DETERMINAÇÃO DE MOVIMENTOS VERTICAIS A PARTIR DE DIFERENTES MÉTODOS NUMÉRICOS

DETERMINAÇÃO DE MOVIMENTOS VERTICAIS A PARTIR DE DIFERENTES MÉTODOS NUMÉRICOS

Helber Barros Gomes1, Marco Antonio Maringolo Lemes2

ABSTRACT. Three distinct numerical methods were used for calculating the horizontal divergence from radiosonde wind observations in three non-aligned stations as part of the Large Scale

Biosphere-Atmosphere Experiment in Amazonia / Tropical Rainfall Measuring Mission

(LBA/TRMM) during the period between January, 24 to February, 24 in 1999. These methods were validated with theoretical data and yield identical numerical results as they should. As an

application, the kinematic method for determining the vertical profile of w (vertical motion in z coordinates) was used. The results were consistent with those obtained from a rough scale analysis.

RESUMO. Três métodos numéricos distintos foram utilizados para o cálculo da divergência horizontal a partir de observações de radiossondagem feitas durante o Large Scale Biosphere-Atmosphere Experiment in Amazônia/ Tropical Rainfall Measuring Mission (LBA/TRMM), realizado na região Amazônica, durante o período de 24 de janeiro a 24 de fevereiro de 1999. Estes métodos foram validados com dados teóricos e produziram resultados numéricos idênticos, como era de se esperar. Como uma aplicação, os resultados foram usados para a determinação do perfil vertical de w (componente z do movimento), usando o método cinemático. Os resultados foram consistentes com aqueles obtidos a partir de uma análise de escala simples.

Palavras-Chaves: Método cinemático, Método do mínimo quadrado e Movimentos verticais.

INTRODUÇÃO

O movimento vertical está intimamente ligado a fenômenos de importância meteorológica, e sua determinação é fundamental em previsão de tempo. Nas escalas meso-β e meso-α (Orlansky, 1975), o movimento vertical é uma variável essencial a previsões confiáveis de precipitação dentro dos sistemas sinóticos e de escalas regionais, geralmente superpostos aos primeiros. Mas sua importância não se restringe somente ao processo de saturação e precipitação da água na presença de correntes ascendentes. As dificuldades básicas que caracterizam esses movimentos em grandes escalas são suas pequenas magnitudes (da ordem de cm/s) quando comparados aos correspondentes movimentos horizontais (da ordem de 10 m/s) e a impossibilidade de serem diretamente

observados. Ainda, como os movimentos de grande escala caracterizam-se por uma pequena razão de aspecto, eles são quase hidrostáticos e, portanto não podem ser diagnosticamentemente

determinados noss modelos de Previsão Numérica de Tempo (PNT).

1

Pós-graduando em Ciências Atmosféricas, Bolsista FAPESP, Universidade de São Paulo – IAG/USP. Rua do Matão, 1226, 05505-900 – São Paulo – Brasil. E-mail: [email protected]

2

Professor Msc. do Instituto de Ciências Atmosféricas da Universidade Federal de Alagoas – ICAT/UFAL. E-mail: [email protected]

Historicamente, surgiram vários métodos de determinação separada do movimento vertical em escala sinótica, entre eles, o método termodinâmico, da advecção de vorticidade e cinemático. Relativamente poucos trabalhos específicos sobre movimentos verticais sobre a América do Sul podem ser encontrados, mas Bertolossi (1988) fez um estudo de caráter observacional sobre a aplicação desses métodos, para caracterizar o padrão de movimentos verticais associados a vários sistemas sinóticos atuantes nesse continente.

O método cinemático baseado na equação da continuidade, apesar do inconveniente de ser extremamente sensível a pequenos erros no campo do vento horizontal (Holton, 1992), foi usado nesse trabalho. A construção do perfil vertical da divergência horizontal do vento foi obtida através de três métodos distintos. Com exceção do cálculo da velocidade vertical w, nenhuma preocupação houve em se usar o software a qualquer situação prática no contexto meteorológico.

DADOS E METODOLOGIA

Foram utilizados para o presente estudo dados do experimento de campo do Large Scale Biosphere-Atmosphere Experiment in Amazônia/ Tropical Rainfall Measuring Mission

(LBA/TRMM) realizado na região Amazônica, durante o período de 24 de janeiro a 24 de fevereiro de 1999.

A metodologia aplicada a este estudo baseia-se na implementação de três métodos distintos de se determinar a divergência horizontal e o conseqüente perfil vertical de w usando o método cinemático, todos brevemente descritos a seguir:

Método da Matriz

A análise linear de um escoamento quase-horizontal consiste em uma expansão das componentes do vento em série de Taylor em torno de um ponto A (ponto da análise), onde a velocidade é conhecida, com o propósito de se determinar os valores da velocidade em um ponto B qualquer de sua vizinhança. Esse método foi desenvolvido para o caso de somente três observações não colineares3 para ser validado com os dados do LBA/TRMM. Esse método fornece

simultaneamente os valores das grandezas cinemáticas: divergência, vorticidade e os dois termos de deformação, além do valor médio do vento (duas componentes) no ponto de análise.

As informações contendo as coordenadas das três estações são expressas por uma matriz E

dada por:

3

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − = 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x y x y 1 0 y x y x 0 1 x y x y 1 0 y x y x 0 1 x y x y 1 0 y x y x 0 1 E , (1)

onde se pode notar que a não colinearidade das estações garante que E seja não singular. As informações dos ventos observados são colocadas na matriz coluna U (vide rodapé4) e as

incógnitas em S (vide rodapé4). Desse modo à aplicação sucessiva da equação para os três pares (estação centróide) resulta em uma equação matricial dada por: U =ES, a qual pode ser invertida resultando na solução S S I S E E E−1U = −1 = = , (2) Método da Integral

Ao contrário do método matricial, o método da integral fornece separadamente os valores das grandezas a partir do cálculo de integrais de linha apropriadas. Em particular, a divergência horizontal foi calculada usando

∫∫

Δ = → Δ S S _S dS Lim 1 V.n 0 δ ₍₂₎

onde S indica uma superfície planar e n o versor normal. Deve-se notar que nesse trabalho, o valor exato não é obtido pois a passagem do limite da área tendendo para zero é impraticável no caso de dados reais. Menciona-se que no algoritmo acima, no caso presente de um circuito triangular, as componentes normal do vento normal aos lados do triângulo variam linearmente sobre mesmos. Método do Mínimo Quadrado

Por esse método procura-se uma superfície ótima de interpolação (superfície ou função interpoladora), do tipo polinomial quando N observações f(x,y) e suas coordenadas (x, y) são conhecidas para inferir as grandezas cinemáticas referentes a um determinado nível horizontal (ou isobárico).

A melhor estimativa de f(x, y) pode ser obtida minimizando o chamado erro médio quadrático, definido por

4

(

)

T 3 3 2 2 1 1,v ,u ,v ,u ,v u U≡ e S=

(

u_o,v_o,δ,ζ,D₁,D₂

)

T, respectivamente.

[

]

2 N 1 i i i i i,y ) fˆ(x ,y ) f(x ε

∑

= − = . (3)

No presente caso, N = 3 e a superfície interpoladora é um plano dado por y a x a a y) f(x, = _o + ₁ + ₂ . (4)

A determinação dos coeficientes do polinômio interpolador, isto é, {ak, k = 0,1,2} é feita através da minimização deε com respeito a esses coeficientes. Esse procedimento de minimização requer que as derivadas do erro com respeito aos coeficientes sejam nula, procedimento esse que resulta as seguintes equações:

∑

∑

∑

= = = = + + 3 1 k i i 3 1 k 3 1 k i 2 i 1 o a x a y uˆ(x ,y ) a 3 (5.a)

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + 3 1 k i i i 3 1 k i i 2 3 1 k 2 i 1 3 1 k i o x a x a x y x uˆ(x ,y ) a (5.b)

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + 3 1 k i i i 3 1 k 2 i 2 3 1 k i i 1 3 1 k i o y a x y a y yuˆ(x ,y ) a (5.c)

As equações (5.a, 5.b e 5.c) constituem um sistema simultâneo de equações algébricas (linearmente independentes pois as três estações, por hipótese, não são colineares), cuja solução, por métodos padrões, fornece os valores desejados de ao, a1 e a2. O mesmo procedimento é usado para a componente meridional v (não mostrada em função do espaço).

A velocidade média, a divergência horizontal, a vorticidade relativa e os dois termos de deformação do escoamento relacionam-se com os coeficientes dos polinômios interpoladores através de (uo, vo) = (ao, bo) (6) 2 1 b a δ= + (7) 2 1 a b ζ= − (8) D1=a1− b2 (9) D2 =b1 + . a2 (10) Método Cinemático

Nesse método, o movimento vertical é obtido pela integração vertical da equação da continuidade. No entanto, existem dificuldades de ordem prática por trás dessa equação aparentemente simples no tocante a pequenos erros nos ventos acarretarem grandes erros na divergência horizontal (Holton, 1992). Procedimentos padrões para minimizar os erros acumulativos na integração vertical da equação da continuidade, como o esquema de O`Brien (1969) que propôs um ajustamento de segunda ordem que exige a especificação de duas condições

de contorno, para a velocidade vertical (velocidade vertical nula na superfície e próximo à tropopausa) podem ser encontrados em Krishnamurty (1986)

Como em geral, o sinal algébrico de w permanece o mesmo para todos os níveis troposféricos de uma coluna que se estende da superfície (onde w = 0, no caso de ausência de topografia) até à tropopausa (z = H, onde w = 0 é ainda uma aproximação razoável, considerando a grande estabilidade estática da estratosfera), conclui-se que a derivada vertical w(z) deve mudar de sinal em algum nível intermediário.

RESULTADOS E DISCUSSÕES Teste de Validação

Os métodos desenvolvidos foram validados através de comparações com dados reais [uma única referência, Bluestein (1992)] e com valores obtidos através de experimentos com dados teóricos (não mostrados). Os dados reais referem-se a um único nível vertical (não mencionado), mas para os propósitos presentes são suficientes. Menciona-se que Bluestein (1992) contem erros tipográficos referente aos sinais das componentes do vento em sua Figura 3.42, página 122, bem como à sua definição da matriz X(equação 3.2.26) que deve ser lida como a transposta de X. Dados do LBA

As figuras 1a e 1b mostram, respectivamente, o perfil vertical da divergência horizontal a partir dos dados originais usando um intervalo de amostragem de 300 m e o mesmo após ser filtrado usando um filtro Shapiro (1970). Foram feitos, ainda, um mesmo perfil vertical de divergência após ser corrigida e um mesmo perfil vertical de divergência horizontal corrigido e filtrado (figuras não mostradas) usando o filtro Shapiro corrigido que impõe o principio de compensação de Dynes (continuidade de massa na vertical). As figuras 2a e 2b mostram os perfis verticais de w (cm/s) usando os campos de divergência original e o de divergência corrigida (não filtrado),

respectivamente.

Figura 1 – Perfil vertical de divergência horizontal (a) e divergência horizontal filtrada (b) usando dados originais para o dia 1 de fevereiro de 1999, as 15 hora local.

Figura 2 – Perfis verticais da componente w (cm/s) do movimento, a partir da divergência horizontal (a) e divergência horizontal corrigida (b) para o dia 1 de fevereiro de 1999, as 15 hora local.

CONCLUSÕES

O presente trabalho teve por objetivo desenvolver, validar e testar um esquema que permite obter o perfil vertical de movimento w a partir de dados de ar superior obtidos em estações não regularmente distribuídas. O esquema foi testado com os dados do Experimento LBA/TRMM (três estações) e mostrou resultados consistentes com os de uma análise simples de escala[ ver Holton (1992) e Lemes e Moura (2002)], da ordem de 10 cm/s, bastando usar L (escala horizontal) da ordem de 100 km – que é o espaçamento típico entre as estações – e uma redução de uma ordem de magnitude (fator 10) devido à estabilidade estática da atmosfera em áreas sem convecção.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BERTOLOSSI, R. Um estudo comparativo entre a velocidade vertical e o vetor Q de Hoskins, com alicação em sistemas sinóticos típicos do sul e sudeste do Brasil. Dissertação de mestrado. São Jose dos Campos, INPE, nov. 1988 (INPE-4786-TDL/352).

BLUESTEIN, H. B. Synoptic-dynamic meteorology in midlatitudes, V.2. 1a Ed., Oxford University Press, Inc. 431 pp, 1992.

HOLTON, J. R. An introduction to dynamic meteorology. 3a Ed., AcademicPress, Inc. 511 pp, 1992.

KRISHNAMURTY, T. N. Workbook on numerical weather prediction for the tropics for the training of class I and class II meteorological personnel. World Meteorological Organization, no

LEMES, M.A.M. e MOURA, A.D. Fundamentos de dinâmica aplicados à meteorologia e oceanografia. 2ª Ed., Holos Editora, Riberirão Preto, SP, 296pp., 2002.

O’BRIEN, J.J. A direct numerical solution to a one-dimensional Helmholtz equation. Journal Computational Physics, 3(3): 544-546, Apr. 1969.

ORLANSKI, I. A rational subdivision of scales for atmospheric processes. Bull. Amer. Meteor. Soc., 56(5): 527-534,1975.

SHAPIRO, R. Smoothing, Filtering and Boundary Effects. Reviews of Geophysics and Space Physics, Vol. 8, No. 2, May 1970, 359-387p.