06 - modelagem de sistemas

Modelagem matemática de sistemas mecânicos

A lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a segunda lei de Newton. Podemos aplicar essa lei a vários sistemas mecânicos e derivar modelos em função de transferência e modelos em espaço de estados.

Inicialmente, criaremos modelos simples com molas e com amortecedores. Depois, derivamos os modelos em função de transferência e espaço de estados de vários sistemas mecânicos.

Um sistema com mola, tem a equação que relaciona força e deslocamento dado por:

F=k x

onde k é a constante da mola e x é o deslocamento. No caso de duas molas em paralelo, como mostrado na figura (a) abaixo, a força é a mesma para ambas as modas, assim como o deslocamento. Assim:

F=k1x+k2x=(k1+k2)x=keqx

k_eq=k₁+k₂

Para duas molas em série, como na figura (b) acima, a força também é a mesma para ambas as molas, logo:

F=k1y=k2(x− y)

k2

(

)

Um amortecedor a pistão, por sua vez, é um dispositivo que proporciona atrito viscoso, ou amortecimento. Ele consiste em um pistão e um cilindro com óleo. Qualquer movimento relativo entre a haste do pistão e o cilindro encontra a resistência do óleo, porque este deve fluir em volta do pistão (ou através de orifícios no próprio pistão), de um lado a outro. Em essência, o amortecedor a pistão absorve energia. Essa energia absorvida dissipa-se na forma de calor e o amortecedor a pistão não armazena qualquer energia cinética ou potencial.

Para sistemas com amortecedores, tem-se a equação que relaciona força e deslocamento dada por:

F=b( ˙y− ˙x)

onde b é o coeficiente de atrito viscoso e x é o deslocamento de excitação de uma extremidade do pistão (ou seja, ˙x é a velocidade) e y é o deslocamento de saída da outra extremidade. Para amortecedores em paralelo, como na figura (a) abaixo, temos:

F=b1( ˙y − ˙x)+b2( ˙y− ˙x)=(b1+b2)( ˙y− ˙x) b_eq=b₁+b₂

F=b1( ˙z− ˙x )=b2( ˙y− ˙z)

Observe que a mesma força é transmitida através do eixo. Da Equação anterior, temos:

(b1+b2) ˙z=b2 ˙y +b1˙x

˙

z= 1

(b₁+b₂)(b2y +b˙ 1x)˙

Substituindo uma equação na outra, para eliminar a variável z:

F=b2

[

]

Considere o sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro sem massa, como mostra a figura abaixo.

Obtenhamos os modelos matemáticos desse sistema, presumindo que o carro esteja parado para t < 0 e que o sistema de massa-mola-amortecedor do carro também esteja parado para t < 0. Nesse sistema, u(t) é o deslocamento do carro e a entrada do sistema. Em t = 0, o carro se move em velocidade constante, ou ˙u = constante. O deslocamento y(t) da massa (com relação ao chão) é a saída. Nesse sistema, m indica a massa; b, o coeficiente de atrito viscoso; e k, a constante de mola. Supomos que a força de atrito do amortecedor a pistão seja proporcional a ˙y− ˙u e que a mola seja uma mola linear, isto é, a força da mola é proporcional a y – u.

Para sistemas translacionais, a segunda lei de Newton diz que:

m a=

∑

onde m é uma massa, a é a aceleração dessa massa e ΣF é o somatório das forças em ação sobre a massa na direção da aceleração. Aplicando-se a segunda lei de Newton ao sistema em questão e observando que o carro é isento de massa, temos:

md 2 y dt2 =−b

(

)

Essa equação representa um modelo matemático do sistema em questão. Tomando-se a transformada de Laplace da última equação e presumindo zero como condição inicial, temos:

(ms2+bs +k )Y (s)=(bs +k )U (s) A função transferência do sistema, portanto, é:

G(s)=Y (s)

U (s)=

bs+k ms2+bs+k

Exemplo: Ache a função transferência X1(s)/U(s) e X2(s)/U(s) do sistema mecânico abaixo,

considerando que ambas as massas encontram-se inicialmente em repouso.

∑

m1x¨1=u−k1x1−k2(x1−x2)−b( ˙x1− ˙x2) m2x¨2=−k3x2−k2(x2−x1)−b( ˙x2− ˙x1)

Separando as variáveis em cada lado da equação:

m1x¨1+b ˙x1+(k1+k2)x1=b ˙x2+k2x2+u m2x¨2+b ˙x2+(k2+k3)x2=b ˙x1+k2x1

Aplicando a Transformada de Laplace em cada uma, assumindo a condição inicial nula:

[m1s 2

+b s +(k1+k2)]X1(s )=(b s +k2)+U (s)

[m2s2+b s +(k2+k3)]X2(s)=(b s +k2)X1(s )

Isolando X2 na segunda equação, e substituindo na primeira, a equação simplificada fica:

[(m1s2+b s+k1+k2)(m2s2+b s+k2+k3)−(b s +k2)2]X1(s )=(m2s2+b s +k2+k3)U (s) Portanto: X1(s ) U (s )= m2s 2 +b s+k2+k3 (m₁s2+b s+k₁+k₂)(m₂s2+b s+k₂+k₃)−(b s+k₂)2

Substituindo nas equações anteriores:

X2(s) U (s)= b s+k2 (m₁s2 +b s+k₁+k₂)(m₂s2 +b s+k₂+k₃)−(b s+k₂)2

Modelagem matemática de sistemas elétricos

As leis básicas que regem os circuitos elétricos são as leis de Kirchhoff das correntes e das tensões. A lei das correntes de Kirchhoff (lei dos nós) diz que a soma algébrica de todas as correntes que entram e saem de um nó é zero. A lei das tensões de Kirchhoff (lei das malhas) estabelece que, em qualquer instante, a soma algébrica das tensões ao longo de qualquer malha de um circuito elétrico

é zero. Um modelo matemático de um circuito elétrico pode ser obtido pela aplicação de uma ou ambas as leis de Kirchhoff.

Considere o circuito elétrico RLC série mostrado na figura abaixo.

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao sistema, obtemos as seguintes equações:

1

C

∫

Considerando as transformadas de Laplace das equações acima e supondo condições iniciais nulas (capacitor e indutor descarregados), obtemos:

1 C

1

sI (s )=Eo(s)

Logo, a função transferência do sistema será:

Eo(s) E₁(s)= 1 LC s2 +RC s+1 Impedâncias complexas

Considere o sistema anterior. Nesse sistema podemos representar os componentes passivos por suas impedâncias, que são representações no domínio da frequência. Para o circuito analisado, Z1 e Z2

representam impedâncias complexas, onde Z1 é a soma das impedâncias do indutor e do resistor, e

Z2 é a impedância do capacitor.

Lembrando que as impedâncias complexas são:

Z_L=j ω L ZC=

1

jω C ZR=R

Perceba que podemos representar as mesmas impedâncias com o número complexo s, onde o termo real desse número (o coeficiente de amortecimento, a ser abordado futuramente) é nulo. Logo:

Z_L=s L ZC=

1

sC ZR=R

Aplicando divisor de tensão:

E_o(s) E1(s ) = Z2(s) Z1(s)+Z2(s) = 1 sC Ls+R + 1 sC = 1 LC s2+RC s+1

Que é o mesmo resultado obtido a partir da equação diferencial!

Exemplo: Obtenha a função de transferência Eo(s)/Ei(s) do circuito abaixo por meio da abordagem

Representando os componentes por suas impedâncias:

Aplicando as Leis de Kirchhoff:

Z2I1=(Z3+Z4)I2 I1+I2=I Logo: I₁= Z3+Z4 Z2+Z3+Z4 I I₂= Z2 Z2+Z3+Z4 I

Também temos que:

E_i=Z₁I +Z₂I₁=

[

]

Substituindo as impedâncias por suas expressões no domínio da frequência:

E_o(s) E_i(s )= 1 C₁s 1 C₂s R₁

(

)

(

)

Eo(s)

Ei(s )

= 1

R₁C₁R₂C₂s2+(R₁C₁+R₂C₂+R₁C₂)s+1

Amplificador inversor

Considere o circuito do amplificador operacional mostrado na figura abaixo. Seja e o a tensão de saída.

Sabemos que a relação da tensão de saída pela de entrada (ganho), é dada por:

e_o=−R2

R1ei

Podemos tratar os componentes, novamente, como impedâncias:

Eo(s)

Ei(s )

=−Z2(s)

Z1(s)

Caso outros componentes sejam inseridos, como capacitores, o mesmo procedimento pode ser usado para obter a função transferência. Por exemplo, considere o circuito abaixo:

Para esse circuito, temos que:

Z₁=R₁ e Z₂= 1

Cs+ 1

R₂

= R2

R2Cs+1

Assim, podemos achar a função transferência:

Eo(s) E_i(s )=− R2 R₁ 1 R₂Cs+1

Analisando o circuito anterior, podemos perceber que as correntes envolvidas estarão em fase, obedecendo a Lei das Correntes de Kirchhoff. A tensão de saída, por sua vez, estará atrasada com relação a corrente, pois é proporcional à tensão no capacitor (na realimentação). Por isso, o circuito acima é chamado de circuito de atraso (ou atrasador).

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos fazer um circuito de avanço conectando um capacitor na impedância de entrada. Concectando capacitores em ambas impedâncias, teremos um circuito de avanço-atraso, como o da figura abaixo.

Aplicando a mesma metodologia anterior, a função transferência fica: E(s) E_i(s )=− C₁ C₂ s + 1 R₁C₁ s + 1 R2C2

Note que a função transferência contém um sinal negativo, significando que o circuito é inversor. Caso a inversão não seja deseja, uma alternativa é usar uma configuração não inversora, outra é conectar um estágio inversor na saída do circuito.

A função transferência total fica:

E_o(s) E_i(s )=− R₄C₁ R₃C₂ s+ 1 R₁C₁ s+ 1 R₂C₂

O número de pólos desse sistema é o mesmo do número de zeros, portanto, o valor numérico dos termos que os acompanham ditarão o comportamento do sistema. Se R1C1 > R2C2, então o o zero da

função terá maior influência que o pólo, aproximando o sistema para um derivador, ou seja, o sistema será de avanço. Caso contrário, o pólo terá maior influência e o sistema será integrador, ou seja, o sistema será de atraso.