UMA ABORDAGEM EVOLUTIVA MULTIOBJETIVO PARA O PROBLEMA DE CONTROLE DE EPIDEMIAS
Amanda Cecília Sant’Ana Dusse¹1 – amandusse@gmail.com
Graduação em Engenharia Elétrica – Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, Av. Amazonas, 7675, 30.510-000 Belo Horizonte, MG, Brasil
Rodrigo Tomás Nogueira Cardoso – rodrigoc@des.cefetmg.br
Departamento de Física e Matemática – Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, Av. Amazonas, 7675, 30.510-000 Belo Horizonte, MG, Brasil
RESUMO. A epidemiologia matemática busca modelar matematicamente a interação entre
parasitas e hospedeiros, com o intuito de compreender os mecanismos de transmissão das doenças, e assim proporcionar melhores estratégias para o controle de epidemias. O modelo de equações diferenciais SIR, que tem sido o mais utilizado para estudar os sistemas epidemiológicos, classifica os indivíduos de uma população em três estados: suscetíveis, infectados e recuperados, e descreve as relações entre eles. A Leishmaniose envolve um parasita e dois hospedeiros vertebrados, e também pode ser modelada por meio de equações diferenciais. Neste trabalho, os seguintes aspectos são investigados, considerando a minimização dos custos de prevenção e de tratamento da epidemia: (i) a influência da otimização da vacinação pulsada na dinâmica do modelo SIR; (ii) o estudo do modelo da Leishmaniose, e da influência do uso de coleiras e de abatimento de cães infectados na propagação da epidemia em humanos. Os resultados obtidos mostram os conjuntos de soluções eficientes, e apresentam pistas para a implementação de soluções ótimas no controle de epidemias, na prática. Estes, de um modo geral, indicam que a prevenção é, de fato, a melhor maneira de evitar o aumento da epidemia.
Palavras-chave: otimização dinâmica multiobjetivo, modelo SIR, controle da leishmaniose 1. INTRODUÇÃO
A modelagem matemática é uma técnica que visa utilizar de métodos matemáticos para estudar problemas das mais diversas áreas. No caso de estudos epidemiológicos, a modelagem matemática possibilita entender melhor a dinâmica de propagação de uma doença, em uma determinada situação. Sendo assim, ela proporciona uma melhor compreensão dos mecanismos reais de transmissão das doenças, e assim permite criar estratégias mais baratas e efetivas para o controle de infecções [1].
Nas doenças parasitárias, a epidemiologia matemática é fundamentada em hipóteses, que quantificam alguns aspectos da interação entre o parasita e o hospedeiro [7]. Uma das dificuldades dos modelos matemáticos atuais é considerar todos os fatores que atuam em uma determinada doença, o que o tornaria muito complexo. De maneira geral, utilizam-se os mais significativos, para simplificar o modelo.
O uso da otimização nesta área permite determinar a maneira mais eficaz de implementar o controle de uma epidemia [1], reduzindo os custos e maximizando a eficiência dos resultados. Sob o ponto de vista da otimização multiobjetivo, poder-se-á considerar a minimização tanto dos custos de prevenção quanto dos custos de tratamento da epidemia, encontrando conjuntos de soluções eficientes ou Pareto-ótimas [9].
Este trabalho tem como objetivos estudar e implementar a modelagem da dinâmica da propagação de epidemias usando equações diferenciais e a aplicação do controle via otimização dinâmica multiobjetivo. A ênfase desse trabalho será a doença Leishmaniose, uma das seis doenças mais importantes do mundo, com ainda poucos mecanismos de controle implementados.
Assim sendo, este problema é de extrema importância prática; bem como científica, uma vez que permite a junção de duas áreas: a modelagem de epidemias e o controle dinâmico multiobjetivo.
2. O MODELO SIR
O modelo SIR representa o sistema dinâmico via equações diferenciais ordinárias, a fim de possibilitar o estudo da evolução da doença ao longo dos anos. Para isso, os indivíduos são divididos em três estados: suscetíveis, infectados e recuperados, conforme representado abaixo [4]:
(1)
O modelo considera a população constante, igual a N, ou seja, as taxas de nascimento e mortalidade são iguais e expressas por μ, que representa a taxa de novos suscetíveis por unidade de tempo. O coeficiente de transmissão que determina a taxa em que novas infecções surgem como conseqüência do contato entre suscetíveis e infectados é definido por β. A taxa de indivíduos infectados que são recuperados é dada por γ.
Como a população é fixa, tem-se R(t)= N - S(t) - I(t). Redefinindo as variáveis como razões s(t) = S(t)/N, i(t) = I(t)/N e r(t) = R(t)/N, pode-se reescrever o sistema em apenas duas variáveis:
(2)
2.1 Vacinação
Um dos métodos utilizados para a prevenção de uma epidemia é a vacinação. Neste trabalho, escolheu-se a técnica da vacinação por pulsos, que consiste em vacinar uma mesma porcentagem da população em campanhas a serem feitas de tempos em tempos fixos.[1,7]
Matematicamente, a ação de controle proposta torna indivíduos suscetíveis em recuperados a uma taxa ρ, sendo ρ a proporção da população imunizada, aplicada em intervalos de tempo de tamanho τ. Considerando tf como sendo o horizonte do problema, a vacinação deve ocorreu em instantes de tempos 0, τ, 2 τ, ..., tf. O modelo resultante é descrito pela Eq. 3.
A vacinação de toda a população é a solução trivial para a erradicação de uma doença. No entanto, não é uma solução viável na prática, pois, além do elevado custo, não há meios de garantir que 100% da população compareça aos postos de vacinação. Por isso, nesse trabalho procuramos uma solução ótima, que diminua os custos com a vacinação e o número de infectados pela epidemia.
(3) t k τ, (k+1) τ; k N s(k τ) 2.2 Otimização
Considera-se como objetivo da otimização a minimização do pico da doença, do número final de infectados e o custo de vacinação, em função da porcentagem de suscetíveis a serem vacinados (p) e do intervalo entre duas campanhas de vacinação (tk). A Eq.(4) indica a função determinada para relacionar esses parâmetros.
(4)
A função deve tender ao infinito sempre que a proporção de vacinados tender a zero ou a um, pois essas são as soluções triviais e/ou inviáveis na prática. Além disso, a solução também deve tender ao infinito quando o período de vacinação tender a um, ou seja, vacinação constante, ou ao período total, que significa não vacinar nenhuma vez. Os custos de tratamento dos doentes no pico da doença, no final do tempo e o custo de vacinação são ponderados, respectivamente, pelas constantes . O processo tem como restrição a
equação diferencial (3), o que torna este um problema de otimização dinâmica.
Os valores para as constantes μ, γ, β e N utilizadas neste trabalho foram retiradas de [7], e estão, bem como as da função-objetivo, apresentadas na Tabela 1.
μ γ β N
1/60 1/3 2,5 1000 5 10 2
Tabela 1: Tabela de constantes usadas neste estudo de caso.
Nesse trabalho, foram utilizadas, inicialmente, métodos de otimização de direções de busca. Entretanto, devido a complexidade do problema, percebeu-se que estes encontravam um mínimo local e ficavam presos a ele, apresentando, basicamente três resultados. Se fosse a maior constante, ou seja, o custo de vacinação fosse o maior, a solução encontrada era não vacinar nenhuma parcela da população. Se fosse a menor constante, ou seja, o custo de tratamento fosse o maior, a solução encontrada era vacinar 100% da população. Caso contrário, o resultado obtido era próximo do encontrado em [7], que também usou métodos de direção de busca, para uma função-objetivo um pouco diferente. Assim sendo, decidiu-se utilizar Algoritmos Genéticos, que são métodos estocásticos de população ou de otimização evolutiva [9]. Desta forma, foram obtidos resultados melhores, variando mais entre os dois
extremos. Os gráficos deste trabalho foram obtidos por meio da a função ‘ga’ do programa MATLAB.
Para o conjunto de parâmetros da Tabela 1, a melhor estratégia de controle da epidemia encontrada é vacinar 50% da população, de, aproximadamente, 12 em 12 unidades de tempo. Acredita-se que esse resultado pode ser empregado em situações práticas. A Fig.1 mostra o comportamento da epidemia nessas circunstâncias.
Figura 1: Plano de fases de (a) vacinação de 50% da população de 12 em 12 anos; (b) vacinação de 75% da população de 6 em 6 meses.
Comparando esse resultado com um obtido em [7], que utiliza o mesmo grupo de parâmetros, conclui-se que esta é uma solução melhor, do ponto de vista prático, pois dobrou o intervalo entre as campanhas de vacinação (de 6 para 12 unidades de tempo), e diminuiu a porcentagem de população vacinada ( de 75% para 50%).
O resultado obtido com a otimização mono-objetivo foi satisfatório, no entanto, pode-se encontrar um resultado mais completo através da otimização multiobjetivo, que têm como objetivo determinar um conjunto de indivíduos, denominado conjunto Pareto-ótimo. Esse conceito se deve ao trabalho de Vilfredo Pareto, que definiu situação Pareto-ótima como sendo a não-dominada, ou aquela na qual não é possível melhorar algum critério sem tornar outro pior. [9].
Considerando dois objetivos, como sendo o de diminuir o custo de vacinação e o número de infectados, descritos nas Eqs.(5) e (6), respectivamente. Foi feita a simulação no MATLAB, através do algoritmo genético multiobjetivo NSGA-II, um método evolutivo estocástico[3]. A curva obtida representa o conjunto Pareto-ótimo, está ilustrada na Fig. 2.
(5)
(6)
A figura ilustra algumas soluções não-dominadas, apresentadas em função dos seus custos de vacinação e com os infectados. Note que para um custo de vacinação baixo, o número de indivíduos infectados é elevado. Para diminuir esse número, é necessário aumentar os custos de vacinação.
Cada solução da Fig. 2 pode ser esboçada no espaço das variáveis de decisão: a proporção de vacinados e intervalo de vacinação, como na Fig 3. Os pontos superiores do gráfico da Fig. 3 correspondem aos pontos da esquerda da Fig 2. Esses pontos indicam a
situação em que é feito pouco controle, e com isso, o número de infectados é elevado. Os pontos inferiores da Fig.3 correspondem aos pontos da direita da Fig 2., que representa a situação na qual é feita um controle maior, e portanto, o número de indivíduos infectados é baixo. Os pontos medianos representam situações intermediárias.
Assim sendo, revela-se, pela otimização multiobjetivo, para cada quantia que se está disposto a investir na prevenção da epidemia, a solução ótima a esta associada, referente ao menor custo de tratamento. A gama de soluções ótimas apresentadas na Fig. 3 permite ao decisor, no caso, o gestor público, implementar a política de controle mais indicada para cada caso, na prática. Por outro lado, pode-se perceber que o valor obtido pela otimização mono-objetivo está próximo do conjunto de soluções não-dominadas obtidos pela otimização multiobjetivo. 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 2 7 0 0 2 8 0 0 2 9 0 0 3 0 0 0 3 1 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 4 0 0 C u s t o d a v a c i n a ç ã o C u s to c o m i n d iv íd u o s i n fe c ta d o s 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0 P r o p o r ç ã o d e v a c i n a d o s In te rv a lo e n tr e a s c a m p a n h a s d e v a c in a ç ã o
Figura 2: Soluções Pareto-ótimas para o modelo SIR. e Figura3: Pares de valores: proporção de vacinados e intervalo de vacinação.
3. LEISHMANIOSE
A Leishmaniose é causada por parasitas que invadem e reproduzem dentro das células do sistema imune do hospedeiro. Existem dois tipos de hospedeiros, os vertebrados e os invertebrados. Os hospedeiros vertebrados, incluem uma grande variedade de mamíferos: roedores, marsupiais, canídeos e primatas. Nesse trabalho vamos considerar apenas o cão e o homem. Os hospedeiros invertebrados são pequenos insetos da ordem Díptera, família Psychodydade, subfamília Phlebotominae, gênero Lutzomyia. Ao picar o cão doente, o mosquito se infectada com a forma amastigota do parasita e essas se transformam em promastigotas. Essas multiplicam e as inúmeras formas promastigotas podem até obstruir o canal alimentar do mosquito. Esse ao picar o homem, inocula saliva contendo as formas promastigotas que infectam o homem. As formas promastigotas, no homem, penetram nas células retículo endoteliais e se transformam em amastigotas, que se multiplicam. O mosquito saudável, ao picar o homem doente (ou o cão), se infecta com as formas amastigotas [8].
O modelo utilizado para descrever a dinâmica da Leishmaniose é semelhante ao modelo SIR, porém um pouco mais complexo. Como o ciclo da doença envolve o mosquito, o cão e o homem, existem os três grupos de indivíduos, e para o cão e homem são considerados os três estados, suscetível, infectado e recuperado, e para o mosquito apenas os dois primeiros, pois não é lógico dizer que um mosquito foi recuperado.
As populações foram consideradas constantes, ou seja, não foram consideradas migrações e as taxas de mortalidade e de natalidade são iguais. Além disso, as variáveis (percentuais das populações) estão normalizadas. Os valores das constantes foram obtidos a partir da bibliografia [8] e estão expressos na Tabela 2.
(7)
Sendo:
μ e μ´- Taxas de mortalidade natural e induzida pela doença
α- Taxa de contato dos hospedeiros suscetíveis com vetor infectado β- Taxa de contato do vetor suscetível com o hospedeiro infectado θ- Taxa de perda de imunidade
γ- Período de recuperação ou infeccioso
α1 18.7 α2 46.4 β1 1 β2 3 μ1 1/52.5 μ11 1/2.707 γ1 0.666 θ1 0.6 μ2 1/10.2 μ21 1/2.3 γ2 1/5 θ2 0.01 μ3 1/0.141 μ31 1/0.019
Tabela 2: Tabela de constantes usadas neste estudo de caso da Leishmaniose. 3.1 Técnicas de controle
O programa brasileiro é composto pela integração de três medidas de saúde pública: a distribuição gratuita do tratamento específico, o controle de reservatórios domésticos e o controle de vetores [2].
O controle de reservatórios tem sido feito através do diagnóstico sorológico de todos os cães domésticos onde existe transmissão de Leishmania chagasi para seres humanos e a eliminação desses. Porém essa técnica tem sido causa de discordância na sociedade científica, tendo como argumentos contra a grande velocidade com que a população canina é reposta, exigindo proporção e freqüência de retiradas de cães soropositivos impraticáveis, a baixa eficiência dos testes sorológicos em detectar infecção canina, a demonstração de que outros reservatórios podem ser fontes de infecção de L. chagasi, tais como canídeos silvestres e marsupiais, entre outros [2]. No modelo matemático, esse controle é representado por um aumento a uma constante ρ nos cães suscetíveis, e um decréscimo dos cães infectados.
Uma outra técnica de prevenção consiste em colocar nos cães suscetíveis uma coleira que possui um princípio ativo que repele o Lutzomya longipalpis. No modelo matemático, esse controle é representado por um aumento a uma constante ρ nos cães recuperados, e um decréscimo dos cães suscetíveis.
Para esse trabalho foram avaliadas as duas técnicas de controle descritas acima. O controle de vetores, embora seja uma técnica eficaz, não foi considerado, pois, a estimativa da quantidade de mosquitos atingidos durante uma ação é imprecisa, portanto, mesmo que fosse obtido um valor ótimo, na prática, ele não seria executado.
3.2 Otimização
Existem dois objetivos principais que devem ser analisados na otimização da Leishmaniose. O primeiro é em função do custo da infecção, e deve minimizar o número total de cães e homens infectados, e especificamente o número final de homens infectados. O segundo é em função do custo da ação de controle, e deve minimizar o total de gastos do governo. Essas funções são consideradas como, respectivamente:
(8) (9)
Sendo constantes referentes aos custos da infecção no homem, da infecção no cão, da eliminação dos cães e da coleira. O processo de otimização tem como restrição a equação diferencial (8).
O primeiro estudo de caso foi feito para cada técnica separadamente e para as duas técnicas juntas, considerando a otimização mono-objetivo com a função custo sendo a soma de F1 com F2 (Equações 8 e 9). Os pesos considerados estão expressos na Tabela 3.
Por dados experimentais, foi constatado que com esses valores, as funções teriam ordem de grandeza diferentes. Portanto, foi necessário multiplicar a segunda função por um fator de potência, para conseguir um resultado satisfatório.
500 5 100 10
Tabela 3: Tabela dos pesos utilizados neste estudo de caso.
Os resultados obtidos pela otimização mono-objetivo usando a função ‘ga’ do programa MATLAB, bem como a dinâmica da doença sem nenhuma forma de controle, estão expressos nos gráficos abaixo. A Fig. 4 mostra como ficaria a dinâmica da Leishmaniose para os valores ótimos de (a) nenhuma ação de controle, (b) apenas abatimento de cães infectados, (c) apenas uso da coleira e (d) as duas técnicas agindo conjuntamente. A Tabela 4 indica os principais valores encontrados no gráfico. Em todos os casos, a dinâmica se estabiliza por volta da vigésima unidade de tempo.
(a) (b) (c) (d)
Coleiras 0% 87,6% 0% 80%
Cães infectados abatidos 0% 0% 89,0% 37%
População canina infectada no pico
55% 2,2% 29% 1,7%
População humana infectada no final do tempo
18% 0% 13% 0%
População canina infectada no final do tempo
26% 0% 16% 0%
Tabela 4: Principais valores encontrados com a otimização mono-objetivo.
Os resultados obtidos ressaltam a idéia que a eutanásia de cães não é uma técnica muito eficaz, e quando comparada com o uso de coleiras, vemos que sua eficiência é consideravelmente mais baixa. De fato, com esses dados experimentais, apenas as coleiras poderiam erradicar a doença. Isso mostra que a prevenção da doença parece ser, de fato, a melhor maneira de evitar o aumento da epidemia. Por esse motivo, é de suma importância que se desenvolva uma vacina para ser aplicada nos cães, pois dessa forma, iria diminuir os reservatórios da doença, e como conseqüência a epidemia perderia sua força. Já existe uma vacina anti-leishmaniose visceral canina, mas ela ainda não é indicada como medida de controle pelo Ministério da Saúde [6].
Assim como foi feito utilizando o modelo SIR, também é possível conseguir uma solução mais completa para o controle da Leishmaniose utilizando a otimização bi-objetivo. Foi feita a simulação no MATLAB, através do algoritmo genético multiobjetivo NSGA-II. O conjunto de soluções Pareto-ótimas está representado na Fig. 5.
Pelo primeiro gráfico, pode-se destacar dois tipos de solução: com pouco controle e elevado número de infectados, com muito controle e poucos infectados. Conforme se diminui o custo com a prevenção da epidemia, os custos com a infecção terão que aumentar, até que
os pontos, que estavam distribuídos formando uma reta vertical levemente inclinada, passam a formar uma reta horizontal, levemente inclinada, indicando que, a partir desse momento, o decréscimo do controle implicará em um aumento maior da quantidade de homens infectados. Os pontos que fazem a transição entre essas duas retas são referentes a uma situação intermediária.
Figura 4: Dinâmica da Leishmaniose sem ação de controle e para diferentes valores ótimos de controle mono-objetivo.
O segundo gráfico indica as proporções de cães que devem ser eliminados e que devem usar a coleira. Percebe-se que há valores próximos ao valor encontrado na otimização mono-objetivo. O resultado indica as soluções de controle mais eficazes, de acordo com as possibilidades de investimento. Essas soluções são importantes, por que, mesmo a doença não venha a ser extinta, deve-se saber qual é o mínimo que deve-se gastar para chegar em um objetivo.
4. CONCLUSÕES
Neste trabalho, foi feita a otimização multiobjetivo, que mostrou a importância de se conhecer o conjunto de soluções eficientes do problema, de modo a evitar que seja feito um investimento grande em um método não eficaz, quando poderia ser feito um investimento menor e obter o mesmo resultado final. De um modo geral, os resultados obtidos indicam que
a prevenção da doença é, de fato, a melhor maneira de evitar o aumento da epidemia e, portanto, é muito importante que ocorra campanhas educativas, além de um grande incentivo para desenvolvimento de vacinas. E no caso específico da Leishmaniose, mostram, também, que o efeito da doença, no homem, é retardado em relação ao cachorro, logo, o controle a doença no cachorro pode ser suficiente para garantir o controle da doença no homem.
Figura 5: Soluções Pareto-ótimas do problema de controle da Leishmaniose
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Cardoso, R. T. N., 2008. Ferramentas para Programação Dinâmica em Malha Aberta. Tese de Doutorado, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais.
[2] Costa CHN, Vieira JBF. Mudanças no controle de leishmaniose visceral no Brasil. Rev Soc Bras Med Trop 2001; 34: 223-8.
[3]Deb, K., Pratab, A., Agrawal, S., Meyarivan, T., 2002. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II. IEEE Transactions on Evolutionary Computation 6 (2), 182{197 [4] Kermack, W. e McKendrick, A. (1927). A contribution to the mathematical theory of epidemics, Proceedings of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences A115: 700–721.
[5] Ministério da Saúde do Brasil. Secretaria de Vigilância em Saúde. Departamento de Vigilância Epidemiológica. Leishmaniose Visceral Grave: Normas e Condutas, 2006.
[6] Ministério da Saúde do Brasil. Secretaria de Vigilância em Saúde. Nota técnica sobre vacina anti-leishmaniose visceral canina. Brasília; 2004. [7] Nepomuceno, E. G., 2005. Dinâmica, modelagem e controle de epidemias. Tese de doutorado, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais.
[8] Rosales, J. C., 2005. Modelagem Matemática da Dinâmica da Leishmaniose . Tese de mestrado, Departamento de Matemática Aplicada, Universidade Estadual de Campinas. [9] Takahashi ,R. H. C.. Otimização escalar e vetorial. Notas de aula, 2008.
AN EVOLUTIONARY MULTIOBJECTIVE APPROACH FOR EPIDEMIC CONTROL PROBLEMS
ABSTRACT. The mathematical epidemiology intends to mathematically model the
interaction between parasites and host aiming to comprehend the mechanisms of the disease transmission and provide better strategies to epidemics control. The SIR differential equations model, which has been the most used to study epidemiological systems, classify the population individuals in three states: susceptibles, infectives and recovered ones, and describe the relationships among them. The Leishmaniose involves two parasites and vertebrates host, and can also be modelled by differential equations. In this work, the following aspects are investigated, considering both the minimization of the prevention and the epidemic treatment costs: (i) the influence of the optimization on the pulse vaccinations campaigns in the SIR dynamics, (ii) the study of the Leishmaniose model, and the influence in the epidemic spread in humans of using dog collars and practing the infected dogs abatement. The obtained results show the efficient solutions set, and also present some tips for the implementation of optimal solutions in the epidemic control, in practice. These results, in general, point that prevention is indeed the best way to avoid the epidemic increase.
