IINSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E
COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA
Luan Pereira Bezerra
Bases de módulos de Weyl locais
CAMPINAS 2015
Bases de módulos de Weyl locais
Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Cientí-fica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a ob-tenção do título de Mestre em matemática.
Orientador: Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura Este exemplar corresponde à versão final
da dissertação defendida pelo aluno Luan Pereira Bezerra, e orientada pelo Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura.
Assinatura do Orientador
Campinas 2015
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162
Bezerra, Luan Pereira, 1992-
B469b Bases de módulos de Weyl locais / Luan Pereira Bezerra. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
Orientador: Adriano Adrega de Moura.
Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
1. Kac-Moody, Álgebras de. 2. Lie, Álgebra de. 3. Representações de álgebras. I. Moura, Adriano Adrega de,1975-. II. Universidade Estadual de
Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Basis of local Weyl modules Palavras-chave em inglês:
Kac-Moody algebras Lie algebras
Representations of algebras
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Adriano Adrega de Moura [Orientador] Angelo Calil Bianchi
Plamen Emilov Kochloukov Data de defesa: 28-07-2015
Programa de Pós-Graduação: Matemática Nº Processo: 2013/24685-2
Agradeço à todas as pessoas que contribuíram com minha caminhada até aqui e peço desculpas às que deixarei de listar. Ao meu pai, por trabalhar tanto para nos dar uma vida melhor. À minha mãe, por dedicar sua vida à nossa criação. Ao meu orientador Adriano, por me apresentar essa área, me mostrar o caminho até aqui e por me deixar mais motivado sempre que conversávamos. A Grazia, Elizabetta e Oswaldo, pela hospitalidade e por me ajudar sempre que precisei. A Patrícia, pela paciência com minha ansiedade.
Neste trabalho estudaremos os chamados módulos de Weyl locais graduados. Identifi-cando os módulos de Weyl locais com módulos de Demazure para álgebra de Kac-Moody, inclusões naturais são induzidas. O objetivo é estudar e explorar a possibilidade de gene-ralização de recentes resultados sobre a compatibilidade, com respeito a estas inclusões, de bases dos módulos de Weyl locais conhecidas como bases de Chari-Pressley-Loktev. O resultado principal caracteriza os elementos da base que são estáveis e nos permite cons-truir uma base para a representação básica da álgebra de Kac-Moody associada a álgebra de Lie linear especial de ordem 2, composta apenas por elementos estáveis da base dos módulo de Weyl locais.
Palavras-chave: Álgebras de Kac-Moody, Álgebras de Lie, Representações de
In this work we study the so-called graded local Weyl modules. Identifying local Weyl modules with Demazure modules for a Kac-Moody algebra induces natural inclusions. The goal is to study and explore a possible generalization of recent results on the compatibility, with respect to these inclusions, of certain basis of the local Weyl modules known as Chari-Pressley-Loktev basis. The main result characterizes the elements of the basis which are stable and allows us to build a basis for the basic representation of the Kac-Moody algebra associated with the special linear Lie algebra of order 2, comprising only of stable elements of the local Weyl module basis.
Introdução 10
1 Álgebras de Lie 12
1.1 Conceitos Básicos . . . 12
1.2 Álgebras de Lie semissimples . . . 19
1.3 Álgebras de Kac-Moody . . . 27
1.3.1 Matrizes de Cartan Generalizadas e Diagramas de Dynkin . . . 27
1.3.2 Raízes de uma álgebra de Kac-Moody . . . 31
1.3.3 Realização das álgebras de Kac-Moody afins não torcidas . . . 34
2 Representações de álgebras de Kac-Moody 36 2.1 Módulos de peso . . . 36
2.2 A categoria (BGG) 𝒪: Tipo finito . . . 37
2.2.1 A subcategoria 𝒪𝑖𝑛𝑡 . . . 38
2.3 A categoria (BGG) 𝒪: Tipo Afim . . . 40
2.4 Representações de dimensão finita de álgebras de Kac-Moody afim . . . 42
2.4.1 Módulos de Weyl . . . 46
2.4.2 Módulos de Weyl locais para álgebra de correntes . . . 46
2.4.3 Módulos de Demazure . . . 47
3 Bases para módulos de Weyl locais 48 3.1 Uma base para o sl𝑟+1[𝑡]-módulo 𝑊 (𝜆) . . . 48
3.2 O caso r=1 . . . 49
3.2.1 Diagramas de Young . . . 49
3.2.2 Base CPL . . . 51
3.2.3 Inclusões de módulos de Weyl . . . 52
3.2.4 Estabilidade . . . 54
3.3 Demonstração do teorema principal . . . 56
3.4 O caso geral para 𝑛 par . . . 62 viii
3.6 Passagem ao limite direto - Base para 𝐿(Λ0) . . . 67
3.7 Considerações para sl3 . . . 68
Introdução
A teoria de álgebras de Lie e suas representações formam uma área da matemática bastante rica e importante, seja por seu próprio desenvolvimento abstrato, seja por suas interações com diversas outras áreas, tais como geometria, combinatória e física. A relação entre física e matemática tem sido extremamente frutífera para ambas as áreas nas últimas décadas com o surgimento de novos ramos de pesquisa e novas técnicas e abordagens para áreas pré-existentes.
Em particular, a teoria das chamadas álgebras de Lie simples e seus correspondentes grupos de Lie compactos foi amplamente desenvolvida. A estrutura dessas álgebras pode ser codificada em uma matriz de números inteiros que chamamos atualmente de sua matriz de Cartan. Um pouco mais tarde Kac e Moody generalizaram o conceito de matriz de Cartan e associaram uma álgebra de Lie a estas matrizes. De particular interesse são as chamadas álgebras de Kac-Moody de tipo Afim, que são a estrutura algébrica por trás de muitas áreas da física, como teoria conforme de campos e modelos integráveis da mecânica estatística.
Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre os complexos simples e considere a respectiva álgebra de laços ˜g = g ⊗ C[𝑡, 𝑡−1]. A teoria de representações de dimensão
finita de ˜g começou a ser estudada por Chari e Pressley em [5], onde os módulos simples foram classificados em termos de produtos tensoriais de módulos de avaliação. Inspirados pelo contexto dos grupos algébricos, Chari e Pressley introduziram o conceito de módulos de Weyl na categoria das representações de dimensão finita das álgebras de Kac-Moody de tipo Afim [7], atualmente conhecidos como módulos de Weyl locais. Os módulos de Weyl para álgebras de Kac-Moody substituem em grande parte o papel desempenhado pelos módulos de Verma na Categoria 𝒪 de Bernstein-Gelfand-Gelfand. Os módulos de Weyl são os objetos universais com relação à propriedade de serem de dimensão finita e de ℓ-peso máximo, ou seja, qualquer outro módulo satisfazendo essa propriedade é um quociente de um módulo de Weyl.
É conveniente estudar os módulos de Weyl como módulos graduados para a álgebra de correntes g[𝑡] = g ⊗ C[𝑡] e, de fato, muitas propriedades dos módulos de Weyl foram obtidas através do estudo da restrição da ação a g[𝑡]. Em [7], Chari e Pressley obtiveram bases monomiais parametrizadas por partições para os módulos de Weyl locais no caso g = sl2. Em [3], Chari e Loktev estenderam a construção destas bases para g = sl𝑟+1 e obtiveram uma identificação dos módulos de Weyl locais com certos módulos de Demazure da representação de nível 1 da álgebra de Kac-Moody afim ĝ︀ correspondente a g = sl2.
Em [10], utilizando técnicas diferentes, Fourier e Littelmann obtiveram a identificação dos módulos de Weyl locais com módulos de Demazure para g de tipo ADE, mas ainda não foram descritas bases como as de CPL fora do tipo A.
bases monomiais para os módulos de Weyl locais com respeito a certas inclusões obtidas pela identificação com módulos de Demazure. Os pesos dominantes de sl2 são
parame-trizados por inteiros não-negativos e, para cada 𝑛 ≥ 0, existe um módulo de Weyl local
𝑊(𝑛). Através da identificação do módulo de Weyl 𝑊 (𝑛) com o respectivo módulo de
Demazure obtemos as inclusões 𝑊 (𝑛) ⊆ 𝑊 (𝑛 + 2). É, então, natural questionar se as bases monomiais respeitam estas inclusões.
O texto está dividido em três capítulos. No primeiro capítulo fazemos um revisão da teoria de álgebras de Lie de dimensão finita e de álgebras de Kac-Moody. No segundo apresentamos a teoria de representações de álgebras de Kac-Moody, com especial atenção as representações de dimensão finita para álgebras de Kac-Moody afim. No capítulo três estudamos os resultados de [19], caracterizando os elementos das bases dos módulos de Weyl locais que possuem um comportamento estável com respeito às inclusões 𝑊 (𝑛) ⊆
Capítulo 1
Álgebras de Lie
Neste capítulo faremos uma revisão das principais definições, propriedades e resultados sobre álgebras de Lie e de Kac-Moody. Todas as álgebras consideradas serão sobre o corpo dos números complexos C. As demostrações podem ser encontradas em [1, 13, 16, 20].
1.1
Conceitos Básicos
Definição 1.1.1. Uma álgebra de Lie sobre C é um espaço vetorial g munido de uma
operação (colchete) [·, ·] : g × g → g satisfazendo: 1. [·, ·] é bilinear;
2. [𝑥, 𝑥] = 0 para todo 𝑥 ∈ g;
3. [[𝑥, 𝑦], 𝑧] + [[𝑧, 𝑥], 𝑦] + [[𝑦, 𝑧], 𝑥] = 0 para todos os 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ g.
A condição 2 aplicada a [𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦] implica [𝑥, 𝑦] = −[𝑦, 𝑥] para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g. A condição 3 é chamada de Identidade de Jacobi.
Definição 1.1.2. Seja g uma álgebra de Lie sobre C. Um subconjunto h de g é uma
subálgebra de g se h é um subespaço vetorial de g e [𝑥, 𝑦] ∈ h para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ h.
Exemplo 1.1.3. Seja 𝐴 uma álgebra associativa sobre C. Então, temos uma aplicação
𝐴 × 𝐴 → 𝐴
(𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑥𝑦
satisfazendo (𝑥𝑦)𝑧 = 𝑥(𝑦𝑧) para todos os 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴. Podemos definir um estrutura de álgebra de Lie em 𝐴 com o colchete dado pelo comutador [𝑥, 𝑦] = 𝑥𝑦 − 𝑦𝑥. As condições 1 e 2 são claras. Para a identidade de Jacobi, temos que
[[𝑥, 𝑦], 𝑧] = 𝑥𝑦𝑧 − 𝑦𝑥𝑧 − 𝑧𝑥𝑦 + 𝑧𝑦𝑥 [[𝑧, 𝑥], 𝑦] = 𝑧𝑥𝑦 − 𝑥𝑧𝑦 − 𝑦𝑧𝑥 + 𝑦𝑥𝑧 [[𝑦, 𝑧], 𝑥] = 𝑦𝑧𝑥 − 𝑧𝑦𝑥 − 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧𝑦
e daí [[𝑥, 𝑦], 𝑧] + [[𝑧, 𝑥], 𝑦] + [[𝑦, 𝑧], 𝑥] = 0 para todos os 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴. Em particular, se
𝐴 = 𝑀𝑛(C) é a álgebra associativa das matrizes 𝑛 × 𝑛 sobre C, a álgebra de Lie obtida pela construção acima será denotada por gl𝑛(C). Também, se 𝑉 for um espaço vetorial sobre C e 𝐴 = 𝐸𝑛𝑑C(𝑉 ), a álgebra de Lie obtida é chamada de álgebra de Lie linear geral
e será denotada por gl(𝑉 ). Uma subálgebra de gl(𝑉 ) é chamada de álgebra de Lie linear.
Exemplo 1.1.4. A álgebra das matrizes com traço nulo sl𝑛(C) = {𝑥 ∈ gl𝑛(C) :
𝑡𝑟(𝑥) = 0} é uma subálgebra de gl𝑛(C), pois 𝑡𝑟(𝑥𝑦) = 𝑡𝑟(𝑦𝑥) e 𝑡𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝑡𝑟(𝑥) + 𝑡𝑟(𝑦).
Se 𝑛 = 2, os elementos 𝑥+ = (︃ 0 1 0 0 )︃ , ℎ= (︃ 1 0 0 −1 )︃ , 𝑥− = (︃ 0 0 1 0 )︃
formam uma base de sl2 e satisfazem [𝑥+, 𝑥−] = ℎ, [ℎ, 𝑥+] = 2𝑥+ e [ℎ, 𝑥−] = −2𝑥−.
Sejam g1 e g2 subespaços de uma álgebra de Lie g. Então, [g1, g2] é definido como
o subespaço gerado por todos os produtos [𝑥, 𝑦] com 𝑥 ∈ g1 e 𝑦 ∈ g2. Note que, como
[𝑥, 𝑦] = −[𝑦, 𝑥], [g1, g2] = [g2, g1] para todos os subespaços g1, g2 de uma álgebra de Lie g.
Definição 1.1.5. Um subespaço i de g é chamado um ideal se [i, g] ⊂ i.
Observe que, como [i, g] = [g, i], não há distinção entre ideais à esquerda e à direita.
Exemplo 1.1.6. Seja g uma álgebra de Lie. Então,
• {0} e g são ideais de g; • o centro de g
𝑍(g) = {𝑧 ∈ g : [𝑥, 𝑧] = 0, ∀𝑥 ∈ g}
é um ideal de g.
Se g = 𝑍(g), a álgebra de Lie g é dita abeliana.
Proposição 1.1.7. Seja i um ideal de uma álgebra de Lie g. Então, podemos definir uma
estrutura de álgebra de Lie no espaço quociente g/i com o colchete dado por [i + 𝑥, i + 𝑦] = i + [𝑥, 𝑦], para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g.
Definição 1.1.8. Sejam g1 e g2 álgebras de Lie sobre C. Uma transformação linear
𝜙: g1 → g2 é um homomorfismo de álgebras de Lie se 𝜙([𝑥, 𝑦]) = [𝜙(𝑥), 𝜙(𝑦)] para todos
os 𝑥, 𝑦 ∈ g1.
Note que, ker 𝜙 é um ideal de g1 e Im 𝜙 é uma subálgebra de g2.
Se ker 𝜙 = 0, ou seja, se 𝜙 é injetora, 𝜙 é chamado de monomorfismo. Se 𝜙 é sobrejetora, 𝜙 é um epimorfismo e, se 𝜙 é bijetora, 𝜙 é um isomorfismo. Também, se
𝜙: g → g é um isomorfismo, 𝜙 é chamada de automorfismo. Duas álgebras de Lie g1 e g2
são isomorfas (g1 ∼= g2) se existe um isomorfismo 𝜙 : g1 → g2.
De maneira similar a outras estruturas algébricas, temos o Teorema do Isomorfismo para álgebras de Lie.
Seja g uma álgebra de Lie e i um ideal de g. Denote por 𝜋 a projeção canônica
𝜋 : g → g/i 𝑥 ↦→ 𝑥+ i
O homomorfismo 𝜋 é sobrejetor e ker(𝜋) = i.
Teorema 1.1.9. Sejam g, g1 e g2 álgebras de Lie sobre C.
1. Se 𝜙 : g1 → g2 é um homomorfismo de álgebras de Lie, então g1/ker 𝜙 ∼= Im 𝜙. Se
i é um ideal de g1 contido em ker 𝜙, existe único homomorfismo 𝜓 : g1/i → g2 tal
que o seguinte diagrama comuta:
g1 g2
g1/i
𝜙
𝜋 𝜓
2. Se i e j são ideais de g tais que i ⊂ j, então j/i é um ideal de g/i e g/i
j/i
∼ = g
j 3. Se i e j são ideais de g, então
i+ j j
∼ = i
i∩ j Dada uma álgebra de Lie g, defina
g1 = g, g𝑛+1 = [g𝑛, g], para todo 𝑛 ≥ 1, e
g(0) = g, g(𝑛+1) = [g(𝑛), g(𝑛)], para todo 𝑛 ≥ 0.
Definição 1.1.10. Uma álgebra de Lie g é dita nilpotente se g𝑛= 0 para algum 𝑛 ≥ 1 e
solúvel se g(𝑛)= 0 para algum 𝑛 ≥ 0
Proposição 1.1.11. Seja g uma álgebra de Lie. Então,
1. [g𝑚, g𝑛] ⊂ g𝑚+𝑛; 2. g(𝑛) ⊂ g2𝑛
para todo 𝑛 ≥ 0;
3. Toda álgebra de Lie nilpotente é solúvel.
Proposição 1.1.12. Toda álgebra de Lie de dimensão finita g contém um único ideal
solúvel maximal r(g), chamado de radical solúvel de g. Além disso, g/r(g) não contém ideal solúvel não-nulo.
Definição 1.1.13. Uma álgebra de Lie g é simples se dim(g) > 1 e os únicos ideais de g
Proposição 1.1.14. Toda álgebra de Lie simples é semissimples.
Definição 1.1.15. Dado um espaço vetorial 𝑉 , uma representação de g em 𝑉 é um
homomorfismo de álgebras de Lie
𝜌: g → gl(𝑉 ).
Duas representações 𝜌 e 𝜌′ são ditas equivalentes se existe um elemento de gl(𝑉 ) invertível
𝑀 tal que
𝜌′(𝑥) = 𝑀−1𝜌(𝑥)𝑀, para todo 𝑥 ∈ g.
Exemplo 1.1.16. Seja g uma álgebra de Lie. Defina
ad(𝑥) : g → g
𝑦 ↦→[𝑥, 𝑦]
A representação ad é chamada de representação adjunta de g.
Definição 1.1.17. Uma representação 𝜌 : g → gl(𝑉 ) de uma álgebra de Lie g é fiel se 𝜌
for um monomorfismo.
Note que, se g for uma álgebra de Lie simples,
ker(ad) = {𝑥 ∈ g : [𝑥, 𝑦] = 0, para todo 𝑦 ∈ g} = 𝑍(g) = 0,
ou seja, ad é fiel e, portanto, toda álgebra de Lie é isomorfa a uma álgebra de Lie linear.
Teorema 1.1.18. (Engel) Uma álgebra de Lie g é nilpotente se e somente se ad(𝑥) é
nilpotente para todo 𝑥 ∈ g.
Corolário 1.1.19. Uma álgebra de Lie g é nilpotente se e somente se g possui uma base
na qual a matriz de ad(𝑥) tem a seguinte forma para todo 𝑥 ∈ g:
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 · * · 0 · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Definição 1.1.20. Um g-módulo é um espaço vetorial 𝑉 munido de uma operação
g× 𝑉 → 𝑉 (𝑥, 𝑣) ↦→ 𝑥𝑣 satisfazendo:
1. (𝑥, 𝑣) ↦→ 𝑥𝑣 é linear em 𝑥 e em 𝑣;
2. [𝑥, 𝑦]𝑣 = 𝑥(𝑦𝑣) − 𝑦(𝑥𝑣) para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g e 𝑣 ∈ 𝑉 .
Se 𝜌 : g → gl(𝑉 ) é uma representação de g, então 𝑉 se torna um g-módulo se definirmos
𝑥𝑣 = 𝜌(𝑥)𝑣. Por outro lado, se 𝑉 é um g-módulo, 𝜌(𝑥)𝑣 = 𝑥𝑣 define uma representação 𝜌: g → gl(𝑉 ) de g. Logo, os conceitos de g-módulo e representação de g são equivalentes.
Definição 1.1.21. Seja 𝑉 um g-módulo. Um g-submódulo de 𝑉 é um subespaço 𝑊 de 𝑉
tal que 𝑥𝑊 ∈ 𝑊 para todo 𝑥 ∈ g. Um módulo 𝑉 é irredutível se seus únicos submódulos são {0} e 𝑉 .
Sejam 𝑉1, . . . , 𝑉𝑛 g-módulos. Então, a soma direta dos espaços vetoriais
𝑉 = 𝑉1⊕ . . . ⊕ 𝑉𝑛 é um g-módulo com ação dada por
𝑥(𝑣1+ · · · + 𝑣𝑛) = 𝑥𝑣1+ · · · + 𝑥𝑣𝑛 para todos os 𝑥 ∈ g e 𝑣𝑖 ∈ 𝑉𝑖.
Definição 1.1.22. Um g-módulo 𝑉 é indecomponível se não existem g-módulos
𝑊1 ̸= {0} e 𝑊2 ̸= {0} tais que 𝑉 = 𝑊1 ⊕ 𝑊2. Um g-módulo 𝑉 é completamente
redutível se 𝑉 é uma soma direta de g-módulos irredutíveis.
Dada uma álgebra de Lie g, construiremos uma álgebra associativa com unidade 𝑈(g) chamada álgebra universal envelopante de g. Veremos que a categoria das representações de g é equivalente à categoria das representações de 𝑈(g). Se g ̸= {0}, 𝑈(g) tem dimensão infinita, mas ainda assim será conveniente trabalhar no contexto de representações de álgebras associativas.
Dado um espaço vetorial 𝑉 , seja 𝑇𝑖(𝑉 ) a 𝑖-ésima potência tesorial de 𝑉 definida como
𝑇0(𝑉 ) = C e, se 𝑖 > 0,
𝑇𝑖(𝑉 ) = 𝑉 ⊗ 𝑉 ⊗ . . . ⊗ 𝑉 (𝑖 fatores).
Seja 𝑇 (𝑉 ) a soma direta das potências tensoriais de 𝑉 ,
𝑇(𝑉 ) = ⨁︁
𝑖∈Z>0
𝑇𝑖(𝑉 ).
Cada elemento de 𝑇 (𝑉 ) é uma soma finita de elementos de 𝑇𝑖(𝑉 ). Podemos definir uma função 𝑇𝑚(𝑉 ) × 𝑇𝑛(𝑉 ) → 𝑇𝑚+𝑛(𝑉 ) por
((𝑥1⊗ . . . ⊗ 𝑥𝑚), (𝑦1⊗ . . . ⊗ 𝑦𝑛)) = 𝑥1⊗ . . . ⊗ 𝑥𝑚⊗ 𝑦1⊗ . . . ⊗ 𝑦𝑛
para 𝑥𝑖, 𝑦𝑗 ∈ 𝑉. Estendendo esta função linearmente, obtemos um produto em 𝑇 (𝑉 ) e, assim, 𝑇 (𝑉 ) se torna uma álgebra associativa com unidade chamada de álgebra tensorial de 𝑉 .
Definição 1.1.23. Dada uma álgebra de Lie g, considere a álgebra tensorial 𝑇 (g) e seja
𝐽 o ideal gerado pelos elementos
𝑥 ⊗ 𝑦 − 𝑦 ⊗ 𝑥 −[𝑥, 𝑦], para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g.
A álgebra universal envelopante de g é o quociente
𝑈(g) = 𝑇(g) 𝐽 .
Exemplo 1.1.24. Seja a uma álgebra de Lie abeliana de dimensão 𝑛 e fixe uma base de
a {𝑥1, . . . , 𝑥𝑛}. Como [𝑥𝑖, 𝑥𝑗] = 0 para todos os 𝑖, 𝑗, o ideal 𝐽 é gerado pelos elementos
𝑥𝑦 − 𝑦𝑥 para 𝑥, 𝑦 ∈ a. Assim, 𝑈(a) é isomorfa à álgebra de polinômios C[𝑥1, . . . , 𝑥𝑛]. Seja 𝑖 : a → 𝑈(a) a transformação linear dada pela composição das funções canônicas
a−→ 𝑇∼ 1(a) ˓→ 𝑇 (a) 𝑈(a).
Note que, como 𝑖([𝑥, 𝑦]) = 𝑖(𝑥)𝑖(𝑦) − 𝑖(𝑦)𝑖(𝑥), 𝑖 é um homomorfismo de álgebras de Lie.
Proposição 1.1.25. Seja g uma álgebra de Lie. A álgebra universal envelopante 𝑈(g)
satisfaz a seguinte propriedade universal: dada uma álgebra associativa com unidade 𝐴, considere 𝐴 como uma álgebra de Lie com o colchete dado pelo comutador, então, dado um homomorfismo de álgebras de Lie 𝜙 : g → 𝐴, existe único homomorfismo de álgebras
𝜓 : 𝑈(g) → 𝐴 tal que o seguinte diagrama comuta
g 𝑈(g)
𝐴
𝑖
𝜙 𝜓
Além disso, o par (𝑈(g), 𝑖) é único a menos de isomorfismo.
Seja 𝜌 : g → gl(𝑉 ) uma representação de g. Pela propriedade universal, existe uma única representação 𝜌′ : 𝑈(g) → gl(𝑉 ) tal que 𝜌′ ∘ 𝑖 = 𝜌. Reciprocamente, dada uma
representação 𝜌 : 𝑈(g) → gl(𝑉 ) de 𝑈(g), existe única representação 𝜌′ : g → gl(𝑉 ) de
g tal que 𝜌 ∘ 𝑖 = 𝜌′. Portanto, existe uma correspondência bijetiva entre g-módulos e
𝑈(g)-módulos.
O teorema a seguir descreve uma base para a álgebra universal envelopante 𝑈(g).
Teorema 1.1.26. (Poincaré-Birkhoff-Witt) Seja g uma álgebra de Lie com base
{𝑥𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼}. Fixe uma relação de ordem total em 𝐼. Então, os elementos
𝑥𝑟1 𝑖1𝑥 𝑟2 𝑖2 . . . 𝑥 𝑟𝑚 𝑖𝑚,
com 𝑚 ∈ Z≥0, 𝑖𝑘 ∈ 𝐼, 𝑖1 < 𝑖2 < · · · < 𝑖𝑚 e 𝑟𝑖 ∈ Z>0 para 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑚, formam uma base de 𝑈(g).
Corolário 1.1.27. A função 𝑖 : g → 𝑈(g) é injetiva. Assim, podemos identificar g com
uma subálgebra de 𝑈(g) e escrever g ⊆ 𝑈(g).
Corolário 1.1.28. Se g1 e g2 são álgebras de Lie e g = g1 ⊕ g2 como espaço vetoriais,
então 𝑈(g) ∼= 𝑈(g1)⊗𝑈(g2) como espaços vetoriais. Em particular, se h é uma subálgebra
de g, então 𝑈(h) é subálgebra de 𝑈(g).
Seja 𝑋 = {𝑥𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} um conjunto parametrizado por 𝐼. Defina 𝐹 (𝑋) como o conjunto de todas as somas finitas da forma
∑︁
𝑘≥0
∑︁
(𝑖1,...,𝑖𝑘)∈𝐼𝑘
𝑎𝑖1,...,𝑖𝑘𝑥𝑖1. . . 𝑥𝑖𝑘,
com 𝑎𝑖1,...,𝑖𝑘 ∈ C. Se definirmos adição de maneira óbvia e multiplicação por concatenação
em 𝐹 (𝑋), obtemos um álgebra associativa com unidade que também denotaremos por
Definição 1.1.29. Considere 𝐹 (𝑋) como uma álgebra de Lie com colchete dado pelo
comutador. Defina a subálgebra de Lie de 𝐹 (𝑋) gerada por 𝑋, 𝐹 𝐿(𝑋), como a interseção de todas as subálgebras de Lie de 𝐹 (𝑋) que contém 𝑋. 𝐹 𝐿(𝑋) é chamada de álgebra de
Lie livre sobre 𝑋.
Por definição, 𝑋 ⊆ 𝐹 𝐿(𝑋). Escreva 𝑖 : 𝑋 → 𝐹 𝐿(𝑋) para a inclusão. Temos a seguinte propriedade universal:
Proposição 1.1.30. Seja 𝜃 : 𝑋 → g uma função de 𝑋 numa álgebra de Lie g. Então,
existe único homomorfismo de álgebras de Lie 𝜙 : 𝐹 𝐿(𝑋) → g tal que o seguinte diagrama comuta.
𝑋 𝐹 𝐿(𝑋)
g 𝑖
𝜃 𝜙
Proposição 1.1.31. A álgebra universal envelopante 𝑈(𝐹 𝐿(𝑋)) é isomorfa a 𝐹 (𝑋). Definição 1.1.32. Seja 𝑋 = {𝑥𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} e 𝑅 = {𝑟𝑗 : 𝑗 ∈ 𝐽} ⊆ 𝐹 𝐿(𝑋). A álgebra de Lie
dada por geradores 𝑥𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, e relações 𝑟𝑗 = 0, 𝑗 ∈ 𝐽, é o quociente de 𝐹 𝐿(𝑋) pelo ideal gerado por 𝑅, que denotaremos por 𝐹 𝐿(𝑋, 𝑅).
Proposição 1.1.33. Nas condições da definição anterior, se 𝑅′ ⊂ 𝑅, então 𝐹 𝐿(𝑋, 𝑅) é um quociente de 𝐹 𝐿(𝑋, 𝑅′).
Definição 1.1.34. Seja g uma álgebra de Lie sobre C. O 𝑈(g)-módulo 𝑉 dado por
geradores 𝑣𝑖 ∈ 𝐼 e relações 𝑟𝑗𝑣𝑖 = 0, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟𝑗 ∈ 𝑈(g), é o quociente de 𝑈(g)⊕|𝐼| pelo ideal à esquerda gerado por {𝑟𝑗 ∈ 𝑈(g) : 𝑗 ∈ 𝐽}. Com esta notação, 𝑣𝑖 representa o elemento de 𝑈(g)⊕|𝐼| com 1 na 𝑖-ésima coordenada e 0 nas demais.
Proposição 1.1.35. Nas condições da definição anterior, se 𝑉′é um 𝑈(g)-módulo gerado
por 𝑣𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, tal que valem as relações 𝑟𝑗𝑣𝑖 = 0, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, então 𝑉′ é um quociente de
𝑉.
1.2
Álgebras de Lie semissimples
Nesta seção apresentaremos as condições para uma álgebra de Lie ser semissimples e as classificaremos. Todas as ágebras de Lie consideradas serão de dimensão finita.
Teorema 1.2.1.(Lie) Sejam g uma álgebra de Lie nilpotente de dimensão finita e 𝑉 um
g-módulo de dimensão finita indecomponível. Então, existem funcionais lineares 𝜆1, . . . , 𝜆𝑛 e uma base de 𝑉 de forma que a matriz da ação de todo 𝑥 em 𝑉 é da forma
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝜆1(𝑥) · * · 0 · 𝜆𝑛(𝑥) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
Teorema 1.2.2. Sejam g uma álgebra de Lie nilpotente de dimensão finita e 𝑉 um
g-módulo de dimensão finita. Para cada funcional linear 𝜆 de g defina
𝑉𝜆 = {𝑣 ∈ 𝑉 : para cada 𝑥 ∈ g existe 𝑛 ≥ 1 tal que (𝑥 − 𝜆(𝑥)𝐼𝑑𝑉)𝑛𝑣 = 0}. Então, cada 𝑉𝜆 é um g-submódulo de 𝑉 e
𝑉 = ⨁︁
𝜆∈g*
𝑉𝜆. (1.2.1)
Definição 1.2.3. Seja h uma subálgebra de uma álgebra de Lie g. Defina o normalizador
de h em gpor
𝑁g(h) = {𝑥 ∈ g : [ℎ, 𝑥] ∈ h, para todo ℎ ∈ h}.
Definição 1.2.4. Uma subálgebra de Cartan de g é uma subálgebra h de g nilpotente tal
que 𝑁g(h) = h.
Dado 𝑥 ∈ g, considere a transformação linear ad(𝑥) : g → g. Seja g0,𝑥= {𝑦 ∈ g : existe 𝑛 tal que (ad(𝑥))𝑛𝑦= 0}
o autoespaço generalizado de ad(𝑥) com autovalor 0. Se dim(g0,𝑥) = min{dim(g0,𝑦) : 𝑦 ∈
g}, o elemento 𝑥 é dito regular.
Teorema 1.2.5. Seja 𝑥 um elemento regular de g. Então, g0,𝑥 é uma subálgebra de
Cartan de g. Além disso, se h é uma subálgebra de Cartan de g, existe um elemento regular 𝑥 ∈ g tal que h = g0,𝑥.
Teorema 1.2.6. Se h1 e h2 são duas subálgebras de Cartan de g, então existe um
auto-morfismo 𝜙 : g → g tal que 𝜙(h1) = h2.
Definição 1.2.7. O posto de g é a dimensão de suas subálgebras de Cartan. Definição 1.2.8. Defina uma forma bilinear
g× g: → C (𝑥, 𝑦) ↦→ ⟨𝑥, 𝑦⟩ por
⟨𝑥, 𝑦⟩= 𝑡𝑟(𝑎𝑑(𝑥)𝑎𝑑(𝑦)), chamada de forma de Killing.
A forma de Killing é simétrica e invariante, ou seja, ⟨[𝑥, 𝑦], 𝑧⟩ = ⟨𝑥, [𝑦, 𝑧]⟩.
Proposição 1.2.9. Seja i um ideal de g. Então, a forma de Killing de g restrita a i é a
forma de Killing de i, ou seja, para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ i ⟨𝑥, 𝑦⟩g = ⟨𝑥, 𝑦⟩i.
Dado um subespaço m de g, defina m⊥ por
m⊥= {𝑥 ∈ g : ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 0 para todo 𝑦 ∈ m}.
A forma de Killing é dita não-degenerada se g⊥ = {0} ou, equivalentemente, se ⟨𝑥, 𝑦⟩ =
0 para todo 𝑦 ∈ g, então 𝑥 = 0.
Proposição 1.2.10. Se a forma de Killing de g é identicamente nula, então g é solúvel. Teorema 1.2.11. São equivalentes:
1. A forma de Killing de g é não-degenerada; 2. g é semissimples;
3. g é isomorfa a uma soma direta de álgebras de Lie simples.
Seja g uma álgebra de Lie e h uma subálgebra de Cartan de g. Considere g como um h-módulo com ação dada pela representação adjunta de h em g. Como h é nilpotente, pelo Teorema 1.2.2, temos a decomposição:
g= ⨁︁ 𝜆∈h*
g𝜆.
Proposição 1.2.12. g0 = h.
Os funcionais lineares 𝜆 de h tais que 𝜆 ̸= 0 e g𝜆 ̸= 0 são chamados de raízes de g com respeito a h. Denote por Φ o conjunto de todas as raízes de g. Assim,
g= h ⊕ ⎛ ⎝ ⨁︁ 𝛼∈Φ g𝛼 ⎞ ⎠.
Esta decomposição é chamada de decomposição de Cartan de g com respeito a h e g𝛼 é chamado de espaço de raíz de g.
Proposição 1.2.13. Sejam 𝜆, 𝜇 funcionais lineares em h*. Então, [g
𝜆, g𝜇] ⊆ g𝜆+𝜇
Corolário 1.2.14. Sejam 𝛼 e 𝛽 raízes de g com respeito a h. Então,
[g𝛼, g𝛽] ⊂ g𝛼+𝛽 se 𝛼 + 𝛽 ∈ Φ; [g𝛼, g𝛽] ⊂ h se 𝛽 = −𝛼;
[g𝛼, g𝛽] = 0 se 𝛼 + 𝛽 ̸= 0 e 𝛼 + 𝛽 ̸∈ Φ.
Para álgebras de Lie semissimples, a decomposição de Cartan possui propriedades adicionais e a forma de Killing será uma importante ferramenta no desenvolvimento da teoria por ser não-degenerada.
Teorema 1.2.15. Dada uma álgebra de Lie semissimples g, seja h uma subálgebra de
Cartan de g e seja Φ o sistema de raízes de g com respeito a h. Então, 1. A restrição da forma de Killing de g a h é não-degenerada;
2. [h, h] = 0, ou seja, h é abeliana;
3. g𝛼 é ortogonal a g𝛽 com relação à forma de Killing de g para todas as raízes 𝛼, 𝛽 ∈ Φ tais que 𝛼 ̸= −𝛽;
4. dim(g𝛼) = 1 para toda 𝛼 ∈ Φ;
5. Se 𝛼 ∈ Φ, entaõ 𝑐𝛼 ∈ Φ se e somente se 𝑐 = ±1; 6. Φ gera h*.
Note que, embora a restrição da forma de Killing de g a h seja não-degenerada, a forma de Killing de h é degenerada, pois h não é semissimples. Este fato não contraria a Proposição 1.2.9, pois h não é um ideal de g.
Como a restrição da forma de Killing de g a h é não-degenerada, ela induz um isomor-fismo entre h → h* dado por:
ℎ ↦→ ℎ*
ℎ*(𝑥) = ⟨ℎ, 𝑥⟩, para todo 𝑥 ∈ h. (1.2.2)
Fixe um sistema de raízes Φ de g, fixando uma subálgebra de Cartan h. Para cada raiz 𝛼 ∈ Φ, defina ℎ′
𝛼 ∈ h por
𝛼(𝑥) = ⟨ℎ′𝛼, 𝑥⟩, para todo 𝑥 ∈ h.
Note que, como Φ gera h*, os elementos ℎ′
𝛼, com 𝛼 ∈ Φ, geram h.
Podemos definir uma forma bilinear em Φ e, consequentemente, em h*, que também
denotaremos por ⟨·, ·⟩, dada por
⟨𝛼, 𝛽⟩= ⟨ℎ′𝛼, ℎ′𝛽⟩= 𝛼(ℎ′𝛽) = 𝛽(ℎ′𝛼), para todas 𝛼, 𝛽 ∈ Φ.
Proposição 1.2.16. Seja 𝛼 ∈ Φ.
1. ⟨ℎ′
𝛼, ℎ′𝛼⟩= ⟨𝛼, 𝛼⟩ > 0 para toda 𝛼 ∈ Φ;
2. Sejam 𝑥 ∈ g𝛼 e 𝑦 ∈ g−𝛼. Então, [𝑥, 𝑦] = ⟨𝑥, 𝑦⟩ℎ′𝛼.
3. Para cada 𝛼 ∈ Φ, defina ℎ𝛼 = 2ℎ ′
𝛼
⟨𝛼,𝛼⟩. Seja 𝑥𝛼 ∈ g𝛼, então existe único 𝑦𝛼 ∈ g−𝛼 tal
que [𝑥𝛼, 𝑦𝛼] = ℎ𝛼. Além disso, {𝑥𝛼, 𝑦𝛼, ℎ𝛼} gera uma subálgebra de Lie isomorfa a sl2 via 𝑥𝛼↦→ (︃ 0 1 0 0 )︃ 𝑦𝛼 ↦→ (︃ 0 0 1 0 )︃ ℎ𝛼 ↦→ (︃ 1 0 0 −1 )︃ .
Seja 𝑟 o posto de g. Então, podemos escolher {𝛼1, . . . , 𝛼𝑟} ⊂Φ tais que os elementos
ℎ′𝛼1, . . . , ℎ′𝛼𝑟 formem uma base de h.
Dadas 𝛼, 𝛽 ∈ Φ, defina 𝜎𝛼(𝛽) = 𝛽 − 2⟨𝛽,𝛼⟩⟨𝛼,𝛼⟩𝛼.
Proposição 1.2.17. 1. ⟨ℎ′
2. Dada 𝛼 ∈ Φ, ℎ′ 𝛼 = ∑︀𝑟 𝑖=1𝑎𝑖ℎ′𝛼𝑖, onde cada 𝑎𝑖 ∈ Q. 3. 2⟨𝛽,𝛼⟩ ⟨𝛼,𝛼⟩ ∈ Z, para todas as 𝛼, 𝛽 ∈ Φ; 4. 𝜎𝛼(𝛽) ∈ Φ, para todas as 𝛼, 𝛽 ∈ Φ.
Denote por hQ o espaço gerado pelos elementos ℎ ′
𝛼1, . . . , ℎ
′
𝛼𝑟 sobre Q e por hRo espaço
gerado pelos elementos ℎ′
𝛼1, . . . , ℎ
′
𝛼𝑟 sobre R. Pela proposição anterior, estes espaços não
dependem da escolha da base ℎ′
𝛼𝑖.
Proposição 1.2.18. Seja 𝑥 ∈ hR. Então, ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ R, ⟨𝑥, 𝑥⟩ ≥ 0 e se ⟨𝑥, 𝑥⟩ = 0, então
𝑥= 0.
A Proposição 1.2.18 nos diz que a forma de Killing restrita a hR é uma forma bilinear
simétrica positiva definida. Assim, o espaço vetorial hR com esta forma bilinear é um
espaço euclidiano.
Denote por h*
R a imagem de hR pelo isomorfismo em (1.2.2) dado por ℎ
*(𝑥) = ⟨ℎ, 𝑥⟩.
Podemos definir uma forma bilinear positiva definida em h* R por
⟨ℎ*1, ℎ*2⟩= ⟨ℎ1, ℎ2⟩ ∈ R.
Temos então que h*
R com esta forma bilinear é um espaço euclidiano contendo o
con-junto Φ.
Denote por 𝑉 um espaço euclidiano e ⟨·, ·⟩ seu produto interno.
Para cada vetor 𝛼 não-nulo de 𝑉 , denote por 𝜎𝛼 a reflexão em relação ao hiperplano ortogonal a 𝛼, 𝑃𝛼= {𝛽 ∈ 𝑉 : ⟨𝛽, 𝛼⟩ = 0}, ou seja,
𝜎𝛼(𝛽) = 𝛽 − 2⟨𝛽, 𝛼⟩
⟨𝛼, 𝛼⟩ 𝛼, para todo 𝛽 ∈ 𝑉. Note que 𝜎𝛼 é ortogonal.
Definição 1.2.19. Um subconjunto Φ de 𝑉 é um sistema de raízes se:
1. Φ é finito, gera 𝑉 e 0 ̸∈ Φ;
2. Se 𝛼 ∈ Φ, os únicos múltiplos de 𝛼 em Φ são 𝛼 e −𝛼; 3. Se 𝛼 ∈ Φ, então 𝜎𝛼 deixa Φ invariante;
4. Se 𝛼, 𝛽 ∈ Φ, então ⟨𝛼, 𝛽⟩ ∈ Z.
Proposição 1.2.20. Sejam Φ1 e Φ2 dois sistemas de raízes de 𝑉 . Então, existe um
automorfismo 𝜑 : 𝑉 → 𝑉 tal que 𝜑(Φ1) = Φ2.
Definição 1.2.21. Um subconjunto Δ de Φ é dito uma base se:
1. Δ é base de 𝑉 ;
2. Cada raiz 𝛽 pode ser escrita como 𝛽 = ∑︁
𝛼∈Δ
𝑘𝛼𝛼, com 𝑘𝛼∈ Z≥0 para toda 𝛼 ∈ Δ (𝛽
As raízes em Δ são ditas simples.
Denote por Φ+ o conjunto de todas as raízes positivas e por Φ− o conjunto das raízes
negativas. É fácil ver que Φ+ e Φ− são disjuntos, Φ+= −Φ− e Φ = Φ+∪Φ−.
Teorema 1.2.22. Seja Φ um sistema de raízes de 𝑉 , então Φ possui uma base.
A cardinalidade de Δ é o posto de Φ. Se 𝛽 = ∑︁
𝛼∈Δ
𝑘𝛼𝛼, defina a altura de 𝛽 por ht𝛽 = ∑︁
𝛼∈Δ
𝑘𝛼.
Definição 1.2.23. O grupo gerado pelas reflexões 𝜎𝛼, 𝛼 ∈Φ, é chamado grupo de Weyl de Φ e será denotado por 𝒲.
Proposição 1.2.24. Seja Δ uma base de Φ. Então:
1. Se Δ′ é outra base de Φ, existe 𝜎 ∈ 𝒲 tal que 𝜎(Δ) = Δ′;
2. Se 𝛼 ∈ Φ, existe 𝜎 ∈ 𝒲 tal que 𝜎(𝛼) ∈ Δ; 3. 𝒲 é gerado por 𝜎𝛼, 𝛼 ∈Δ;
4. Se 𝜎 ∈ 𝒲 é tal que 𝜎(Δ) = Δ, então 𝜎 = 1.
Definição 1.2.25. Fixe uma base ordenada Δ = {𝛼1, . . . , 𝛼𝑟} para Φ e escreva 𝜎𝑖 para
𝜎𝛼𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑟, as reflexões 𝜎𝑖 serão chamadas de reflexões simples. Defina o
compri-mento 𝑙(𝑤) de 𝑤 ∈ 𝒲 como o menor número 𝑘 tal que 𝑤 é escrito como um produto de 𝑘 reflexões simples, defina 𝑙(1) = 0. Uma expressão de 𝑤 ∈ 𝒲 com 𝑙(𝑤) reflexões simples
é chamada de expressão reduzida de 𝑤. Defina 𝑛(𝑤) como o número de raízes positivas
𝛼 ∈Φ+ tais que 𝑤(𝛼) ∈ Φ−.
Temos, então, a seguinte proposição:
Proposição 1.2.26. Seja 𝒲 o grupo de Weyl de Φ. Então:
1. 𝑙(𝑤) = 𝑛(𝑤) para todo 𝑤 ∈ 𝒲;
2. O comprimento máximo de qualquer elemento de 𝒲 é |Φ+|;
3. 𝒲 possui um único elemento 𝑤0 com 𝑙(𝑤0) = |Φ+|;
4. 𝑤0(Φ+) = Φ−;
5. 𝑤2 0 = 1.
Sejam 𝑤, 𝑣 ∈ 𝒲. Se toda expressão reduzida de 𝑤 contém uma subexpressão que é uma expressão reduzida para 𝑣, escreva 𝑣 ≤ 𝑤. Isto define uma ordem parcial em 𝒲 chamada de ordem de Bruhat.
A estrutura do sistema de raízes pode ser codificada em uma matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟 chamada matriz de Cartan, onde 𝑐𝑖𝑗 = 2⟨𝛼𝑖,𝛼𝑗
⟩
⟨𝛼𝑖,𝛼𝑖⟩, 𝑖= 1, . . . , 𝑟.
1. 𝑐𝑖𝑖= 2 para 𝑖 = 1, . . . , 𝑟;
2. 𝑐𝑖𝑗 ∈ {0, −1, −2, −3} para 𝑖 = 1, . . . , 𝑟 e 𝑖 ̸= 𝑗; 3. Se 𝑐𝑖𝑗 = −2 ou −3, então 𝑐𝑗𝑖 = −1;
4. 𝑐𝑖𝑗 = 0 se e somente se 𝑐𝑗𝑖 = 0.
Alterar a ordenação da base Δ de Φ pode alterar a matriz de Cartan. Entretanto, exceto por uma reordenação da base, a matriz de Cartan é única.
Para classificar as matrizes de Cartan utilizaremos um grafo chamado diagrama de
Dynkin.
Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟 uma matriz de Cartan. O diagrama de Dynkin de 𝐶 é composto por
𝑟 vértices numerados de 1 a 𝑟. Se 𝑖 ̸= 𝑗, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 arestas. Caso 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 seja maior que 1, então, pela Proposição 1.2.27, |𝑐𝑖𝑗|>1 ou |𝑐𝑗𝑖|>1. Se |𝑐𝑖𝑗|>1, uma flecha apontando para o vértice 𝑖 é adicionada e, se |𝑐𝑗𝑖|>1, uma flecha apontando para o vértice 𝑗 é adcionada.
Exemplo 1.2.28. Considere a matriz de Cartan (︃
2 −1 −3 2
)︃
.
Então, o diagrama de 𝐶 é composto por dois vértices ligados por 3 arestas. Como 𝑐12𝑐21=
3 e |𝑐21|= 3 > 1, uma flecha é adicionada apontando para o vértice 2. Explicitamente, 1 2
Note que entre dois vértices podem existir 0, 1, 2 ou 3 arestas. Assim, o diagrama de Dynkin não necessariamente será conexo, mas será uma união de componentes conexas.
Se o diagrama de Dynkin de um sistema de raízes Φ é conexo, Φ é dito irredutível. Caso contrário, Φ é redutível.
Proposição 1.2.29. Seja 𝑉 um espaço euclidiano e Φ um sistema de raízes em 𝑉 . Então,
existem subespaços 𝑉𝑖 de 𝑉 dois a dois ortogonais tais que 𝑉 =⨁︀𝑖𝑉𝑖 e Φ = ⨁︀𝑖Φ𝑖, onde Φ𝑖 é um sistema de raízes irredutível de 𝑉𝑖 para todo 𝑖.
Como todo diagrama de Dynkin é a união de suas componentes conexas, basta classi-ficar os sistemas de raízes irredutíveis.
Teorema 1.2.30. Seja Φ um sistema de raízes irredutível. Então, o diagrama de Dynkin
de Φ é um dos seguintes: 𝐴𝑟, 𝑟 ≥ 1 1 2 3 4 𝑟 − 1 𝑟 𝐵𝑟, 𝑟 ≥2 1 2 3 𝑟−2 𝑟−1 𝑟 𝐶𝑟, 𝑟 ≥ 3 1 2 3 𝑟−2 𝑟−1 𝑟
𝐷𝑟, 𝑟 ≥ 4 1 2 3 𝑟−3 𝑟−2 𝑟−1 𝑟 𝐸6 1 2 3 4 5 6 𝐸7 1 2 3 4 5 6 7 𝐸8 1 2 3 4 5 6 7 8 𝐹4 1 2 3 4 𝐺2 1 2
Teorema 1.2.31. 1. Para cada diagrama de Dynkin descrito no Teorema anterior
existe um sistema de raízes com o dado diagrama;
2. Se Φ1 e Φ2 são sistemas de raízes isomorfos, então Φ1 e Φ2 possuem o mesmo
diagrama de Dynkin.
Seja g uma álgebra de Lie semissimples. Lembre que a subálgebra h*
R é um espaço
euclidiano e note que um sistema de raízes de h*
R é um sistema de raízes pela definição da
seção anterior. Um sistema de raízes de uma álgebra de Lie g é um sistema de raízes do espaço h*
R.
Proposição 1.2.32. A matriz de Cartan de g depende apenas da ordenação das raízes
simples. Ela é independente da escolha da subálgebra de Cartan e da base do sistema de raízes.
Assim, como cada álgebra de Lie g possui um único sistema de raízes a menos de isomorfismo, podemos utilizar o que foi desenvolvido na seção anterior para classificar as álgebras de Lie semissimples.
O diagrama de Dynkin de uma álgebra de Lie g é o diagrama de um sistema de raízes do espaço h*
R.
Teorema 1.2.33. Seja g uma álgebra de Lie semissimples.
1. O diagrama de Dynkin de g é conexo se e somente se g é simples;
2. g = g1∪ . . . ∪ g𝑛 onde cada 𝑔𝑖, 𝑖= 1, . . . , 𝑛, é simples se e somente se o diagrama de Dynkin é a união dos diagramas correspondentes a 𝑔𝑖, 𝑖= 1, . . . , 𝑛;
3. Quaisquer duas álgebras de Lie com o mesmo diagrama de Dynkin são isomorfas. O Teorema de Serre mostra que, dado um diagrama de Dynkin, existe uma álgebra de Lie com o dado diagrama, completando a classificação.
Teorema 1.2.34. (Serre) Seja Φ um sistema de raízes, Δ = {𝛼1, . . . , 𝛼𝑟} uma base de Φ e matriz de Cartan 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟. Considere a álgebra de Lie g sobre C gerada pelos elementos 𝑥+
1. [ℎ𝑖, ℎ𝑗] = 0, para todos 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟; 2. [𝑥+ 𝑖 , 𝑥 − 𝑗 ] = 𝛿𝑖𝑗ℎ𝑖, para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟; 3. [ℎ𝑖, 𝑥±𝑗 ] = ±𝑐𝑖𝑗𝑥±𝑗 , para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟; 4. (𝑎𝑑(𝑥± 𝑖 ))1−𝑐𝑖𝑗(𝑥 ± 𝑗) = 0, para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟, 𝑖 ̸= 𝑗.
Então, g é uma álgebra de Lie semissimples de dimensão finita e a subálgebra h, gerada pelos elementos ℎ𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑟, é uma subálgebra de Cartan com sistema de raízes isomorfo a Φ.
Diremos que uma álgebra de Lie g é de tipo 𝑇 ∈ {𝐴𝑟, 𝐵𝑟, 𝐶𝑟, 𝐷𝑟, 𝐸6, 𝐸7, 𝐸8, 𝐹4, 𝐺2}se
o diagrama de Dynkin de g for de tipo 𝑇 .
Exemplo 1.2.35. Álgebras clássicas:
1. A álgebra sl𝑟+1 = {𝑥 ∈ gl𝑟+1 : tr(𝑥) = 0} é de tipo 𝐴𝑟, 𝑟 ≥1.
2. A álgebra so2𝑟+1 = {𝑥 ∈ gl𝑟+1 : 𝑥 + 𝑥𝑡 = 0}, onde 𝑥𝑡 é a transposta de 𝑥, é de tipo
𝐵𝑟, 𝑟 ≥2. 3. A álgebra sp𝑟 = {𝑥 ∈ gl2𝑟 : 𝑥𝑎 + 𝑎𝑥𝑡 = 0}, onde 𝑎= (︃ 0𝑛×𝑛 −𝐼𝑛×𝑛 𝐼𝑛×𝑛 0𝑛×𝑛 )︃ é de tipo 𝐶𝑟, 𝑟 ≥3. 4. A álgebra so2𝑟 é de tipo 𝐷𝑟, 𝑟 ≥4.
1.3
Álgebras de Kac-Moody
1.3.1
Matrizes de Cartan Generalizadas e Diagramas de Dynkin
Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟 uma matriz e 𝐼 = {1, . . . , 𝑟}. 𝐶 é dita indecomponível se, para qualquer escolha de subconjuntos disjuntos não-vazios 𝐼1 e 𝐼2 de 𝐼 tais que 𝐼1 ∪ 𝐼2 = 𝐼,
existem 𝑖 ∈ 𝐼1 e 𝑗 ∈ 𝐼2 com 𝑐𝑖𝑗 ̸= 0. Caso contrário, 𝐶 é dita decomponível.
Definição 1.3.1. 𝐶 é dita uma matriz de Cartan generalizada se:
1. 𝑐𝑖𝑗 ∈ Z, para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟;
2. 𝑐𝑖𝑖= 2 e 𝑐𝑖𝑗 ≤0, para todos os 𝑖 ̸= 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟;
3. 𝑐𝑖𝑗 = 0 se e somente se 𝑐𝑗𝑖 = 0 para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟. Além disso, 𝐶 é dita simetrizável se:
Se 𝐶 é simetrizável, podemos escolher os inteiros 𝑠𝑖 todos relativamente primos. As-suma que os 𝑠𝑖 são sempre escolhidos desta forma.
Seja 𝑣 um vetor de R𝑟. Diremos que 𝑣 ≥ 0, se 𝑣
𝑖 ≥ 0 para todo 𝑖 = 1, . . . , 𝑟, e 𝑣 > 0, se 𝑣𝑖 >0 para todo 𝑖 = 1, . . . , 𝑟.
Definição 1.3.2. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada 𝑟 × 𝑟. Então:
1. 𝐶 é de tipo finito se: (a) 𝑑𝑒𝑡(𝐶) ̸= 0;
(b) existe 𝑣 > 0, tal que 𝐶𝑣 ≥ 0; (c) 𝐶𝑣 ≥ 0 implica 𝑣 > 0 ou 𝑣 = 0. 2. 𝐶 é de tipo afim se:
(a) 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜(𝐶) = 𝑟 − 1;
(b) existe 𝑣 > 0 tal que 𝐶𝑣 = 0; (c) 𝐶𝑣 ≥ 0 implica 𝐶𝑣 = 0. 3. 𝐶 é de tipo indefinido se:
(a) existe 𝑣 > 0 tal que 𝐶𝑣 < 0; (b) 𝐶𝑣 ≥ 0 e 𝑣 ≥ 0 implicam 𝑣 = 0.
Teorema 1.3.3. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada indecomponível. Então,
exatamente uma das seguintes possibilidades é verdadeira: 1. 𝐶 é de tipo finito;
2. 𝐶 é de tipo afim; 3. 𝐶 é de tipo indefinido.
Além disso, a matriz 𝐶 e sua transposta 𝐶𝑡 possuem o mesmo tipo.
Corolário 1.3.4. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada. Então:
1. 𝐶 possui tipo finito se e somente se existe 𝑣 ∈ R𝑟, 𝑣 >0, tal que 𝐶𝑣 > 0; 2. 𝐶 possui tipo afim se e somente se existe 𝑣 ∈ R𝑟, 𝑣 >0, tal que 𝐶𝑣 = 0; 3. 𝐶 possui tipo indefinido se e somente se existe 𝑣 ∈ R𝑟, 𝑣 >0, tal que 𝐶𝑣 < 0.
Seja 𝐼′ um subconjunto não-vazio de 𝐼 = {1, . . . , 𝑟}. A matriz 𝐶
𝐼′ = (𝑐𝑖𝑗), 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼′ é um menor principal de 𝐶. Se 𝐼′ é um subconjunto próprio, 𝐶
𝐼′ é um menor principal
próprio.
Teorema 1.3.5. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada. Então:
1. 𝐶 possui tipo finito se e somente se todos os seus menores principais têm determi-nante positivo;
2. 𝐶 possui tipo afim se e somente se 𝑑𝑒𝑡(𝐶) = 0 e todos os seus menores principais próprios têm determinante positivo;
3. 𝐶 é de tipo indefinido se e somente se 𝐶 tem um menor principal negativo.
Teorema 1.3.6. Uma matriz de Cartan generalizada 𝐶 é de tipo finito se e somente se
𝐶 é uma matriz de Cartan segundo a proposição 1.2.27.
Usaremos novamente os diagramas de Dynkin para classificar as matrizes de Cartan generalizadas. Para isso, estenderemos a definição dos diagramas de Dynkin para o caso das matrizes de Cartan generalizadas como se segue.
Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟 uma matriz de Cartan generalizada. O diagrama de Dynkin de 𝐶 é composto por 𝑟 vértices numerados de 1 a 𝑟 ligados dois a dois por um número de arestas que vão de 0 a 4 dependendo das seguintes condições:
1. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 0, os vértices 𝑖 e 𝑗 não são ligados;
2. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 1, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por uma aresta;
3. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 2, 𝑐𝑖𝑗 = −1, 𝑐𝑗𝑖 = −2, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por duas arestas e uma seta apontando para o vértice 𝑗 é adicionada;
4. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 3, 𝑐𝑖𝑗 = −1, 𝑐𝑗𝑖 = −3, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por três arestas e uma seta apontando para o vértice 𝑗 é adicionada;
5. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 4, 𝑐𝑖𝑗 = −1, 𝑐𝑗𝑖 = −4, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por quatro arestas e uma seta apontando para o vértice 𝑗 é adicionada;
6. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 4, 𝑐𝑖𝑗 = −2, 𝑐𝑗𝑖 = −2, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por duas arestas e duas setas, uma apontando para o vértice 𝑖 e outra para 𝑗, são adicionadas;
7. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 ≥ 5, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por uma aresta e os números |𝑐𝑖𝑗| e |𝑐𝑗𝑖| são adicionados sobre a aresta.
Assim, uma matriz de Cartan é completamente determinada por seu diagrama de Dynkin. É fácil ver que o diagrama de Dynkin de uma matriz de Cartan generalizada 𝐶 é conexo se e somente se 𝐶 é indecomponível.
Assuma que 𝐶 é uma matriz de Cartan generalizada simetrizável indecomponível. Para o caso das matrizes de Cartan generalizadas de tipo afim temos o seguinte teo-rema:
Teorema 1.3.7. Uma matriz de Cartan generalizada 𝐶 é de tipo afim se e somente se
seu diagrama de Dynkin é um dos seguintes: Não Torcidas: 𝐴(1)1 0 1 𝐴(1) 𝑟 , 𝑟 ≥2 1 2 𝑟 − 1 𝑟 0
𝐵𝑟(1), 𝑟 ≥2 1 2 3 𝑟−2 𝑟−1 𝑟 0 𝐶(1) 𝑟 , 𝑟 ≥3 0 1 2 𝑟−2 𝑟−1 𝑟 𝐷(1) 𝑟 , 𝑟 ≥ 1 1 2 3 𝑟−3 𝑟−2 𝑟−1 0 𝑟 𝐸6(1) 1 2 3 4 5 6 0 𝐸7(1) 0 1 2 3 4 5 6 7 𝐸8(1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 𝐹4(1) 0 1 2 3 4 𝐺(1)2 0 1 2 Torcidas: 𝐴(2)2 0 1 𝐴(2)2𝑟, 𝑟 ≥2 0 1 2 𝑟−2 𝑟−1 𝑟 𝐴(2)2𝑟−1, 𝑟 ≥3 1 2 3 𝑟−2 𝑟−1 𝑟 0 𝐷𝑟+1(2) , 𝑟 ≥ 2 0 1 2 𝑟−2 𝑟−1 𝑟 𝐸6(2) 0 1 2 3 4 𝐷(2)4 0 1 2
Definição 1.3.8. Seja 𝑟 o posto de 𝐶 e 𝐼′ ⊆ 𝐼 tal que |𝐼′|= 𝑟 e 𝐶
𝐼′ é invertível. A álgebra
de Kac-Moody g= g(𝐶) é a álgebra de Lie dada pelos geradores 𝑥±𝑖 , ℎ𝑖, 𝑑𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, 𝑗 ̸∈ 𝐼′, satisfazendo as relações: [ℎ𝑖, ℎ𝑗] = 0, [𝑥+𝑖 , 𝑥 − 𝑗] = 𝛿𝑖𝑗ℎ𝑖, [ℎ𝑖, 𝑥±𝑗 ] = ±𝑐𝑖𝑗𝑥±𝑗 para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, ad(𝑥± 𝑖 ) 1−𝑐𝑖𝑗(𝑥± 𝑗 ) = 0, para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, 𝑖 ̸= 𝑗, [𝑑𝑖, 𝑑𝑗] = 0, [ℎ𝑖, 𝑑𝑗] = 0, [𝑑𝑗, 𝑥±𝑖 ] = ±𝛿𝑖𝑗𝑥±𝑖 , para todos os 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ 𝐼, 𝑗, 𝑘 ̸∈ 𝐼 ′ . Os geradores 𝑥±
𝑖 , ℎ𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, são chamados de geradores de Chevalley ou Chevalley-Kac e as relações são chamadas de relações de Serre ou Chevalley-Serre.
Denote por d a subálgebra de g gerada por 𝑑𝑗, 𝑗 ∈ 𝐼 ∖ 𝐼′, por h′ a subálgebra gerada por
ℎ𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼,e por n+ e n− as subálgebras geradas por 𝑥+𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 e 𝑥
−
𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼, respectivamente. Defina h = h′⊕ d.
Note que a álgebra derivada g′ = [g, g] de g é a subálgebra gerada por 𝑥±
𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 e, assim, g/g′ ∼= d. Em particular, se 𝐶 for invertível, g = g′.
Proposição 1.3.9. A álgebra de Kac-Moody g admite a seguinte decomposição em soma
direta de espaços vetoriais:
g= n+⊕ h ⊕ n−.
Dado um subconjunto 𝐽 de 𝐼, denote por g𝐽 a subálgebra gerada pelos elementos
𝑥±𝑗, 𝑗 ∈ 𝐽. Assim, a g𝐽 é isomorfa à álgebra derivada g(𝐽)′ de g(𝐽), onde g(𝐽) é a álgebra de Kac-Moody associada à matriz 𝐶𝐽. Em particular, se |𝐽|= 1, 𝐶𝐽 = (2) e a álgebra g𝐽 = g𝑖 é isomorfa a sl2.
Proposição 1.3.10. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada simetrizável
indecompo-nível e g = g(𝐶).
1. 𝐶 é de tipo finito se e somente se g é de dimensão finita. Neste caso, g é simples. 2. 𝐶 é de tipo afim se e somente se g𝐽 é de dimensão finita para todos os subconjuntos
próprios 𝐽 de 𝐼.
Daí, 𝐶 é de tipo finito se e somente se 𝐶 é uma matriz de Cartan segundo a Proposição 1.2.27, e assim, todos os menores principais de 𝐶 são positivos. 𝐶 é de tipo afim se e somente se 𝐶 não é invertível e todos os menores principais próprios de 𝐶 são positivos.
1.3.2
Raízes de uma álgebra de Kac-Moody
Nesta seção seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝐼 uma matriz de Cartan generalizada simetrizável indecom-ponível com os inteiros 𝑠𝑖 relativamente primos e seja g = g(𝐶) a álgebra de Kac-Moody associada.
Proposição 1.3.11. Existe uma única forma bilinear simétrica invariante (·, ·) em g
satisfazendo: (ℎ𝑖, ℎ𝑗) = 𝑐𝑖𝑗 𝑠𝑗 , (𝑥+𝑖 , 𝑥−𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗 𝑠𝑗 , (𝑥±𝑖 , 𝑥±𝑗 ) = 0, (ℎ𝑖, 𝑥±𝑗 ) = 0, para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, (𝑑𝑗, 𝑑𝑘) = 0, (𝑑𝑗, 𝑥±𝑖 ) = 0, (ℎ𝑖, 𝑑𝑗) = 𝛿𝑖𝑗 𝑠𝑗 , para todos os 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ 𝐼, 𝑗, 𝑘 ̸∈ 𝐼′.
Além disso, (·, ·) é não-degenerada e sua restrição a h é também não-degenerada.
Observação 1.3.12. Se 𝐼 ̸= 𝐼′, a restrição de (·, ·) a g′ é degenerada. Note que a matriz
da restrição de (·, ·) a h′ em relação à base {ℎ
𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼} é 𝐶𝑆−1 e, então, a restrição de (·, ·) a h′ é não-degenerada se e somente se 𝐶 é invertível.
No caso em que g tem dimensão finita, (·, ·) é um múltiplo escalar da forma de Killing ⟨·, ·⟩ definida em 1.2.8. Por abuso de terminologia nos referiremos a ambas como forma de Killing de g preservando a diferença de notação.
Veremos que a álgebra de Kac-Moody admite uma decomposição similar ao caso das álgebras de Lie semissimples. Entretanto, o conceito de sistema de raízes para uma álgebra de Kac-Moody em geral precisa de algumas modificações, uma vez que não é mais finito. Uma das diferenças mais fundamentais é que o sistema de raízes de uma álgebra de Kac-Moody contém todos os múltiplos inteiros das chamadas raízes imaginárias, que definiremos posteriormente.
De maneira análoga ao caso semissimples. Dado 𝛼 ∈ h*, seja
g𝛼 = {𝑥 ∈ g : [ℎ, 𝑥] = 𝛼(ℎ)𝑥 para todo ℎ ∈ h}. Temos que
[g𝛼, g𝛽] ⊆ g𝛼+𝛽 para todos os 𝛼, 𝛽 ∈ h*.
Proposição 1.3.13. Dado 𝑖 ∈ 𝐼, existe um único 𝛼𝑖 ∈ h* tal que 𝛼𝑖(ℎ𝑗) = 𝑐𝑗𝑖 e 𝛼𝑖(𝑑𝑗) =
𝛿𝑖𝑗. Além disso, {𝛼𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} é linearmente independente e [ℎ, 𝑥±𝑖 ] = ±𝛼𝑖(ℎ)𝑥±𝑖 para todo
𝑖 ∈ 𝐼, ℎ ∈ h.
Note que g±𝛼𝑖 é gerado por 𝑥
±
𝑖 para todo 𝑖 ∈ 𝐼
Definição 1.3.14. Os elementos não nulos 𝛼 ∈ h* tais que g𝛼 ̸= 0 são chamados de raízes de g e, neste caso, g𝛼 é o espaço de raiz associado. O conjunto de todas as raízes de g é denotado por Φ. As raízes 𝛼𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼 são chamadas de raízes simples. O reticulado de raízes
𝑄 é o subgrupo de h* gerado pelas raízes simples. Seja 𝑄+ o correspondente monoide.
Assim, os elementos de Φ+ = Φ ∩ 𝑄+ são chamados de raízes positivas e os de −Φ+, de
raízes negativas.
Defina uma ordem parcial em h* por
𝜆 ≤ 𝜇 se e somente se 𝜇 − 𝜆 ∈ 𝑄+. (1.3.1)
Proposição 1.3.15. Se g é de tipo finito, existe uma única raiz maximal 𝜃 com respeito
à ordem parcial de h*, definida em (1.3.1).
Definição 1.3.16. Dado 𝑖 ∈ 𝐼, o único elemento 𝜔𝑖 ∈ h* satisfazendo 𝜔𝑖(ℎ𝑗) = 𝛿𝑖𝑗 e
𝜔𝑖(𝑑𝑘) = 0 para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, 𝑘 ∈ 𝐼 ∖ 𝐼′ é chamado de 𝑖-ésimo peso fundamental de g. O reticulado de pesos de g é o subgrupo 𝑃 de h* gerado pelos pesos fundamentais. Seja 𝑃+ o correspondente submonoide de h*. Os elementos de 𝑃 são chamados de pesos
integrais e os de 𝑃+, de pesos integrais dominantes.
Proposição 1.3.17. Sejam g uma álgebra de Kac-Moody, Φ e 𝑄 seu conjunto e reticulado
de raízes, repectivamente. Então: 1. Φ ⊆ 𝑄;
2. Φ = Φ+∪ −Φ+;
3. g0 = h, g𝛼 tem dimensão finita para todo 𝛼 ∈ Φ e n± = ⨁︁
𝛼∈Φ+ g±𝛼.
Como a restrição de (·, ·) a h é não-degenerada, existe um único isomorfismo h* → h
𝜆 ↦→ 𝑡𝜆,
onde 𝑡𝜆 é o único elemento de h tal que (𝑡𝜆, ℎ) = 𝜆(ℎ) para todo ℎ ∈ h. Defina uma forma bilinear simétrica em h* por (𝜆, 𝜇) = (𝑡
𝜆, 𝑡𝜇) para todos os 𝜆, 𝜇 ∈ h*. Note que
(𝜆, 𝜇) = (𝑡𝜆, 𝑡𝜇) = 𝜆(𝑡𝜇) = 𝜇(𝑡𝜆), para todos 𝜆, 𝜇 ∈ h*, e que (𝜆, 𝜆) ̸= 0 para todo 𝜆 ∈ h*∖ {0}.
Dado 𝜆 ∈ h* não nulo, defina
𝜆∨ = 2𝑡𝜆
(𝜆, 𝜆). (1.3.2)
Novamente, da mesma forma que no caso semissimples, defina 𝜎𝑖 ∈ 𝐴𝑢𝑡h * C, 𝑖 ∈ 𝐼 por 𝜎𝑖(𝜆) = 𝜆 − 𝜆(ℎ𝑖)𝛼𝑖 = 𝜆 − 2 (𝜆, 𝛼𝑖) (𝛼𝑖, 𝛼𝑖) 𝛼𝑖.
Os elementos 𝜎𝑖 também serão chamados de reflexões simples e satisfazem 𝜎2𝑖 = 1,
𝜎𝑖(𝜆) = 𝜆, se (𝜆, 𝛼𝑖) = 0, e 𝜎𝑖(𝛼𝑖) = −𝛼𝑖.
O grupo 𝒲 gerado pelas reflexões simples também será chamado de grupo de Weyl e a definição de comprimento é a mesma de 1.2.25.
Definição 1.3.18. Sejam Φ o conjunto de raízes e 𝒲 o grupo de Weyl de g e sejam
𝛼𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, as raízes simples. Uma raiz 𝜆 ∈ Φ é uma raiz real se e somente se existem
𝑤 ∈ 𝒲 e uma raiz simples 𝛼𝑖 tal que 𝜆 = 𝑤𝛼𝑖. O conjunto de todas as raízes reais será denotado por Φ𝑅. As raízes que não são reais são chamadas de imaginárias e o conjunto das raízes imaginárias será denotado por Φ𝐼𝑚.
Proposição 1.3.19. Para toda raiz 𝛼 ∈ Φ e 𝑤 ∈ 𝒲 temos dim(𝑔𝛼) = dim(𝑔𝑤𝛼). Em particular, se 𝛼 é uma raiz real, dim(𝑔𝛼) = 1 e a subálgebra de g gerada pelos espaços g±𝛼 é isomorfa a sl2.
Proposição 1.3.20. São equivalentes:
1. 𝒲 é finito; 2. Φ é finito; 3. dim(g) é finita;
4. Φ𝑅 = Φ, ou seja, todas as raízes são reais.
Se g é de tipo finito, temos algumas propriedades adicionais.
Proposição 1.3.21. Seja 𝜆 ∈ 𝑃+ e defina wt(𝜆) = {𝑤(𝜇) : 𝑤 ∈ 𝒲, 𝜇 ∈ 𝑃+, 𝜇 ≤ 𝜆}.
1. 𝑤(𝜆) ≤ 𝜆 para todo 𝑤 ∈ 𝒲. Em particular, 𝜈 ≤ 𝜆 para todo 𝜈 ∈ wt(𝜆); 2. Para todo 𝜆 ∈ 𝑃+, wt(𝜆) é um conjunto finito, 𝑤
0(𝜆) ≤ 𝜇 para todo 𝜇 ∈ wt(𝜆) e
𝑤0(𝜆) ∈ −𝑃+;
3. Se 𝑖 ∈ 𝐼 e 𝑤 ∈ 𝒲 são tais que 𝑙(𝜎𝑖𝑤) = 𝑙(𝑤)+1, então 𝑤−(𝛼𝑖) ∈ Φ+. Em particular,
𝑤(𝜆) + 𝛼𝑖 ̸∈wt(𝜆).
1.3.3
Realização das álgebras de Kac-Moody afins não torcidas
Nesta seção apresentaremos uma realização das álgebras de Kac-Moody afins não torcidas. Utilizaremos no processo as álgebras de laços, que desempenham um papel fundamental no desenvolvimento da teoria de representações de dimensão finita de g′.
Dada uma álgebra de Lie a e uma álgebra associativa 𝐴, o espaço vetorial a ⊗ 𝐴 pode ser equipado com uma estrutura de álgebra de Lie definindo o colchete por
[𝑥 ⊗ 𝑎, 𝑦 ⊗ 𝑏] = [𝑥, 𝑦] ⊗ 𝑎𝑏, para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ a, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴.
Note que a = {𝑥 ⊗ 1 : 𝑥 ∈ a} é uma subálgebra de a ⊗ 𝐴 isomorfa a a. Assim, consideraremos a como subálgebra de a ⊗ 𝐴 e continuaremos denotando 𝑥 ∈ a por 𝑥 no lugar de 𝑥 ⊗ 1.
Se 𝐴 = C[𝑡, 𝑡−1], a álgebra de Lie a ⊗ 𝐴 é chamada de álgebra de laços de a. Se
𝐴 = C[𝑡], a álgebra de Lie a ⊗ 𝐴 é chamada de álgebra de correntes de a. Denotaremos
por ˜a a álgebra de laços de a e por a[𝑡] a álgebra de correntes de a.
Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝐼 uma matriz de Cartan indecomponível, g = g(𝐶) a álgebra de Lie de dimensão finita simples correspondente e seja ˜g a álgebra de laços de g.
Considere o espaço vetorial ^g′ = ˜g × C e denote por 𝑐 o elemento (0, 1). Assim,
podemos escrever ^g′ = ˜g ⊕ C𝑐.
Proposição 1.3.22. Existe uma única estrutura de álgebra de Lie em ^g′ tal que 𝑐 é
central ([˜g, 𝑐] = 0) e [𝑥 ⊗ 𝑡𝑟
, 𝑦 ⊗ 𝑡𝑠] = [𝑥, 𝑦] ⊗ 𝑡𝑟+𝑠+ 𝑟𝛿𝑟,−𝑠(𝑥, 𝑦)𝑐 para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g, 𝑟, 𝑠 ∈ Z. Podemos estender a Z-graduação em ˜g a ^g′ definindo o grau de 𝑐 como 0.
Considere agora o espaço vetorial ^g = ^g′
× C e denote por 𝑑 o elemento (0, 1). Assim, podemos escrever ^g = ^g′
⊕ C𝑑.
Proposição 1.3.23. Existe uma única estrutura de álgebra de Lie em ^g tal que ^g′× {0}
é um ideal isomorfo a ^g′ e 𝑑 age como operador de grau em ^g′, ou seja, [𝑑, 𝑥] = 𝑟𝑥 para
todo 𝑥 no 𝑟-ésimo subespaço graduado de ^g′.
Novamente, podemos estender a Z-graduação em ^g′ a ^g definindo o grau de 𝑑 como 0.
Defina ^h′ = h ⊕ C𝑐 e ^h = ^h′
⊕ C𝑑.
Seja 𝜃 a raiz maximal de g definida em 1.3.15 e escolha 𝑥±
𝜃 ∈ g±𝜃 tal que [𝑥+ 𝜃, 𝑥 − 𝜃] = 𝜃 ∨ . Defina 𝑥± 0 = 𝑥 ∓ 𝜃 ⊗ 𝑡±1, ℎ0 = [𝑥+0, 𝑥 − 0].
Note que ℎ0 = [𝑥−𝜃 ⊗ 𝑡, 𝑥 + 𝜃 ⊗ 𝑡 −1] = [𝑥− 𝜃, 𝑥 + 𝜃] + (𝑥 + 𝜃, 𝑥 − 𝜃)𝑐 = 2𝑐 (𝜃, 𝜃)− 𝜃 ∨ .
Seja Φ o conjunto de raízes de g e considere o reticulado de raízes 𝑄 de g como um subconjunto de ^h* estendendo 𝛼
𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼,a um elemento de ^h* definindo 𝛼𝑖(𝑐) =
𝛼𝑖(𝑑) = 0. Seja 𝛿 o único elemento de ^h* tal que 𝛿(^h′) = 0 e 𝛿(𝑑) = 1 e defina 𝛼0 = 𝛿 − 𝜃.
Dado 𝜆 ∈ ^h*, sejam ^g𝜆 = {𝑥 ∈ ^g : [ℎ, 𝑥] = 𝜆(ℎ)𝑥, para todo ℎ ∈ ^h} e ^Φ = {𝛼 ∈ ^h* : ^g 𝛼 ̸= 0} ∖ {0}. Temos que ^g0 = ^h, ^g𝑘𝛿 = h ⊗ 𝑡𝑘 e ^g𝛼+𝑚𝛿 = g𝛼⊗ 𝑡𝑚 para todos os 𝑘, 𝑚 ∈ Z, 𝑘 ̸= 0, 𝛼 ∈ Φ. Além disso, ^Φ = {𝛼 + 𝑘𝛿 : 𝛼 ∈ Φ, 𝑘 ∈ Z} ∪ {𝑘𝛿 : 𝑘 ∈ Z ∖ {0}} e ^g = ⨁︁ 𝛼∈ ^Φ ^g𝛼.
Iremos agora construir uma matriz de Cartan generalizada a partir de uma matriz de Cartan.
Definição 1.3.24. Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝐼 uma matriz de Cartan. Considere ^𝐼 = 𝐼 ∪{0} e defina a matriz de Cartan estendida ^𝐶= (^𝑐𝑖𝑗)𝐼^por
^𝑐00= 2, ^𝑐0𝑗 = −𝛼𝑗(𝜃 ∨ ) = −2(𝛼𝑗, 𝜃) (𝜃, 𝜃) , ^𝑐𝑖0= −𝜃(ℎ𝑖) = −2(𝛼 𝑖, 𝜃) (𝛼𝑖, 𝛼𝑖) e ^𝑐𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼.
Proposição 1.3.25. Se 𝐶 é uma matriz de Cartan de tipo 𝑇 , então a matriz de Cartan
estendida ^𝐶 é uma matriz de Cartan generalizada de tipo afim não torcida 𝑇(1).
Teorema 1.3.26. A álgebra de Lie ^g é isomorfa à álgebra de Kac-Moody associada à
matriz de Cartan generalizada ^𝐶 e toda matriz de Cartan generalizada de tipo afim não
torcida é uma matriz estendida de uma matriz de Cartan.
O conjunto {𝛼 + 𝑘𝛿 : 𝛼 ∈ Φ, 𝑘 ∈ Z} é o conjunto das raízes reais e {𝑘𝛿 : 𝑘 ∈ Z ∖ {0}} é o conjunto das raízes imaginárias de ^g.
Capítulo 2
Representações de álgebras de
Kac-Moody
Neste capítulo apresentaremos as definições e resultados básicos acerca da teoria de representações de álgebras de Kac-Moody de tipos finito e afim. As demonstrações serão omitidas e podem ser encontradas em [1, 2, 5, 6, 4, 14, 16, 17]. Começaremos com algumas definições que são comuns a ambos os casos.
2.1
Módulos de peso
Sejam g uma álgebra de Kac-Moody, h uma subálgebra de Cartan e Φ o respectivo sistema de raízes.
Definição 2.1.1. Seja 𝑉 um g-módulo. Dado 𝜆 ∈ h* defina
𝑉𝜆 = {𝑣 ∈ 𝑉 : ℎ𝑣 = 𝜆(ℎ)𝑣 para todo ℎ ∈ h}.
Se 𝑉𝜆 ̸= {0}, 𝜆 é chamado de peso de 𝑉 e 𝑉𝜆 de espaço de peso de 𝑉 . Denote por wt(𝑉 ) o conjunto de todos os pesos de 𝑉 .
A multiplicidade de 𝜆 em 𝑉 é o valor de 𝑑𝑖𝑚(𝑉𝜆).
Note que a multiplicidade de um peso 𝜆 pode ser 0 ou até mesmo ∞ e que, se 𝛼 ∈ Φ, temos que g𝛼𝑉𝜆 ⊆ 𝑉𝜆+𝛼.
Escreva 𝑉′ =⨁︀
𝜆∈h𝑉𝜆. Se h age de maneira semissimples em 𝑉 , ou seja, se 𝑉 = 𝑉′,
𝑉 é chamado de um módulo de peso.
Se 𝑣 é um vetor de 𝑉𝜆, defina os peso de 𝑣 por wt(𝑣) = 𝜆. Se 𝑉1, 𝑉2 são módulos de peso e 𝜆 ∈ ^h*, temos que
(𝑉1⊕ 𝑉2)𝜆 = (𝑉1)𝜆⊕(𝑉2)𝜆, (𝑉1⊗ 𝑉2)𝜆 =
⨁︁
𝜇∈^h*
(𝑉1)𝜇⊗(𝑉2)𝜆−𝜇.
Definição 2.1.2. Seja 𝑉 um g-módulo. Um vetor não nulo 𝑣 de 𝑉 é dito um vetor de
