Discutindo os Multisignificados de Equação com Professores de
Matemática
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Aluno: Yuri Osti Barbosa Orientador: Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro
Programa de Pós-graduação em Educação Matemática Universidade Bandeirante de São Paulo (UNIBAN)
Resumo
Nossa pesquisa está inserida num projeto mais amplo que tem por objetivo avaliar a contribuição que a abordagem dos multisignificados de equação pode trazer ao processo de ensino e aprendizagem de Álgebra, na formação do professor de Matemática. Com isso, nosso objetivo específico é investigar se e quais dos multisignificados de equação fazem parte das concepções dos professores de Matemática. Ambos os estudos se justificam pelo papel central que o tema equações possui na Matemática. Pesquisas na área de Educação Algébrica apontam para o fato de que conceitos aparentemente simples, como é o caso das equações, não são bem compreendidos por professores e alunos. Esta pesquisa está fundamentada em Ribeiro (2007) e em Duval (2003). Finalmente, nossos resultados nesta pesquisa devem contribuir com o projeto mais amplo, uma vez que estes servirão de referencias para a elaboração das atividades de intervenção que serão desenvolvidas nas demais fases do projeto original.
Palavras-Chave: Multisignificados de Equação. Educação Algébrica. Formação do Professor de Matemática.
Introdução
De meados dos anos 80 até meados dos anos 90 eu fui aluno do ensino básico (até então ensino ginasial e ensino colegial) em diversas escolas no Estado de São Paulo. Nunca fui um bom aluno em Matemática, destacando-me mais nas áreas de ciências humanas.
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Este projeto de pesquisa está vinculado ao projeto OS MULTISIGNIFICADOS DE EQUAÇÃO NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA: INVESTIGANDO CONTRIBUIÇÕES PARA A FORMAÇÃO DO PROFESSOR, coordenado pelo Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro.
Ao contrário da maioria dos adolescentes eu, desde tenra idade, sabia qual profissão iria exercer, seria professor. O grande problema foi decidir por qual área do conhecimento eu possuía mais afinidade.
Optei pela Matemática, pois sempre admirei o alto grau de credibilidade que os professores de Matemática possuíam na sociedade, inclusive em meio a seus pares. A Matemática para mim, até então, constituía-se em uma série de regras, perfeitamente possíveis de serem “decoradas”, e embora “chata” tornava-se legal quando conseguíamos “decorá-las”.
Foi durante a Licenciatura que compreendi que a Matemática é mais do que a aplicação de algoritmos. A Matemática desvela-se então como um mundo de idéias, onde os números e as “letras” são apenas algumas maneiras de representar essas idéias.
Durante a graduação tive a oportunidade então de descobrir os motivos daquelas regras e, da mesma forma que no ensino básico, acabei por me envolver mais com a álgebra, chegando a desenvolver um projeto de iniciação científica (Barbosa, 2006).
Minha experiência, de quatro anos como professor de Matemática da Educação Básica, em escolas públicas e privadas, aponta para o fato de que, em algum momento, o sistema educacional não está funcionando bem, pois a maioria dos alunos não compreendem idéias básicas relacionadas à álgebra, por exemplo o princípio de equivalência entre os membros de uma equação. Tal impressão se confirma à luz de resultados oficiais de avaliações como: SARESP, ENEM e ENADE.
Uma questão que nasceu de minha pesquisa de Iniciação Científica foi se a
discussão epistemológica de equação com os professores pode agregar conhecimentos conceituais no processo de ensino e aprendizagem de equação (Barbosa, 2006, p. 42).
O presente projeto caminha no sentido de responder essa questão. Ribeiro (2007), em sua tese de doutorado, concebeu seis diferentes significados para equação, o que ele chamou de multisignificados de equação. Fazendo uma primeira análise de sua tese pude perceber que os multisignificados de equação constituíam-se como parte da fundamentação teórica que eu necessitava para buscar uma resposta à questão levantada na Iniciação Científica.
Esse projeto de pesquisa está inserido em um projeto mais amplo que visa investigar “os multisignificados de equação no ensino e na aprendizagem de Matemática”, projeto este desenvolvido junto ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática,
da Universidade Bandeirante de São Paulo, na linha de pesquisa “Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações”.
Problemática
Trabalhos como Ribeiro (2001), Attorps (2003), Dreyfus & Hoch (2004), Barbosa (2006), Ribeiro (2007) entre outros, apontam para o fato de que, embora aparentemente simples, a idéia de equação não é bem compreendida entre alunos e professores, o que acaba gerando dificuldades de compreensão em Álgebra. Tal impressão se confirma no depoimento encontrado em Coxford e Shulte (1995): a Álgebra “é uma fonte de confusão e
atitudes negativas consideráveis entre os alunos” (Booth, 1995 apud Coxford e Shulte,
1995, p. 1).
Em Ribeiro (2001) o autor demonstra à luz dos resultados do SARESP (1997) que a Álgebra representa um problema no ensino e aprendizagem de Matemática, uma vez que os alunos investigados em sua pesquisa não conseguem resolver questões simples envolvendo equações do 1º grau. Dreyfus & Hoch (2004) apontam para o fato de que alunos do ensino secundário em Israel não reconhecem a estrutura interna de uma equação, resolvendo-as de modo procedimental. Já em Barbosa (2006) observa-se o fato de que alguns estudantes das séries finais do ensino fundamental não resolvem uma equação do 1º grau nem procedimentalmente e nem da observando sua estrutura interna.
Attorps (2003) investigou junto a professores de Matemática do ensino secundário as concepções que os mesmos possuíam sobre equação e chegou à conclusão que as concepções de equação que aqueles professores detinham diferia da definição formal do conceito de equação. Dessa forma a autora indica que eles passam a maior parte do tempo em sua prática docente desenvolvendo habilidades procedimentais e não atividades que favoreçam a compreensão do conceito abordado.
Ribeiro (2007) apresenta seis diferentes significados para a noção de equação, significados estes que ele chamou de multisignificados de equação. Acreditamos que estes multisignificados possam vir a contribuir para uma melhoria significativa no ensino e aprendizagem de equações, pois possibilita ao aluno “percorrer” diversos registros de representação semiótica (Duval, 2003), o que segundo este autor é condição necessária à compreensão de uma noção matemática.
Acreditamos que os multisignificados de equação podem se constituir em um importante objeto de estudo para os professores que ensinam Matemática. Considerando que eles se apropriem dos multisignificados, os mesmos poderão utilizá-los em sua prática, propondo assim atividades que contemplem estes diferentes significados e possibilitem uma compreensão mais ampla e significativa da noção de equação aos seus alunos.
Esse nosso trabalho não possibilitará confirmar ou refutar a hipótese acima, pois nosso objetivo é investigar quais dos multisignificados de equação estão presentes dentre
as concepções dos professores que ensinam Matemática. Contudo, acreditamos que esta
pesquisa irá contribuir com a pesquisa mais ampla no sentido de fornecer elementos para aqueles que irão elaborar as situações de intervenção no processo de ensino e aprendizagem de equação.
Achamos conveniente apresentarmos em qual sentido entendemos e estamos utilizando o termo concepção, visto que existem diferentes interpretações do mesmo. A presente pesquisa tratará concepção da mesma maneira que aparece nos trabalhos de Anna Sfard:
...a palavra “conceito” (às vezes substituída por “noção”) será mencionada sempre que uma idéia matemática é concebida na sua forma “oficial” – como uma construção teórica dentro “do universo formal do conhecimento ideal”; o conjunto todo das representações e associações internas evocado pelo conceito – a contrapartida do conceito no “universo do conhecimento humano” subjetivo e interno – será referido como uma “concepção”. (Sfard, 1991 apud Ribeiro, 2007, p. 21)
Entendendo-se que nossa pesquisa está em fase inicial, vale ressaltar que ainda irão compor a revisão bibliográfica deste trabalho, o estudo e a análise das seguintes pesquisas: Usyskin (1995); Fiorentini, Miorim, & Miguel (1993); Figueiredo (2007).
Fundamentação Teórica
Apresentamos a seguir os referenciais teóricos preliminares, tendo em vista que o presente projeto de pesquisa ainda está em fase de elaboração e idealização. Imaginamos que ao longo do desenvolvimento de nossas investigações, outras referencias podem surgir ou podem se fazer necessárias.
1. Registros de Representação Semiótica.
A teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval nasce com a seguinte pergunta: “Quais sistemas cognitivos são necessários mobilizar para aceder aos
objetos matemáticos e para efetuar as múltiplas transformações que constituem os tratamentos matemáticos?” (Duval, 2003 apud Machado, 2003, p. 12).
Considerando as idéias de Duval imaginamos também a questão sobre os processos de aprendizagem de outras áreas do conhecimento: será que os processos mentais exigidos para a compreensão de um objeto matemático são os mesmos processos exigidos para a compreensão de um objeto da Biologia, ou da Física, ou da Química?
Esse pesquisador defende que os processos relacionados à aprendizagem de Matemática são únicos, pois a Matemática só existe através de signos que representam seus objetos, ela não existe na “vida real”. Partindo dessas afirmações nasce “Os Registros de Representação Semiótica”.
Essa teoria afirma que é condição necessária ao aprendizado de um objeto matemático que ocorra no mínimo duas mudanças de registros de representação semiótica, ou seja, é necessário que o estudante percorra diferentes registros de representação sem perder de vista aquele objeto matemático.
A atividade matemática realizada pelos alunos não é exatamente a mesma realizada pelos pesquisadores em Matemática e, devido a isso, a forma de pensar dos matemáticos não precisa ser igual a dos alunos e vice-versa.
Segundo Duval (2003) devemos atentar para dois tipos de transformações que são totalmente diferentes, e que embora não tenha muito valor para os matemáticos, é fundamental para o processo de ensino e aprendizagem dessa disciplina: os tratamentos e as conversões.
Ao analisarmos as produções de nossos alunos devemos ter o cuidado de distingui-los, pois os tratamentos são mudanças de representação dentro de um mesmo registro, enquanto que as conversões implicam em mudanças de representações em registros diferentes. Quando um aluno está resolvendo uma equação e ele escreve equações equivalentes para encontrar o valor da incógnita, ele está realizando um tratamento. Quando um aluno transforma uma situação-problema, dada em linguagem natural para a linguagem algébrica, ele está realizando uma conversão.
Para os matemáticos as conversões são importantes somente quando da escolha do melhor registro no qual os tratamentos efetuados são mais eficientes. Já para o ensino e aprendizagem é muito mais importante considerarmos as conversões do que os tratamentos, pois é neste momento que o aluno precisa mobilizar os mecanismos necessários para a compreensão do objeto matemático em questão.
Enfim, o autor sintetiza suas principais idéias na seguinte tabela (Duval, 2003 apud Machado, 2003 p. 14):
2. Multisignificados de equação.
O estudo da Álgebra tem recebido bastante atenção nos últimos anos no Brasil e no mundo. Encontrar um modo de ensinar Álgebra de forma que os alunos realmente se apropriem de seus significados é o grande objetivo do pesquisador em Educação Algébrica, e certamente um dos objetivos de todo professor que ensina Matemática.
Nesse contexto a tese de doutorado de Alessandro Jacques Ribeiro parece nos trazer uma ferramenta preciosa no ensino das equações. A referida tese investigou os diferentes significados da noção de equação no ensino de Matemática através de um estudo epistemológico e didático dessa idéia matemática.
REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA REPRESENTAÇÃO NÃO-DISCURSIVA REGISTROS MULTIFUNCIONAIS: Os tratamentos não são algoritmizáveis. Língua natural Associações verbais (conceituais). Forma de raciocianr: - argumentações a partir de observações, de crenças...; - dedução válida a partir de dedução ou de teoremas. Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1, 2 ou 3). - apreensão operatória e não somente perceptiva; - construção com instrumentos. REGISTROS MULTIFUNCIONAIS: Os tratamentos são principalmente algoritmos. Sistema de escritas: - numéricas (binária, decimal, fracionária...); - algébricas; - simbólicas (línguas formais). Cálculo Gráficos cartesianos. - mudanças de sistema de coordenadas; - interpolação, extrapolação.
O autor percebeu em seu estudo que a noção de equação ganhou diferentes significados ao longo da história e era usada para diferentes fins. Os multisignificados de equação buscam contemplar de forma sistêmica “todos” os significados de equação apresentados pelos mais diferentes povos ao longo da história.
Neste trabalho, Ribeiro além do estudo epistemológico investiga também como as equações aparecem em livros didáticos de Matemática e em dicionários de Matemática. Com isso, pôde perceber que em lugar algum existia uma definição que contemplasse todos os significados que uma equação pode assumir.
A partir desses estudos, o autor concebe os multisignificados de equação, a saber (Ribeiro, 2007, p. 127-128):
Significado Características Exemplos
Intuitivo-Pragmático
Equação concebida como noção intuitiva, ligada à idéia de igualdade entre duas quantidades. Utilização relacionada à resolução de problemas de ordem prática
originários de situações do dia-a-dia.
Babilônios e Egípcios; Livros didáticos de: Bourdon e de Imenes
& Lellis
Dedutivo-Geométrico
Equação concebida como noção ligada às figuras geométricas, segmentos e curvas. Utilização relacionada à situações envolvendo
cálculos e operações com segmentos, com medidas de lados de figuras geométricas e
intersecção de curvas. Gregos; Omar Khayyam – Geometria das Curvas. Estrutural-Generalista
Equação concebida como noção estrutural definida e com propriedades e características
próprias, considerada por si própria e operando-se sobre ela. Utilização relacioada
com a busca de soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza.
Al-Khwarizmi; Descartes; Abel e Galois.
Estrutural-Conjuntista
Equação concebida dentro de uma visão estrutural, porém diretamente ligada à noção
de conjunto. É vista como uma ferramenta para resolver problemas que envolvam
relações entre conjuntos.
Rogalski; Warusfel; Bourbaki.
Processual-Tecnicista
Equação concebida como a sua própria resolução – os métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos
estruturalistas, não enxergam uma equação como um ente matemático.
Pesquisas em Educação Matemática: Cotret (1997); Dreyfus & Hoch
(2004).
Axiomático-Postulacional
Equação como noção da Matemática que não precisa ser definida, uma idéia a partir da qual outras idéias, matemáticas e não matemáticas, são construídas. Utilizada no sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana.
Chevallard;
Primeiro significado que poderia ser discutido no ensino-aprendizagem de Álgebra.
Procedimentos Metodológicos
Nossa investigação será desenvolvida na perspectiva de uma abordagem qualitativa. Nesta primeira etapa está sendo realizada a revisão bibliográfica e um estudo da fundamentação teórica que irá compor o quadro teórico dessa pesquisa.
A segunda etapa será composta da elaboração de um instrumento de coleta de dados – um questionário com questões e situações matemáticas envolvendo os diferentes significados de equação. Este questionário terá por objetivo levantar quais dos multisignificados de equação fazem parte do repertório dos professores de Matemática.
Tal instrumento será aplicado na terceira etapa em professores que se encontram em atividade no magistério. Decidimos que fará parte de nossa pesquisa professores com diferentes tempos de experiência docente: alguns com até cinco anos, outros entre cinco e dez anos e outros ainda com mais de dez anos de experiência. Esta escolha se dá pelo fato de pressupormos que diferentes tempos de experiência no magistério podem influenciar e trazer diferentes concepções para a noção de equação.
Tendo como meta a confecção de um instrumento de coleta de dados que abarque todos os multisignificados de equação, o questionário deverá será composto de 03 (três) atividades. Apresentamos a seguir a estrutura de cada atividade, uma vez que as situações matemáticas que irão compor as atividades 1 e 3 ainda estão em fase de elaboração:
Atividade 1: Observe as situações abaixo e indique qual idéia matemática você identifica em cada uma delas. Em seguida, se for o caso, encontre a solução justificando sempre as suas respostas.
Nessa atividade apresentaremos situações matemáticas onde os professores deverão indicar qual idéia matemática (equação, inequação, função, derivada, etc) eles identificam em cada uma delas. Os objetivos dessa atividade são:
- verificar se os professores relacionam as situações apresentadas com a idéia de equação;
– analisar em suas justificativas se e quais dos multisignificados de equação são contemplados.
Cada situação deverá abordar um dos multisignificados e/ou uma combinação de dois ou mais deles. Observe como pretendemos distribuir tais situações:
a) situação envolvendo o multisignificado INTUITIVO-PRAGMÁTICO; b) situação envolvendo o multisignificado DEDUTIVO-GEOMÉTRICO; c) situação envolvendo o multisignificado ESTRUTURAL-GENERALISTA; d) situação envolvendo o multisignificado ESTRUTURAL-CONJUNTSTA; e) situação envolvendo o multisignificado PROCESSUAL-TECNICISTA;
f) situação envolvendo o multisignificado INTUITIVO-PRAGMÁTICO e DEDUTIVO-GEOMÉTRICO;
g) situação envolvendo o multisignificado DEDUTIVO-GEOMÉTRICO e ESTRUTURAL-GENERALISTA.
h) situação envolvendo o multisignificado DEDUTIVO-GEOMÉTRICO e ESTRUTURAL-CONJUNTISTA;
i) situação envolvendo uma idéia matemática que não seja uma equação;
j) situação envolvendo um problema cuja modelização resulte numa inequação, por exemplo.
Atividade 2: Você notou alguma semelhança entre as situações apresentadas nos itens “a” a “j” da atividade anterior? Se sim, qual foi essa semelhança (ou semelhanças) e como você chegou a essa conclusão? Se não, justifique sua resposta.
Nesta atividade os professores deverão atentar para as situações “a” a “j” da atividade anterior e dizer se notam alguma semelhança. Caso a resposta seja afirmativa dizer quais foram essas semelhanças e o que o levou a essa conclusão. Caso a resposta seja negativa dizer apenas o que o levou àquela conclusão.
Os objetivos dessa atividade são:
- verificar se os professores indicam que a semelhança encontrada foi a idéia de equação que aparece nos itens “a” até “h”;
- verificar se eles usam algum tipo de justificativa que envolva a “idéia de igualdade” ou a “idéia de equivalência”, entre seus argumentos.
Atividade 3: Dentre os exemplos abaixo, em quais você identifica uma equação? Em seguida, justifique sua resposta.
Nesta atividade apresentaremos diferentes idéias matemáticas (equação, igualdade, inequação, função, derivada, etc). Em cada uma delas os professores terão a possibilidade de dizer sim, não ou não sei para a questão de ser uma equação, e em seguida justificar sua resposta.
O objetivo desta atividade é verificar se o professor reconhece equação nos seus mais diferentes tipos (algébrica, logarítmica, trigonométrica, matricial, diferencial, etc) e qual argumento ele apresenta para justificar suas respostas.
Uma quarta etapa consistirá da escolha de alguns professores para serem submetidos a entrevistas individuais. Este instrumento – roteiro de entrevista – visa refinar os dados levantados na etapa anterior, bem como possibilitar a coleta de informações de cunho didático-pedagógico no que se refere ao ensino e a aprendizagem de equação.
Análise dos Dados
A análise dos dados irá considerar uma abordagem com caráter qualitativo que visa apontar se e quais dos multisignificados de equação fazem parte do repertório dos professores que ensinam Matemática. Tem ainda o objetivo de levantar questionamentos e
reflexões que auxiliem e possam subsidiar as futuras pesquisas do grupo envolvido no projeto mais amplo.
Imaginamos que nossos resultados irão fornecer informações importantes quando da elaboração das situações de intervenção que deverão ser utilizadas para a continuidade das pesquisas do projeto OS MULTISIGNIFICADOS DE EQUAÇÃO NO ENSINO E
NA APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA: INVESTIGANDO CONTRIBUIÇÕES PARA A FORMAÇÃO DO PROFESSOR.
Esta conjectura é levantada tendo em vista que, para a eficácia das situações de intervenção que serão utilizadas nas etapas seguintes do projeto acima, faz-se necessário considerar quais são os significados de equação os professores já possuem e expressam em suas concepções. Assim, as situações de intervenção poderão abordar mais enfaticamente aqueles significados que não apareceram e apresentar novas situações para os que já se fazem presentes dentre os professores.
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