ∫

BR(0)

f(y)

|x₋y_|n−2dy+Cn

∫

Ω2\BR(0)

f(y)

|x₋y_|n−2dy.

Como_|x₋y_{| ≤}2_|x_|, obtemos

I _≥ C_|x_|2−n

(∫

BR(0)

f(y)dy+

∫

Ω2\BR(0)

f(y)dy

)

≥ C_|x_|2−n

(

C+

∫

Ω2\BR(0)

f(y)dy

)

Podemos supor ainda que R é suficientemente grande tal que f(y) _≥ C_|y_|l _quando

|y_|> R. Logo,

I _≥C_|x_|2−n

(

C+C

∫

Ω2\BR(0)

|y_|ldy

)

. (1.32)

Afirmamos que

F =

{

y_∈Rn_{;R ≤ |y| ≤} |x|

2

}

⊂Ω2\BR(0). (1.33)

De fato, se y_∈F temos

|x₋y_{| ≤ |}y_|+_|x_{| ≤ |}x_|+|x|

2 =

3_|x_|

2 ≤2|x|.

Por outro lado,

|x₋y_{| ≥ |}x_{| −} |x|

2 =

|x_|

2 .

Além disso, _|y_{| ≥}R. Logo, y_∈Ω2\BR(0). Por (1.32) e (1.33), obtemos

I _≥C_|x_|2−n

(

C+C

∫

R≤|y|≤|x|/2| y_|ldy

)

.

Usando coordenadas polares temos

I _≥C_|x_|2−n (

C+C

∫ |x|/2

R

rl+n−1_dr

)

. (1.34)

Analisaremos três casos: n₋1 +l < ₋1, n₋1 +l=₋1 e n₋1 +l >₋1. Suponhamos, primeiro, quen₋1 +l <₋1. Então,

C

∫ |x|/2

R

rl+n−1dr >0. (1.35) Logo, por (1.34) e (1.35) temos

I _≥C_|x_|2−n. (1.36) Podemos supor ainda queR >1e_|x_|>(2R)2_{. Suponhamos agora quen−1 +l=−1,}

logo,

∫ |x|/2

R

1

r dr= ln(|x|/2)−ln(R) = ln(|x|)−ln(2R). (1.37)

Como_|x_|1/2 _{>2R temos}

1

2ln(|x|)>ln(2R).

Somando (₋ln_|x_|) a ambos os lados da inequação acima obtemos

1

1.6 Solução Fundamental e o Potencial Newtoniano

Assim, por (1.37) e (1.38) temos

∫ |x|/2

R

1

r dr >

1

2ln(|x|). (1.39)

Por (1.34) e (1.39) temos

I _≥C_|x_|2−nln(_|x_|). (1.40) Suponhamos finalmente que n₋1 +l > ₋1, logo,

∫ |x|/2

R

rn+l−1dr= (|x|/2)

n+l

n+l − Rn+l

n+l.

Como_|x_|>(2R)2 _{temos |x|>4R. Assim,}

∫ |x|/2

R

rn+l−1dr= (|x|/2)

n+l

n+l −

(_|x_|/4)n+l

n+l =

3_|x_|n+l

22(n+l)_(n+l) =C|x|

n+l_{. (1.41)}

Por (1.34) e (1.41) temos

I _≥C_|x_|2−n_|x_|n+l=C_|x_|2+l. (1.42) Por (1.36), (1.40) e (1.42) concluímos que

I _≥

      

C_|x_|2−n _{se n−1 +l <−1}

C_|x_|2−n_{ln(|x|) se n−1 +l=−1}

C_|x_|2+l _{se n−1 +l >−1.}

Desde que Nf ≥I o resultado segue.

Os próximos dois resultados são adaptações dos Lemas4.1 e4.2 em [13].

Lema 1.6 Sejam f _≥0 uma função contínua em Rn _{(n ≥ 3) e Nf o potencial}

New-toniano de f tal que

Nf(x) =Cn ∫

Rn

f(y)

|x₋y_|n−2dy≤

ξ

(1 +_|x_|)n−2, (1.43)

para alguma constante ξ >0. Então, Nf ∈C1(Rn) e para cada x∈Rn

DiNf(x) = ∫

Rn

DiΓ(x−y)f(y)dy, i = 1, . . . , n.

Demonstração: Considere a função

v(x) =

∫

Rn

DiΓ(x−y)f(y)dy.

Temos quev está bem definida. De fato,

|v(x)_{| ≤}

∫

Rn|

Pela estimativa (1.15), temos

|v(x)_{| ≤}

∫

Rn

|f(y)_|

ωn|x−y|n−1

dy.

Tomaremos R >1. Logo,

|v(x)_{| ≤} C

∫

|x−y|≤R

|f(y)_|

|x₋y_|n−1dy+C

∫

|x−y|≥R

|f(y)_|

|x₋y_|n−1dy

≤ C sup

|x−y|≤R|

f(y)_|

∫

|x−y|≤R

1

|x₋y_|n−1dy+C

∫

|x−y|≥R

|f(y)_|

|x₋y_|n−2_|x−y|dy

≤ C1

∫

|x−y|≤R

1

|x₋y_|n−1dy+C

∫

|x−y|≥R

|f(y)_|

|x₋y_|n−2dy.

Por (1.43), temos

|v(x)_{| ≤}C1

∫

|x−y|≤R

1

|x₋y_|n−1dy+Cξ.

Usando coordenadas polares, obtemos

|v(x)_{| ≤}C1

∫ R

0

dr+Cξ =C1R+Cξ <_∞,

de onde concluímos quev está bem definida.

Mostraremos então que v =DiNf. Para isso, fixaremos uma função η ∈ C1(R)

satis-fazendo 0_≤η _≤1, 0_≤ η′ _{≤2, η(t) = 0 para t≤1, η(t) = 1 para t≥2 e, para ε >0,}

definamos

wε(x) = ∫

Rn

Γηεf(y)dy, Γ = Γ(x−y), ηε=η (

|x₋y_| ε

)

.

Desde que η,Γ_∈C1_{(R)temos que w}

ε ∈C1(Rn) e

v(x)₋Diwε(x) = ∫

Rn

DiΓ(x−y)f(y)dy− ∫

Rn

Di[Γηεf(y)]dy

=

∫

Rn

Di{(1−ηε)Γ}f(y)dy.

(1.44)

Pela definição de ηε, temos que

ηε = 1 se |x−y| ≥2ε. (1.45)

Por (1.44), temos

v(x)₋Diwε(x) = ∫

|x−y|≤2ε

Di{(1−ηε)Γ}f(y)dy+ ∫

|x−y|≥2ε

1.6 Solução Fundamental e o Potencial Newtoniano

Por (1.45), obtemos

v(x)₋Diwε(x) = ∫

|x−y|≤2ε

Di{(1−ηε)Γ}f(y)dy.

Logo,

|v(x)₋Diwε(x)| ≤ ∫

|x−y|≤2ε|

Di{(1−ηε)Γ}||f(y)|dy

≤

∫

|x−y|≤2ε|

Di(1−ηε)Γ||f(y)|dy

+

∫

|x−y|≤2ε|

(1₋ηε)DiΓ||f(y)|dy.

Notemos que

Diη (

|x₋y_| ε

)

=η′

(

|x₋y_| ε

)

Di (

|x₋y_| ε

)

=η′

(

|x₋y_| ε

)

(xi−yi)

ε_|x₋y_| ≤

2

ε.

Logo,

|v(x)₋Diwε(x)| ≤ sup

|x−y|≤2ε|

f(x)_|

∫

|x−y|≤2

(

|DiΓ|+

2

ε|Γ|

)

dy.

Paran _≥3, pela estimativa (1.15) e pela definição de solução fundamental, temos

|v(x)₋Diwε(x)| ≤ sup

|x−y|≤2ε|

f(x)_|

∫

|x−y|≤2ε (

1

ωn|x−y|n−1

+ 2

ε(n₋2)ωn|x−y|n−2 )

dy.

Usando coordenadas polares, temos

|v(x)₋Diwε(x)| ≤ sup

|x−y|≤2ε|

f(x)_|

∫ 2ε

0

(

1 + 2r

ε(n₋2)

)

dr = sup

|x−y|≤2ε|

f(x)_| 2nε (n₋2).

Consequentemente,wε eDiwε convergem uniformemente nos subconjuntos compactos

deRn para _Nf e _v, respectivamente, quando _{ε →0}. Daí, concluímos que _{Nf ∈C(}Rn₎

eDiNf =v.

Lema 1.7 Considere f _∈Ck,γ_(Rn_{) e seja N}

f o potencial Newtoniano de f tal que

Nf(x) =Cn ∫

Rn

f(y)

|x₋y_|n−2dy≤

ξ

(1 +_|x_|)n−2.

Então, Nf ∈C2(Rn), −∆Nf =f em Rn. Além disso,

DijNf(x) = ∫

Ω0

DijΓ(x−y)(f(y)−f(x))dy−f(x) ∫

∂Ω0

DiΓ(x−y)νj(y)dSy, i, j = 1, . . . , n;

Demonstração: Considere a função

u(x) =

∫

Ω0

DijΓ(f(y)−f(x))dy−f(x) ∫

∂Ω0

DiΓνj(y)dSy. (1.46)

Afirmamos que uestá bem definida. De fato,

u(x)_≤

∫

Ω0

|DijΓ||f(y)−f(x)|dy+|f(x)| ∫

∂Ω0

|DiΓ|dSy.

Pela estimativa (1.16) temos que

u(x)_≤

∫

Ω0 1

αn|

x₋y_|−n_|f(x)₋f(y)_|dy+_|f(x)_|

∫

∂Ω0

|DiΓ|dSy.

Pela estimativa (1.15) obtemos

u(x)_≤

∫

Ω0 1

αn|

x₋y_|−n_|f(x)₋f(y)_|dy+_|f(x)_|

∫

∂Ω0

|x₋y_|1−n

ωn

dSy.

Comof é Hölder contínua temos que_|f(x)₋f(y)_{| ≤}[f]Cγ_(Ω0)|x−y|γ. Logo,

u(x)_≤

∫

Ω0

[f]Cγ_(Ω0)

αn|x−y|n−α

dy+_|f(x)_|

∫

∂Ω0

|x₋y_|1−n

ωn

dSy.

Utilizando coordenadas polares temos

u(x)_≤Cn+|f(x)|<∞,

de onde concluímos queu está bem definida.

Seja v = DiNf. Seja η ∈ C1(R) satisfazendo 0 ≤ η ≤ 1, 0 ≤ η′ ≤ 2, η(t) = 0 para

t_≤1, η(t) = 1 para t_≥2. Para cada ε >0 definimos

vε(x) = ∫

Ω0

DiΓηεf(y)dy, Γ = Γ(x−y), ηε =η (

|x₋y_| ε

)

.

Claramente vε ∈C1(Rn) e diferenciável,

Djvε(x) = ∫

Ω0

Dj(DiΓηε)(f(y)−f(x))dy+f(x) ∫

Ω0

Dj(DiΓηε)dy.

Pelo Teorema da Divergência temos que

Djvε(x) = ∫

Ω0

Dj(DiΓηε)(f(y)−f(x))dy−f(x) ∫

∂Ω0

DiΓνj(y)dSy

para ε pequeno. Portanto,

|u(x)₋Djvε(x)| = ∫ Ω0

DijΓ(f(y)−f(x))dy−f(x) ∫

∂Ω0

DiΓνj(y)dSy

−

∫

Ω0

Dj(DiΓηε)(f(y)−f(x)) +f(x) ∫

∂Ω0

1.6 Solução Fundamental e o Potencial Newtoniano

Comoηε = 1 se|x−y| ≥2ε temos

|u(x)₋Djvε(x)| ≤ ∫

|x−y|<2ε|

Dj{DiΓ(1−ηε)}||f(y)−f(x)| dy.

Sabendo quef é Hölder contínua, obtemos

|u(x)₋Djvε(x)| ≤ [f] ∫

|x−y|<2ε|

Dj{DiΓ(1−ηε)}||x−y|γdy

≤ [f]

∫

|x−y|<2ε

(_|DijΓ|+|DiΓ||Dj(1−ηε)|)|x−y|γdy

≤ [f]

∫

|x−y|<2ε (

|Dij|+

2

ε|DiΓ|

)

|x₋y_|γdy

Utilizando as estimativas (1.15) e (1.16) obtemos

|u(x)₋Djvε(x)| ≤ [f] ∫

|x−y|<2ε

|x₋y_|−n+α

αn

dy+ 2[f]

ε

∫

|x−y|<2ε

|x₋y_|1−n+α

ωn

dy.

Usando coordenadas polares

|u(x)₋Djvε(x)| ≤ [f]n2 ∫ 2ε

0

rα−1_dr+ 2n[f] ε

∫ 2ε

0

rα_dr

≤ [f](2ε)α(n

α + 4

)

.

Consequentemente Djvε → u quando ε → 0 uniformemente nos subconjuntos

com-pactos de Rn, e desde que _{vε → v = DiNf} uniformemente em _Ω0, nós obtemos que

Nf ∈C2(Ω0) e u=DijNf. Portanto, Nf ∈C2(Ω0)em Rn.

Agora fixemos x_∈Rn e tome_{R > 0}tal que _{Ω0 =BR(x)}. Temos

Nfii(x) =

∫

Ω0

DiiΓ(f(y)−f(x))−f(x) ∫

∂Ω0

DiΓνi(y)dSy.

Logo,

∆Nf(x) = ∫

Ω0

∆xΓ(f(y)−f(x))− n ∑

i=1 f(x)

∫

∂Ω0

DiΓνi(y)dSy

=

n ∑

i=1

−f_nα(x)

n ∫

∂BR(x)

(xi−yi)|x−y|−n

(yi−xi)

|x₋y_| dy= f(x)

nαn ∫

∂BR(x)

dr =f(x).

Desta forma, concluímos que∆Nf(x) =f(x)para toda bola de centroxemRn. Assim,

1.7

Teorema do Ponto Fixo para Contrações

Definição 8 Um espaço métrico é um par (M, d), onde M é um conjunto não-vazio

e d:M _×M _→R _{é uma função satisfazendo:}

1. d(x, y)_≥0;

2. Se x_̸=y então d(x, y)>0;

3. d(x, y) = d(y, x);

4. d(x, z)_≤d(x, y) +d(y, z), para todox, y, z _∈M.

Uma sequência (xn) num espaço métrico é uma sequência de Cauchy quando, para

todoε >0dado, existen0 _∈Ntal que_{m, n > n0 ⇒d(xm, xn)< ε}. Um espaço métrico

M é completo quando toda sequência de Cauchy em M é convergente em M.

Sejam M e N espaços métricos. Uma aplicação f : M _→ N é dita uma contração se existe uma constantec, com0_≤c <1, tal qued(f(x), f(y))_≤c d(x, y)para quaisquer

x, y _∈ M. Um ponto fixo de uma aplicação f : M _→ M é um ponto x _∈ M tal que

f(x) =x.

Teorema 1.8 (Ponto Fixo de Banach para Contrações) SeM é um espaço

mé-trico completo, toda contração f :M _→M possui um ponto fixo em M.

Demonstração: Veja Proposição 23em [19], pg. 198.

1.8

Método de Sub e Supersolução

Seja Ω _⊂ Rn aberto, limitado e suave. Considere uma função Hölder contínua _{f :}

Ω_×R_→R e de classe _C1 com respeito a segunda variável.

Consideremos o problema de Dirichlet não linear

      

−∆u = f(x, u) em Ω

u = 0 sobre ∂Ω.

(Q)

Uma solução clássica de (Q) é uma função u_∈ C2_{(Ω)∩C(Ω) que satisfaz (Q)}

1.8 Método de Sub e Supersolução

Definição 9 Uma função w_∈C2_{(Ω)∩C(Ω) é dita uma subsolução do problema (Q)}

se satisfaz: _

  

  

−∆w _≤ f(x, w) em Ω

w _≤ 0 sobre ∂Ω

(1.47)

pontualmente. Se invertermos os sinais dos termos em (1.47), temos a definição de supersolução W para o problema (Q).

O próximo resultado pode ser encontrado em [23], pg. 3.

Proposição 1.7 Seja w (resp., W) uma subsolução (resp., supersolução) para o pro-blema (Q) tal que w _≤ W em Ω. Então, existe uma solução u de (Q) satisfazendo

w_≤u_≤W em Ω.

Demonstração: Consideremos g(x, u) := f(x, u) +au, onde a é uma constante real. Escolheremosa_≥0 suficientemente grande de modo que a aplicação

Ψx :R → R

u _7→ Ψx(u) = g(x, u)

seja crescente em[w(x), W(x)], _∀x_∈Ω. Desta forma, devemos ter

0_≤ ∂Ψx

∂u =

∂g(x, u)

∂u = ∂f ∂u +a.

Logo, a_{≥ −}∂f

∂u(x, u). Assim, basta tomarmos

a _≥0e a_≥max_{−fu(x, u);x∈Ω, u∈[w(x), W(x)]}.

Notemos que max_{−fu(x, u);x∈Ω, u∈[w(x), W(x)]}existe pois f é de classe C1 em

relação a segunda variável eΩ_×[w(x), W(x)]é compacto.

Definimos a sequência de funçõesvn ∈C2(Ω)∩C(Ω)da seguinte forma: v0 =W e para todo n≥

1, vn é a única solução do problema linear 

     

−∆vn+avn = g(x, vn−1) em Ω vn = 0 sobre ∂Ω.

A sequência(vn)está bem definida, isto é, o problema (1.48) admite uma única solução.

Para isto, basta observar que o problema

   

  

−∆v+av = h(x) em Ω

v = 0 sobre ∂Ω,

(1.49)

onde h_∈Cγ_{(Ω), admite uma única solução. Mas, isto segue do Teorema 1.7.}

Mostraremos por indução que

w_≤. . ._≤vn+1 ≤vn ≤. . .≤v0 =W. (1.50)

Afirmamos que a propriedade (1.50) é válida para n = 1, ou seja, w _≤ v1 _≤ W. De fato, pela definição dev1 temos

   

  

−∆v1+av1 = g(x, W) em Ω v1 = 0 sobre ∂Ω.

(1.51)

ComoW é supersolução para o problema (1.48) temos

      

−∆W +aW _≥ g(x, W) em Ω

W _≥ 0 sobre ∂Ω.

(1.52)

Logo, por (1.51) e (1.52) temos

−∆(W ₋v1) +a(W ₋v1) _≥ 0 em Ω

W ₋v1 _≥ 0 sobre ∂Ω.

Pelo Teorema 1.3, temos que

v1 _≤W em Ω. (1.53) Vejamos quew_≤v1. Com efeito, pela definição de subsolução temos que

      

−∆w+aw _≤ g(x, w) em Ω

w _≤ 0 sobre ∂Ω.

(1.54)

Por (1.51) e (1.54) temos

1.8 Método de Sub e Supersolução

Comog é crescente e w_≤W em Ω temos queg(x, w)_≤g(x, W)em Ω. Logo,

−∆(w₋v1) +a(w−v1)≤0 em Ω.

Além disso, como v1 = 0e w_≤0 sobre ∂Ω então w₋v1 _≤0 sobre ∂Ω. Pelo Teorema 1.3, temos

w_≤v1 em Ω. (1.55)

Por (1.53) e (1.55), concluímos que

w_≤v1 _≤W em Ω.

Assumiremos que a propriedade (1.50) é válida para algum n_∈N, isto é,

w _≤vn≤vn−1 ≤. . .≤v0 =W em Ω,

e provaremos que (1.50) vale para n+ 1. Por definição, temos que

      

−∆vn+avn = g(x, vn−1) em Ω vn = 0 sobre ∂Ω

(1.56)

e _

     

−∆vn+1+avn+1 = g(x, vn) em Ω

vn+1 = 0 sobre ∂Ω.

(1.57)

Por (1.56) e (1.57) temos

−∆(vn−vn+1) +a(vn−vn+1) = g(x, vn−1)−g(x, vn) em Ω

vn−vn+1 = 0 sobre ∂Ω.

Comovn−1 ≥vn (hipótese de indução) e g é crescente temos

−∆(vn−vn+1) +a(vn−vn+1) ≥ 0 em Ω vn−vn+1 = 0 sobre ∂Ω.

Pelo Teorema 1.3, temos

vn≥vn+1 em Ω. (1.58)

Por (1.54) e (1.57), temos

−∆(vn+1−w) +a(vn+1−w) ≥ g(x, vn)−g(x, w) em Ω

Comow_≤vn (hipótese de indução) e pela monotonicidade de g, temos

−∆(vn+1−w) +a(vn+1−w) ≥ 0 em Ω vn+1−w ≥ 0 sobre ∂Ω.

Utilizando novamente o Teorema 1.3, obtemos

w_≤vn+1 em Ω. (1.59)

Logo, por (1.58) e (1.59) temos que a propriedade (1.50) é válida paran+1e, portanto, é válida para todon_∈N. Concluímos então que a sequência_(vn)é limitada e decrescente

em Ω. Portanto, existe u tal que para cada x_∈Ωfixado

vn(x)↘u(x) quandon → ∞. (1.60)

Vamos justificar que podemos passar o limite em (1.48) para concluir queu, definida em (1.60), é solução do problema (Q). Para isto, precisamos mostrar quevn →u∈C2(Ω).

Sejagn(x) :=g(x, vn(x)). Note que gn é limitada em L∞(Ω). De fato,

||gn||∞ = ||f(·, vn) +avn||∞ ≤ ||f(_·, vn)||∞+a||vn||∞

≤ ||f(_·, vn)||∞+a||W||∞.

Por (1.50) temos

k2 ≤ −|w|∞ ≤w≤vn ≤W ≤ |W|∞≤k1 em Ω.

Comof é contínua eΩ_×[k2, k1] é compacto existec2 tal que_||f(_·, vn)||∞< c2. Assim, ||gn||∞ < c3,

e, portanto, gn é limitada em Lp(Ω) para 1 < p < ∞. Desde que g ∈ Lp(Ω) com

1 < p < _∞ e vn é solução de (1.48), temos pelo Teorema 1.5 que a sequência vn é

limitada em W2,p_{(Ω) para 1 < p < ∞. Pelo Teorema 1.4, temos que (v}

n) é limitada

em C1,γ_(Ω).

O Teorema 1.6 implica que (vn) é limitada em C2,γ(Ω). Lembrando que C2,γ(Ω) está

imerso compactamente em C2_{(Ω) temos que existe uma subsequência (v}

nk) de (vn) e

η _∈ C2_{(Ω) tal que v}

nk → η em C

2_{(Ω). Assim, v}

nk(x) → η(x) em Ω. Lembrando que

(vn) é monótona temos

1.8 Método de Sub e Supersolução

e, portanto,

vn(x)→η(x) em Ω.

Por (1.60), concluímos queη(x) =u(x), _∀x _∈Ω. Logo, vn →u∈C2(Ω). Tomando o

limite em (1.48) obtemos

   

  

−∆u+au = g(x, u) em Ω

u = 0 sobre ∂Ω,

donde concluímos que u é solução do problema (Q). Assim, existe uma solução u de (Q) tal que w_≤u_≤W e isto conclui a demonstração.

Teorema 1.9 (Estimativa Interior) SejamΩum domínio emRn_,u∈C2_{(Ω) e f ∈}

C_locγ (Ω) tal que ∆u = f em Ω. Então u _∈ C_loc2,γ(Ω), e para Ω0,Ω1 ⊂ Ω, com Ω0 ⊂

Ω1, Ω1 ⊂Ω e Ω1 compacto, temos

||u_||2,γ,Ω0 ≤K(||u||∞,Ω1 +||f||0,γ,Ω1),

onde K =K(Ω0,Ω1).

Demonstração: Ver Teorema4.6 em [13], pg. 60 e Teorema 1.7em [10], pg. 11.

Proposição 1.8 Sejam f _∈Ck,α_(Rn_{) e p >1. Se w e W são subsolução e}

supersolu-ção respectivamente de

∆u+up_{+f(x) = 0; R}n _(1.61)

tais que

0_≤w_≤W em Rn_, então, existe u_∈C2_(Rn_{) solução de (1.61) tal que}

w_≤u_≤W em Rn_.

Demonstração: Seja BR a bola centrada na origem de raio R > 0. Considere o

problema de valor de fronteira

      

∆u+up_{+f(x) = 0 em B} R

u_≥0, u_̸= 0 em BR

u= 0 sobre ∂BR.

(P′