Sobre a boa colocação da equação de Schrödinger não linear não local.

Centro de Ciências da Natureza Pós-Graduação em Matemática

Mestrado em Matemática

Sobre a boa colocação da equação de Schrödinger não linear não local.

Mykael de Araújo Cardoso

Teresina - 2013

Dissertação de Mestrado:

Sobre a boa colocação da equação de Schrödinger não linear não local.

Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Matemática, da Universidade Federal do Piauí, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática.

Orientador:

Prof. Dr. Roger Peres de Moura

Teresina - 2013

Sobre a boa colocação da equação de Schrödinger não linear não local.

Mykael de Araújo Cardoso – Teresina: 2013.

Orientador: Prof. Dr. Roger Peres de Moura.

1. Área de Concentração

CDD 516.36

Aos meus irmãos Izael e Nathanel.

A minha amada esposa, Fátima.

Aos meus avós paternos José e Sebatiana e

avós maternos Francisco (In memoriam) e Paulina.

Agradecimentos

Agradeço à Deus, pela sabedoria, pelo dom da vida, pelas bençãos derramadas e por sempre me acompanhar durante todos os momentos em que passei e vou passar.

Agradeço à meus pais, Domingos Alves Cardoso e Maria da Salete de Araújo Cardoso, pelo incentivo na construção de mais um objetivo, pelo apoio nos momentos de dificuldades e por compartilharem os momentos de alegria. À minha esposa, Maria de Fátima Costa Cardoso, por sempre estar ao meu lado e me proporcionar tantos momentos de alegria e pelo amor. Aos meus irmãos Izael Cardoso e Nathanael Cardoso, avós José Cardoso e Sebastiana de Jesus, Francisco Galeno(In memoriam) e Paulina de Araújo e a todos os meus familiares por me dirigirem orações e força mesmo com a distância.

Agradeço aos Frades Capuchinhos do Convento São Benedito em Teresina, pelo acolhi- mento e amizade, imprescindíveis. Especialmente a Frei Manoel Pereira.

Agradeço à todos os professores da UFPI-CMRV do curso de matemática, pelo conheci- mento transmitido, dentre eles Roberto Ramos das Neves, Alexandro Marinho, Marcelo Melo, Marcelo Rego, Ricardo Mendes, Francisco Carpegiani, Carlos Augusto, Carlos Re- nato. Em especial gostaria de agradecer ao Professor e amigo Alexandro Marinho, orien- tador de iniciação científica, pelo empenho e dedicação na formação de alunos à pesquisa, no qual me motivou e deu o alicerce necessário para o prosseguimento na vida acadêmica.

Agradeço à todos os Professores do Programa de Pós-graduação em Matemática pela amizade e pelo empenho na arte de ensinar. Em especial aos Professores Carlos Humberto, Barnabé Pessoa, Jurandir Lopes, Marcondes Clark, Marcos Vinício. Ao professor Roger Peres de Moura pela paciência e dedicação dada à minha formação, pelos conhecimentos transmitidos e pela amizade.

Agradeço ao professor Alexandro Oliveira Marinho (UFPI) e a professora Vanessa Oliveira

ii

sugestões.

Agradeço aos amigos pelo companheirismo e parcerias de estudo esses que me acompan- ham desde a graduação: Bernardo, Diego Prudêncio e Israel e aos que adquiri no decorrer da jornada entre eles: Ailton, Gilson, Felipe, Jefferson, Leonardo, Renata, Samara, Valdir, Vitaliano, Valdinês, Yuri.

Agradeço a CAPES pelo apoio financeiro.

obra do acaso."

Augusto Cury.

Resumo

Neste trabalho mostramos que o problema de Cauchy para a equação de Schrödinger não linear não local com dado inicial suficientemente pequeno nos espaços de Sobolev de ordem maior que 1/2, é bem posto localmente. Aqui, a noção de boa colocação (boa postura) inclui a existência e persistência, a unicidade e a dependência contínua da solução com relação ao dado inicial. As principais ferramentas para a obtenção desse resultado foram o teorema do ponto fixo para contrações e algumas propriedades de efeito regularizante do fluxo da equação de Schrödinger linear. Usando o teorema da função implícita, provamos adicionalmente que, se o problema é bem posto no sentido acima, então a aplicação dado inicial-fluxo é não só Lipschitz-contínua, é de fato suave. Usamos as leis de conservação de massa e energia do sistema para provar que a solução local para o problema com dado inicial no espaço de Sobolev de ordem 1 se estende globalmente em relação ao tempo.

Por fim, mostramos que, se o dado inicial for tomado em espaços de Sobolev de ordem negativa, então o problema não é bem posto, no sentido de que a aplicação dado-fluxo não é suave; consequentemente, nesses casos, não é possível usar o teorema de ponto fixo para contrações para investigar a boa colocação do problema.

v

Abstract

In this work we show that the Cauchy problem for the nonlocal nonlinear Schrödinger equation with sufficiently small initial data in Sobolev spaces of order greater than 1/2, is locally well posed. Here, the notion of well-posedness includes the existence and per- sistence, uniqueness and continuous dependence of the solution with respect to the initial data. The main tools for reaching this result were the fixed point theorem for contractions and some properties of smoothing effect from the flow of the linear Schrödinger equation.

Using the implicit function theorem, we prove further that if the problem is well-posed in the above sense, then the data-flow map is not only Lipschitz-continuous, it is in fact smooth. We use the conservation laws of mass and energy of the system to prove that the local solution to the problem with initial data in Sobolev space of order 1 extends globally with respect to the time. Finally, we show that if the initial data is taken in Sobolev spaces of negative index, then the problem is not well-posed, in the sense that the data-flow map is not smooth, hence in these cases, you can not use the fixed point theorem for contractions to investigate the well-posedness problem.

vi

Sumário

Resumo v

Abstract vi

1 Resultados Preliminares 4

1.1 Principais Notações . . . 4

1.2 Os Espaços de Banach L^p(Rⁿ) . . . 5

1.3 A transformada de Fourier . . . 7

1.3.1 A transformada de Fourier no espaço L¹(Rⁿ) . . . 7

1.3.2 A transformada de Fourier no espaço das funções de decrescimento rápido. . . 8

1.3.3 A transformada de Fourier no espaço das distribuições temperadas. 10 1.3.4 A transformada de Fourier em L^p(Rⁿ), 1< p62 . . . 13

1.3.5 A transformada de Hilbert . . . 13

1.4 Os Espaços de Sobolev de tipo L²(Rⁿ). . . 16

2 A equação de Schrödinger linear e lemas auxiliares. 20 3 Boa colocação local 24 4 Boa Colocação global 41 5 Má colocação. 44 5.1 Demonstração do Teorema 5.1 . . . 45

5.2 Demonstração do Proposição 5.1 . . . 46

Referências Bibliográficas 53

vii

Introdução

Desde a década de 1960, o problema da auto-modulação das ondas não-lineares de pequena amplitude tem sido intensamente estudado. A equação de Schrödinger cúbica não-linear (NLS cúbica)

∂_tu= −i∂²_xu+iγ|u|²u, (1) ondeu=u(x,t)é uma função complexa ex,t,γ∈R, tem sido utilizada como um modelo universal para a descrição da evolução no tempo de pacotes de ondas. Um caso importante, quando temos pacotes de ondas entre dois fluidos de densidades e profundidades diferentes, conhecido como limite raso-fundo (Shallow-deep) (isto é, a camada superior é de pouca profundidade e a inferior é profunda, se comparado com o comprimento), não pode ser descrito adequadamente pela equação NLS cúbica (1). Assim, surge o problema de obter um tipo de equação NLS mais universal que modele pacotes de ondas quasi-harmônicas.

D. Pelinovsky [19] deu o primeiro passo para o resolver, propondo a seguinte equação:

i∂tu=∂²_xu+iu(1−iTh)∂x(|u|²) −γ|u|²u, x,t∈R, (2) ondeu=u(x,t) é uma função complexa, que representa o envólucro do pacote de ondas, Th é um operador integral singular (que é uma generalização da transformada de Hilbert) definido por

Thu(x) = 1 2hv.p.

Z_+∞

−∞

coth

π(y−x) 2h

u(y)dy, (3)

comp.v. a denotar o valor principal da integral eh denota um parâmetro proporcional à profundidade do fluido.

A Equação (2) governa a evolução de ondas de primeira ordem no limite raso-fundo.

Esta, por sua vez, é não-local e é denominada equação intermediária NLS não-local (INL- SNL). Intermediária porque quando a profundidade é pequena, i.e h→ 0, a equação (2) reduz-se à seguinte equação NLS defocusing

i∂etu=∂²

xeu−u(e |eu|² −ρ²), ue=u(e ex,et), (4) 1

após redefinirx,teupelas relaçõesx=√

hex, t =heteu(x,t) =eu(ex,et), respectivamente.

Aqui, foi usada a expansão Th∂xf = −h⁻¹f+O(h) junto com a condição de fronteira lim_|x|→∞|u|=ρ; enquanto em grandes profundidades(h→∞)a equação (2) transforma- se na equação NLS não-local

∂_tu= −i∂²_xu+u(1+iH)∂_x(|u|²) +iγ(|u|²u), (5) (consulte [11]) onde H á transformada de Hilbert, i.e.,

Hu(x,t) = 1 πv.p.

Z+∞

−∞

u(y,t)

y−x dy. (6)

Também em [19] foi mostrado que a equação INLSNL é integrável. Seu espalhamento inverso foi construído em [20]. Notamos que os efeitos de segunda ordem na expansão de ondas longas não são descritas pela equação INLSNL, embora possam influenciar o comportamento de ondas internas quase-harmônicas. Levando em conta esses efeitos de segunda ordem, D. Pelinovsky e R.H.J Grimshaw (ver [21]) propuseram uma equação de evolução universal do tipo de NLS no limite superficial de profundidade de um fluido contínuo estratificado. A equação estabelecida por eles é

i∂_tu=α∂²_xu+βu(i+Th)∂_x(|u|²) −γ|u|²u, x,t ∈R, (7) em que os coeficientes positivos α,β e γ são expressos pelos parâmetros do fluido estra- tificado (veja o Apêndice A de [21]).

Nosso objetivo neste trabalho é estudar a boa colocação local para os problemas de valor inicial (PVI) associados à equação (5), i.e.,





∂_tu+i∂²_xu=u(1+iH)∂_x(|u|²) +iγ(|u|²u), x,t∈R u(x, 0) =u₀(x).

(8) Mais precisamente mostraremos o seguinte resultado:

Teorema 1 Seja s > ¹₂. Então existe um δ > 0, tal que para todo u₀ ∈ H^s(R), com ku₀k_Hs < δ, existe um T = T(ku₀k_Hs) > 0 com T(ku₀k_Hs) → ∞ quando ku₀k_Hs → 0, existe um espaço X^s_T tal que X^s_T ,→ C([−T,T];H^s(R)) e uma única solução u para o problema de Cauchy (8) em X^s_T. Além disso, existe uma vizinhança Ve de u₀ ∈ H^s(R), s > ¹₂, tal que a aplicação dado-solução de Ve em X^s_T é suave.

Mostraremos por meio da Lei de conservação E(u(t)) =

Z_+∞

−∞

|∂_xu|²+ 1

2|u|²H∂_x(|u|²) +γ|u|⁴

dx (9)

que a solução do PVI (8) com o dado inicial emu₀ ∈H¹(R)pode ser estendida globalmente no tempo. Por fim provamos a má colocação para o mesmo problema de valor inicial com dado inicial emH^s(R),s <0 no sentido de que a aplicação dado-fluxo não éC³ na origem.

Observação 0.1 Seu é solução do PVI associado a equação (5), com γ =0, com dado inicialu₀, então

u_λ(x,t) =λ¹²u(λx,λ¹²t), ∀ λ∈R−{0}, (10) com dado

uλ(0) =uλ(x, 0) =λ¹²u₀(λx) é também uma solução. Então, temos

kD^s_xu_λ(0)k_L² =λ^skD^s_xu₀k_L². (11) Portanto o termo de maior derivada na norma H^s-norma é invariante sob a trans- formação escala (10) para s = 0. Note que um argumento de escala semelhante não funciona se γ > 0, mas uma vez que o termo γ|u|²u não oferece obstáculo, imaginamos que podemos pensar o mesmo sobre a equação (5) para γ>0.

O trabalho está disposto da seguinte forma: No primeiro capítulo, exibimos alguns resultados a serem usados nos capítulos seguintes e a fim de situar o leitor aos fatos que serão usados nos Capítulos seguintes, e tornar o texto o mais claro possível. No segundo Capítulo enunciamos os lemas e principais resultados que usaremos no decorrer do texto. Aí, iremos definir o espaço solução X^s_T para o PVI associado à equação (5) e reescrever o problema para permitir nossa abordagem. No terceiro Capítulo provamos a boa-colocação (boa postura) local para o PVI (8), ou seja mostramos a existência e unicidade da solução, a persistência e dependência contínua da solução em relação ao dado inicial, sendo que nossas principais ferramentas para a existência e unicidade da solução é o Teorema do ponto fixo, as propriedades da equação de Schrödinger linear e as regras de Leibniz para derivadas fracionárias em espaços de Banach, enunciadas no capítulo 2. No quarto capítulo mostramos que a solução do PVI (8), obtida no capítulo 3 pode ser estendida globalmente no seguinte sentido: dado T > 0 existe única solução no intervalo [0,T]. No capítulo cinco provamos que o problema é mal posto quando o dado inicial u₀ pertence a H^s com s < 0. Mal posto no seguinte sentido: A aplicação dado-fluxo não é C³-diferenciável na origem, quando o dado inicial está em H^s(R), com s <0.

Capítulo 1

Resultados Preliminares

Neste Capítulo apresentaremos definições e resultados a serem usados nos capítulos seguintes, como os Espaços L^p de Lebesgue, a Transformada de Fourier e os Espaços de Sobolev.

Esta parte possui a finalidade de exibir as ferramentas básicas para o desenvolvimento do trabalho, bem como auxiliar sua leitura.

1.1 Principais Notações

Dada uma função complexa f, sua parte real será denotada por Re f e a imaginária porIm f.

Denotamos a transformada de Fourier de uma funçãoucom relação à variável espacial x por F{u} ou simplesmente por u. Dado 1b 6 p6 ∞, denotaremos a norma do espaço de Lebesgue L^p(R) por k · k_L^p. Para 16p,q < ∞ definimos o espaço de Banach

L^p_xL^q_T ={f:R×[0,T]→C mensurável :kfk_L^p_xL^q

T <∞}, (1.1) onde

kfk_L^p_xL^q

T =

Z+∞

−∞

ZT 0

|f(x,t)|^qdt

p q

dx

!p¹

.

Quando a notação forL^p_xL^q_t (observe que agora t é minúsculo) significa que a integral em relação a t é de −∞ a +∞. kfk_L^q

TL^px é definido de maneira similar, e quando p =∞ ou q=∞, kfk_L^p_xL^q

T é definido da forma natural, ou seja, é a norma do supremo essencial.

DadosX,Y espaços de Banach, C^k(X,Y) denotará o espaço das aplicações de X em Y com kderivadas contínuas.

4

Dizemos que um espaço métricoXestá continuamente imerso em um espaço métricoY e denotaremos porX,→Y, se existir uma aplicação injetiva deXemY eky(x)k_Y 6ckxk_X para todox∈X, y∈Y.

Denotaremos S(R) o espaço de Schwartz emR e

C^∞_c (R) :={f∈C^∞(R) :ftem suporte compacto}.

J^s representará o potencial de Bessel, J^s = (1−∂²_x)^s/2. D^s_x representará o potencial de Riesz, D^s_x = (−∂²_x)^s/2. Ou seja, J^sf=

(1+|ξ|²)^s/2fb _∨

eD^sf=

|ξ|^sfb _∨

.

Denotaremos por H^s(R) o espaço de Sobolev usual (de tipo L²(R)) de ordem s, com norma

kfk_H^s := kJ^sfk_L².

Dados X,Y dois espaços vetoriais diremos que X é isomorfo a Y (notação X =∼ Y) se existir uma aplicação bijetiva contínua deX em Y.

O comutador de um operador K será denotado por

[K,u]v:=K(uv) −uK(v). (1.2) Sejam C,D constantes positivas. Por C . D (resp. C & D) significamos que existe uma constantec >0 tal queC6cD(resp. C>cD). DenotamosC.D.CporC∼D.

Dada uma região Ω⊂Rⁿ, sua medida (volume) será denotada por |Ω|.

Sejam x,y ∈ R. Por x y e x y significamos que x é muito maior que y e x é muito menor quey, respectivamente.

1.2 Os Espaços de Banach L

( R

)

Para cadap, 16p <∞, sejaL^p(Rⁿ) a classe das funções mensuráveis, f:Rⁿ →C, tais que a integral (de Lebesgue)

Z

Rⁿ

|f(x)|^pdx seja finita. Também, seja L^∞(Rⁿ) a coleção das funções limitadas em quase todos os pontos, isto é, em todos os pontos, exceto, possivelmente em um conjunto com medida de Lebesgue nula. Munidos das normas

kfk_L^p = Z

Rⁿ

|f(x)|^pdx _p¹

, 16p <∞ e

kfk_∞=esssup{|f(x)|; x∈Rⁿ}

cada L^p(Rⁿ), 16p6∞ é um espaço de Banach.

Algumas propriedades elementares de L^p(Rⁿ) :

1. kf+gk_L^p 6kfk_L^p+kgk_L^p (desigualdade de Minkowski);

2. kf·gk_L¹ 6 kfk_L^p · kgk_L^q, onde 1 = _p¹ + _q¹, se 1 6 p < ∞ e q = 1 se p = ∞ (desigualdade de Hölder).

Em particular, sep=q=2, então

kf·gk1 6kfk2· kgk2. (1.3) (1.3) é conhecida comodesigualdade de Cauchy-Schwartz.

Em vista de (1.3), definimos o produto interno hf,gi=

Z

Rⁿ

f(x)g(x)dx, f,g∈L²(Rⁿ). (1.4) Munido deste produto interno, o espaço de BanachL²(Rⁿ)torna-se um espaço de Hilbert.

É claro quehf,fi=kfk²₂, f∈L²(Rⁿ).

Enunciaremos abaixo dois resultados básicos e essenciais dos espaçosL^p(Rⁿ). Quando não especificado osp’s que aparecem são tais que 16p <∞.

Proposição 1.1 (Desigualdade de Hölder generalizada) Sejam 1 6 p,q,r 6 ∞ tais que ¹_r = _p¹ +_q¹. Se f∈L^p g∈L^q, então f·g∈L^r(Rⁿ) e

kf·gk_r6kfk^r_pkgk^r_q.

Demonstração: É uma consequência imediata da desigualdade de Hölder. Considere a desigualdade de Hölder com |f|^r e |g|^r.

Proposição 1.2 (Des. de Minkowski para Integrais) Sejaf:R^m×Rⁿ →R(ou C) mensurável tal que, f(·,y) ∈ L^p(R^m) para q.t.p. y ∈ Rⁿ, e que a função y 7−→

kf(·,y)k_L^p_(R^m₎pertença a L¹(Rⁿ). Então a função x7−→

Z

Rⁿ

f(x,y)dypertence aL^p(R^m) e

Z

Rⁿ

f(x,y)dy _Lp(

R^m)

6 Z

Rⁿ

kf(·,y)k_Lp(R^m)dy.

Demonstração:Veja a referência [5].

Teorema 1.1 (Riesz-Thorin) Sejam(X;Σ_X;µ)e(Y;Σ_Y;ν)espaços de medida ep₀, p₁, q₀, q₁ ∈ [1,∞](com ν σ-finita se q₀ = q₁ = ∞). E para 0 < t < 1, sejam p_t e q_t tais que

1 pt

= 1−t p0

+ t p1

, 1 qt

= 1−t q0

+ t qt

.

Se T :L^p0(µ) +L^p1(µ)−→L^q0(ν) +L^q1(ν) é um operador linear tal que, kT fk_q

0 6M₀kfk_p0, para f∈L^p0(µ) e kT fk_q

1 6M₁kfk_p1, para f∈L^p1(µ), então

kT fk_q

t 6M^1−t₀ M^t₁kfk_pt,∀f∈L^pt(µ) e 0< t <1;

ou seja, designando por M_t a norma de T :L^pt −→L^qt temos: M_t 6M^1−t₀ M^t₁.

1.3 A transformada de Fourier

Definiremos e enunciaremos agora as propriedades da Transformada de Fourier emL^p(Rⁿ), 16p62 e no espaço de Schwartz e das distribuições temperadas.

1.3.1 A transformada de Fourier no espaço L

( R

)

Proposição 1.3 A aplicação f:L¹(Rⁿ)→L^∞(Rⁿ) definida por F(f)(ξ) =f(ξ) =b

Z

Rⁿ

e^{−2πi(x·ξ)}f(x)dx, (1.5) onde x·ξ = P_n

i=1xiξi é o produto escalar em Rⁿ, é um operador linear e contínuo e kFk=1.

Demonstração:Veja as referências [5] ou [6].

Além da notação F(f)(ξ) também é comum o uso do símbolo f(ξ)b para designar a transformada de Fourier de uma funçãof∈L¹(Rⁿ).

Observação 1.1 Algumas vezes para simplificação de cáculos vamos usar a definição f(ξ) =b

1 2π

ⁿ₂ Z

Rⁿ

e^−ix·ξf(x)dx.

Definição 1.1 O operador linear contínuo F : L¹(Rⁿ) → L^∞(Rⁿ) definido pela fórmula (1.5) é chamado de Transformada de Fourier.

Enunciamos a seguir as propriedades básicas da transformada de Fourier em L¹(Rⁿ).

Teorema 1.2 A transformada de Fourier satisfaz as seguintes propriedades:

1. Dada f∈L¹(Rⁿ), fb:Rⁿ→C é uma função contínua.

2. lim_|ξ|→∞bf(ξ) =0 (Lema de Riemann-Lebesgue), com f∈L¹(Rⁿ) 3. (τ_hf)b(ξ) =e^−2πih·ξf(ξ), ondeb τ_hf(x) =f(x−h).

4. F(e^2iπx·hf)(ξ) =τ_hf(ξ).b

5. Dada a >0, F(f(ax))(ξ) =a⁻ⁿf(ab ⁻¹ξ).

6. Dadas f,g ∈L¹(Rⁿ), (f∗g)b(ξ) =f(ξ)b bg(ξ).

Demonstração:Veja, por exemplo, as referências [10] ou [5].

1.3.2 A transformada de Fourier no espaço das funções de de- crescimento rápido.

Apresentaremos a seguir um espaço de funções no qual a transformada de Fourier tem inversa, e devido a sua regularidade e densidade emL^p, 16p < ∞, podemos usá-lo para o estudo mais amplo da transformada de Fourier, por exemplo defini-la emL² facilmente.

Definição 1.2 Chamamos de espaço das funções C^∞(Rⁿ) de decrescimento rápido, tam- bém conhecido como espaço de Schwartz, ao espaço

S(Rⁿ) ={ϕ∈C^∞(Rⁿ);kϕk_α,β = sup

x∈Rⁿ

|x^α∂^βϕ|<∞, ∀ multi−índice α,β∈N}. Denotaremos S(Rⁿ) simplesmente por S.

Definição 1.3 Dizemos que uma sequência (ϕ_j)j∈N de funções de S converge para uma funçãoϕ∈S, quando lim

j→∞kϕ_j−ϕk_α,β=0, para quaisquer multi-índices α,β.

Proposição 1.4 Scom a topologia gerada pelas semi-normaskϕk_α,β=sup_x∈Rⁿ|x^α∂^βϕ|, x∈Rⁿ e α,β multi-índices, é completo.

Demonstração:Veja [6].

Teorema 1.3 O espaço de Schwartz possui as seguintes propriedades básicas:

1. Dada ϕ∈S, P(x)ϕ∈Se P(∂)ϕ∈S, para qualquer polinômio P(x). Em particular, dados quaisquer polinômiosP(x),Q(x)e qualquerϕ∈S, temos queP(x)Q(∂)ϕ∈S. 2. S,→L^p e é denso em L^p, ∀ 16p <∞, com a norma de L^p.

3. Dadas ϕ,ψ∈S, ϕ∗ψ∈S, ou seja, o produto de convolução, ϕ∗ψ(y) =

Z

Rⁿ

ϕ(x)ψ(y−x)dx, é uma operação em S,

Demonstração:Veja o Capítulo 8 de [6].

Corolário 1.1 Todas as propriedades dadas pelo Teorema 1.2 para a transformada de Fourier em L¹ são válidas para o espaço de Schwartz S(Rⁿ).

Demonstração:Temos pelo item 2 do Teorema 1.3 que S,→L¹. Daí segue o resultado.

Teorema 1.4 Seja ϕ∈S(Rⁿ). Então:

1. (∂^α_xϕ)b(ξ) = (2πiξ)^αϕ(ξ).b 2. ((−2πix)^αϕ(x))b(ξ) =∂^α_ξϕ(ξ).b

3. ϕb ∈S(Rⁿ), isto é, F:S(Rⁿ)→S(Rⁿ).

Demonstração:Veja [6], capítulo 8.

Teorema 1.5 (Fourier) Dado ϕ∈S(Rⁿ) vale:

ϕ(x) = Z

Rⁿ

ϕ(ξ)eb ^2πi(x·ξ)dξ. (1.6) Demonstração:Consulte o capítulo 8 de [6].

O Teorema de Fourier nos dá uma fórmula de inversão da transformada, que permite definir a transformada inversa de Fourier de uma funçãoϕ∈S(Rⁿ) por:

F⁻¹(ϕ(x)) =ϕ(x) =ˇ Z

Rⁿ

ϕ(ξ)e^2πi(x·ξ)dξ.

Teorema 1.6 A transformada de FourierF:S(Rⁿ)→S(Rⁿ)é um isomorfismo contínuo e sua inversa F⁻¹ :S(Rⁿ)→S(Rⁿ) também é um isomorfismo contínuo.

Demonstração:Veja o Teorema 8.2.3, página 96 de [6].

Teorema 1.7 (Plancherel) Se ϕ∈S(Rⁿ), então kϕk_L2 =kϕkb _L2. Demonstração:Veja, por exemplo, as referências [4] e [6].

Corolário 1.2 (Identidade de Parseval) Sejam ϕ,ψ∈S(Rⁿ), então Z

Rⁿ

ψϕdx= Z

Rⁿ

ψbϕdx.b

1.3.3 A transformada de Fourier no espaço das distribuições tem- peradas.

Definição 1.4 Uma distribuição temperada é um funcional linear contínuo F:S(Rⁿ)→ C. O dual de S(Rⁿ) será designado pela notação S⁰(Rⁿ). Portanto, F ∈ S⁰(Rⁿ) se, e somente se,

(i) F:S(Rⁿ)→C é linear;

(ii) se (ϕj)j∈N é uma sequência de S(Rⁿ) tal que ϕj → 0 em S(Rⁿ), então F(ϕj)→ 0 em C.

Definição 1.5 Dizemos que uma função f:Rⁿ →Cé de crescimento polinomial quando existem C,M>0 tal que |f(x)|6C(1+|x|)^M, ∀x ∈Rⁿ.

Proposição 1.5 Toda função localmente integrável de crescimento polinomial no infinito define uma distribuição temperada.

Demonstração:Veja as referências [6] e [10].

Observação 1.2 (i) Em particular, toda função limitada e toda funçãof∈L^p(Rⁿ), 16 p6∞, define uma distribuição temperada por meio da definição da

F_f(g) = Z

Rⁿ

f(x)g(x)dx, ∀g∈S(Rⁿ).

(ii) Se f ∈ L¹(Rⁿ), então bf ∈ L^∞ e é contínua, portanto fb ∈ S⁰(Rⁿ), isto é, define uma distribuição temperada, pois se f,g ∈ L¹, então

Z

Rⁿ

fgdξb = Z

Rⁿ

fbgdξ. Além disso, segue do Teorema 1.4-(3) que ϕb ∈ S(Rⁿ),∀ ϕ ∈ S(Rⁿ). Logo,

Z

Rⁿ

fϕdξb = Z

Rⁿ

fϕdξ,b

∀ϕ∈S(Rⁿ).

Definição 1.6 Dada F∈S⁰(Rⁿ), definimos sua transformada de Fourier por

hbF,ϕi=bF(ϕ) =hF,ϕib =F(ϕ),b ∀ϕ∈S(Rⁿ). (1.7) Observe que se f ∈ L¹(Rⁿ), então fbcoincide com sua transformada de Fourier em S⁰(Rⁿ). Portanto, a definição 1.6 é consistente com a teoria de transformada de Fourier para funções deL¹ e S.

Assim como emS, vale o seguinte resultado para a transformada de Fourier emS⁰(Rⁿ).

Teorema 1.8 F:S⁰(Rⁿ)→S⁰(Rⁿ)é um isomorfismo e tantoFcomoF⁻¹ são contínuas.

Demonstração:Consulte [4] e [6].

Teorema 1.9 F:S⁰(Rⁿ)→S⁰(Rⁿ) satisfaz as seguintes prorpriedades:

1. (∂^α_xϕ)b(ξ) = (2πiξ)^αϕ(ξ).b 2. ((−2πix)^αϕ(x))b(ξ) =∂^α_ξϕ(ξ).b 3. (τ_hF)b(ξ) =e^−2πihξbF.

4. (e^2πixhF)b(ξ) =τhbF(ξ).

Demonstração:Para a demonstração, consulte as referências [5] e [10].

Alternativamente, usando a fórmula da inversão (1.6) chega-se ao mesmo resultado.

Definição 1.7 Definimos em S(R) a função valor principal de 1

x, denotada por v.p._x¹, pela expressão

v.p.1

x(ϕ) = lim

→0

Z

<|x|<¹

ϕ(x) x dx, para qualquerϕ∈S(R).

Exemplo 1.1 Calculemos v.p.[¹_x. Dada ϕ ∈ S(R), usando o Teorema de Fubini e o teorema da Convergência Dominada, segue que

v.p.\1

x(ϕ) =v.p.1

x(ϕ) =b lim

→0

Z

<|x|<¹

ϕ(x)b x dx

= lim

→0

Z

<|x|<¹

1 x

Z

R

ϕ(y)e^−2iπx·ydy

! dx

= lim

→0

Z

R

ϕ(y) Z

<|x|<¹

e^−2iπx·y x dx

! dy

= Z

R

ϕ(y) lim

→0

Z

<|x|<¹

e^−2iπx·y x dx

!

dy. (1.8)

Além disso, como Z

R

senx

x dx=π, temos que

→0lim Z

<|x|<¹

e^−2iπxy

x dx= lim

→0

Z

<|x|<¹

cos(2πxy)

x −isen(2πxy) x

! dx

=0−isgn(y) Z

R

senx x dx

= −iπsgn(y). (1.9)

Segue portanto de (1.8) e (1.9) que v.p.[1

x(ξ) = −iπsgn(ξ).

Definição 1.8 Dadas F∈S⁰(Rⁿ) e ψ∈S(Rⁿ), definimos a convolução de F e ψ por:

F∗ψ(x) =hF,τ−xψ(−·)i=hF,ψ(x−·)i.

Proposição 1.6 Se F ∈ S⁰(Rⁿ) e ψ∈ S(Rⁿ), então F∗ψ é uma função C^∞ de cresci- mento polinomial, e portanto , define uma distribuição temperada pela fórmula:

hF∗ψ,φi= Z

Rⁿ

(F∗ψ)(x)φ(x)dx, ∀φ∈S(Rⁿ). (1.10) Demonstração:Ver a referência [5].

Vale a seguinte caracterização de F∗ψ∈S⁰(Rⁿ):

Proposição 1.7 Se F∈S⁰(Rⁿ) e ψ∈S(Rⁿ), então Z

Rⁿ

(F∗ψ)(x)φ(x)dx=hF,φ∗ψi,e ondeψ(x) =e ψ(−x) é a reflexão de ψ.

Demonstração:Consulte a referência [5].

Com essas ferramentas podemos provar o resultado seguinte:

Teorema 1.10 Se F∈S⁰(Rⁿ), então

F[∗ψ=bFψ,b ∀ψ∈S(Rⁿ), ondebFψb ∈S⁰(Rⁿ) é definido como

hbFψ,b φi=bFψ(φ) =b bF(ψφ) =b hbF,ψφi,b ∀φ∈S(Rⁿ).

Demonstração:Pelas propriedades anteriores e usando o fato de que ψe = b

ψ, segue queb hF[∗ψ,φi=hF∗ψ,φib =hF,φb ∗ b

ψib =hF,φ[·ψib =hbF,φψib =hbFψ,b φi, donde segue o resultado.

1.3.4 A transformada de Fourier em L

( R

), 1 < p 6 2

Já definida a transformada de Fourier de funções emL¹(Rⁿ), iremos estender o conceito para funções pertencentes aL²(Rⁿ) e então usaremos o Teorema de interpolação de Riez- Thorin para também definirmos a transformada de Fourier emL^p(Rⁿ), 1< p <2.

Teorema 1.11 (Plancherel) Se f∈L²(Rⁿ), então fb∈L²(Rⁿ) e kfk_L2(Rⁿ) =kbfk_L²_(Rⁿ₎.

Em outras palavras, F é um operador unitário (uma isometria) em L²(Rⁿ). Além disso, bf= lim

M→∞

Z

|x|<M

f(x)e^−2iπx·ξdx e

f= lim

M→∞

Z

|x|<M

bf(ξ)e^−2iπx·ξdξ, onde os limites são tomados em L²(Rⁿ).

Demonstração:Ver a referência [4].

Com a Proposição 1.5 e o Teorema 1.11 provamos que a transformada de Fourier é um operador linear do tipo forte (1,∞) e (2, 2), respectivamente. Então o teorema de interpolação de Riez-Thorin nos permite estabelecer o seguinte resultado:

Teorema 1.12 (Des. de Hausdorff-Young) Se f ∈ L^p(Rⁿ), 1 6 p 6 2, então f ∈ L^q(Rⁿ), com 1

p+ 1 q =1 e

kbfk_L^q 6kfk_L^p.

Demonstração:ComoFé de tipo forte(1,∞)e(2, 2), segue do Teorema de Riez-Thorin queF é de tipo forte (p,q), com

1

p = (1−t) 1 + t

2 =1− t

2 e 1

q = 1−t

∞ + t

2 =1− 1 p. Portanto, kbfk_L^q 6kfk_L^p.

1.3.5 A transformada de Hilbert

Definição 1.9 Dada f ∈ S(R), definimos sua transformada de Hilbert pela seguinte ex- pressão (H:S(R)→R):

Hf(y) = 1 π(v.p.1

x ∗f)(y) = 1 πv.p.1

x(f(y−·)) =v.p.1 π

Z

R

f(x)

y−xdx. (1.11) Observe que Hf:R→R(ou C), ou seja, Hf está definida em toda a reta.

Proposição 1.8 Dada f∈S(R), Hcf(ξ) = −isgn(ξ)bf(ξ).

Demonstração:Como v.p.1

x ∈S⁰(R)e \ v.p.1

x(ξ) = −iπsgn(ξ)bf(ξ), segue que Hcf(ξ) = 1

π v.p.\1

x ∗f(ξ) = 1 π

v.p.\1

x(ξ)bf(ξ) = −isgn(ξ)bf(ξ).

Lembramos que Hf é uma funçãoC^∞ de crescimento polinomial, sef∈S(R).

A Proposição 1.8 e a densidade de S(R) em L² nos permite definir a transformada de Hilbert de funções emL² como uma isometria:

Teorema 1.13 Dada f∈L²(R), temos 1. kHfk_L² =kfk_L².

2. H(Hf) = −f, ou seja, H² = −1.

3.

Z

R

Hf·gdx = − Z

fHgdx.

4. H(f·g) =fHg+gHf+H(H(f)H(g)).

Demonstração:Veja a referência [4].

Além das propriedades acima a transformada de Hilbert satisfaz as seguintes pro- priedades:

Teorema 1.14 (a) Dada f∈L^p(R), H(f) existe quase-sempre.

(b) (Komolgorov) H é do tipo fraco (1, 1), isto é, dado λ >0

{x ∈R;|Hf(x)|> λ} 6 c

λkfk_L1. (c) (M. Riez) H é do tipo forte (p,p), se 1< p <∞, isto é,

kHfkp 6Cpkfkp, ∀ ∈L^p(R).

Demonstração:Consulte [4].

Observação 1.3 1. H não é forte (p,p), se p = 1 ou p = ∞. Considere por exemplo f=χ_[0,1], então Hfnão pertence a L^p, para p=1 e p=∞, pois

Hf= 1 πlog

x x−1

, que não é nem limitada nem integrável.

2. Observe que, dada φ∈S(R), Hφ∈L¹ ⇐⇒φ(0) =b Z

R

φdx=0.

Teorema 1.15 Seja H a transformada de Hilbert e sejam 1 < p,q < ∞. Então para f∈L^p_xL^q_T, temos

kHfk_L^p

xL^q_T 6C(p,q)kfk_L^p

xL^q_T, (1.12)

ou seja,H :L^p_xL^q_T →L^p_xL^q_T é um operador linear limitado.

Demonstração:A prova é baseada no Lema 3.1 de [16]. A Proposição 3.1 de [4], nos dá a seguinte definição equivalente para a transformada de Hilbert

Hf(x,t) = 1 π lim

ε→0

Z

|y−x|>ε

f(y,t) y−xdy.

Para simplificar a notação definamos g(y) = ZT

0

f(y,t)

qdt _q¹

. Utilizando-se a de- sigualdade de Minkowiski para integrais emL^q_T e como

Z

|y−x|>ε

F(y,t)χ[x−ε,x+ε]dy=0 para toda funçãoF, temos que

kHfk_L^p

xL^q_T 6

Z_+∞

−∞

1 π

Z_T

0

ε→0lim Z

|y−x|>ε

f(y) y−xdy

q

dt ^p_q

dx

!¹_p

6

Z+∞

−∞

1 π

ε→0lim Z

|y−x|>ε

1 y−x

ZT 0

f(y,t)

qdt ¹_q

dy p

dx

!_p¹

6

Z+∞

−∞

1 π

ε→0lim Z

|y−x|>ε

1 y−x

g(y)dy p

dx

!¹_p

6

Z_+∞

−∞

1 π

ε→0lim Z

|y−x|>ε

χ_(x+ε,+∞)

1 y−x

g(y)dy p

dx

!¹_p

+

Z+∞

−∞

1 π

ε→0lim Z

|y−x|>ε

χ_{(−∞,x−ε)}

1 y−x

g(y)dy p

dx

!¹_p

6

H(χ_(x+ε,+∞)g)(y) L^px +

H(χ_{(−∞,x−ε)}g)(y) L^px. Além disso, como a transformada de HilbertH é limitada em L^p_x, temos

H(χ_(x+ε,+∞)g)(y)

L^px 6C(p)

χ_(x+ε,+∞)g(y)

L^px 6C(p)kg(y)k_L^p

x =C(p)kfk_L^p

xL^q_T. Portanto, pelas desigualdades obtidas acima temos que

kHfk_L^p

xL^q_T 6C(p,q)kfk_L^p

xL^q_T.

1.4 Os Espaços de Sobolev de tipo L

( R

).

Os espaços de Sobolev de tipo L²(Rⁿ) medem a diferenciabilidade de distribuições em L²(Rⁿ). A vantagem desses espaços é que, além de serem espaços de Hilbert, a transfor- mada de Fourier em L²(Rⁿ), que transforma derivação em multiplicação por polinômios, é um operador unitário.

Definição 1.10 Dado s∈R, definimos os espaços de Sobolev H^s(Rⁿ) por:

H^s(Rⁿ) =

f∈S⁰(Rⁿ) :J^sf∈L²(Rⁿ), onde J^sf= ((1+|ξ|²)^s2f)b^∨

munido da norma

kfk_H^s =kJ^sfk_L2 = Z

Rⁿ

(1+|ξ|²)^s|f(ξ)b |²dξ ¹₂

=

(1+|ξ|²)^s2fb _L2, a qual provém do produto interno:

hf,gi_s = Z

Rⁿ

J^sfJ^sgdx= Z

Rⁿ

f(ξ)(1b +|ξ|²)^sg(ξ)dξ.b

Observemos queH^s(Rⁿ)está bem definido, pois a funçãoξ7→(1+|ξ|²)^s2 éC^∞e de cresci- mento polinomial, pois|∂_α|6C_α(1+|ξ|²)^s−α. Vamos nos referir aH^s(Rⁿ)simplesmente porH^s ficando subentendido o espaço.

Teorema 1.16 Sejamf∈H^s(R) e s>0, então

kfk_H^s ∼kfk_L² +kD^s_xfk_L². Demonstração:Aqui vamos mostrar que

kfk_H^s .kfk_L² +kD^s_xfk_L² e kfk_H^s &kfk_L² +kD^s_xfk_L². (1.13) A primeira desigualdade obtemos por

kfk_H^s = Z

Rⁿ

(1+|ξ|²)^s|f(ξ)b |²dξ ¹₂

62^s2

"Z

|ξ|61|bf(ξ)|²dξ ¹₂

+ Z

|ξ|>1

|ξ|^s|f(ξ)b |²dξ ¹₂#

.kfk_L² +kD^s_xfk_L².

A outra desigualdade pode ser obtida usando-se a identidade de Plancherel kfk_L² +kD^s_xfk_L² =

Z

Rⁿ

|f(ξ)b |²dξ+ Z

Rⁿ

|ξ|^s|f(ξ)b |²dξ62 Z

Rⁿ

(1+|ξ|²)^s|f(ξ)|²dξ

Proposição 1.9 H^s satisfaz as seguintes propriedades:

1. f∈ H^s ⇐⇒(1+|ξ|²)^s2|fb|∈L² ,ou seja, bf∈L²(Rⁿ,dµ_s), onde dµ_s = (1+|ξ|²)^sdξ (F : H^s → L²(dµ_s) é isomorfismo unitário). Em particular, H^s é um espaço de Hilbert.

2. S é denso em H^s, com a norma de H^s, para todo s ∈R.

3. Se t < s, então H^s →H^s−t é um isomorfismo unitário, para todo s,t∈R. 4. J^t :H^s→H^s−t é um isomorfismo unitário, ∀ s,t∈R.

5. H⁰ =∼ L² e k · k_H⁰ =k · k_L².

6. ∂^α :H^s→H^s−|α| é um operador limitado ∀s∈R e qualquer multi-índice α.

Observação 1.4 No item (i) do teorema acima a condiçãog ∈L²(Rⁿ,dµ_s) onde dµ_s= (1+|ξ|²)^sdξ, interpretaremos por

Z

Rⁿ

g(ξ)dµ_s= Z

Rⁿ

(1+|ξ|²)^sg(ξ)dξ <∞.

Demonstração:O item 1 segue da definição deH^s, já o item 2 segue de 1 e da densidade deS em L². 3 é imediato. Os demais itens não apresentam maior dificuldade.

Observe que pelos itens 3 e 5 da Proposição acima, temos que se s > 0 então as distribuições emH^s são funções deL². Quandos <0, geralmente os elementos deH^s não são funções.

Teorema 1.17 (Interpolação) Sejam s₁ 6 s 6 s₂ e θ ∈ [0, 1] números reais tais que s=θs₁+ (1−θ)s₂. Se f∈H^s1 ∩H^s2, então f∈H^s e kfk_H^s 6kfk^θ_Hs1kfk^1−θ_Hs2.

Demonstração:Veja a referência [5] ou [10].

Definição 1.11 Dizemos que uma função f∈ L^p(Rⁿ) é fortemente diferenciável em L^p em relação à j-ésima variável, quando existe g∈L^p(Rⁿ) tal que:

ε→0lim

(τ−εej)f−f ε −g

L^p

, isto é,

ε→0lim Z

Rⁿ

f(x+εe_j) −f(x)

ε −g(x)

p

dx=0.

A funçãogé chamada de derivada parcial (forte) defemL^pem relação à j-ésima variável.

Define-se, de modo análogo, a derivada def em L^p. Dizemos que g∈L^p é a derivada de Fréchet emL^p de fquando:

ε→0lim

τ_−εf−f ε −g

L^p

=0, ondeτ_yf(x) =f(x−y).

Observação 1.5 No caso p = 2, temos que a definição acima é equivalente às duas seguintes afirmações:

1.

Z

Rⁿ

f(x)∂_xjϕ(x)dx= − Z

Rⁿ

g(x)ϕ(x)dx,∀ϕ∈S(Rⁿ);

2. ξ_jf(ξ)b ∈L²(Rⁿ).

Teorema 1.18 (Imersão de Sobolev) Seja s > k+ ⁿ₂. 1. Se f∈H^s, então (∂^α_xf)^∧ ∈L¹ e

k(∂^α_xf)^∧k_L¹ 6Ckfk_H^s, ∀|α|6k, onde C=C(k−s).

2. H^s ,→ C^k_∞ (O espaço das funções com k derivadas contínuas que se anulam no infinito). Em outras palavras, se f ∈ H^s, s > k+ ⁿ₂, então (após uma possível modificação de f em um conjunto de medida nula)

f∈C^k_∞(Rⁿ) e kfk_C^k 6kfk_H^s. Demonstração:Consulte [5] ou [10].

Segue desse Teorema que se s > ⁿ₂, então as funções deH^s são contínuas.

Corolário 1.3 Se f∈H^s, para todo s∈R, então f∈C^∞. Demonstração:Veja a referência [1] ou [10].

Vamos agora caracterizar (H^s)^∗ (o dual de H^s). Dados ϕ,ψ ∈ S, a identidade de Parseval nos diz que

hϕ,ψi= Z

Rⁿ

ϕ(x)ψ(x)dx= Z

Rⁿ

ϕ(ξ)b ψ(ξ)dξb = Z

Rⁿ

ϕ(ξ)b ψ(−ξ)dξ,b

onde estamos olhando ϕ como uma distribuição temperada e ψcomo uma função teste.

Da desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que

|hϕ,ψi|= Z

Rⁿ

(1+|ξ|²)^−s2 ϕ(ξ)(1b +|ξ|²)^s2ψ)(−ξ)dξb

6 Z

Rⁿ

(1+|ξ|²)^−s|ϕ(ξ)b |²dξ ¹₂ Z

Rⁿ

(1+|ξ|²)^s|ψ(ξ)b |²dξ

=kϕk_H^−skψk_H^s.

Podemos então estender hϕ,ψi a uma forma bilinear emH^−s×H^s, hψ,ϕi=

Z

Rⁿ

ψ(ξ)b ϕ(−ξ)dξb (1.14) que é contínua, pois

hψ,ϕi=kψk_H^−skϕk_H^s. (1.15)

Proposição 1.10 Se s ∈ R, então a dualidade entre S⁰ e S induz um isomorfismo unitário de H^−s a (H^s)^∗, o dual de H^s. Em outras palavras, se f∈H^−s, o funcional

hf,·i:S−→R ϕ7−→ hf,ϕi

estende-se a um funcional linear contínuo emH^s, com normakfk_H^−s, e todos os elementos de (H^s)^∗ são desta forma.

Demonstração:Consulte [5].

Aplicando a propriedade da função maximal de Hardy-Littlewood, conhecida como Teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev (veja referência [10]), para estabelecer o seguinte Teorema de imersão de Sobolev que usaremos com muita frequência em nosso trabalho.

Teorema 1.19 (1) Se s ∈ (0,ⁿ₂), então H^s(Rⁿ) ,→ L^p, com p = 2n

n−2s, isto é, s =

n

2 −ⁿ_p. Além disso, dado f∈H^s(Rⁿ), s ∈(0,ⁿ₂), temos que

kfk_L^p 6Cn,skD^sfk_L² 6Ckfk_H^s, (1.16) onde D^s= (−∆)^s2f= ((2π|ξ|^s)bf)^∨.

(2) Se s > ⁿ₂, então H^s ,→L^∞. Além disso, dado f∈H^s, kfk_L∞ 6C_skfk_H^s.

Demonstração:Veja a referência [10].

Capítulo 2

A equação de Schrödinger linear e lemas auxiliares.

Consideremos o PVI associado à equação de Schrödinger linear





∂_tu+i∂²_xu=0, x,t ∈R u(x, 0) =u₀(x).

(2.1)

As soluções deste problema são descritas pelo grupo unitário {e^it∂2x}^∞t=−∞, o qual iremos representar por {U(t)}^∞_t=−∞. Para maiores detalhes veja o capítulo 4 da referência [10].

Definição 2.1 Dizemos que o terno (α,p,q)∈R×[2,∞]² é (i) 1-admissível, se

(α,p,q) = (1

2,∞, 2) ou p∈[4,∞),q∈[2,∞],2 p + 1

q 6 1

2,α= 1 p+ 2

q− 1 2;

(ii) 2-admissível, se 2< p,q <∞, _p¹ +_q¹ 6 ¹₂, α= _p¹ +_q³ −1. Se, além disso, 46p < ∞, dizemos que (α,p,q) é 2*-admissível.

Listaremos primeiramente os efeitos suavizantes e as estimativas de Strichartz obtidas por Molinet e Ribaud em [12] para a equação de Benjamin-Ono linear e que também são válidas para o fluxo da equação de Schrödinger linear.

Lema 2.1 Sejam (α,p,q)∈R×[2,∞]² e 0< T <1.

(i) Se (α,p,q) é 1-admissível, então kD^α_xU(t)u₀k_L^p

xL^q_T .ku₀k_L2, ∀ u₀ ∈S(R). (2.2) 20