São São Jerônimo Escritor Caravaggio

(1)

(2)

RADIAÇÃO

DE

CORPO NEGRO

FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA

“Consideramos, porém – este é o ponto mais importante de todo o cálculo – que a energia dos osciladores é a soma de um número inteiro de partes iguais” – Max Planck

José Fernando Fragalli Departamento de Física – Udesc/Joinville

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(3)

2. Resultados Experimentais

3. Modelo de Wien

5. Modelo de Planck

4. Modelo de Rayleigh-Jeans

1. Introdução

(4)

Existem situações práticas para um engenheiro onde ele se depara com a chamada radiação de corpo negro.

Uma delas é saber como se mede a temperatura, por exemplo, de um alto-forno.

Pirômetro óptico em

ação

1. INTRODUÇÃO

Importância da Radiação Térmica para a Engenharia

(5)

Para tal situação existe um equipamento chamado

pirômetro óptico capaz de fornecer a temperatura de um alto forno por medidas indiretas.

Esquema básico da constituição de um pirômetro óptico

1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(6)

A temperatura da fonte (por exemplo, o alto-forno) é

determinada por comparação, variando a potência da

radiação emitida pela lâmpada.

Para comparação utiliza-se um filtro que seleciona a cor através do comprimento de onda (

λλλλ

= 650 nm – vermelho).

Imagem observada no visor do pirômetro óptico 1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Funcionamento do pirômetro óptico

(7)

Se o filamento de tungstênio estiver a uma temperatura menor do que a da fonte, o fundo estará mais brilhante que o filamento (posição LOW).

Se o filamento de tungstênio estiver a uma temperatura maior do que a da fonte (alto-forno), o filamento estará mais brilhante que o fundo (posição HIGH).

1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Visão do filamento do pirômetro óptico

Imagem observada no visor do pirômetro óptico

Esquema básico de um pirômetro óptico

(8)

Se o filamento e a fonte estiverem à mesma temperatura, não se distingue as imagens (posição NULL).

Quando a imagem do filamento desaparece a corrente elétrica que passa pela lâmpada indica a temperatura da fonte.

A temperatura do filamento é

previamente conhecida por calibração.

1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O ajuste da cor do filamento no pirômetro óptico

Esquema básico de um pirômetro óptico Imagem no visor do pirômetro óptico

(9)

Em uma boa aproximação o filamento de tungstênio comporta-se como um corpo negro, cuja curva de calibração para a intensidade emissiva R_λλλλ(

λλλλ

) é mostrada abaixo.

( )

      −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 exp 1 2 5 2 T k c h c h R B CN λ λ π λ

λ Já para o corpo cuja

temperatura queremos

medir a curva de calibração

depende da emissividade do corpo e(

λλλλ

).

( ) ( )

      −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 exp 1 2 5 2 T k c h c h e R B λ λ π λ λ λ 1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A Física do comportamento do pirômetro óptico

h = 6,62××××10-34 _J⋅⋅⋅⋅_s_{: constante de Planck}

c = 2,9979××××108 _m/s_{: velocidade da luz no vácuo}

k_B = 1,38××××10-23 _J/K_{: constante de Boltzmann}

λλλλ: comprimento de onda da radiação emitida

(10)

No comprimento de onda do filtro (

λλλλ

= 650 nm) os valores

das potências luminosas emitidas pelo filamento de

tungstênio e pelo corpo são as mesmas.

Através desta igualdade, obtemos a equação abaixo.

( )

[

filtro

]

filtro B FT C

e

c

h

k

T

λ

ln

λ

1

1 ⋅

⋅

+

=

Sabendo-se o valor da emissividade do corpo e(

λλλλ

_filtro) para o comprimento de onda do filtro usado, determina-se facilmente a temperatura do corpo.

1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A determinação da temperatura do corpo

T_FT: temperatura do filamento de tungstênio

(11)

4. Modelo de Rayleigh-Jeans 1. Introdução

(12)

Um corpo aquecido emite radiação eletromagnética em

um espectro contínuo, com maior intensidade na região do

infravermelho (IR).

Matéria e radiação interagem e atingem o equilíbrio

termodinâmico através de trocas de energia.

2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Emissão de radiação por corpos aquecidos

Imagem reconstruída a partir da emissão IR de

um homem

Distinção entre dois corpos a temperaturas

(13)

Definimos a intensidade emissiva (e) de um corpo como sendo a energia emitida por unidade de área e por unidade de tempo.

Definimos a absorvidade ou

absorbância (a) como sendo a fração da energia incidente sobre a superfície de um corpo que é absorvida por ele.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Algumas definições Corpos a diferentes temperaturas com emissividades distintas A absorbância de um corpo e o seu processo de medida

(14)

Abaixo listamos algumas propriedades importantes para o campo de radiação, além das relações entre elas.

c

u

I

=

⋅

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Propriedades mecânicas da radiação

a) Energia (U) e densidade de energia (u); b) intensidade (I);

c) momento linear (p);

d) pressão de radiação (P);

e) pressão de radiação de cavidade (P_RC);

c

U

p

=

_P

_u

RC

=

⋅

3

1

(15)

Definimos radiância (R) como sendo a quantidade de

energia irradiada pelo elemento de área dS que contém um

ponto P, por unidade de tempo, por unidade de área, pelo corpo aquecido a uma temperatura T.

( )

dt

dS

U

d

P

R

⋅

=

2 [ ]

R

=

J

/

m

2

⋅

s

=

W

/

m

2

SI

Intensidade!!!

( )

T

R

=

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Mais definições

Radiação emitida por um ponto P a uma temperatura T

(16)

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Radiância de uma cavidade

Assim como definimos a pressão de radiação para uma cavidade, também podemos definir a radiância de uma cavidade R_C.

Obtemos também uma relação entre a radiância de uma cavidade R_C e a densidade de energia u existente dentro dela.

c

u

R

_C

=

⋅

4

1

Radiância de uma cavidade

(17)

Definimos radiância espectral R_λλλλ (em termos do comprimento de onda) tal que a quantidade R_λλλλ·d

λλλλ

seja a taxa temporal com que a energia de um corpo aquecido é irradiada, por unidade de área, nos comprimentos de onda entre

λλλλ

e

λλλλ

+ d

λλλλ

.

( )

λ

d

dR

R

=

[ ]

R

_λ

=

W

/

m

2

⋅

m

=

W

/

m

3

SI

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(18)

Definimos radiância espectral R_νννν (em termos da frequência) tal que a quantidade R_νννν·d

νννν

seja a taxa temporal com que a energia de um corpo aquecido é irradiada, por unidade de área, nas frequências entre

νννν

e

νννν

+ d

νννν

.

( )

ν

d

dR

R

=

[ ]

R

_ν

=

W

/

m

2

⋅

Hz

=

W

⋅

s

/

m

2

SI

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(19)

A radiância R(T) e as radiâncias espectrais R_νννν ou R_λλλλ estão relacionadas pela equação mostrada abaixo.

( )

_∫

( )

∫

∞ ∞

⋅

=

⋅

=

0 0

ν

λ

_ν

λ

d

R

d

R

ν

λ

_λ

ν

R

c

R

c

R

=

⋅

=

⋅

2

2 RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(20)

Da mesma forma, definimos a densidade espectral de energia u_νννν(

νννν

) em termos da frequência.

Analogamente, definimos a densidade espectral de

energia u_λλλλ(

λλλλ

) em termos do comprimento de onda.

( )

λ

d

du

u

=

∫

( )

∞

⋅

=

0

λ

d

u

( )

ν

_ν

ν

d

du

u

=

∫

( )

∞

⋅

=

0

ν

d

u

⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒ ⇒⇒ ⇒ 2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Densidades espectrais de energia

(21)

As densidades espectrais de energia u_νννν(

νννν

) e u_λλλλ(

λλλλ

) estão relacionadas com as respectivas radiâncias espectrais R_νννν(

νννν

) e

R_λλλλ(

λλλλ

) através das equações mostradas abaixo.

Por sua vez, as densidades espectrais de energia u_νννν(

νννν

) e u_λλλλ(

λλλλ

) estão relacionadas entre si através de uma relação similar àquela para as

radiâncias espectrais R_νννν(

νννν

) e R_λλλλ(

λλλλ

).

( )

u

( )

c

R

_λ

λ

=

⋅

_λ

λ

⋅

4

1 ( )

( )

c

u

R

_ν

ν

=

⋅

_ν

ν

⋅

4

1 ( )

( )

ν ν

( )

ν λ λ _ν _ν λ u c u c u = ⋅ = ⋅ 2 2 ⇒ ⇒⇒ ⇒

λ

ν

=

c

Propriedades das densidades espectrais de energia

(22)

Em 1853 William Ritchie usou um termômetro diferencial e obteve o resultado mostrado abaixo.

2

1

1 a

e

a

e

=

Termômetro Diferencial de Leslie 2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(23)

N é CORPO NEGRO

Vamos considerar a situação em que um corpo (por exemplo o corpo 2

→

N), absorva totalmente a radiação que incide sobre ele, ou seja, a_N = 1.

Como por definição temos que a₁ < 1, então este fato implica que e_N > e₁.

1

2 =

a

N

=

a

1 1

a

e

_N

=

1

<

a

e

_N

>

e

₁

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Conclusões e definições a partir do resultado de Ritchie

O corpo N (corpo negro) tem a maior absorbância e a

maior emissividade possível entre todos os corpos!!!

⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(24)

CORPO NEGRO É O ORIFÍCIO!!

Para obtermos resultados teóricos sobre o tema,

construímos um modelo para o Corpo Negro.

Este modelo deve ser tal que ele absorva toda radiação que incide sobre ele (a_N = 1)

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Modelo de corpo negro

Cavidades com pequeno orifício que representam

(25)

Gustav Kirchoff

Um dos primeiros cientistas a tratar quantitativamente da emissão de radiação de corpos aquecidos foi Gustav Robert Kirchoff (1824-1887).

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A dependência da emissividade com a temperatura

A chamada Lei de Kirchhoff da Radiação

Térmica declara que “em equilíbrio térmico, a emissividade de um corpo (ou superfície) é igual à sua absorbância”.

A partir desta formulação Kirchoff concluiu

que a emissividade de um corpo negro é uma

função universal independente da forma,

(26)

Fio de platina

( )

2

11, 4

( )

1

e T

=

⋅

e T

John Tyndall

Em 1864, John Tyndall (1820-1893) realizou experimento

envolvendo a radiação emitida por um fio de platina em duas temperaturas diferentes.

T₁ = 525 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T₁ = 798 K

T₂= 1200 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T₂ = 1473 K

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Resultados quantitativos obtidos por Tyndall

⇓ ⇓ ⇓ ⇓

(27)

Joseph Stefan

Em 1879, Joseph Stefan (1835-1893) escreveu um

trabalho no qual usou os dados de Tyndall.

( )

₄_,₀₀ 798 1473 log 4 , 11 log =       = n

( )

n

T

R

=

σ

⋅

( )

4

T

R

=

σ

⋅

σσσσ = 5,67××××10-8 _W/m2 ⋅⋅⋅⋅_K4 Dados de Tyndall T₁ = 525 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T₁ = 798 K T₂= 1200 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T₂ = 1473 K Proposta de Stefan Cálculo de Stefan Fórmula de Stefan 2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Resultados sistematizados por Stefan

⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ _⇓_⇓_⇓_⇓

(28)

Ludwig

Boltzmann

4 R

= ⋅

σ

T

Em 1884, Ludwig Boltzmann (1844-1906) demonstrou

rigorosamente esta expressão, com base na existência da

pressão de radiação dentro da cavidade (corpo negro).

Boltzmann considerou a radiação como uma máquina térmica, sujeita às leis da

termodinâmica.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Comprovação teórica obtida por Boltzmann

(29)

Ao lado mostramos resultados

experimentais obtidos por Otto Lummer

(1860-1925) e Ernst Pringsheim

(1859-1917) em 1899.

Este resultado foi obtido no

Physicalisch-Technische Reichsanstall, hoje conhecido como Max Planck Institute.

Otto Lummer

Ernst Pringsheim 2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Curvas para a radiância espectral R_λλλλ

Espectro de corpo negro obtido por Lummer e Pringsheim

(30)

Friedrich Paschen

Esta lei foi verificada experimentalmente inúmeras vezes.

b

T

MAX

⋅

=

λ

A confirmação mais cuidadosa desta lei foi obtida por Friedrich Paschen (1865-1947)

também em 1899.

Um resultado numérico muito importante é conhecido como Lei de Deslocamento.

Lei de Deslocamento

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(31)

b_A= 2,89××××10-3 _m⋅⋅⋅⋅_K

Abaixo mostramos uma comparação

entre o resultado obtido por Lummer e

Pringsheim com aquele obtido a partir de medidas atuais mais precisas.

b

T

MAX

⋅

=

λ

b_L&P = 2,94××××10-3 _m⋅⋅⋅⋅_K 2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Determinação da constante da Lei de Deslocamento

Espectro de corpo negro obtido por

Lummer e Pringsheim

(32)

4. Modelo de Rayleigh-Jeans 1. Introdução

(33)

Wilhelm Wien

De 1893 a 1896 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Wien

(1864-1928) se dedicou a estudos teóricos e empíricos para obter uma expressão para a densidade espectral de energia

u_νννν(

νννν

).

3. O MODELO DE WIEN

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A busca de Wien pela solução do problema

Prêmio Nobel de Física de 1911 –

“pelas descobertas das leis de irradiação

do calor” Medalha concedida aos

agraciados com o Prêmio Nobel de Física

(34)

Para isto, Wien considerou o Efeito Doppler que a radiação (onda eletromagnética) sofre ao incidir sobre uma parede espelhada em movimento.

Wien simulou o movimento de um pistão dentro do

cilindro, atribuindo á radiação uma característica mecânica.

Wien, a seguir, generalizou o raciocínio de Boltzmann, aplicando as leis da Termodinâmica à radiação contida em cada intervalo de frequência entre

νννν

e

νννν

+ d

νννν

.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

As hipóteses de Wien

Inicialmente Wien obteve uma relação geral, conhecida como Fórmula de Wien apenas relacionando a densidade espectral de energia com a frequência e a temperatura.

(35)

Após um cálculo exaustivo, Wien então obteve a relação mostrada abaixo.

( )













⋅

=

T

f

u

_ν

ν

3

ν

Problema: nem os princípios e relações básicas da

Termodinâmica, nem do Eletromagnetismo permitem

determinar a forma funcional da função f(

νννν

/T).

( )

T

g

(

T

)

u

=

⋅

λ

⋅

λ

λ 5

1 ,

Para determinar a forma funcional de f(

νννν

/T) Wien fez então uma conjectura.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O primeiro resultado de Wien obtido em 1893

⇒ ⇒⇒ ⇒

(36)

Uma conjectura é uma ideia, fórmula ou frase, a qual não

foi provada ser verdadeira, baseada em suposições ou idéias com fundamento não verificado.

Conjectura de Wien: a densidade espectral de energia

deve ser do tipo daquela proposta por Maxwell para a

distribuição de velocidades de moléculas de um gás.

T

e

T

f

ν

β

ν

₋

⋅

∝













( )

k

T

v

m

B

e

v

n

⋅

−

∝

2 3. O MODELO DE WIEN

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A conjectura de Wien

⇒ ⇒⇒ ⇒

(37)

Abaixo, reproduzimos as próprias palavras de Wien em

um dos seus artigos científicos.

“ ...uma visão atualmente aceita é que as cargas elétricas das moléculas podem excitar ondas eletromagnéticas ... e como o comprimento de onda

λλλλ

da radiação emitida por uma dada molécula é uma função da velocidade v, esta velocidade também é uma função de

λλλλ

”.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(38)

Esta conjectura permitiu que Wien formulasse a seguinte proposta para a densidade espectral de energia u_νννν(

νννν

).

( )













⋅

−

⋅

=

T

u

_ν

ν

α

ν

3 exp

β

ν

Wien usou então as relações entre u_νννν(

νννν

) e R_λλλλ(

λλλλ

) e obteve o resultado mostrado abaixo.

( )













⋅

−

⋅

=

T

c

R

λ

β

λ

α

λ

exp

1

4

1

5 5 3. O MODELO DE WIEN

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(39)

A equação obtida por Wien não é correta para todo o espectro eletromagnético.

( )













⋅

−

⋅

=

T

c

R

_ν

ν

α

ν

exp

β

ν

4

1

₃

Por outro lado, esta equação

concorda muito bem para altas

frequências (comprimentos de onda pequenos), mas é ruim para baixas frequências (comprimentos de onda elevados).

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Análise do resultado final obtido por Wien

(40)

3. Modelo de Wien

5. Modelo de Planck

4. Modelo de Rayleigh-Jeans

1. Introdução

(41)

John William Strutt – Sir Rayleigh

No final do Século XIX o físico inglês John William Strutt

(1842-1919) tomou conhecimento dos resultados de Wien.

4. O MODELO DE RAYLEIGH-JEANS

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A contribuição de Sir Rayleigh

Prêmio Nobel de Física de 1904 –

“pelas investigações sobre as densidades

dos gases e pela descoberta do

Argônio”

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

(42)

Em consequência destes estudos, em Junho de 1900 Sir Rayleigh obteve uma nova expressão para u_νννν(

νννν

).

Sir Rayleigh passou a estudar então o fenômeno da radiação de corpo negro, fixando o seu olhar apenas nas características da radiação.

Ele também sabia das limitações do resultado de Wien no

que diz respeito ao comportamento ruim da densidade de

energia espectral para baixas frequências.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(43)

Ao longo do desenvolvimento de seu modelo, Sir Rayleigh cometeu um pequeno erro de natureza geométrica.

Este erro foi observado e corrigido em 1905 pelo físico inglês James Hopwood Jeans (1877-1946).

James Hopwood Jeans

Por esta correção, a teoria clássica da radiação de corpo negro é conhecida como

Modelo de Rayleigh-Jeans.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(44)

Desta forma, Sir Rayleigh pôde aplicar o Teorema da Equipartição da Energia ao problema da radiação de corpo negro.

A hipótese fundamental deste modelo é que o campo de

radiação está em equilíbrio termodinâmico com o corpo

negro que o emite.

Com esta hipótese, Sir Rayleigh considerou a troca de

energia entre o corpo aquecido a uma temperatura T e os

modos de oscilação do campo eletromagnético existentes dentro da cavidade (corpo negro).

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(45)

Abaixo enunciamos o Teorema da Equipartição de Energia.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O Teorema da Equipartição da Energia

Em um sistema termodinâmico em equilíbrio térmico a uma temperatura T, com N graus de liberdade, cada um deles contribui para o sistema com a mesma quantidade de energia elementar k_B

⋅⋅⋅⋅

T.

k_B = 1,38××××10-23 _J/K_{: constante de Boltzmann}

Assim, a energia total de

um sistema com N graus de

liberdade é igual a N

⋅⋅⋅⋅

k_B

⋅⋅⋅⋅

T.

T

k

N

(46)

Nesta equação

∆∆∆∆

n é o número de modos normais de oscilação (graus de liberdade) do campo de radiação com frequência entre

νννν

e

νννν

+

∆ν

.

Desta forma, a energia total contida no campo de radiação com frequência entre νννν e

νννν

+

∆ν

é dada pela equação mostrada abaixo.

n

T

k

U

=

_B

⋅

∆

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(47)

Sir Rayleigh levou em conta ainda que

a cavidade era feita com material

condutor.

O problema então passa a ser construir um modelo para o cálculo da quantidade

∆∆∆∆

n.

Para este cálculo, Sir Rayleigh considerou a radiação de corpo negro como sendo o campo eletromagnético dentro de uma cavidade a uma dada temperatura T.

Desta forma, o campo elétrico na superfície da cavidade deve ser nulo!!!

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Características do campo eletromagnético na cavidade

(48)

Após um cálculo exaustivo, e levando em conta a

contribuição dada por Jeans, Sir Rayleigh obteve uma

expressão para o número de modos de oscilação do campo eletromagnético na cavidade.

ν

π

⋅

∆

⋅

=

∆

2

3

8 c

a

n

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Os modos normais de oscilação do campo de radiação

Cavidade cúbica de aresta a e volume a3

(49)

Após ter calculado o número total de modos de oscilação

do campo eletromagnético, Sir Rayleigh pôde então

determinar a energia do campo de radiação

∆∆∆∆

U.

Lembremos que no modelo clássico proposto por Sir

Rayleigh a energia do campo de radiação é proporcional a

k_B

⋅⋅⋅⋅

T e dada pela equação mostrada abaixo.

n

T

k

U

=

_B

⋅

∆

ν

π

⋅

∆

⋅

=

∆

2 3 3

8 k

T

c

a

U

_B 4. O MODELO DE RAYLEIGH-JEANS

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

De volta ao Teorema da Equipartição da Energia

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(50)

Como a frequência do campo eletromagnético é uma variável contínua, Sir Rayleigh obteve a energia do campo de radiação dU com frequências entre

νννν

e

νννν

+d

νννν

.

ν

π

k

T

d

c

a

dU

=

⋅

₃

⋅

_B

⋅

2

⋅

3

8

Com este resultado, Sir Rayleigh pôde determinar a

densidade espectral de energia do campo de radiação u_νννν(

νννν

).

( )

2 3

8 ν

π

ν

=

⋅

k

⋅

T

⋅

c

u

_B 4. O MODELO DE RAYLEIGH-JEANS

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A obtenção de uma fórmula para a radiância espectral

( )

2 2

2 ν

π

ν

=

⋅

k

⋅

T

⋅

c

R

_B

(51)

( )

2 2

2 ν

π

ν

=

⋅

k

⋅

T

⋅

c

R

_B

Vamos agora fazer a comparação entre o resultado teórico obtido por Sir Rayleigh (usando apenas argumentos

clássicos) com os resultados

experimentais.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Os problemas do modelo clássico de Rayleigh-Jeans

Usamos então as relações entre u_νννν(

νννν

) e R_λλλλ(

λλλλ

) para obtermos a expressão para a radiância espectral mostrado abaixo.

(52)

Para evidenciar ainda mais a falha no resultado obtido por Lord Rayleigh vamos calcular a energia total do campo eletromagnético contido na cavidade.

∫

∞ ⋅ ⋅ = 0 3 ν ν d u a U

∫

∞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0 2 3 3 3 8 π ν ν d T k c a a U _B

U

→

∞

Ao aparecimento deste absurdo e

impossível infinito no resultado, dá-se o nome de catástrofe do ultravioleta.

É importante frisar que o absurdo da

catástrofe do ultravioleta era do

conhecimento de Lord Rayleigh.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(53)

CATÁSTROFE DO ULTRAVIOLETA MODELO CLÁSSICO É INADEQUADO

⇒

FALHA AO USAR O TEOREMA DA EQUIPARTIÇÃO DA ENERGIA NECESSIDADE DE UM

NOVO MODELO PARA DESCREVER AS TROCAS

DE ENERGIA ENTRE A

RADIAÇÃO E A MATÉRIA

O quadro abaixo mostra a situação encontrada por Max

Planck quando ele resolveu atacar o problema da radiação de corpo negro a partir dos primeiros princípios da Física.

⇐

⇓

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(54)

3. Modelo de Wien

5. Modelo de Planck

4. Modelo de Rayleigh-Jeans

1. Introdução

(55)

Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) era professor na Universidade Friedrich Wilhelm em Berlim no ano de 1900, sucedendo a Gustav Kirchoff na cadeira de Física Teórica, quando desenvolveu a teoria sobre a radiação de corpo negro.

Max Planck

Abordagem histórica

5. O MODELO DE PLANCK

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Prêmio Nobel de Física de 1918 – “por trabalhos

no desenvolvimento da Física e pela descoberta

dos quanta de energia”

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

(56)

Por residir em Berlim, Planck tinha contato permanente

com os pesquisadores do Physicalisch-Technische

Reichsanstall, tais como Lummer, Pringsheim, Rubens e

Kurlbaum.

Ao longo do ano de 1900, de Fevereiro a

Outubro, estes cientistas haviam obtido uma curva experimental para a radiação emitida por um corpo negro.

Como já vimos, estes resultados

contradiziam o modelo teórico

apresentado por Wien em 1896. Um pouco mais de história

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Espectro de corpo negro

(57)

Planck decidiu então abordar o problema da radiação de corpo negro, já que havia um desafio em obter um modelo teórico que explicasse o resultado experimental.

Em Outubro de 1900, Planck encontrou uma fórmula que

fornecia um excelente ajuste a todos os resultados

experimentais conhecidos.

Nos três meses seguintes, Planck buscou ume

justificativa teórica para a sua fórmula. Mais história

(58)

Para chegar ao resultado final, Planck utilizou argumentos da Teoria Eletromagnética, da Termodinâmica e da Mecânica Estatística.

Por desenvolver seu modelo no mesmo ano, Planck, ao

que parece, não conhecia ou não deu importância aos resultados obtidos por Sir Rayleigh.

Como vemos, Planck procurou por um modelo teórico

que levasse em conta todos as grandes teorias existentes na sua época.

A abordagem de Planck

(59)

Planck considerou que o emissor de radiação eram as cargas elétricas presentes na superfície do corpo negro.

Assim, estas cargas elétricas comportavam-se como

osciladores radiantes.

Desta forma, para Planck era muito importante utilizar os conceitos da Teoria Eletromagnética.

Segundo Planck, as cargas elétricas oscilavam excitadas pela temperatura do corpo aquecido.

A origem da radiação nos corpos aquecidos

(60)

Por sua vez, Planck dominava como poucos os conceitos

da Termodinâmica.

Ele percebeu que o conceito de entropia deveria

desempenhar um papel importante no processo de troca de

energia entre o corpo negro aquecido (matéria) e a radiação.

Por fim, como havia um número muito grande de

osciladores presentes na matéria, Planck considerou

importante usar os conceitos da Mecânica Estatística. O papel da entropia da radiação

(61)

No artigo “Sobre um aperfeiçoamento da fórmula de Wien” publicado em 1900, Planck mostrou que a fórmula de

Wien não era válida para todas as frequências emitidas pelo corpo negro.

Como vimos, Planck partiu do princípio que a radiação emitida por um corpo aquecido era proveniente das cargas das paredes da cavidade, aceleradas pela temperatura.

A fórmula de Wien ela era apenas aproximadamente

correta como caso limite para grandes frequências. Uma primeira abordagem de Planck

(62)

Planck considerou a situação mais simples, na qual as cargas aceleradas executam um movimento harmônico simples com frequência

νννν

.

Estas cargas em movimento harmônico simples

constituem-se em osciladores carregados.

Os osciladores carregados como emissores de radiação

(63)

Em primeiro lugar Planck procurou escrever uma expressão para a densidade de energia espectral u_νννν do

campo eletromagnético em termos da energia média do

oscilador.

Para isto, Planck considerou que os osciladores das

paredes das cavidades estavam em equilíbrio termodinâmico com a radiação eletromagnética estabelecida em seu interior.

Assim, a perda de energia de cada oscilador seria compensada pela absorção da energia da radiação.

O papel do equilíbrio termodinâmico

(64)

U

c

R

_ν

=

2 ⋅

₂

π

⋅

ν

2 ⋅

Esta expressão mostra que a radiância espectral da radiação é determinada pela energia média do conjunto dos osciladores carregados.

Assim, impondo o equilíbrio termodinâmico entre

osciladores e radiação em 1899 Planck obteve o conhecido

Teorema de Planck, cujo resultado é mostrado abaixo. O Teorema de Planck

(65)

Planck, por sua vez, preferiu realizar uma abordagem

termodinâmica para o cálculo da energia média dos

osciladores.

Ele levou em conta a relação entre a entropia de um único

oscilador e a sua energia média, mantido o volume da

cavidade constante.

Planck tomou como base o modelo empírico de Wien, que ele sabia que apresentava bom comportamento para altas frequências mas ruim para baixas frequências.

O primeiro trabalho de Planck: o ajuste de curvas

(66)

Após fazer um pequeno ajuste na fórmula de Wien,

Planck obteve a expressão para a energia média dos osciladores, mostrada abaixo.

Planck substituiu esta

expressão em seu teorema e obteve o resultado mostrado abaixo.

1 exp



−











⋅

=

T

A

B

U

( )

      −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 exp 2 2 2 T A B B c R_ν

ν

π

ν

O ajuste de curvas via correção na fórmula de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(67)

Mas, e as constantes A e B? Como Planck as determinou?

Para determinar a constante B Planck seguiu o

argumento de Wien tal que u_νννν(

νννν

) =

νννν

3

⋅⋅⋅⋅

_f(

νννν

_/T) _{(correto!!!).} Para satisfazer o argumento de

Wien, esta condição,

necessariamente a constante B deve ser proporcional à frequência.

ν

⋅

=

c

₁

B

( )

      −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 exp 2 1 3 2 1 T A c c c R ν ν π ν ν

A obtenção do resultado correto!!!

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(68)

Assim, Planck obteve a expressão para a radiância espectral, mostrada abaixo.

( )

      −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 exp 2 1 3 2 1 T A c c c R

ν

π

ν

Este resultado ajusta-se

completamente com os dados

obtidos experimentalmente,

dependendo apenas dos valores das constantes c₁ e A!!!

O ajuste perfeito com a curva experimental

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(69)

( )













−













⋅

=

1 exp

2

1 3 2 1

T

A

c

R

ν

π

ν

Este resultado foi publicado em 1900 no artigo “Sobre um aperfeiçoamento da equação de Wien para o espectro”, já citado anteriormente.

Nas palavras de Planck: “como demonstrado por exemplos numéricos, tal fórmula se ajusta muito bem aos dados experimentais existentes (com valores convenientes das constantes c₁ e A). Gostaria então de chamar a nossa atenção para essa fórmula que considero a mais simples possível, além da de Wien, sob o ponto de vista da teoria eletromagnética da radiação”.

A surpresa (??!!!) de Planck

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(70)

A fórmula obtida pelo ajuste de curvas ainda é EMPÍRICA, isto é, NÃO existe um modelo físico que a justifique.

FÓRMULA EMPÍRICA Precisa de uma teoria que a justifique!!! ( )       −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 exp 2 1 3 2 1 T A c c c R ν ν π ν ν _⇒_⇒_⇒_⇒ _⇒_⇒_⇒_⇒

O próprio Planck não ficou totalmente satisfeito com a “dedução” da fórmula acima, pois ele sabia que tal fórmula carecia de fundamentação física.

Assim, Planck procurou (e encontrou em alguns

meses!!!) por um modelo que justificasse a equação

encontrada empiricamente. A falta de um modelo físico

(71)

Ao procurar dar um conteúdo físico para sua fórmula,

Planck se deu conta que a entropia dos osciladores teria que ser determinada por argumentos probabilísticos.

Para tal, Planck utilizou-se dos conceitos da Mecânica Estatística, recém desenvolvida por Boltzmann.

Planck aplicou a análise

combinatória de Boltzmann, dividindo a

energia total U de um conjunto de N

osciladores idênticos e distinguíveis, tal que a sua energia média é dada pela

equação ao lado.

N

U

=

O segundo trabalho de Planck: o modelo físico

(72)

Por outro lado, Planck admitiu que

poderiam existir M células

indistinguíveis tal que a energia E de um

único oscilador pode ser facilmente calculado.

Desta forma, Planck distribuiu os N osciladores pelas M células e calculou o número total de estados possíveis G desta distribuição.

(

)

(

)

(

!

)

!

1 !

!

1 N

M

N

M

N

G

⋅

+

≅

−

⋅

−

+

=

M

U

E

=

N e M são números muito grandes

Uma abordagem estatística

(73)

Pela Mecânica Estatística, a entropia de um sistema está

associada ao número de estados possíveis G existentes

dentro dele através da relação obtida por Boltzmann.

G

k

S

=

_B

⋅

ln

de Assim, aN osciladores distribuídosentropia do sistema

por M células é facilmente

determinada.

(

)

( )













⋅

+

⋅

=

!

ln

N

M

N

k

S

_B

O papel da entropia da radiação

(74)

Após um exaustivo

cálculo, Planck chegou

então ao resultado mostrado ao lado.













+

⋅

=

U

E

k

T

B

1 ln

1

A partir daí, Planck foi capaz de calcular a energia média dos osciladores como mostrado abaixo.













−













⋅

=

1 exp

T

k

E

U

B E é a energia de um único oscilador

A obtenção da energia média dos osciladores

(75)

Planck propôs então que a energia de um único oscilador

E fosse proporcional à frequência

νννν

.

ν

⋅

=

h

E













−













⋅

=

1 exp

T

k

h

U

B

ν

h é uma constante a ser determinada (constante de Planck)

Esta proposição de Planck é coerente com os argumentos

(corretos!!!) de Wien que

tenhamos u_νννν(

νννν

) =

νννν

3

⋅⋅⋅⋅

f(

νννν

/T) e leva ao resultado mostrado ao lado.

A energia de um único oscilador

(76)

Depois de calcular a energia média dos osciladores,

Planck utilizou o seu teorema e determinou a radiância espectral.

( )













−













⋅

=

1 exp

2

3 2

T

A

h

c

h

R

ν

π

ν

A determinação da radiância espectral

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

(77)

Porém, após chegar com sucesso ao resultado correto para o espectro de radiação de um corpo negro, uma questão ainda precisou ser respondida por Planck.

Qual comportamento

deve ter a interação da

radiação com a matéria para

que um oscilador com

energia h

⋅ν

produza uma energia média do conjunto de

osciladores igual ao

resultado obtido por ele?













−













⋅

=

1 exp

T

k

h

U

B

ν

???? Um questionamento de Planck 5. O MODELO DE PLANCK

(78)

Planck admitiu que a interação entre o campo de radiação e o corpo aquecido se dava através de trocas de energias

discretas (não-contínuas)!!!

O modelo de Planck está baseado no postulado

fundamental de que a troca de energia entre os osciladores e o campo de radiação NÃO é uma grandeza contínua, mas só

pode se dar através de valores discretos e múltiplos de uma

quantidade elementar.

A resposta de Planck ao seu questionamento

(79)

n é um número inteiro

Como as trocas de energia se dão de forma discreta,

nesta situação a energia dos osciladores U também pode

admitir apenas valores discretos, múltiplos do QUANTUM DE ENERGIA. 0

U

n

U

=

_n

=

⋅

Assim, Planck propôs que a energia dos osciladores só pode ser múltiplo inteiro de uma quantidade elementar U₀.

U₀ é o

QUANTUM DE ENERGIA

As trocas de energia no modelo de Planck

(80)

U c R = ⋅ ₂⋅ ⋅ 2 2 π ν ν

( )

      −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = 1 exp 2 4 3 2 T k h c h u c R B ν ν π ν ν _ν ν

Assim, a proposição de Planck de que as trocas de

energia entre a matéria (osciladores!!!) e a radiação são quantizadas leva ao resultado esperado para a radiância espectral para a radiação de corpo negro.

0

U

n

U

=

⋅

O resultado final e correto!!!

(81)

Partindo da fórmula de Planck, que é aquela que traduz com exatidão os resultados experimentais, podemos fazer uma comparação entre todos os modelos estudados.

Com esta equação podemos estudar as situações limites para baixas freqüências (comprimentos de onda elevados) e altas frequências (comprimentos de onda baixos).

Modelo de Wien e Modelo de Rayleigh-Jeans como casos particulares do Modelo de Planck

(82)

Estes resultados podem ser sintetizados no gráfico abaixo.

( )

2 ₄

λ

π

λ

λ T k c h R = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ B ⋅ ( ) _      ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = T k c h c h R B λ λ π λ λ exp 2 5 2

( )

      −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 exp 1 2 5 2 T k c h c h R B λ λ π λ λ W R-J P

Um olhar sobre as três equações relativas a cada modelo

(83)

É possível afirmar sem medo de errar que a Física tomou

outro rumo após a contribuição de Planck para a

compreensão da radiação emitida por um corpo aquecido.

Ao invocar ideias da Mecânica Estatística para obter sua fórmula, Planck só conseguiu este objetivo introduzindo conceitos totalmente contraditórios à Física Clássica.

Nas palavras do próprio Planck: “Consideramos, porém –

este é o ponto mais importante de todo o cálculo – que a energia dos osciladores é a soma de um número inteiro de partes iguais”.

O legado de Max Planck para a Física

(84)

Por muitos anos Planck procurou conciliar as concepções clássicas com a ideia da quantização, ao ponto de, em 1931 afirmar que seu rompimento com a Física

Clássica foi “um ato de desespero”.

Apesar de sua contribuição revolucionária, ironicamente

Planck era, por formação, um físico muito conservador,

convicto da validade da Física Clássica.

Por causa disso o físico e historiador da Ciência

Abraham Pais caracterizou Planck como um “revolucionário relutante”.

Planck, o revolucionário relutante

(85)

Einstein foi o primeiro físico – e por cerca de 25 anos, o

único – a perceber as consequências revolucionárias dos

resultados de Planck sobre a natureza da radiação,

baseando-se nelas para introduzir o conceito de fóton.

A rigor, o nome “quantum de energia” foi dado por

Einstein em 1905 em seu trabalho sobre o Efeito Fotoelétrico.

A formulação quantitativa da Mecânica Quântica só ocorreu a partir de 1925 com os trabalhos de Heisenberg,

Schroedinger, Dirac e Born.

Planck e o “quantum de energia”