Cálculo automático do efeito de vento em estruturas de edifício

DE EDIFÍCIO

HlMBERI'O LIMA SORIANO

'IESE SUBMETIDA AO CORPO OOCENTE DA CXX>RDENAÇÃO Da:, PRCGPJ\MI\S !E PÓS-GRADUAÇPD DE ENGENHARIA lll\ UNIVERSilll\DE FEDERAL IX> RIO DE JANEIRO, a:MO PARI'E Da:l FEQUISI'IDS NE<ESSÂRIC6 PARA A

OB-'IENÇÃO IX> GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIA (M.Sc.)

Aprovada por:

Presidente

R[O DE JANEIRO

ESTAIX> DA GUANABARA - BRASIL JlNHO DE 1971

CÃI.CUID AUI'CMÂTim DO EFEITO DE VEN'ID EM ESTRUl'URAS !E EDIFÍCIO

Trabalho apresentado por

*

HOffiERro LIMA SORIANO

Às

m

Jornadas Sul-J\mericanas de Engenharia Estrutural

a)PPE - UFRJ NOVEMBOO - 1971

*

Engenheiro Civil, U.F,M.G. - M.Eng., a)PPE, 1971

Professor Assistente da Coordenação dos Programas de PÓs-Gra'duação de Engenharia.

ro

professor Fernando Luiz L. B. Carneiro, pela

o-rientação e incentivo.

ro

professor Alberto Passos

s.

'llliago e demais

pro-fessores

da

Escola

de

Engenharia da U.F.M.G., cujos ensinamentos

induzi-ram-rre ao presente

trabalho.

ro

professor Alberto Luiz Coimbra caro Coordenador

'

SINOPSE

O presente trabalho objetiva o desenvolvimento teórico e a

apresentação de um programa autanátioo para o

cálculo

de estruturas carre gadas laterahnente.

A estrutura

é

idealizada oano un oonji.mto de painéis orto-gonais interagindo en suas interseções verticais através das lajes

supos-tas cano diafragmas. são desprezados os efeitos de interação dos

manen-tos fletores e de torção, ben cano as rigidezes transversais dos painéis.

f

apresentada a montagen da matriz de rigidez de painel. A

oanbinação

conveniente das matrizes dos diversos painéis fornece a

ma-triz de rigidez en faixa da estrutura tridimensional. Faz-se a análise

da estrutura carregada calculando-se a distribuição dos esforços nos

pai-néis. cada painel é analisado isoladamente calculando-se as

ações

nas ex trernidades de rnanbro.

O desenvolvimento teárioo é feito en fo=a matricial visan

do a una programação cx:rn um gasto

rrúnimo

de menôria. O programa é desen-volvido en um canputador m1 1130 can 32 k de manória interna.

f

apre5e!l tado um fluxograma simplificado do meero cem explicações que facilite a

sua oanpreensao. Finalmente, a teoria é aplicada na análise de algunas estruturas.

ABSTRACT

The scope of the present paper is the theoretical analysis of

spacial frarres uncler lateral loading (wind load) and the preparation of a canputer program for evaluating the displacerrents and the intemal forces of

the structural meubers.

The structural rrodel can be described as two groups of mutually orthogonal plane frêllles interacting with eac:h other through the action of a horizontal rigid slab. At the intersection of these plane frames the

interaction bebleen bending and twisting rnc:nents are disregarded in this paper and transversal stiffness of the plane frêllles as well.

The stiffness rnatrix of each plane frame is deduoed. The

stiffness rnatrices of the different plane frarres are arranged conveniently and in suc:h a way that the stiffness rnatrix of the spacial skeleton is of

the banded type. The analysis is carried further by investigating the contribution of each plane frarre to support the total lateral load. Next

the plane frarres are analysed separately.

The matricial analysis scherne is used for the investigation of the redundant forces and the =nputer program is designe in order to

optirnize storage apace in the cx:rnputer rnernory units. An IBM 1130 cx:rnputer with 32k rnem:,ry units was used. A carented flow chart for the afore rnentioned

program is presented.

!NDICE

...

1

CAP1Tuw I - IDEIILIZAÇÍio ESTRUI'URAL

1.1 Painéis

...

6 1.2 - I..a.jes ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 9

1.3 Carre;rarnerlt:o •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 9

1.4 Flmcionarnento da estrutura •••••••••••••••••••••••••• 10 1. 5 - Pilares-parede intera:mectando

~--··· ... .

.

-.

12 · CAP1Tuw II - ~ GERAIS DA ESl'RUl'URA E DE SEUS

m+-2.1 Sistana de referência global ••••••••••••••••••••.••. 14 2.2 Nuneração dos paineis ••••••••••••••••••••••••••••••••

.

-.

14

2.3 Deslocamentos da estrutura 15

2.4 - Numeração dos membros e nós dos painéis •••••••••••••• 17

CAPlTuJ:.o III - ELEMEm'O VIGA E COLUNA

3.1 Graus de liberdade 21

3.2 Ma.triz de rigidez de rnanbro ••••••••••••••••••••••••• 23 3.3 - Matriz de rigidez de viga cx:m trechos rígidos an suas

eJCt:r'anidades • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 27

CAP1Tur.o J.V - PAINEL

4.2 - Matriz de rigidez de painel •••.•••••..•.•..••.••..•• 4.3 - Matriz de rigidez reduzida .••••••••••••••••••••••••• 4.4 - ConsideraçÕes sâbre os elenentos cx,luna ... . 4 5 • - Lista de l.IlC1u.t::,uCJ..a . .,,::,__ . do S }?a.Jllel.S • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• . -.

CAP1Tur.o V - ESTRUl'URA

5 • 1 - Ce11t:to de i:.ol:'çao • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 5.2 - Matriz de

transfonnação

do painel •.••••.•••••.•••••• 5. 3 - Vetores de carga da estru"blra ....•...•... 5.4 - Matriz de rigidez da estrutura •••••••••••••••••••••• 5.5 - Análise dos painéis ••••.••••.••••••.••••••••.•••••.•

CAP1Tur.o VI - DIAGRI\Ml\S DE BUXnS SIMPLIFICI\OOS

6.1 - ~ adot:adas ••...•...••••...•...•••.• 6. 2 - Considerações gerais acêrca da

estruturação

da pr0'-é

grarnaçaõ aut:aná.tica. ....•...•...•....•... 6.3 - PL(ajLdl.Ua principal - VENI'O ••••••••••••••••••••••••••

6.4 - SUbrotina TRANS (matriz de transfonnação de painel) •• 6. 5 - Subrotina RIGID (matriz de rigidez de painel) .••...• 6. 6 - Subrotina REDUZ (matriz de rigidez reduzida de

pai-nel) •••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••.••• 6. 7 .,. Sub=tina RIEST (matriz de rigidez da estrutura) ••••

6. 8 - SUbrotina DIPIO (vetores de carga e deslocamentos da

estrutura) ~• •• •;.• •~;.;,.;, • •• ;; ;; •• ~.:. •• •••~~~~ •••••••••.

6. 9 - Sub=tina DESPA ( análise de painel) •••••••••••••••••

37 42 46 47 48 49 51 52 54 56 57 59 62 65 69 71 72 73

CAPÍTUID VII - PRCX;AAMAÇÃO AlJIOll\TICA EM LINGUI\GEM FORI'RAN 7.1 Listagan do programa

7. 2 - Conclusões acêrca da eficiência do programa ••••••••••

APOOICE

A B

Notações utilizadas no desenvolvimento teórico

Manual de utilização do programa

...

e -

Exat;>los de análise de estrutura

...

~ BIDLicx:;R1\F'ICAS ••••••••••••••••••••••••••••••••• 75 99 104 106 113 141

INTRODUÇÃO

A análise dos efeitos de vento em Estrutura de F.difÍcio

tem sido objeto de estudos desde o início do cálculo estrutural. A concep-ção de estruturas cada vez mais esbeltas e a propria exigência dos te!nfx:>s modernos de cálculos exatos,

têm

levado os pesquisadores a fonnularem as mais diversas hipÓteses e métodos de cálculo.

Antes do advento do canputador, os calculistas esbarra-vam na illq:ossibilidade de resolver sistemas de equaçÕes cem grande numero ~ de inOÓgnitas e eram levados a concepçÕes e cálculos bastante simplifica-dos.

can a recente possibilidade da manipulação de um grande número de dados por processos canputacionais, o calculista libertou-se da enfadonha tarefa de efetuar longas e trabalhosas operações. Nêste sentido, os métodos matriciais de análise de estruturas reticuladas foram amplamente desenvolvidos por una particular adaptabilidade no uso de canputadores.

o pesquisador pÔde, assim, dedicar-se a ooncepçoes e hi pÓteses que mais de perto traduzisse o canportamento real das estruturas.

As Estruturas de Edifício embcra possam ser

oonsidera-das reticuladas, devan ser incluídas em uma categoria especial devido a presença das lajes, que são oorp:,s rígidos conectados dentro das mesmas.

A anâlise real do problana se faria considerando a laje

cano um

oorpo

bi-dimensional inserido dentro da estrutura. No entanto, mesmo can o uso dos mais modernos oanputadores, esta anâlise seria por danais trabalhosa. A

concewão usualmente aceita é de oonsiderá-la cx:mo um oorpo infinitamente

rígido em seu plano e de rigidez nula

à

flexão.

A esta idealização

denani-na-se diafragma.

Os autores ll'Odemos têm en a:rnurn a cxmcewão do diafr~

ma, dividindo-se pela foma de oonsiderar a montagem da estrutura, en dois

grupos:

a) A estrutura discretizada en seus diversos quadros, pÓrticos ou elemen-tos verticais e sobrepostas as suas rigidezes para simular o

funciona-mento tridimensional do ron.junto.

b) A estrutura considerada diretamente cx:mo tridimensional, particulari~ da pela introdução dos diafragmas.

Por ordem cronolÓgica destacam-se na primeira

classifi-caçao os seguintes trabalhos:

1)

o

trabalho apresentado por Clough2 aplicável às estruturas de painéis paralelos, posterionnente desenvolvido3 para estruturas de razoável

simetria e de painéis ortogonais entre si. O carregamento é

particula-rizado a não produzir rotação na estrutura, ronsiderando dois

desloca-mentos horizontais de andar, alÊrn das defonnações axiais das oolunas.

2) Os trabalhos de Santos6 e Winokur7 para estruturas assimétricas.

2 - O niínero cx:mo expoente no texto oorresponde a ardem de referência bi-bliográfica.

são CXJ11Siderados três deslocamentos horizontais de andar. Considera-se o efeito de to:rção das oolunas e são desprezadas as suas defonna-ções axiais.

3) O trabalho de Stamato e Stafford Smith1 aplicável a um grande número de estruturas assimétricas. são oonsiderados três deslocamentos

hori-zontais de andar além dos verticais nas interações dos painéis ao ní-vel das diversas lajes.

Na segunda classificação incluan-se:

1) O trabalho de Weaver5aplicável a estruturas aporticadas que nao

te-nham pilares-parede. são oonsiderados os efeitos de todos os deslocamentos de nó e

tôdas

as rigidezes de seus membros, excetuada

é

claro, a defonna-. ção axial das vigas.

2) O metodo apresentado por Gluck ~ - 8 para estruturas assimetricas e ele-~ mentos verticais não necessàriamente prismáticos. são oonsiderados os três deslocamentos horizontais de andar e as rigidezes

ã

to:rção dos ele-mentos verticais.

A análise mais precisa seria obtida desenvolvendo o trabalho de Weaver5 ~la oonsideração do efeito do oortante, pilares-~ de, manbros de seção transversal variável, aberturas em laje, análise

dinâ

mica, etc •. No entanto, a :impossibilidade de análise imediatamente se fa-ria surgir para as limitações dos canputadores de ~quero porte.

A opção do desenvolvimento teórico do presente trabalho, recaiu

na

oanplementação do trabalho de Stamato e Stafford Smithl,

parti-cularizado para estruturas de painéis reticulados e ortogonais entre si. O

referido trabalbo utiliza o

método

dos deslocamentos. Sin,ulariza-se pelo desenvolVllrellto an matriz faixa, que pezmite grande ea:mania an têrnos de

rnatÕria

interna de ccmputad=

e

tanpo de

execução.

A apresentação do presente trabalbo

é

feita an trés etapas: a) Desenvolvimento teórico.

b) Diagramas de blocos e

programação

autanática.

e) Exarplos de aplicação e interpretação dos resultados.

O desenvolVll!lellto teórico objetiva a prcgramação

autmáti-ca • Inicia-se pela idealização da estrutura no capitulo I e nunerações gerais de seus canponentes no capitulo II.

t

feita a m:mtagan da matriz de rigidez do elanento viga e coluna no capitulo I I I e a do

painel

an

TI!. Em seguida, faz-se an V a IOCl[ltagan da matriz de rigidez an faixa

da estrutura, e a o::mplanentar análise dos painéis cx:rn o cálculo das

a-ções

nas extranidades

de

seus manbros.

Os diagramas de blocos

são

apresentados no Capitulo VI e

têm

por finalidade possibilitar a o::mpreensão da

programação

autanática an linguagan FORI'RAN do capitulo VII.

gste programa, ao que se saiba, é o primeiro publicado no Brasil e virá preencher a lacuna ora existente na autanatização do

ca!

culo do efeito de vento an estruturas de edifício. Foi desenvolvido pàra

o canp.itador IBM 1130 de 32K de rrerrória interna. Apesar da eficiência CO!!_

seguida, a sua adaptação a canputadores maiores ou a um

processo.interati-vo, torna-se necessária a fim de resolver os casos das grandes estruturas

correntes da prática.

A seguir, o apêndice apresenta as notações utilizadas

no desenvolvimento teórico, o manual de utilização do programa,

exenplos de

aplicação

do mesmo e conclusões gerais.

cap!

tule I IDEALIZAÇÃO ESTRurURAL

1.1 Painéis.

1.1.1 - Idealização.

A estrutura

ê

suposta constitu!da de pÔrticos planos verticais denaninados painéis, cx::mpostos de elanentos horizontais (vigas) e verticais (colunas ou pilares). fstes painéis são supostos san rigidez transversal e can uma distribuição retangular de seus elanentos cem::>

mos-trado na figura 1.1.a

rigidez= ~

DD

DO

--

= '"

(a) - Painel (b) - Idealizaçao estrutural. r

-Fig- 1.1 - PÓttico plano.

di-versos elementos vigas e colunas can caráter lmidimensional. A êstes

ele-mentos designam-se genericamente manbros .

No caso particular da defoJ:JT1aÇão de pilar-parede a sua

grande largura em relação ao canprimento, provoca nas extremidades das V!_

gas a êle oonectado um deslocamento vertical bem cano um de rotação.

'

Êste fenêxneno

é

representado no painel discretizado ~ pondo o pilar-parede idealizado em seu eixo vertical, e as referidas

vi-gas adicionadas de um canprimento igual a semi-largura do pilar e de rigl

dez infinita. A

êstes

acréscimos indeformâveis de viga denaninam-se

tre-chos rígidos (fig. 1.1.b e 1.2).

I I

,

I I L

. j

,

1 I I

,

. I

,

_I.

I

I

J

·1

I

• 1

I .

~

1

j

I

I

1 I 1 I I

,

-

--

---

-

-I I I I

,

I 1 / r - . ~.

,

I

l / - •

,

,

,

,

I

_{. I}

I I

I ·

I

./

,

--r

I

jl

'

I

/'

I . 1 1 l ~- / ; . ·1v - ... I . I I I 1 I

,

,

I I

,

1 / 1 /

i /

rigidez

=

00 j.1 / ~ .

!'"/rz_..._ ____

,1

. 1

I .

. 1

I .

i

1

Fig. 1.2 - Efeito da defonnação de pilar-parede.

1. 1. 2 - Rigidez dos manbros.

! / 1 .

. I

lj

1/

i 4

li

/'

. 1

I .

. 1

I .

1

f

suposta nula a rigidez

à

torção de todos os membros. As defonnações axiais são consideradas nos elementos oollma e desprezadas nas

vigas. o efeito do cortante poderá ser considerado onde se faça

necessá-rio, e é claro que as defonnações por flexão são consideradas em todos os

membros.

A quebra da regularidade da distribuição retangular das vigas e oolunas pela anissão de alguns membros, pode ser oontomada assu-mindo rigidez nula aos membros anissos. É:ste artifício penni te analisar um

maior número de estruturas pelo presente trabalho.

1.1.3 - Disp:isição em planta

são oonsideradas estruturas de painéis ortogonais entre

si e de eixos principais das seções transversais das colunas ooincidentes o::m os planos dos respectivos painéis (fig. 1.3.a).

Nos casos particulares de pilares-parede interconectan-do painéis (fig. 1.3.b), pode-se fugir

ã

Última restrição. Para tais e s ~ turas o presente trabalho poderá ser aplicado a:m as hip5teses a serem con

sideradas no ite:n 1.5.

(a) Os eixos principais das seçoes transversais das colunas coin-cidem can os planos dos res~ tivos paineis.

A

B

(b) Os pilares-parede A e B

interconectarn os dois pai-néis que lhe são perpendi-culares.

1.2 Lajes.

As lajes sao consideradas <XllO diafragmas de rigidez in

finita em seus planos, e de rigidez nula

à

flexão. são supostas estenderem se continuamente (sem aberturas) interligando e distribuindo esforços ho-riz.ontais pelos diversos painéis.

1.3 carregamento.

1. 3 .1 - Carregamento lateral.

A ação de vento ao longo da estrutura é suposta ooncen-trada ao nível de cada laje em um ponto denaninado Centro de Torção do an-dar. Ein estruturas simétricas êste ponto é coincidente cx:rn a interseção dos eixos de sirretria e em estruturas assimétricas função da rigidez de seus manbros.

fste carregé[llento lateral é canposto nas diversas lajes em duas cargas horizontais cx:rn as direções dos painéis e de um rnooento ter sor (fig. 1.4).

O efeito do rnooento faz-se presente em estruturas assi métricas devido ao posicionamento assimétrico do centro de torção, e em

es-truturas simétricas quando sujeitas a uma pressão lateral não unifoi:me em sua distribuição horizontal.

º2

..---...

"'

1 )n _{' º1} Q3

Fig. 1. 4 - lição de vento no n-éz:i.Iro andar.

1.3.2 - carregamento Vertical

são

consideradas cargas verticais aplicadas ao nfvel das lajes nas interseções dos painéis.

fste carregamento pennite o tratamento de recalques~ ticais de apoio, pela técnica de transfonná-los em ações nas extrenidades de nembro11 • Por êste processo os recalques serão substituidos por cargas verticais concentradas acima dos pilares recalcados.

1.4 Funcionamento da Estrutura. 1.4.1 - Simulação tridimensional.

o fllllcionamento da estrutura cano um todo tridimensio-nal é simulado pela interação dos painéis ao longo de suas interseções verticais, e pela indefonnabilidade das lajes em seus respectivos planos.

são desprezados os efeitos de interação dos marentos fletores e de torção.

Esta interação é conseguida cunbinando-se adequadamente as matrizes de rigidez reduzida dos painéis na obtenção da matriz da e s ~

tura tridimensional.

Por esta idealização as lajes distribuem esforços hori-zontais entre os diversos painéis e êstes transmitem entre si cargas verti cais concentradas ao nf vel das mesnas.

1.4.2 - Deslocamentos

As lajes deslocam-se cxxro corpos r{gidos em seus planos e os pilares sofrem deslocamentos verticais nas interseções dos painéis. A simplificação introduzida é a da liberação das rotações dos nós nos planos dos painéis.

Sendo Na o número de andares e !'._ o de pilares por andar, seriam os seguintes os graus de liberdade ngt para os seguintes casos: a) Estrutura espacial reticulada

b) Estrutura espacial oan diafragmas c) Idem, oan liberações das rotações

dos nós nos planos dos painéis

ngt

=

6.P.Na ngt

=

(3.P + 3)Na

n _gt

=

(P + 3)Na

A presente idealização pennite, pois, a redução de seis deslocamentos por nó em uma estrutura espacial reticulada, para três deslo

carnentos horizontais p:,r andar mais os verticais dos topos das oolunas nas interseções dos painéis.

Esta redução dos deslocamentos aliada ao tratamento

an faixa da matriz de rigidez da estrutura é que pe:rmitirâ a análise an

cx:xnputadores de pequeno p:,rte.

1.5 Pilares-parede interconectando painéis

Una generalização das estruturas a serem analisadas

pelo presente processo é oonseguida deixando de impor a CXJ111patibilidade dos deslocamentos verticais de dete:cminadas interseções de painéis.

EKanplificando, a análise da estrutura esquematizada

an planta na figura 1.3.b poderá ser feita considerando alén das anterio-res as seguintes hip:iteses:

a) Não interação dos painéis de numeração (3) e (4) oom os que lhe sao perpendiculares (1) e (2) (fig. 1.5 .a) •

b) Substituição dos deslocairentos verticais, da estrutura, relativos aos pontos a, b, c e d das interseções dos painéis, pelos deslocamen-tos dos centros de gravidade das seções transversais dos pilares-pare-de (fig. 1.5.b).

(3) (4) (2\ Vento e d ~ b 11\ (a) - Planta 1 l ₁ 9 2 10 3{

1\

1 )n) , 7 8 A 5 6

{b) - Deslocamentos por andar. 4 a 13 - desklcamentos

verticais. Fig. 1. 5 - Exemplo de pilares-parede intercanectando painéis.

Esta idealização equivale a dar liberações*verticais aos pantos a, b, e e d nos painéis (3) e (4) e considerar a rigidez a-xial dos pilares-parede para os painéis (1) e (2).

As Últimas hipÓteses não objetivam o cálculo das

a-ções

nas extremidades das vigas dos painéis (3) e (4) , e sim permitir a

a-nálise dos danais elementos da estrutura.

*

o tênno

liberação,

no presente trabaTho, significa fôrça nula =espon-dente a um detenn:inado deslocamento.

Capítulo II - NU>1ERAQ5ES GERAIS DA ESTRUl'URA E DE SEUS mMPCMNI'ES

2.1 sistana de Referência Global.

Cbnsidera-se a estrutura referida a um sistema de refe-rência triortogcmal direto XYZ, de eixos X e Y paralelos aos planos das

1ajes e a:,incidentes oan as direções dos painéis. Para a origen

Q.

situada

no andar térreo e no canto inferior esquerdo da estrutura em planta,

deno-mina-se êste referencial de Sistana. de Referência Global (fig. 2. l) •

( 4)

(3)

( 5) (6) (7)

(2)

o

(l) - - - ~ X

Fig. 2.1 - Orientação da estrutura (visualização em planta).

2.2 - Numeração dos painéis.

Os painéis paralelos ao eixo dos X são denaninados

Pai-néis Tipo l e os paralelos ao eixo dos Y de Painéis Tipo 2. A numeração

em planta) seguindo-se os de tipo 2 da esquerda para a direita (fig. 2.1).

2.3 Deslocamentos da Estrutura.

Os deslocamentos da estrutura são considerados·

positi-vos quando ooincidentes canos sentidos positipositi-vos do sistema de referência

global.

Sendo as lajes (andares) numeradas de cima para baixo e on o centro de to:rção do n-ézimo andar, seja:

Dnl - deslocamento de On se;rundo o eixo X.

Dn₂ - deslocamento de On segundo o eixo Y.

Dn₃ - rota;:ão de On no plano da n-ézima laje.

0

n4' ºnj , · , , Dn (I + 3) - deslocamentos verticais das

1.

in-terseçães de painéis, a serem oonsideradas ao nível da n-ézirna

Visando a programaçao automática os deslocarrentos

ver-ticais em cada andar são numerados da esquerda para a direita e de baixo ~ ra cima mmia visualização em planta. De fonna análoga faz-se a numeração dos pilares em planta para o fornecimento de suas coordenadas ao programa.

Exanplificanclo para a estrutura da figura 2,1, os

planta na fig. 2,2.b. 0 nl3 0nl4 D ºn10 0_n12 D 0 n3 ºn n 0 n7 ₀ ns 0 n9 0 n4 ₀ ns 0n6

(a) - Deslocamentos do n-éz:i.mo an-dar. JlO J7 JS J4 J5 Jl

(b) - Numeração dos pilares en planta.

Fig. 2.2 - Numeração dos deslocamentos e pilares da estrutura da fig. 2.1.

Seja:

ng -

número·-; dos deslocamentos da estrutura por andar.

Na - número de andares.

ngt - número total dos deslocamentos dos ~ andares da estrutura

ngt

=

Na. ng (2.1)

\ºn \ - matriz-coluna dos ng deslocamentos do n-éz.iroo andar ordenados segundo os parágrafos anteriores.

lo) -

matriz-coluna dos ngt deslocanentos da estrutura, ordenados nos Na vetores { Dn) dos deslocamentos de andar, nl.llle:raébs de cima

para baixo.

(2.3)

2.4 - Nuneração dos membros e nós dos painéis.

2.4.1 - Nuneração por "par ordenado".

Cada nó, viga ou coluna de painel

é

perfeitamente

deter-minado2 por un par ordenado de núne:ros (n,m).

o

primeiro designa o nú-rrero do andar (mmerado de cima para baixo) e o segunéb a linha de colunas

(nurrerada da esquerda para a direita).

A visualização do painel

é

preestabelecida de fonna que o eixo X ou Y que lhe

é

paralelo seja dirigido da esquarda para a direi-ta.

A figura 2.3 exanplifica esta numeração, a qual será

u-tilizada apenas internamente na progranação autanãtica e ten a grande van

tagan de expressar a topologia do painel.

Seja ~ o núnero total de linhas de colunas do painel g~

2 n n+ l Na

,,,

l 2 m mtl M

'

nó~(n,m)

/

ex>luna viga (n,111 (n,m)..-?>

"'

..,

"'

""

,.,, '77 _,.,

""

Fig. 2.3 - Nuneração dos elementos de painel pelo "par-ar-denado. 2.4.2 Numeração Sequencial.

6)

1

~~

2 . 3)

"

'--=- 3

0

4 6 7

8

8 9 2)10 1g>I ';::·

_-·

11 14

Ct

15 :Í2 18 21 [ , ,13 ;

-!~'

'

25 26 27 28

Fig. 2.4 - Ex. de nuneração se quencial dos nós e me:nbros de painel.

Faz-se a numeração dos membros e nós dos painéis da es-querda para a direita e de cima para baixo (fig. 2.4).

O fornecimento dos dados

ã

programação autanática e a listagan dos resultados serão feitos por esta numeração.

2.4.3 - Relacionamento entre as numerações anteriores.

Equação fornecedora do número da viga em função do par ordenado (n,m):

i

=

(M-1) .(n-1) + (n-1) M + m i

=

2.M (n-1) + m-n + 1

[

!!!.

variando de 1 até M-1 e n variando de 1 até Na Idem para o número da ooluna: i

=

(M-1) n + (n-1) M + m i

=

M(2.n-1) + m - n

variando de 1 até M e variando de 1 até Na Idan para o número do no: ~

j

=

(n-1) M + m

(

!!!.

variando de 1 até M e n variando de 1 até Na (2 .4) (2 .5) (2 .6)

O número total de membros é obtido fazendo n

=

Na e

m

=

M na expressão (2.5).

nel

=

M(2.Na - 1) + M - Na

nel

=

2.M.Na - Na (2. 7)

O número total de nós é obtido fazendo n

=

Na e m

=

M na expressao (2.d).

j t

=

(Na - 1) M + M

Número total de colunas:

n

=

M(Na - 1)

e (2 .9)

As relações (2.4) a (2.9) serão úteis na montagem au-tallática da matriz de rigidez de painel e na análise das ações nas extremi-dades de seus membros.

capítulo III - ELEMENro VIGA E COLlNA

3.1 Graus de liberdade.

3.1.1 - Sistema de Referência Local.

A cada rrernbro i define-se um sistana de referência

lo-cal oc:m origem na extranidade

i.

o eixo x coincide oc:m o eixo do membro,

m

orientado de

i

para a outra extremidade ~- Os eixos Ym e zm coincidem

cx:m os dois eixOs principais da

seção

transversal (fig. 3 .1) .

Os planos x -y, e x -z são os

mm mm

planos principais de

flexão.

j

Fig. 3.1 - Sistana de referência de rrernbro.

3.1.2 - Deslocamentos nodais.

Considerando o membro a:m deslocamentos nodais apenas

no plano ~ - Ym' são associados a êle os 6 graus de liberdade numerados na figura 3.2.

r·

j2

fs

-L3--+3'---0J- 4

---l~>mn

j k

Fig. 3.2 - Elemento viga.

Para o elanento roluna ronsidera-se a orientação de

Xin

roincidente cana do eixo

z.

do sistema global (fig. 3.3). Quanto ao el~ mento viga, c0nsidera-se o eixo xm orientado no sentido dos deslocamentos horizontais positivos dos correspondentes painéis (fig. 3,2).

jxm

6 ~ 5

3

Fig. 3.3 - Elemento roluna.

viga não sofrem defonnações axiais. Faz-se, no entanto p:,r simplicidade,

o desenvolvimento teórico das matrizes das vigas e colunas genericamente

para o rresrro número de graus de liberdade.

3.1.3 - Vetor dos deslocarrentos nodais de membro.

Para o membro :!:_ designa-se por \di) a matriz ooluna dos deslocamentos nodais ordenados segundo o Íten 3 .1. 2 •

d\)

(3 .1)

A êstes deslocamentos oorresp:,nden as açoes nas extreni

dades de membro ordenadas no vetor \ qi } .

3.2 Matriz de Rigidez de Membro.

3.2.1 - Coeficiente de Rigidez.

Define-se o coeficiente de rigidez Ri do membro i CC tw

rro a fôrça de restrição na direção !_, quando imprime-se um deslocamento

u-nitário em w mantendo-se todos os danais nulos.

Os coeficientes de rigidez de manbro são encontrados

calculando os valores das ações de restrição necessárias para manter o ~ bro defonnado em equilÍbrio.

3.2.2 - Matriz de Rigidez.

Ao oonjunto dos coeficientes de rigidez de membro orde-nadamente dispostos denanina-se matriz de rigidez de membro.

Para os deslocamentos indicados na figura 3.2 e 3.3 a referência 9 fornece a matriz de rigidez de manb:ro oonsiderado o efeito do oortante. [Ri]=

Sendo:

EA

7

o

12EI ,e.3 (l+q,)

o

6EI R..2 (l+cf>) -EA

o

l

o

-12EI

t

3(l+cj>)

o

(4+cj>) EI R..(l+cj>)

o

-6EI

.1?

(l+cf>) (2-cj>) EI l(l+cj>) simétrica EA

7

o

12EI !3(l+cf>)

o

E - módulo de elasticidade longitudinal A - área da seção transversal

(4+cj>)EI

l (1 +<1> l

l - cx:rnprimento do elemento

I - manento de inércia em relação ao eixo z m

1/> - parâmetro da defonnação por cortante dado pela fÓnnula

-12Eif

lj,

=

GAl2 ( 3 .3)

G - módulo de elasticidade transversal

f - fator que depende da fonna da seção transversal do elemento.

Para os casos usuais da prática são os seguintes11 os valores de f:

D

(a) - Seção retangular _f=s 6

~}

(b) _{- seção retangular vazada f = 2ht} A

(3

(c) - seção circular f = 10 ₉ (3. 5)

o

(d) - seção circular vazada f = 2

~:h

(e) - Seção duplo T _{f =}

h t

A

Chamando

K

=

4EI

T

e

s

=r

AE

a matriz (3.2) reduz-se

ã

fonna seguinte:

s

o

3K 1 ,e_2 • l+<j,

o

_u.

3K _l+<j, 1 _{K. 4 (l+<j,)} 4+4> [Ri]

=

-s

o

o

s

o

-3K 1 -3K 1

o

3K 1 ,e_2 • l+<f,

-.-

_{2l l+<j,} ,e_2. l+<j,

o

_{2l •} 3K _l+<j, 1 K 2-t

₂

_{·2 (l+<f,)}

o

-3K _2.[·1+4> 1 (3 .6) Simétrica (3. 7) 4+<f, K.4(l+<f,)

3.3 Matriz de rigidez de viga can trechos rígidos em suas

extremida-des.

3.3.1 - Dedução dos coeficientes.

Sejam· ~ e !:?_ os respectivos CCI!lprimentos dos tredlos rígidos das extremidades esquerda e direita da viga~ (fig. 3.5).

A rigidez associada a cada deslocamento das

extremida-des de v é obtida pela oondição de equilÍbrio cano a seguir se deduz.

r·

~fc:;E::=::::::::SA~ _ _

v _ _

__;B<===~

-J ki

a

_.e.

_b

Fig. 3.5 - Elemento viga a::rn trechos rígidos an suas extremidades.

Para uma rotação unitária na direção 3 an

i

(fig.3.6), a defonnação do trecho ~ será a =nposição das oonfigurações (a) e (b) da fig. 3. 7. As ações indicadas nas figuras são obtidas dos ooeficientes da matriz (3.2).

_ _ _ _ v

B

J

_k

4EI 4+4>

y·-,-4

(,..;-J.+_4>.,....)

~

1 _ _ _ _

l

:EI

_l_

l

2

1+$ 2EI 2-4> T"""'"2 (,...1 +.,...,$.,..)

( a) - lotação uni târia an

?!·

6Eia 1

~

sl)

12Eia 1 !3 • 1+4> _{12Eia 1} !3 • 1+$ (b) - Deslocanento vertical a an A.

Fig. 3. 7 - Defonriação do trecho AB da fig. 3 .6

Obtan-se o coeficiente

R;3

calculando o m:::mento an

i

devido as açÕes atuantes an A:

~3

=

4EI l 4EI l 4+p 4 (1+$) 4+$ 4(1+$) +

_{--::r .}

6Eia l + 12Eia

l2

(l+a)

_l

1 1+$ _l_ + 12Eia 1 ] 1+$ !3 • 1+$ (3 .8)

~6

=

4EI

l

Por analogia de (3.'8) tan-se:

4+<1> +12Eib 4 (1+<1>)

.e

2 (1 + ~) l 1 1+<1> (3.9)

Pela

oondição

de equilÍbrio na direção

Ym

obtem-se:

~3 6EI = ,e2

L

+ 12Eia l+cj, ,e3 1 12Eia

-

-l+<f,

.e

3 1 l+<f> 1 l+q, ( 3 .10) (3.11)

Por analogia de (3.10) e· (3.11) tân-se respectivamente:

~6 =-6~ . 1 ... 1+<1> ~6 6EI 1

=

2 ·

l l+q, 12Eib ,e3 + 12Eib ,e3 1 1+<1> 1 l+<f, (3.12) (3.13)

O coeficiente R~₃ é obtido calculando o m::rnento em k devido as ações atuantes em

~-2EI

l

2- <f> + 6Eia • ..l.._ _ b

2(1+<1>)

.e

2 1+<1> 2EI . 2-

-q,

+ 6EI (a+b+ 2ab)

l 2 (1+<1>)

.e

2 l 1 l+q, 12Eia ,e3 (3.14)

Para um deslocamento unitário na direção 2 em

i,

a defoE_ mação do trecho AB

é

devida simplesmente a um deslocamento unitário an ~-As ações indicadas na fig. 3. 8 são fornecidas pelos roeficientes da matriz

(3.2). 1½2

=

~2

=

~5

=

3.3.2 j

A

I

~

---

~::-:~-..!B::c===:::::iik 6EI 1

7

1~ 1

I

~

---

fi/;~ .

~

1

Bl

l 1+$ -12EI

7 ·

1 1+$ 1 1+$

Fig. 3.8 - Deslocanento unitário na direção 2 em

i•

Pela rondição de equilÍbrio na direção Ym' obtan-se:

12EI 1

7

1+$

(3.15)

-12EI 1

7 .

1+$ ( 3 .16)

Por analogia de ( 3 .15) tem-se:

12EI 1

7 .

1+$ ( 3 .17)

Montagem da matriz de rigidez.

Os roeficientes fornecidos pelas expressões (3.8) a

(3.17) e os seus simêtriros, obtidos pelo Teorana da Reciprocidade de

Betti-Maxwell, penni tem escrever a matriz de rigidez de viga CXll11 trechos

[ Rv

]=

o

-EA

7

o

7 · 1+$ 6EI

,__!_

+ 12Eia

,__!_

.f.2 1+$ .f.3 1+$

o

12EI 1 - 7·1+$

o

.§g _

__!_

+

~"'..!...

.f.2 1+$ .f.3 1+$ Simétrica· 4EI.4+f _{+ 12Eia(l+a).l:...} .f. 4(1+$)

.e

2

_l

1+$

o

EA

₇

6EI 1 12Eia 1

_o

12EI 1 - .f.2·1+$ - _.f.3

1+$ 7·1+$

2EI ,,_2_-$,..__ + 6EI ( a+b ₁ 2ab) __!_

.f. 2(1+$)

.e

2 .f. 1+$

o

6EI 1 12Eib 1 - .f.2·1+$ - .f.3 .1+$ (3.18) 4EI __ 4+_$~- + 12Eib(l+b)__!_ .f. 4(1+$) .f.2

l

1+$

s

o

o

[ Rv

]=

-s

o

o

3K l .e2. 1+$ 3K l 3Ka l · + · -2.e 1+$ .e2 1+$

o

3K l

-~--l 1+$ 31<

...!.

+ 3Kb _l_ 2.e 1+$ .e2 1+$ simétrica K4+$ _{+ 3Ka(l+a)..L} 4 (1+$) l

r

1+$

o

s 3K l 3Ka l - - · - - :7""·-2.e 1+$ l 1+$

o

K_2-$ _{+ 3K(a-lbl 2ab)...!_}

o

...

2 2(1+$) 2l l 1+$ Í{. 4+$ + 3Kb(l+bJ..L 4 c1+$l .e

r

1+$ ( 3 .19) w

"'

Capítulo IV PAINEL

4.1 Graus de liberdade.

são =siderados os seguintes graus de liberdade de pai-nel.

4.1.l - Fotação de nó.

Considera-se a rotação do nó genérico

i,

enquanto que

te_

dos os demais pennanecem inalterados (fig. 4.1.a). A êste deslocamento de-signa-se

o

₂

j, =siderado p::,sitivo no sentido anti-horário.

4.1.2 - Deslocamento vertical de nó.

De maneira análoga ao anterior, =sidera-se o desloca-rrento vertical do j-ézimo nó pennaneoendo todos os demais inalterados (fig.

4 .l.b). A êste deslocamento designa-se o

₂

j-l' considerado p::,sitivo de baixo para cima.

m

n _n

Na Na 1 - - - - 1 - - - 1

(a) Rotação (b) Deslocamento vertical

4.1.3 - Deslocamento horizontal relativo de andar.

Considera-se a n-ézima laje e tôda a parte do painel que

lhe é superior deslocando-se horizontalmente= um a,rpo rígido (fig. 4.2.a). A êste deslocamento, designado por o2M.Na+n' denanina-se de desl~ rnento horizontal relativo do n-éz:i.mo andar. É considerado positivo quando

coincidente can a orientação do eixo ~ ou :!_, do sistana global, que lhe

paralelo. M m n-1 n n+ D2M.Na+n Na

(a) - Deslocamento relativo do n-éz:i.mo andar m n+l n D'I 1 n+l Na (b) - Deslocamento absoluto do n-ézimo andar

Fig. 4.2 - Deslocamentos horizontais de andar.

A visualização dos painéis foi fixada (item 2.4.1) ~

do-se o referido deslocamento horizontal positivo dirigido da esquerda@ ra a direita.

4.1.4 - Caracterfstica de faixa da matriz de rigidez.

A esrolha do deslocamento horizontal do bloa:> de anda-res acima da n-ézima laje, em relação

à

que lhe é imediatamente inferior (fig.4.2.a), em vez do deslocamento absoluto de andar (fig.4.2.b),objetiva

uma 11\3.triz de rigidez reduzida de painel (item 4.3) que 11\3.is de perto apl!:_ sente a característica de faixa1 (fig. 5.1.a). O tênno reduzida significa que a referida 11\3.triz de rigidez relaciona fôrças cem apenas deslocairentos

verticais de

nó

e h:>rirontais de andar (aos demais deslocarrentos são dadas

liberações) •

Considerando o deslocarrento relativo do n--€zino andar, as

fôr-ças aplicadas aos diversos andares decrescem (a nefilda que se afasta do

an-dar !!_) 11\3.is râpidarrente do que quando da consideração do deslocarrento ab-soluto. Coto estas fÔrças para deslocairentos unitários são coeficientes

de rigidez, no prirreiro caso êstes coeficientes preponderam 11\3.is próxinos

da diagonal principal.

Iogo, para o painel cujos deslocarrentos sejam ordenados, de foma que, o deslocanento relativo de andar seja nunerado inefilatanente

a-p5s (ou antes) dos deslocairentos verticais dos nós do uesro andar, a matriz de rigidez reduzida correspondente apresentará mta nítida característica de

faixa.

É importante ressaltar, que a cnnsideração do deslocarrento ho-rizontal relativo de andar implica que as fôrças horizontais aplicadas aos

diversos andares

são

iguais

ãs

fôrças cnrtantes do painel, no topo das cn-lunas do andar iuediatanente inferior. logo, quando da ronsideração do si~ tell\3. de equações de equilíbrio da estrutura, tem-se que acumular a carga h~ rizc:ntal aplicada ao nível de cada laje cx,m

tôaas

as dell\3.is aplicadas aos

andares superiores.

Nos próxirros itens a referência ao deslocamento horizontal de

4.1.5 Vetores dos deslocamentos de painel.

Seja:

np - número total dos deslocamentos do painel

E.

2.M.Na + Na (4 .1)

- matriz-coluna dos n deslocamentos do painel E_, ordenados

p

segundo os itens 4.1.l a 4.1.3.

(4 .2)

Caro a anâl.ise da estrutura envolve apenas os deslo-camentos horizontais de andar e os verticais nas interseções dos painéis

(que não recebam liberações} ,interessan na rrontagem da matriz de rigidez da estrutura apenas os coeficientes relativos a êstes deslocamentos.

Deno-minam-se êstes Últimos de deslocamentos reduzidos de painel. Seja:

m - número dos deslocamentos reduzidos por andar do painel

E.·

p

{~~1-

matriz-coluna dos referidos mp deslocamentos reduzidos do n-ézimo andar. A ordenação dos mesm::is é feita colocando nas primeiras posições os deslocamentos verticais a serem oonside-rados (nós da esquerda para a direita) e a seguir o desloca-mento horizontal relativo de andar.

do painel p.

(4. 3)

4.1.6 - Vetores de carga de painel.

são

consideradas apenas as cargas gue atuam segundo as =ràenadas-deslocamento de painel.

Seja:

{d'} -

vetor de carga correspondente aos deslocamentos

{oP}

{~~} - idem para os deslocamentos {

~*}

',l" - idem para os deslocamentos

IJ'-{-P*}

{-º*l

{d'*}

= {

{<fi*} . . . {~*} .. . { ~:}}

(4.4)

4.2 Matriz de Rigidez de Painel.

4.2.1 - Método de Geração.

A matriz de rigidez de painel

é

função de suas carac-terísticas estruturais e dos graus de liberdade considerados no

item

4.1.

Em programas autanáticos a sua obtenção mais eficien-te9

é

feita somando as contribuições dos coeficientes de rigidez dos ele-mentos envolvidos em cada um dos graus de liberdade do painel.

4.2.2

Equação

dos coeficientes.

Para os deslocamentos ordenados segundo os itens 4.1.1 a 4.1.3 pode-se escrever as equações fornecedoras dos coeficientes da ma-triz de rigidez de painel. Em síntese, trata-se da sana dos coeficientes de rigidez dos diversos membros do pÓrti= plano, de elementos horizontais e verticais, relacionados oc:rn os referidos deslocamentos.

m+l M

_---

_-,

1 ₁ 1 ₁ 1 1 ; ₁ 1 ₁ D' i ₁ 2jt2M 1 n-

-

₁ ----~ 1 No j-M

_'

o•'

21-2M-l '

_'

1 1 1 0ij ... 2 1 _{• 1} (p-1)+2 J-f,2 n ' NÓ j-1 NÓ

-

1 D'

'

No

_'

_' 1

'

,

2M.Na+n

'

'

,

1 '

'1

'

ºiMcn-1)+1 _I D' ' _{2j-3 º2j'-1 ºJj+l º2& -1} ' ' I _{' '} ,' I

'

I ' I I

'

' I I 1

'

I I

,

'DÍMn+2 I

'

'

'D' n+l j+2M 2M(n+l) NÓ j+M º2j+2M-l Na

Considere-se na figura 4.3 os deslocamentos unitários do j-éziroo nó em um andar genérioo

!l

e todos os demais deslocamentos a êle relacionados.

Seja em um painel genérico

E.•

R~n,m) - coeficiente de rigidez tw do elemento coluna de par ordenado (n,m) e

R~n ,m) - idem para o elemento viga, fornecidos pelas matrizes ( 3. 7 e

(3.19).

Para os deslocamentos unitários do j-éz:irro

nó,

tem-se os seguintes efeitos: a) Efeitos no próprio nó

i

If.

=

Rc(n,m) + if(n-1,m) + ~(n,m) + R~(n,m-1) (2j-l,2j-l) 44 -,.1 -,!2 -:,5 _o

=

R:(n,m)+ R:(n-1,m)+ R~(n,m)+ Rv(n,m-1) 1<'"(2j,2j) -õ6 -33 -33 66 (4 .5) _p _ v(n,m) + Rv(n,m-1) 1{'"(2j, 2j-l) - Rj2 65 _p

=

Rp 1{'"(2j-l,2j) (2j, 2j-1)

b) Efeitos no nó j-1 (situado a esquerda do nó j).

Irº

_

v(n,m-1)

~2j-3, 2j)

=

1½in,m-l) (4 .6)

If

=

R'!_S(n,m-1) (2j-2, 2j-1) --3

If

=

R'!.s(n ,m-1) (2j-3, 2j-l) -2

e) Efeitos no nó j+l (situado a direita do

nó

j) •

~2j+2,

=

Rv(n,m) 2j) 63 ~2j+l, 2j)

=

~t,m) (4.7) RP

=

Rv(n,m) (2j+2, 2j-l) 62

If

-

R'!.(n ,m) (2j+l, 2j-l) - -~2

d) Efeitos no nó j-M (situado acima do

nó

j) •

~2j-2M-l, 2j)

=

Rc(n-1,m) 43 ~2j-2M, 2j)

=

Rc(n-1,m) 66 ( 4.8) ~2j-2M-l, 2j-1)

=

Rc(n-1,m) 41 ~2j-2M, 2j-l)

=

Rc(n-1,m) 61

e) Efeitos no nó j.-+M (situado abaixo do nó

il.

~2j+2M-l, 2j) = R~~n,m) ~2j+2M, 2j) = R~~n,m) (4 .9) oP = R'?4(n ,m) "2j+2M-l, 2j-l) -1

-º

R:4Cn,m) !{'"(2j+2M, 2j-l) = --j

Para o deslocamento horizontal unitário do n-ézimo an-dar, têm-se os efeitos:

a) Efeito em sua própria direção

~

(2.M.Na+n, 2.M.Na+n)

='

m=l

~5~~

-5 (4.10)

b) Efeitos nas direções das rotações dos nós ao nível da laje

n+l.

If.

_ _

R:(n-1,f)

(e, 2.M.Na+n) - --J5 ( 4 .11)

e - variando a partir de 2.M.n+2 de dois em dois até 2.M(n+l). f - variando de 1 até M.

e) Idan para os nós ao nível da n-ézima laje.

g - variando a partir de 2.M(n-1)+2 de dois em dois até 2.M.n

f - variando de 1 até M.

Pelo princípio da reciprocidade os efeitos segundo a

direção do deslocamento horizontal do n-éz:imo andar devido às rotações uni

târias dos nós ao

nível

das lajes n+l e ~ são respectivamente os simétri-cos das expressões (4.11) e (4.12)

-rf.

_{(2.M.Na+n, e)}

=

Rc(n-1, f) ₃₅

RP

= -

R:s<n,f)

(2 .M.Na+n,g) -b

(4.13)

(4.14)

Fazendo n e m variar entre os seus limites nas

ex-pressoes ( 4. 5) a ( 4 .14) , monta-se a matriz de rigidez [

# ]

do painel

E.,

de ordem (n x n ) . _P Note-se que, cano são desprezadas as defonnações

a-p

xiais das vigas, os coeficientes

referidas expressões.

4.3 Matriz de Rigidez Reduzida.

não foram considerados nas

A matriz de rigidez de painel relativa apenas aos seus

deslocamentos reduzidos {

nP*l

é designada JX)r [

#*] .

Pode ser obtida12 a partir da matriz de rigidez [

# ]

cem:> a seguir se deduz.

Seja [

#°]

a matriz obtida a partir de [

li' ]

orde-nando os seus coeficientes de fonna a oolocar nas pr:imeiras Na, m linhas

e colunas os coeficientes relacionados a:rn os deslocamentos reduzidos

{oP*) ·

Cano aos danais deslocamentos, designados por {~}, são dadas liberações~ tan-se: Sendo:

[ 111]

[ Rfi]

[~]

[~]

=

[ Rfi ] [ ~] {

oPi

[

~

] [ Rfi] . { ~)

de ordem (Na.m ) x (Na.m )

p p

de ordem (n -Na.m ) x (n -Na.m )

p p p p

de ordem (Na.m) x (n -Na.m)

p p p

de ordem (n -Na.m ) x (Na.m )

p p p

Desenvolvendo (4.15), obtan-se

{<f*}

= [

111] . {

oP*}

+ [ ~ ] . { ~ }

{o }

= [

Rfi ] · {

oP*}

+ [

Rfi]. {~}

Tirando {~} da expressão (4.17) e levando em

(4.16), obtem-se

(4.15)

(4.16)

( 4 .17)

( 4 .18)

Logo, de (4.18), tira-se a expressão que fornece a ma-triz de rigidez reduzida de painel

(4 .19)

A matriz [

#* ),

de ordem (Na.'\,) x (Na.mp), pode ser dividida em Na x Na sul::lllatrizes quadradas de ordem (mp x mp)

[~~][R~]

[~a]

[ #*]

=

r~~1[~;J

[~:

]

( 4. 20)

.

.

.

...

[~: J [~:

zj

[~: NJ

A sul::lllatriz genérica [

1;]

de (4.20) representa as fôrças que agem no j-ézino andar de

E•

correspondentes a um deslocamento unitário segundo cada urna das CXJOrdenadas-à!slocarrento reduzidas do andar

s_.

Confonne as considerações do itan 4.1.4, os valores destas fôrças

de-crescem ràpidarrente a medida que se afasta de :!.· Esta redução é

favoreci-da pela consideração dos deslocamentos horizontais relativos de anfavoreci-dar em

lugar dos deslocamentos absolutos.

mia matriz faixa , a:m (4.21) onde d = 2, 3 ou raramente 4.

A p:rograr,...,:ão au:tanâtica foi desenvolvida para d

=

2, sendo fàcilrrente rrodificãvel para diferenças maiores quando da neressidade de

cálculos mais exatos e disponibilidade de maior nemôria intema de

CCl'Cpl-tador.

A figura 4.4 apresenta urra visualização

ªª

deformação do

pai-nel, quando se impÕe o deslocarrento horizontal do bloco de andares aciJra da g-ézima laje e se liberam as rotações dos nós do painel. Para a

hipÓte-se de d

=

3

é

esquematizada a zona de influência acima do andar

g_,

na qual se considera os efeitos do referido deslocamento horizontal,

j=g-3 g-2 g-1 g . '

.

! .

-

-' -'

-'

'

_'

1

-1

-

--1 1

'

-

-""--

-1 _' 1

_'

•

1 '

'

--

_-

_-

' ' ' _' 1 1

-'

=

.,,.,_

~ . 7" 1 1

-

_,

_'

'

'

'

'

'

1 !

_-

_{_,}

_'

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'

'

'

'

'

'

...J ' ' 1 1 '

'

1 _' '

'

_'

_--

'

'

--'

-

.,

1 ₁

'

1 1 1

-

-

-,

1 - - - _A 1 ,j 1

k-4

I

---

D

---

_' g '

'

_'

-

-

---'

'

' _'

'

--

=

..,.,.,.

Zona de influência do deslocamento D g

Fig. 4.4 - Deformação do painel para o deslocamento horizontal

A figura 4.4 rrostra que dar liberações

ãs

rotações dos nós, nao significa introduzir articulações nas extremidades dos elenentos do painel.

Tudo se passa CXJTO se apÓs o deslocanento horizontal do bloco de andares,

os nós pudessem girar oc:m:> se estivessem solidários a apoios ficbÍ:éios ar-ticulados,

4.4 O,nsiderações soôre os elenentos coluna.

As ool1mas em quase tõda · sua totalidade localizam-se em

in-terseções de painéis. Logo, para a rrontagem da matriz de rigidez da e s ~ tura, a rigidez

à

defonnação axial de cada ool1ma correspondente a dois ~ néis que se cruzam, pode ser dividida aroitràriarrente em dois quinhÕes

pa-ra os respectivos painéis.

Quanto

à

oonsideração da defonnaçã, pelo oortante pelo fator , da expressão (3.3), o seu efeito se

aã

no plano de cada painel isoladarren-te.

Hâ,

pois, que se oonsiderar a totalidade da ârea da seção transversal do membro para o câlculo do referido parârretro.

No tocante a estas considerações a programação automática foi desenvolvida nas seguintes etapas:

a) Leitura de quinhÕes de ârea das seçoes transversais das col1mas para

toà:>s os painéis.

b) _{Sana dos quinhÕes relativos}

_à

_{mesma col1ma, ou seja, cálculo da}

real da seção transversal.

~ area

c) Para efeito do cálculo da matriz de rigidez da estrutura, na fase da rrontagem da matriz de rigidez de painel, cálculo da rigidez axial ~ ( ~ pressão (3.6)), a:rn a metade do valor da área da ooluna quando a mesma oorresponder a uma interseção de painéis. Consideração da área total para o parâmetro da defonaação por oortante.

d) ApÓs o cálculo dos deslocamentos da estrutura, para efeito da análise (item 5.5) da distribuição das cargas pelos diversos painéis, nnntagem das respectivas matrizes de rigidez oonsiderando a área real da seção para a totalidade das oolunas.

4.5 Lista de incidência dos painéis.

o:m

a finalidade de traduzir ao canputador as ooordena-das dos pilares e a topologia em planta da estrutura,

é

constituída a se-guinte lista de incidência dos painéis.

Para cada pilar é fornecido ao programa: a) Niinero do pilar em planta.

b) Coordenadas ~ e

!

em relação ao sistema global. c) NÚ!rero do painel tipo 1 que oontenha o referido pilar. d) Idem para o painel tipo 2.

A ausência do núirero do painel em c) ou d) corresponde a uma ooluna não situada em interseção de painéis e, portanto, deve ser li berada ao seu deslocamento vertical.

Capítulo V ESTRUI'URA

5.1

Centro

de

Torção.

Detennina-se a seguir, de fonna aproximada, o centro de

torção ºn do n-éz:iJro andar mais representativo da estrutura. A partir

aê-le todos os demais são considerados SÔbre a mesma vertical que passa por ºn·

Seja:

que6

~ - rigidez do painel

P.

paralelo ao eixo X (painel tipo 1) ao deslocarrento horizontal relativo do n-éz:iJro andar definido

no itan 4.1.3. Considerando apenas a rigidez

ã

flexão das oolunas, da expressão (4.10), tem-'-se:

~~n,m)

~ - idan para o painel p_paralelo a Y (painel tipo 2). X _p - distância do painel

P.

do tipo 2 ao eixo Y.

Y _p - distância do painel

P.

do tipo 1 ao eixo X.

P₁ - nú-nero total de painéis tipo 1.

P - nú-nero total de painéis.

(5 .1)

pl

ifX

y

_o

E

₌

p=l n p (5.2) p E ~ X

= o

p=P 1+1 n p

considera-se que o eixo~ passe pelo referido centro de torção.

Fisicamen-te é o ponto da n--€zima laje onde aplicadas apenas fôrças horizontais, a

mesma desloca-se sem sofrer rotação em seu plano.

As a:ordenadas do centro de torção, referidas ao siste ma de referência global, devan sanpre ser calculadas a priori e

forneci-das ao programa. A sua detenninação aproximada visa um sistema de

equações

de equilÍbrio da estrutura bem condicionado.

À

nova posição do sistema de referência denanina-se Sistana de Referência Central, em relação ao qual será rrontada a matriz de

rigidez da estrutura.

5. 2 Matriz de Transfo:r:mação de Painel.

Define-se a matriz de transfonnação do painel

E.•

cano

a matriz que transfonna, para o n-ézimo andar os deslocamentos da estrutura

nos deslocamentos reduzidos do referido painel. A sequência de numeração e a orientação dos deslocamentos da estrutura

é

a do itan 2.3. Quanto aos deslocamentos reduzidos de painel, a ordenação dos mesmos é a definida em

nos itens 4.l.2 e 4.1.3.

Logo, tan-se a expressao

=

(5. 3)

é a matriz de transformação de ordan (m x n )

p g do n--€Zimo andar de

E.·

Como oonsidera-se a mesma distribuição das vigas e ool~ nas em todos os andares, a matriz de transformação do painel

E.

é

a mes-ma para todos os vetores { ~* }

Logo,

[ Bi]

= ... =[B~]=

=

(5.4)

e {

~*}

=

[BP] (5.5)

Em relação ao sistana de referência central, seja:

a - distância do painel

E.

ao eixo!, oonsiderada positiva quando o p

deslocamento horizontal positivo de andar do referido painel ten-der a girar no sentido anti -horário em relação

ã

OZ.

ep - ângulo fonnado pelo eixo

!

cx:rn a direção dos deslocamentos ho-rizontais positivos de

E.,

medido no sentido anti-horário.

Para tais valores, a matriz [BP] , de ordem (mp x ng), serâ da foll!la

o

o

o

...

o

1

o

o

o

o

_••• 1

o

o

o

o

o

...

o

o

1 (5.6) • • • • • •

...

• • •

. .

.

.

..

.

..

• • •

.

.

.

•••

...

.

.

.

• •• • •• CX1S

e

sen

e

a

...

o

o

o

p p p

orrle [ aP] até a penÚltima linha é uma matriz topolÓgica. A posição (i ,j)

de cada elemento diferente de zero corresponde, para un andar gererioo, ao

j-ézimo deslocamento da estrutura de o:rdan i-ézima no painel.

A Última linha de (5.6) traduz a ccntribuição dos des-locamentos horizontais e de rotação da estrutura, ao deslocamento horizon-tal de painel do respectivo andar.

Dependendo da unidade de OClllprimento adotada, os

valo-res de a podem mui to se afastar do intervalo -1 a + 1 dos danais elemen-P

1 . de - 1.:rd,

tos da matriz. Neste caso, aoonselha-se tanar a:m:, um.da de rotaçao

T

onde

ã

é

o

máximo

valor absoluto de a .

p Can esta unidade o elanento da a

Última linha e terceira coluna passa a ser

=12. •

f

evidente, que apÓs o

cá1.

a

-culo dos valores das rotações das lajes , para que os mesmos possam ser ex-pressas em radianos, devem ser divididos por

ã.

5.3 Vetores de carga da estrutura.

(iren 1.3), que atuan s ~ as coordenadas-deslocarento da mesma (item

2. 3) •

Seja:

{on} - matriz-coluna das ng cargas correspondentes ao vetor {nn}

do n-ézimo andar.

{ <2n} = { <2n1 Qn2 ••• Qn ng} (5.7)

{ Q } - matriz-coluna das ngt cargas correspondentes ao vetor { D } da

estrutura.

...

_{••• {~a}}}

(5.8)

o vetor de cargas montado pela programação autanática 1.e

va an consideração apenas o efeito de vento e o de recalques verticais de

apoio.

E

A expressão Q = - (5 .9)

transfonna o recalque Rec da base da coluna de seção A e canprimento

.e.,

em carga a ser considerada cano conrentrada ro topo da respectiva ooluna.

5.4 Matriz de rigidez da estrutura.

A matriz de rigidez da estrutura, de ordem (ngt x ngt) ,

relaciona os deslocamentos da estrutura,

{D},

can as cargas { Q }, pela

A referida matriz [ RE] pode ser dividida em Na x Na

sul:matrizes quadradas de ordem (n x n ) •

g g

[RE11] [ RE12] [RErna]

[RE]

[RE21] [RE22] [RE2Na]

=

...

.

..

(5 .11)

[~aJ

[~~

[~aN~

A sul:rnatriz genérica [RE. ] de (5.11) representa as fÔr

Jg

-ças que agem no j-ézirro andar da estrutura, correspondentes a um deslocarre!!_

to unitário segundo cada uma das coordenadas-deslocamento do andar

~-Pelo princípio da Contra-gradiência, obtem-se

(5 .12)

onde o sanatÔrio expressa as contribuições dos P painéis da estrutura.

A consideração (4.21) leva a

[REjg]

=

O para

jj-gl

>

d (5 .13)

obtenderse a matriz de rigidez da estrutura em faixa (fig. 5.1.a).

10 - .

Faz-se a resoluçao do sistema (5.10) montando apenas a faixa superior (incluída a diagonal principal) da matriz [ RE] armazenada

em matriz retan;Jul.ar (fig. 5.1.p). Sendo Ib a largura da referida fai-xa, ngt Ib = (d+l)n g

Th

_•

1 1 ' ' 1

o

n

o

-.-.-

_....

_{_}

(a) - Matriz em faixa.

(5.14) Ib

~-(b) - AIInazenarrento da fai superior em matriz retangular.

Fig. 5.1 - Esquana da matriz faixa

o amiazenamento em matriz retangular

é

fàcilmente consegui do calculando o coeficiente de posição (i,j) da matriz da fig. 5.1.a e

deslocando-o em sua prÕpria linha para a coluna j-i+l.

5.5 Análise dos painéis.

Resolvido o sistema (5.10), os deslocarrentos reduzidos por

andar do painel

p_,

{~*} ,

são obtidos pelas expressões (2.3) e (5.5).

ca!_

culados os referidos deslocamentos para todos os andares, monta-se a matriz

A seguir, calcula-se a distribuição dos esforços pelos~

versos painéis, ou seja, as cargas atuantes segundo as coordenadas-deslo~

irento reduzidas de cada painel

E:

(5.15)

o:rno

foram dadas liberações

às

danais coordenadas-desloca-mento, o vetor das cru:gas ,\

<f' \ .;;

muposto pelo vetor {

<f'*

l

e de valores

nulos correspondentes

às

direções liberadas.

Finalirente, o problema reduz-se a analisar cada painel de

matriz de rigidez [

rf]

conhecida, sul:Iretido ao carreganento {

<f') .

l

<f'

1

= [

#] . {

oP}

(5.16)

A resolução do sistema (5.16) fomeoe o conjunto de

to-dos os deslocamentos do painel E_, que pennite a m:mtagan dos vetores des-locamento { di } dos seus diversos membros. Logo, as ações nas

extremida-des de manbro são calculadas pela expressão,