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Estudo do método dos elementos finitos de mínimos quadrados - LSFEM para resolução da equação de convecção - difusão bidimensional

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Sabrina dos Santos Ferreira

Estudo do Método dos Elementos Finitos de

Mínimos Quadrados - LSFEM para

Resolução da Equação de Convecção - Difusão

Bidimensional.

82/2015.

CAMPINAS, 2015. SP - Brasil.

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Dedicatória

Agradeço a Deus primeiramente, depois aos meus pais Milton José Gonçalves Ferreira e Ailda dos Santos Ferreira, a minha irmã Camila dos Santos Ferreira e ao meu namorado Daniel Ale-xandre Nobre por todo carinho e o apoio de sempre, agradeço por entenderem minha ausência em muitos momentos desde meu ingresso no mestrado até a conclusão dessa dissertação.

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Agradecimentos

Ao meu orientador Prof. Dr. Luiz Felipe Mendes de Moura da Faculdade de Engenharia Mecâ-nica da Universidade de Campinas - FEM - UNICAMP pela orientação ao longo desse periodo. Ao Prof. Dr. Estaner Romão Claro da Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo - EEL - USP pela ajuda.

Ao Prof. Dr. João Frederico da Costa Azevedo Meyer do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas - IMECC - Unicamp pelos esclarecimentos das diversas dúvidas que surgiram ao longo do desenvolvimento desse trabalho. Ao Prof. Dr. Matheus Cheque Bortolan do Departamento de Matemática da Universidade Fe-deral de Santa Catarina - UFSC por sua contribuição no desenvolvimento da teoria de Equações Diferenciais Parciais.

Ao Prof. Dr. Leandro Franco de Souza do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo - ICMC - USP pela contribuição.

A toda minha família em especial minha querida mãe Ailda dos Santos Ferreira por todo o amor, carinho, dedicação e paciência.

Ao meu pai Milton José Gonçalves por todo esforço de uma vida e por ter possibilitado meus estudos.

Ao meu grande amigo Fábio Santiago pelas horas de estudos juntos e pelo companheirismo nos momentos difíceis.

A CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pelo indispensável apoio financeiro.

Enfim a todos aqueles que de uma maneira ou de outra contribuíram para que este percurso pudesse ser concluído.

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Tenha em mente que tudo que você aprende na escola é trabalho de muitas gerações. Receba essa herança, honre-a, acrescente a ela e, um dia, fielmente, deposite-a nas mãos de seus filhos.

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Resumo

O objetivo deste trabalho foi o estudo da distribuição de temperatura em um domínio retangu-lar, para tal foi resolvida a Equação de Convecção - Difusão Bidimensional via Método dos Elementos Finitos de Mínimos Quadrados - Least Squares Finite Element Method (LSFEM). Para discretização espacial foi utilizado elementos bidimensionais quadráticos, nesse caso os elementos quadriláteros com oito nós foram escolhidos. A discretização temporal nos casos transientes foi aproximada via Método de Crank - Nicolson. Para a o obtenção da matriz do elemento e o vetor do lado direito a quadratura de Gauss - Legendre foi empregada. A solução do sistema algébrico resultante foi obtida a partir do Método dos Gradientes Conjugados, um dos métodos iterativos mais eficientes na resolução de sistemas lineares quando a matriz é simétrica, esparsa e definida positiva, sendo essas caracteristicas resultantes da formulação via LSFEM. É apresentada a formulação matemática do problema, a metodologia empregada na solução. Para a obtenção dos resultados um código em linguagem C foi implementado, por fim são apresentados os resultados obtidos, as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

Palavras-chave: Métodos dos Elementos Finitos de Mínimos Quadrados - LSFEM, Método de Crank - Nicolson, Quadratura de Gauss - Legendre e Método dos Gradientes Conjugados.

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Abstract

The objective of this work was the study of temperature distribution in a rectangular domain, for that was solved Equation Convection - Diffusion Two-Dimensional via Least Squares Fi-nite Element Method - LSFEM. For spatial discretization was used two-dimensional quadratic elements, in this case the quadrilateral elements with eight nodes were chosen. The time discre-tization in transient cases was approached via Crank - Nicolson Method. To obtain the element matrix and vector right side of the Gauss - Legendre quadrature was employed. The solution of resulting algebraic system was obtained using Conjugate Gradient Method, one of the most efficient iterative methods for solving linear sistenas when the matrix is symmetric, and positive definite sparse, and these resulting characteristics of the formulation via LSFEM. The mathe-matical formulation of the problem, the methodology used in the solution is shown. To obtain the results a code in C language was implemented, finally is presented results, conclusions and suggestions for future work.

Keywords: Least Squares Finite Element Method - LSFEM, Crank - Nicolson Method, Gaussian- Legendre Quadrature and Conjugate Gradient Method.

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Lista de Ilustrações

5.1 Elementos Quadriláteros. . . 19 5.2 Funções de Base das Familias de Serendipity e Lagrange Bidimensionais . . . . 20 6.1 Domínio do Problema de Convecção em Regime Permanente - Caso 1. . . 32 6.2 Solução Numérica do Problema de Convecção em Regime Permanente via

LS-FEM - Caso 1. . . 33 6.3 Domínio do Problema de Convecção em Regime Permanente - Caso 2. . . 34 6.4 Solução Numérica do Problema de Convecção em Regime Permanente via

LS-FEM - Caso2. . . 34 6.5 Domínio do Problema de Convecção em Regime Permanente - Caso 3. . . 35 6.6 Solução Numérica do Problema de Convecção em Regime Permanente via

LS-FEM - Caso 3. . . 36 6.7 Domínio do Problema de Convecção em Regime Permanente - Caso 4. . . 36 6.8 Solução Numérica do Problema de Convecção em Regime Permanente via

LS-FEM - Caso 4. . . 37 6.9 Domínio de Solução do Problema de Convecção em Regime Transiente - Caso

1. . . 38 6.10 Solução Numérica do Problema de Convecção em Regime Transiente via

LS-FEM - Caso 1. . . 39 6.11 Comparação entre as Soluções Numéricas em Regime Permanente e Transiente

- Caso 1. . . 40 6.12 Diferença entre as Soluções Permanente e Transiente com Refinamento da Malha 41 6.13 Domínio de Solução do Problema de Convecção em Regime Transiente - Caso 2. 42 6.14 Solução Numérica do Problema de Convecção em Regime Transiente via

LSFEM- Caso 2. . . 43 6.15 Comparação entre as Soluções Numéricas em Regime Permanente e Transiente

- Caso 2. . . 43 6.16 Domínio de Solução do Problema de Convecção em Regime Transiente - Caso 3. 45 6.17 Solução Numérica do Problema de Convecção em Regime Transiente via

LS-FEM - Caso 3. . . 46 6.18 Comparação entre as Soluções Numéricas em Regime Permanente e Transiente

- Caso 3. . . 46 6.19 Domínio de Solução do Problema de Difusão em Regime Permanente . . . 48 6.20 Solução Analítica para o Problema de Difusão em Regime Permanente . . . 49

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6.21 Solução Numérica para o Problema de Difusão em Regime Permanente via LS-FEM . . . 49 6.22 Comparação entre as Soluções Numéricas e Analítica . . . 50 6.23 Diferença entre a Solução Analítica (solanal) e a Solução Numérica (solnum)

com Refinamento da Malha . . . 51 6.24 Domínio de Solução do Problema de Difusão em Regime Transiente . . . 52 6.25 Solução Analítica para o Problema de Difusão em Regime Transiente . . . 53 6.26 Solução Numérica para o Problema de Difusão em Regime Transiente via

LS-FEM . . . 53 6.27 Comparação entre as Soluções Numéricas e Analitica . . . 54 6.28 Diferença entre a Solução Analítica (solanal) e a Solução Numérica (solnum)

com Refinamento da Malha . . . 55 6.29 Domínio do Problema de Convecção - Difusão em Regime Permanente com

Convecção Dominante. . . 56 6.30 Solução Numérica para o Problema de Convecção - Difusão com Convecção

Dominante via LSFEM . . . 57 6.31 Domínio do Problema de Convecção - Difusão em Regime Permanente com

Difusão Dominante. . . 58 6.32 Solução Numérica para o Problema de Convecção - Difusão em Regime

Perma-nente com Difusão Dominante via LSFEM . . . 59 6.33 Domínio do Problema de Convecção - Difusão em Regime Permanente com

Ambos os Fenômenos. . . 60 6.34 Solução Analítica para o Problema de Convecção - Difusão em Regime

Perma-nente com Ambos os Fenômenos . . . 61 6.35 Solução Numérica para o Problema de Convecção - Difusão em Regime

Perma-nente com Ambos os Fenômenos via LSFEM. . . 61 6.36 Comparação entre as Soluções Numéricas e Analítica . . . 62 6.37 Diferença entre a Solução Analítica (solanal) e a Solução Numérica (solnum)

com Refinamento da Malha . . . 63 6.38 Domínio de Solução do Problema de Convecção em Regime Transiente . . . . 64 6.39 Solução Numérica para o Problema de Convecção - Difusão em Regime

Tran-siente com Propriedades Físicas Variáveis com a Temperatura via LSFEM . . . 65 A.1 Valores Tabelados do Calor Específico e Valores Obtidos a partir da Função de

Ajuste A.1 . . . 72 A.2 Valores Tabelados da Condutividade Térmica e os Valores Obtidos com a

Fun-ção de Ajuste A.2 . . . 74 A.3 Valores Tabelados da Densidade e os Valores obtidos com a Função de Ajuste A.3 77

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A.4 Valores da Difusividade Térmica α(T ) . . . 79

B.1 Domínio de Solução do Problema de Difusão em Regime Permanente . . . 80

C.1 Domínio de Solução do Problema de Difusão em Regime Transiente . . . 88

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Lista de Tabelas

5.1 Funções de interpolação de elementos quadrilaterais com oito nós e as derivadas de primeira ordem. . . 20 5.2 Funções de interpolação de elementos quadrilaterais com oito nós e as derivadas

de segunda ordem e mista. . . 21 5.3 Raízes do Polinômios de Legendre xi e as Funções Pesos wi para Quadratura

de Gauss Legendre . . . 25 5.4 Pontos e Pesos de Gauss para Elementos Quadrilaterais com 8 nós . . . 25 6.1 Solução Permanente (solper), Solução Transiente (soltrans) e a Diferença

Comparando-se uma Linha - Caso 1. . . 40 6.2 Solução Permanente (solper), Solução Transiente (soltrans) e a Diferença

Comparando-se uma Linha - Caso 2. . . 44 6.3 Solução Permanente (solper), Solução Transiente (soltrans) e a Diferença

Comparando-se uma Linha- Caso 3. . . 47 6.4 Solução Analítica (solanal), Solução Numérica (solnum) e a Diferença

Comparando-se uma Linha. . . 50 6.5 Solução Analítica (solanal), Solução Numérica (solnum) e a Diferença

Comparando-se uma Linha. . . 54 6.6 Solução Analítica (solanal), Solução Numérica (solnum) e a Diferença

Comparando-se uma Coluna. . . 62 A.1 Temperatura T (◦C) e Calor Específico c

p(T ) da Água. . . 71

A.2 Temperatura T (◦C), Calor Específico Tabelado c

p(T ) , Calor Específico

Apro-ximado ˜cp(T ) e Erro Relativo Erel . . . 72

A.3 Temperatura T (◦C) e Condutividade Térmica k(T ) da Água. . . . 73

A.4 Temperatura T (◦C), Condutividade Térmica Tabelada k(T ), Condutividade

Térmica aproximada ˜k(T ) e Erro Relativo Erel . . . 75

A.5 Valores da Temperatura T (◦C) e Densidade ρ(T ) da Água. . . . 76

A.6 Temperatura T (◦C), Densidade tabelada ρ(T ), Densidade aproximada ˜ρ(T ) e

Erro Relativo Erel . . . 78

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Lista de Abreviaturas e Siglas

Ai,j - Matriz do Elemento

Kglobal - Matriz Global

R(x,y) - Resíduo

w - Função de ponderação

T (x,y,t) - Distribuição de temperatura k(T ) - Condutividade térmica cp(T ) - Calor especifico

Letras Latinas

|J| - Determinante da matriz Jacobiana J (x,y) - Coordenadas Globais

N (x,y) - Funções de Interpolação de Elementos Bidimensionais

Letras Gregas

Ω - Domínio

Ω - Um conjunto aberto do Rn

(ξ, η) - Coordenada locais. ρ(T ) - Densidade.

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Siglas

LSFEM - Método dos Elementos Finitos de Minimos Quadrados EDP - Equações Diferenciais Parciais

MWR - Método dos Resíduos Ponderados MGC - Método dos Gradientes Conjugados

Outras Notações

h,i - Produto interno entre dois vetores {A}0 - Transposta da matriz A

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SUMÁRIO

Lista de Ilustrações xvii

Lista de Tabelas xxi

Lista de Abreviaturas e Siglas xxiii

SUMÁRIO xxiii

1 Introdução 1

2 Revisão Bibliográfica 3

3 Método dos Resíduos Ponderados 7

3.1 Espaço de Funções . . . 7 3.2 Funcional e Operador Variação . . . 9 3.3 Método dos Minimos Quadrados . . . 11

4 Formulação do Problema 12

4.1 Equação Modelo . . . 12 4.2 Formulação pelo Método dos Minimos Quadrados . . . 12 5 Discretização Espacial via Método dos Elementos Finitos de Mínimos

Quadra-dos - LSFEM. 18

5.1 Elementos de Referência Bidimensionais - Elementos Quadriláteros. . . 19 5.2 Funções de Interpolação para Elemento Quadrilateral Quadrático com oito nós. 19 5.3 Transformação de Coordenadas . . . 21 5.4 Integração Numérica - Quadratura de Gauss Legendre . . . 24 5.5 Discretização Temporal - Método de Crank Nicolson . . . 26 5.6 Resolução do Sistema Linear - Método dos Gradientes Conjugados . . . 26

6 Aplicações Numéricas 32

6.1 Problemas de Convecção em Regime Permanente. . . 32 6.1.1 Caso 1 . . . 32 6.1.2 Caso 2 . . . 33 6.1.3 Caso 3 . . . 35 6.1.4 Caso 4 . . . 36

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6.2 Problemas de Convecção em Regime Transiente. . . 38 6.2.1 Caso 1 . . . 38 6.2.2 Caso 2 . . . 41 6.2.3 Caso 3 . . . 44 6.3 Problemas de Difusão em Regime Permanente. . . 47 6.4 Problemas de Difusão em Regime Transiente. . . 51 6.5 Problemas de Convecção - Difusão em Regime Permanente com Convecção

Dominante. . . 55 6.6 Problemas de Convecção - Difusão em Regime Permanente com Difusão

Do-minante. . . 57 6.7 Problemas de Convecção - Difusão em Regime Permanente com Ambos os

Fenômenos . . . 59 6.8 Problema de Convecção - Difusão em Regime Transiente com Propriedades

Físicas Variáveis com a Temperatura . . . 63

7 Conclusões e Sugestões 66

Referências Bibliográficas 68

APÊNDICES 71

A Propriedades Físicas da Água em Função da Temperatura. 71

A.1 Função que ajusta os valores do calor específico da água cp(T ) em função da

temperatura T (◦C) . . . . 71

A.2 Função que ajusta os valores da condutividade térmica k(T ) da água em função da temperatura T (◦C). . . . 73

A.3 Função que ajusta os valores da densidade ρ(T ) da água em função da tempe-ratura T (◦C). . . . 75

A.4 Função que ajusta os valores da difusividade térmica α(T ) da água em função da temperatura T (◦C). . . . 78

B Solução Analítica do Problemas de Difusão em Regime Permanente via Método

da Separação de Variáveis. 80

C Solução Analítica do Problema de Difusão em Regime Transiente via Método da

Separação de Variáveis. 88

D Solução Analítica do Problema de Convecção - Difusão em Regime Permanente

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1 Introdução

Os fenômenos físicos são modelados matematicamente com o objetivo de interpretar e compreender o seu comportamento, para isso é formulado um conjunto de equações matemá-ticas que os descrevam adequadamente, na grande maioria dos modelos matemáticos que re-presentam problemas reais não é possível a obtenção de uma solução analítica em geometrias arbitrárias devido a complexidade matemática, para contornar essa dificuldade faz-se uso de métodos numéricos para a obtenção da solução que sejam capazes de solucionar os modelo de forma rápida e precisa.

O Método dos Elementos Finitos - MEF foi desenvolvido por engenheiros aeronáuticos em 1950 com o objetivo de analisar problemas estruturais em aeronaves. Em seu artigo Turner (1956) estabeleceu os procedimentos para a formulação e montagem da matriz de elementos, Clough (1960) escreveu um artigo onde foi utilizado pela primeira vez o termo elemento finito, Argyris e Kelsey (1963) desenvolveu a teoria da matriz de estruturas para os elementos dis-cretos estabelecendo os conceitos de flexibilidade e rigidez formulaçãoes padrões da mecânica estrutural, Zienkiewicz e Cheung (1965) aplicou o método dos elementos finitos para problemas não estruturais, tais como escoamento de fluidos e eletromagnetismo, Oden e Wellford Junior (1972) aplicou o método a uma vasta gama de problemas de mecânica não linear.

As equações diferenciais parcias - EDP são muito importantes pois modelam diversos problemas nas áreas de eletromagnetismo, engenharia biomédica, transferência de calor, me-cânica dos fluidos, geotecnia, meteorologia, econometria, engenharia química, engenharia de alimentos, entre outras. Atualmente o Método dos Elementos Finitos - MEF é muito utilizado para resolver esse tipo de equação, em linhas gerais é um método matemático, no qual um meio contínuo é discretizado em elementos que mantém as propriedades de quem os originou, o mé-todo dos elementos finitos de mínimos quadrados - LSFEM é uma das variantes do mémé-todo dos elementos finitos.

A idéia do método consiste em dividir o domínio Ω do problema em elementos finitos Ωe

de geometria simples, como triângulos ou quadrilateros, os elementos finitos Ωeutilizados na

discretização do domínio do problema são conectados entre si através dos nós ou pontos nodais, ao conjunto de elementos finitos Ωee os pontos nodais, dá-se, usualmente o nome de malha.

Como o objetivo desse trabalho é estudar a distribuição de temperatura resolvendo-se a Equação de Convecção - Difusão Bidimensional, o artificio de baixar a ordem da segunda de-rivada da difusão não foi utilizado, quando os valores do fluxos são as variáveis de interesse a utilização desse artificio é uma boa estratégia, caso contrário terá que ser feito algum pro-cedimento extra para recuperação do gradiente, a metodologia empregada para obtenção dos resultado será a discretização espacial via método dos elementos finitos de mínimos quadrados (LSFEM), onde o método de Cranck-Nicolson é utilizado para discretizar o tempo, a

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quadra-tura de Gauss - Legendre é utilizada para o cálculo das integrais e para resolução do sistema algébrico será utilizado o método dos gradientes conjugados.

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2 Revisão Bibliográfica

O método dos elementos finitos de mínimos quadrados de primeira ordem - FOSLS tam-bém é conhecido como método dos elementos finitos de mínimos quadrados LSFEM, é um método de elementos finitos onde a equação diferencial parcial é reformulada em um sistema de equções de primeira ordem. O resíduo do sistema é um funcional quadrático onde sua mi-nimização proporcionando um estimador simples para o erro . Métodos dos elementos finitos baseado na abordagem de mínimos quadrados têm sido propostos para uma variedade de pro-blemas como por exemplo propro-blemas de elasticidade linear e propro-blemas de convecção difusão segundo Bochev e outros (1998). O uso do Método dos Elementos Fínitos de Mínimos Quadra-dos - LSFEM para a solução aproximada de equações diferenciais parciais vem de longa data. Na sua forma inicial era menos competitivo do que a formulação de Galerkin. Atualmente vem recebendo uma atenção especial.

De acordo com Bon (1998) o LSFEM oferece alguns vantagens significativas se compa-rado ao GFEM ao resolver equações diferenciais parciais. É comum usar diferentes técnicas numéricas para resolução de diferentes tipos de equações diferenciais parciais (EDP), mas o LSFEM têm uma formulação unificada para todos tipos de equações diferenciais, não impor-tando se elas são elípticas, parabólicas, hiperbólicas ou mistas

Muitos problemas podem ser modelados utilizando equações parciais de primeira ordem ou equações parcias de ordem superior que podem ser transformadas em um sistema de equa-ções de primeira ordem, utilizando as técnicas convencionais é bem dificil encontrar a solução desses sistemas, pois, geralmente as matrizes resultantes são não simétricas, quando utiliza-se o LSFEM o resultado será sempre uma matrizes simétricas e positivas definidas que será efici-entemente resolvida utilizando o método de gradientes conjugados.

Tratamentos especiais tais como upwinding, dissipação artificial, malha deslocadas ou elementos de ordem desigual, compressibilidade artificial, separação e pré-condicionamento de operadores são desnecessários quando se usa LSFEM. Em todas as áreas onde se aplica o método misto de Galerkin, o LSFEM pode ser aplicado sem a limitação da condição LBB (Ladyhenskaya-Babuska-Brezzi)1.

Ao estudar o método dos elementos finitos nas variantes Galerkin, Petrov-Galerkin e Mí-nimos Quadrados para a equação de convecção - difusão bidimensional e comparar com os resultado de Camprubi e outros (2000), Romão (2004) concluiu que o Método dos Mínimos Quadrados apresenta na sua formulação uma matriz dos coeficientes que é simétrica e definida positiva tanto para problemas difusivos quanto para convectivo-difusivos. O Método de Galer-kin apresenta estas propriedades apenas para problemas puramente difusivos. Para malhas bem

1A condição de estabilidade LBB – Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi, diz que os espaços de interpolação para a

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refinadas o Método dos Mínimos Quadrados apresenta um incremento considerável na eficiên-cia.

Camprubi e outros (2000) faz uma análise semelhante comparando o método dos elemen-tos fínielemen-tos de Galerkin (GFEM) com o método dos elemenelemen-tos fínielemen-tos de mínimos quadrados (LSFEM) para ao problema de convecção - difusão com alto número de Peclet, haverá osci-lações na solução aplicando-se o método de Galerkin como era de se esperar pois sabe-se da literatura que esse método apresenta bons resultados apenas para problemas com difusão do-minante. O LSFEM alcança a estabilidade através da simétria da sua formulação, no entanto o LSFEM apresenta duas desvantagens notáveis, alto custo computacional e soluções mais dissi-pativas.

As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais que modelam o esco-amento de fluidos onde a velocidade e a pressão no escoesco-amento podem ser determinadas. As equações de Navier-Stokes estáveis incompressíveis na formulação velocidade-pressão-vorticidade foram estudadas por Bon (1992), nesse trabalho Bon (1992) concluiu que o LSFEM é uma bom método a ser utilizado na resolução do problema, pois os métodos que são habitual-mente são utilizados para resolver essas apresentam deficiências. No método de Galerkin Misto é preciso utilizar diferentes elementos para interpolar a velocidade e a pressão para satisfazer a condição Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi - LBB a fim de garantir a existência da solução, nesse caso o LSFEM é melhor por que pode ser aplicado sem a limitação dessa condição LBB. No método de penalidade a equação de continuidade é penalizada eliminando-se a pressão, há uma considerável poupança de tempo e memória do computador, mas o sistema linear obtido não pode ser resolvidos por meio de técnicas iterativas o que dificulta o uso do método para re-solver problemas de grande escala, a pressão que muitas vezes é a propriedade mais importante some do problema. Já o método Streamline Upwind Petrov-Galerkin - SUPG apresenta melhor precisão e estabilidade se comparado ao método de Galerkin misto, nesses casos o problema é que o sistema algébrico resultante não é simétrico, como sabemos o LSFEM sempre resulta em matriz simétrica, por esse motivo Bon (1992) propôs sua utilização pensando na questão da efi-ciência computacional quando se trata de resolução de sistemas lineares com matriz simétrica.

Perreira (2005) usando as formulações pressão-vorticidade e velocidade-pressão-tensão, denominadas u − p − ω e u − p − τ fez simulações de escoamentos incompres-siveis pelo método de Elementos Finitos de Mínimos Quadrados (LSFEM). Para a validação de seus resultados Perreira (2005) testou alguns tipos de elementos, mas o elemento com nove pontos nodais foi aquele que proporcionou resultados mais satisfatórios. Ao resolver o sistema algébrico utilizou o método frontal, não levando em conta que a matriz via LSFEM sempre é simétrica e positiva definida, com isso deveria ter utilizado o metodo dos gradientes conjugados que é um metodo iterativo eficiente para esse tipo de matriz.

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essa análise foi feito no trabalho Romão e outros (2011) ao resolver as equações de Poisson e Helmholtz tridimensional comparando o Métodos dos Elementos Finitos de Galerkin - MEFG com o Método dos Elementos Finitos de Mínimos Quadrados - LSFEM. Uma análise impor-tante feita no trabalho é que o Métodos dos Elementos Finitos de Galerkin - MEFG apresenta resultados ligeiramente melhores do que o Método dos Elementos Finitos de Mínimos Qua-drados - LSFEM para problemas difusivos pois a partir da literatura sabe-se que o LSFEM é apropriado para EDPs de primeira ordem. No entanto ao analisar as derivadas o LSFEM fornece resultados significativamente melhores. Se o objetivo é apenas para encontrar a distribuição de temperatura T (x, y, z) é aconselhável o uso do Métodos dos Elementos Finitos de Galerkin -MEFG pela sua eficiência e pelo seu baixo custo computacional. No entanto se for necessário a solução da primeira derivada o LSFEM é o mais aconselhável.

Quando o problema apresenta o fenômeno de convecção dominante ao se utilizar o mé-todo de Galerkin surge oscilações na solução. Para eliminar esse problema deve-se refinar a malha, o que pode inviabilizar o uso do método pois ao refinar a malha tem-se um aumento do custo computacional, no trabalho de Nguyen e Reynem (1984) utiliza-se o esquema de elemen-tos finielemen-tos de minímos quadrados espaço tempo para os problemas de convecção difusão com número de Peclet de moderados a altos com o objetivo de eliminar essas oscilações.

Atualmente o ramo das telecomunicações têm - se desenvolvido muito, se no passado tudo se resumia em falar ao telefone, assistir a um programa de TV ou ouvir um programa no rádio, hoje devido a rapidez da internet qualquer informação pode ser pesquisa utilizando um computador pessoal ou mesmo um telefone celular. As Equações de Maxwell são um conjunto de conjunto de 4 equações diferenciais parciais de primeira ordem no tempo e no espaço que descrevem uma grande variedade de fenômenos e são a base para o funcionamento de muitos dispositivos eletromagnéticos. Bergström (2000) fez um estudo sobre a aplicação do LSFEM e obteve bons resultados visto que as equações de Maxwell são de primeira ordem sendo conve-niente para implementação do LSFEM de acordo com Perreira (2005).

Modelos matemáticos para o estudo do escoamentos de fluidos não newtonianos é o foco de pesquisas e estudos principalmente pelas indústrias químicas, alimentícias e petrolíferas. Es-ses escoamentos são aplicados na injeção de plásticos, processos de extrusão de forma geral e na extração de petróleo. Como exemplo desses fluidos, pode-se citar tintas, graxas, plásticos, alimentos líquidos, fluido para perfuração e completação de poços de petróleo. , dentre eles o processo de criação de polímeros. Soluções numéricas para esse tipo de problema são difíceis de serem obtidos, o comportamento do material é representado por equações diferenciais par-ciais hiperbólicas. No trabalho de Chen e outros (2010) foi desenvolvido uma abordagem para resolver esses problemas utilizando LSFEM.

A Equação de convecção reação é uma equação diferencial parcial hiperbólica que sur-gem a partir de várias aplicações de engenharia, como por exemplo estimativas em dispositivos

(32)

médicos, simulação de reservatórios de petróleo e contaminação de água subterrânea . Em Nam e outros(2011) apresentou-se um método de resolver um sistema de convecção-reação usando o espaço-tempo quadrados mínimos método dos elementos finitos - (ST - LSFEM).

Diante dessa contextualização e apartir da análise dos vários trabalhos apresentados percebe-se a grande importância do método do elementos finitos na resolução de problemas em diversas áreas em especial o LSFEM, esse trabalho tem como objetivo fornecer resultados que enriqueçam a literatura propondo novos casos de estudo para que tenhamos cada vez mais trabalhos que utilizem o LSFEM em sua resolução.

(33)

3 Método dos Resíduos Ponderados

"Os métodos variacionais são uma das principais ferramentas utilizadas para resolver pro-blemas na teoria das equacões diferenciais ordinárias e parciais. A idéia central é a formulação de um problema variacional equivalente, em um certo sentido, ao problema de equação di-ferencial. O problema variacional consiste na obtenção de pontos críticos para um funcional associado ao problema diferencial. O termo funcional é usado para designar uma função real, cujo seu domínio é um subconjunto de um espaço de funções"de acordo com Figueiredo (1988, p. 21).

3.1 Espaço de Funções

Definição 3.1. Um espaço vetorial normado (V, + ,.) é completo quando toda a sequência de Cauchy em (V, + ,.) for convergente.

Definição 3.2. Um espaço de Banach é um espaço vetorial normado completo.

Definição 3.3. Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial (H, +,.) munido de um produto interno e completo em relação à norma definida por esse produto interno.

Definição 3.4. Seja Ω ∈ Rnum conjunto mensurável com 1≤ p ≤ ∞. Definimos o espaço L p

(Ω) como sendo o espaço das funções reais p integráveis no sentido de Lebesgue , isto é: Lp(Ω) = {u : Ω → R : Z Ω |u|p < ∞} (3.1) A norma de Lp(Ω) é dada por :

||u||Lp(Ω) =  Z Ω|u| pdΩ 1 p (3.2) O espaço de Lebesgue Lp(Ω) é um espaço de Banach.

Definição 3.5. Seja L2(Ω) um espaço de Hilbert, onde L2(Ω) é o espaço das funções quadrado

integráveis definado por:

L2(Ω) = {u ∈ Ω → R :

Z

u2dΩ < ∞}

(34)

munido do produto interno definido da seguinte forma: hu,vi = Z Ω uvdΩ, u,v ∈ L2(Ω). (3.4) cuja norma é:

||u||0 = ||u|| = hu,ui

1 2 =  Z Ω |u|2dΩ 1 2 , u ∈ L2(Ω). (3.5) Definição 3.6. Sejam Ω um aberto do Rn, 1≤ p ≤ ∞ e m ∈ N. O Espaço de Sobolev de

ordem m modelado sobre Lp(Ω) que denotamos por Wm,p(Ω), é o espaço vetorial das classes

de funções em Lp(Ω) cujas derivadas distribucionais de ordem α pertencem a Lp(Ω), para todo

multi-índice α com |α| ≤ m. Wm,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω); Dαu ∈ Lp(Ω), para |α| ≤ m}. (3.6) Quando 1≤ p ≤ ∞ a norma é: ||u||Wm,p(Ω)= X |α|≤m ||Dα u||pLp(Ω) !1 p . (3.7) Para p = ∞ temos: ||u||Wm,∞(Ω)= X |α|≤m ||Dα u||pL∞(Ω). (3.8)

Um multi-índice é uma n-upla de números inteiros não negativos, α = (α1,α2, . . . , αn) A um multi-índice associamos: |α| = α1+ α2+ . . . + αn; xα = xα1 1 + x α2 2 + . . . + x αn n ; Dα = ∂α/∂α1 x1, ∂ α2 x2, . . . , ∂ αn xn. (3.9)

Para o caso particular em que p = 2, o espaço de Sobolev Wm,2(Ω) é um Espaço de Hilbert,

(35)

Definição 3.7. Para algum inteiro não negativo m definimos o espaço de Hilbert de ordem m sobre Ω contendo funções u em L2(Ω) tal que suas derivadas, no sentido das distribuições,

estejam L2(Ω) isto é:

Hm(Ω) = {u ∈ L2(Ω); Dαu ∈ L2, para |α| ≤ m}

(3.10) Definição 3.8. O produto interno em Hm(Ω) é denotado por:

hu,viHm(Ω)=

X

|α|≤m

hDαu,DαviL2(Ω) (3.11)

com a norma associada

||u||Hm(Ω)= " X |α≤m ||Dα u||2 L2(Ω) #1 2 (3.12)

3.2 Funcional e Operador Variação

Segundo Reddy (1993, p. 26) a integral da forma I(u) =

Z b a

F (x,u,u0)dx (3.13)

com u = u(x), u0

= du/dx onde o integrando F (x,u,u0

) é uma função com argumentos x, u e u0

onde I(u) é chamado de funcional. O termo funcional será usado para descrever funções cujos argumentos são funções, ou seja, é uma função de função. Matematicamente I é um operador que mapea u em um escalar I(u). Considere a função F = F (x,u,u0

) para um valor arbitrario fixo da variavel independente x, F dependera de u e u0

. A mudança αv em u, onde α é uma constante e v é uma função é chamada de variação de u denotada por δu onde:

δu = αv (3.14)

A primeira variaçao de F em u é definida como: δF = ∂F ∂uδu + ∂F ∂u0δu 0 . (3.15)

(36)

O operador δ é chamado de simbolo variacional e apresenta as seguintes propriedades: 1. δ ∂u ∂x ! = δ(∂u) ∂x , (3.16) 2. δ(δu) = 0, (3.17) 3. δ(u + v) = δu + δv, (3.18) 4.

δ(uv) = uδv + vδu = δ(vu), (3.19)

5.

δ(cu) = cδu sendo c uma constante. (3.20)

O método dos resíduos ponderados inicia-se com uma equação diferencial genérica na forma:

L(u) = f em Ω (3.21)

sujeita as condições de contorno

S(u) = g em Γ (3.22)

Onde L e S são operadores lineares. Devido às dificuldades de obtenção da solução analítica u esta pode ser aproximada por um conjunto de funções Ni(x,y) dada por:

˜ u(x,y) = n X i=1 uiNi(x,y) (3.23)

onde os coeficientes u1,u2, . . . ,un são chamados de coeficientes de Fourier e deverão ser

de-terminados e Ni(x,y) são chamandas de funções de interpolação ou de forma, essas funções

são linearmente independentes (LI) e devem satisfazer todas as condições de contorno. Como a solução aproximada 3.23 não satisfaz a equação 3.22 haverá como resultado da substituição de 3.23 em 3.22 um erro ou residuo R(˜u) dado por:

(37)

O produto interno entre o residuo 3.24 e função de ponderação ωié igualado a zero:

hR(˜u),ωii =

Z

ωiR(˜u)dΩ = 0 para i = 1,2, . . . ,n. (3.25)

Onde Ω é o dominio do problema e o número de funções ponderadoras é igual ao número de coeficientes desconhecidos αi. A escolha da funçãode ponderação ωi(x) define o tipo do método

de resíduo ponderado a ser utilizado.

3.3 Método dos Minimos Quadrados

A idéia central do método dos minimos quadrados é determinar u ∈ Ωepara a

minimiza-çao da integral do quadrado do residuo definido em 3.24. Definindo-se o funcional quadrático I(˜u) = |[R(˜u)]|2=

Z

R(˜u)2dΩ (3.26)

onde ˜u ∈ Ωe={ ˜u ∈ H2}, onde H2é o espaço de Hilbert de ordem 2.

Para que a solução ˜u seja um minimizador do funcional dado pela equação 3.26 a primeira variação δI deve se igual a zero,

δI(˜u) = 2 Z Ω (δR)R(x)dΩ = 0 ou δI(˜u) = Z Ω (δR)R(x)dΩ = 0 (3.27)

Comparando a equação 3.27 com a equação 3.25 podemos concluir que a função de ponderação wiserá igual a primeira variação do residuo δR sendo este o método dos minimos quadrados.

(38)

4 Formulação do Problema

4.1 Equação Modelo

Nesse trabalho será estudada a Equação de Convecção Difusão Bidimensional via LSFEM em um dominio genérico Ω ∈ R2 sendo limitado e fechado. Com condições de contorno de

Dirichlet e condição inicial especifiadas. ρ(T )cp(T ) ∂T (x,y,t) ∂t + u ∂T (x,y,t) ∂x + v ∂T (x,y,t) ∂y ! = k(T )∂T 2(x,y,t) ∂x2 + k(T ) ∂T2(x,y,t) ∂y2 (4.1) Onde ρ(T ) é a densidade com unidade de medida em kg/m3, c

p(T ) é o calor especifico em

J/kg.K e k(T ) a condutividade térmica em W/m.K.

4.2 Formulação pelo Método dos Minimos Quadrados

Isolando o termo transiente da equação 4.1: ∂T (x,y,t) ∂t = k(T ) ρ(T )cp(T ) ∂2T (x,y,t) ∂x2 + k(T ) ρ(T )cp(T ) ∂2T (x,y,t) ∂y2 − u∂T (x,y,t) ∂x + v ∂T (x,y,t) ∂y ! ∂T (x,y,t) ∂t = α(T ) ∂2T (x,y,t) ∂x2 + α(T ) ∂2T (x,y,t) ∂y2 − u ∂T (x,y,t) ∂x − v ∂T (x,y,t) ∂y (4.2) O termo α(T ) = k(T )/ρ(T )cp(T ) é chamado de difusividade térmica em m2/s. A solução

aproximada eT (x,y,t) é dada por: e

T (x,y,t) =

N nosX i=1

(39)

Calculando as derivadas parcias de primeira ordem de eT (x,y,t) em relação a x e y: ∂ eT (x,y,t) ∂x = N nosX i=1 Ti(t) ∂Ni(x,y) ∂x (4.4) ∂ eT (x,y,t) ∂y = N nosX i=1 Ti(t) ∂Ni(x,y) ∂y (4.5)

As derivadas parcias de segunda ordem de eT (x,y,t) em relação a x e y serão: ∂2T (x,y,t)e ∂x2 = N nosX i=1 Ti(t) ∂2N i(x,y) ∂x2 (4.6) ∂2T (x,y,t)e ∂y2 = N nosX i=1 Ti(t) ∂2N i(x,y) ∂y2 (4.7)

Será adotado θ = 0.5 para a aproximação da familia θ sendo esse o esquema de Cranck Nicolson segundo Reddy (1993, p. 374). Conforme os relatos no trabalho de Romão (2004, p. 37) essa é a melhor alternativa para discretizar o tempo via LSFEM.

e Ts+1 n − eTns ∆t = θ ( α(T )∂ 2Te ∂x2 + α(T ) ∂2Te ∂y2 − u ∂ eT ∂x − v ∂ eT ∂y )s+1 + (1 − θ) ( α(T )∂ 2Te ∂x2 + α(T ) ∂2Te ∂y2 − u ∂ eT ∂x − v ∂ eT ∂y )s = 0.5 ( α(T )∂ 2Te ∂x2 + α(T ) ∂2Te ∂y2 − u ∂ eT ∂x − v ∂ eT ∂y )s+1 + 0.5 ( α(T )∂ 2Te ∂x2 + α(T ) ∂2Te ∂y2 − u ∂ eT ∂x − v ∂ eT ∂y )s (4.8) O resíduo R(x,y) será:

R(x,y) = Te s+1 ∆t − e Ts ∆t− 0.5 ( α(T )∂ 2Te ∂x2 + α(T ) ∂2Te ∂y2 − u ∂ eT ∂x − v ∂ eT ∂y )s+1 − 0.5 ( α(T )∂ 2Te ∂x2 + α(T ) ∂2Te ∂y2 − u ∂ eT ∂x − v ∂ eT ∂y )s (4.9)

(40)

Juntando os termos no tempo s e no tempo s + 1 tem - se: R(x,y) = ( e T ∆t− 0.5α(T s)∂2Te ∂x2 − 0.5α(T s)∂2Te ∂y2 + 0.5u ∂ eT ∂x + 0.5v ∂ eT ∂y )s+1 + ( −∆tTe − 0.5α(Ts−1)∂ 2Te ∂x2 − 0.5α(T s−1 )∂ 2Te ∂y2 + 0.5u ∂ eT ∂x + 0.5v ∂ eT ∂y )s (4.10) Substituindo as equações 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 e 4.7 na equação 4.10 temos:

R(x,y) = ( 1 ∆t N nosX i=1 Tis+1Ni− 0.5α(Ts) N nosX i=1 Tis+1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T s ) N nosX i=1 Tis+1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Tis+1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Tis+1 ∂Ni ∂y ) + ( −∆t1 N nosX i=1 Ts iNi − 0.5α(Ts−1) N nosX i=1 Ts i ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T s−1) N nosX i=1 Ts i ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Ts i ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Ts i ∂Ni ∂y ) (4.11) A primeira variação δR do residuo 4.11 é dada por:

δR = ∂R ∂Ti δTi = 1 ∆t N nosX i=1 Ni− 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 ∂Ni ∂y ! δTi (4.12)

(41)

Aplicando o método dos minimos quadrados: Z Ω R(x,y)δRdΩ = Z Ω ( 1 ∆t N nosX i=1 Tis+1Ni− 0.5α(T ) N nosX i=1 Tis+1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 Ts+1 i ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Ts+1 i ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Tis+1 ∂Ni ∂y ! + −∆t1 N nosX i=1 Ts iNi − 0.5α(T ) N nosX i=1 Ts i ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 Ts i ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Ts i ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Ts i ∂Ni ∂y !)( 1 ∆t N nosX i=1 Ni − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 ∂Ni ∂y ) δTidΩ = 0. (4.13) como δTi 6= 0 temos: Z Ω R(x,y)δRdΩ = Z Ω ( 1 ∆t N nosX i=1 Ts+1 i Ni− 0.5α(T ) N nosX i=1 Ts+1 i ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 Tis+1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Tis+1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Tis+1 ∂Ni ∂y ! + −∆t1 N nosX i=1 Ts iNi − 0.5α(T ) N nosX i=1 Ts i ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 Ts i ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Ts i ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Ts i ∂Ni ∂y !)( 1 ∆t N nosX i=1 Ni − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 ∂Ni ∂y ) dΩ = 0.

(42)

= Z Ω 1 ∆t N nosX i=1 Ts+1 i Ni− 0.5α(T ) N nosX i=1 Ts+1 i ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 Tis+1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Tis+1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Tis+1 ∂Ni ∂y ! 1 ∆t N nosX i=1 Ni− 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 ∂Ni ∂y ! dΩ + Z Ω − 1 ∆t N nosX i=1 TisNi− 0.5α(T ) N nosX i=1 Tis ∂2N i ∂x2 + 0.5α(T ) N nosX i=1 Ts i ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Ts i ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Ts i ∂Ni ∂y ! 1 ∆t N nosX i=1 Ni− 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 ∂Ni ∂y ! dΩ = 0. (4.14) Como os valores de Ts

i são conhecidos logo:

Z Ω 1 ∆t N nosX i=1 Tis+1Ni − 0.5α(T ) N nosX i=1 Tis+1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 Tis+1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Tis+1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Tis+1 ∂Ni ∂y ! 1 ∆t N nosX i=1 Ni − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 ∂Ni ∂y ! dΩ

(43)

= − Z Ω − 1 ∆t N nosX i=1 Ts iNi− 0.5α(T ) N nosX i=1 Ts i ∂2N i ∂x2 + 0.5α(T ) N nosX i=1 Tis ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 Tis ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 Ts i ∂Ni ∂y ! 1 ∆t N nosX i=1 Ni− 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) N nosX i=1 ∂2N i ∂y2 + 0.5u N nosX i=1 ∂Ni ∂x + 0.5v N nosX i=1 ∂Ni ∂y ! dΩ. (4.15) Reorganizando a equação 4.15 obtemos o sistema linear:

[A]{Ts+1} = [b]{Ts } (4.16) onde Ai,j = Z Ω 1 ∆tNi− 0.5α(T ) ∂2N i ∂x2 − 0.5α(T ) ∂2N i ∂y2 + 0.5u ∂Ni ∂x + 0.5v ∂Ni ∂y ! 1 ∆tNj − 0.5α(T )∂ 2N j ∂x2 − 0.5α(T ) ∂2N j ∂y2 + 0.5u ∂Nj ∂x + 0.5v ∂Nj ∂y ! dΩ (4.17) bi,j = − Z Ω − 1 ∆tNi− 0.5α(T ) ∂2N i ∂x2 + 0.5α(T ) ∂2N i ∂y2 + 0.5u ∂Ni ∂x + 0.5v ∂Ni ∂y ! 1 ∆tNj − 0.5α(T )∂ 2N j ∂x2 − 0.5α(T ) ∂2N j ∂y2 + 0.5u ∂Nj ∂x + 0.5v ∂Nj ∂y ! dΩ (4.18)

(44)

5 Discretização Espacial via Método dos Elementos Finitos de

Mí-nimos Quadrados - LSFEM.

A discretização espacial foi feita via Método dos Elementos Finitos de Mínimos Qua-drados - LSFEM, o Método de Cranck-Nicolson foi utilizado para discretização temporal, para os cálculo das integrais usou-se a quadratura de Gauss - Legendre e para resolução do sistema linear obtido foi empregado o Método dos Gradientes Conjugados. No contexto do mé-todo dos elementos finitos existem dois tipos básicos de sistemas de coordenadas, o sistema de coordenadas local onde coordenadas são expressas em termos de (ξ,η) sendo esse o dominio do elemento de referência Ωre o sistema de coordenadas global onde as coordenadas são expressas

em termos das coordenadas cartesianas (x,y) sendo este o dominio do elemento global Ωe.

O elemento Ωr chamado de elemento de referência isoparamétrico sendo definido em um

espaço não dimensional abstrato com forma geométrica adequada e conveniente segundo Dhatt e outros(1984) de tal foma que mapeia a geometria do elemento global Ωr através de transfor-mações geométricas.

A transformação Tedefine as coordenadas (x,y) elemento global Ωeem termo das

coor-denadas (ξ,η) do elemento de referência Ωr, ou seja:

Te:

(

x = x(ξ,η)

y = y(ξ,η) (5.1)

onde Tefornece a forma e a localização de um elemento real Ωr.

Um único elemento de referência Ωr mapeia todos os elementos reais Ωe do mesmo

tipo do dominio Ω utilizando diferentes transformações Te. Para que se tenha unicidade do

mapeamento do espaço paramétrico para o espaço cartesiano é necessario que o sinal do determinante do jacobiano não se modifique ao longo de todo o domínio mapeado, onde o determinante do jacobiano é um fator de escala entre as áreas do elemento de referência Ωr e

o elemento real Ωe, sendo a medida da distorção de um elemento em um determinado ponto.

Em malhas estruturadas calcula-se o determinante do jacobiano apenas uma vez pois todos os elementos são iguais, no caso se malha não estruturada esse valor deve ser calculado para cada elemento da malha.

(45)

5.1 Elementos de Referência Bidimensionais - Elementos Quadriláteros.

Fig. 5.1: Elementos Quadriláteros.

Fonte:Dhatt e outros (1984, p. 42)

5.2 Funções de Interpolação para Elemento Quadrilateral Quadrático com oito

nós.

Uma das famílias de elementos retangulares mais conhecidas é a familia de Lagrange. Um elemento de ordem p da família de Lagrange tem (p + 1)2 nós. Elementos de ordens

superiores são compostos por nós na fronteira do elemento e nós no seu interior. Os nós internos dos elementos da família de Lagrange não contribuem para a conectividade entre elementos, uma alternativa é usar os elementos da família Serendipity para evitar os nós presentes no interior dos elementos com isso haveria uma diminuição do tamanho da matriz global de acordo com Reddy (1993, p. 417).

Os elementos Serendipity são os elementos retangulares que não têm nós internos apenas nós na fronteira do elemento. Os elementos de quatro nós são coincidentes em ambas as famílias, os elementos de oito nós pertencem à família Serendipity e o de nove nós à família de Lagrange. Para a obtenção das funções de interpolação dos elementos da familia de Lagrange e de Serendipity usa-se o triangulo de pascal apresentado na figura abaixo:

(46)

Fig. 5.2: Funções de Base das Familias de Serendipity e Lagrange Bidimensionais

Fonte:Soriano e De Souza Lima (2003, p. 116)

As funções de interpolção Niassumem valores Ni= 1 para todo x = xie Ni = 0 quando

x = xj onde j 6= i. As funções de interpolção de elementosquadrilateros com 8 nós apresenta

os seguintes termos:

N8 =< 1 ξ η ξ2 ξη η2 ξ2η ξη2> (5.2)

As funções de interpolação Ni(ξ,η) e suas derivadas são apresentadas na tabela abaixo,

que podem ser encontradas em Dhatt e outros (1984, p. 131).

Tab. 5.1: Funções de interpolação de elementos quadrilaterais com oito nós e as derivadas de primeira ordem. Nº de nós (i) Ni(ξ,η) ∂Ni/∂ξ ∂Ni/∂η 1 −(1 − ξ)(1 − η)(1 + ξ + η)/4 (1 − η)(2ξ + η)/4 (1 − ξ)(ξ + 2η)/4 2 (1 − ξ2)(1 − η)/2 −(1 − η)ξ −(1 − ξ2)/2 3 −(1 + ξ)(1 − η)(1 − ξ + η)/4 (1 − η)(2ξ − η)/4 −(1 + ξ)(ξ − 2η)/4 4 (1 + ξ)(1 − η2)/2 (1 − η2)/2 −(1 + ξ)η 5 −(1 + ξ)(1 + η)(1 − ξ − η)/4 (1 + η)(2ξ + η)/4 (1 + ξ)(ξ + 2η)/4 6 (1 − ξ2)(1 + η)/2 −(1 + η)ξ (1 − ξ2)/2 7 −(1 − ξ)(1 + η)(1 + ξ − η)/4 (1 + η)(2ξ − η)/4 −(1 − ξ)(ξ − 2η)/4 8 (1 − ξ)(1 − η2)/2 −(1 − η2)/2 −(1 − ξ)η

(47)

Tab. 5.2: Funções de interpolação de elementos quadrilaterais com oito nós e as derivadas de segunda ordem e mista. Nº de nós (i) ∂2N i/∂ξ2 ∂2Ni/∂η2 ∂2Ni/∂ξ∂η 1 (1 − η)/2 (1 − ξ)/2 (−2ξ − 2η + 1)/4 2 −(1 − η) 0 ξ 3 (1 − η)/2 (1 + ξ)/2 (−2ξ + 2η − 1)/4 4 0 −(1 + ξ) −η 5 (1 + η)/2 (1 + ξ)/2 (2ξ + 2η + 1)/4 6 −(1 + η) 0 −ξ 7 (1 + η)/2 (1 − ξ)/2 (2ξ − 2η − 1)/4 8 0 −(1 − ξ) η 5.3 Transformação de Coordenadas

A transformação das coordenadas globais (x,y) para as coordenadas locais (ξ,η) é feita atráves da mudança apresentada abaixo segundo Reddy (1993, p. 421)

x = N nosX i=1 xiNi(ξ,η) y = N nosX i=1 yiNi(ξ,η) (5.3)

onde (xi,yi) são as coordenadas globais do i-ésimo nó do elemento global Ωe e Ni(ξ,η) são

as funções de interpolação do elemento de referência Ωr. As funções de interpolação N i(x,y)

podem ser expressas em função das coordenadas locais (ξ,η),

Ni(x,y) = Ni(x(ξ,η),y(ξ,η)) (5.4)

Usando a regra da cadeia para a função Ni(x,y) :

∂Ni ∂ξ = ∂Ni ∂x ∂x ∂ξ + ∂Ni ∂y ∂y ∂ξ ∂Ni ∂η = ∂Ni ∂x ∂x ∂η + ∂Ni ∂y ∂y ∂η (5.5) em notação matricial:      ∂Ni/∂ξ ∂Ni/∂η     =    ∂x/∂ξ ∂y/∂ξ ∂x/∂η ∂y/∂η    | {z } J      ∂Ni/∂x ∂Ni/∂y      (5.6)

(48)

A partir da expressão 5.6 obtemos a relação entre as coordenadas globais (x,y) e as coordenadas locais (ξ, η) das derivadas parciais de primeira ordem das funções de interpolação Ni(x,y). A

matriz J é a matriz Jacobiana da transformação. Eecrevendo as derivadas parciais de primeira ordem de Ni(x,y) em função das coordenadas globais (x,y):

     ∂Ni/∂x ∂Ni/∂y     = J −1      ∂Ni/∂ξ ∂Ni/∂η     = 1 |det(J)|    ∂y/∂η −∂y/∂ξ ∂x/∂η ∂x/∂η         ∂Ni/∂ξ ∂Ni/∂η      (5.7) Para que exista as derivadas parciais de primeira ordem em relação as coordenadas globais (x,y) das funções de interpolação Ni(x,y) é necessario e suficiente que exista a inversa da

matriz jacobiana J, para que isso ocorra o determinante det(J) deve ser não nulo para todos os pontos (ξ,η) em Ωe, ou seja, det(J) = ∂x ∂ξ ∂y ∂η − ∂y ∂ξ ∂x ∂η 6= 0. (5.8)

Logo as derivadas parcias de primeira ordem em relação as coordenadas globais (x,y) das fun-ções de interpolação Ni(x,y) serão:

∂Ni ∂x = 1 |J|  ∂y ∂η ∂Ni ∂ξ − ∂y ∂ξ ∂Ni ∂η  ∂Ni ∂y = 1 |J|  −∂x∂η∂N∂ξi +∂x ∂ξ ∂Ni ∂η  (5.9) As derivadas parciais de segunda ordem em relação as coordenadas globais (x,y) das funções de interpolação Ni(x,y) podem ser encontradas em Chung (2002, p. 96).

∂2N i ∂x2 = 1 |J|2 " ∂y ∂η !2 ∂2N i ∂ξ2 − 2 ∂y ∂η ∂y ∂ξ ∂2N i ∂ξ∂η ! + ∂y ∂ξ !2 ∂2N i ∂η2 + ∂y ∂η ∂2y ∂ξ∂η − ∂y ∂ξ ∂2y ∂η2 ! ∂Ni ∂ξ + ∂y ∂ξ ∂2y ∂ξ∂η − ∂y ∂η ∂2y ∂ξ2 ! ∂Ni ∂η # − 1 |J|3 " ∂y ∂η !2 ∂|J| ∂ξ ∂Ni ∂ξ − ∂y ∂η ∂y ∂ξ ∂|J| ∂η ∂Ni ∂η − ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂|J| ∂ξ ∂Ni ∂ξ + ∂y ∂η 2! ∂|J| ∂η ∂Ni ∂η # (5.10)

(49)

∂2N i ∂y2 = 1 |J|2 " ∂x ∂η !2 ∂2N i ∂ξ2 − 2 ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂2N i ∂ξ∂η ! + ∂x ∂ξ !2 ∂2N i ∂η2 + ∂x ∂η ∂2x ∂ξ∂η − ∂x ∂ξ ∂2x ∂η2 ! ∂Ni ∂ξ + ∂x ∂ξ ∂2x ∂ξ∂η − ∂x ∂η ∂2x ∂ξ2 ! ∂Ni ∂η # − 1 |J|3 " ∂x ∂η !2 ∂|J| ∂ξ ∂Ni ∂ξ − ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂|J| ∂η ∂Ni ∂η − ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂|J| ∂ξ ∂Ni ∂ξ + ∂x ∂η 2! ∂|J| ∂η ∂Ni ∂η # (5.11) onde ∂|J| ∂ξ = ∂ ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂η − ∂y ∂ξ ∂x ∂η ! = ∂ 2x ∂ξ2 ∂y ∂η + ∂x ∂ξ ∂2y ∂ξ∂η − ∂2y ∂ξ2 ∂x ∂η − ∂y ∂ξ ∂2x ∂ξ∂η ∂|J| ∂η = ∂ ∂η ∂x ∂ξ ∂y ∂η − ∂y ∂ξ ∂x ∂η ! = ∂ 2x ∂ξ∂η ∂y ∂η + ∂x ∂η ∂2y ∂η2 − ∂2y ∂η∂ξ ∂x ∂η − ∂y ∂ξ ∂2x ∂η2 (5.12) com ∂x ∂ξ = N nosX i=1 xi ∂Ni(ξ,η) ∂ξ ∂x ∂η = N nosX i=1 xi ∂Ni(ξ,η) ∂η ∂2x ∂ξ2 = N nosX i=1 xi ∂2N i(ξ,η) ∂ξ2 ∂2x ∂η2 = N nosX i=1 xi ∂2N i(ξ,η) ∂η2 ∂2x ∂ξ∂η = N nosX i=1 xi ∂2N i(ξ,η) ∂ξ∂η (5.13)

(50)

∂y ∂ξ = N nosX i=1 yi ∂Ni(ξ,η) ∂ξ ∂y ∂η = N nosX i=1 yi ∂Ni(ξ,η) ∂η ∂2y ∂ξ2 = N nosX i=1 yi ∂2N i(ξ,η) ∂ξ2 ∂2y ∂η2 = N nosX i=1 yi ∂2N i(ξ,η) ∂η2 ∂2y ∂ξ∂η = N nosX i=1 yi ∂2N i(ξ,η) ∂ξ∂η (5.14)

5.4 Integração Numérica - Quadratura de Gauss Legendre

A Quadratura de Gauss escolhe os pontos para o cálculo de uma forma ótima em vez de igualmente espaçados como ocorre nas fórmulas de Newton Cotes de acordo com Ruggi-ero e Lopes (1988). Os pontos x1, x2, . . . , xn no intervalo [a,b] e os pesos w1, w2, . . . , wn são

escolhidos de forma que ocorra a minimização do erro cometido na aproximação: Z b a f (x)dx ' n X i=0 W (x)f (x)dx ' n X i=0 wif (xi). (5.15)

No caso da Quadratura de Gauss-Legendre o polinômio interpolador pn(x) é o

polinô-mio de Legendre com função peso W (x) = 1. Os polinôpolinô-mios de Legendre são definidos pela fórmula de recorrência:

Pn(x) = (2n − 1)xP

n−1(x) − (n − 1)Pn−2(x)

n (5.16)

com P0(x) = 1 e P1(x) = x. Encontra-se tabelados para polinômios de diversos graus as

fun-ções peso wie as pontos xique são raízes dos polinômios de Legrendre. A tabela 5.3 encontra-se

(51)

Tab. 5.3: Raízes do Polinômios de Legendre xie as Funções Pesos wipara Quadratura de Gauss

Legen-dre

Nº de pontos (n) Índices i Pontos xi Pesos wi

1 1 0 2 2 2;1 +-0.5773502692 1 3 2 0 0.88888 88889 3 3;1 +- 0.7745966692 41483 0.55555 55555 55556 4 3;2 +-0.33998 10435 84856 0.65214 515448 62546 4 4;1 +- 0.86113 63115 04053 0.34785 48451 37454 5 3 0 0.56888 88888 88889 5 4;2 +-0.53846 93101 05683 0.47862 86704 99366 5 5;1 +-0.90617 98459 38664 0.23692 68850 56189 6 4;3 +-0.23861 91860 83197 0.46791 39345 72691 6 5;2 +-0.66120 93864 66265 0.36076 15730 48139 6 6;1 +-0.93246 95142 03152 0.17132 44923 79170

A fórmula de quadratura para um elemento quadrilátero é dada por: Z F (ξ,η)dξdη = Z 1 −1 "Z 1 −1 F (ξ,η)dξ # dη = Z 1 −1 " N X j=1 F (ξ,ηj)wj # dη = M X i=1 N X j=1 F (ξi,ηj)wiwj (5.17)

onde M e N são chamados de pontos da quadratura nas direções (ξ,η), com (ξi,ηj) pontos de

gauss e (wi,wj) os pesos de Gauss. As tabelas abaixo apresentam os pontos e os pesos para

elementos quadriláteros com 8 nós encontram-se em Reddy (1993, p. 431).

Tab. 5.4: Pontos e Pesos de Gauss para Elementos Quadrilaterais com 8 nós

Nº de pontos de Gauss ξi ηj wiwj 1 p3/5 p3/5 25/81 2 p3/5 0 40/81 3 p3/5 −p3/5 25/81 4 0 p3/5 40/81 5 0 0 64/81 6 0 −p3/5 40/81 7 −p3/5 p3/5 25/81 8 −p3/5 0 40/81 9 −p3/5 −p3/5 25/81

(52)

5.5 Discretização Temporal - Método de Crank Nicolson

De acordo com Donea e Huerta (2003, p. 92) para a discretização temporal o método da familia θ é amplamente utilizada para a integração de equações diferenciais de primeira ordem. É um metodo de único passo onde o valor de Tn+1 é desconhecido no tempo n + 1, mas pode

ser calculado a partir do valor de Tnno tempo n. Nesse caso é feita uma média ponderada entre

Tn+1e Tnnos pontos finais do intervalo de integração.

∂T ∂t ≈ Tn+1− Tn ∆t = (1 − θ) ∂Tn ∂t + θ ∂Tn+1 ∂t (5.18)

O passo de tempo ∆t é mantido constante e o parametro θ assume valores dentro do intervalo [0,1]. Variando os valores do parâmetro θ obtém-se diferentes esquemas de integração numérica segundo Reddy (1993, p. 374) temos:

θ =           

0, Esquema de diferenças para frente, condicionalmente estavel com precisão O(∆t)

1

2, Esquema Crank Nicolson, estável com precisão O(∆t) 2 2

3, Método de Galerkin,estável com precisão O(∆t) 2

1, Esquema de diferenças para trás, estavel com precisão O(∆t)

5.6 Resolução do Sistema Linear - Método dos Gradientes Conjugados

O Método dos Gradientes Conjugados proposto por Hestenes e Stiefel (1952) é o método iterativo mais popular para resolver grandes sistemas lineares onde a matriz de coeficientes é simétrica, esparsa e defina positiva, esse método propõe uma função a ser otimizada de forma que o mínimo dessa função seja a solução do sistema linear em questão. Dado um sistema linear da forma:

Ax = b (5.19)

onde A ∈ Rnxn, x ∈ Rn e b ∈ Rn a idéia básica de um método de otimização é criar a função

de otimização F (x) : Rn → R, pois a minimização dessa função equivale resolver o sistema

linear 5.19. Essa minimização é feita igualando-se o gradiente de F (x) a zero obtendo-se seus pontos criticos de acordo com Shewchuk (1994). A função de otimização F (x) : Rn → R é

definida por:

F (x) = 1 2(x

0

(53)

Calculando o gradiente ∇F (x) da função 5.20 e igualando a zero obtemos: ∇F (x) = A + A

0

2 x − b = 0 (5.21)

Supondo que a matriz A seja simétrica, isto é, A = A0

a equação 5.21 se reduz a

∇F (x) = Ax − b = 0. (5.22)

Sendo a matriz A simétrica e definida positiva, a função de otimização F (x) terá um único ponto crítico que será seu minimizador global. Em geral resolver um problema de otimização é mais difícil do que resolver um sistema linear, mas no caso em que A é simétrica definida positiva o método dos gradientes conjugados é um métodos eficientes. Para saber se um método utilizado na resolução de um sistema linear apresenta solução confiavel deve-se analisar o erro cometido na aproximação, considere o erro e:

e = x − x∗ = x − A−1b (5.23)

onde x é a solução exata e x∗ a solução aproximada. A partir do erro e pode ser propoto um

esquema iterativo escolhendo-se a direção de busca die o tamanho do passo αicom o objetivo

de minimizar o erro cometido em cada iteração. A solução aproximada para o sistema 5.19 pode ser calculade de acordo com:

xi+1= xi+ αidi. (5.24)

O erro pode ser escrito da seguinte forma:

ei+1= ei+ αidi. (5.25)

A escolha de αideve ser feita de modo a anular uma componente do erro em cada iteração, para

que isso ocorra o erro da iteração seguinte ei+1deve ser ortoganal a direção atual di. Para tal αi

é escolhido da seguinte forma:

d0iei+1= 0 d0i(ei+ αidi) = 0 αi= − d0 iei d0 idi (5.26) Para o cálculo de αideve-se conhecer o erro e mas para obter esse informação deve se conhecer

a matriz inversa de A conforme mostrado na equação 5.23, mas o proposito desse método é justamente não inverte a matriz A, uma alternativa é exigir que as direções sejam A-Ortogonias

(54)

1às direções anteriores. Dessa forma ao invés de calcularmos α

ide acordo com a equação 5.26

calculamos de modo que a direção atual die o erro da iteração seguinte ei+1sejam A-ortogonias.

d0iAei+1= 0 d0iA(ei+ αidi) = 0 α = −d 0 iAei d0 iAdi (5.27) A expressão para αiexposta em 5.27 ainda usa informação sobre o erro ei, isto é, sobre a inversa

de A. Porém, utilizando o resíduo,

r = Ax − b (5.28)

e a seguinte relação,

r = Ax − b r = A(x − A−1b)

r = Ae. (5.29)

chega-se a um nova expressão para αi:

αi= − d0 irk d0 iAdk (5.30) Para provar que o calculo de x∗ é realizado em N passo de podemos expressar o termo de erro

como uma combinação linear das direções de busca, ou seja: e0=

N−1

X

i=0

γidi (5.31)

Os valores de γi são as componentes do erro inicial e0 em cada uma das direções de busca

di. Como cada uma das direções de busa é A - ortogonal em relação às outras N-1 direções,

podemos multiplicar a equação 5.31 por d0

kA a esquerda e obter γk: d0kAe0 = NX−1 i=0 γid 0 kAdi d0kAe0 = γkd 0 kAdk γk = d0 kAe0 d0 kAdk . (5.32)

1Duas direções u e v são ditas A-ortogonais ou conjugadas se elas atendem à seguinte condição: ut

(55)

Utilizando o fato que ek = e0+ k−1 X i=0 αidi (5.33)

podemos obter o valor final de γk:

γk = d0 kA(e0+P k−1 i=0 αidi) d0 kAdk γk = d0 kAek d0 kAdk γk = d0krk d0 kAdk (5.34) Logo concluimos que para zerar o erro inicial deve-se subtrair o valor γkdk, isto é, soma αkdk, já

que αk = −γk. Assim, após N iterações o valor do erro eN é zero, ou seja, em N iterações esse

método chega a sua solução do problema. O proximo passo é encontrar as direções ortogonais onde será utilizado o processo de conjugação de Gram-Schmidt. Através desse processo é pos-sível gerar N vetores conjugados a partir de N vetores linearmente independentes uk. Tomando

d0= u0e calculando as demais N − 1 direções da seguinte forma:

dk = uk k−1

X

i=0

βk,idi (5.35)

Para calcular βk,itranspondo 5.35 e multiplicamos a direita por Adjobtendo:

d0kAdj = u 0 kAdj+ k−1 X i=0 βk,id 0 iAdj 0 = u0kAdj+ βk,jd 0 jAdj βk,j = − u0 kAdj d0 jAdj (5.36) Escrevendo ejem termos das componentes nas direções dke multiplicando a esquerda por d

0

kA,

podemos notar que o resíduo na iteração k é ortogonal a todas as direções de busca anteriores, ej = NX−1 i=0 γjdj d0kAej = NX−1 i=0 γjd 0 kAdj d0kdj = 0, k < j. (5.37)

(56)

Dessa maneira escolhe-se a primeira direção de busca d0como sendo igual ao primeiro resíduo

r0. Calcula-se o valor do novo resíduo rk+1, e novo valor de βk,j:

βk,j = − r0 kAdj d0 jAdj (5.38) Com a equação 5.38 calcula-se a nova direção dk+1 que será garantidamente A-ortogonal à

anterior dk,

dk+1= rk+1+ βkdk, com βk = βk+1,k. (5.39)

Uma vez definida uma forma de zerar o erro ao longo das direções de busca e uma maneira de gerar tais direções esta totalmente definido o método dos gradientes conjugados.

(57)

O diagrama de fluxo abaixo apresenta a metodologia emprega nesse trabalho. Modelo Matemático



Discretização Espacial



Escolha do Método do Resíduo Ponderado



Cálculo do Resíduo + Cálculo da Primeira Variação do Resíduo



Aplicação do Método dos Minimos Quadrados



Expressão para a matriz do elemento Ai,j e para o vetor do lado direito bi,j



Quadratura de Gauss - Legendre



Obtenção da matriz do elemento Ai,je do vetor do lado direito bi,j



Matriz de Conectividade + Matriz do Elemento Ai,j



Matriz Global



Matriz de Conectividade + vetor do lado direito bi,j



Vetor Direito Global



Matriz Global+ Vetor Direito Global+ Condições de Contorno e/ou condições iniciais



Sistema Algébrico Final



Método dos Gradientes Conjugados



(58)

6 Aplicações Numéricas

Nesse capitulo será estudado problemas convectivos, difusivos em regime permanente e transiente, problemas de convecção - difusão nos regimes permanentes e transientes, com propriedades físicas constantes e variáveis com a temperatura.

6.1 Problemas de Convecção em Regime Permanente.

A transferência de calor por convecção ocorre devido o movimento do fluido causado por um gradiente de temperatura, nos casos que serão analisados nessa seção estamos interresados na transferência de calor que ocorre entre um fluido em movimento e uma superficie, estando os dois com temperaturas diferentes. Em cada caso será apresentado o domínio da solução, as condições de contorno, condições iniciais e o campo de velocidade ~U = (u,v).

6.1.1 Caso 1

O campo de velocidade ~U = (u, v) é uniforme e faz um ângulo de 45◦ com as direções

cartesianas, adotando-se u = v = 2m/s. Abaixo é apresentado o domínio do problema.

Fig. 6.1: Domínio do Problema de Convecção em Regime Permanente - Caso 1.

A equação diferencial para esse problema é dada por: u∂T (x,y)

∂x + v

∂T (x,y)

(59)

As condições de contorno do tipo Direchlet são: T (0,y) = 1◦C T (x,0) = 0◦C

T (1,y) = 0◦C

T (x,1) = 0◦C com 0 ≤ (x,y) ≤ 1. (6.2)

Para a obtenção da solução numérica o domínio foi discretizado utilizando-se 1600 elementos quadriláteros com 8 nós.

Fig. 6.2: Solução Numérica do Problema de Convecção em Regime Permanente via LSFEM - Caso 1.

Como podemos observar na figura 6.2 pode-se perceber a direção do escoamanento do fluido a 45◦e verificar que o transporte de calor ocorre corretamente a partir da condição de contorno

T (0,y) com maior temperatura para a condição de contorno T (x,1) com menor temperatura ocorrendo um aquecimento da superfície.

6.1.2 Caso 2

O campo de velocidade ~U = (u, v) é uniforme e faz um ângulo de 45◦ com as direções

(60)

Fig. 6.3: Domínio do Problema de Convecção em Regime Permanente - Caso 2.

A equação diferencial para esse problema é dada por: u∂T (x,y)

∂x + v

∂T (x,y)

∂y = 0. (6.3)

As condições de contorno do tipo Direchlet são: T (0,y) = 1◦C

T (x,0) = 0◦C T (1,y) = 1◦C

T (x,1) = 1◦C com 0 ≤ (x,y) ≤ 1. (6.4)

Para a obtenção da solução numérica o domínio foi discretizado utilizando-se 1600 elementos quadriláteros com 8 nós.

(61)

Na figura 6.4 pode-se perceber a direção do escoamanento do fluido a 45◦ e verificar que o

transporte de calor ocorre corretamente a partir da condição de contorno T (x,0) com menor temperatura para a condição de contorno T (1,y) com maior temparura ocorrendo um resfria-manento da superficie.

6.1.3 Caso 3

O campo de velocidade ~U = (−u, −v) é uniforme e faz um ângulo de 45com as direções

cartesianas, adotando-se u = v = −2m/s. Abaixo é apresentado o domínio do problema.

Fig. 6.5: Domínio do Problema de Convecção em Regime Permanente - Caso 3.

A equação diferencial para esse problema é dada por: u∂T (x,y)

∂x + v

∂T (x,y)

∂y = 0. (6.5)

As condições de contorno do tipo Direchlet são: T (0,y) = 1◦C

T (x,0) = 1◦C T (1,y) = 0◦C

T (x,1) = 1◦C com 0 ≤ (x,y) ≤ 1. (6.6)

Para a obtenção da solução numérica o domónio foi discretizado utilizando-se 1600 elementos quadriláteros com 8 nós.

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