Universidade Federal de Minas Gerais. Física Computacional

FIS045

Métodos Computacionais em física

Cap 7: Equações diferenciais parciais

Prof. Gustavo Guerrero (sala 4120)

e-mail para enviar as listas de exercicios:

s045.ufmg@gmail.com

Universidade Federal de Minas Gerais

2017

Introdução

Em ciências naturais comunmente encontramos problemas com muitas variáveis limitadas por condições de iniciais e de contorno. A grande maioria desses problemas pode ser modelado por equações diferenciais parciais (EDP). Um caso familiar de EDP é a equação de onda que em 1 dimensão tem a forma:

∂2u ∂x2 = A

∂2u

∂t2 (1)

Onde A é uma constante. A solução u depende de variáveis espaciais e temporais, i.e., u = u(x, t)

Eq. de onda em duas dimensões, (

equação hiperbólica

)

Em duas dimensões temos u = u(x, y, t) (u por simplicidade). Essa equação aparece em e.g., ondas em uma mola, ondas de pressão, ondas de supercie, ondas eletromagnéticas, ondas de som.

∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = A ∂2u ∂t2,

Equação de difusão (

equação parabólica

)

A equação de difuão em uma dimensão é: ∂2u ∂x2 = A

∂u

∂t (2)

Nesse caso A é chamada de constante de difusão. Pode ser usada para um grande número de processos difusivos, desde a difusão de moléculas, calor ou campo magnético.

As equações hiperbólica e parabólica são chamados problemas de valor inicial (ou problemas de Cauchy). O valor de u é conhecido em um tempo inicial e a equação descreve como u(x, t) se propaga no espaço e no tempo.

Equação de Laplace (

equação elíptica

)

A equação de Laplace aparece em electrostática, é similar a equação de onda, exeto que A = 0:

∂2u ∂x2+

∂2u

∂y2 =0, (3)

Ou, em caso de existur uma carga representada por uma densidade de carga ρ(x), temos a equação de Poisson:

∂2u ∂x2 +

∂2u

∂y2 = −4πρ(x). (4) Na equação elíptica queremos encontrar uma solução estática u(x, y) que satisfaz a equação numa região (x, y) de interesse. Esse tipo de

problemas são chamado problemas de contorno, com:

I Condições de Dirichlet: especica valores nas fronteiras como

função do tempo.

I Condições de Neumann: especica os valores dos gradientes

normais.

I Condições abertas: permitem o uxo das quantidades através das

Equação de Schroedinger

Em mecanica quantica temos a equação de Schroedinger que em duas dimensões tem a forma:

−∂2u ∂x2 − ∂2u ∂y2+ f (x , y )u = ı ∂u ∂t.

Equações de Maxwell

Um importante sistema de equações diferenciais parciais lineares são as equações de Maxwell, que no caso de carga nula são:

∂E

∂t =curlB, −curlE = B, divE = divB = 0.

Equações de Euler

Um conhecido sistema de EDP não lineares são as equações de Eular, as quais para um caso de um uido incompresivel é não viscoso são:

∂u ∂t + (u · ∇)u = −Dp; divu = 0, onde p é a pressão, e ∇ = ∂ ∂xeˆx+ ∂ ∂yeˆy,

é o operador gradiente. No caso de um uido viscoso temos a equação de Navier-Stokes:

∂u

Equações de uxo-conservativo, problemas de valor inicial

Um grande número de problemas de valor inicial são as equações de uxo conservativo:

∂u ∂t = −

∂F(u) ∂x =0,

onde o vetor F é chamado de uxo conservado. Como exemplo, considere uma equação hiperbólica padrão, i.e., a equação de onda 1D com velocidade de propagação v:

∂2u ∂t2 = v

2∂2u

∂x2, que pode ser escrita como o sistema de equações:

∂r ∂t = v ∂s ∂x, ∂s ∂t = v ∂r ∂x

(eq. de Maxwell em 1D para propagação de uma onda EM???? ) com r ≡ v∂u

∂x, s ≡ ∂u ∂t

Neste caso r e s são as duas componentes de u e o uxo é dado por F =  0 −v −v 0  ·u

Logo, uma possível solução numérica para uma equação hiperbólica consiste em resolver a equação de uxo conservativo.

∂u ∂t = −v

∂u ∂x

A partir da solução analítica, sabemos a solução de essa equação é uma onda que se propaga na direção positiva do eixo x: u = f (x − vt). Vamos estudar inicialmente como várias estrategias para resolver esse problema numericamente.

Diferenças nitas

Usamos diferenças nitas para discretizar a equação acima com pontos igualmente espaçados nos eixos t e x:

xi = x0+ j ∆x , j =0, 1, ..., J

tn= t₀+ n∆t, n =0, 1, ..., N

Temos varias alternativas para representar a derivada temporal, a mais obvia a diferenciação de eular para frente.

∂u ∂t =

u_jn+1− un j

∆t + O(∆t)

Calculamos um valor desconhecido, n + 1 em termos dos valores desconhecidos, n. Para a derivada espacial podemos usar a rep. de segunda ordem forward time centered space (FTCS):

∂u ∂x = un j +1− u n j −1 2∆x + O(∆x2)

O que resulta em u_jn+1− un j ∆t = −v un_{j +1}− un j −1 2∆x (5)

É um algoritmo explícito, simple, ocupa pouca memoria e é rapido.

Infelizmente não funciona.

Analise de estabilidade de von Neumann: Imagine os coecientes das equações variar tão suavemente que podem ser considerados constantes. Nesse caso, soluções independentes da equação tem a forma:

u_jn= ζneikj ∆x (6)

Com k: número de onda espacial e ζ = ζ(k) é um número complexo. A dependência temporal dessa solução para um automodo simples, é uma suscesão de numeros complexos que dependem de k. Assim, se |ζ(k)| >1 implica modos que crescem exponencialmente (uma instabilidade numérica).

Substituindo (6) em (5) temos e dividindo por ζn_{temos (ver}

ζ(k) =1 − iv ∆t

∆x sin(k∆x)

com modulo > 1 para todo k. Assim o esquema é incondicionalmente instável.

Método de Lax: O método FTCS pode "ser curado"fazendo uma mudança simples introduzida por Lax. Remplazamos un

j na derivada

temporal por sua média:

u_jn→ 1

2(uj +n 1+ u n j −1),

o que resulta em: un+_j 1= 1 2(unj +1+ u n j −1) − v ∆t un j +1− unj −1 2∆x (7) Substituindo (6) em (7) encontramos: ζ(k) = cos(k∆x ) − iv ∆t ∆x sin(k∆x),

que para representar um sistema estável requer: |v |∆t

∆x ≤1.

Esse o famoso criterio de estabilidade de Courant-Friedrichs-Lewy, mais conhecido como a condição de Courant.

Mas como uma mudança tão simples estabiliza o código? (resolver EDP é uma arte mais do quem uma ciência.) Podemos desmiticar essa arte reescrevendo a equação (7) na forma:

u_jn+1− un j ∆t = −v un_{j +1}− un j −1 2∆x + 1 2 u_{j +}n ₁−2un j + u n j −1 ∆t , (8)

que é a representação exata em FTCS da equação: ∂u ∂t = −v ∂u ∂x + (∆x )2 2∆t ∇2u

i.e., adicionamos um termo difusivo a equação de uxo conservativo. O esquema de Lax têm difusão numérica ou viscosidade numérica.

Segunda ordem de precisao em tempo

Metodo de Lax-Wendro: é um método de segunda ordem em tempo que elimina grande dissipação numérica. Devemos denir passos

intermediarios, uj +1/2em passos de tempo intermediarios, tn+1/2e no

ponto intermediario da grade, xj +1/2. Esses pontos são calculados pelo

método de Lax: u_{j +}n+_1/21/2= 1 2(unj +1+ u n j) − ∆t 2∆x(Fj +n1− F n j ) (9)

Usando essas variáveis podem se calcular, Fn+1/2

j ±_1/2, depois o valor de u n+1 j

pode ser calculado usando diferenças centradas: u_jn+1= u_jn− ∆t ∆x(F n+_1/2 j +_1/2 − F n+_1/2 j −_1/2) (10)

Substituindo (9) em (10), com F = vu, e α = v∆t/∆x, temos: u_jn+1= u_jn−α 2 ₁ 2(uj +n 1+ u n j −1) − α 2(unj +1−2u n j − u n j −1) 

Figura:Representação do método de 2 passos de Lax-Wendro. Os pontos com a × são calculados com o método de Lax. Esses pontos, mais os 3 pontos originais, permitem calcular o ponto un+1

j . O método

tem segunda ordem de precisão em tempo. O salto no ponto un+1/2

j é

conhecido como leapfrog.

Infelizmente o método de Lax-Wendro pode levar a outra clase de erros conhecida como erros de fase, gerando oscilações em comprimentos de onda pequenos.

Podemos aprofundar mais no problema da advecção: Nos métodos de Euler e Lax, assumimos que dentro de cada celda o uxo, vu, se mantém constante. Mas isso é só uma suposição. Podemos supor também que o estado dentro de cada celula é uma função linear da posição, ou um picewise linear subgrid scale model.

Dentro de cada celda, o estado no começo de um passo temporal é: u(x , t = tn) = unj + σ(x − xj) , para xj −1/2< x < xj +1/2

Onde σn

j é uma inclinação (slope), e xj = (xj −1/2− xj +1/2)/2. Na

interface, o uxo varia no tempo entre tne tn+₁:

Fj −1/2(t) = vu(x = xj −1/2, t) = vun_{j −1}+ v σn_{j −1}(xj −1/2− xj −1− v (t − tn)) = vunj −₁+ v σ n j −₁  ∆x 2 − v (t − tn) 

De forma similar para Fj +1/2(t). O uxo médio durante o passo temporal ∆té: < Fj −1/2(t) > tn+1 tn = 1 ∆t Z tn+1 tn vu(x = xj −1/2, t) = vun_{j −1}1 2v σnj −1(∆x − v ∆t)

Com um resultado similar para < Fj +1/2(t) > t_n+1 tn . A diferença é: < Fj +1/2(t) > tn+1 tn − < Fj −1/2(t) > tn+1 tn = v (u n j − u n j −1) + 1 2v (σjn− σ n i −1)(∆x − v ∆t)

Finalmente usando a equação (10) acima: u_jn+1= u_jn− ∆t ∆x(F n+1/2 j +1/2 − F n+1/2 j −1/2) temos: un+_j 1= ujn− v ∆t ∆x (u n j − u n j −₁) − v ∆t ∆x 1 2(σ n j − σ n i −₁)(∆x − v ∆t)

A questão é agora, como escolher a inclinação apropriada? centered slope : σj = un j +1−unj −1 2∆x Fromm0s method upwind slope : σj = un_j−un j −1

2∆x Beam − Warming method

downwind slope : σj = un_{j +1}−un

j

Limitadores de inclinação

Métodos de alta ordem como Beam-Warming ou Lax-Wendro temdem a produzir oscillações como consequência de erros de fase ou super estimação da inclinação.

Para corrigir esse problema se utilizam os limitadores de inclinação. A inclinação, σj é modicada unicamente quando necessário.

Para medir oscilações em uma solução numérica denimos a variação total (TV) do estado u: TV (u) − N X i =1 |qi− qi −1|,

Se a quantidade u varia monotonicamente, TV se mantém constante, se udesenvolve máximos ou minimos, então TV aumenta. Um esquema é chamado de redutor da variação total (TVD), se:

TV (un+1) ≤ TV (un) Alguns limitadores de inclinação são:

I inclinação minmod σn=minmod _un j − u n j −1 ∆x , un_{j +1}− un j ∆x  onde minmod(a, b) = ( _a sim |a| < |b| e _{ab >}0 b sim |a| > |b| e ab >0 0 sim ab <0 )

I inclinação superbee σn=maxmodσ(_j1), σ(_j2) Com: σ(_j1)=minmod _un j +1− u n j ∆x ,2 un_j − un j −1 ∆x  σ(_j2)=minmod  2u n j +1− u n j ∆x , un j − u n j −1 ∆x 

Equação de difusão

Procuramos a seguir a solução numérica da equação de difusão: ∂u

∂t = −D ∂2u

∂x2 (11)

Onde D é o coeciente de difusividade. Podemos resolver a equação usando diferenças nitas de forma explicita:

u_jn+1− un j ∆t = D u_{j +}n ₁−2un j + u n j −1 ∆x2

A analise de estabilidade de von-Neumann indica que esse método é estavel sob a condição:

D∆t ∆x2 <

1 2

Outra possibilidade é expresar (11) em forma implícita: un+_j 1− un j ∆t = D un+_{j +1}1−2u_jn+1+ un+_{j −1}1 ∆x2 assim:

u_jn+1− ηu_{j +}n+₁1+2ηu_jn+1− ηu_{j −}n+₁1= u_jn −ηu_{j +}n+₁1+ (1 + 2η)u_jn+1− ηun+_{j −1}1= u_jn com η = D∆t/∆x2_{. Pode se ver o sistema tridiagonal:}

ˆ AUj +1=Uj onde A =       1 + 2η −eta 0 0 ... −η 1 + 2η −eta 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... −eta 0 0 ... −eta 1 + 2η      

O método implicito é incondicionalmente estável (ou seja, funciona para todo ∆t e ∆x). Porem, tanto os métodos explicito quanto implícito são de primeira ordem no tempo.

O método de Crank-Nicolson combina estabilidade com a precisão da segunda ordem no tempo. Ele simplesmente combina os dois esquemas, explícito e implícito. A equação discreta caria:

u_jn+1− un j ∆t = D 2 " (u_{j +}n+₁1−2un+1 j + u n+1 j −1) + (u n j +₁−2ujn+ uj −n ₁) ∆x2 #

Que pode ser resolvido na forma tridiagonal: ˆ

AUj +1=Rj

Neste caso ˆA é igual ao caso implicito, mas R = η₂u_{j +}n ₁+ (1 − η)un_j +η

Figura:Comparação entre os diferentes esquemas numéricos para resolver a equação de difusão.

Equações diferenciais em múltiples dimensões

Os métodos discutidos anteriormente podem ser geralizados a 2 ou 3 dimensões. No entanto, o tempo de computo aumenta signicativamente quando os problemas são tri-dimensionais. Veremos alguns exemplos sobre como geralizar as equações de uxo conservativo e de difussão. Método de Lax em duas dimensões:

∂u ∂t = −∇F = −  ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y 

Considerando a grade espacial:

xj = x₀+ j ∆x yl= x₀+ l ∆y

O esquema de Lax resulta em: u_{j ,l}n+1 = 1 4 unj +1,l+ u n j −1,l+ u n j ,l +1+ u n j ,l −1
− F_{j +}n_1,l− Fn j −1,l+ F n j ,l +1− F n j ,l −1

A analise de estabilidade leva à seguinte condição de Courant : ∆t ≤√ ∆

2(v_x2+ v_y2)1/2

No caso N-dimensional, se |v| é a velocidade máxima de propagação no problema, então:

∆t ≤ √∆ N|v | (Demonstração em Numerical Recipes, Sec. 19.3)

Equação de difusão em duas dimensões: ∂u ∂t = −D  ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 

O problema pode ser abordado usando diferenças nitas centradas (FTCS). No entanto, ja vimos que esse esquema tem limitações de estabilidade.

Por outro lado, o método de Crank-Nicolson resulta num sistema de equações acopladas que por sua vez não formam um sistema tri-diagonal. Metodo alternando a direção implícita (ADI):

Divide cada passo temporal em dois passos de tamanho ∆t/2. Em cada sub-passo, uma direção é tratada implicitamente.

un+_{j ,l}1/2 = u_{j ,l}n +1 2α  δ_x2u_{j ,l}n+1/2+ δ2_yu_{j ,l}n u_{j ,l}n+1 = u_{j ,l}n+1+1 2α  δ_x2u_{j ,l}n+1/2+ δ_y2u_{j ,l}n+1 onde δ_x2un_{j ,l} = u_{j +}n _1,l−2un j ,l+ u n j −1,l e similar para δ2 _.

Equações de Laplace e Poisson

A equação de Laplace é:

∇2u = uxx+ uyy =0

para ser resolvida precisa de condições de contorno, tal que u(x , y ) = g (x , y )na borda do dominio, δΩ. Não há dependencia temporal. O dominio pode ter qualquer forma e tamanho, por simplicidade escolhemos um dominio quadrado, e uma grade igual em cada direção:

h = ∆x = ∆y = L n

Onde L é o comprimento do dominio e n o número de pontos. Como visto anteriormente, las segundas derivadas podem ser escritas de forma discreta: uxx ' ui +1,j−2ui ,j+ ui −1,j h uyy ' ui ,j +₁−2ui ,j + ui ,j −₁ h

Assim, a equação de Laplace termina sendo: ui ,j = 1

4[ui ,j +1+ ui ,j −1+ ui +1,j+ ui −1,j] (12)

A equação de Poisson adiciona uma complexidade na equação anterior uxx+ uyy = −ρ(x , y )

Precisamos só adicionar uma versão discreta de ρ, na equação discreta: ui ,j = 1

4[ui ,j +1+ ui ,j −1+ ui +1,j+ ui −1,j] +

h2

As condições de contorno seriam:

ui ,0= gi ,0 0 ≤ i ≤ n

ui ,L= gi ,L 0 ≤ i ≤ n

u_0,j = g_0,j 0 ≤ j ≤ n uL,j= gL,j 0 ≤ j ≤ n

Uma "molecula"computacional para encontrar o valor de u no ponto i, i é mostrada na gura seguinte

Para resolver a equação acima, para n = 3 (por simplicidade) podemos reorganizar a equação acima da forma

Onde ˜ρi ,j = h2ρi ,j. Isolando as variáveis u11, u12, u21e u22, i.e, os pontos

internos independentes das condições de contorno, temos:

O lado direito corresponde aos pontos conhecidos no contorno mais os valores de ρ.

O sistema pode ser resolvido usando métodos de substituição, porem, já que a matriz A não é tridiagonal, o calculo pode ser ineciente.

Um método mais eciente é o conhecido método iterativo de Jacobi. O método é simples,

I Começamos fazendo um chute inicial para os pontos internos (fora

da fronteira), u(0) i ,j.

I Resolvemos depois as Eq. (13) ou Eq. (14), para obtermos u_{i ,j}(1). I Repetimos o processo iterativamente k vezes, até que u_{i ,j}(k) e u_{i ,j}(k−1)

Como aumentar a performance de códigos em python

Porque Python é lento?

I Variáveis dinmâmicas. Contrario a Fortran ou C++, quando uma

variável é digitada python asigna um tipo.

I Python é uma linguagem interpretada e nao compilada. Python

carece da optimização dada pelo compilador.

I Objetos em Python podem ter um accesso ineciente à memoria

I Por outro lado Fortran e C++ utilizam variáveis previamente

denidas, precisam de compiladores que podem aumentar a performance do código e tém excelente accesso à memoria.

I Rotinas e funções escritas em Fortram ou C podem ser compiladas e

depois interpretadas como módulos de python. Dessa forma a velocidade de execução de um programa aumenta

consideravelmente. Para isso utilizamos f2py.

I Dessa forma podemos desenvolver códigos rápida e facilmente em

Python e deixar as partes do código que demandam mais computo a rotinas ecientes escitas em Fortran (ou C).

I Normalmente f2py é parte do pacote NUMPY que possue funções

vetorizadas para trabalhar com arrays.

I É importante vericar se a rotina que queremos converter a modulo

não existe já dentro da biblioteca NUMPY.

I Para compilarmos uma rotina de Fortran usamos (usaremos como

exemplo nossa função rel_func.f90 que resolve a eq. de Laplace em 2 dimensões.

I f2py -c -m rel_func rel_func.f90

I Se tudo der certo, o arquivorel_func.soserá criado I Para usar o módulo no python, usamos:

I import rel_func

I print rel_func.relax.__doc__

I Bibliograa completa de f2py pode ser encotrada em:

Exercícios

Usando os códigos desenvolvidos em sala de aula para resolver a

equação de difusão, usando os métodos, explícito, implícito e

Crank-Nicolson, resolva o problema 10.4 do livro de Hjorth-Jensen,

partes (a)-(e).