Métodos variacionais e soluções periódicas minimizantes para os problemas de Kepler, 3 e 4 corpos

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. MÉTODOS VARIACIONAIS E SOLUÇÕES PERIÓDICAS MINIMIZANTES PARA OS PROBLEMAS DE KEPLER, 3 e 4 CORPOS. ÉDER MATEUS DE SOUZA Sob orientação do professor Cláudio Vidal Diaz. Recife, 2005..

(2) UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. MÉTODOS VARIACIONAIS E SOLUÇÕES PERIÓDICAS MINIMIZANTES PARA OS PROBLEMAS DE KEPLER, 3 e 4 CORPOS. Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.. ÉDER MATEUS DE SOUZA Sob orientação do professor Cláudio Vidal Diaz. Recife, 2005..

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(5) Sumário. Introdução. 10. 1 Resultados básicos do cálculo variacional. 12. 1.1. Variação de Gâteaux e derivada de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.2. Resultados importantes de Análise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.2.1. Topologia fraca e Topologia fraca* . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.2.2. Espaços reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.2.3. Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.3. As equações de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 1.4. O funcional ação do problema dos N-Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 1.5. Princípio de criticalidade simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 1.6. Existência de minimizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 1.6.1. Princípio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 1.6.2. A semicontinuidade inferior fraca de A . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 1.6.3. O problema dos n-corpos e a condição (NC)ν . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2 Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler 2.1. O problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 32 32.

(6) 2.2. 2.1.1. O funcional ação e o problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 2.1.2. Ação das órbitas keplerianas colineares e elípticas . . . . . . . . . . .. 38. O teorema de Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 2.2.1. 43. Uma propriedade minimizante das órbitas círculares . . . . . . . . . .. 3 Cálculo variacional aplicado ao problema dos três corpos 3.1. 3.2. 3.3. Redução do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.1.1. Coordenadas de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.1.2. O problema planar dos três corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. A órbita da figura-oito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.2.1. O problema de minimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.2.2. A ação reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. Excluindo Colisões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 4 Cálculo variacional aplicado ao problema dos quatro corpos 4.1. 4.2. 48. 62. O problema paralelogramo dos quatros corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 4.1.1. O espaço de configurações reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 4.1.2. Propriadades de U(θ, φ) restrito a shape esfera unitária . . . . . . . . .. 66. Um problema de minimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 4.2.1. Existência de minimizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 4.2.2. A existência de minimizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. Bibliografia. 76.

(7) 7. RESUMO Nesta dissertação, fazemos uma introdução aos métodos variacionais no intuito de encontrar minimizantes de certos funcionais. Em particular, os minimizantes do funcional ação , são soluções para o problema dos N-corpos desde que não possuam colisões. Estudamos os minimizantes do funcional ação para o problema de Kepler, onde constatamos que as órbitas circulares minimizam tal funcional. Estudamos também, a propriedade minimizante das órbitas para o funcional ação relativo ao problema dos três corpos planar com massas iguais. Com certas restrições topológicas e algumas simetrias fizemos um estudo da órbita da "figura oito", descoberta por A. Chenciner e R. Montgomery [6], mostrando que os corpos se movem ao longo desta órbita e não colidem. Além disso, fizemos um breve estudo sobre o funcional ação relacionado ao problema paralelogramo dos quatro corpos e conseguimos soluções periódicas com certas simetrias..

(8) 8. ABSTRACT In this dissertation, we make an introduction to the variational methods with intention of finding minimum of certain functionals. In particular, the minimum of the action function, are solutions of the N-body problem if they don’t collisions. We study the minimum of the action functional for the Kepler problem, where we have check that on certain spaces the circular orbits minimize such functional. Also, we study the minimum property of the orbits for the relative action functional to the three body planar problem with equal masses. With certain topological restriction and some symmetries we made a study of the orbit "figure eight", found by A. Chenciner e R. Montgomery [6], showing that the bodies that move on this orbit don’t collide. Moreover, we made a brief study on the action functional related to the parallelogram planar problem of the four bodies..

(9) 9. AGRADECIMENTOS Primeiramente agradeço a Deus por me proporcionar oportunidades de crescer na vida cada vez mais. Como não poderia deixar de ser, fico muito feliz e grato a meu pai João Mateus (Joca), minha mãe Zilda Araújo, meus irmãos Edianne e Mateus, bem como também avós, Laura (Vozinha), Valdomira (Dedé) e Renato (Pai), minha tia Eugênia (tia Geu), meus tios, tias, primos, primas... enfim a toda minha Família. É claro que não posso esquecer de minha noiva querida Marta (Zuga) que sempre me deu força mesmo antes de ser minha namorada(ela estava prevendo). Agradeço ao professor Cláudio Vidal por sua orientação, dedicação, disponibilidade, amizade, paciência e também por ter aceitado me orientar sem mesmo ter sido meu professor até então. Devo gratidão ao professor César Castilho pela co-orientação e por sua amizade, conselhos, dicas... . A todos os professores do Dmat que contribuíram direta ou indiretamente para minha formação. Não posso esquecer do professor Claudianor Alves que aceitou participar de minha banca e me ajudou bastante tendo paciêcia de me ouvir algumas vezes e por ter dado sugestões que enriqueceram o trabalho. Agradeço aos meus colegas Almir, Fábio, Naldisson, Adson, Ricardo, Renata, Kátia, Hélio, Davi, Steve, Luiz, Rodrigo, Cláudio Cristino (o homem das figuras) e muitos outros pois se eu fosse colocar todos aqui não iria ter quem conseguisse carregar minha dissertação. Agradeço a Tânia (UFPE), Andiara (UEFS) pelo apoio e competência nas secretarias e a todos os professores da UEFS que me deram força e direta ou indiretamente contribuíram para minha formação. Ao Cnpq pelo apoio financeiro..

(10) Introdução. O objetivo principal desta disssertação é encontrar soluções periódicas através de métodos variacionais para o problema dos 3 e 4 corpos, que consiste em estudar o movimento de 3 e 4 partículas submetidas unicamente a ação de suas atrações gravitacionais. Em 1767, Euler [8] obteve três soluções particulares para o problema dos três corpos, as quais têm uma configuração colinear a cada instante e em 1772, Lagrange [12] mostra a existência de mais duas soluções particulares, as quais formam um triângulo equilátero a cada instante. Outra solução particular para o problema dos três corpos foi encontrada em 2000 por A. Chenciner e R. Montgomery [6] onde, considerando os corpos com massas iguais, mostraram através de métodos variacionais, que os corpos se movem em uma órbita com a forma de uma "figura-8"sem colidir um com o outro. Para mostrar a não colisão entre os corpos, A. Chenciner e R. Montgomery utilizaram métodos numéricos. Em 2001, Kuo Chang-Chen [5] conseguiu analiticamente a prova da não colisão entre os corpos. No capítulo 1 começamos com a definição da variação de Gateaux e de derivada de Fréchet. Em seguida enunciamos alguns resultados de análise funcional, que serão utilizados no decorrer da dissertação . Deduzimos as equações de Euler-Lagrange e fazemos uma relação entre os minimizantes do funcional ação para o problema dos N-corpos e suas soluções , além de caracterizar tal funcional. Utilizamos o princípio de criticalidade simétrica de Palais, princípio este que ajuda a encontrar minimizantes de funcionais sobre certos espaços. Trabalhamos com uma condição sobre os espaços onde o funcional está definido, chamada de condição (NC)ν , para obter a coercividade do funcional ação . No capítulo 2 estudamos o problema de Kepler, onde deduzimos as Leis de Kepler e fazemos uma relação entre o funcional ação com tal problema. Deduzimos o valor da ação das órbitas.

(11) 11 Keplerianas colineares e elípticas, onde provamos o Teorema de Gordon [9], no qual mostramos a propriedade minimizantes das órbitas elípticas, em particular das órbitas circulares. O capítulo 3 é dedicado ao problema planar dos três corpos. Introduzimos as coordenadas de Jacobi e o fibrado de Hopf, que são de grande importância para a redução do problema. No caso de massas iguais, mostramos que um minimizante do funcional ação sobre um espaço com certas restrições topológicas é uma solução para o problema planar dos três corpos. É dedicado também uma seção para provar a não existência de colisão entre os corpos que se movimentam ao longo de tal solução , a qual tem uma órbita no formato do número oito. No quarto capítulo fazemos um breve estudo do problema paralelogramo dos quatros corpos relacionando-o com o funcional ação . Neste estudo exibimos espaços em que o funcional ação atinge o mínimo que, desde que nunca se anule, será solução para o problema (paralelogramo) dos quatro corpos além da periocidade da solução . Esta dissertação teve como base de estudo vários artigos de pesquisa, entre eles os devido a Kuo Chang-Chen ([4], [5]) e a A.Chenciner e R. Montgomery ([6])..

(12) Capítulo 1 Resultados básicos do cálculo variacional Neste capítulo, vamos introduzir alguns conceitos básicos do cálculo variacional bem como alguns resultados importantes de Análise Funcional. Resultados estes que serão de grande importância para a obtenção de teoremas que serão demonstrados nesta dissertação . Podemos olhar o cálculo variacional como o cálculo diferencial no espaço de funções onde tentaremos, sobre espaços apropriados encontrar curvas que minimizem certos funcionais.. 1.1. Variação de Gâteaux e derivada de Fréchet. Seja X um espaço de Banach com a norma k. k (denotaremos este par simplesmente por. (X , k · k)) e F : X → R ∪ {∞} um funcional. Se F(x) < ∞ e existe um funcional linear L em X tal que 1 lim {F(x + sh) − F(x) − L(sh)} = 0, s→0 s. (1.1). para todo h ∈ X tal que o limite exista, então δx F(h) := L(h) é chamada Variação de Gâteaux de F em X na direção de h ∈ X . A Variação de Gâteaux está bem definida pois se existir L1 , L2 que satisfazem (1.1), então L1 (h) = L2 (h), para todo h ∈ X tal que o limite exista. De fato, sejam L1 e L2 funcionais lineares tais que 1 lim {F(x + sh) − F(x)} = L1 (h) s→0 s. (1.2).

(13) 13. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. e 1 lim {F(x + sh) − F(x)} = L2 (h). s→0 s. (1.3). Assim pela unicidade do limite temos que L1 (h) = L2 (h), para todo h ∈ X tal que o limite exista. Fixado x ∈ X , o sub conjunto Λx = {h ∈ X /∃ δx F(h)} de direções cuja variação de. Gâteaux existe em x é chamado espaço das variações admissíveis de X . Note que Λx é um. subespaço vetorial de X . Com efeito, dados α, β ∈ R e h1 , h2 ∈ Λx temos, pela linearidade de L, que: αL(h1 ) + βL(h2 ) = L(αh1 + βh2 ). Ou seja, αh1 + βh2 ∈ Λx . A função δx F : Λx → R tal que para cada h associe δx F(h) é chamada de Variação de. Gâteuax de F em x no espaço de variações admissíveis de X . Se Λx = X , δx F é chamada de derivada de Gâteaux de F em x. Observação 1.1 Note que, desde que s ∈ R (suficientimente pequeno), podemos pensar numa função real s −→ F(x + sh) e logo, se existe a variação de Gateaux de F em x na direção h, devemos ter δx F(h) =. d F(x + sh)|s=0 . ds. Sejam F e X como definidos anteriormente. F é dita diferenciável no sentido de Fréchet em x ∈ X , se F(x) < ∞ e se existe um funcional linear limitado L em X , denotado por DF(x), tal que 1 {F(x + h) − F(x) − L(h)} = 0 ||h||→0 ||h|| lim. (1.4). Se DF(x) = 0, então x é chamado ponto crítico de F. Se X0 ⊂ X é um subespaço ou subvariedade de X e DF(x) = 0 como um funcional linear em Tx X0 , então x é chamado ponto crítico de F em X0 . Propriedades:.

(14) 1. Resultados básicos do cálculo variacional. 14. 1. Note que se F é diferenciável no sentido de Fréchet em x ∈ X , então existe a derivada de Gâteaux de F em x. De fato sendo F diferenciável no sentido de Fréchet, 1 {F(x + h) − F(x) − L(h)} = 0 ||h||→0 ||h|| lim. (1.5). ou seja, 1 1 {F(x + sh) − F(x) − L(sh)} = lim {F(x + sh) − F(x) − L(sh)} . s→0 s ||sh||→0 ||sh|| lim. (1.6). Assim DF(x) = δx F. 2. Se X é um espaço de Hilbert com produto interno <, >X , então pelo Teorema da Representação de Riez existe um único elemento em X , denotado por ∇F(x), tal que DF(x)(h) =< ∇F(x), h >X para todo h ∈ X .∇F(x) é chamado de X -gradiente de F em x. Lema 1.1 Sejam F, X , Λx como definidos anteriormente. Suponha que F, restrito a um subconjunto X0 de X , tem um extremo finito relativo X em X0 , e que existe um subconjunto balanceado1 Λ de Λx satisfazendo x + Λ ⊂ X0 então δx F(h) = 0 para h ∈ Λ. Demonstração. Suponha sem perda de generalidade que x seja um ponto de mínimo relativo de F|X0 . Então para |s| < 1 , h ∈ Λ, temos que x ± sh ∈ X0 pois Λ é balanceado e como δx F é linear temos que: 1 {F(x + sh) − F(x) − δx F(sh)} s. (1.7). 1 {F(x − sh) − F(x) − δx F(sh)} . s. (1.8). −δx F(h) ≤ δx F(h) ≤. Logo de (1.7) e (1.8) temos que −δx F(h) ≤ 0 e δx F(h) ≤ 0 . Assim δx F(h) = 0.. 1.2. Resultados importantes de Análise Funcional. Nesta seção apresentaremos alguns resultados importantes de Análise Funcional que serão utilizados nas demonstrações de alguns resultados (lemas, teoremas e preposições) dessa dissertação. 1 Um. conjunto C é dito balanceado se dado x ∈ C e λ ∈ R tal que |λ| ≤ 1 tem-se λx ∈ C.

(15) 1. Resultados básicos do cálculo variacional. 15. Teorema 1.1 (Teorema de Banach-Steinhaus) Seja E um espaço de Banach e F uma família de transformações lineares limitadas de E em um espaço normado F. Suponha que para cada x ∈ E, {kT xkY ; T ∈ F } é limitada. Então {kT k; T ∈ F } é limitada. Demonstração. Veja [17], página 81.. 1.2.1 Topologia fraca e Topologia fraca* Sejam E um espaço de Banach, E 0 seu dual. Defina para cada f ∈ E 0 ϕ f : E −→ R a aplicação: ϕ f (x) = f (x). Quando f percorre E 0 obtemos uma família {ϕ f } f ∈E 0 de aplicações de E em R. Definição 1.1 A topologia fraca, denotada por σ(E, E 0 ), é a topologia menos fina (possui menos abertos), tal que todas as aplicações {ϕ f } f ∈E 0 sejam contínuas, isto é, esta topologia. tem como subbase todos conjuntos da forma f −1 (I) onde I é um aberto de R (topologia usual). e f é um funcional linear de E em R. Isto significa que os abertos dessa topologia são dados por interseções finitas de conjuntos dessa forma. Notação: Seja {xn } uma seqüência em E. Denotamos por xn * x a convergência de xn a x na topologia fraca . O elemento x é chamado de limite fraco de {xn } e dizemos que xn converge n→∞. fracamente a x. Caso xn −→ x, isto é, ||xn − x|| → 0 quando n → ∞, dizemos que xn converge. fortemente para x. Lema 1.2 Seja {xn } uma seqüência fracamente convergente no espaço normado E. Então: (a) O limite fraco x de {xn } é único; (b) Toda sub-sequência de {xn } converge fracamente para x; (c) A sequência {||xn ||} é limitada. Demonstração. Veja [11], página 258..

(16) 16. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Definição 1.2 Seja F um subconjunto de E. Dizemos que F é fracamente fechado se dada xn ∈ F, com xn * x então x ∈ F. Lema 1.3 Seja {xn } uma sequência no espaço normado E. Então: (a) Se {xn } converge fortemente, então converge fracamente para o mesmo limite; (b) Se a dimensão de E for finita, a recíproca de (a) é verdadeira. Demonstração. Veja [11], página 259. Definição 1.3 Dizemos que um funcional linear F : E −→ R, é fracamente semicontínuo inferior se dada xn * x, F(x) ≤ lim inf F(xn ). n→∞. Lema 1.4 Seja {xn } uma sequência em E. Então as seguintes afirmações são verdadeiras: (a) Se xn * x em σ(E, E 0 ) então ||x|| ≤ lim inf ||xn ||. n→∞. Ou seja, a função norma é fracamente semi-contínua inferior; (b) Se xn * x em σ(E, E 0 ) e fn → f fortemente em E 0 (i.e, || fn − f || → 0), então fn (xn ) → f (x). Demonstração. Veja [2], página 45. Definição 1.4 Sejam E e F espaços de Banach. Um operador T ∈ L (E, F) é dito compacto se para toda sequência limitada {xn } ⊂ E, {T (xn )} possui uma subsequência convergente em F Teorema 1.2 Seja T : E −→ E um operador compacto e {xn } uma sequência fracamente convergente a x. Então {T (xn )} converge fortemente para T (x). Demonstração. Veja [17], página 199. Vamos agora definir uma topologia particular sobre E 0 , a topologia fraca*, denotada por σ(E 0 , E). Para cada x ∈ E considere a aplicação ϕx : E 0 → R definida por ϕx ( f ) = f (x). Quando x percorre E, obtemos uma família de aplicações {ϕx }x∈E de E 0 em R..

(17) 17. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Definição 1.5 A topologia fraca*, denotada por σ(E 0 , E) é a topologia menos fina sobre E 0 , de tal forma que todas as aplicações {ϕx }x∈E sejam contínuas. Teorema 1.3 (Banach-Alaoglu-Bourbaki) A bola unitária em E 0 i.e, BE 0 = { f ∈ E 0 ; || f || ≤ 1} é compacta na topologia fraca* σ(E 0 , E). Demonstração. Veja [2], página 42.. 1.2.2. Espaços reflexivos. Seja E um espaço de Banach e seja ι a injeção canônica de E em E 00 (E 00 representa o bidual). Dizemos que E é reflexivo se ι(E) = E 00 . Por exemplo, todo espaço de Hilbert é reflexivo (Veja [11], página 242). Lema 1.5 Seja E um espaço de Banach. Então E é reflexivo se, e somente se E 0 é reflexivo. Demonstração. Veja [2], pág 45.. Teorema 1.4 (Eberlein-Smuliam) Seja E um espaço de Banach reflexivo e seja {xn } uma sequência limitada em E. Então existe uma subsequência {xnk } de {xn } que converge na topologia fraca σ(E, E 0 ).. Demonstração. Veja [2], página 50.. 1.2.3 Espaços de Sobolev Seja I = (a, b) um intervalo aberto (limitado ou não) e seja p ∈ R com 1 ≤ p ≤ ∞. Definição 1.6 O espaço de Sobolev W 1,p (I) é definido como: ¾ ½ Z Z 0 1 1,p p p uϕ = − gϕ ∀ ϕ ∈ Cc (I) . W (I) = u ∈ L (I) : ∃g ∈ L (I) tal que I. I.

(18) 18. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Para cada u ∈ W 1,p (I) se denota u0 = g. Se representa H 1 (I) = W 1,2 (I) = {x : x é absolutamente contínua e x˙ ∈ L2 }. Denotaremos W 1,p (I), H 1 (I), L p (I) por W 1,p , H 1 , L p respectivamente. Observação 1.2 Na definição de W 1,p diz-se que ϕ é uma função teste. Pode-se utilizar tanto Cc1 quanto Cc∞ como conjunto de funções teste. Para maires detalhes, veja [2]. Observação 1.3 Note que se u ∈ C1 ∩ L p e se u0 ∈ L p (aqui u0 denota a derivada no sentido usual), então u0 ∈ W 1,p . Além disso a derivada usual de u coincide com a derivada de u no sentido de W 1,p .. Notações : O espaço W 1,p está dotado da norma p. p. kukW 1,p = (kukL p + ku0 kL p )1/p . O espaço H 1 é um espaço de Hilbert dotado do produto interno hu, viH 1 = hu, viL2 + hu0 , v0 iL2 com a norma associada 1. kukH 1 = (kukL2 + kukL2 ) 2 . A norma acima é equivalente à norma do espaço de Sobolev W 1,2 (ver [2], página 121) . Proposição 1.1. (a) O espaço W 1,p é um espaço de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞;. (b) O espaço W 1,p é reflexivo para 1 ≤ p ≤ ∞; (c) O espaço H 1 é um espaço de Hilbert separável. Demonstração. Veja [2], página 121. Teorema 1.5 Seja u ∈ W 1,p com 1 ≤ p < ∞. Então existe uma sucessão {un } em Cc∞ (R) tal que un|I → u em W 1,p ..

(19) 19. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Demonstração. Veja [2], página 127. Teorema 1.6 Existe uma constante C (dependendo apenas da medida de I que é ≤ ∞) tal que. kukL∞ (I) ≤ CkukW 1,p (I), para todo u ∈ W 1,p (I), 1 ≤ p ≤ ∞. De outra forma W 1,p (I) ⊂ L∞ (I). com injeção contínua para todo 1 ≤ p ≤ ∞. Além disso, quando I é limitado se verifica: (a) A injeção W 1,p (I) ⊂ C0 (I) é compacta para todo 1 ≤ p ≤ ∞. (b) injeção W 1,1 (I) ⊂ Lq (I) é compacta para todo 1 ≤ q ≤ ∞. Demonstração. Veja [2], página 129.. 1.3. As equações de Euler-Lagrange. Nesta seção vamos trabalhar com um funcional que possui uma forma determinada. Seja T > 0 e considere o funcional F(x) =. Z T. f (x(t), x(t),t)dt, ˙. (1.9). 0. onde x ∈ X = H 1 ([0, T ], Rn ) e f : Rn × Rn × R → R é limitada e C2 num aberto da forma Ω × Rn × R ⊂ Rn × Rn × R. Vamos assumir que : x ∈ H 1 ([0, T ], Ω), e que. ∂ f (x(t), x(t),t) ˙ ∈ C0 ([0, T ], Rn ). ∂x˙. (1.10). Sendo x ∈ C1 ([0, T ], Rn ) temos que f (x, x,t) ˙ é C1 em x, ˙ pois estamos assumindo que f é C2 num aberto da forma Ω × Rn × R ⊂ Rn × Rn × R.. Seja h ∈ C1 ([0, T ], Rn ). Para cada s ∈ R, |s| suficientemente pequeno x(t) + sh(t) ∈ Ω para todo t ∈ [0, T ] tem-se pelo desenvolvimento em série de Taylor que ¸ · ∂ ∂ ˙ ˙ f (x, x,t) ˙ · h + f (x, x,t) ˙ · h s + O(s2 ). f (x + sh, x˙ + sh,t) = f (x, x,t) ˙ + ∂x ∂x˙. ∂ Desde que x ∈ H 1 e que ∂x f (x, x,t) ˙ seja contínua, a seguinte função Φx (t) =. R. (1.11). RT ∂ ˙ τ)dτ 0 ∂x f (x(τ), x(τ),. ∂ f (x, x,t) ˙ · hdt temos: está bem definida. Fazendo integração por partes em 0T ∂x ¸ Z T· ∂ ∂ F(x + sh) − F(x) ˙ = f (x, x,t) ˙ · h + f (x, x,t) ˙ · h dt + O(s) s ∂x ∂x˙ 0 ¸ Z T· ∂ ˙ + O(s). = Φx (T ) · h(T ) + f (x, x,t) ˙ − Φx (t) · hdt ∂x˙ 0.

(20) 20. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Note que o integrando da segunda linha é contínuo. De acordo com nossas hipóteses em (1.10), mostramos que C1 ([0, T ], Rn ) ⊂ Λx e que vale a fórmula: δx F(h) = Φx (T ) · h(T ) +. Z T· ∂. ∂x˙. 0. ¸ ˙ f (x, x,t) ˙ − Φx (t) · hdt.. (1.12). Em algumas situações é conveniente considerar as variações admissíveis no conjunto balanceado da forma: Λε =. (. ). h ∈ C1 ([0, T ], Rn ) : h(0) = h(T ) = 0, sup |h| < ε . [0,T ]. Se h ∈ Λε , então a fórmula da variação de Gâteaux de F é dada por: ¸ Z T· ∂ δx F(h) = f (x, x,t) ˙ − Φx (t) · h˙ dt ∂x˙ 0. (1.13). (1.14). R. ˙ temos: ˙ · hdt Por uma outra integração por partes, agora integrando 0T ∂∂x˙ f (x, x,t) ¸ Z T· ∂ d ∂ ∂ T δx F(h) = f (x, x,t) ˙ · h|0 + f (x, x,t) ˙ − f (x, x,t) ˙ · hdt ∂x˙ ∂x dt ∂x˙ 0 Logo se h ∈ Λε então a fórmula da variação de Gâteaux também é dada por: ¸ Z T· d ∂ ∂ δx F(h) = f (x, x,t) ˙ − f (x, x,t) ˙ · hdt ∂x dt ∂x˙ 0. (1.15). (1.16). Vejamos agora alguns exemplos onde calculamos a variação de Gâteaux: Exemplo 1.1 Seja o funcional I(x) =. Z T£. ¤ a(t)|x(t)| ˙ 2 + b(t)|x(t)|2 dt,. 0. a(t), b(t) ∈ C1 (R).. Vamos calcular a derivada de Gâteaux de I sobre. K = {x ∈ H 1 ([0, T ], R), x(0) = x(T )}. Seja x, y ∈ K. Então x + sy ∈ K para todo s ∈ R. Temos que I(x + sy) =. Z T£. ¤ a(t)(x(t) ˙ + sy(t)) ˙ 2 + b(t)(x(t) + sy(t))2 dt. 0. =. Z T£. 2. ¤. a(t)(x(t)) ˙ + b(t)(x(t)) dt + 2s. 0. + s. 2. 2. Z 2£ 0. ¤ a(t)(y(t)) ˙ 2 + b(t)(y(t))2 dt.. Z T. [a(t)x(t) ˙ y(t) ˙ + b(t)x(t)y(t)]. 0. Pela observação 1.1 temos que. d δx I(y) = I(x + sy)|s=0 = 2 ds. Z T 0. [a(t)x(t) ˙ y(t) ˙ + b(t)x(t)y(t)] ..

(21) 21. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Por meio de integração por partes temos que d δx I(y) = I(x + sy)|s=0 = ds. Z T 0. Exemplo 1.2 Seja. [−2a(t)x(t) ¨ − 2a(t) ˙ x(t) ˙ + b(t)u(t)] y(t)dt.. Z T· m. A (x) =. ¸ α dt |x(t)| ˙ + 2 |x(t)|. 0. 2. com x ∈ H 1 ([0, T ], C). Se h ∈ Λε dado em (1.13), então por (1.16) temos que a variação de Gâteaux de A é dada por δx A (h) =. ¸ x mx¨ − α 3 · hdt. |x|. Z T· 0. Lema 1.6 (Du Bois Reymond) Seja Λε como em (1.13) e ε > 0 arbitrário. Se H ∈ C1 ([0, T ], Rn ) e. Z T 0. ˙ H(t) · h(t)dt =0. (1.17). para todo h ∈ Λε , então existe c ∈ R, tal que H(t) = c em [0, T ]. Z. 1 1 T H(t)dt e h(t) = Demonstração. Seja c = T 0 K sup |h| < ε. Então h ∈ Λε e portanto. Z t 0. (H(τ) − c)d(τ), onde K > 0 tal que. [0,T ]. ˙ logo |H(t) − c|2 = K[(H(t) − c) · h],. Z T 0. |H(t) − c|2 dt = K. Z T 0. ˙ = 0. (H(t) − c) · hdt. (1.18). Logo H(t) = c. Teorema 1.7 Seja F, f , X , Λε definidos como anteriormente. Suponha que F restrito a um subconjunto X0 de X tem um extremo relativo em x, e x + Λε ⊂ X0 para algum ε > 0 então d ∂ ∂ f (x(t), x(t),t) ˙ = f (x(t), x(t),t) ˙ em [0, T ]. dt ∂x˙ ∂x. (1.19). Suponha X0 um subespaço ou uma sub-variedade de X tal que x é um ponto crítico de F e x + Λε ⊂ X0 para algum ε > 0, então vale (1.19). Demonstração. Note Λε ⊂ Λx e que Λε é balanceado. Como x é um extremo relativo de F|X0 , temos que δx F(h) = 0 . Mas como h ∈ Λε obtemos de (1.14): ¸ Z T· ∂ f (x, x,t) ˙ − Φx (t) · h˙ dt = 0 δx F(h) = ∂x˙ 0. (1.20).

(22) 22. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Pelo lema 1.6 segue-se que ∂ ∂ f (x, x,t) ˙ − Φx (t) = c ou seja, f (x, x,t) ˙ − ∂x˙ ∂x˙ Como Φx e. ∂ ∂x˙. Z t ∂ 0. ∂x. f (x, x, ˙ τ)dτ = c.. (1.21). f (x, x,t) ˙ são diferenciáveis em relação a t por causa das hipóteses, segue-se de. (1.21) que. ∂ d ∂ f (x(t), x(t),t) ˙ = f (x(t), x(t),t) ˙ dt ∂x˙ ∂x. (1.22). Agora se X0 for um subespaço ou uma sub-variedade de X e se x é ponto crítico de F em X0 , δx F(x) = DF(x), logo vale (1.19).. 1.4. O funcional ação do problema dos N-Corpos. Um dos principais problemas estudados pela Mecânica Celeste é o problema dos N-corpos que consiste em entender o movimento de N(≥ 2) massas m1 , m2 , m3 . . . , mN em R3 de acordo com a lei da gravitação universal de Newton:. mk x¨k =. ∂ U(x), k = 1, . . . , N ∂xk. (1.23). onde xk ∈ R3 é a posição de mk , e U(x) =. mi m j , ri j = |xi − x j | 16i< j6N ri j. ∑. é o potencial Newtoniano. Vamos considerar o problema dos N-corpos em uma abordagem variacional. Seja V = {x ∈. (R3 )N : m1 x1 + . . . + mN xN = 0} o espaço de configurações, isto é, o espaço das posições cujo centro de massa encontra-se na origem do sistema de coordenadas e X = H 1 ([0, T ],V ) = W 1,2 ([0, T ],V ).. (1.24). O Lagrangiano L(x, x) ˙ de x ∈ X é definido por 1 L(x, x) ˙ = K(x) ˙ +U(x) = 2. N. mi m j , ri j = |xi − x j |. 16i< j6N ri j. ∑ mk |x|˙ 2 + ∑. j=1. (1.25). Ele está definido em quase toda parte uma vez que x seja absolutamente contínua. Seja Ω = © ª V \ ∆, onde ∆ = x = (x1 , . . . , xN ) ∈ (R3 )N : xi = x j para algum i 6= j chamado de conjunto.

(23) 23. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. de colisões. Se x(t) ∈ Ω para qualquer t ∈ [0, T ], vamos supor que x satisfaz as condições em (1.10). O funcional ação A : X −→ R ∪ {+∞} associado a (1.23) no intervalo de tempo [0, T ] é definido por: A (x) =. Z T. L(x(t), x(t))dt. ˙. (1.26). 0. Observe que como x ∈ H 1 , A está bem definido. Note também que (1.23) corresponde as equações de Euler-Lagrange do funcional ação. Também podemos pensar em L(x, y) como uma função no fibrado tangente de V e ela é diferenciável em (x, y) exceto quando x ∈ ∆. Se x(t) ∈ V \ ∆ para t ∈ [0, T ] , então existe ε > 0 pequeno tal que, x(t) + h(t) ∈ V \ ∆ para todo. t ∈ [0, T ] e h ∈ Λε , onde Λε =. (. ). h ∈ C1 ([0, T ],V ) : h(0) = h(T ) = 0, sup |h| < ε . [0,T ]. (1.27). Logo pelo teorema 1.7, temos que: Corolário 1.1 Seja A ,X , Λε como anteriormente. Suponha que exista um extremo relativo x de A no subconjunto X0 de X . Se x + Λε ⊂ X0 e x(t) ∈ V \ ∆ para t ∈ [0, T ], então x(t) é uma solução de (1.23). Suponha que X0 é um subespaço ou uma subvariedade de X e x é um ponto crítico de A sobre X0 . Se x + Λε ⊂ X0 , então x(t) é solução de (1.23) sempre que x(t) ∈ V \ ∆.. 1.5. Princípio de criticalidade simétrica. Suponha que G é um grupo agindo sobre X0 por difeomorfismos através da representação linear ρ : G −→ Di f f (X0 ), isto é, a ação definida sobre G × X0 em X0 associa ao par (g, x) ∈ G × X0 o elemento ρ(g)x ∈ X0 . Dizemos que F : X −→ R é ρ-invariante sobre X0 , se F(ρ(g)x) = F(x) para todo x ∈ X0 e para todo g ∈ G. Seja ρ. X0 := {x ∈ X0 : ρ(g)x = x ∀g ∈ G}. (1.28). ρ. a coleção de elementos ρ-invariante em X0 . Note que X0 é um subespaço desde que ρ é uma representação linear (i.e., ρ(g) é um automorfismo linear para todo g ∈ G). O conjunto de ρ. pontos críticos da restrição F|X ρ : X0 −→ R ∪ {+∞} são chamados ρ-pontos críticos de F em 0.

(24) 24. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. X0 . Vamos mostrar no seguinte teorema que sobre certas condições ρ-pontos críticos são de fato pontos críticos de F em X0 . Teorema 1.8 Sejam F, X como em ( 1.9). Considere a restrição de F sobre um subespaço X0 de X . Seja G um grupo agindo em X0 através da representação ortogonal ρ : G −→ GL(X0 ). GL(X0 ) denota o grupo dos automorfismo lineares em X0 . Suponha que F restrito a X0 é invariante sob a representação ρ e Fréchet diferenciável em x ∈ X0 . ρ. (a) Se x ∈ X0 é um ρ-ponto crítico de F em X0 , então x também é um ponto crítico de F em X0 . (b) Seja f , Λε como em ( 1.10) e ( 1.13). Se X0 + Λε = X0 para algum ε > 0, então um ponto ρ-crítico de F em X0 é solução da equação de Euler-Lagrange ( 1.19).. Demonstração. (a) Denotaremos, por simplicidade, a restrição de F em X0 por F. Pela ρ-invariância de F e a regra da cadeia, temos que F é Fréchet diferenciável em ρ(g)x para todo g ∈ G e. DF(x) = D(F ◦ ρ(g))(x) = DF((ρ(g)x) ◦ ρ(g).. Seja ∇F(x) o H 1 -gradiente de F em x . Assim, como ρ(g) é ortogonal, h∇F(x), hiH 1 = DF(x)h = DF(ρ(g)x)(ρ(g)(h)) = h∇F(ρ(g)x), ρ(g)h)iH 1 = hρ(g)−1 ∇F(ρ(g)x), hiH 1 ∀g ∈ G, ∀h ∈ X0 . Logo ∇F é equivariante com respeito a ρ, ou seja, ρ(g)∇F(x) = ∇F(ρ(g)x) para todo g ∈ G e x ∈ X0 . ρ. Como x é ρ-invariante, então ρ(g)∇F(x) = ∇F(x) para todo g ∈ G e ∇F(x) ∈ X0 . Se ρ. ρ. x ∈ X0 é um ponto ρ-crítico de F em X0 , então ∇F(x) é ortogonal a X0 . Logo ∇F(x) = 0 e assim x é um ponto crítico de F em X0 . (b) segue de (a) e do corolário 1.1 ..

(25) 1. Resultados básicos do cálculo variacional. 25. Proposição 1.2 Seja Ω ⊂ H 1 um aberto e F : H 1 −→ R um funcional linear. Então os pontos críticos de F|Ω são os mesmos pontos críticos de F sobre H 1 .. Demonstração. Mostraremos que DF(x) = 0. Seja x um ponto crítico de F|Ω . Então DF(x) : Tx Ω −→ R satisfaz DF(x) · h = 0, para todo h ∈ Tx Ω. Ou seja, h∇F(x), hi = 0 para todo h ∈ Tx Ω. Como Ω é aberto, Tx Ω = H 1 . Assim h∇F(x), hi = 0 para todo h ∈ H 1 , donde concluímos que DF(x) = 0.. Proposição 1.3 Seja Ω ⊂ H 1 um subespaço linear de H 1 e F : H 1 −→ R um funcional linear.. Então os pontos críticos de F|Ω são os pontos críticos de F sobre H 1 , desde que DF(x) · h =. 0, ∀h ∈ Ω⊥ .. Demonstração. Como Ω é um subespaço linear, o espaço tangente de Ω se identifica com Ω. Assim, DF(x) : Ω −→ R. Como H 1 é Hilbert, H 1 = Ω ⊕ Ω⊥ . Logo, se x é um ponto crítico de F|Ω , dado qualquer h = h1 + h2 ∈ H 1 com h1 ∈ Ω e h2 ∈ Ω⊥ temos : h∇F(x), hi = h∇F(x), h1 + h2 i = h∇F(x), h1 i + h∇F(x), h2 i = h∇F(x), h2 i = 0, desde que DF(x) · h = 0 para todo h ∈ Ω⊥ ..

(26) 26. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. 1.6. Existência de minimizantes. 1.6.1 Princípio variacional O funcional ação A =. RT 0. L(x, x)dt ˙ (associado ao problema dos N-corpos) restrito a X =. H 1 ([0, T ],V ) não atinge o ínfimo em X . De fato A (x) > 0 para x ∈ X . Considere a sequência (k). (k). x(k) (t) = (x1 (t), . . . , xN (t)) ∈ (R3 )N definida por (k). xi (t) ≡ (k cos(. 2πi 2πi ), k sen( ), 0). k k. (1.29). Então x(k) é divergente e A (x(k) ) → 0 se k → +∞. Logo infX A = 0, ou seja, o ínfimo não é atingido em X . Por outro lado, o teorema 1 e o corolário 1 nos permite restringir o problema a um subespaço X0 de X . Para garantir a existência de minimizadores, o subespaço deve ser escolhido de tal forma que nenhuma seqüência divergente possa ser minimizante . Uma condição deste tipo é chamada coercividade. Um funcional em um espaço normado W é chamado de coercivo sobre um suconjunto W0 ⊂ W se F(x) → +∞ cada vez que ||x|| → +∞, x ∈ W0 . Teorema 1.9 Seja W um espaço de Banach reflexivo com norma k . k , e seja W0 ⊂ W um conjunto fracamente fechado. Suponha que F : W −→ R ∪ {+∞} satisfaz: (a) F é coercivo em W0 ;; (b) F é fracamente sequencialmente semicontinuo inferior em W0 . Então F restrito a W0 é limitado inferiormente e F atinge o mínimo. n o Demonstração. Se F = ∞ segue o resultado. Caso F 6= ∞, seja y(k) uma sequência minimizante . Como F é coercivo, temos que ||y(k) || é limitada. Pelo teorema 1.3 (Banach-Alaoglu-. Bourbaki) e a reflexividade de W , W0 tem fecho compacto na topologia fraca. Mas pelo teorema 1.4 (Eberlein-Smulian) W0 é sequencialmente compacto na topologia fraca. Vamos considerar sem perda de generalidade que y(k) converge fracamente para y ∈ W0 . Como F é fracamente seqüencialmente semicontínua inferior em W0 , F(y) ≤ lim inf F(y(k) ) = inf F k→+∞. Portanto y é um minimizador de F em W0 .. W0. (1.30).

(27) 27. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. 1.6.2 A semicontinuidade inferior fraca de A Para aplicar o teorema 1.9 em ( 1.23) precisamos mostrar a fraca semicontinuidade inferior do funcional ação: Lema 1.7 Seja A , L associados ao problema dos N-corpos e X = H 1 . Então A é fracamente sequencialmente semicontinua inferior em X . (k). (k). (k). Demonstração. Seja x(k) = (x1 , x2 , . . . , xN ) uma sequência que converge fracamente para x = (x1 , . . . , xN ) . Basta considerar o caso em que lim inf A (x(k) ) = c < ∞. Passando a uma k→∞. subseqüência se necessário, assumiremos sem perda de generalidade que A (x(k) ) é limitado por uma constante C e lim A (x(k) ) = c < ∞. k→∞ (k). (k). (k). Seja ri j := |xi − x j |, então pela compacidade do mergulho X ,→ C0 ([0, T ],V )(teorema (k). 1.6), ri j converge uniformemente para ri j . Como A (x(k) ) é limitada, a seqüência. 1 (k) ri j. é limitada. em L1 [0, T ]. Seja Ei j ⊂ [0, T ] tal que ri j 6= 0. Note que a medida de Lebesgue de Ei j é igual a medida. de Lebesgue de [0, T ]. De fato suponha, por absurdo, que med([0, T ]/Ei j ) = κi j > 0. Seja (k). εi j = C1 mi m j κi j e seja Ni j ∈ N tal que ||ri j − ri j ||C0 < εi j quando κ ≥ Ni j . Logo (k). A (x ) =. Z. (k). [0,T ]. (k). K(x˙ ) +U(x )dt ≥ mi m j. Z. 1. [0,T ]/Ei j. dt > (k). ri j. mi m j κi j = C, εi j. que é uma contradicão pois A (x(k) ) < C. A sequência. 1 (k) ri j. converge pontualmente para Z T 1 0. ri j. 1 ri j .. dt 6 lim inf k→∞. Assim pelo lema de Fatou,. Z T 1 0. (k). dt.. ri j. Note que x(k) converge fortemente para x em L2 ([0, T ],V ). Como a função norma é fracamente sequencialmente semicontínua inferior (lema 4), temos que: (k). (k). (k). (k). ||x˙ j ||2L2 = ||x j ||2H 1 −||x j ||2L2 6 lim inf ||x j ||2H 1 −||x j ||2L2 = lim inf ||x j ||2H 1 −lim inf ||x j ||2L2 = lim inf ||x˙ j ||2L2 k→∞. k→∞. k→∞. k→∞.

(28) 28. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Assim, 1 A (x) = 2. N. ∑. j=1. m j ||x˙ j ||2L2 +. 1 1 6 lim inf 2 k→∞ 2. ∑. Z T2 mi m j. 16i< j6N 0. N. ∑. ri j. dt. ∑. Z T2 mi m j. (k) m j ||x˙ j ||2L2 + lim inf k→∞ 16i< j6N 0 j=1. (k). dt. ri j. 6 lim inf A (x(k) ). k→∞. Logo A (x) é fracamente sequencialmente semicontínuo inferior.. 1.6.3. O problema dos n-corpos e a condição (NC)ν. Seja X = H 1 ([0, T ],V ) = W 1,2 ([0, T ],V ). Dizemos que um subconjunto X0 de X satisfaz a condição (NC)ν em X , ν ∈ (0, 2], se para todo x ∈ X0 existe τx ∈ (0, T ] tal que x(0) · x(τx ) ≤ (1 − ν)|x(0)||x(τx )|.. (1.31). Comentário: Note que (1.31) é verdade se ν ≤ 0 e é falsa se ν > 2 (Cauchy - Schwartz). A exigência que. ν ∈ (0, 2] assegura que curvas em X devem se afastar da condicão inicial por um certo ângulo.. Teorema 1.10 Seja X , L, A , Λε definidos em (1.24), (1.25), (1.26), (1.27). Suponha que X0 ⊂ X é fracamente fechado e satisfaz a condição (NC)ν . Então A é coercivo e atinge o mínimo em X0 . Se além disso um minimizador x ∈ X0 de A satisfaz x + Λε ⊂ X0 para algum ε > 0, então x é solução de (1.23) sempre que x(t) ∈ V \ ∆ para todo t ∈ [0, T ]. Demonstração. Seja x ∈ X0 , considere a função δ(x) := maxs1 ,s2 ∈[0,T ] |x(s1 ) − x(s2 )|. Desde que X0 satisfaz a condição (NC)ν , escolha τx ∈ (0, T ] tal que x(0) · x(τx ) ≤ (1 − ν)|x(0)||x(τx )|. Vamos considerar inicialmente o caso onde x(0) 6= 0 e x(τx ) 6= 0. Seja θ o ângulo entre x(0) e. x(τx ), com θ ∈ [0, π]..

(29) 29. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Figura 1.1: Logo sen φ|x(0) − x(τx )| = |x(0)| sen θ, ou seja, |x(0) − x(τx )| ≥ sen θ|(x(0)| e a igualdade vale se, e somente se, x(0) − x(τx ) for perpendicular a x(τx ). Mas por hipótese temos que x(0) · x(τx ) ≤ (1 − ν)|x(0)||x(τx )|, ou seja, x(0) · x(τx ) ≤ 1 − ν. |x(0)||x(τx )|. Portanto, cos θ ≤ 1 − ν. Dividiremos em casos:. Caso 1: Se cos θ > 0 temos que: cos2 θ ≤ (1 − ν)2 . Logo sen θ ≥ |x(0) − x(τx )| ≥ sen θ|x(0)| ≥ Cν |x(0)|. p ν(2 − ν) := Cν . Mas,. assim |x(0) − x(τx )| ≥ Cν |x(0)|. Caso 2: Se ν = 2. Neste caso devemos ter que cos(θ) ≤ −1, assim θ = π, (pois, cos(θ) ≥ −1). Isto implica que x(τx ) e x(0) sao paralelos, logo x(τx ) = Cx(0), com (C < 0). Desta forma: x(0) − x(τx ) = (1 −C)x(0), e portanto |x(0) − x(τx )| = (1 −C)|x(0)| ≥ |x(0)| pois C < 0. Caso 3: ν ≥ 1. Isto implica que cos θ ≤ 1 − ν ≤ 0. Daí que o ângulo θ se encontra entre π/2. e π. Segue-se que x(τx ) · x(0) ≤ 0. Assim temos que,|x(0) − x(τx )|2 = |x(0)|2 − 2x(τx ) · x(0) +. |x(τx )|2 ≥ |x(0)|2 , donde segue-se que para ν ≤ 1, |x(0) − x(τx )| ≥ |x(0)| = 1|x(0)| ≥ Cν |x(0)|, p onde Cν := ν(2 − ν). Caso 4: ν ≤ 1. Temos que 1 − ν ≥ 0. Assim se cos θ < 0, θ ∈ ( π2 , π]. Como x é continua,. escolha um novo τ¯ x tal que. cos θ > 0 e cos θ < 1 − ν. Daí segue o caso 1..

(30) 30. 1. Resultados básicos do cálculo variacional. Em conclusão, teremos que |x(0) − x(τx )| ≥ Cν |x(0)|. Note que se x(0) = 0 ou x(τx ) = 0 temos que |x(0) − x(τx )| ≥ |x(0) ≥ Cν |x(0)|. Entretanto se t ∈ [0, T ] temos. · ¸ 1 1 + 1 δ(x). |x(t)| ≤ |x(0)| + δ(x) ≤ |x(0) − x(τ)| + δ(x) ≤ Cν Cν. Assim. Z T 0. ·. ¸2 1 |x| dt ≤ + 1 δ2 (x)T. Cν 2. Por outro lado, pela desigualdade de Hölder temos que δ (x) ≤ | 2. Z T 0. 2. xdt| ˙ ≤. ·Z. T 0. |x|dt ˙. ¸2. ≤T. Z T 0. |x| ˙ 2 dt.. Logo o norma em H 1 é controlada pela ação, pois ||x||2H 1 =. Z T. (|x|2 + |x| ˙ 2 )dt "0µ #Z ¶2 T 1 ≤ |x| ˙ 2 dt +1 T2 +1 Cν 0 # "µ ¶2 1 2 + 1 T 2 + 1 A (x), < m Cν. onde m = min1≤i≤N {mi }. Portanto se ||x||2H 1 → ∞, então A (x) → ∞, ou seja, A|X0 é coercivo. Portanto pelo teorema 1.9 e pelo lema 1.7 a ação funcional restrito a X0 atinge o mínimo. Se x ∈ X0 é um minimizante tal que x + Λε ⊂ X0 para algum ε > 0, então pelo corolário 1.1 x é solução de (1.23) sempre que x(t) ∈ V \ ∆.. Corolário 1.2 Seja X1 o espaço das curvas fechadas anti-simétricas, isto é, X1 = {x ∈ H 1 : x(t) = x(−t + T2 )}, em X = H 1 ([0, T ],V ). Então A atinge o mínimo em X1 e todo minimizante. x é soluçao de (1.23), desde que x(t) ∈ V \ ∆. Demonstração. De fato , X1 é fracamente fechado e satisfaz (1.31) fazendo τx =. T 2. e ν = 2..

(31) 1. Resultados básicos do cálculo variacional. 31. Observação 1.4 Note que na prova do teorema (1.10) a única propiedade que usamos do potencial U(x) foi a semi-continuidade fraca de A . A prova da semicontinuidade fraca é válida para diferentes tipos de potencial. Por exemplo o potencial tipo-Newtoniano: Uσ (x) =. mi m j σ , ri j = |xi − x j |, |xi − x j | i 6= j 16i< j6N ri j. ∑. Substituindo U por Uσ , (1.23) também é chamado de problema tipo- N-corpos. Note que o teorema (1.10) também é verdadeiro para o problema tipo- N-corpos..

(32) Capítulo 2 Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler Neste capítulo, estudaremos o problema de Kepler e deduziremos as leis de Kepler. Numa abordagem variacional relacionaremos o funcional ação e o problema de Kepler, onde exibiremos certos espaços, onde garantiremos a existência de minimizantes que sobre certas condições serão justamente as órbitas Kepleriana elípticas. Para isso faremos uso de um importante teorema devido a Gordon [9]. Em seguida, relataremos propriedades das órbitas circulares minimizantes.. 2.1. O problema de Kepler. A equação do problema dos dois corpos no plano é dada por mk x¨k =. ∂ U, k = 1, 2 ∂xk. (2.1). onde xk ∈ C é a posição da partícula de massa mk e U = U(|x1 − x2 |) =. α , α = m1 m2 |x2 − x1 |. é a energia potencial (formalmente, é menos a energia potencial). Fixando a massa central na origem e fazendo x = x2 − x1 , m =. m1 m2 m1 +m2. (massa reduzida), o sistema (2.1) pode ser re-escrito. como mx¨ = −α. x . |x|3. (2.2).

(33) 33. 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. Desta forma, o Lagrangiano e o Hamiltoniano são, respectivamente L(x, x) ˙ = K(x) ˙ +U(x) =. m α |x| ˙+ 2 |x|. (2.3). H(x, x) ˙ = K(x) ˙ −U(x) =. m α |x| ˙− . 2 |x|. (2.4). e. Comentários:. (1) Esta redução diz que o estudo do problema de 2 corpos é equivalente ao estudo do problema de Kepler; (2) A equação (2.2) é justamente a equação de Euler-Lagrange do funcional ação A (x) = RT 0. L(x, x)dt. ˙ As soluções de (2.2) são chamadas órbitas Keplerianas.. É fácil ver que, em termos de coordenadas polares x = reiθ , o lagrangiano é dado por ˙ = K(r, r˙, θ) ˙ = L(r, θ, r˙, θ). α m (˙r + r2 θ˙ 2 ) + 2 r. e que a equação (2.2) é equivalente ao sistema   m(¨r − rθ˙ 2 ) = − α r2  mr2 θ˙ = J.. (2.5). (2.6). Comentário : A constante J é chamada de momento angular e 12 r2 θ˙ =. J 2m. é a velocidade. areal, isto é, a mudança da taxa da área percorrida pelo raio do vetor x. Assim, como a velocidade areal é constante, temos a segunda lei de Kepler. Substituindo mr2 θ˙ = J em m(¨r − rθ˙ 2 ) = − rα2 temos que m¨r = −. J2 J2 α 0 + = U (r), U = −U(r) + . e f f ef f r2 mr3 2mr2. A função Ue f f é chamada de potencial efetivo. Note que J = 0 se, e somente se, o movimento é colinear. De fato, J = 0 se e somente se θ é constante e, assim, x = reiθ é uma reta. No caso em que J 6= 0, tem-se de (2.6) que r e θ˙ são distintos de zero, e assim definindo u = 1r temos que :  1 du 1 du dθ J du dr  dt = − u2 dt = − u2 dθ dt = − 2m dθ ,  d 2 r = − J d ( du ) = J du2 dθ = −( J )2 u2 d 2 u . dt 2. 2m dt dθ. 2m. dθ2. dt. 2m. dθ2. (2.7).

(34) 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. 34. Assim, obtemos a equação de Clairaut: d2u mα +u = 2 , 2 dθ J. (2.8). cujas soluções são da forma: mα + B cos(θ − θ0 ), B ≥ 0, θ0 ∈ [0, 2π). J2. u(θ) = Desde que r =. 1 u. segue-se que r(θ) =. p J2 , p= . 1 + e cos(θ − θ0 ) mα. (2.9). A equação (2.9) nos diz que as órbitas keplerianas com momento angular não nulo são cônicas com um foco no centro de atração. Esta é justamente a primeira lei de Kepler. A constante 2p =. 2J 2 mα. > 0 é chamada de latus rectum e e =. BJ 2 mα. > 0 é chamado de excentricidade .. Assim, usando as equações (2.5), (2.6), (2.9), podemos escrever o hamiltoniano em função da excentricidade da seguinte maneira:. ¶ µ α J2 m r˙ + 2 2 − H = 2 m α r # "µ ¶ 2 J2 d 1 1 = + 2 2m dθ r r = = = = =. J2 0 [(u (θ))2 + (u(θ))2 ] − αu(θ) 2m · ¸ m2 α2 J2 2mαB mα2 2 2 2 2 B sen (θ − θ0 ) + 4 + B cos (θ − θ0 ) + cos(θ − θ ) − − αB cos(θ − θ0 ) 0 2m J J2 J2 ¸ · mα2 m2 α2 2mαB J2 2 cos(θ − θ ) − − αB cos(θ − θ0 ) B + 4 + 0 2m J J2 J2 J 2 B2 mα2 mα2 + − 2 2m · 2J 2 ¸J 2 2 2 mα B J −1 , 2J 2 m2 α2. ou seja, H=. mα2 2 (e − 1). 2J 2. (2.10). Então de (2.9), temos que uma órbita kepleriana com momento angular não nulo é periódica se, e somente se, uma das seguintes condições forem verdadeiras:   0 ≤ e < 1 ⇔ H < 0 (elipse)  e = 0 ⇔ H = mα2 (círculo). mJ 2.

(35) 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. 35. Figura 2.1: Suponha que x é uma órbita kepleriana com período T . Sem perda de generalidade vamos supor que θ0 = 0 e θ(0) = 0 (basta fazer uma mudança de coordenadas adequadas e uma translação na variável tempo). Então da segunda equação em (2.6) temos que : JT = 2m. Z. T 2. 0. r θdt = 2˙. Z π. 2. r dθ =. 0. Z π 0. p2 p2 π dθ = 3 . (1 + e cos θ)2 (1 − e2 ) 2. Seja a o semi-eixo maior da órbita elíptica. Assim por (2.9) e (2.10) temos r(0) + r(π) = a= 2 Então temos que :. p 1−e. p + 1+e J2 p α = = =− . 2 2 2 2 1−e mα (1 − e ) 2H. p4 π2 4m2 π2 pa3 J2T 2 2 = ⇒T = , 4m2 (1 − e2 ) J2. ou seja, T 2 4mπ2 = . a3 α. (2.11). Assim mostramos a terceira lei de Kepler que diz o seguinte: o quadrado do período da órbita é proporcional ao cubo do semi-eixo maior. Uma outra maneira de deduzir a terceira lei de Kepler é usando uma variável auxiliar E, chamada de anomalia excêntrica(ver [3]), definida por r = a(1 − e cos E).. (2.12).

(36) 36. 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. Assim, de (2.10) e de (2.12) temos que : r r r r µ ¶ 1 2α 2 α J2 a(1 − e2 ) α esenE 1 2 )= (H + − = |˙r| = − r +r− . m r 2mr2 r m 2a 2 ma 1 − e cos E Logo 1 dr = |˙r|. r. m 3 a 2 (1 − e cos E)dE. α. (2.13). Seja rmin , rmax o mínimo e o máximo de r. Então r r Z rmax Z m 3 π m 3 T 1 = dr = a2 a2 , (1 − e cos E)dE = π 2 α α 0 rmin r˙ donde segue-se (2.11).. 2.1.1 O funcional ação e o problema de Kepler Seja X = H 1 ([0, T ], C), então o funcional ação associado a (2.2) é dado por ¸ Z T· m1 m2 m A (x) = dt, x ∈ X . |x(t)| ˙ + 2 |x(t)| 0 Proposição 2.1 Seja X0 = {x ∈ X : x(0), ix(T ) ∈ R}. Então A atinge o mínimo em X e todo minimizante x é soluçao de (2.1) sempre que x(t) 6= 0 para todo t ∈ [0, T ]. Demonstração. Pelo teorema 1.6 o mergulho X ,→ C0 ([0, T ],V ) é compacto, logo pelo teorema 1.2 X0 é fracamente fechado e também fechado na topologia forte. Para todo x ∈ X0 considere a função δ(x) :=. max |x(s1 ) − x(s2 )|.. s1 ,s2 ∈[0,T ]. Desde que x(0) · x(T ) = 0, temos que: δ(x) ≥ |x(0) − x(T )| =. p |x(0) + x(T )| ≥ |x(0)|,. |x(t)| ≤ |x(0)| + δ(x) ≤ 2δ(x), para todo t ∈ [0, T ]. Assim. Z T 0. |x|2 dt ≤ 4δ(x)2 T.. Mas, pela desigualdade de Hölder, temos: Z T 0. 1 |x| ˙ dt ≥ T 2. µZ. T 0. |x|dt ˙. ¶2. ≥. δ(x)2 . T.

(37) 37. 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. Além disso temos que a norma de Sobolev é controlada pela ação uma vez que: ||x|| ˙ 2H 1. =. Z T 0. 2. 2. 2. (|x| + |x| ˙ )dt ≤ 4δ(x) T +. ≤ (4T 2 + 1). Z T 0. Z T 0. |x| ˙ 2 dt. 2 |x| ˙ 2 dt < (4T 2 + 1)A (x). m. Logo se ||x||H 1 → +∞ então A → +∞, ou seja, A|X0 é coercivo. Portanto pelo teorema 1.9 e pelo lema 1.7 o funcional ação AX0 atinge o mínimo. Como Λε ⊂ X0 , segue do corolário 1.1, que todo minimizante x é solução de 2.2 desde que x nunca anule-se. Proposição 2.2 Seja X1 := {x ∈ X : x(t) = −x(t + T2 ), 0 ≤ t ≤ T2 }. Então A atinge o mínimo sobre X1 e todo minimizante x é solução de 2.2 desde que x é não nulo. Demonstração. Inicialmente note que X1 ⊂ X é fechado na topologia forte, pois se xn → x em X1 , então x(t) = lim xn (t) = lim −xn (t + n→∞. n→∞. T T ) = −x(t + ). 2 2. Logo X1 é fechado na topologia fraca. Para todo x ∈ X1 , x(0) = x(T ) e então tais caminhos. podem ser estendidos a uma função periódica em R com a propriedade x(t) = −x(t + T2 ) para. todo t ∈ R. Assim : |x(t)|2. T 1 1 |x(t + ) − x(t)|2 ≤ = 4 2 4 ≤. T 8. Z t+ T 2 t. Portanto :. |x(τ)| ˙ 2 dτ =. Z T 0. |x|2 dt ≤. ÃZ. t+ T2. !2. x(τ)dτ ˙. t. T 8. Z. T2 16. Z T. T 2. 0. 0. |x(τ)| ˙ 2 dτ =. T 16. Z T 0. |x(τ)| ˙ 2 dτ.. |x(τ)| ˙ 2 dτ. e assim, ||x||2H 1. =. Z T 0. 2. 2. (|x| + |x| ˙ )dt ≤. µ. µ ¶Z T ¶ 2 T2 T2 2 |x| ˙ dt < +1 + 1 A (x). 16 m 16 0. Logo A|X1 atinge o mínimo pelo mesmo argumento da proposição anterior. Observe que para mostrar que o minimizante x é solução de (2.2) não podemos usar o Corolário 1.1 , pois X1 não contém Λε , pois sendo h(t) =. ε 2. temos que h ∈ Λε e h ∈ / X1 . Mas. se nós trabalharmos sobre o espaço de funções X0 = {x ∈ X : x(0) = x(T )},.

(38) 38. 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. temos que X0 + Λε = X0 para todo ε > 0 e então o corolário 1.1 pode ser aplicado. Note que X1 é um subespaço de X0 , o qual é invariante sobre a representação ortogonal ρ : Z2 → GL(X ) definida por ρ(1)(x(t)) := −x(t +. T ), 2. ρ. ou seja, X1 = X0 . Como A|X0 é ρ-invariante, temos pelo teorema 1.8 que todo minimizante x ρ. em X0 é solução de (2.2) desde que x é não-nulo. Observação 2.1 Note que as proposições 2.1 e 2.2 pode ser facilmente provadas usando o Teorema 1.10. De fato, na proposição 2.1 basta fazer τx = T e ν = 1. Já a proposição 2.2, é justamente o corolário 1.2.. 2.1.2 Ação das órbitas keplerianas colineares e elípticas Seja x(t) = r(t)eiθ(t) uma órbita kepleriana elíptica com período T . Vamos supor que θ(0) = 0 e θ0 (ângulo de fase) também é zero em ( 2.9). Proposição 2.3 Seja x uma órbita kepleriana elíptica de 2.9 cujo período é T . Então a ação de x é dada por:. µ. mα2 π2 A (x) = 3 2. ¶ 13. 1. T3. (2.14). Demonstração. De fato, seja x(t) = r(t)eiθ(t) . Integrando a energia potencial ao longo desta curva temos que: Z T. U(x)dt = 2α. 0. Z. T 2. 0. 1 dt = 2α r. r Z √ m 3 π a(1 − e cos E) dr = 2α a2 dE = 2 mαaπ. rr˙ α 0 (1 − e cos E). Z rmax 1 rmin. Assim o valor da ação em x é: A (x) =. Z T. [K(x(t)) ˙ +U(x(t))] dt =. 0. Z T. √ [H + 2U(x(t))] dt = HT + 4 mαaπ.. 0. α temos que : Usando (2.11) e como H = − 2a. µ 2 2 ¶ 13 √ √ 1 mα π A (x) = 3 mα aπ = 3 T 3. 2.

(39) 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. 39. Comentário: Seja x uma órbita periódica com período mínimo T e seja y uma órbita periódica cujo período é. T k. (k um número natural). Então a órbita T -periódica obtida por repetir y. n-vezes (x(t) = y(t/k)) tem sua ação funcional kA (y) e como conseqüência da proposição 2.14 temos que: µ. mα2 π2 kA (y) = 3k 2. ¶ 13 µ ¶ 1 µ 2 2 ¶ 13 1 2 2 mα π T 3 T 3 = k 3 A (x). = k33 k 2. Isto nos diz que uma óbita kepleriana T -periódica tem uma ação menor quando T é o periódo mínimo. Vamos agora levar em consideração as órbitas keplerianas colineares (i.e, J = 0). Uma solução estendida (ou continuada) x(t) de (2.2), t ∈ [0, T ], é uma curva contínua cuja trajetória é a união de órbitas keplerianas e a origem. Seja Ex ⊂ [0, T ], Ex = {t ∈ [0, T ]/x(t) = 0}. Temos por continuidade que x(t) começa ou termina em uma componente de [0, T ]\Ex . Então o segmento correspondente de x é linear desde que as órbitas keplerianas obtidas sejam colineares. Por simplicidade começaremos com uma óbita kepleriana colinear x, a qual começa com velocidade zero e move-se da origem para a frente e que a colisão ocorre em t = T2 . A partícula então inverte o percurso do movimento até alcançar o ponto de partida, onde terá velocidade zero. Este é um caso especial de extensões de soluções T -periódicas, as quais podem ser consideradas uma óbita elíptica degenerada com e = 1. O momento angular é zero e a = |x(0)|. Note que, usando (2.12) e (2.13) obtemos (2.11). Note ainda que a ação pode ser calculada como na demonstração da proposição 2.3. Assim temos o seguinte lema: Lema 2.1. (a) Seja x uma extensão da órbita colinear kepleriana de (2.2) com periódo T. satisfazendo T x(t) = x(t − T ) ∀t ∈ [0, ], x(0) ˙ = x(T ˙ ) = 0. 2. T x( ) = 0, 2. (2.15). Então a ação de x é dada por ( 2.14). (b) Se x(0) ˙ = 0 e x se move em direção a origem com a colisão ocorrendo em x(τ) = 0 então Rτ 0. 1. 1. L(x, x)dt ˙ = 32 (mα2 π2 ) 3 τ 3 .. Demonstração. A letra (a) já foi demonstrada anteriormente e a letra (b) segue de (a) e do comentário anterior..

(40) 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. 40. 1. Observação 2.2 Note que g(s) := s 3 é uma função côncava. Seja x uma solução periódica estendida de ( 2.2) e seja {ti } os comprimentos das componentes de Ex . Se x tem ação finita, então ∑ ti = T e i. µ 2 2 ¶ 13 ³ t ´ 13 1 1 1 1 1 mα π 3 3 i ≥3 T 3. A (x) = (mα2 π2 ) 3 ∑ ti3 = (mα2 π2 ) 3 T 3 ∑ 2 2 T 2 i i Para obter a última desigualdade, usamos a concavidade da função g(s) e a igualdade é válida se, e somente se, t1 = t2 =. T 2,. ou seja, entre as soluções periódicas estendidas de (2.2) os. caminhos da forma (2.15) tem menor ação .. 2.2. O teorema de Gordon. Considere o espaço das curvas fechadas XT = H 1 ([0, T ]/{0, T }, C) em X = H 1 ([0, T ], C) que circundam a origem: X2 := {x ∈ XT : x(t) 6= 0 e grau(x; 0) 6= 0} X2∗ := X2 ∪ {x ∈ XT : A (x) < ∞, x(t) = 0, para algum t ∈ [0, T ]} Comentário: Denotaremos grau(x; a) (ou índice) como sendo o número de voltas que a curva x dá em torno de a ∈ C. Ao contrário de X0 e de X1 estudados na seção (2.1.1), X2 não é fracamente fechado em X ou em XT (demonstraremos isto na próxima proposição ). Os lemas e o corolário a seguir terão um papel importante na demonstação da próxima proposição , a qual será usada na prova do teorema de Gordon. Observação 2.3 Sejam X e Y dois espaços.Duas aplicações f , g : X → Y são chamadas de. homotópicas ( f ' g) se existe uma função contínua H : X × [0, 1] → Ω tal que H(x, 0) =. g(x) e H(x, 1) = f (x) Lema 2.2 Sejam f , g : X → Ω, duas aplicações contínuas, onde X é um compacto e Ω é um. aberto de um espaço vetorial normado. Então existe ε > 0 tal que se d( f , g) < ε (aqui d indica a distância de f à g) temos que f ' g..

(41) 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. 41. Demonstração. Seja ε = 21 d( f (x), Ωc ), e defina H : X × [0, 1] → Ω, por H(x,t) = t f (x) + (1 − t)g(x). Note que (t f (x) + (1 − t)g(x)) ∈ Ω e que H(x, 0) = g(x) e H(x, 1) = f (x). Portanto, f ' g. Lema 2.3 Seja n ≥ 1. Duas aplicações de Sn sobre Sn são homotópicas se, e somente se, elas tem o mesmo grau. Demonstração. ver [7], página 352 Corolário 2.1 Sejam f , g : R2 − {0} → R2 − {0}. Então f ' g se, e somente se, f e g têm o mesmo grau. Lema 2.4 Seja A c , c ∈ R, o conjunto de nível A −1 ((−∞, c]) ⊂ XT de A . Então: (a) A|X2∗ é coercivo; (b) X2 é aberto em XT (c) A c ∩ X2∗ é fracamente fechado em XT para c ∈ R Demonstração. (a) De fato, seja x ∈ X2∗ , então existe τx ∈ (0, T ] onde x(0) e x(τx ) são tais que: x(0) · x(τx ) = −|x(0)||x(τx )|. Logo A|X2∗ satisfaz a condição (NC)ν e portanto A|X2∗ é coercivo. (b) Como o mergulho H 1 ,→ C0 é compacto temos que para qualquer x ∈ X2 , εx := kxkC0 é positivo e kx − ykC0 ≤ kx − ykH 1 < εx para algum C > 0 independente de x e para todo y tal que kx − ykH 1 < ε. Então pelo lema. 2.2 e pelo corolário 2.1 temos que se y pertence a uma pequena H 1 - vizinhança, então y ∈ X2 , ou seja, X2 é aberto. / Seja (c) O caso em que A c ∩ X2∗ = 0/ é trivial. Suponhamos então que A c ∩ X2∗ 6= 0. {xk }uma seqüência em A c ∩ X2∗ . Temos que {xk } é limitada pois ,mostramos no item.

(42) 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. 42. (a) que A |X2∗ é coercivo. Assim pelo teorema de Banach- Alaoglu-Bourbaki (teorema 1.3) ele tem um limite fraco x ∈ XT . Passando a uma subseqüência se necessário, seja xk. uma seqüência que converge fracamente para x. Segue-se que x ∈ X2∗ pois o mergulho H 1 ,→ C0 é compacto. Pelo lema 1.7, temos que. A (x) ≤ lim inf A (x(k) ) ≤ c. k→∞. Logo x ∈ A c ∩ X2∗ e, assim, concluímos que A c ∩ X2∗ é fracamente fechado.. Temos agora todas as "ferramentas"para demonstrar o principal teorema desta seção: O teorema de Gordon. Teorema 2.1 A |X2 atinge o valor mínimo nas órbitas keplerianas elípticas de (2.2) para o qual T é o período mínimo. / De fato existe tal valor c, e isto segue do Demonstração. Escolha c tal que A c ∩ X2∗ 6= 0. proposição 2.3. Assim dos lemas 2.4 e 1.7 e pelo teorema 1.9, o funcional A atinge o mínimo em A c ∩ X2∗ . Se o minimizante x ∈ X2 temos o resultado. Suponha então que x ∈ X2∗ \X2 é um minimizante de A |X2∗ . Note que pela observação 2.2 x tem que ser uma solução estendida com exatamente uma colisão em ST , e além do mais tem que ter a forma (2.15),a menos de uma translação da variável tempo. Pelo lema 2.1, x tem a mesma ação de qualquer órbita Kepleriana com período mínimo T . Portanto A |X2∗ ( e então A |X2 ) atinge o mínimo em X2 e pela proposicão 2.3, estes minimizantes são órbitas keplerianas elípticas de (2.2) para as quais T é o período mínimo. Portanto o teorema está provado.. Comentário: Note que o teorema não exclui que órbitas com colisões sejam minimizantes, mas garante a existência de órbitas minimizantes sem colisões..

(43) 43. 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. 2.2.1 Uma propriedade minimizante das órbitas círculares Nesta seção vamos estudar o mesmo problema de minimização da proposição 2.1. Vamos considerar a acão funcional restrita a X0 ⊂ X = H 1 ([0, T ], C) tal que X0 := {x ∈ X : x(0), ix(T ) ∈ R.} Lema 2.5 Seja x(t) = r(t)eiθ(t) um minimizante de A em X0 . Então x é solução de (2.2) desde que nunca se anule. Além disso, se r(0) > 0 então r˙(0) = 0, e se r(T ) > 0 então r˙(0) = 0 Demonstração. Inicialmente note que a existência de minimizantes é garantida pela proposição 2.1. A afirmação de que x é solução de (2.2) segue do seguinte fato: (2.2) é a equação de EulerLagrange de A e tal equação só possui singularidades quando x = 0, o que não acontece (por hipótese). Seja. ˙ = m (˙r2 + r2 θ˙ 2 ) + α L(r, r˙, θ, θ) 2 r. o lagrangiano em coordenadas polares. Suponha que r(0) > 0, então x é solução de (2.2) em uma vizinhança de 0. Escolha uma variação admissível h, a qual é diferenciável e suportada em uma pequena vizinhança da origem com h(0) 6= 0. Temos que a variação de Gâteuax de A em x = reiθ na direção h é dada por. dL dL δx A (h) = h(T ) − h(0) + d r˙ d r˙. Z Tµ dL 0. ¶ d dL hdt. − dr dt d r˙. (2.16). Como x é um minimizante, x é solução da equação de Euler -Lagrange e a primeira variação de A é zero. Então 0=. dL dL h(T ) − h(0). d r˙ d r˙. Como h tem suporte em uma vizinhança de zero então h(T ) = 0, e assim, temos que. dL d r˙. dL d r˙ h(0) = 0.. Em t = 0. = mr(0)˙r(0). Como r(0) > 0 e h(0) > 0. temos que r˙(0) = 0. De maneira similar. mostra-se que r˙(T ) = 0. Seja X0,C o conjunto dos caminhos com colisões em X0 , ou seja X0,C = {x ∈ X0 : x(t) = 0 para algum t ∈ [0, T ]}. Nosso próximo objetivo é excluir caminhos com colisões entre os minimizantes de A em X0 ..

(44) 44. 2. Cálculo variacional aplicado ao problema de Kepler. Lema 2.6 Para qualquer x ∈ X0,C com ação finita existe x¯ ∈ X0,C com somente uma colisão em [0, T ] tal que x¯ tem momento angular nulo em quase toda parte e A (x) ¯ ≤ A (x), onde a igualdade é verdadeira somente se x tem momento angular nulo e satisfaz qualquer uma das seguintes condições: (i) x(0) = 0 e |x| é não-decrescente em [0, T ]; (ii) x(T ) = 0, e |x| é não-crescente em [0, T ]; (iii) x(τ) = 0 para algum τ ∈ (0, T ), |x| é monótona em [0, τ) e (τ, T ] Demonstração. Seja x ∈ X0,C . Escrevendo x na forma polar, x(t) = r(t)eiθ(t) , temos que o momento angular mr2 θ˙ de x é definido em quase toda parte. Note que se x tem ação finita, o. momento angular é zero se e somente se θ˙ = 0 em quase toda parte. Seja t1 = inf ∆x , onde ∆x = {t ∈ [0, T ]/x(t) = 0}. Observe que x(t1 ) = 0, pois caso contrário. existiria ξ > 0 tal que x(t) 6= 0 para todo t ∈ (t1 − ξ,t1 + ξ), que t1 pode ser 0 ou T no caso em. que x começa ou termina em colisão . Assim defina x(t) ¯ = r¯(t)eiθ(t) onde :     sup r(s), quando t ∈ [0,t1 ], s∈[t,t1 ] r¯(t) =    sup r(s), quando t ∈ (t1 , T ], ¯. s∈[t1 ,t].   0, se t ∈ [0,t ] 1 ¯ = θ(t)  π x, se t ∈ (t , T ]. 1 2. Note que como θ¯ = 0 em [0,t1 ], x¯ permanece no eixo real neste intervalo e tem somente uma colisão que acontece em t = t1 e que no intervalo (t1 , T ] o caminho x¯ permanece sobre o eixo imaginário. Como x tem ação finita, temos que r 6= 0 em quase toda parte e assim r¯ > 0 em [0,t1 ) ∪ (t1 , T ]. Observe também que : (1) r ≤ r¯. De fato, isto segue do fato que sup r(t) ≥ r(t); (2) |˙r| ≥ |r˙¯|. De fato, r¯ ou coincide com r em um intervalo ou é um segmento de reta, ou seja, r˙¯ = 0 ou |r˙¯| = |˙r| em quase toda parte; (3) θ¯˙ = 0. Esta propriedade segue imediatamente pelo fato de θ ser constante em [0,t1 ] e em (t1 , T ]..