Cap16 Sec2 2x4

(1)

Capítulo 16

Cálculo Vetorial

16.2 Line Integrals

CÁLCULO VETORIAL

Nesta seção, aprenderemos sobre: Os vários aspectos de integrais de linha em planos,

espaço e campos vetoriais.

Nesta seção, definiremos uma integral que é semelhante à integral unidimensional, exceto que, em vez de integrarmos sobre um intervalo [a, b], integraremos sobre uma curva C.

 Tais integrais são chamadas integrais de linha.

Elas foram inventadas no começo do século XIX para resolver problemas que envolviam:

escoamento de fluidos; forças;

eletricidade; magnetismo. INTEGRAIS DE LINHA

Começamos com uma curva plana C dada pelas equações paramétricas

x = x(t) y = y(t) a t b

INTEGRAIS DE LINHA Equação 1

De forma equivalente, C pode ser encontrado pela equação vetorial r(t) = x(t) i + y(t) j. Supomos que C seja uma curva lisa.

 Isso significa que r’ é contínua e r’(t) 0. Veja a Seção 13.3.

INTEGRAIS DE LINHA

Se dividirmos o intervalo [a, b] do parâmetro em n subintervalos [t_i-1, t_i] de igual tamanho e se fizermos x_i= x(t_i) e y_i= y(t_i), então:

os pontos correspondentes Pi(xi, yi) dividem C em n subarcos de comprimento s1, s2, …, sn.

Escolhemos um ponto qualquerP_i*_(x

i*, yi*)

no i-ésimo subarco. Isso corresponde a

um ponto ti*em [ti-1, ti].

(2)

Se f é uma função de duas variáveis cujo domínio inclui a curva C, nós:

1. calculamos f no ponto (xi*, yi*).

2. multiplicamos pelo comprimento sido subarco.

3. somamos

o que é semelhante à soma de Riemann.

* *

1 , n i i i i f x y 's

¦

Em seguida, tomamos o limite dessa soma e fazemos a seguinte definição, por analogia com a integral unidimensional:.

Se f é definida sobre uma curva lisa C dada pelas Equações 1, então a integral de linha

def sobre C é

se esse limite existir.

* *

1

,

lim

n i

,

i i C n i

f x y ds

f x y

s

of

¦

'

³

INTEGRAIS DE LINHA Definição 2

Na Seção 10.2 verificamos que o comprimento da curva C é

Argumentação semelhante pode ser usada para mostrar que, se f é uma função contínua, então o limite na Definição 2 sempre existe.

2 2 b a

dx

dy

L

dt

§

· §

· ¨

¸ ¨

¸

©

¹ ©

¹

³

Essa fórmula pode ser empregada para calcular a integral de linha:

2 2 , , C b a f x y ds dx dy f x t y t dt dt dt § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹

³

INTEGRAIS DE LINHA Fórmula 3

O valor da integral de linha não depende da parametrização da curva, desde que a curva seja percorrida uma única vez quando t cresce de a para b.

Se s(t) é o comprimento de C entre r(a) e r(t), então 2 2

ds

dx

dy

dt

§

· §

· ¨

¸ ¨

¸

©

¹ ©

¹

Um modo de memorizar a Fórmula 3 é escrever tudo em termos do parâmetro t.

 Usando a parametrização para exprimir x e y em termos de t, temos ds como

2 2 dx dy ds dt dt dt § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ INTEGRAIS DE LINHA

(3)

No caso especial em que C é um segmento de reta unindo (a, 0) a (b, 0), tomando x como parâmetro, escrevemos as equações paramétricas de C da seguinte forma:

x = x y = 0 a x b

e, nesse caso, a integral de linha se reduz a uma integral unidimensional.

,

b

,0

C

f x y ds

a

f x

dx

³

Assim como para as integrais

unidimensionais, podemos interpretar a integral de linha de uma função positiva como uma área.

representa a área da “cerca” ou “cortina” da figura, cuja:

 base é C

altura acima do ponto (x, y) é f (x, y).

,

C f x y ds

³

onde C é a metade superior do círculo unitário x2_{+ y}2_{= 1.}

Para usar a Fórmula 3, precisamos de equações paramétricas que representem a curva C.

₂

2

C

x y ds

³

INTEGRAIS DE LINHA EXEMPLO 1

Como já vimos, o círculo unitário pode ser parametrizado por meio das equações

x = cos t y = sen t

E, a metade superior do círculo é descrita pelo intervalo do parâmetro 0 t

S

.

Logo, da Fórmula 3, temos

(4)

Suponha agora que C seja uma curva lisa

por partes;

 ou seja, C é a união de um número finito de curvas lisas C1, C2, …, Cn, onde o ponto inicial de Ci+1 é o ponto final de Ci.

Neste caso, definimos a integral de f ao longo de C como a soma das integrais de f ao longo de cada trecho liso de C:

1 2

,

...

,

n C C C C

f x y ds

³

onde C é formada pelo arco C₁da parábola y = x2_{de (0, 0) a (1, 1) seguido pelo}

segmento de reta vertical C₂de (1, 1) a (1, 2).

2

C

x ds

³

C₁é o gráfico de uma função de x; então podemos escolher x

como parâmetro e as equações de C₁se

tornam

x = x y = x2 _{0 x 1}

1 2 2 1 0 1 ₂ 0 1 3/ 2 2 1 2 4 3 ₀

2

2 2 1 4

1 4

5 5 1

6

C

dx

dy

x ds

x

dx

x

x dx

x

§

· §

· ¨

¸ ¨

¸

©

¹ ©

¹

º

_¼

³

Em C₂, escolhemos y como parâmetro, e as equações de C₂são x = 1 y = 1 1 y 2 e

2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 C x ds dx dy dy dy dy dy § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹

³

Então, 1 2

2

2 5 5 1 2

6

C

x ds

C

x ds

C

x ds

³

Qualquer interpretação física da integral de linha

depende da interpretação física da função f. Suponha que (x, y) represente a densidade linear num ponto (x, y) de um arame fino com o formato de uma curva C.

,

C

f x y ds

³

(5)

A massa da parte do arame do ponto P_i-1até P_ina figura é aproximadamente (x_i*_{, y}

i*) si.

Assim, a massa total do arame terá valor aproximado de  (xi*, yi*) si.

Tomando cada vez mais pontos sobre a curva, obtemos o valor da massa m do arame como o valor limite dessas aproximações:

* * 1

lim

,

n i i i n i C

m

x y

s

x y ds

U

of

¦

'

³

Por exemplo: se f(x, y) = 2 + x2_{y representa} a densidade de um arame semicircular, então a integral do Exemplo 1 representa a massa do arame.

MASSA

CENTRO DE MASSA Equação 4

O centro de massa do arame com função densidade está localizado no ponto , onde:

x y

,

1 _,

C C

x

x y ds

m

y

x y ds

m

U

³

Um arame com o formato de um semicírculo x2_{+ y}2_{= 1, y 0, é mais grosso perto da} base do que perto do topo.

Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta y = 1. INTEGRAIS DE LINHA EXEMPLO 2

Como no Exemplo 1, usamos a parametrização

x = cos t y = sen t 0 t S e determinamos que ds = dt.

A densidade linear é (x, y) = k(1 – y) onde k é uma constante e, então, a massa do arame é

Das Equações 4, temos

(6)

Por simetria vemos que . Então, o centro de massa é

0

x

4 0, 2 2 0,0.38

S

§ · ¨ ¸ © ¹ | ,

Duas outras integrais de linha são obtidas trocando-se s_i, segundo a Definição 2, por:

 xi= xi– xi-1

 yi= yi– yi-1

Elas são chamadas integrais de linha de f

ao longo de C com relação a x e y:

* * 1 * * 1

,

lim

,

lim

,

n i i i C n i n i i i C n i

f x y dx

f x y

x

f x y dy

f x y

y

of of

'

¦

³

¦

³

INTEGRAIS DE LINHA Equações 5 e 6

Quando queremos distinguir a integral de linha original das Equações 5 e 6, a chamamos de integral de linha com

relação ao comprimento do arco.

,

C

f x y ds

³

As fórmulas seguintes dizem que as integrais de linha com relação a x e y podem ser calculadas escrevendo-se tudo em termos de t:

x = x(t) y = y(t) dx = x’(t) dt dy = y’(t) dt

,

'

,

'

b C a b C a

f x y dx

f x t y t x t dt

f x y dy

f x t y t y t dt

³

TERMOS DE t Fórmula 7 ABREVIANDO

Frequentemente, as integrais de linha com relação a x e y aparecem juntas.

Quando isso acontece, é costume abreviar escrevendo

, , , , C C C P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy

³

Quando estamos nos preparando para resolver uma integral de linha, às vezes o mais difícil é pensar na representação paramétrica da curva cuja descrição geométrica foi dada.

Em especial, frequentemente precisamos parametrizar um segmento de reta. INTEGRAIS DE LINHA

(7)

REPRESENTAÇÃO VETORIAL Equação 8 Portanto, é útil lembrar que a representação vetorial do segmento de reta que inicia em

r₀e termina em r₁é dada por:

r(t) = (1 – t)r₀+ t r₁ 0 t 1 Veja a Equação 12.5.4.

Calcule onde a. C = C1é o segmento de reta de (–5, 3) a (0, 2) b. C = C2é o arco de parábola x = 4 – y2 de (–5, 3) a (0, 2). 2 C

y dx x dy

³

COMPRIMENTO DO ARCO EXEMPLO 4

A representação paramétrica para o segmento de reta é

x = 5t – 5 y = 5t – 3 0 t 1  Use a Equação 8 com r0= –5, 3 e r1= 0, 2 .

COMPRIMENTO DO ARCO EXEMPLO 4 a

Assim, dx = 5 dt, dy = 5 dt, e a Fórmula 7 fornece

1 1 ₂ 2 0 1 ₂ 0 1 3 2 0 5 3 5 5 5 5 5 25 25 4 25 25 5 5 4 3 2 6 C y dx x dy t dt t dt t t dt t t t ª º « » ¬ ¼

³

COMPRIMENTO DO ARCO EXEMPLO 4 a

Como a parábola é dada em função de y, usamos y como parâmetro e escrevemos C₂como:

x = 4 – y2 _{y = y} _{–3 y 2} COMPRIMENTO DO ARCO EXEMPLO 4 b

Então, dx = –2y dy e, pela Fórmula 7, temos

2 2 2 2 2 3 2 ₃ ₂ 3 2 4 3 5 6 3 2 4 2 4 4 40 2 3 C y dx x dy y y dy y dy y y dy y y y ª º _« _» ¬ ¼

³

COMPRIMENTO DO ARCO EXEMPLO 4 b

Observe que as respostas para os itens (a) e (b) do Exemplo 4 são diferentes, apesar de as duas curvas terem as mesmas

extremidades.

Em geral, portanto, o valor de uma integral de linha depende não somente das extremidades da curva, como também da própria trajetória

Mas veja a Seção 16.3 para condições nas quais a integral independe da trajetória.

COMPRIMENTO DO ARCO

Observe também que as respostas do Exemplo 4 dependem da orientação ou sentido em que a curva é percorrida.

 Se –C1representa o segmento de reta que vai de (0, 2) a (–5, –3), você pode verificar, usando a parametrização x = –5t y = 2 – 5t 0 t 1 que 1 2 5 6 C y dx x dy

³

COMPRIMENTO DO ARCO

(8)

Em geral, dada a parametrização x = x(t), y = y(t), a t b

determina-se uma orientação da curva C, com a orientação positiva correspondendo aos valores crescentes do parâmetro t.

Se –C denota a curva constituída pelos mesmos pontos que C, mas com orientação contrária (do ponto inicial B para o ponto terminal A na figura anterior), então temos

, , , , C C C C f x y dx f x y dx f x y dy f x y dy

³

ORIENTAÇÃO DA CURVA

Mas, se integrarmos em relação ao

comprimento de arco, o valor da integral de linha não se altera ao revertermos a

orientação da curva:

 Isso ocorre porque sié sempre positivo, enquanto xie yimudam de sinal quando invertemos a orientação de C.

,

C

f x y ds

C

f x y ds

³

ORIENTAÇÃO DA CURVA

INTEGRAIS DE LINHA NO ESPAÇO

Suponhamos agora que C seja uma curva espacial lisa dada pelas equações

paramétricas

x = x(t) y = y(t) z = z(t) a t b ou pela equação vetorial

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

Se f é uma função de três variáveis que é contínua em alguma região contendo C, então:

 definimos a integral de linha de f ao longo de C (com relação ao comprimento de arco) de modo semelhante ao feito nas curvas planas:

* * *

1 , , lim n i , ,i i i C n i f x y z ds f x y z s of

¦

'

³

Calculamos essa integral utilizando uma fórmula análoga à Equação 3:

INTEGRAIS DE LINHA NO ESPAÇO Fórm./Eq. 9

Observe que as integrais das Equações 3 e 9 podem ser escritas de modo mais compacto pela notação vetorial

'

b

a

f

t

t dt

³

r

(9)

Para o caso especial em que f(x, y, z) = 1, temos:

onde L é o comprimento da curva C. Ver a Seção 13.3.3.

'

b C

ds

a

t dt

L

³

r

Também podemos definir integrais de linha ao longo de C em relação a x, y e z. Por exemplo,

* * * 1 , , lim , , , , ' n i i i i C n i b a f x y z dz f x y z z f x t y t z t z t dt of

¦

'

³

Portanto, como para as integrais de linha no plano, podemos calcular integrais da forma

escrevendo tudo (x, y, z, dx, dy, dz) em termos do parâmetro t.

, ,

C

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

³

INTEGRAIS DE LINHA NO ESPAÇO Fórmula 10

³

_C

_y

sen

_{z ds}

onde C é a hélice circular dada pelas equações

x = cos t y = sen t z = t 0 t 2S

INTEGRAIS DE LINHA NO ESPAÇO EXEMPLO 5

_Cy dx + z dy + x dz

onde C consiste no segmento de reta C₁ que une (2, 0, 0) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta vertical C₂de (3, 4, 5) a (3, 4, 0).

A figura mostra a curva C.

Usando a Equação 8, escrevemosC₁como:

r(t) = (1 – t)2, 0, 0

+ t 3, 4, 5 = 2 + t, 4t, 5t

Ou, na forma paramétrica, como:

x = 2 + t y = 4t z = 5t 0 t 1

(10)

Da mesma maneira, C₂pode ser escrito na forma

r(t) = (1 – t) 3, 4, 5 + t 3, 4, 0 = 3, 4, 5 – 5t

ou, na forma paramétrica, como

x = 3 y = 4 z = 5 – 5t 0 t 1 INTEGRAIS DE LINHA NO ESPAÇO

Então, dx = 0 = dy, de modo que

Somando os valores das integrais, obtemos INTEGRAIS DE LINHA NO ESPAÇO

Lembre-se, da Seção 6.4, no Volume I, que o trabalho feito por uma força f (x) que move uma partícula de a até b ao longo do eixo x é dado por

b a

W

³

f x dx

INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS :

Depois, na Seção 12.3, vimos que o trabalho feito por uma força constante F para mover um objeto de um ponto P para outro ponto Q do espaço é

W = F.D

onde D = PQ é o vetor deslocamento.

INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS

F = P i + Q j + R k

seja um campo de força contínuo em R³, tal como:

o campo gravitacional do Exemplo 4 da Seção 16.1; o campo de força elétrica do Exemplo 5 da Seção

16.1.

Um campo de força em R² pode ser visto como um caso especial onde R = 0 e P e Q dependem só de x e y.

Queremos calcular o trabalho exercido por essa força ao mover uma partícula ao longo de uma curva lisa C.

Dividimos C em subarcosP_i-1P_icom comprimentoss_idividindo o intervalo do parâmetro [a, b] em subintervalos de mesmo tamanho.

(11)

A primeira figura mostra o caso bidimensional e a segunda, o caso tridimensional.

i*, yi*, zi*) no i-ésimo subarco

correspondente ao valor do parâmetro t_i*_. INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS

Se s_i é pequeno, o movimento da partícula de P_i-1para P_ina curva ocorre

aproximadamente na direção de T(t_i*_), vetor tangente unitário

a P_i*_.

Então, o trabalho feito pela força F para mover a partícula de P_i-1para P_i é aproximadamente

F(x_i*_{, y}

i*, zi*) .[si T(ti*)]

= [F(x_i*_{, y}

i*, zi*) .T(ti*)] si

CAMPOS VETORIAIS Fórmula 11 O trabalho total executado para mover a partícula ao longo de C é aproximadamente

onde T(x, y, z) é o vetor tangente unitário no ponto (x, y, z) sobre C. * * * * * * 1

( , , ) ( , , )

n i i i i i i i i

x y z

'

s

ª

º

¬

¼

¦

F

T

Intuitivamente, podemos ver que essas aproximações devem melhorar quando n aumenta.

Portanto, definimos o trabalho W feito por um campo de força F como o limite da soma de Riemann dada por (11), ou seja,

 A Equação 12 nos diz que o trabalho é a integral em relação ao comprimento do arco da

componente tangencial da força.

, ,

C C

W

³

F

x y z

T

x y z ds

³

F T

ds

CAMPOS VETORIAIS Equação 12

Se a curva C é dada pela equação vetorial

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

então

T(t) = r’(t)/|r’(t)|

(12)

Pela Equação 9, podemos reescrever a Equação 12 como

' _' ' ' b a b a t W t t dt t t t dt ª º « » ¬ ¼

³

r F r r r F r r CAMPOS VETORIAIS

Essa última integral é frequentemente abreviada como

_CF._dr

e ocorre também em outras áreas da física. Portanto, definimos a integral de linha de qualquer campo vetorial contínuo como a seguir:

CAMPOS VETORIAIS

Seja F um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela função vetorial

r(t), a t b.

Então, a integral de linha de F ao longo

deC é

'

b C d a t t dt C ds

³

F r

³

F r r

³

F T

CAMPOS VETORIAIS Definição 13

Quando usamos a Definição 13, devemos nos lembrar de que F(r(t)) é uma abreviação para

F(x(t), y(t), z(t))

 Então, F(r(t)) deve ser calculada tomando x = x(t), y = y(t), e z = z(t) na expressão de F(x, y, z). Observe também que podemos formalmente

escrever que dr = r’(t) dt. CAMPOS VETORIAIS

Determine o trabalho feito pelo campo de força

F(x, y) = x2_{i – xy j}

ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo

r(t) = cos t i + sen t j, 0 t S/2

CAMPOS VETORIAIS EXEMPLO 7

Como x = cos t e y = sen t, temos

F(r(t)) = cos2_{t i – cos t sen t j} e

r’(t) = –sen t i + cos t j

Portanto o trabalho realizado é

A figura mostra o campo de força e a curva do Exemplo 7.

O trabalho realizado é negativo porque o campo impede o movimento ao longo da curva.

(13)

Apesar de _CF.dr = _CF.T ds e as integrais

em relação ao comprimento do arco não trocarem de sinal quando a orientação do caminho for invertida, é verdade que

pois o versor tangente T é substituído por seu oposto quando C é trocado por –C.

C

d

C

d

³

F r

³

F r

CAMPOS VETORIAIS Obs.

Calcule

_C

F

.

dr

onde

:

 F(x, y, z) = xy i + yz j + zx k  Cé a cúbica retorcida dada por

x = t y = t2 _{z = t}3 _{0 t 1}

Temos:

r(t) = t i + t2_{j + t}3_k

r’(t) = i + 2t j + 3t2_k

F(r(t)) = t3_{i + t}5_{j + t}4_k Então,

A figura mostra a cúbica torcida C do Exemplo 8 e alguns vetores típicos atuando sobre três pontos em C.

CAMPOS VETORIAIS

Finalmente, observamos a relação entre as integrais de linha de campos vetoriais e as integrais de linha de campos escalares.

Suponha que um campo vetorial F em R³ seja dado sob a forma de componentes pela equação

F = P i + Q j + R k

Usamos a Definição 13 para calcular sua integral de linha ao longo de C, como segue:

CAMPO VETORIAL E ESCALAR

' ' ' ' , , ' , , ' , , ' C b a b a b a d t t dt P Q R x t y t z t dt P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t ª º « » « » « » ¬ ¼

³

F r F r r i j k i j k

CAMPO VETORIAL E ESCALAR

dt

Mas essa última integral é exatamente a integral de linha de (10).

Portanto, temos

onde F = P i + Q j + R k

C

d

C

P dx Q dy R dz

³

F r

³

(14)

_Cy dx + z dy + x dz

do Exemplo 6 poderia ser expressa como _CF.dr

onde

F(x, y, z) = y i + z j + x k

Cap16 Sec2 2x4

Cálculo Vetorial

16.2

Line Integrals

¦

,

lim

,

f x y ds

f x y

s

¦

'

³

dx

dy

L

dt

dt

dt

§

· §



·

¨

¸ ¨

¸

©

¹ ©

¹

³

³

³

ds

dx

dy

dt

dt

dt

§

· §



·

¨

¸ ¨

¸

©

¹ ©

¹

,

,0

f x y ds

f x

dx

³

³

³

2



x y ds

³

S

,

,

,

...

,

f x y ds

f x y ds

f x y ds

f x y ds



 

³

³

³

³

2

x ds

³

₂

_¼