Aula07

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Gerenciamento Industrial

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Matemática Discreta

A Matemática discreta (objetos, elementos,

valores, etc., não contínuos) também chamada matemática finita, tornou-se popular em décadas recentes devido às suas aplicações na ciência da computação (algoritmos e linguagens de

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Áreas da Matemática Discreta

• Lógica – o estudo do raciocínio

• Técnicas de prova • Indução matemática • Conjuntos • Funções • Análise combinatória • Algoritmos • Recursão • Teoria da informação

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Aplicações

• Teoria dos jogos

• Teoria das filas

• Teoria dos grafos

• Geometria e Topologia combinatória

• Programação linear

• Criptografia

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Teoria da Computação

Computação pode ser definida como a solução de um problema ou, formalmente, o cálculo de uma função, através de um algoritmo. A teoria da

computação busca determinar quais problemas podem ser computados em um dado modelo de computação.

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Aplicações

• Modelos computacionais: – Máquina de Turing – Cálculo Lambda – Linguagem While • Linguagens de computadores • Compilador

– Análises léxica, sintática e semântica

• Interpretador

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Modelagem Computacional

É uma área multidisciplinar que trata da aplicação de modelos matemáticos à análise, compreensão e estudo da fenomenologia de problemas complexos em áreas tão abrangentes quanto as Engenharias, Ciências exatas, Matemática Computacional, e

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Aplicações

• Desenvolvimento de produtos industriais

• Pesquisas científicas básicas e aplicadas

• Simulações e previsões de fenômenos

• Matemática, física, química

• Engenharia e tecnologia

• Biologia e saúde

• Meio ambiente e ecologia

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Teoria dos Grafos

A Teoria dos Grafos é o ramo da matemática que estuda as propriedades de grafos. Um grafo é um conjunto de pontos, chamados vértices (ou nodos ou nós), conectados por linhas, chamadas de

arestas (ou arcos). O desenvolvimento de

algoritmos para manipular grafos é um importante tema da ciência da computação.

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Problemas

• Coloração de Grafos: Teorema da quatro cores

• Conjunto de Grafos

• Problemas de Roteamento: Sete pontes de

Königsberg, Árvore de extensão mínima, Problema do caminho mínimo, Problema da inspeção de Rotas (Problema do Carteiro Chinês), Problema do

caixeiro viajante

• Fluxos de Redes

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Circuito elétrico: Leis de Kirchoff

Gustav Kirchoff (1824–1887), físico alemão. Foi o primeiro a analisar o comportamento de

“árvores matemáticas” com a investigação de circuitos elétricos.

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Estruturas de moléculas de

hidrocarboneto

Arthur Cayley (1821–1895), matemático

inglês. Logo após o trabalho de Kirchoff, Cayley usou “árvores matemáticas” para enumerar

todos os isômeros para certos hidrocarbonetos. Modelos computacionais:

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Teorema das quatro cores

Formulação do Problema: Dado um mapa plano, dividido em regiões, quatro cores chegam para o

colorir, de forma a que regiões vizinhas não partilhem a mesma cor. É necessário precisar um pequeno

detalhe: as regiões que só se tocam num ponto não são consideradas vizinhas.

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Problemas NP-Completos

Pode-se dizer que os problemas NP-completo

são os problemas mais difíceis de NP e muito

provavelmente não formem parte da classe de

complexidade P.

P: conjunto de todos os problemas que podem ser resolvidos por algoritmos deterministas em tempo polimonial.

NP: Conjunto de todos os problemas que podem ser resolvidos por algoritmos não-deterministas em tempo polimonial.

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P vs NP

A razão é que se conseguisse encontrar uma

maneira de resolver qualquer problema

NP-completo rapidamente (em tempo polinomial) ,

então poderia ser utilizado algoritmos para

resolver todos problemas NP rapidamente.

US$1.000.000,00

http://www.claymath.org/millennium/

NP P

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TSP

O problema do caixeiro viajante, um dos mais clássicos problemas de complexidade, é um caso típico de otimização combinatória, frequentemente utilizado em computação para demonstrar problemas de difícil resolução.

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Problema do Caixeiro Viajante

Um caixeiro viajante deseja visitar n cidades de tal forma que sua viagem inicie e termine em uma

mesma cidade, e cada cidade deve ser visitada uma única vez. O problema é encontrar a menor rota.

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Complexidade O(n!)

Um algoritmo simples para esse problema seria verificar todas as rotas e escolher a menor delas. Como existem (n-1)! rotas possíveis e a distância total percorrida em cada rota envolve n adições, então o nº total de adições é n!. Para 50 cidades o nº de adições seria igual ao fatorial de 50, que é aproximadamente 1064_.

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Tempo

Considerando um computador capaz de executar 109 _{adições por segundo, o tempo total para}

resolver o problema com 50 cidades seria maior do que 1045 _{séculos somente para executar as adições.}

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Funções de Complexidade

1. f(n) = O(1)  complexidade constante

2. f(n) = O(log n)  complexidade logarítmica

3. f(n) = O(n)  complexidade linear

4. f(n) = O(n log n)  complexidade n logarítimica

5. f(n) = O(n2)  complexidade quadrática

6. f(n) = O(n3)  complexidade cúbica

7. f(n) = O(2n)  complexidade exponencial

8. f(n) = O(n!)  complexidade fatorial (força

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Tempo de execução

Função de Custo 10 20 30 40 50 60 n 0,00001 s 0,00002 s 0,00003 s 0,00004 s 0,00005 s 0,00006 s n2 _0,0001 s 0,0004 s 0,0009 s 0,0016 s 0,0025 s 0,0036 s n3 _0,001 s 0,008 s 0,027 s 0,064 s 0,125 s 0,316 s n5 _0,1 s 3,2 s 24,3 s 1,7 min. 5,2 min. 13 min. 2n _0,001 s 1 s 17,9 min. 12,7 dias 35,7 anos 366 séc. 3n _0,059 ₅₈ _6,5 ₃₈₅₅ ₁₀8 ₁₀13

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Programação Dinâmica

O(n!) é a complexidade de tempo para o Problema

do Caixeiro Viajante. Esta complexidade pode ser reduzida para O(n2₂n_{) usando programação}

dinâmica, como complexidade O(n2n_{), o que}

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Algoritmos Genéticos (AG)

Algoritmos genéticos são uma classe particular de algoritmos evolutivos que usam técnicas inspiradas pela biologia evolutiva como hereditariedade,

mutação, seleção natural e recombinação (ou crossing over).

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Solução do TSP com AG

Um algoritmo genético (AG) é uma técnica de

procura utilizada na ciência da computação para achar soluções aproximadas em problemas de

otimização e busca, como por exemplo o problema do caixeiro viajante.

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Algoritmos

• Algoritmo de Dijkstra

• Algoritmo de Ndoiskas

• Algoritmo de Kruskal

• Algoritmo do vizinho mais próximo

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Algoritmo de Dijkstra

O algoritmo de Dijkstra soluciona o problema do

caminho mais curto num grafo com arestas de

peso não negativo, em tempo computacional

O([m+n]log n) onde m é o número de arestas e n é o número de vértices.

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Algoritmo de Kruskal

O algoritmo de Kruskal é um algoritmo em teoria dos grafos que busca uma árvore geradora mínima para um grafo conexo com pesos, executado em

tempo O (m log n), onde m é o número de arestas e n o número de vértices.

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Algoritmo do vizinho mais próximo

O algoritmo do vizinho mais próximo é, na ciência da computação, um dos primeiros algoritmos

utilizados na resolução do problema do caixeiro viajante. Ele simplesmente encontra um vértice,

vizinho ao que se está estudando, que esteja o mais próximo possível.

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Solução

distância_minima = infinito j = Índice do Vertice Estudado

Repetir para i = 1 até Número de Vértices do Grafo Se i != j Se d(i, j) < distância_minima distância_minima = d(i, j) Fim Se Fim Se Loop

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Conectividade na Internet

Este grafo mostra a

conectividade entre roteadores na Internet, resultado do

trabalho “Internet Mapping Project” de Hal Burch e Bill Cheswick.

Atualmente o trabalho está sendo desenvolvido

comercialmente pela empresa Lumeta (www.lumeta.com).

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Conectividade na Internet

Este trabalho de Stephen Coast

(http://www.fractalus.com/steve/stuff/ipmap/) está “medindo” e mapeando a estrutura e

desempenho da Internet. Este é um de seus trabalhos iniciais.

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Conectividade da RNP

A Rede Nacional de Pesquisa (RNP) criou a primeira

infraestrutura

de comunicação (backbone) no Brasil para interconexão com a Internet. Atualmente,

este backbone é conhecido como RNP2.

O grafo de conectividade da RNP2 tem uma “estrutura” (topologia) basicamente na forma de estrela. Note que

diferentes

enlaces de comunicação

(arestas) possuem diferentes capacidades.

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Teoria dos Jogos

Teoria dos Jogos é um ramo da matemática aplicada que estuda situações estratégicas onde jogadores escolhem diferentes ações na tentativa de melhorar seu retorno.

1944 – The Theory of Games and Economic Behavior de John von Neumann e Oskar Morgenstern.

1953 – Dilema do prisioneiro, popularizado pelo matemático Albert W. Tucker Filmes

1983 – Jogos de Guerra (Equilíbrio de Nash) 2001 – Uma mente brilhante

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Problema da Barganha

O problema da barganha é uma tese do ganhador do Nobel John Forbes Nash Jr.. É definido como o exemplo do dilema dos prisioneiros. Jogos não

cooperativos (Equilíbrio de Nash).

Exemplo: Existem dois presos, ambos a cumprir 20 anos de prisão, se o preso 1 disser que não tem culpa e que o outro, preso 2 é o culpado, esse írá cumprir 5 anos de prisão, e o preso 2 os 20 anos. Se o preso 2 disser que não é o culpado, receberá 5 anos de prisão e o preso 1, 20 anos de prisão. Se ambos disserem a mesma coisa receberão 10 anos de

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Aplicações

A teoria dos Jogos veio a impulsionar

importantes leis na lógica e na ciência da

computação. Várias teorias lógicas têm uma

base na semântica dos jogos. Além disso, os

cientistas da computação têm usado os jogos

para modelar computação interativa.

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Criptografia

Criptografia é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a

informação pode ser

transformada da sua forma

original para outra ilegível, de forma que possa ser conhecida

apenas por seu destinatário

(detentor da "chave secreta"), o que a torna difícil de ser lida por alguém não autorizado.

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Máquina Enigma

Enigma é o nome de máquina eletro-mecânica de criptografia com rotores, utilizada tanto para a criptografar como para a descriptografar

mensagens secretas, usada na Europa a partir dos anos 1920.

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Estatística

A estatística é uma área dos conhecimento que

utiliza teorias probabilísticas para explicação de

eventos, estudos e experimentos. Tem por

objetivo obter, organizar e analisar dados,

determinar as correlações que apresentem,

tirando

delas

suas

consequências

para

descrição e explicação do que passou e previsão

e organização do futuro.

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Aplicações

Estatística é uma ferramenta chave nos negócios e na industrialização como um todo. É utilizada a fim de entender sistemas variáveis, controle de processos (chamado de "controle estatístico de processo" ou CEP), para sumarização de dados, e para tomada de decisão baseada em dados.

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Ferramentas Estatísticas

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Bolsa de Valores

Os métodos estatísticos modernos formam uma mistura de ciência, tecnologia, e lógica para que os problemas de várias áreas do conhecimento

humano sejam investigados e solucionados, como por exemplo, sistemas que tomam decisões, como os sistemas de bolsa de valores.

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Probabilidade

A palavra probabilidade deriva do Latim

probare (provar ou testar). Informalmente,

provável é uma das muitas palavras utilizadas

para eventos incertos ou conhecidos, sendo

também substituida por algumas palavras como

“sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”,

dependendo do contexto.

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Mega-sena

Segundo as probabilidades matemáticas, fazendo a aposta mínima, a chance de acertar é:

• Quadra: 1(uma) em 2.332

• Quina: 1(uma) em 154.519

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Teoria dos Conjuntos

Teoria dos conjuntos é a teoria

matemática que trata das

propriedades dos conjuntos. Em matemática, um conjunto é uma coleção de elementos.

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Aplicações

• Axiomas • Tipos de conjuntos • Filtro • Funções • Gráficos • Diagrama de Venn • Diagrama de Euler • Ordenação • Classificação

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Combinatória

A combinatória é estuda coleções finitas de objetos que satisfaçam certos critérios específicos, e se preocupa, em particular, com a "contagem" de objetos nessas coleções (combinatória enumerativa) e com a decisão se certo objeto "ótimo" existe (combinatória extrema) e com estruturas "algébricas" que esses objetos possam ter (combinatória algébrica).

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Exemplo

Um exemplo de problema combinatório é o

seguinte: Quantas ordenações são possíveis fazer com um baralho de 52 cartas? O número é igual a 52! (ou seja, "cinqüenta e dois fatorial"). Que é o produto de todos os números naturais de 1 até 52. Pode parecer surpreendente o quão enorme é esse número, cerca de 8.065817517094 × 1067_.