Introducci´
on al C´
alculo
Diferencial e Integral
de Funciones de una Variable
2014
c
Fernando Pel´aez Bruno.
De esta edici´on:
Fernando Pel´aez Bruno. C´alculo.
Grupo Arm´onico Ediciones Montevideo, Febrero 2014.
Dise˜no de car´atula: Fernando Pel´aez. Impreso en Uruguay.
Edici´on amparada por el Art. 79 de la ley 13.349
I.S.B.N. 978-9974-98-96-9-6
Queda prohibida cualquier forma de reproducci´on, transmisi´on o archivo en sistemas recuperables del presente ejemplar, ya sea para uso privado o p´ublico, por medios mec´anicos, electr´onicos, elec-trost´aticos, magn´eticos o cualquier otro, total o parcialmente, con o sin finalidad de lucro, salvo expresa autorizaci´on del autor.
Sugerencias a los estudiantes
Este texto est´a dirigido a vos. Es por eso que, antes de cualquier pr´ologo o prefacio, quiero
hacerte llegar algunos comentarios.
Lecturas que no debes omitir. Te sugiero que leas atentamente el Cap´ıtulo 1 que he
titulado “A modo de repaso”. All´ı encontrar´as las funciones b´asicas que manejaremos,
los conceptos de continuidad y derivabilidad y varias aplicaciones de los mismos. Son
t´opicos que debes haber estudiado en los cursos de Matem´atica de Bachillerato, pero
tienes que tener en cuenta que su comprensi´on resulta fundamental para seguir adelante.
He incluido una buena cantidad de ejemplos y ejercicios que introducen una terminolog´ıa (probablemente) nueva vinculada a conceptos elementales de las Ciencias Econ´omicas y
la Administraci´on (como funciones de ingreso, costo, utilidad, demanda, oferta, etc.)
Tampoco dejes de leer la primera parte del Ap´endice A (referida a las propiedades de la potencia y los logaritmos), y el Ap´endice B (que trae un resumen de resultados sobre
c´alculo de l´ımites que usaremos permanentemente). El Ap´endice E contiene las respuestas
de la amplia mayor´ıa de los ejercicios planteados.
C´omo buscar y encontrar dentro de estas p´aginas. Para empezar, observa el “´Indice
General” de la p´agina 7 (que es el ´ındice de cap´ıtulos, secciones y sub-secciones del libro).
Adem´as, ten en cuenta el “´Indice alfab´etico” que aparece al final del libro. Si necesitas
alguna referencia sobre alg´un tema puedes buscarlo all´ı. Por ejemplo, si quieres encontrar
una “tabla de derivadas” puedes intentar buscando “Derivada, tabla de,” o “Tabla, de derivadas”. Si quieres localizar el teorema de Bolzano, buscas “Teorema, de Bolzano”.
Su utilizaci´on como “texto” del curso. Es conveniente que, antes de cada clase, leas
las p´aginas que te indica tu profesor. Enseguida de cada definici´on, teorema u observaci´on,
encontrar´as uno o varios ejemplos. Debes estar convencido de haberlos comprendido antes
de pasar a los ejercicios. Si encuentras dificultades con los que aparecen al comienzo de
cada tema (se supone que son b´asicos), te recomiendo que vuelvas a leer (esta vez con
m´as cuidado) los ejemplos. Los ejercicios que siguen crecen en dificultad y, como siempre,
puedes contar con el aporte de los profesores. En cada a˜no lectivo se te indicar´a cuales
son los temas que se tratar´an en el curso y los ejercicios esenciales que se trabajar´an en
las clases pr´acticas. El resto de los mismos est´an destinados a mejorar tu entrenamiento.
Su utilizaci´on como “libro” de consulta. Este material tambi´en puede servirte como
base de consulta para otros cursos. Nuevamente, recuerda los ´ındices General y Alfab´etico en aquellas ocasiones en que est´es buscando informaci´on sobre temas de Matem´atica. Por
ejemplo, cuando est´es cursando Econom´ıa, querr´as tener alguna referencia adicional sobre
el concepto de “elasticidad de la demanda”. En el “´Indice alfab´etico” lo encontrar´as por
“Elasticidad, de la demanda” o por “Funci´on, de elasticidad”. Cuando curses Probabilidad
o Estad´ıstica te interesar´a repasar la funci´on Gama de Euler. Puedes entonces volver a
El chirimbolo ♠ indicar´a el final de una demostraci´on.
Los conjuntos de n´umeros reales, racionales, enteros y naturales ser´an
respectiva-mente indicados con los s´ımbolos: R, Q, ZZ y N.
La presencia de un asterisco en los s´ımbolos anteriores indica la exclusi´on del cero.
Por ejemplo: R∗ quiere decir R − {0}.
R+ es el conjunto de los n´umeros reales positivos.
Cuando no haya lugar a confusi´on, el producto a.b de dos n´umeros a y b ser´a indicado
sin el “punto”. Es decir, a b tambi´en representar´a la multiplicaci´on de a por b.
El cociente de dos n´umeros reales A y B (B 6= 0) lo indicaremos mediante A/B o
tambi´en A
B.
El logaritmo Neperiano (logaritmo en base e) ser´a indicado por L.
Llamar´e intervalo a cualquiera de los conjuntos que menciono a continuaci´on: • (a, b) = { x ∈ R / a < x < b } (Intervalo abierto acotado.)
• [a, b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } (Intervalo cerrado acotado.)
• [a, b) = { x ∈ R / a ≤ x < b } (Intervalo acotado ni abierto ni cerrado.) • (a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b } (Intervalo acotado ni abierto ni cerrado.) • (a, +∞) = { x ∈ R / a < x } (Semirrecta derecha abierta.)
• (−∞, b) = { x ∈ R / x < b } (Semirrecta izquierda abierta.) • [a, +∞) = { x ∈ R / a ≤ x } (Semirrecta derecha cerrada.) • (−∞, b] = { x ∈ R / x ≤ b } (Semirrecta izquierda cerrada.) • (−∞, +∞) = R (todo R.)
• Cuando digamos “intervalo cerrado” nos estaremos refiriendo a un conjunto de la forma [a, b], aunque no hagamos la aclaraci´on expl´ıcita de que es, adem´as, acotado.
Si a ∈ R y r es un n´umero real positivo entonces el s´ımbolo Ea,rindicar´a el entorno
de centro a y radio r. O sea:
Ea,r = (a − r, a + r) = { x ∈ R / a − r < x < a + r } = { x ∈ R / |x − a| < r }
El “entorno reducido” de centro a y radio r es el conjunto: E∗
Breve pr´ologo y agradecimientos
En el a˜no 2001 comenz´abamos el Pr´ologo de la primera edici´on de C´alculo diciendo:
Sin perjuicio de que este material pueda usarse en otros cursos de C´alculo Diferencial e Integral, el mismo ha sido pensado para ser utilizado por los estudiantes de Matem´atica I de la Facultad de Ciencias Econ´omicas y de Administraci´on, y por lo tanto, he intentado respetar la filosof´ıa did´actica y los contenidos matem´aticos que la C´atedra considera con-venientes para que puedan alcanzar las metas que plantea el Plan de Estudios y el propio programa de la materia. Una materia b´asica, que se inserta con dos objetivos esenciales:
instrucci´on y formaci´on.
He tratado entonces de sintetizar en este libro el trabajo y la experiencia de todos los docentes de Matem´atica de la Facultad durante d´ecadas de labor (entre ellos, no puedo dejar de mencionar a los compa˜neros ya jubilados Daniel Buquet, ex Catedr´atico de la materia, Gladys Warda y Ra´ul Cobas).
Una primera versi´on fue editada en el 2000 en formato “Notas del curso”. En aque-lla oportunidad, el profesor Jorge Moretti realiz´o un cuidad´ısimo trabajo de revisi´on del manuscrito preliminar. Corrigi´o decenas de errores y realiz´o sendas sugerencias que, en su inmensa mayor´ıa, consider´e totalmente pertinentes. Asimismo, el profesor Moretti re-dact´o la rese˜na sobre l´ımites que figura en el Ap´endice B. Luego, los profesores Pedro Sa-korko e Ignacio Aemilius volvieron a revisar el material y aportaron nuevas correcciones y sugerencias. La experiencia generada por el uso de esas “Notas” por parte de estudiantes y profesores me permiti´o mejorar sensiblemente los contenidos, el enfoque did´actico y la presentaci´on de este trabajo.
Durante estos ´ultimos a˜nos los compa˜neros docentes y los alumnos del curso de
Ma-tem´atica I (tambi´en de otros cursos de Educaci´on Media, Formaci´on Docente y diversas
Facultades), han continuado brind´andome sus comentarios, observaciones, alertas sobre
errores y omisiones, sugerencias, ... dando muestras de un permanente placer por la
ma-tem´atica y su ense˜nanza.
Gracias a todos por su aporte.
Esta edici´on de “Introducci´on al C´alculo” es una versi´on resumida (y con algunos
cambios) del libro “C´alculo”, y contiene los temas que tratamnos en el curso “C´alculo 1”
de la Facultad de Ciencias Econ´omicas y de Administraci´on de la UDELAR.
Sobre el final del cap´ıtulo relativo a “desarrollo de Taylor”, hemos incorporado una propuesta de Jorge Moretti (ya probada en nuestro curso) que permite conocer algunos resultados sobre la serie geom´etrica (y otras) sin necesidad de desarrollar una teor´ıa de “Series” y “Series de potencias”.
Los ejercicios de desarrollo y los de “opci´on m´ultiple” fueron seleccionados (en su
mayor´ıa) de las propuestas de revisiones y ex´amenes de Matem´atica I y de C´alculo 1 de
los ´ultimos a˜nos.
El primer cap´ıtulo ha sido ampliado con aplicaciones del c´alculo diferencial, en particular,
El aprovechamiento de la potencia del programa LTEXse debe a la permanente
cola-boraci´on del profesor Marcelo Cerminara. Las gr´aficas fueron hechas en Matlab (con la
ayuda de Alicia Arz´ua) y los dibujos a “puro pulso inform´atico”.
Adem´as de las personas mencionadas anteriormente, un agradecimiento especial para
Sergio Barreiro, Gabriel Brida, Gast´on Burgue˜no, Cecilia Calvo, Magdalena Fern´andez,
Beatriz Frioni, Teresa Giosa, Dante Mara, Andrea Mesa, Cecilia Papalardo, Juan Pereyra
y ´Alvaro Rovella.
La forma ´ultima del texto es m´ıa, y asumo toda la responsabilidad por los errores y
desaciertos que pueda contener esta edici´on. Tampoco me atribuyo sus eventuales virtudes.
Fernando Pel´aez Bruno fpelaez@ccee.edu.uy
SIMPLICIDAD DE LA MATEM ´ATICA
Existe una opini´on muy generalizada seg´un la cual la matem´atica es la ciencia m´as dif´ıcil cuando en realidad es la m´as simple de todas. La causa de esta paradoja reside en
el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matem´aticos equivocados quedan a la vista. En una compleja cuesti´on de pol´ıtica o arte, hay tantos
factores en juego y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy dif´ıcil distinguir lo verdadero de lo falso. El resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutir sobre pol´ıtica o arte -y en verdad lo hace- mientras que mira la matem´atica
desde una respetuosa distancia.
Ernesto S´abato, en “Uno y el Universo” (1945).
´
Indice general
1. A modo de repaso 11
1.1. Algunas funciones b´asicas . . . 11
1.1.1. Funciones lineales . . . 12
1.1.2. Funciones lineales de costo, ingreso y utilidad . . . 14
1.1.3. Funciones cuadr´aticas . . . 17
1.1.4. El problema del inter´es compuesto y el n´umero e. . . 21
1.1.5. Funci´on exponencial. . . 24
1.1.6. Funci´on logar´ıtmica . . . 25
1.1.7. Funci´on potencial . . . 26
1.2. Continuidad . . . 30
1.2.1. Continuidad de una funci´on en un punto . . . 30
1.2.2. Funciones continuas en intervalos cerrados . . . 32
1.3. Derivabilidad . . . 36
1.3.1. Derivabilidad de una funci´on en un punto . . . 36
1.3.2. Derivada de la funci´on compuesta . . . 39
1.3.3. Funciones derivables en intervalos . . . 44
1.4. Aplicaciones . . . 46
1.4.1. Problemas de optimizaci´on . . . 46
1.4.2. Algunas desigualdades . . . 48
1.4.3. Funciones marginales . . . 49
1.4.4. Elasticidad de la demanda . . . 50
1.5. Alfabeto griego y fechas de matem´aticos . . . 54
1.6. Factorial de un n´umero natural . . . 54
2. Funci´on inversa 55 2.1. Inversa de una funci´on . . . 55
2.1.1. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . 55
2.1.2. Inversa de una funci´on biyectiva . . . 56
2.2. Existencia y propiedades de la funci´on inversa . . . 57
2.2.1. Existencia y gr´afica de la funci´on inversa . . . 58
2.2.2. Continuidad y derivabilidad de la funci´on inversa . . . 61
2.3. Inversas trigonom´etricas . . . 65
2.3.1. Funciones trigonom´etricas . . . 65 7
2.3.2. Determinaciones principales de las inversas
trigonom´etricas . . . 69
3. Aproximaci´on de funciones por polinomios 75 3.1. Introducci´on . . . 75
3.1.1. Aproximaci´on lineal . . . 76
3.1.2. Un ejemplo . . . 76
3.1.3. Resumen de la idea . . . 78
3.1.4. Sobre los coeficientes del polinomio . . . 79
3.2. Polinomio y resto de Taylor . . . 80
3.3. Aplicaciones . . . 87
3.3.1. Aplicaciones al c´alculo de l´ımites. . . . 87
3.3.2. Aplicaciones al c´alculo num´erico. . . 88
3.3.3. Aplicaciones al reconocimiento de puntos estacionarios. . . 90
3.4. Ejercicios complementarios . . . 93
3.5. L´ımite del polinomio de Taylor cuando n −→ +∞ . . . 97
3.5.1. Introducci´on . . . 97
3.5.2. La serie geom´etrica . . . 99
4. Integraci´on 105 4.1. ´Area e Integral . . . 109
4.1.1. Area por debajo de una curva . . . 109´
4.1.2. Integral de una funci´on en un intervalo . . . 111
4.1.3. Supuestos b´asicos . . . 112
4.2. Relaci´on entre la integral y la derivada . . . 118
4.2.1. El Teorema Fundamental del c´alculo integral . . . 118
4.3. Propiedades b´asicas de la integral . . . 123
4.4. Primitivas y Regla de Barrow . . . 125
4.4.1. Primitivas de una funci´on . . . 125
4.4.2. Regla de Barrow . . . 128
4.5. C´alculo de ´areas . . . 131
4.6. Algunos m´etodos de integraci´on . . . 135
4.6.1. M´etodo de integraci´on por partes . . . 135
4.6.2. M´etodo de integraci´on por sustituci´on (cambio de variable) . . . 141
4.6.3. Integraci´on de cocientes de polinomios . . . 147
4.7. Ejercicios Complementarios . . . 151
4.8. Ejercicios de opci´on m´ultiple . . . 154
4.9. C´alculo aproximado de integrales . . . 156
´
INDICE GENERAL 9
5. Integrales impropias 167
5.1. Introducci´on . . . 167
5.2. Integrales impropias de primera especie . . . 168
5.2.1. Definici´on y ejemplos . . . 168
5.2.2. Propiedades b´asicas . . . 172
5.2.3. Integrales impropias con integrando no negativo . . . 177
5.2.4. Integrales impropias de primera especie en semirrectas izquierdas . . . 179
5.3. Integrales impropias de segunda especie . . . 181
5.4. Integrales impropias mixtas . . . 182
5.5. Generalizaci´on del Teorema Fundamental . . . 186
5.6. Ejercicios complementarios . . . 190
5.7. Ejercicios de opci´on m´ultiple . . . 191
A. Complementos a los cap´ıtulos 1 y 2 193 A.1. Potenciaci´on, radicaci´on y logaritmaci´on . . . 193
A.2. Diferenciabilidad y continuidad . . . 196
A.3. Continuidad y derivabilidad de la funci´on compuesta . . . 197
A.4. Una observaci´on sobre la existencia de la funci´on inversa . . . 199
B. Miscel´anea sobre c´alculo de l´ımites 199 B.1. Operaciones con l´ımites . . . 199
B.2. Comparaci´on de infinitos . . . 200 B.3. Equivalentes . . . 201 B.4. Reglas de L’Hˆopital . . . 201 C. Complementos al cap´ıtulo 3 202 C.1. ´Ordenes de infinit´esimos . . . 202 C.2. Teorema de Taylor . . . 205
D. Complementos sobre integrales impropias 206 D.1. Criterio de comparaci´on . . . 206
D.2. Criterio de comparaci´on con paso al l´ımite . . . 209
D.3. Funci´on Gama de Euler . . . 212
E. Selecci´on de respuestas a los ejercicios 215
Para recordar A C + B C = (A + B) C A B + C D = AD + BC BD A B C D = A B D C = AD BC U2− V2 = (U − V )(U + V ) U3− V3= (U − V )(U2+ U V + V2) (A ± B)2= A2± 2 A B + B2 (A ± B)3 = A3± 3 A2B + 3 A B2± B3
Observa que (salvo para algunos valores muy particulares de A y B):
(A + B)n 6= An+ Bn 1 A + B 6= 1 A + 1 B L(A + B) 6= L(A) + L(B) √nA + B 6= √nA + √nB
Las ´unicas funciones (continuas) f : R −→ R que cumplen:
f (A + B) = f (A) + f (B) , ∀ A, B ∈ R.
son las funciones de la forma:
f (x) = m x en donde m es constante.
Cap´ıtulo 1
A modo de repaso
En este primer cap´ıtulo presentamos un repaso sobre algunos t´opicos que debes haber
estu-diado en los cursos de Matem´atica de Bachillerato y cuya comprensi´on resulta fundamental
para seguir adelante. No haremos un desarrollo totalmente autocontenido y exahustivo, sino que nos limitaremos a recordar algunos de los conceptos y teoremas que consideramos
m´as importantes.
1.1.
Algunas funciones b´
asicas
Comencemos considerando el caso de una empresa que produce y vende un s´olo tipo de art´ıculo. El precio del mismo se ha fijado en 20 pesos. ¿Cu´al es el ingreso que recibe la empresa si vende 1000 art´ıculos? Para responder esta pregunta debemos multiplicar la cantidad de unidades vendidas por el precio de cada una de ellas obteniendo as´ı un ingreso de 20000 pesos. Manteniendo el precio fijo (en 20 pesos) podemos pensar que la cantidad de unidades vendidas es desconocida. Introducimos entonces una “variable”x que representa la cantidad de art´ıculos vendidos. En esta situaci´on, el ingreso depender´a de
x. Podemos hablar entonces de la “funci´on de ingreso”, que, obviamente, viene dada por:
I(x) = 20x. Este modelo extremadamente simplificado, en donde el ingreso es directamente
proporcional al n´umero de art´ıculos vendidos, ha dado lugar a una funci´on muy simple,
de las m´as sencillas que se pueden considerar. Repasemos sus propiedades b´asicas.
1.1.1.
Funciones lineales
Una funci´on f se dice lineal cuando su dominio es R y existen constantes m, n ∈ R tales
que f (x) = mx + n, ∀ x ∈ R. Es decir, una funci´on lineal es una funci´on constante o
polin´omica de primer grado.
Sea f : f (x) = mx + n una funci´on lineal y A(x1, y1), B(x2, y2) dos puntos distintos de
su gr´afica. Esto quiere decir que y1 = f (x1) = mx1 + n e y2 = f (x2) = mx2+ n con
x1 6= x2. Observemos que: y2− y1 x2− x1 = f (x2) − f (x1) x2− x1 = (mx2+ n) − (mx1+ n) x2− x1 = mx2− mx1 x2− x1 = m(x2− x1) x2− x1 = m
Resulta entonces que la relaci´on entre la diferencia de ordenadas y la diferencia de abscisas
de dos puntos cualesquiera de la gr´afica de f es constante (el n´umero m). Esta observaci´on
nos permite afirmar que la gr´afica de una funci´on lineal es una recta (un hecho que ya
conoces de cursos anteriores).
x1 x2 y1 y2 x2− x1 y2− y1 α α n
Figura 1.1:Gr´afica de una funci´on lineal.
El n´umero m se denomina coeficiente angular o pendiente de la funci´on lineal (o de
la recta) y nos da informaci´on sobre la “inclinaci´on” de la misma. M´as concretamente, m
es la tangente trigonom´etrica del ´angulo que forma la recta con el eje−→Ox:
m = y2− y1
x2− x1
= tg(α)
Por su parte, el n´umero n tiene una interpretaci´on muy simple. En efecto, al sustituir la
x por 0 en f (x) = mx + n obtenemos f (0) = n, lo cual significa que n es la ordenada del
1.1. Algunas funciones b´asicas 13
Observaci´on 1.1.1. Vale la pena tener en cuenta las siguientes observaciones:
(a) Si m = 0 entonces f (x) = n, ∀ x ∈ R. En este caso f es una funci´on constante y su
gr´afica es una recta paralela al eje −→Ox.
(b) Cuando m > 0 la funci´on lineal es estrictamente creciente (los valores de f (x) crecen
a medida que x crece). A su vez, cuanto mayor sea la pendiente m, mayor ser´a el ´
angulo que forma la recta con el eje−→Ox y la funci´on crecer´a “m´as r´apido”.
(c) Si m < 0 la funci´on es estrictamente decreciente.
(d) Las rectas paralelas al eje −→Oy no constituyen la gr´afica de funci´on alguna. Como
todos los puntos de una de tales rectas tienen la misma abscisa, su ecuaci´on es de la forma x = h con h constante.
(a) Pendiente nula. (b) Pendiente positiva. (c) Pendiente negativa.
Determinaci´on de una funci´on lineal
Hemos visto c´omo a partir de la f´ormula de una funci´on lineal es posible calcular su
pendiente y obtener su gr´afica. En muchas situaciones interesa el problema inverso: hallar
la funci´on lineal conociendo algunos datos sobre su gr´afica. Estudiemos un par de casos
sencillos.
Funci´on lineal determinada por un punto y la pendiente:
Queremos hallar una funci´on lineal que tenga pendiente m y cuya gr´afica pase por el punto
A(x0, y0) (es claro que estos datos determinan una ´unica recta). Como queremos que la
pendiente sea m, la funci´on buscada es de la forma f (x) = mx + n. Para determinar n
imponemos la condici´on de que el punto A est´e en la recta, es decir: y0= f (x0) = mx0+ n
de donde resulta n = y0− mx0. La funci´on lineal es entonces f (x) = mx + y0− mx0 que
puede escribirse como f (x) = y0+ m(x − x0). Resumiendo: la ecuaci´on de una recta que
pasa por A(x0, y0) y que tiene pendiente m es:
y = y0+ m(x − x0)
Ejemplo 1.1.1. La ecuaci´on de la recta que pasa por el punto A(3, 1) y que tiene
Funci´on lineal determinada por dos puntos:
Sabemos que dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen. Queremos
ahora encontrar una funci´on lineal cuya gr´afica pase por los puntos distintos A(x0, y0) y
B(x1, y1). Tenemos que tener en cuenta una breve discusi´on. En efecto, si x0= x1entonces
la recta determinada por estos puntos es paralela al eje−→Oy y, por lo tanto, no es gr´afica de
funci´on alguna. En este caso la “ecuaci´on de la recta” es simplemente x = x0. Supongamos
entonces que x06= x1. El problema se reduce a la situaci´on reci´en estudiada ya que la recta
en consideraci´on para por el punto A y tiene pendiente m = x1−x0y1−y0. Deducimos que su
ecuaci´on es:
y = y0+
y1− y0
x1− x0(x − x0
)
Ejemplo 1.1.2. La ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos A(1, 5) y B(3, 1) es
y = 5 − 2(x − 1) que tambi´en puede escribirse como y = −2x + 7. Es inmediato verificar (no dejes de hacerlo) que las coordenadas de ambos puntos verifican dicha ecuaci´on.
1.1.2.
Funciones lineales de costo, ingreso y utilidad
Funciones lineales de costo
A las empresas les interesan los costos porque reflejan el dinero que gastan. Esos flujos de dinero suelen destinarse al pago de sueldos, materias primas, suministros, alquiler, energ´ıa,
tel´efono, calefacci´on, servicios p´ublicos y otros gastos. El costo total suele definirse en
t´erminos de dos componentes: costo total fijo (que NO depende del tama˜no de la
pro-ducci´on) y el costo total variable (que depende de la cantidad de unidades producidas).
El siguiente ejemplo intenta aclarar estos conceptos:
Ejemplo 1.1.3. Una empresa que elabora un s´olo tipo de producto quiere determinar
el costo total anual en funci´on de la cantidad de unidades producidas. Los contadores
indican que los gastos fijos para cada a˜no son de 45000 U$S. Tambi´en han estimado que
por cada unidad producida los costos de materias primas ascienden a U$S 5, 50 y que los de mano de obra son de U$S 1, 50 en el departamento de montaje, U$S 0, 75 en la planta de acabado y de U$S 1, 25 en el departamento de empaque y embarque. Si designamos
con x a la cantidad de productos fabricados durante el a˜no tenemos:
Costo fijo anual = 45000 U$S.
Costo variable anual = 5, 50x + 1, 50x + 0, 75x + 1, 25x = 9x U$S.
El costo total anual (que llamaremos C(x)) se obtiene sumando los costos totales fijo y variable obteniendo: C(x) = 9x + 45000 U$S.
1.1. Algunas funciones b´asicas 15
El ejemplo anterior muestra una situaci´on simplificada en donde se supone que los costos
variables son directamente proporcionales al tama˜no de la producci´on (al n´umero de
pro-ductos fabricados) y que s´olo dependen de ella. Luego veremos algunas funciones de costo
m´as complicadas.
Funciones lineales de ingreso
Supongamos que la empresa del ejemplo anterior vende sus productos a U$S 12 la unidad. El dinero que entra por concepto de ventas recibe el nombre de ingreso total. Si supo-nemos que se venden todos los art´ıculos que produce, entonces la funci´on de ingreso viene dada por: I(x) = 12x U$S.
Funciones lineales de utilidad
La utilidad es la diferencia entre el ingreso total y el costo total:
U tilidad = Ingreso − Costo
Para el ejemplo que venimos manejando resulta que la funci´on de utilidad U (x) es: U (x) = I(x) − C(x) = 12x − (9x + 45000) = 3x − 45000 El signo de la utilidad es muy importante ya que:
U (x) < 0 =⇒ P´ERDIDA
U (x) > 0 =⇒ GANANCIA
En este caso es inmediato verificar que habr´a p´erdida para x < 15000 (si se venden menos
de 15000 unidades) y ganancia para x > 15000 (si se venden m´as de 15000 unidades). El punto en el que la utilidad se anula (costo igual a ingreso) se denomina punto de equilibrio y, en este caso, es de 15000 unidades. Es posible visualizar la situaci´on de dos
maneras: graficando la funci´on de utilidad o graficando las funciones de costo e ingreso en
un mismo sistema de coordenadas. Te dejamos esta tarea como ejercicio (ten en cuenta que puede ser conveniente tomar diferentes escalas en ambos ejes).
Completemos la discusi´on de este ejemplo intentando responder a la siguiente pregunta:
¿cu´antos art´ıculos hay que vender para obtener una ganancia de U$S 255000?. Lo que
queremos es encontrar aquel (o aquellos) valor de x para el cual la utilidad resulte de U$S
255000. Para ello debemos resolver la ecuaci´on U (x) = 255000:
U (x) = 255000 ⇐⇒ 3x − 45000 = 255000 ⇐⇒ 3x = 300000 ⇐⇒ x = 100000 Para obtener una ganancia de U$S 255000 se deben vender 100000 art´ıculos.
Ejercicio 1.1.1. Una f´abrica vende un s´olo tipo de producto a 25 $ cada uno. Los costos variables por unidad son de 2 $ por concepto de materiales y de 6 $ por concepto de mano de obra. Los costos fijos anuales ascienden a 34000 $.
(a) Encuentra la funci´on de utilidad y graf´ıcala.
(b) ¿Cu´antos art´ıculos tiene que vender para que no haya p´erdidas?
Ejercicio 1.1.2. Una empresa discogr´afica est´a a punto de producir un nuevo disco
com-pacto de su artista estelar J.R. Los costos fijos (debidos al dise˜no de la car´atula, pagar
“m´usicos de sesi´on”, grabaci´on, matrizado digital, etc.) ascienden a 5000 d´olares. El costo
de fabricaci´on es de 1 d´olar por unidad y a J.R. se le pagar´a 1 d´olar por cada disco
vendi-do. El precio al que la empresa vende sus discos a los distribuidores es de 12 d´olares por unidad.
(a) Halla la funci´on de utilidad de la empresa para este emprendimiento.
(b) ¿Cu´al es la cantidad m´ınima de discos que deben venderse para que este
emprendi-miento no de p´erdidas?
(c) Si esta producci´on llega a “disco de oro”(5000 discos vendidos), ¿cu´al es la ganancia
de la discogr´afica? ¿Y la de J.R.?
Ejercicio 1.1.3. Se sabe que la funci´on de costos de una empresa se puede representar
mediante una funci´on lineal. Los costos fijos ascienden a $ 20000 y los costos variables por producir 2000 unidades son de $ 4000. Por otra parte se sabe que el precio de venta del ´
unico producto que produce y vende la empresa es de $ 7 por unidad.
(a) Determina las funciones de costo, ingreso y utilidad de la empresa. Representarlas
gr´aficamente.
(b) Halla el nivel de producci´on a partir del cual las ganancias superan los $ 15000.
(c) Halla el nivel de producci´on en el cual los ingresos triplican los costos.
Ejercicio 1.1.4. Una persona tiene el auto roto y debe alquilar otro r´apidamente. Le ofrecen dos posibilidades: (A) Pagar $ 3 por cada km recorrido. (B) Pagar $ 200 por el
alquiler (independientemente de los kil´ometros recorridos), m´as $ 2 por cada km recorrido.
(a) Determina cu´anto pagar´ıa en cada opci´on por recorrer x kil´ometros.
(b) Representa gr´aficamente las dos funciones halladas en la parte anterior.
(c) ¿Cu´al opci´on resulta m´as barata si tiene que ir a la ciudad de San Jos´e?
(d) ¿Cu´al opci´on resulta m´as barata si tiene que ir a la ciudad de Artigas?
(e) ¿Cu´antos kil´ometros tendr´ıa que recorrer para que cueste lo mismo una opci´on que
otra? Interpreta gr´aficamente.
Ejercicio 1.1.5. Una empresa debe adquirir una m´aquina para producir un nuevo
pro-ducto. Se le presentan dos posibilidades:
(A) Comprar una m´aquina vieja a un costo de 500 d´olares. Con esta m´aquina podr´a
pro-ducir a un costo de 2 d´olares la unidad.
(B) Comprar una m´aquina nueva a un costo de 1200 d´olares. Con ´esta el costo de
1.1. Algunas funciones b´asicas 17
Discute, seg´un el n´umero de unidades producidas, cual de las dos opciones es m´as
conve-niente.
Ejercicio 1.1.6. Una familia quiere comer lech´on en la cena de fin de a˜no. Se le plantean
dos posibilidades:
Opci´on A: Comprarlo crudo en la carnicer´ıa a un costo de $ 190 el kilo y llevarlo a
condimentar y cocinar a la panader´ıa a un costo de $ 930 independientemente de los kilos
de lech´on que se lleven.
Opci´on B: Comprar lech´on preparado cuyo costo es de $ 380 el kilo.
(a) Encuentra las funciones que expresan el costo en funci´on de los kilos de lech´on que se adquieran para cada una de las dos opciones.
(b) ¿Cu´anto ser´a el costo en cada opci´on si la familia estima que se comer´an tres kilos
de lech´on?
(c) Si se piensa que se van a recibir invitados y que cada invitado comer´a medio kilo
de lech´on, discute cu´al de las dos opciones es m´as conveniente seg´un la cantidad de
invitados recibidos (recuerda que la familia sola comer´a tres kilos de lech´on). (d) Si al terminar la fiesta se gastaron $ 2260 y se opt´o por la opci´on m´as barata,
¿cu´antos fueron los invitados?
1.1.3.
Funciones cuadr´
aticas
En los ejemplos de la secci´on anterior siempre asumimos que el precio de cada art´ıculo era
fijo y que la ´unica variable en consideraci´on era el tama˜no de la producci´on. Otro modelo
posible consiste en considerar que la demanda de determinado art´ıculo (esto es, el n´umero
de productos que el mercado est´a dispuesto a comprar) depende del precio que se le fije,
ya que es razonable pensar que cuanto mayor sea el precio, menor ser´a la demanda. Si designamos con p al precio de cada unidad, la demanda ser´a una funci´on que depende de esta variable p y que simbolizaremos D(p). Ahora bien, ¿c´omo hacemos para calcular el ingreso? El razonamiento es muy simple: si se venden D(p) unidades y el precio de cada una es p entonces el ingreso total (debido a esa venta) se obtiene multiplicando ambas cantidades: I(p) = p D(p). Si consideramos el caso m´as sencillo de una demanda lineal:
D(p) = ap + b el ingreso correspondiente resulta ser: I(p) = pD(p) = p(ap + b) = ap2+ bp
que no es una funci´on lineal, sino una funci´on polin´omica de segundo grado.
Se dice que una funci´on f es cuadr´atica cuando su dominio es R y existen constantes
a, b, c ∈ R, con a 6= 0 tales que f (x) = ax2 + bx + c, ∀ x ∈ R. Es decir, una funci´on
cuadr´atica es una funci´on polin´omica de segundo grado.
Gr´afica de una funci´on cuadr´atica
Como habr´as estudiado en cursos anteriores, la gr´afica de una funci´on cuadr´atica f (x) =
del v´ertice viene dada por xV = −b2a y que la concavidad de esta curva est´a determinada por
el signo del coeficiente a. (´Estas afirmaciones se pueden deducir f´acilmente utilizando el
concepto de derivada como veremos en la pr´oxima secci´on). En todos los casos la ordenada
del v´ertice se obtiene calculando yV = f (xV) = f −b2a
.
Ejemplo 1.1.4. Queremos graficar la funci´on f (x) = −x2+ 4x. La f´ormula que la define
es del tipo f : f (x) = ax2+ bx + c con a = −1, b = 4 y c = 0. Se trata entonces de una
par´abola de eje paralelo al eje−→Oy. Como a < 0 su concavidad es negativa. Calculemos las
coordenadas de su v´ertice:
xV = −b
2a =
−4
−2 = 2 yV = f (2) = 4
Para hallar los puntos de corte con el eje−→Ox calculamos las ra´ıces de la funci´on:
f (x) = 0 ⇐⇒ −x2+ 4x = 0 ⇐⇒ x(−x + 4) = 0 ⇐⇒ x = 0 o x = 4
Su gr´afica es la siguiente:
4 4
2
Ra´ıces de una funci´on cuadr´atica
En el ejemplo anterior pudimos hallar las ra´ıces de la funci´on de una manera muy simple debido a que la misma estaba factorizada. De todos modos, vale la pena tener presente la
f´ormula que siempre permite hallar las ra´ıces de un polinomio de segundo grado (en caso
de que existan):
ax2+ bx + c = 0 ⇐⇒ x = −b ±
√
b2− 4ac
2a
Est´a claro que la existencia de ra´ıces depende del signo del “discriminante”: ∆ = b2− 4ac.
Pueden darse los siguientes casos:
1. Si ∆ > 0 entonces la funci´on tiene dos ra´ıces reales y distintas. Su gr´afico corta al
eje−→Ox en dos puntos.
2. Si ∆ = 0 entonces la funci´on tiene una sola ra´ız. Su gr´afico corta al eje −→Ox en un
solo punto.
1.1. Algunas funciones b´asicas 19
Demanda e ingreso en funci´on del precio.
Supongamos que en base a una serie de encuestas, una empresa ha estimado que la demanda de uno de sus art´ıculos depende del precio p del mismo mediante la funci´on: D(p) = 1500 − 50p.
1500
p 30
En este caso s´olo tiene sentido considerar valores de p para los cuales D(p) ≥ 0, es decir:
0 ≤ p ≤ 30. Cuando el precio es p = 0 la demanda es de 1500 art´ıculos; la misma decrece hasta llegar al valor 0 cuando el precio es p = 30.
Ahora el ingreso tambi´en es funci´on de p y viene dado por:
I(p) = p D(p) = p (1500 − 50p) = −50p2+ 1500p
Una pregunta importante es ¿cu´al debe ser el valor del precio a fijar para que el ingreso
sea m´aximo? Para resolver este problema graficamos la funci´on I(p), teniendo en cuenta
que s´olo nos interesar´a la regi´on correspondiente a valores de p comprendidos entre 0 y 30.
p 15
30
(Por razones obvias, hemos tomado distintas escalas en ambos ejes). No cabe duda entonces que el mayor valor de I(p) se obtiene para p = 15 y que vale I(15) = 11250.
Costos y utilidad en funci´on del precio.
En el ejemplo anterior hallamos el precio para que el ingreso de la empresa fuese m´aximo,
consiste en averiguar cu´al es el precio que se le debe poner al art´ıculo para que la utilidad
sea m´axima. Agreguemos (al mismo ejemplo) el siguiente dato: la funci´on de costos por
producir x art´ıculos es C(x) = 3750 + 2x. Como la empresa conoce la funci´on de demanda D(p), es razonable pensar que, dado un precio p, fabricar´a la cantidad de unidades que se pueden vender a ese precio y esa cantidad es, precisamente, D(p). Procedemos entonces
de la siguiente manera: en la funci´on de costos sustituimos la x por D(p) obteniendo el
costo total en funci´on del precio:
C(p) = 3750 + 2(1500 − 50p) = 6750 − 100p
La funci´on de utilidad resulta ser:
U (p) = I(p) − C(p) = −50p2+ 1600p − 6750
Verifica que su m´aximo se obtiene cuando el precio es p = 16 y que la utilidad para ese
precio es U (16) = 6050.
Ejercicio 1.1.7. La funci´on de demanda de determinado art´ıculo es D(p) = 3000 − 3p
en donde p es el precio por unidad (medido en pesos).
(a) Halla la funci´on de ingreso y graf´ıcala.
(b) ¿Cu´al debe ser el precio para que el ingreso sea m´aximo? Halla dicho ingreso m´aximo.
(c) La empresa tiene un costo fijo de 100000 pesos y un costo variable de 4 pesos por cada art´ıculo que produce. Encuentra el precio que se le debe asignar al art´ıculo para
que la utilidad sea m´axima. Calcula dicha utilidad.
Equilibrio entre oferta y demanda.
Seguimos considerando un modelo que se refiere a un s´olo tipo de bien (cierto tipo de art´ıculo, por ejemplo). Por un lado tenemos el grupo de compradores y por otro el de
vendedores (la empresa o la f´abrica que produce y vende dicho bien). La cantidad de
art´ıculos que los compradores est´an dispuestos a comprar es la funci´on de demanda (que
depende del precio que se le asigne al art´ıculo). En general, esta funci´on es desconocida por parte de los vendedores. La cantidad de art´ıculos que la empresa est´a dispuesta a fabricar depende (entre otras variables que no consideraremos aqu´ı) del precio por unidad. Cuanto
mayor sea el precio, m´as art´ıculos producir´a con la consecuente reducci´on de costos.
La funci´on de oferta es entonces la funci´on que da la cantidad de art´ıculos que una
empresa est´a dispuesta a producir en funci´on del precio que se le fije a cada art´ıculo.
Tenemos por un lado lo que la empresa est´a dispuesta a ofrecer y por otro lo que el
mercado est´a dispuesto a comprar. Los puntos en que ambas cantidades coinciden se
denominan puntos de equilibrio (de esta microeconom´ıa). Si designamos con S(p) y
D(p) respectivamente a las funciones de oferta y de demanda del art´ıculo en cuesti´on, los
puntos de equilibrio son aquellos en los cuales se verifica la igualdad S(p) = D(p). Para encontrar los eventuales puntos de equilibrio entre oferta y demanda debemos entonces
1.1. Algunas funciones b´asicas 21 Ejercicio 1.1.8. Para 20 ≤ p ≤ 37, las funciones de demanda y oferta de determinado
art´ıculo son D(p) = −p2+ 1400 y S(p) = p2− 400. Determina el precio y la cantidad de
equilibrio del mercado.
1.1.4.
El problema del inter´
es compuesto y el n´
umero e.
Consideremos el ejemplo de la evoluci´on de un capital de dinero que genera intereses.
Designemos con C al capital inicial (en pesos uruguayos, por ejemplo), y supongamos (para simplificar) que es colocado a una tasa anual r que se capitaliza anualmente. En
cada per´ıodo el inter´es se calcular´a sobre el capital m´as los intereses previos (inter´es
compuesto). En el “instante inicial” tenemos:
s0 = C.
Al finalizar el primer a˜no, el saldo es la suma del capital inicial m´as los intereses generados,
es decir:
s1 = C + rC = C(1 + r)
en donde el sub´ındice 1 indica que ha transcurrido el primer per´ıodo (el primer a˜no). Si
designamos con s2 al saldo al finalizar el segundo a˜no tendremos:
s2 = s1+ rs1= s1 (1 + r) = C (1 + r)2
y as´ı podemos seguir calculando el monto disponible al finalizar cada per´ıodo:
s3 = s2+ rs2= s2 (1 + r) = C (1 + r)3
s4 = s3+ rs3= s3 (1 + r) = C (1 + r)4
No cabe duda que al finalizar el en´esimo a˜no el saldo ser´a:
sn= sn−1+ rsn−1= sn−1 (1 + r) = C (1 + r)n
De esta manera hemos ido generando una sucesi´on de valores en donde, en este caso
particular, cada uno de ellos se obtiene multiplicando al anterior por 1 + r (progresi´on geom´etrica):
C, C(1 + r), C(1 + r)2, C(1 + r)3, C(1 + r)4, . . .
o sea
(s0, s1, s2, s3, s4, . . . )
La introducci´on de una misma letra (la s de “saldo”) seguida de un sub´ındice, para nombrar
a los distintos t´erminos de la sucesi´on es muy ´util. Cuando queremos referirnos al saldo al
finalizar el octavo a˜no, por ejemplo, ponemos simplemente s8. De esta manera podemos
nombrar a un “t´ermino gen´erico”; el saldo al finalizar el en´esimo a˜no es:
en donde aqu´ı n puede ser cualquier n´umero natural. A diferencia de los ejemplos conside-rados en las secciones previas (con funciones lineales y cuadr´aticas), no tenemos aqu´ı una
funci´on cuyo dominio sea el conjunto de todos los reales (o un subintervalo de R), sino
una funci´on definida solamente en los n´umeros naturales (sucesi´on). Debido a ello suele
decirse que estamos en presencia de un modelo “discreto” de evoluci´on.
Ejemplo 1.1.5. Supongamos que un capital inicial de C = 100000 pesos es colocado a inter´es compuesto con una tasa anual del 8 %, lo cual es equivalente a decir que r = 0, 08. Calculemos los saldos al cabo del primer, segundo, d´ecimo, vig´esimo, trig´esimo y
cuatrig´esimo a˜no:
s1= 100000(1, 08)1 = 108000 $. s2= 100000(1, 08)2 = 116640 $. s10= 100000(1, 08)10 ≈ 215892 $. s20= 100000(1, 08)20 ≈ 466096 $. s30= 100000(1, 08)30 ≈ 1006265 $. s40= 100000(1, 08)40 ≈ 2172452 $.
Ahora bien, los bancos tambi´en ofrecen otro tipo de capitalizaciones. Siempre
mante-ni´endonos con una tasa r de inter´es anual, se puede pagar los intereses dos veces al a˜no.
Al finalizar el primer semestre el saldo provisorio ser´ıa de C 1 + r2 el cual, a su vez,
genera intereses para el segundo semestre obteniendo, al finalizar el primer a˜no un saldo
de C 1 +r2 1 +r2. Esto se llama “capitalizaci´on semestral” y quiere decir que:
s1 = C
1 + r
2
2
Por ejemplo, consideremos los mismos valores que en el ejemplo previo, es decir: C =
100000 y r = 0, 08. Si la capitalizaci´on es anual hab´ıamos obtenido s1= 108000, mientras
que, si la capitalizaci´on es semestral resulta: s1= 108160.
Continuando de ese modo, si el inter´es se capitalizara mensualmente, tendr´ıamos
s1 = C
1 + r
12
12
que en el ejemplo planteado da s1 = 108300. Parece intuitivo que cuanto m´as a menudo
se capitalice el inter´es, mayor ser´a el saldo final.
Puedes verificar f´acilmente que si x es el n´umero de veces por a˜no que se capitaliza el
inter´es entonces: s1 = C 1 + r x x sn = C 1 + r x n x
Es razonable preguntarse si existe el l´ımite de las expresiones anteriores cuando x −→ +∞.
Eso ser´ıa algo as´ı como una capitalizaci´on “instante a instante” tambi´en llamada
1.1. Algunas funciones b´asicas 23 Jacobo Bernoulli (1654-1705) a la necesidad de estudiar el resultado del siguiente l´ımite:
l´ım x−→+∞ 1 + 1 x x
Bernoulli demostr´o que dicho l´ımite es finito, lo design´o inicialmente con la letra b, y
result´o coincidir con la base de “logaritmos naturales” estudiados por John Neper
(1550-1617) a˜nos antes. Fue el matem´atico Leonard Euler (1707-1783) quien desarroll´o profundos
avances en el estudio de este n´umero, bautiz´andolo con la letra e, nombre que se mantendr´ıa
hasta nuestros d´ıas.
Admitiendo entonces los siguientes l´ımites: l´ım x−→+∞ 1 + 1 x x = e l´ım x−→+∞ 1 +r x x = er
podemos concluir que, si la capitalizaci´on es “continua”, entonces el saldo al finalizar el
primer a˜no vale:
s1 = C er .
mientras que el saldo al finalizar el en´esimo a˜no vale:
sn = C er n .
En el caso del ejemplo que ven´ıamos manejando (C = 100000 y r = 0, 08) el saldo al final
del primer a˜no para una capitalizaci´on continua resulta ser: s1 = 100000 e0,08= 108328, 7
pesos.
Otra pregunta de inter´es consiste en plantearnos cu´antos a˜nos debemos mantener la
in-versi´on para obtener finalmente un saldo deseado. Volviendo el mismo ejemplo, ¿cu´antos
a˜nos debemos dejar el capital depositado para obtener un saldo que supere por primera
vez los 629000 pesos? Ahora la inc´ognita es n y queremos poder despejarla de la igualdad:
629000 = 100000 e0,08 n ⇐⇒ 6, 29 = e0,08 n
Necesitamos entonces obtener el exponente al cual hay que elevar el n´umero e para obtener
6, 29. Dicho exponente es el logaritmo en base e del n´umero 6, 29 Tenemos entonces:
0, 08 n = L(6, 29) =⇒ n = L(6, 29)0, 08 ∼= 22, 98
Si lo dejamos 22 a˜nos no llegamos al saldo deseado, mientras que si lo dejamos 23 a˜nos
entonces s´ı. Para obtener un saldo que supere por primera vez los 629000 pesos debemos
Como dec´ıamos al comienzo, no es nuestra intenci´on desarrollar la teor´ıa del conjunto R
de los n´umeros reales (con axiomas, definiciones y teoremas dentro de un orden l´ogico
consistente), que permita introducir y fundamentar las operaciones y relaciones posibles
dentro de ese campo, con sus correspondientes propiedades.1Para un repaso sobre
“poten-ciaci´on”, “radicaci´on” y “logaritmos” te sugerimos una atenta lectura de la primera parte
del Ap´endice A. Ahora continuamos recordando algunos resultados b´asicos que deber´as manejar acertadamente en nuestro curso.
1.1.5.
Funci´
on exponencial.
Si b es un n´umero positivo y diferente de 1, la funci´on exponencial (en base b) es la funci´on:
f : R −→ R / f (x) = bx .
b > 1 1
0 < b < 1 1
Figura 1.2: La funci´on exponencial seg´un sea su base mayor o menor que 1.
Observemos que, independientemente de b, se cumple que f (0) = 1 y que f (x) > 0, ∀x ∈ R.
Sin embargo, el comportamiento de la funci´on exponencial es diferente seg´un la base sea
mayor que 1, o menor que 1. En particular, ten en cuenta los siguientes l´ımites:
l´ım x−→+∞ b x = +∞, si b > 1. 0+, si b < 1. l´ım x−→−∞ b x = 0+, si b > 1. +∞, si b < 1.
Observaci´on 1.1.2. Las funciones eγx.
Si γ > 0 entonces eγ > 1, de donde resulta que la funci´on eγx = (eγ)x es una
expo-nencial de base mayor que 1. ¿Qu´e ocurre si γ < 0?. Las siguientes gr´aficas muestran el
comportamiento de las funciones: fγ: R −→ R / fγ(x) = eγ x
1Si est´as interesado en profundizar en tales aspectos te sugerimos que revises los textos indicados en
1.1. Algunas funciones b´asicas 25
1 γ > 0 1
γ < 0
Figura 1.3:Comportamiento de las funciones fγ(x) = eγ x.
1.1.6.
Funci´
on logar´ıtmica
Sea b un n´umero positivo y diferente de 1. Es posible demostrar que para cada d ∈ (0, +∞)
existe un ´unico c ∈ R tal que bc = d. Este n´umero c se denomina “logaritmo de d en base
b” y se simboliza c = logb(d).2 La funci´on logar´ıtmica es la funci´on:
f : (0, +∞) −→ R / f (x) = logb(x) .
El comportamiento de la funci´on logar´ıtmica es diferente seg´un la base sea mayor que 1,
o menor que 1 (figura 1.4). En particular, ten en cuenta los siguientes l´ımites:
l´ım x−→+∞ logb(x) = +∞, si b > 1. −∞, si 0 < b < 1. l´ım x−→0+ logb(x) = −∞, si b > 1. +∞, si 0 < b < 1. b > 1 1 0 < b < 1 1
Figura 1.4:La funci´on logar´ıtmica seg´un sea su base mayor o menor que 1.
Cuando hablemos de funci´on exponencial o de funci´on logar´ıtmica sin especificar la base,
daremos por sobreentendido que tomamos como base al n´umero e.
2Si en el desarrollo de la teor´ıa se introduce en primer lugar la funci´on exponencial con sus propiedades,
es posible demostrar la existencia de la logar´ıtmica (de hecho, definirla) como su funci´on inversa utilizando los resultados del Cap´ıtulo 2. Tambi´en es posible proceder al rev´es; si se conoce la logar´ıtmica definir la exponencial como su inversa (ver Moretti, p´agina 129).
1 1
y = L(x)
y = ex
Figura 1.5: Funciones exponencial y logar´ıtmica en base e.
La exponencial y la logar´ıtmica est´an relacionadas mediante:
eL(d)= d, ∀ d ∈ (0, +∞) L(ec) = c, ∀ c ∈ R.
La potencia puede expresarse a partir de estas funciones de la siguiente manera:
AB = eB L(A) ∀A > 0, ∀B ∈ R.
1.1.7.
Funci´
on potencial
Suele denominarse funci´on potencial a toda funci´on cuya f´ormula sea de la forma:
f (x) = xα en donde α es constante. Adem´as de los sencillos “monomios”xncon n natural,
cuyo dominio es todo R, tenemos dentro de esta clase a (por ejemplo) las funciones: x−1,
x1/2, x1/3, x7/4, x√2, xπ, etc.
Ejemplo 1.1.6. Tres casos muy particulares.
1. Consideremos la funci´on g dada por g(x) = x−1 = x1. Como todo real diferente
de 0 tiene inverso, mientras que el 0 no lo tiene, el dominio m´as amplio posible
que podemos tomar para g es R∗ = R − {0}. Con m´as precisi´on entonces (ya que
para determinar una funci´on debemos dar dominio, codominio y ley), la funci´on
considerada es:
g : R∗ −→ R / g(x) = x−1= 1
x
Se trata de la funci´on que a cada x ∈ R∗ le hace corresponder su inverso x−1. Su
1.1. Algunas funciones b´asicas 27 2. Consideremos ahora:
h : R −→ R / h(x) = x1/3= √3x
Como todo real tiene una ´unica ra´ız c´ubica, es correcto tomar como dominio todo
R. 1 1 g(x) = 1/x 1 1 h(x) =√3x 3. Finalmente sea: j : [0, +∞) −→ R / j(x) = x1/2=√x
En este caso no es posible ampliar el dominio considerado ya que los n´umeros
nega-tivos no tienen ra´ız cuadrada real.
1
1
j(x) =√x
Observaci´on 1.1.3. Si bien las tres funciones del ejemplo anterior son de la forma xα,
sus dominios son diferentes. (Volvemos a sugerirte que leas la primera parte del Ap´endice A relativa a las definiciones y propiedades de la potencia). Por otra parte, no encontramos
inconvenientes cuando x > 0. De hecho, si α es un real cualquiera y x > 0, definiendo xα
como eα L(x), se cumplen todas las propiedades de la potencia.
Si α ∈ R, la funci´on potencial de exponente α es la funci´on:
f : R+−→ R / f (x) = xα = eα L(x)
Observemos que, independientemente de α, se cumple que f (1) = 1 y que f (x) > 0, ∀x > 0.
1 1 α < 0 α > 1 0 < α < 1 f (x) = xα
Figura 1.6:Diferentes comportamientos de la funci´on potencial.
lineal f (x) = x. Cuando el exponente no es 0 ni 1 el comportamiento de la funci´on potencial
queda resumido en la figura 1.6 en la cual distinguir´as tres casos.
En particular, ten en cuenta los siguientes l´ımites:
l´ım x−→+∞ x α = +∞, si α > 0. 0+, si α < 0. l´ım x−→0+ x α = 0+, si α > 0. +∞, si α < 0.
Ejercicio 1.1.9. Se invierten 7000 d´olares a una tasa de inter´es anual de 2 % . Calcula el
saldo de la inversi´on luego de diez a˜nos en cada uno de los siguientes casos:
1) El inter´es se capitaliza anualmente. 2) El inter´es se capitaliza mensualmente. 3) El inter´es se capitaliza diariamente (considerar 365 d´ıas). 4) El inter´es se capitaliza “conti-nuamente”.
Ejercicio 1.1.10. Una persona A invierte 10000 d´olares a comienzos de 1990 y otra
persona B invierte 20000 d´olares a comienzos del 2000. Si ambos reciben intereses del 4 %
(capitalizados continuamente) ¿cu´ales ser´an los valores de las inversiones al finalizar el a˜no
2010? ¿Cu´al deber´ıa ser la tasa de inter´es para que A finalice con el mismo capital que
B?
Ejercicio 1.1.11. Se depositan 100000 pesos a una tasa de inter´es anual de 5 % que se capitaliza continuamente.
(a) Calcula el saldo de la inversi´on al cabo de cinco a˜nos.
(b) ¿Cu´al es la cantidad m´ınima de a˜nos que se debe dejar el dinero para superar por
primera vez un saldo de 230000 pesos?
Ejercicio 1.1.12. Durante los a˜nos 1990 y 2000 la utilidad anual de la empresa X tuvo
un crecimiento exponencial dado por U (t) = A ekt en donde U (t) es la utilidad en miles
de d´olares y t se mide en a˜nos. En t = 0 (que corresponde al final del ejercico del a˜no
1990) la ganancia fue de 200 mil d´olares. La ganancia anual de 1992 fue de 400 mil d´olares.
Encuentra el a˜no al final del cual la ganancia supera por primera vez los dos millones de
1.1. Algunas funciones b´asicas 29
Ejercicio 1.1.13. Enfriamiento de una taza de caf´e. Una taza de caf´e instant´aneo
reci´en servida tiene una temperatura de 82o. Despu´es de dos minutos permaneciendo en
una habitaci´on a 21o, el caf´e se enfr´ıa hasta 74o. Suponiendo que la temperatura de la
taza en cada instante t (medido en minutos) viene dada por: T (t) = Aekt+ 21, encuentra
las constantes A y k. ¿En qu´e tiempo llega el caf´e a una temperatura tolerable de 49o?
Ejercicio 1.1.14. Una tribu que vive aislada en el Amazonas tiene 1100 habitantes.
Sor-presivamente es afectada por un virus. A partir de ese momento el tama˜no de la poblaci´on
comienza a tener un decrecimiento dado por P (t) = Aekt+ 100, en donde P (t) es la
can-tidad de individuos vivos y t se mide en d´ıas. (Estamos suponiendo que en t = 0 hay 1100 individuos). Al cabo de dos d´ıas sin ayuda sanitaria la poblaci´on se redujo a 468 personas.
Suponiendo que el modelo se mantiene, ¿cu´antos habitantes quedar´an al cabo de 10 d´ıas?
Ejercicio 1.1.15. Seg´un el modelo de Malthus de crecimiento de la poblaci´on de la Tierra,
el n´umero de habitantes del planeta en un instante t (medido en a˜nos) es
p(t) = 3, 06 109 e0,02(t−1961)
Seg´un este modelo, calcula el tama˜no de la poblaci´on en 1700, 1800, 1900, 1970, 1980,
1990, 2000 y 2004. Busca datos reales y compara con estos resultados.
Ejercicio 1.1.16. Un cultivo de bacterias Streptococcus A reci´en inoculadas (un grupo
com´un de microorganismos que causa infecci´on s´eptica en la garganta) contiene 100 c´elulas.
Al chequear el cultivo 60 minutos despu´es se observa que hay 450 c´elulas. Suponiendo
que dicha poblaci´on tiene un crecimiento exponencial del tipo P (t) = a ekt, determina el
n´umero de c´elulas presentes en cualquier tiempo t (medido en minutos). ¿Cu´al es el tiempo
requerido para que el n´umero de c´elulas se duplique?
Ejercicio 1.1.17. Desintegraci´on radiactiva. Existen muchos modelos f´ısicos que
sa-tisfacen una ley de crecimiento o de decrecimiento. Un ejemplo de ´estos es la desintegraci´on de elementos radiactivos. A partir de experiencias, los cient´ıficos han tomado la siguiente
funci´on para expresar la cantidad (masa) de un elemento radiactivo en un instante de
tiempo t:
y(t) = A ekt A, k constantes, k < 0
El per´ıodo de vida media de un elemento radiactivo es el tiempo requerido para que una cantidad inicial se desintegre a la mitad. Por ejemplo, se ha calculado que el per´ıodo
de vida media para el 14C (carbono catorce) es de 5730 a˜nos. Es decir, si se tienen 2
gramos de14C en la actualidad, dentro de 5730 a˜nos quedar´a aproximadamente 1 gramo.
Este per´ıodo de vida media y el hecho de que los seres humanos continuamente toman
14C, permite que las observaciones con 14C sean ´utiles para determinar la antig¨uedad de
los objetos.
(a) Sabiendo que la vida media del14C es 5730 a˜nos, deduce que la constante de
decre-cimiento k vale k = −(L2)/5730 ∼=−1, 20968,10−4
(b) Supongamos que en el instante inicial t = 0 hay 50 gramos de 14C. Determina la
1.2.
Continuidad
Cuando se nos dice que una funci´on es continua pensamos inmediatamente en una funci´on
cuya gr´afica no presenta “interrupciones”, que no se “rompe” ni tiene “saltos” ni “huecos”.
Consideremos por ejemplo la funci´on f definida por
f (x) = 1, si x > 0. 0, si x = 0. −1, si x < 0.
que usualmente recibe el nombre de “funci´on signo” y cuya gr´afica es
1
−1
Figura 1.7:Funci´on “signo”.
¿Es esta funci´on continua? Es obvio que la respuesta debe ser negativa ya que su gr´afica
presenta un salto bastante notorio. Este “quiebre” puede verse tambi´en desde el punto de vista anal´ıtico al comprobar la diferencia entre los siguientes valores:
l´ım
x−→0−f (x) = −1 , x−→0l´ım+f (x) = 1 , f (0) = 0.
Sin embargo debemos ser un poco m´as cuidadosos en las consideraciones que estamos
ha-ciendo. En efecto, el salto ocurre en el punto de abscisa 0 y NO en otros puntos. Mejoramos
entonces la conclusi´on si respondemos que f NO es continua en 0 aunque SI lo es en el
resto de los puntos.
Si bien el t´ermino continuidad tiene esencialmente el mismo sentido en Matem´atica que en el lenguaje cotidiano, debemos (como siempre en Matem´atica) dar una definici´on precisa de dicho concepto. Eso es lo que repasamos a continuaci´on.
1.2.1.
Continuidad de una funci´
on en un punto
Definici´on 1.2.1. Continuidad en un punto.
1.2. Continuidad 31
alg´un entorno de x0 contenido en U ). Decimos que f es continua en x0 si se cumple
que:
l´ım
x−→x0f (x) = f (x0)
lo cual es equivalente a decir que:
para cada ǫ > 0, existe alg´un δ > 0, tal que |f (x) − f (x0)| < ǫ, si |x − x0| < δ.
Observaci´on 1.2.1. La definici´on anterior puede darse tambi´en en t´erminos de
“entor-nos”. De esta manera resulta que f es continua en x0 si, y s´olo si, se cumple que:
para cada Ef (x0),ǫ existe alg´un Ex0,δ tal que f (x) ∈ Ef (x0),ǫ si x ∈ Ex0,δ .
Observaci´on 1.2.2. Funciones continuas en todo punto de su dominio.
Vale la pena recordar que las funciones polin´omicas, la exponencial (ex), la logar´ıtmica
(Lx) y la potencial (xα) son continuas en todo punto de sus dominios. Este hecho (que
debes haber demostrado y usado reiteradamente en cursos anteriores), lo asumimos como conocido. Sin embargo debes tener presente que la continuidad y la “existencia” no son
equivalentes. En efecto, la funci´on “signo” existe siempre (su dominio es todo R) y NO es
continua en 0.
Recordemos tambi´en que si f y g son dos funciones continuas en x0 entonces f + g y
f.g tambi´en lo son. Para que f /g resulte continua en x0 debemos exigir adem´as que
g(x0) 6= 0. A modo de ejemplo consideremos la funci´on F (x) = L(x)x−3. Su dominio es
D(F ) = R+− {3} = { x ∈ R / x > 0 y x 6= 3 }. Podemos asegurar en este caso que F
es continua en todo su dominio por tratarse de un cociente de funciones continuas y no anularse el denominador en D(F ).
Ejemplo 1.2.1. Consideremos la funci´on f : R −→ R dada por
f (x) = −x + λ, si x < 0. ex, si x ≥ 0. ,
en donde λ es una constante. Si bien el dominio de esta funci´on es todo R, en principio solamente podemos estar seguros que es continua en todos los puntos con excepci´on del 0. Para estudiar la continuidad en 0 calculamos f (0) y lo comparamos con el valor del
l´ımx−→0f (x) (siempre que este l´ımite sea finito). A su vez, en este caso, para estudiar
dicho l´ımite es conveniente que plantearnos los l´ımites laterales. Se tiene:
l´ımx−→0−f (x) = l´ımx−→0−(−x + λ) = λ.
l´ımx−→0+f (x) = l´ımx−→0+(ex) = 1.
Por otra parte f (0) = e0 = 1.
Deducumos entonces que f es continua en 0 si, y solo si, λ = 1. Te sugerimos que grafiques
la funci´on para λ = 1 y para otros valores de λ diferentes de 1 a los efectos de que puedas
Ejercicio 1.2.1. Halla el dominio (m´as amplio posible) de las siguientes funciones y estudia la continuidad de las mismas.
f (x) = ex, si x ≤ 0. 1 x+1, si x > 0. g(x) = x2, si x ≤ 0. −x + 1, si x > 0. h(x) = 1 (x−3)2, si x 6= 3. 5, si x = 3. j(x) = x2−4 x−2 , si x < 2. 4 + L(x − 1), si x ≥ 2. Ejercicio 1.2.2.
(a) Una propiedad importante del valor absoluto afirma que: |x + y| ≤ |x| + |y|, cuales-quiera que sean los reales x e y. Admitiendo esta propiedad se te pide que demuestres que: |x − y| ≥ ||x| − |y|| , ∀x, y ∈ R.
(b) Demuestra que si f es una funci´on continua en un punto x0 entonces |f | tambi´en
lo es. (Te sugerimos que apliques la definici´on de continuidad y la desigualdad
ante-rior). ¿Es v´alido el rec´ıproco de este resultado? (Si es v´alido debes demostrarlo y si
consideras que es falso debes encontrar un contraejemplo).
1.2.2.
Propiedades b´
asicas de las funciones continuas en
intervalos cerrados
Definici´on 1.2.2. Funci´on continua en un intervalo cerrado.
Sea f : [a, b] −→ R una funci´on cuyo dominio es el intervalo cerrado [a, b] y que toma valores reales. Decimos que f es continua en [a, b] cuando se cumplen las tres condiciones siguientes:
Para cada x0∈ (a, b), f es continua en x0; o sea que:
l´ımx→x0f (x) = f (x0), ∀x0∈ (a, b).
f es continua en a+; o sea que: l´ımx→a+f (x) = f (a).
f es continua en b−; o sea que: l´ım
x→b−f (x) = f (b).
El conjunto de todas las funciones continuas en [a, b] lo indicaremos con el s´ımbolo C([a, b]), es decir:
C([a, b]) = { f : [a, b] −→ R / f es continua en [a, b] }
La gr´afica de una funci´on continua en [a, b] es una curva que, sin presentar “saltos”, une
los puntos A(a, f (a)) y B(b, f (b)) (figura 1.8).
A continuaci´on presentamos el enunciado de algunos resultados b´asicos sobre funciones
continuas en intervalos cerrados. Si bien las tesis de estos teoremas resultan claramente cre´ıbles desde el punto de vista intuitivo, las demostraciones de los mismos no son sencillas. En caso de que est´es interesado, puedes leerlas en la referencia [FP].
1.2. Continuidad 33 a b f (a) f (b) A B x y
Figura 1.8:Funci´on continua en un intervalo cerrado.
Teorema 1.2.1. Teorema de Bolzano.
Sea f ∈ C([a, b]). Si f (a).f (b) < 0 (o sea, si f (a) y f (b) tienen signos opuestos), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Observaci´on 1.2.3.
1. El teorema de Bolzano nos da una condici´on suficiente para poder asegurar la
exis-tencia de ra´ıces (de ceros) de una funci´on. Hay que tener en cuenta que no nos
dice nada sobre la cantidad de las mismas. Puede haber m´as de una ra´ız e incluso infinitas.
2. El rec´ıproco del teorema es falso. En efecto, la funci´on f : [0, 2] → R dada por f (x) = 5 si x 6= 1, y f (1) = 0, tiene una ra´ız en dicho intervalo (la ra´ız es x = 1) pero no es continua en [0, 2] ni cumple que f (0).f (2) < 0. Las hip´otesis del teorema de Bolzano son condiciones suficientes pero no necesarias para la existencia de ra´ıces. 3. Si f (a).f (b) < 0, pero f no es continua en [a, b], no es posible asegurar que la funci´on
tenga al menos una ra´ız. (Encuentra un ejemplo que justifique esta afirmaci´on).
a
b f (a)
f (b)
Ejercicio 1.2.3. Un teorema sobre puntos fijos.
Sea f una funci´on continua en [0, 1] tal que f (x) ∈ [0, 1], ∀x ∈ [0, 1]. En estas condiciones
te pedimos que demuestres que f tiene alg´un punto fijo en el intervalo [0, 1], es decir: existe
al menos un punto c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. Para ello te sugerimos que intentes aplicar
el teorema de Bolzano a la funci´on Φ : [0, 1] → R dada por Φ(x) = x − f (x).
Observaci´on 1.2.4. Sobre el supremo y el m´aximo de un conjunto.
1. Sea A un subconjunto no vac´ıo de R. Se dice que k ∈ R es una cota superior de A si k ≥ a, ∀a ∈ A. Si A tiene alguna cota superior entonces se dice que es un conjun-to acotado superiormente. Es claro que si un conjunconjun-to est´a acotado superiormente
entonces tiene infinitas cotas superiores, ya que todo n´umero mayor que una cota
superior tambi´en es cota superior. Un n´umero real M es el m´aximo de A si es cota
superior de A y adem´as pertenece a dicho conjunto. Por ejemplo, √7 es el m´aximo
del intervalo cerrado [0,√7], pero el intervalo abierto (0,√7) no tiene m´aximo. Es
decir, un conjunto puede estar acotado superiormente y no tener m´aximo. No ocurre lo mismo con el supremo. La completitud de R afirma que “Todo subconjunto de R, no vac´ıo y acotado superiormente, tiene supremo”. Dependiendo de
c´omo se haya introducido el conjunto de los n´umeros reales en el curso de sexto a˜no,
esta propiedad de completitud la puedes haber visto como un axioma de la teor´ıa o como un teorema. El supremo de A (tambi´en llamado “extremo superior” y que
ser´a indicado con sup A) es la menor de las cotas superiores de A. O sea, el n´umero
L es el supremo de A si, y s´olo si, verifica estas dos condiciones:
a ≤ L, ∀a ∈ A (L es cota superior de A).
Si L′ es una cota superior cualquiera de A entonces L ≤ L′ (no hay ninguna
cota superior de A menor que L).
2. El supremo de un conjunto (en caso de que exista) no tiene por qu´e pertenecer al conjunto. Recordemos que un conjunto acotado superiormente tiene m´aximo si, y
s´olo si, su supremo pertenece a dicho conjunto. Por ejemplo, si A = [−3, 0) ∪ [1,√3)
entonces las cotas superiores de A son todos los n´umeros reales mayores o iguales que
√
3. Hay infinitas cotas superiores. La menor de todas ellas es precisamente √3, y,
por lo tanto, √3 = sup A. Como√3 6∈ A podemos asegurar que A no tiene m´aximo.
3. Si L = sup A y h < L entonces siempre es posible encontrar alg´un elemento a ∈ A
tal que h < a ≤ L. En efecto, si as´ı no fuera, todos los elementos de A estar´ıan a la izquierda de h, con lo cual h se constituir´ıa en cota superior de A, contradiciendo el hecho de que L es la menor de las cotas superiores de ese conjunto.
4. Similares consideraciones valen para cotas inferiores, m´ınimo e ´ınfimo de un conjunto,
conceptos que esperamos repases t´u mismo.
Definici´on 1.2.3. M´aximo (absoluto) de una funci´on.
Sea f : I → R. Un n´umero M ∈ R es el m´aximo (absoluto) de f en I si cumple las
siguientes condiciones:
M ≥ f (x), ∀x ∈ I.
1.2. Continuidad 35
En otras palabras, M es el m´aximo de f en I si es el m´aximo del conjunto:
f (I) = { f (x) / x ∈ I}.
Observaci´on 1.2.5.
1. La definici´on de m´ınimo (absoluto) es an´aloga y esperamos que puedas escribirla sin
inconvenientes.
2. La funci´on f : (0, 2) → R dada por f (x) = 1/x no tiene m´aximo en (0, 2) pues ni
siquiera est´a acotada superiormente en dicho intervalo.
3. La misma funci´on tampoco tiene m´aximo en el intervalo (1, 2) a pesar de que en ´el
est´a acotada. ¿Qu´e ocurre en el [1, 2]?
Teorema 1.2.2. Teorema de Weierstrass.
Sea f ∈ C([a, b]). Entonces f tiene m´aximo y m´ınimo absolutos en [a, b].
Observaci´on 1.2.6.
1. La continuidad de f en [a, b] es una condici´on suficiente pero no necesaria para la
existencia de extremos absolutos. En otras palabras, el rec´ıproco del teorema de
Weierstrass no es v´alido. (Ser´ıa interesante que t´u mismo des un contraejemplo).
2. Sin embargo, si la funci´on no es continua en [a, b], no puede asegurarse la existencia
de m´aximo o de m´ınimo.
Teorema 1.2.3. Teorema de Darboux.
Sea f ∈ C([a, b]) y designemos con M y m al m´aximo y al m´ınimo de f en [a, b]. Entonces todo punto del intervalo [m, M ] tiene preimagen, es decir: para cada µ ∈ [m, M] existe al menos un c ∈ [a, b] tal que f (c) = µ.
a b
µ
c1 c2
m M
1.3.
Derivabilidad
1.3.1.
Derivabilidad de una funci´
on en un punto
Definici´on 1.3.1. Derivada de una funci´on en un punto.
Sean f : U −→ R una funci´on y x0 un punto interior a U . Decimos que f es derivable
en x0 si, y s´olo si, existe un n´umero A tal que:
l´ım
x−→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= A
o, de manera equivalente, si existe un n´umero A tal que:
l´ım
h−→0
f (x0+ h) − f (x0)
h = A
Si f es derivable en x0entonces al valor del l´ımite reci´en mencionado se le llama derivada
de f en el punto x0 y se lo indica con el s´ımbolo f′(x0). Es decir:
f′(x0) = l´ım
x−→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
(La derivada de f en x0 tambi´en suele simbolizarse dxdf(x0)).
A P x x0 f (x) f (x0) t