M´ etricas Finsler

(1)

Conte´ udo

Pref´acio v

1 M´etricas Finsler 1

1.1 M´etricas . . . 1

1.1.1 A m´etrica Funk . . . 2

1.2 Espa¸cos de Minkowski . . . 3

1.2.1 Normas do tipo Randers . . . 6

1.3 M´etricas Finsler . . . 6

1.3.1 M´etricas Riemannianas . . . 7

1.3.2 M´etricas Finsler do tipo Randers . . . 8

1.3.3 M´etricas Finsler do tipo Zermelo . . . 8

1.3.4 M´etricas Finsler do tipo (α, β) . . . 9

1.4 Geod´esicas - Um princ´ıpio variacional . . . 10

1.5 Outros exemplos de m´etricas Finsler . . . 13

1.5.1 A m´etrica de Katok: apenas 2 geod´esicas fechadas emS² . . . 13

1.5.2 As métricas de Shen: a lagoa e o tanque de peixes 14 1.5.3 A métrica de Matsumoto: inclina¸cão da montanha . . . 15

2 Conexões e Curvaturas 17 2.1 Distribui¸cões horizontais e a conexão de Grifone . . . 17

2.2 Sprays . . . 22

2.3 M´etricas Finsler . . . 24

2.4 Conex˜oes . . . 32

2.5 Conex˜oes Finslerianas . . . 36

(2)

2.5.1 Tor¸c˜ao de uma conex˜ao . . . 37

2.5.2 A conex˜ao de Berwald . . . 38

2.5.3 A conex˜ao de Cartan . . . 41

2.5.4 A conex˜ao de Chern-Rund . . . 45

2.5.5 A conex˜ao de Hashiguchi . . . 46

2.5.6 Conex˜oes Finslerianas sim´etricas . . . 47

2.5.7 Levantamentos regulares da conex˜ao de Grifone 48 2.5.8 Derivadas covariantes e transporte paralelo . . 49

2.6 O tensor de Curvatura de uma conex˜ao de Finsler . . 52

2.6.1 A curvatura de Riemann . . . 53

2.6.2 A curvatura bandeira . . . 59

3 Teoria de Morse e algumas aplica¸c˜oes 60 3.1 Rudimentos em teoria de Morse . . . 60

3.2 Geometria Finsler: uma r´apida revis˜ao . . . 63

3.3 Derivada covariante ao longo de uma geod´esica . . . . 65

3.4 Campos de Jacobi e o fluxo geod´esico linearizado . . . 66

3.5 Aplica¸c˜ao exponencial . . . 70

3.6 Espa¸cos de caminhos . . . 73

3.7 Primeira varia¸c˜ao da energia . . . 75

3.8 Segunda varia¸c˜ao da energia . . . 75

3.9 Teoria de Morse para a energia . . . 86

3.10 Aplica¸c˜oes . . . 88

3.10.1 Geod´esicas em esferas . . . 88

3.10.2 Teorema de Auslander: uma vers˜ao Finsler para o teorema de Bonnet-Myers . . . 89

3.10.3 Uma vers˜ao Finsler para o teorema de Cartan-Hadamard . . . 90

3.10.4 O teorema da esfera de Rademacher . . . 91

4 Variedades simpl´eticas e de contato 96 4.1 Algebra linear simpl´´ etica rudimentar . . . 96

4.2 Variedades simpl´eticas e sistemas Hamiltonianos . . . 104

4.3 Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange . . . 109

4.3.1 Transformada de Legendre . . . 110

4.3.2 O fluxo de Euler-Lagrange . . . 111

4.3.3 O caso Finsler: L=¹₂F². . . 113

4.3.4 N-corpos celestes . . . 114

(3)

4.3.5 Princ´ıpios variacionais . . . 116

4.3.6 O caso homogˆeneo . . . 117

4.4 No¸c˜oes em geometria de contato . . . 122

4.4.1 Hipersuperf´ıcies com tipo de contato . . . 122

4.4.2 Formas de contato e o campo de Reeb . . . 123

4.4.3 Estruturas de contato . . . 128

4.4.4 EDPs e geometria Finsler: c´austicas e pontos m´ınimos . . . 143

5 Dinâmica simplética 155 5.1 Índice de Conley-Zehnder . . . 155

5.2 Convexidade dinˆamica . . . 165

5.2.1 N´ıveis convexos . . . 166

5.2.2 A defini¸c˜ao de convexidade dinˆamica . . . 167

5.2.3 Topologia e convexidade dinˆamica . . . 173

5.2.4 Convexidade dinˆamica e fluxos geod´esicos emS² . . . 175

5.2.5 Se¸c˜oes globais para formas n˜ao-dinamicamente convexas . . . 188

5.3 O Teorema de Poincar´e-Birkhoff . . . 188

5.3.1 A vers˜ao cl´assica . . . 189

5.3.2 Fluxos de Reeb e o link de Hopf . . . 190

5.3.3 O N´umero de rota¸c˜ao . . . 193

5.3.4 A vers˜ao para fluxos de Reeb . . . 194

5.3.5 O fibrado unit´ario deS² . . . 195

5.3.6 (p, q)-sat´elites . . . 197

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Pref´ acio

Pode-se dizer que o que se conhece hoje por Geometria Finsler tem suas origens nos trabalhos de B. Riemann a partir de 1854, porém seu nome se deve ao matemático alemão Paul Finsler (1894-1970), que estudou diversos fundamentos dessa geometria em cálculo das varia¸cões, publicando sua tese em 1918. Variedades Finsler generali- zam variedades Riemannianas onde a norma de uma forma quadrática positiva definida é substitu´ıda por uma norma com propriedades mais fracas, a chamada norma de Minkowski. Modelos dinâmicos descri- tos pela Geometria Finsler aparecem naturalmente em diversas áreas como mecânica clássica, ótica geométrica, mecânica quântica etc. A partir de Finsler, diversos matemáticos tiveram importância central para o desenvolvimento desta teoria no século XX, como L. Berwald, E. Cartan, S-S. Chern e outros.

Nestas notas fazemos uma breve introdu¸cão à Geometria Fins- ler e estudamos alguns aspectos dinâmicos de seus fluxos geodésicos.

Em particular, descrevemos algumas aplica¸cões da teoria moderna de dinâmica simplética ao estudo dos fluxos geodésicos.

No cap´ıtulo 1 apresentamos alguns exemplos clássicos de métricas Finsler, e descrevemos o princ´ıpio variacional que determina o fluxo geodésico. O exemplo de Katok emS² possui apenas duas geodési- cas fechadas e mostra como a dinâmica do fluxo geodésisco no caso Finsler pode diferir do caso Riemanniano. No cap´ıtulo 2, estudamos estruturas geométricas associadas a métricas Finsler como conexões e curvaturas. Nossa abordagem é totalmente intr´ınseca e segue o for- malismo de J. Grifone. A curvatura bandeira, que generaliza a curvatura seccional em geometria Riemanniana, tem papel central para o entendimento dos campos de Jacobi, ou mais precisamente, para

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o estudo do fluxo geodésico linearizado. No cap´ıtulo 3, adaptamos para o caso Finsler os fundamentos da teoria de Morse clássica para geodésicas de métricas Riemannianas. Aqui o leitor deve estar atento para algumas diferen¸cas sutis entre os casos Riemanniano e Finsleri- ano relacionadas com a falta de reversibilidade. No cap´ıtulo 4, fazemos uma rápida introdu¸cão aos conceitos mais básicos em geometria simplética e de contato, e exploramos algumas conexões com a geometria Finsler. Finalmente, no cap´ıtulo 5 estudamos o fluxo geodésico do ponto de vista da dinâmica simplética. Várias aplica¸cões são apre- sentadas, destacando um teorema de Poincaré-Birkhoff para fluxos de Reeb emS³.

Algumas referˆencias foram fundamentais para a elabora¸c˜ao deste texto: os livros de S-S.Chern e Z. Shen [6], de Z. Shen [36] e de V. I.

Arnold [2], os artigos de J.Grifone [10, 11] e o artigo de J. Szilasi [37].

Esta é uma versão revisada daquela publicada pelo IMPA pelo XXIX Colóquio Brasileiro de Matemática, realizado em 2013. Agra- decemos Diego Sandoval Salazar pela leitura cuidadosa dos cap´ıtulos 1 e 2, e pela sugestão de diversas pequenas corre¸cões e melhoramentos.

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Dedicado `a mem´oria de Fernando Pinto Peixoto Elza de Faria Peixoto

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Cap´ıtulo 1

M´ etricas Finsler

Métricas Finsler são generaliza¸cões naturais de normas Rieman- nianas onde a norma de um produto interno positivo-definido é substitu´ıda por uma norma de Minkowski. Vários fenômenos dinâmicos, que podem ser modelados pelo fluxo geodésico de uma métrica Fins- ler, não são contemplados pelo caso Riemanniano. Uma caracter´ıstica peculiar é a não-reversibilidade do fluxo geodésico. Como consequên- cia, a questão da existência e multiplicidade de geodésicas fechadas pode ser bastante distinta do caso Riemanniano. Neste cap´ıtulo, apresentamos alguns exemplos de métricas Finsler bastante conhecidas na literatura.

1.1 M´ etricas

SejaM um conjunto qualquer.

Defini¸cão 1.1.1. Dizemos qued:M×M →[0,+∞)é uma métrica em M se

(i) d(p, q) = 0⇔p=q,∀p, q∈M.

(ii) d(p, q)≤d(p, r) +d(r, q),∀p, q, r∈M.

Se dainda satisfizer

(iii) d(p, q) =d(q, p),∀p, q∈M,

(10)

então dizemos que d é revers´ıvel. Caso contrário, dizemos que dé não-revers´ıvel.

Exerc´ıcio 1.1.2. Seja V um espa¸co vetorial munido de um produto interno positivo definidoh, i. Mostre qued(p, q) :=p

hp−q, p−qi

´

e uma m´etrica revers´ıvel emV.

1.1.1 A m´ etrica Funk

Em [36], encontramos o seguinte exemplo. Seja Ω ⊂R² um aberto limitado e convexo cujo bordo topológico∂Ω é a imagem de uma curva suave fechada simples com curvatura não-nula. Dados p 6= q ∈ Ω, sejazpq a interseçcão de ∂Ω com a semi-reta por pque passa emq.

Definimos

dF(p, q) := ln|zpq−p|

|zpq−q| ≥0.

Definimos tamb´em dF(p, p) = 0,∀p∈Ω.

Figura 1.1: A m´etrica Funk em Ω.

Exerc´ıcio 1.1.3. Mostre quedF satisfaz a desigualdade triangular.

E sempre poss´ıvel encontrar´ p6=qtais que d(p, q)6=d(q, p), veja Figura 1.1. Portanto, d_F é uma métrica não-revers´ıvel em Ω, chamada de métrica Funk em Ω.

(11)

1.2 Espa¸ cos de Minkowski

SejaV um espa¸co linear real de dimens˜ao finita.

Defini¸c˜ao 1.2.1. Dizemos que a fun¸c˜ao cont´ınuaF :V →[0,+∞)

´

e uma norma de Minkowski emV se (i) F ´eC^∞ emV \ {0}.

(ii) F(λy) =λF(y),∀y ∈V, λ ≥0. Diz-se que F ´e positivamente homogˆenea de grau 1.

(iii) ∀y∈V \ {0}, a forma bilinear sim´etrica gy(u, v) := 1

2

∂²

∂s∂tF²(y+su+tv)|s=t=0 (1.1)

´e positiva-definida. Diz-se queF²´e estritamente convexa.

O par(V, F)´e chamado de espa¸co de Minkowski.

Em coordenadasy= (y¹, . . . , yⁿ)∈Rⁿ'V, usamos a nota¸c˜ao gij(y) :=gy(∂_yi, ∂_yj) = 1

2∂_y²iy^jF²(y).

Exemplo 1.2.2. Um produto interno positivo definido h, i em V induz uma norma de Minkowski F(y) :=p

hy, yi.

Exemplo 1.2.3. Considere a m´etrica Funk vista na se¸c˜ao anterior.

Vamos construir uma norma de Minkowski em cada espa¸co tangente TpΩ. Dados p ∈ Ω e y ∈ TpΩ ' R², nada mais natural do que definirmos a norma dey por

kykF = lim

ε→0⁺

dF(p, p+εy) ε

= lim

ε→0⁺−1 2

ln|zpy−(p+εy)|²−ln|zpy−p|² ε

=−1

2d(ln(hzpy−x, zpy−xi))p·y

= hy, zpy−pi

|zpy−p|² = |y|

|zpy−p|

(12)

ondez_pyé a interseçcão da semi-reta porpque passa emp+εy, ε >0, com o bordo∂Ω. Note quezpy não depende deε >0. Segue que para todo p∈Ω, o conjunto

S_p:={y∈T_pΩ'R²:kykF = 1}

coincide geometricamente com ∂Ω.

Teorema 1.2.4 (Euler). Seja h : Rⁿ \ {0} → R uma fun¸cão suave e positivamente homogênea de grau α ≥ 0, ou seja, h(λy) = λ^αh(y),∀y∈Rⁿ\ {0}, λ >0. Então

h_yi(y)yⁱ=αh(y), ∀y6= 0. (1.2) Demonstra¸c˜ao. Basta derivar a igualdadeh(λy) =λ^αh(y) em rela-

¸c˜ao aλe fazerλ= 1.

Usamos sempre a nota¸c˜ao de Einstein. Por exemplo, em (1.2), est´a subentendida a soma emi.

Exerc´ıcio 1.2.5. Seja h como no Teorema de Euler, onde α > 1.

Definindo-se h(0) = 0, mostre que h´e de classe C^k em 0 e h⁰(0) = . . .=h^(k)(0) = 0 para todo inteiro0≤k < α.

ComoF²é homogênea de grau 2,∂yⁱF² é homogênea de grau 1.

Usando o Teorema de Euler, obtemos gijy^j=1

2(∂²_yiy^jF²)y^j

=1

2(∂²_yjyⁱF²)y^j

=1

2(∂_yj(∂_yiF²))y^j

=1 2∂_yiF².

(1.3)

Concluimos que

gy(y, v) = 1

2dF²(y)·v. (1.4) Exerc´ıcio 1.2.6. Use a homogeneidade de F para mostrar que

g_y(y, y) =F²(y),∀y∈V. (1.5)

(13)

Exerc´ıcio 1.2.7. Mostre queg_ij é positivamente homogênea de grau 0, ou seja gij(λy) = gij(y), ∀y 6= 0, λ > 0. Conclua que se F é uma norma de Minkowski em V eF² é C², então F² é uma forma quadrática, ou seja,

F²=gijyⁱy^j,

ondeg_ij n˜ao depende dey e, portanto,F²´eC^∞. Exerc´ıcio 1.2.8. Mostre que

(i) F(y+v) ≤F(y) +F(v),∀y, v ∈ V. Segue que d definida por d(p, q) :=F(p−q),∀p, q∈V,´e uma m´etrica emV.

(ii) Vale a seguinte desigualdade de Cauchy-Schwarz:

g_y(y, v)≤F(y)F(v)∀y, v∈V.

Exerc´ıcio 1.2.9. Seja F :R²→[0,+∞)dada por F(y1, y2) :={y₁⁴+ 3cy²₁y₂²+y₂⁴}^1/4.

Mostre que F ´e uma norma de Minkowski em R² se e somente se 0< c <2.

Chamamos o conjuntoS:=F⁻¹(1)⊂V 'Rⁿde indicatriz deF. Pela defini¸c˜ao deF,S deve ser uma hipersuperf´ıcie suave difeomorfa a Sⁿ⁻¹ ⊂Rⁿ e estritamente convexa, ou seja, todo hiperplanoHp

tangente aS num pontop∈Sé um hiperplano suporte singular com contato de ordem 1 com S. Isso quer dizer queHp∩S ={p} e para toda curva α(t), t∈(−ε, ε)→S, satisfazendoα(0) =peα⁰(0)6= 0, temos queα⁰⁰(0)6∈Hp−p. Mais ainda, denotando porN :S→Sⁿ⁻¹ a aplica¸cão de Gauss dada pela normal exterior unitária aS, temos queN é um difeomorfismo. O leitor está convidado a verificar todas estas afirma¸cões, veja mais detalhes em§4.3.6.

SejaS ,→V uma hipersuperf´ıcie suave estritamente convexa, difeomorfa `a esferaSⁿ⁻¹ e tal que a origem 0∈ V esteja contida na parte limitada deV \S. Ent˜aoS induz uma norma de MinkowskiF emV, definindo-se F(0) = 0 e F(x) =c >0 se e somente se ^x_c ∈S.

Exerc´ıcio 1.2.10. Mostre que F assim definida ´e uma norma de Minkowski emV.

(14)

Dadoy ∈ V \ {0}, seja S_y = F⁻¹(F(y)). Ent˜ao S_y = F(y)S e note que, por (1.4),

TySy={w∈V :gy(y, w) = 0}.

ComoS_yé uma hipersuperf´ıcie estritamente convexa e as fun¸cõesg_ij são homogêneas de grau zero, temos que a aplica¸cão

L:V \ {0} →V^∗\ {0}

y7→gy(y,·), (1.6)

´

e um difeomorfismo, que pode ser estendido a um homeomorfismo V 'V^∗ definindo-se L(0) = 0. Acima, denotamos por V^∗ o espa¸co dual deV.

Exerc´ıcio 1.2.11. Mostre esta ´ultima afirma¸c˜ao.

1.2.1 Normas do tipo Randers

Seja A = (aij) ∈R^n×n uma matriz sim´etrica e positiva definida, e seja β : Rⁿ →R um funcional linear. Seja {ei} a base canˆonica de Rⁿ de forma que β(y) = Pn

i=1βiyⁱ para ´unicosβi, para todo vetor y=Pn

i=1yⁱei∈Rⁿ. SejaF :Rⁿ→Rdada por F(y) =

q

a_ijyⁱy^j+β(y).

Denotemos a norma deβ com respeito `a matrizApor kβkA= sup

β(y) :

q

aijyⁱy^j = 1

.

Exerc´ıcio 1.2.12. Mostre que F ´e norma de Minkowski em V se e somente se kβkA < 1. Nesse caso, F ´e chamada de norma de Minkowski do tipo Randers.

1.3 M´ etricas Finsler

Defini¸cão 1.3.1. Seja M uma variedade diferenciável. Chamamos uma fun¸cão cont´ınua

F :T M →[0,+∞) de m´etrica Finsler em M se F satisfaz

(15)

(i) F ´e C^∞ em T M₀, o fibrado tangente com a se¸c˜ao nula removida.

(ii) F(λv) =λF(v),∀v = (x, y)∈T M, λ >0, onde estamos deno- tandoλv= (x, λy).

(iii) A forma bi-linear sim´etricagv:TxM×TxM →R,definida por gv(u, w) := 1

2

∂²

∂t∂sF²(x, y+su+tw)|s=t=0, ∀u, w∈TxM,

´e positiva-definida∀v= (x, y)∈T M0. O par(M, F)´e chamado de variedade Finsler.

Note que seF é uma métrica Finsler em M, entãoF|TxM é uma norma de Minkowski emT_xM,∀x∈M.

Defini¸c˜ao 1.3.2. A reversibilidade de F ´e definida por r:= sup

F(−v)|v∈F⁻¹(1) .

Dizemos que uma m´etrica Finsler ´e revers´ıvel se r = 1, ou seja, se F(v) =F(−v), ∀v∈T M.

Exerc´ıcio 1.3.3. Mostre que sempre valer≥1.

Defini¸cão 1.3.4. O conjunto T_F¹M := {v ∈ T M | F(v) = 1} é chamado de fibrado unitário da métrica FinslerF.

Exerc´ıcio 1.3.5. Mostre que T_F¹M ´e uma hipersuperf´ıcie regular de T M0 e que, para todo x ∈ M, T_F¹M ∩TxM ´e uma hipersuperf´ıcie estritamente convexa Sx ⊂ TxM contendo a origem no interior da componente limitada de seu complementar.

Veremos a seguir alguns exemplos de m´etricas Finsler.

1.3.1 M´ etricas Riemannianas

O exemplo mais simples de métrica Finsler é a norma de uma métrica Riemannnianag numa variedadeM. Nesse caso, F(v) :=p

g(v, v) ´e uma m´etrica Finsler revers´ıvel.

(16)

1.3.2 M´ etricas Finsler do tipo Randers

Seja g uma m´etrica Riemanniana em M e β uma 1-forma em M. Denote por kβkg= sup{β(v)|g(v, v) = 1, v∈T M}.

Exerc´ıcio 1.3.6. Mostre queF(v) :=p

g(v, v) +β(v)´e uma m´etrica Finsler em M se e somente se kβk_g<1.

Defini¸cão 1.3.7. Uma métrica Finsler como no Exerc´ıcio 1.3.6 é chamada de métrica Finsler do tipo Randers. Usamos também a nota¸cão(M, g, β)para a variedade Finsler(M, F).

Denote porX(M) o espa¸co dos campos de vetores em M e seja ζ∈ X(M) o ´unico campo de vetores em M satisfazendoβ =g(ζ,·).

Exerc´ıcio 1.3.8. Mostre que a reversibilidade da m´etrica Finsler do tipo Randers(M, g, β)´e dada por

r= sup

x∈M

1 +kζ(x)kg

1− kζ(x)kg

.

1.3.3 M´ etricas Finsler do tipo Zermelo

Sejam huma m´etrica Riemanniana eW ∈ X(M). Suponha que sup{kW(x)kh:x∈M}<1.

Para todox∈M, sejaS_x:={y∈T_xM :h(y, y) = 1}.Ent˜ao S¯_x:=S_x+W(x), x∈M,

induz uma m´etrica FinslerF emM definindo-seF( ¯Sx) = 1,∀x∈M, ou seja, a indicatriz deF emTxM coincide com ¯Sxpara todox∈M. Chamamos a tripla (M, h, W) de dados de navega¸c˜ao de Zermelo.

Um fato interessante é que o conjunto de métricas Finsler do tipo Randers coincide com as do tipo Zermelo. No entanto, as métricas Riemannianas associadas não coincidem.

Sejam (M, h, W) os dados de navega¸c˜ao de Zermelo induzindo uma m´etrica FinslerF emM. Em coordenadas tangentes naturais

p'(x¹, . . . , xⁿ),

n

X

i=1

yⁱ∂_xi|p'(x¹, . . . , xⁿ, y¹, . . . , yⁿ), (1.7)

(17)

temos h_ij = h(∂_xi, ∂_xj) e W = W^j∂_xj. A correspondência entre Zermelo (M, h, W) e Randers (M, g, β) é a seguinte: a métrica Ri- emanniana g =gijdxⁱ⊗dx^j e a 1-formaβ = βidxⁱ em M são dadas por gij = _λ¹(hij+ _λ¹WiWj) e βi = −^W_λⁱ, onde Wi = hijW^j e λ= 1−h(W, W).

Exerc´ıcio 1.3.9. Deduza as f´ormulas acima para g_ij eβ_i.

O campo de vetoresW pode ser interpretado como um ‘vento’ que interfere no fluxo geodésico original de g contribuindo ora a favor, ora contra o movimento. Por exemplo, o movimento de um navio na esfera terrestre é influenciado pelo vento e sua velocidade é maior quando viaja a favor do vento e é menor quando viaja contra o vento.

Mais adiante discutiremos o exemplo de Katok onde ficar´a mais claro o papel do campo W.

1.3.4 M´ etricas Finsler do tipo (α, β)

Sejam (M, α) uma variedade Riemanniana eβ uma 1-forma emM. Denote por kykα = p

αx(y, y) a norma de y ∈ TxM, para todo x∈M.

Assuma que

kβ_xk_α:= sup{β_x(y)| kyk_α= 1}< , (1.8) para algum > 0 e seja φ := (−, ) → (0,∞), uma fun¸c˜ao suave satisfazendo

φ(s)−sφ⁰(s) + (b²−s²)φ⁰⁰(s)>0, para todo|s| ≤b < . Seja

F(x, y) :=φ β_x(y)

kykα

kykα,∀(x, y)∈T M₀. (1.9) Proposi¸cão 1.3.10. A fun¸cão F :T M →[0,∞)definida em (1.9) determina uma métrica Finsler emM, chamada de métrica Finsler do tipo(α, β).

Uma demonstra¸c˜ao deste fato pode ser encontrada em [6].

Exerc´ıcio 1.3.11. Fixeφ(s) =s+ 1e= 1, e assuma quekβxkα<

1, ∀x ∈ M. Mostre que a m´etrica (α, β) coincide com a m´etrica Randers associada aαeβ.

(18)

1.4 Geod´ esicas - Um princ´ıpio variacional

Sejam F :T M →[0,+∞) uma m´etrica Finsler em M,E= ¹₂F² e γ: [a, b]→M

uma curva que éC^∞ por partes com rela¸cão à parti¸cão P ={a=t₀< t₁< . . . < t_N =b},

isto é, γ é cont´ınua e γ|_[t_i_,t_i+1_] é C^∞ ∀i = 0, . . . , N −1. Assuma também queγsatisfazF(γ,γ) = 1.˙

Consideramos varia¸cões deγque respeitam a parti¸cãoPe mantêm os extremos fixos, ou seja, fun¸cões cont´ınuas

H : (−ε, ε)×[a, b]→M satisfazendo

(i) H ´eC^∞em (−ε, ε)×[t_i−1, ti], ∀i= 1, . . . , N. (ii) γ(t) =H(0, t),H(u, a) =γ(a) eH(u, b) =γ(b),∀t, u.

Denote por

V :=∂H

∂u(0,·)

o campo “varia¸c˜ao infinitesimal” induzido porH, e porγu:=H(u,·).

Seja

`(u) :=

Z b a

F(γ_u,γ˙_u)dt=

N

X

i=1

Z ti

ti−1

F(γ_u,γ˙_u)dt

o comprimento da curva γu. Podemos assumir, por simplicidade, que cada (−, )×[t_i−1, ti] ´e mapeado por H no dom´ınio de um sistemas de coordenadas (x¹, . . . , xⁿ), e fazemos a an´alise do termo correspondente em coordenadas tangentes naturais

(x¹, . . . , xⁿ, y¹, . . . , yⁿ)

(19)

dadas em (1.7). ComodE=F dF eE_yk =g_kjy^j, temos

`⁰(0) =

N

X

i=1

Z t_i ti−1

E_xkV^k+E_ykV˙^k dt

=

N

X

i=1

Z ti

ti−1

E_xk−E˙_yk

V^kdt+E_ykV^k|^t_tⁱ_i−1

=

N

X

i=1

Z t_i ti−1

E_xk−E_ykx^jγ˙^j−E_yky^j¨γ^j

V^kdt+gjkγ˙^jV^k|^t_tⁱ_i−1

=−

N

X

i=1

Z ti

ti−1

g_jk(¨γ^j+ 2G^j(γ,γ))V˙ ^kdt+g_jkγ˙^jV^k|^t_tⁱ_i−1

=− Z b

a

g_γ_˙(W, V)dt +

N−1

X

i=1

(g_γ(t_˙ −

i)( ˙γ(t⁻_i ), V(t_i))−g_γ(t_˙ +

i)( ˙γ(t⁺_i ), V(t_i))), ondeγ=γ^j∂_xj, W =W^j∂_xj = (¨γ^j+ 2G^j(γ,γ))∂˙ _xj com

G^j(x, y) =1

2g^jl(E_xky^ly^k−E_xl)

= 1

4g^jl(2∂_xkgrl−∂_xlgrk)y^ry^k

(1.10)

e (g^jl) = (g_jl)⁻¹. Na ´ultima igualdade usamos (1.3) e (1.4). Temos que`⁰(0) = 0 para todo campo varia¸c˜aoV que se anula nos extremos se e somente se

¨

γ^j+ 2G^j(γ,γ) = 0,˙ ∀j= 1, . . . , n (1.11)

˙

γ(t⁻_i ) = ˙γ(t⁺_i ), ∀i= 1, . . . , k−1. (1.12) A igualdade (1.12) decorre do homeomorfismo (1.6). Segue que γ ´e de classeC¹. Por (1.11), obtemos queγ´eC^∞.

(20)

Definimos o campo geod´esico S em T M dado em coordenadas naturais por

S(x, y) =y^j∂_xj −2G^j(x, y)∂_yj, (1.13) onde G^j é definido em (1.10). Embora não seja evidente neste mo- mento, tal campo fica bem definido globalmente, independentemente do sistema de coordenadas. Isso ficará claro no Cap´ıtulo 2, onde S será definido intrinsecamente. Segue queS éC¹ emT M e éC^∞ em T M0, veja o Exerc´ıcio 1.4.2.

Defini¸cão 1.4.1. Uma curvaγ: [a, b]→M da formaγ(t) =π(Γ(t)), ondeπ:T M →M é a proje¸cão no ponto base et7→Γ(t)é trajetória do campo S é chamada de geodésica.

A forma do campoS implica que Γ = (γ,γ), como o leitor facil-˙ mente verificar´a.

Os argumentos acima nos mostram que uma curva suave por par- tesγ satisfazendoF(γ,γ)˙ ≡1 é geodésica se, e somente se,`⁰(0) = 0 para toda varia¸cão deγ. Na verdade, como o comprimento é invari- ante por reparametriza¸cões, as mesmas conclusões são obtidas apenas assumindo que a velocidade deγ nunca se anula.

O fluxo de ˙z=S◦zemT M0é chamado de fluxo geodésico e suas solu¸cões se projetam emM nas geodésicas, por defini¸cão.

Exerc´ıcio 1.4.2. Mostre que as fun¸cões G^j são positivamente ho- mogêneas de grau 2em y. Conclua queS se estende a um campo de classe C¹ emT M.

Defini¸cão 1.4.3. Uma métrica Finsler é chamada de métrica de Berwald se Gⁱ(x, y)é quadrática em y para todo x∈M, ou seja,

Gⁱ(x, y) =1

2Gⁱ_jk(x)y^jy^k,∀(x, y)∈T M₀.

Exerc´ıcio 1.4.4. Mostre que m´etricas Riemannianas s˜ao de Ber- wald.

Nem toda m´etrica de Berwald ´e Riemanniana.

(21)

1.5 Outros exemplos de m´ etricas Finsler

1.5.1 A m´ etrica de Katok: apenas 2 geod´ esicas fechadas em S

²

Considere a esfera unitária S² ⊂R³ com a métricah induzida pela métrica Euclidiana emR³. EmS², considere o vento

W :=ε∂θ=ε(−y∂x+x∂y),|ε|<1,

onde (x, y, z) são coordenadas emR³e (r, θ) são as coordenadas polares (x, y) = (rcosθ, rsinθ). SejaFa métrica Finsler emS²associada aos dados de navega¸cão de Zermelo (S², h, W).

As geod´esicas de hs˜ao curvas em S² que percorrem os grandes c´ırculos com velocidade constante. Assumimos que esta velocidade seja igual a 1.

Para descrevermos uma geod´esica da m´etrica FinslerF, considere o fluxo em S² associado ao campo de vetores W. Em coordenadas (x, y, z), temos



 x(t) y(t) z(t)



=





cosεt −sinεt 0 sinεt cosεt 0

0 0 1







 x(0) y(0) z(0)



.

Dadosp₀∈S²ev₀∈S¯_p₀ :={W(p₀) +v:h(v, v) = 1}, é poss´ıvel mostrar que a geodésicaγ(t) deF com as condi¸cões inicias (p₀, v₀) é dada por

γ(t) =ψt(γ0(t)), (1.14) onde γ₀(t) é a geodésica de h com condi¸cões iniciais p₀ ∈ S² e v₀−W(p₀) ∈ T_p₀S². Note que as geodésicas de F são, portanto, as geodésicas deh‘arrastadas’ pelo ventoW.

Existem 2 geodésicas deF que percorrem o equador{z= 0} ∩S² em sentidos opostos e com per´ıodos distintos (a geodésica que percorre o equador no mesmo sentido do vento tem per´ıodo menor do que a que percorre o equador no sentido oposto ao vento). Segue também de (1.14) que todas as outras geodésicas intersectam o equador infinitas vezes. A varia¸cão angular ∆θ entre dois cruzamentos consecutivos de uma geodésica com o equador é igual a

∆θ=π+επ.

(22)

Concluimos que seεé racional, todas as geodésicas são fechadas. Se ε é irracional, apenas as duas geodésicas que percorrem o equador são fechadas. Este fato mostra um contraste com fluxos geodésicos de métricas Riemannianas em S². Estes últimos admitem sempre infinitas geodésicas fechadas.

1.5.2 As m´ etricas de Shen: a lagoa e o tanque de peixes

Considere o disco unitárioD:={x= (x¹, x²)∈R²:|x|<1}munido da métrica Euclidianag. O vento emDé dado pelo campo de vetores W :=−x²∂x¹+x¹∂x². (1.15) Os dados de navega¸cão de Zermelo (D, g, W) determinam a métrica FinslerF emDdada por

F(x, y) =

p(−x²y¹+x¹y²)²+|y|²(1− |x|²)

1− |x|² −x²y¹−x¹y² 1− |x|² , ondex∈D, y=Pyⁱ∂_xie|·|denota a norma Euclidiana emR². Essa

´

e a chamada lagoa de peixes de Shen. Um peixe partindo da origem e que deseja atingir a comida localizada no bordo∂Dno menor tempo poss´ıvel deve percorrer uma geodésica, que é uma espiral. Suponha um polvo percorrendo essa espiral e deixando um rastro de tinta por onde passa. Se o rastro de tinta continuar a se mover com o vento, então o rastro será sempre um segmento de reta que gira junto com o movimento do polvo.

ConsiderandoT :=D×[0,1]⊂R³ com a métrica Euclidianag e o mesmo vento (1.15), obtemos uma métrica Finsler emT com dados de navega¸cão de Zermelo (T, g, W). É o chamado tanque de peixes de Shen. Similarmente um peixe que sai de (0,0,0) e deseja atingir os mosquitos em algum ponto (x, y,1) no menor tempo poss´ıvel, deve percorrer uma geodésica, que se projeta em Dnuma espiral.

Assim como no exemplo de Katok, as geodésicas de ambos os modelos acima correspondem às geodésicas degarrastadas pelo ventoW.

(23)

1.5.3 A m´ etrica de Matsumoto: inclina¸ c˜ ao da montanha

Consideref : Ω⊂R²→Ruma fun¸cão suave e sejaS⊂R³o gráfico de f. A métrica Riemanniana em Ω induzida por S ,→ R³ é dada por

h= (1+f_x²1)dx¹⊗dx¹+f_x1f_x2(dx¹⊗dx²+dx²⊗dx¹)+(1+f_x²2)dx²⊗dx², onde (x¹, x²) s˜ao coordenadas emR².

Considere agora uma pessoa caminhando na superf´ıcie S sob o efeito da for¸ca da gravidade−k∂_x3, ondek >0 é alguma constante e (x¹, x², x³) são coordenadas deR³. Para cada pontop∈S, considere o plano tangenteπ_p aS no pontop. Se não houvesse a influência da gravidade então a indicatriz em πp seria dada pelo c´ırculo unitário centrado em p, que corresponde aos pontos alcan¸cados a partir dep em tempo 1 (em termos infinitesimais). A for¸ca da gravidade empse projeta emπpao longo de sua normal num vetorgp ∈πp cuja norma Euclidiana é dada por

ksinα=k

s f_x²1+f_x²2

1 +f_x²1+f_x²2

,

onde α é o ângulo entre π_p e o plano x¹x². Seja θ o ângulo que um vetor v ∈ π_p faz com g_p, com orienta¸cão dada pela normal su- perior a S. Se no ponto p ∈ S a pessoa caminha no sentido de θ, então a for¸ca da gravidade contribui para seu movimento naquele sentido com uma acelera¸cão de ksinαcosθ. A componente da for¸ca da gravidade na dire¸cão perpendicular ao movimento é anulada pelo atrito entre a pessoa e a superf´ıcie. Dessa forma considera-se que a quantidade percorrida em tempo 1 (em termos infinitesimais) seja de 1 + ¹₂ksinαcosθ. Em coordenadas polares em πp, obtemos desta forma uma nova indicatriz em πp dada por

r= 1 +ccosθ, (1.16)

onde c = ¹₂ksinα. Note que a curva (1.16), chamada de lima¸con,

´

e estritamente convexa se e somente |c| < 1/2. Nessas condi¸cões, obtemos uma métrica Finsler emSque por sua vez induz uma métrica

(24)

Finsler em Ω. Supondo k= 2, obtemos uma restri¸c˜ao na inclina¸c˜ao da superf´ıcie S dada por

f_x²1+f_x²2 <1 3.

As geodésicas dessa métrica Finsler não tem uma rela¸cão simples com as geodésicas da métrica Riemannianah. Veja mais detalhes em [28].

Figura 1.2: As curvas lima¸con r= 1 +ccosθ, com c = 0.45 (estritamente convexo) ec= 0.65 (n˜ao estritamente convexo), respectivamente.

(25)

Cap´ıtulo 2

Conex˜ oes e Curvaturas

Neste cap´ıtulo apresentamos as principais estruturas geométricas associadas a uma métrica Finsler. Inicialmente estudamos conexões de Grifone e suas diversas propriedades como tensão, tor¸cão e curvatura.

Apresentamos uma conexão de Grifone canonicamente associada a um spray, em particular a uma métrica Finsler. Feito isso, definimos as chamadas conexões de Finsler, que são conexões no fibrado bi-tangente, sendo as mais conhecidas as conexões de Berwald, Car- tan, Chern-Rund e Hashiguchi. Finalmente, discutimos a curvatura de Riemann e a curvatura bandeira, importantes para o estudo de fluxos geodésicos.

Todas as constru¸cões a seguir são feitas de forma intr´ınseca. No entanto, apresentamos também suas representa¸cões em coordenadas, pois estas muitas vezes facilitam as demonstra¸cões. Para mais detalhes sobre estes tópicos, veja [7, 10, 11, 36, 37].

2.1 Distribui¸ c˜ oes horizontais e a conex˜ ao de Grifone

SejaM uman-variedade diferenci´avel. Os fibrados tangente e cotan- gente

π_{T M} :T M →M, πT^∗M :T^∗M →M,

(26)

s˜ao exemplos de fibrados vetoriais sobreM com postos iguais an. O fibrado bi-tangente πT T M : T T M → T M admite naturalmente um subfibradoV →T M, chamado de distribui¸c˜ao vertical, definido por

V = ker(dπT M :T T M →T M).

Defini¸cão 2.1.1. Um subfibrado H ⊂ T T M é chamado de distribui¸cão horizontal se

T T M =V ⊕ H. (2.1)

Os postos de V e de uma distribui¸c˜ao horizontal Hs˜ao iguais a n. Denotamos por

v:T T M → V, h:T T M → H,

as proje¸c˜oes induzidas pela decomposi¸c˜ao (2.1), ou seja, v|V = I|V, v|H= 0, h|H = I|H eh|V = 0.

Figura 2.1: T T M =V ⊕ H

Defini¸cão 2.1.2. Uma conexão de Grifone em M é uma aplica¸cão de fibrado Γ : T T M → T T M sobre a identidade tal que Γ² = I e ker(Γ +I) =V.

Observa¸cão 2.1.3. Uma conexão de Grifone Γ em M determina uma distribui¸cão horizontal H:= ker(Γ−I). Reciprocamente, uma distribui¸cão horizontalHdetermina uma conexão de GrifoneΓdecla- rando-se Γ|_H=I|_H e Γ|_V=−I|_V.

Por hora, não temos uma escolha canônica para a distribui¸cão ho- rizontalHe apenas assumimos sua existência. Veremos mais adiante que estruturas adicionais emM induzem uma tal escolha.

(27)

Para cadaw= (x, y)∈T M, temos o isomorfismo canˆonico i_V:T_xM → V_w:u7→ d

dt(x, y+ut)|_t=0.

A distribui¸c˜ao verticalV admite uma se¸c˜ao naturalC ∈Γ(V) dada por

C(w) =i_V(y),∀w= (x, y)∈T M.

A aplica¸c˜ao

J :T T M → V, ζ7→iV◦dπ(ζ) (2.2)

´

e chamada de endomorfismo vertical, ou tamb´em de estrutura quase tangente. ´E imediato que ImJ = kerJ =V e, portanto,J²= 0.

Exerc´ıcio 2.1.4. Mostre que seΓé uma conexão de Grifone, então JΓ =J eΓJ =−J.

Defini¸cão 2.1.5. Uma k-forma L ∈ Ω^k(T M, T T M) em T M com valores em T T M é chamada de semi-básica se

(i) J ◦L= 0, ou seja,L assume valores verticais.

(ii) SeXⁱ ´e vertical para algum i, ent˜ao L(X¹, . . . , X^k) = 0.

Exerc´ıcio 2.1.6. Mostre que o tensor J ∈Ω¹(T M, T T M) ´e semi- b´asico.

Observe que a proje¸c˜aoπT M induz um isomorfismo canˆonico i_H:= (dπ|_H_w)⁻¹:T_π(w)M → Hw,∀w∈T M.

A proje¸cãoh:T T M → Hsatisfazh(ζ) =i_H◦dπ(ζ) e é chamada de endomorfismo horizontal. É imediato quehJ = 0 eJh=J.

Sejam (x¹, . . . , xⁿ) coordenadas locais no abertoU ⊂M e (x¹, . . . , xⁿ, y¹, . . . , yⁿ)

coordenadas naturais tangentes em T U. Ent˜ao

Vw= span{∂_yi, i= 1, . . . , n},∀w= (x, y)∈T U, e existem fun¸c˜oes Γⁱ_k:T U →R,i, k∈ {1, . . . , n}, tais que

Hw=span{δ_xi, i= 1, . . . , n}, ondeδ_xi := ∂_xi−Γ^k_i(w)∂_yk. (2.3)

(28)

Em (2.3), estamos usando a conven¸cão de Einstein para a soma. Os coeficientes Γ^k_i são também chamados de coeficientes da conexão de Grifone Γ associada aH. Temos então que

v(aⁱ∂_yi+bⁱ∂_xi) = (aⁱ+ Γⁱ_kb^k)∂_yi,

h(aⁱ∂_yi+bⁱ∂_xi) =bⁱδ_xi =bⁱ(∂_xi−Γ^k_i∂_yk), i_V(aⁱ∂_xi) =aⁱ∂_yi,

i_H(aⁱ∂_xi) =aⁱδ_xi=aⁱ(∂_xi−Γ^k_i∂_yk), C(x, y) =yⁱ∂_yi.

Seja

δyⁱ:=dyⁱ+ Γⁱ_jdx^j (2.4) e note que{dxⁱ, δyⁱ}´e a base dual de{δ_xi, ∂_yi}.

Defini¸cão 2.1.7. Seja X ∈ X(M) um campo de vetores em M. Então a se¸cão X^v ∈Γ(V) dada por X^v(x, y) =i_V(X(x))∈ V(x,y)é chamada de levantamento vertical de X. O levantamento horizontal X^h de X é definido de forma similar. Sejam φ_t o fluxo em M de X e ψ_t(x, y) := (φ_t(x), dφ_t(x)(y)) o fluxo linearizado em T M associado aφ_t. Então ψ_tdetermina um campo de vetoresX^c ∈ X(T M), chamado de levantamento completo de X.

Exerc´ıcio 2.1.8. Dado X ∈ X(M), mostre que JX^c = X^v e que [C, X^v] = −X^v, onde [·,·] denota o colchete de Lie em T M. Dica:

use coordenadas.

Observa¸c˜ao 2.1.9. Em coordenadas locais(x¹, . . . , xⁿ)de uma variedade, dados campos de vetores locaisX =Xⁱ∂_xi, Y =Yⁱ∂_xi, con- vencionamos que

[X, Y] = (X^j∂_xjYⁱ−Y^j∂_xjXⁱ)∂_xi.

Associados a uma distribui¸cão horizontal H (ou à uma conexão de Grifone, equivalentemente) temos intrinsecamente diversos outros objetos.

Defini¸cão 2.1.10. τ_H := [h, C]∈Ω¹(T M,V) é chamada de tensão de H. Aqui, [h, C] denota o colchete de Frölicher-Nijenhuis entreh eC, definido da seguinte forma: dadoX ∈ X(T M),então

[h, C](X) = [hX, C]−h[X, C], (2.5)

(29)

onde os últimos[·,·]’s denotam o colchete de Lie usual. Quandoτ_H≡ 0, dizemos que a distribui¸cão horizontal Hé homogênea.

Exerc´ıcio 2.1.11. Verifique que τ_H est´a bem definida. Dica: use h+v = I e a seguinte propriedade do colchete de Lie: se f, g ∈ C^∞(T M), X, Y ∈ X(T M),ent˜ao

[f X, gY] =f g[X, Y] +f X(g)Y −gY(f)X.

Exerc´ıcio 2.1.12. Mostre que τ_H é semi-básico. Dica: note que a distribui¸cão vertical V = span{∂_yi} é integrável, ou seja [Y1, Y2] ∈ Γ(V),∀Y1, Y2∈Γ(V).

Exerc´ıcio 2.1.13. Mostre que τ_H ≡0 se e somente se, em coordenadas naturais, as fun¸cõesΓ^k_i(x, y), definidas em (2.3), são positivamente homogêneas de grau 1 emy.

Defini¸cão 2.1.14. t_H := [J, h]∈Ω²(T M,V)é chamada de tor¸cão fraca de H. Novamente, [J, h] é o colchete de Frölicher-Nijenhuis entre J e h, e é definido da seguinte forma: dadoX, Y ∈ X(T M), então

[J, h] (X, Y) =[JX, hY] + [hX,JY] +J ◦h[X, Y] +h◦ J[X, Y]− J[X, hY]− J[hX, Y]

−h[X,JY]−h[JX, Y].

(2.6)

Exerc´ıcio 2.1.15. Mostre quet_H é semi-básico. Conclua que t_H(X, Y) =v[hX,JY] +v[JX, hY]− J[hX, hY]. (2.7) Veja a demonstra¸cão do Teorema 2.3.4 para uma expressão da tor¸cão fraca em coordenadas.

Defini¸cão 2.1.16. R_H := −¹₂[h, h] ∈ Ω²(T M,V) é chamada de forma de curvatura de H. Aqui, [h, h] é definido como em (2.6) substituindo-se J porh. Nesse caso, comoh²=h, temos

1

2[h, h] (X, Y) =[hX, hY] +h[X, Y]

−h[X, hY]−h[hX, Y],

(2.8)

∀X, Y ∈ X(T M).

(30)

Exerc´ıcio 2.1.17. Mostre queR_H ´e semi-b´asico. Conclua que R_H(X, Y) =−v[hX, hY].

Exerc´ıcio 2.1.18. Mostre que em coordenadas naturais temos R_H(δ_xi, δ_xj) =−[δ_xi, δ_xj] = (δ_xiΓ^m_j −δ_xjΓ^m_i )∂y^m, ondeδ_xiΓ^m_j =∂_xiΓ^m_j −Γ^k_i∂_ykΓ^m_j .

Exerc´ıcio 2.1.19. Mostre que [J, C] = J e [J,J] = 0, onde os colchetes de Fr¨olicher-Nijenhuis s˜ao definidos como em (2.5)e(2.6), respectivamente. Dica: use coordenadas.

Defini¸c˜ao 2.1.20. DefinimosF:T T M →T T M,F²=−I, a estrutura quase-complexa emT M determinada por Fh=−J eF J =h.

Exerc´ıcio 2.1.21. Mostre que J F =v, Fv =hF e que, em coordenadas naturais, temos

Fδ_xi=−∂_yi eF∂_yi=δ_xi.

2.2 Sprays

Nesta se¸cão vemos que spraysdeterminam uma conexão de Grifone cuja distribui¸cão horizontal é livre de tensão e de tor¸cão.

Seja T M0 = {(x, y) ∈ T M : x ∈ M, TxM 3 y 6= 0} o fibrado tangente de M com a se¸cão nula removida. Sabemos queT M0 tem estrutura de variedade suave e denotamos por πT M₀ a restri¸cão de πT M a T M0. Naturalmente, temos a decomposi¸cãoT T M0=V ⊕ H induzida pela restri¸cão. Muitos dos objetos a seguir são definidos em T M0porém, na maioria dos casos, estes podem ser estendidos aT M possivelmente com um ordem de diferenciabilidade menor.

Defini¸c˜ao 2.2.1. Um semi-spray numa variedadeM ´e um campo de vetoresS ∈ X(T M) de classeC¹, suave emT M0, que satisfaz

JS =C. (2.9)

Se S ainda satisfizer

[C, S] =S, (2.10)

ent˜ao dizemos que S ´e um spray.

(31)

Exerc´ıcio 2.2.2. Em coordenadas naturais (x, y)seja S(x, y) =αⁱ(x, y)∂_xi−2Gⁱ(x, y)∂_yi,

um campo de vetores, onde αⁱ, Gⁱ, i= 1. . . n, são fun¸cões de classe C¹. Mostre que as condi¸cões (2.9)e (2.10) são equivalentes, respectivamente, a

αⁱ(x, y) =yⁱ e

Gⁱ(x, λy) =λ²Gⁱ(x, y),

∀(x, y), λ >0, i= 1. . . , n.

Teorema 2.2.3. Seja S um semi-spray emM. Então Γ := [J, S]é uma conexão de Grifone em M e a proje¸cão

h:= 1 2(I+ Γ)

determina uma distribui¸cão horizontal H = ker(Γ−I) cuja tor¸cão fraca se anula. Mais ainda, se S é um spray, então a tensão de H também se anula.

Demonstra¸c˜ao. SejaX ∈ X(T M). Ent˜ao em coordenadas naturais (x, y), y6= 0, temosX =Xⁱ∂_xi+Yⁱ∂_yi eS=yⁱ∂_xi−2Gⁱ∂_yi. Logo JX =Xⁱ∂_yi e

[X, S] =(Yⁱ−y^j∂_xjXⁱ+ 2G^j∂_yjXⁱ)∂_xi+ (∗)∂_yi,

[JX, S] =Xⁱ∂_xi+ (−2X^j∂_yjGⁱ−y^j∂_xjXⁱ+ 2G^j∂_yjXⁱ)∂_yi. Logo

Γ(X) = [J, S](X) = [JX, S]− J[X, S]

=Xⁱ∂_xi+ (−Yⁱ−2X^j∂_yjGⁱ)∂_yi. (2.11) Segue que ker(Γ +I) = span{∂_yi}=V e

Γ²(X) =Xⁱ∂xⁱ+ (−(−Yⁱ−2X^j∂y^jGⁱ)−2X^j∂y^jGⁱ)∂yⁱ =X.

(32)

De (2.11), temos

h(X) =1

2(I+ Γ(X))

=Xⁱ∂_xi−X^j∂_yjGⁱ∂_yi

=Xⁱ∂_xi−Xⁱ∂_yiG^j∂_yj

=Xⁱ(∂_xi−Γ^j_i∂_yj)

=Xⁱδ_xi,

(2.12)

onde Γ^j_i =∂_yiG^j s˜ao os coeficientes da conex˜ao de Grifone eδ_xi :=

∂_xi−Γ^j_i∂_yj. Fica a cargo do leitor verificar que a tor¸c˜ao fraca deH se anula.

Assuma agora que S é um spray. Pelo Exerc´ıcio 2.2.2, Gⁱ é positivamente homogênea de grau 2 em y, o que implica que Γⁱ_j é positivamente homogênea de grau 1 em y, o que por sua vez implica que y^k∂_ykΓⁱ_j = Γⁱ_j, pelo Teorema de Euler. Usando (2.12) e que C=yⁱ∂_yi, encontramos

[X, C] =−y^j∂_yjXⁱ∂_xi+ (Yⁱ−y^j∂_yjYⁱ)∂_yi, h[X, C] =−y^j∂_yjXⁱ(∂_xi−Γ^k_i∂_yk)

=−y^j∂_yjXⁱ∂_xi+y^kΓⁱ_j∂_ykX^j∂_yi

[hX, C] =−y^j∂_yjXⁱ∂_xi+ (−X^jΓⁱ_j+y^k∂_yk(X^jΓⁱ_j))∂_yi

=−y^j∂_yjXⁱ∂_xi+ (−X^jΓⁱ_j+X^jΓⁱ_j+y^kΓⁱ_j∂_ykX^j)∂_yi

=−y^j∂_yjXⁱ∂_xi+y^kΓⁱ_j∂_ykX^j∂_yi,

Concluimos que τ_H(X) = [h, C](X) = [hX, C]−h[X, C] = 0.

2.3 M´ etricas Finsler

Uma m´etrica Finsler determina v´arias estruturas na variedade, em particular, determina um spray munido de propriedades adicionais.

SejamF uma m´etrica Finsler emM eE:= ¹₂F²a energia associada.

Exerc´ıcio 2.3.1. Mostre queC·E= 2E, ou seja,E´e positivamente homogˆenea de grau2 na fibra.

(33)

Defini¸c˜ao 2.3.2. ω :=d(dE◦ J)∈Ω²(T M₀)´e chamada de forma fundamental da variedade Finsler(M, F).

Proposi¸cão 2.3.3. A2-formaωé uma forma simplética (exata) em T M0. Mais ainda, valem

(i) iCω=dE◦ J. (ii) L_Cω=ω.

(iii) ω(JX, Y) =ω(JY, X),∀X, Y.

Demonstra¸cão. ω é fechada pois é exata, bastando mostrar que é não-degenerada. Em coordenadas naturais (x, y), y6= 0,temos

dE=E_xidxⁱ+E_yidyⁱ, dE◦ J =E_yidxⁱ,

ω=d(dE◦ J) =E_yix^jdx^j∧dxⁱ+E_yiy^jdy^j∧dxⁱ.

(2.13)

Segue que

ωⁿ= (−1)ⁿn! det(E_yiy^j)dx¹∧dy¹∧. . .∧dxⁿ∧dyⁿ. Como det(E_yiy^j)6= 0, temos queωⁿé uma forma de volume emT M₀ e, portanto, ωé não-degenerada.

ComoE é positivamente homogênea de grau 2 emy, temos que E_yié positivamente homogênea de grau 1 emye, portanto,y^jE_yiy^j = E_yi. Usando queC=y^j∂_yj,temos de (2.13) queiCω=y^jE_yiy^jdxⁱ= E_yidxⁱ=dE◦ J. As propriedades (ii) e (iii) são deixadas a cargo do leitor.

Pela Proposi¸c˜ao 2.3.3, existe um ´unico campo de vetores S ∈ X(T M) determinado por

iSω=−dE. (2.14)

Teorema 2.3.4. Seja (M, F) uma variedade Finsler e S o campo de vetores definido em (2.14), onde E = ¹₂F² é a energia e ω é a forma fundamental de(M, F). EntãoS é um spray e coincide com o campo geodésico definido em (1.13). SejaHa distribui¸cão horizontal determinada porS como no Teorema 2.2.3. EntãotH= 0eτH= 0, onde tH e τH são a tor¸cão fraca e a tensão de H, respectivamente.

Al´em disso,H´e conservativa, ou seja, dE◦h= 0.

(34)

Demonstra¸c˜ao. Em coordenadas naturais (x, y), y 6= 0, seja S = Xⁱ∂_xi−2Gⁱ∂_yi. Usando (2.13) e (2.14), obtemos

((E_yix^j−E_yjxⁱ)X^j−2E_yiy^jG^j)dxⁱ−E_yjyⁱX^jdyⁱ=−E_xidxⁱ−E_yidyⁱ. Segue que para todoifixo vale

E_yjyⁱX^j=E_yi=E_yiy^jy^j=E_yjyⁱy^j, (2.15) sendo a penúltima igualdade válida pois E_yi é positivamente ho- mogênea de grau 1 emy. Como det(E_yjyⁱ)6= 0, obtemosX^j =y^j,∀j, o que prova queS é umsemi-spray. Segue também que para todo i fixo vale

2E_yiy^jG^j=E_xi+ (E_yix^j −E_yjxⁱ)X^j

=E_xi+ (E_yix^j −E_yjxⁱ)y^j

=E_xi−2E_xi+E_yix^jy^j

=−E_xi+E_yix^jy^j.

(2.16)

A penúltima igualdade segue deE_xi ser positivamete homogênea de grau 2 emy. Como det(E_yjyⁱ)6= 0,E_yiy^jé positivamente homogênea de grau 0 emy e o lado direito de (2.16) é positivamente homogêneo de grau 2 em y, podemos resolver o sistema (2.16), obtendo fun¸cões G^j positivamente homogêneas de grau 2 em y. Isso mostra que S

´

e um spray. Sejam gij := Eyⁱy^j e (g^ij) a matriz inversa de (gij).

Multiplicando ambos os lados de (2.16) porg^ji, obtemos G^j =1

2g^ji(−E_xi+E_yix^ky^k). (2.17) Concluimos queScoincide com o campo geod´esico definido em (1.13).

Pela defini¸cão de S em (2.14), temosdE·S =−ω(S, S) = 0, ou seja,E_xjy^j−2G^jE_yj = 0. Derivando esta expressão em rela¸cão ayⁱ, ifixo, obtemos

E_yix^jy^j+E_xi−2E_yjyⁱG^j−2E_yi∂_yiG^j= 0. (2.18) De (2.16) e (2.18), obtemos

Exⁱ =Ey^jG^j_i,∀ifixo, (2.19)