GA aula18

(1)

Geometria Analítica

Superfícies de Revolução

Cleide Martins

DMat - UFPE

(2)

Superfícies de Revolução

Uma SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO é a superfície obtida ao se girar uma curva γ ao redor de uma reta `. A curva γ é chamada curva geratriz e reta ` é o eixo de rotação.

(3)

Exemplos de Superfícies de Revolução

Epecique a curva geratriz e o eixo de rotação para cada superfície. Esfera

I geratriz : uma circunferência I eixo: qualquer reta contendo um

diâmetro

Elipsóide de revolução

I geratriz : uma elipse

I eixo: qualquer reta contendo um dos

eixos de simetria

Parabolóide de revolução

I geratriz : uma parábola

I eixo: reta contendo o eixo de simetria

Hiperbolóide de uma folha de revolução

I geratriz : uma hipérbole

I eixo: reta contendo o eixo conjugado

Hiperbolóide de duas folhas de revolução

I eixo: reta contendo o eixo transverso

Toro

I geratriz : uma circunferência γ I eixo: qualquer reta ` coplanar com γ

(4)

Exemplos de Superfícies de Revolução

I geratriz : uma circunferência

I eixo: qualquer reta contendo um

diâmetro

eixos de simetria

Toro

com ` ∩ γ = ∅

(5)

Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

com ` ∩ γ = ∅

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

com ` ∩ γ = ∅

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

com ` ∩ γ = ∅

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

com ` ∩ γ = ∅

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

com ` ∩ γ = ∅

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

com ` ∩ γ = ∅

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

com ` ∩ γ = ∅

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Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

I geratriz : uma circunferência γ

I eixo: qualquer reta ` coplanar com γ

(20)

Exemplos de Superfícies de Revolução

diâmetro

eixos de simetria

Toro

com ` ∩ γ = ∅

(21)

Superfícies de Revolução geradas por retas

Se Ω é uma superfície de revolução onde a geratriz é uma reta r e ` é o eixo de rotação, descreva Ω quando r e ` são concorrentes: I Ωé um cone ou I Ωé um plano. r e ` são paralelas I Ωé um cilindro r e ` são reversas

I Ωé um hiperbolóide de uma folha ou

(22)

Superfícies de Revolução geradas por retas

I _Ωé um plano menos um disco.

(23)

Superfícies de Revolução geradas por retas

(24)

Superfícies de Revolução geradas por retas

I _Ωé um plano menos um disco.

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Superfícies de Revolução geradas por retas

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Superfícies de Revolução geradas por retas

I Ωé um plano menos um disco.

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Superfícies de Revolução geradas por retas

(28)

Superfícies de Revolução geradas por retas

I Ωé um plano menos um disco.

(29)

Equação de uma superfície de revolução

Uma superfície de revolução é uma união de circunferências,

para equacionar uma superfície de revolução é preciso equacionar suas circunferências. Algumas circunferências são fáceis de equacionar e outras não

Circunferências contidas em um plano paralelo a um plano coordenado são fáceis de equacionar.

Quando a geratriz e o eixo de rotação de uma superfície de revolução estão contidos em algum plano coordenado e o eixo é paralelo a um dos eixos coordenados, suas

circunferências são paralelas a algum plano coordenado.

Vamos equacionar uma superfície de revolução obtida pela rotação de uma curva γ contida em um plano coordenado em torno de uma reta ` paralela a um dos eixos coordenados desse plano

Em seguida veremos como equacionar uma superfície de revolução mais geral, quando uma curva qualquer gira em torno de uma reta qualquer.

(30)

Equação de uma superfície de revolução

para equacionar uma superfície de revolução é preciso equacionar suas circunferências.

Algumas circunferências são fáceis de equacionar e outras não

(31)

Equação de uma superfície de revolução

(32)

Equação de uma superfície de revolução

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Equação de uma superfície de revolução

(34)

Equação de uma superfície de revolução

(35)

Equação de uma superfície de revolução

(36)

Geratriz γ contida no plano yOz e eixo de rotação o eixo Oz

Uma curva γ que está contida no plano yOz tem equação da forma γ :

f (y, z) = 0 x = 0

Se γ gira ao redor do eixo Oz cada um de seus pontos descreve uma circunferência com centro sobre o eixo Oz. Seja Ω a união dessas circunferências e P = (x, y, z) ∈ Ω. Digamos que a circunferência C que contém P tem centro C e foi gerada pelo ponto Q = (u, v, w) ∈ γ

(37)

Relação entre as coordenadas de P , Q e C

Como o plano que contém C é paralelo ao plano z = 0, todos os pontos de C, e seu centro C, têm a mesma coordenada z que é a coordenada z do ponto P .

Podemos então dizer que se P = (x, y, z) então C = (0, 0, z) e Q = (u, v, z) Como Q ∈ γ

f (v, z) = 0 u = 0

Como Q e P estão em uma circunferência com centro C k

→

CP k=k

→

CQk

A equação da superfície Ω é obtida dessa última equação com os ajustes feitos nas coordenadas dos pontos C e Q em termos das coordenadas de P e da equação da curva geratriz γ.

(38)

Relação entre as coordenadas de P , Q e C

Podemos então dizer que se P = (x, y, z) então C = (0, 0, z) e Q = (u, v, z)

Como Q ∈ γ

f (v, z) = 0 u = 0

→

CP k=k

→

CQk

(39)

Relação entre as coordenadas de P , Q e C

f (v, z) = 0 u = 0

→

CP k=k

→

CQk

(40)

Relação entre as coordenadas de P , Q e C

f (v, z) = 0 u = 0

→

CP k=k

→

CQk

(41)

Relação entre as coordenadas de P , Q e C

f (v, z) = 0 u = 0

→

CP k=k

→

CQk

(42)

Exemplo 1: girando uma parábola em torno de uma reta que não é seu eixo

de simetria

Considere a parábola γ : y = z2 _{no plano x = 0 e a superfície Ω obtida pela rotação de γ ao}

redor do eixo Oz

De acordo com o que foi descrito, se P = (x, y, z) é um ponto qualquer em Ω, Q = (u, v, w) é o ponto de γ que gera a circunferência que contém P e C é o centro dessa circunferência, então P, Q e C têm a mesma coordenada z. Temos, então

P = (x, y, z) Q = (0, v, z) com v = z2 e C = (0, 0, z)

A condição para que P e Q estejam em uma mesma circunferência com centro em C é que kCP k=k→ → CQk → CP = (x, y, 0) e → CQ= (0, v, 0)

(43)

k

CP k=k

→ →

CQk

p x2_{+ y}2₌√_v2 x2+ y2 = v2 e v2= z4 x2+ y2= z4

(44)

Adaptando o método para outros eixos de rotação

Como exercício, faça as adaptações necessárias no método descrito para obter a equação da superfície Ω gerada pela rotação da curva γ ao redor do eixo ` e faça um esboço de cada superfície. 1 _{γ :} x = z3 y = 0 ` : X = λ(1, 0, 0) 2 _{γ : X = λ(1, 1, 0)} _{` : X = (2, 2, 0) + λ(0, 1, 0)} 3 γ : (x + 4)2+ y2= 1 z = 0 ` : X = λ(0, 1, 0)

(45)

Adaptando o método para outros eixos de rotação

(46)

Adaptando o método para outros eixos de rotação

(47)

Resposta: superfície 1

γ :

x = z3

y = 0 ` : X = λ(1, 0, 0)

Seguindo o roteiro: o eixo de revolução é o eixo Ox. Portanto, P = (x, y, z) ∈ Ω e

Q = (u, v, w) ∈ γ estão em uma circunferência com centro C e têm a mesma coordenada x: P = (x, y, z) Q = (x, 0, x1/3) C = (x, 0, 0) → CP = (0, y, z) → CQ= (0, 0, x1/3) kCP k=k→ → CQk ⇐⇒ y2+ z2 = x2/3

(48)

Resposta: superfície 2

γ : X = λ(1, 1, 0) ` : X = (2, 2, 0) + λ(0, 1, 0)

Seguindo o roteiro: o eixo de revolução é paralelo ao eixo Oy. Portanto, P = (x, y, z) ∈ Ω e Q = (u, v, w) ∈ γ estão em uma circunferência com centro C e têm a mesma coordenada y:

P = (x, y, z) Q = (y, y, 0) C = (2, y, 0) → CP = (x − 2, 0, z) → CQ= (y − 2, 0, 0) kCP k=k→ → CQk ⇐⇒ (x − 2)2+ z2= (y − 2)2

(49)

Resposta: superfície 3

γ :

(x + 4)2+ y2 = 1

z = 0 ` : X = λ(0, 1, 0)

Seguindo o roteiro: o eixo de revolução é o eixo Oy. Portanto, P = (x, y, z) ∈ Ω e

Q = (u, v, w) ∈ γ estão em uma circunferência com centro C e têm a mesma coordenada y: P = (x, y, z) C = (0, y, 0) Q = (u, y, 0) com (u + 4)2+ y2 = 1 → CP = (x, 0, z) → CQ= (u, 0, 0) kCP k=k→ → CQk ⇐⇒ x2+ z2 = u2 ⇐⇒ u = ±px2_{+ z}2 (u + 4)2= (4 ±px2_{+ z}2₎2_{= 16 ± 8}p x2_{+ z}2_{+ x}2_{+ z}2 _{= 1 − y}2

(50)

Caso geral

Consideremos agora que a curva γ :

f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0

gira em torno da reta ` : X = (x0, y0, z0) + λ(a, b, c) gerando a superfície Ω

As circunferências de Ω podem ser equacionadas como interseções de esferas com planos.

Cada uma dessas circunferências tem centro em ` e está contida em um plano perpendicular a `.

Como o centro de cada circunferência é a projeção ortogonal do centro da esfera sobre o plano, podemos xar um ponto de ` para ser o centro de todas as esferas, por exemplo A = (x0, y0, z0).

Cada uma das circunferências de Ω pode ser equacionada por

ax + by + cz = λ (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 = µ2

(51)

Caso geral

f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0

As circunferências de Ω podem ser equacionadas como interseções de esferas com planos. Cada uma dessas circunferências tem centro em ` e está contida em um plano

perpendicular a `.

ax + by + cz = λ (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 = µ2

(52)

Caso geral

f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0

perpendicular a `.

ax + by + cz = λ (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 = µ2

(53)

Caso geral

f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0

perpendicular a `.

(54)

Obtendo a equação da superfície Ω gerada pela rotação da curva γ em

torno da reta `

Um ponto P = (x, y, z) está em Ω se, e somente se, P está em uma circunferência gerada pela rotação de um ponto Q = (u, v, w) ∈ γ em torno da reta `.

Esse ponto Q deve satisfazer as equações (?)        f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0 au + bv + cw = λ (u − x0)2+ (v − y0)2+ (w − z0)2= µ2

O ponto P = (x, y, z) deve satisfazer as equações da circunferência (#)

ax + by + cz = λ (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 = µ2

A estratégia para obter uma equação livre de parâmetros para Ω é usar o sitema (?) para obter uma relação entre λ e µ e aplicar essa relação no sistema (#)

(55)

Exemplo

Vamos obter uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da reta r :

x + y + z = 0

x − y − z = 2 em torno da reta ` : X = (−1, 0, 0) + λ(0, 0, 1) Um ponto Q = (u, v, w) da reta que gira deve satisfazer

(?)            u + v + w = 0 u − v − w = 2 w = λ (u + 1)2+ (v − 0)2+ (w − 0)2= µ2 ⇒ u = 1 v = −1 − λ ⇒ µ 2 _{= 4 + (−1 − λ)}2_{+ λ}2

(56)

Exemplo: eliminando os parâmetros das equações das circunferências

Levando a relação µ2 = 2λ2+ 2λ + 5 em (#) z = λ (x + 1)2_{+ y}2_{+ z}2_{= µ}2 temos (x + 1)2+ y2+ z2 = 2z2+ 2z + 5 Arrumando (x + 1)2+ y2− z2− 2z − 1 = 4 (x + 1)2 4 + y2 4 − (z + 1)2

4 = 1 um Hiperbolóide de uma folha!

(57)

Exercícios

1 Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície obtida pela rotação da circunferência (x − 3)2_{+ z}2_{= 4; y = 0} _{em torno do eixoOz. Escreva as equações da}

interseção dessa superfície com o plano z = 1.

2 Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da reta X = (0, −2, 0) + λ(0, 0, 1)em torno da reta X = (0, 2, 0) + λ(0, 2, 3). Escreva as equações da interseção dessa superfície com o plano y = 4

3 Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva γ :

x2+ xy + y2= 2