Caminhos mais curtos

(1)

Caminhos mais curtos

CLRS Secs 24.3 e 25.2

Análise de Algoritmos — 2º sem 2018 1 / 65

(2)

Caminhos mais curtos

Dados:

G = (V,E): grafodirigido

Funçãoc que atribui um comprimentoc(e)para cadae∈E.

I Ocomprimentode um caminho é a soma dos comprimentos de suas arestas.

I Para vérticesuev, adistânciadeu avé o menor comprimento de um caminho deu av.

Problema 1:DadosG,ce um vérticesdeG,

Problema 1:encontrar a distância desa cada vértice deG. Problema 2:DadosG ec,

Problema 2:encontrar a distância entre todo par de vértices deG. Algoritmo de Dijkstra:comprimentos não negativos

Algoritmo de Floyd-Warshall:sem circuitos negativos

(3)

Caminhos mais curtos

Dados:

(4)

Caminhos mais curtos

Dados:

Problema 1:encontrar a distância desa cada vértice deG.

Problema 2:DadosG ec,

(5)

Caminhos mais curtos

Dados:

Problema 2:encontrar a distância entre todo par de vértices deG.

Algoritmo de Dijkstra:comprimentos não negativos Algoritmo de Floyd-Warshall:sem circuitos negativos

(6)

Caminhos mais curtos

Dados:

(7)

Caminhos mais curtos

Dados:

(8)

Circuitos negativos

Dados:

Funçãoc que atribui um comprimentoc(e)para cadae∈E. Para vérticesuev, adistânciadeu avé o comprimento

de um caminho entreu ev de comprimento mínimo.

Quando há um circuito de comprimento negativo no grafo, a distância entre certos vértices pode ficar mal-definida.

Poderíamos dar “voltas” num circuito negativo,

cada vez obtendo um “caminho” de comprimento menor. Assim definimos a distânciaÖ(u,v)como

−∞, caso exista circuito negativo alcançavel deu, e o comprimento de um caminho mais curto deu avc.c.

(9)

Circuitos negativos

Dados:

cada vez obtendo um “caminho” de comprimento menor. Assim definimos a distânciaÖ(u,v)como

(10)

Circuitos negativos

Dados:

cada vez obtendo um “caminho” de comprimento menor.

Assim definimos a distânciaÖ(u,v)como

(11)

Circuitos negativos

Dados:

cada vez obtendo um “caminho” de comprimento menor.

Assim definimos a distânciaÖ(u,v)como

(12)

Propriedades

P: caminho mais curto desat Subestrutura ótima:

Subcaminhos deP são caminhos mais curtos.

Lema:DadosG ec, sejaP =hv₁, . . . ,v_kium caminho mais curto emG dev₁av_k. Para todo 1≤i ≤j ≤k,

P_ij:=hv_i, . . . ,v_jié um caminho mais curto dev_i av_j.

Corolário:ParaG ec, se o último arco de um caminho mais curto des até o arcout, entãoÖ(s,t) =Ö(s,u) +c(ut).

Lema:ParaG,ces,

Lema:Ö(s,v)≤Ö(s,u) +c(uv)para todos os arcosuv.

(13)

Propriedades

Lema:DadosG ec, sejaP =hv₁, . . . ,v_kium caminho mais curto emGdev₁av_k. Para todo 1≤i≤j ≤k,

Corolário:ParaG ec, se o último arco de um caminho mais curto des até o arcout, entãoÖ(s,t) =Ö(s,u) +c(ut).

Lema:ParaG,ces,

(14)

Propriedades

Corolário:ParaG ec, se o último arco de um caminho mais curto desaté o arcout, entãoÖ(s,t) =Ö(s,u) +c(ut).

Lema:ParaG,ces,

(15)

Propriedades

Corolário:ParaG ec, se o último arco de um caminho mais curto desaté o arcout, entãoÖ(s,t) =Ö(s,u) +c(ut).

Lema:ParaG,ces,

(16)

Algoritmo de Dijkstra

á: representa os caminhos mínimos atés d: guarda estimativa a distância desao vértice

DIJKSTRA(G,c,s)

1 parav∈V(G)faça v.d← ∞ v.á←nil 2 s.d←0

3 Q←V(G) fila de prioridade: chave devév.d

4 enquantoQ,∅faça 5 u← Extract-Min(Q) 6 para cadav∈adj(u)faça 7 sev∈Q ev.d >u.d+c(uv)

8 então v.á←u v.d ←u.d+c(uv) 9 áed são a informação desejada.

nada nada

Invariantes: u.d =Ö(s,u)seu <Q Invariantes: u.d ≥Ö(s,u)seu∈Q

Onde usamos que não há arestas de comprimento negativo?

(17)

Algoritmo de Dijkstra

DIJKSTRA(G,c,s)

u.d: comprimento de um caminho mínimo desau u.v:cujos vértices internos estão fora deQ

Invariantes: u.d =Ö(s,u)seu<Q

Invariantes: u.d ≥Ö(s,u)seu∈Q

(18)

Algoritmo de Dijkstra

DIJKSTRA(G,c,s)

Invariantes: u.d =Ö(s,u)seu<Q Invariantes: u.d ≥Ö(s,u)seu ∈Q

(19)

Algoritmo de Dijkstra

DIJKSTRA(G,c,s)

Invariantes: u.d =Ö(s,u)seu<Q Invariantes: u.d ≥Ö(s,u)seu ∈Q

(20)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

DIJKSTRA(G,c,s)

SeQfor uma lista simples: Linha 3 e Extract-Min:O(n)

Consumo de tempo do Dijkstra:O(n²)

(21)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

DIJKSTRA(G,c,s)

SeQfor uma lista simples:

Linha 3 e Extract-Min:O(n)

(22)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

DIJKSTRA(G,c,s)

SeQfor uma lista simples:

Linha 3 e Extract-Min:O(n)

(23)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

DIJKSTRA(G,c,s)

Consumo de tempo do Dijkstra:O(mlgn)

Consumo de tempo com Fibonacci heap:O(m+nlgn)

(24)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

DIJKSTRA(G,c,s)

SeQfor implementada com um heap:

Inicialização:O(n) Extract-Mine Decrease-Key:O(lgn) Decrease-Key:linha 8

(25)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

DIJKSTRA(G,c,s)

(26)

Algoritmo de Dijkstra

Complexidade:

DIJKSTRA(G,c,s)

(27)

Algoritmo A

^∗

DadosG,c,s,t, achar um caminho mínimo desat.

Suponha que exista, para cadavuma estimativa h(v)≤Ö(v,t).

Organize a fila de prioridadeQ pelo mínimo de f(v) =Ö(s,v) +h(v). Consistência: se para cada arestau→v

h(u)≤c(u→v)+h(v), o algoritmo termina com um caminho ótimo desat.

(28)

Algoritmo A

^∗

Organize a fila de prioridadeQ pelo mínimo de f(v) =Ö(s,v) +h(v). Consistência: se para cada arestau→v

h(u)≤c(u→v)+h(v), o algoritmo termina com um caminho ótimo desat.

(29)

Algoritmo A

^∗

Organize a fila de prioridadeQ pelo mínimo de f(v) =Ö(s,v) +h(v).

Consistência: se para cada arestau→v h(u)≤c(u→v)+h(v), o algoritmo termina com um caminho ótimo desat.

(30)

Algoritmo A

^∗

Organize a fila de prioridadeQ pelo mínimo de f(v) =Ö(s,v) +h(v).

Consistência: se para cada arestau→v h(u)≤c(u→v)+h(v), o algoritmo termina com um caminho ótimo desat.

(31)

Algoritmo A

^∗

Quando se aplica:

Gé subgrafo de um grafo no qual é “fácil” calcular distâncias.

Por exemplo, num mapa, a distância euclidiana é uma estimativa.

(32)

Algoritmo A

^∗

Quando se aplica:

(33)

Algoritmo A

^∗

Quando se aplica:

(34)

Problema 2

Dados:

Funçãoc que atribui um comprimentoc(e)para cadae∈E. Funçãoc que atribui um comprimentoc(e)para cadae∈E.

Hipótese:

Hipótese:Não há circuito de comprimento negativo emG.

Algoritmo de Floyd-Warshall:programação dinâmica

(35)

Problema 2

Dados:

Hipótese:

(36)

Problema 2

Dados:

Hipótese:

(37)

Propriedades

SubestruturaSubcaminhos deP são caminhos mais curtos.

Lema:DadosG ec, sejaP =hv₁, . . . ,v_kium caminho mais curto emG dev₁av_k. Para todo 1≤i ≤j ≤k,

Vamos identificarV = [n] ={1,2, . . . ,n}.

Parak ∈[n], sejaPum caminho mais curto desat cujos vértices internos estão todos em[k].

Floyd-Warshall:Usa caminhos mínimos

com vértices intermediários em[k−1]para obter caminhos mínimos com vértices intermediários em[k].

(38)

Propriedades

(39)

Propriedades

(40)

Propriedades

(41)

Algoritmo de Floyd-Warshall

Usa caminhos mínimos

SejaP um caminho mínimo dei aj emG com vértices intermediários em[k].

SeP não usak como vértice intermediário, entãoP é um caminho mínimo deiajemG entãocom vértices intermediários em[k−1]. senãoP =P⁰·P⁰⁰onde

senãoP⁰é um caminho mínimo dei ak emG senãocom vértices intermediários em[k−1]e senãoP⁰⁰é um caminho mínimo dek aj emG senãocom vértices intermediários em[k−1].

(42)

Algoritmo de Floyd-Warshall

SeP não usak como vértice intermediário, entãoP é um caminho mínimo deiajemG entãocom vértices intermediários em[k−1]. senãoP =P⁰·P⁰⁰onde

(43)

Algoritmo de Floyd-Warshall

SeP não usak como vértice intermediário, entãoP é um caminho mínimo deiaj emG entãocom vértices intermediários em[k−1].

senãoP =P⁰·P⁰⁰onde

(44)

Algoritmo de Floyd-Warshall

SeP não usak como vértice intermediário, entãoP é um caminho mínimo deiaj emG entãocom vértices intermediários em[k−1].

senãoP=P⁰·P⁰⁰onde

(45)

Recorrência

D^k[i,j]: comprimento de um caminho mínimo dei aj emG D^k[i,j]:com vértices intermediários em[k].

D^k[i,j]=

( c_ij sek =0

min{D^k⁻¹[i,j],D^k⁻¹[i,k]+D^k⁻¹[k,j]} sek ≥1

A matrixDⁿtem a resposta aoProblema 2.

Algoritmo de Floyd-Warshall:calculaDⁿ pela recorrência.

(46)

Recorrência

D^k[i,j]=

( c_ij sek =0

(47)

Recorrência

D^k[i,j]=

( c_ij sek =0

(48)

Recorrência

D^k[i,j]=

( c_ij sek =0

(49)

Algoritmo de Floyd-Warshall

D^k[i,j]: comprimento de um caminho mínimo dei aj emG D^k[i,j]:com vértices intermediários em[k−1].

FLOYD-WARSHALL-(G,c) 1 n← |V(G)|

2 D⁰←c

3 parak ←1atén faça 4 parai←1atén faça 5 paraj←1aténfaça

6 D^k[i,j] =min{D^k⁻¹[i,j],D^k⁻¹[i,k] +D^k⁻¹[k,j]} 7 devolvaDⁿ

Consumo de tempo:Ê(n³) Dijkstra:O(nmlgn)

Dijkstra:O(n(m+nlgn))com Fibonacci heap.

(50)

Algoritmo de Floyd-Warshall

2 D⁰←c

Consumo de tempo:Ê(n³)

Dijkstra:O(nmlgn)

(51)

Algoritmo de Floyd-Warshall

2 D⁰←c

Consumo de tempo:Ê(n³) Dijkstra:O(nmlgn)

(52)

Algoritmo de Floyd-Warshall

2 D⁰←c

E os caminhos mais curtos?

Guarde informação durante o processo acima para obter um caminho mais curto entre quaisquer dois vértices deG.

(53)

Algoritmo de Floyd-Warshall

2 D⁰←c

E os caminhos mais curtos?

Guarde informação durante o processo acima para obter um caminho mais curto entre quaisquer dois vértices deG.

(54)

Simulação

D⁰=







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞

2 ∞ −5 0 ∞

∞ ∞ ∞ 6 0







D¹=







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞ 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(55)

Simulação

D⁰=







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞

2 ∞ −5 0 ∞

∞ ∞ ∞ 6 0







D¹=







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞ 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(56)

Simulação

D¹=







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞ 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D²=







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(57)

Simulação

D¹=







0 3 8 ∞ −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 ∞ ∞ 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D²=







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(58)

Simulação

D²=







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D³=







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 −1 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(59)

Simulação

D²=







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 5 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D³=







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 −1 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







(60)

Simulação

D³=







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 −1 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D⁴=







0 3 −1 4 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







(61)

Simulação

D³=







0 3 8 4 −4

∞ 0 ∞ 1 7

∞ 4 0 5 11 2 −1 −5 0 −2

∞ ∞ ∞ 6 0







D⁴=







0 3 −1 4 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







(62)

Simulação

D⁴=







0 3 −1 4 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







D⁵=







0 3 −3 2 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







(63)

Simulação

D⁴=







0 3 −1 4 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







D⁵=







0 3 −3 2 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







(64)

Simulação

Distâncias:

D⁵=







0 3 −3 2 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







Como obter os caminhos?

Exercício!

(65)

Simulação

Distâncias:

D⁵=







0 3 −3 2 −4 3 0 −4 1 −1

7 4 0 5 3

2 −1 −5 0 −2

8 5 1 6 0







Como obter os caminhos?

Exercício!