MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES: APLICAÇÕES EM PROBLEMAS DE EQUIPAMENTOS MARÍTIMOS
Lucas Henrique de Morais
Graduando em Ciências Náuticas (Máquinas) pela EFOMM – CIAGA lucas_hmorais@hotmail.com
Marlon Ferreira Corsi
Mestre em modelagem Matemática e Computacional pela Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ). Professor auxiliar do Centro Universitário Augusto Motta (UNISUAM) e professor ensino superior do Centro de Instrução Almirante Graça Aranha (CIAGA), RJ, Brasil.
Yves Eduardo Chifarelli de Oliveira Nunes
Doutor em Física pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ). Professor da carreira do Magistério Superior no Centro de Instrução Almirante Graça Aranha (CIAGA), RJ, Brasil.
RESUMO
O objetivo deste estudo foi desenvolver códigos de programação baseados no método iterativo de Newton-Raphson para a resolução rápida e eficiente de problemas correlatos às atividades de bordo, por meio de uma linguagem simples e estruturada (Pascal), voltada para um programa livre e capaz de ser processada por dispositivos móveis de plataformas Android ou iOS. Assim, a ferramenta foi desenvolvida com base nas técnicas de processamento voltadas para aplicativos, com base em exemplos mais simplificados e com o uso da verificação e validação da aplicação. O desenvolvimento partiu de uma modelagem de resolução mais simples para uma mais complexa: equação polinomial (modelo para fluxo de tubulações), equação exponencial (modelo característico de crescimento populacional) e equação trigonométrica (modelo característico da trajetória de um projétil). Dessa forma, foram abordadas as principais variações disponíveis no programa para problemas de viés matemático e também de cunho físico para um sistema bidimensional. Portanto, visa-se também motivar outros estudos para melhor aprimoramento das ferramentas já desenvolvidas, proporcionadas pelo constante avanço tecnológico, as quais podem e devem ser utilizadas cada vez mais na prática marítima, a fim de coletar novos experimentos, aprofundar conceitos e formular conjecturas, de modo a proporcionar o crescimento do meio marítimo como um todo.
Palavras-chave: método iterativo de Newton-Raphson. Pascal. Programa livre. Dispositivos móveis.
Aplicativos.
NEWTON-RAPHSON METHOD FOR SOLVING EQUATIONS ABSTRACT
The objective of this study was to develop programming codes based on the Newton-Raphson iterative method for the quick and efficient resolution of problems related to onboard activities, using a simple and structured language (Pascal), aimed at a free and capable program to be processed by mobile devices on Android or iOS platforms. Thus, the tool was developed based on processing techniques aimed at applications, based on more simplified examples and with the use of application verification and validation. The development started from a simpler resolution model
https://doi.org/10.15202/25254146.2019v4n2p106
ENGENHARI
to a more complex one: polynomial equation (Model for Pipeline Flow), exponential equation (Characteristic Model of Population Growth) and trigonometric equation (Characteristic Model of the Projectile Trajectory). In this way, the main variations available in the program for problems of mathematical bias and also of a physical nature for a two-dimensional system were addressed. Therefore, it is also intended to motivate other studies to better improve the tools already developed, provided by the constant technological advance, which can and should be used more and more in maritime practice, in order to collect new experiments, deepen concepts and formulate conjectures, in order to provide the growth of the maritime environment as a whole.
Keywords: Newton-Raphson iterative method. Pascal. Free program. Mobile devices. Applications.
1 INTRODUÇÃO
A implementação tecnológica aos meios de operação possui notória importância ao transporte marítimo, haja vista o envolvimento de novos equipamentos e programas que buscam aperfeiçoar e facilitar as operações realizadas em manobras correlatas à navegação, de modo que possam proporcionar maior eficiência aos processos e presteza aos operários do navio, além de possibilitar novas alternativas ao uso de equipamentos no meio marítimo. Desse modo, o uso de programas para dispositivos móveis se apresenta como um novo tipo de recurso, com a função de realizar cálculos mais complexos sem a necessidade de um computador próximo ao operador.
Nesse contexto, os métodos iterativos são de grande importância na resolução de sistemas lineares algébricos, os quais são de uso frequente desde problemas comuns do cotidiano até sistemas de maior complexidade, como por exemplo os sistemas de equações diferenciais, as quais se fazem pertinentes na investigações de delimitações de máximos e mínimos e em problemáticas de mecânica e lançamento (FERREIRA e MONTEIRO, 2012).
Diante disso, a resolução de problemas modelados por equações algébricas, representadas por polinômios, em que os coeficientes e a incógnita são calculados com uso das operações elementares, e equações transcendentes, em que há uma função não é redutível a uma fração entre polinômios e cuja solução não se expressa por funções elementares, faz parte do desenvolvimento tecnológico alcançado na atualidade, em especial no âmbito da engenharia dos procedimentos executados no meio marítimo (LOPES, 2004).
Por outro lado, o desempenho humano é afetado durante uma situação de emergência ou tensão, a qual um marítimo está frequentemente exposto, seja por causas pessoais ou pelo próprio estado de medo ou ansiedade, os quais condicionam um comportamento instável capaz de dificultar a execução de uma tarefa a bordo (KANTOWITZ e SORKIN, 1983).
Dessa maneira, a fim de minimizar as possíveis falhas humanas em uma operação, foi desenvolvido um código para automatizar o processo de resolução de problemas com base no método iterativo de Newton-Raphson. À vista disso, um programa que seja capaz de atuar racionalmente por meio de um código, ou seja, operar para atingir um conjunto de objetivos com base em um conjunto de dados, pode auxiliar em uma situação problemática de um cálculo ou ação (RUSSEL e NORVIG, 2003).
Dessa forma, a ferramenta foi desenvolvida com base na tecnologia de processamento de aplicativos, bem como na verificação e validação de aplicativos. Para tanto, partiu-se de um modelo de resolução mais simples a um modelo mais complexo, de modo que cada programa foi elaborado separadamente para uma modelagem delimitada.
Ademais, cada código visa resolver um problema exemplo já preestabelecido, o qual pode ter seus coeficientes e variáveis alteradas para atender outra situação específica, tal qual o cálculo da vazão de uma rede de tubulações em uma praça de máquinas, a avaliação da taxa de crescimento de tripulantes em um navio cruzeiro e o cálculo de um lançamento de um cabo ou lança retinida, previsto no código LSA (2012, p.60), em manobra de atracação, fundeio ou salvamento.
Portanto, as vantagens obtidas através do emprego de programas portáteis se evidenciam nos aspectos de ampliação da mobilidade durae as operações de bordo e de melhoria na precisão dos procedimentos, visto que o processamento é feito por um mecanismo seguro e com verificação instantânea. Apesar de ser um recurso promissor ao meio marítimo, deve-se observar as limitações inerentes ao próprio aprimoramento tecnológico, o qual ainda requer maiores estudos para atingir um aspecto cada vez mais preciso e realístico.
2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Atribuído a Isaac Newton (1643 – 1727) e Joseph Raphson (1648 – 1715), denominado também de método das tangentes, o método iterativo é aplicado para se estimar as raízes aproximadas de uma função a partir de um ponto inicial. Essa técnica é considerada de modo geral o melhor método iterativo de achar a raiz de uma função. No que diz respeito à resolução de sistemas de equações não-lineares, não existem métodos analíticos que possam ser aplicados, porém o método iterativo de Newton-Raphson se destaca em razão da eficiência, simplicidade de desenvolvimento, velocidade de convergência e precisão na obtenção de raízes aproximadas (SILVA e CRUZ, 2008).
Diante disso, a aplicação para se determinar raízes de equações não lineares apresenta uma vantagem em relação ao método iterativo simples: se a sequência obtida pelo processo iterativo for convergente, essa convergência é muito mais rápida. Todavia, para aplicar esse método, é necessário conhecer a derivada da função associada a equação que se deseja resolver.
Por conta disso, a principal desvantagem associada ao método de Newton-Raphson decorre da necessidade de calcular a derivada da função de interesse, fato que dependendo da complexidade da função pode não ser obtida analiticamente (RUGGIERO, 2009).
Assim, se uma sequência 𝑥𝑥𝑛𝑛 for convergente, então é possível garantir uma aproximação
que satisfaça ao problema de modo a apresentar valor da raiz da equação. Por outro viés, o aspecto geométrico do método de Newton pode auxiliar quanto a visualização de sua funcionalidade, além de evidenciar o motivo de tal método também ser conhecido como método das tangentes.
Figura 1 – Representação gráfica do Método de Newton
Fonte: (Site GeoGebra)
Os resultados obtidos nesta demonstração podem ser encontrados em Franco (2006) e Ruggiero e Lopes (2009).
O intuito é partir de uma aproximação inicial, definida como 𝑥𝑥0, e traçar a reta tangente à
curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥), para assim iterar esse processo até que seja obtida uma aproximação razoável para o problema.
Da análise geométrica temos: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼1) =𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 0 − 𝑥𝑥1 = 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥 0) ⇔ 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0−𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 0) 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼2) =𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 1− 𝑥𝑥2 = 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥 1) ⇔ 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1−𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥′(𝑥𝑥1) 1)
Por indução: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼𝑛𝑛+1) =𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) 𝑛𝑛− 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥 𝑛𝑛) ⇔ 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛−𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) 𝑛𝑛)
Logo, para resolver uma equação do tipo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 pelo método de Newton-Raphson deve-se usar a função de iteração definida por:
𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑛𝑛) = 𝑥𝑥𝑛𝑛−𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) 𝑛𝑛)
Onde, 𝐹𝐹(𝑥𝑥) é a função de iteração, 𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑛𝑛) = 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 é uma aproximação para a solução da
equação obtida recursivamente como é visto em um método iterativo simples e 𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑛𝑛) ≠ 0.
3 MODELO PARA FLUXO DE TUBULAÇÕES
De acordo com Houghtalen, Hwang, e Akan (2012, p. 72), o método de Newton é um procedimento apropriado e conveniente para a análise de redes contendo um grande número de tubos e ciclos. De modo geral, o método de iterações de Newton foi desenvolvido para resolver um conjunto de diversas equações simultâneas, em que os valores experimentais iniciais não precisam satisfazer ao equilíbrio de massa em todas as junções. Assim, essa é uma grande vantagem sobre outros métodos, em especial quando se trata de grandes redes de tubos.
Diante disso, foi selecionado um problema para a aplicação do cálculo da estimativa da raiz de uma equação de fluxo de tubulação através do método iterativo direto de Newton-Raphson. Franco (2006, p. 97) propõe:
Em problemas de fluxo em tubulações, é frequente precisar resolver a equação: 𝑐𝑐5𝐷𝐷5+ 𝑐𝑐1𝐷𝐷 + 𝑐𝑐0 = 0. Se 𝑐𝑐5 = 1000, 𝑐𝑐1 = −3 e 𝑐𝑐0 = 9,04,
determine a primeira raiz usando o método de Newton e então aplique o método de Newton-Bairstow para determinar as demais raízes.
A fim de determinar a primeira raiz , inicialmente, é necessário substituir os valores das variáveis fornecidos na equação:
1000𝐷𝐷5− 3𝐷𝐷 + 9,04 = 0
Desse modo, pode-se encontrar o intervalo onde a raiz está contida, podendo utilizar o tabelamento ou método gráfico, que consiste na análise do gráfico para identificar o intervalo onde pelo menos uma raiz se encontra. Neste caso, é possível fazer a plotagem da função problema com o uso de programas computacionais para se visualizar o comportamento da função.
De outra forma, é possível delimitar o intervalo onde a raiz se encontra ao calcular 𝑓𝑓(−1) e 𝑓𝑓(1), os quais indicam, pela variação de sinal, se há uma raiz para a equação em questão. Assim, como 𝑓𝑓(−1) = −987,96 e 𝑓𝑓(1) = 1006,04, a raiz se encontra no intervalo [-1,1].
Porém, haja vista os recursos do programa utilizado (PASCAL N-IDE, 2018), a análise do intervalo pode ser dada por inspeção e, por simplicidade, é possível supor uma raiz de interesse, a fim de se observar a convergência da função próxima a esse valor. Portanto, por indução, é válido
supor como termo inicial 𝑥𝑥0 = −1, o qual, como já verificado, atende de fato ao intervalo de
convergência.
A posteriori, é necessário garantir que a função seja contínua no intervalo [-1,1]. Se 𝑓𝑓(−1) e 𝑓𝑓(1) possuírem sinais contrários, então, haverá pelo menos uma raiz em [-1,1], e o Teorema de Bolzano será satisfeito, pois 𝑓𝑓(−1). 𝑓𝑓(1) < 0. Este último, também afirma que se a derivada na função existir e preservar o sinal no intervalo, então esse intervalo contém um único zero de 𝐹𝐹(𝑥𝑥), a qual satisfaz a relação de unicidade da raiz (RUGGIERO, 2009).
Definida essa condição, efetua-se a derivada da função 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), de modo a atender os critérios para a convergência: 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) e 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) sejam contínuas num intervalo que contém a raiz 𝑥𝑥. Assim, a derivada na estimativa precisa ser menor que um e a derivada segunda deve ser diferente de zero, assim como a primeira (RUGGIERO, 2009).
Figura 2 – Código para cálculo de fluxo de tubulações processado pelo Aplicativo Pascal N-IDE (Android)
Após calcular a derivada da função, confirmou-se a constância do sinal do intervalo de separação na mesma. Em seguida, efetuou-se a iteração cíclica diante do módulo de erro ∆𝑥𝑥, nesse caso com precisão de 0,01%, encontrando-se, então após 8 iterações, a raiz desejada. Ao seguir todos os parâmetros necessários para a convergência do método, a raiz encontrada através deste método é -0,4000000000085578.
Figura 3 – Compilação do cálculo de fluxo de tubulações processado pelo Aplicativo Pascal N-IDE (Android)
Fonte: (elaborado pelo autor)
A elaboração por etapas do código usado (Anexo A) consta na íntegra para a análise detalhada das linhas de programação usadas na resolução desse exemplo. Ademais, a modificação dos valores definidos no problema é válida para diferentes tipos de situação, sendo aplicáveis em problemas de redes de tubulações de bordo que atendam a equação citada. Outro aspecto que também pode ser abordado com esse método, em estudos futuros, é o cálculo de fluxo de trocadores de calor de corrente paralelas, os quais também têm ampla aplicação na área marítima.
4 MODELO CARACTERÍSTICO DE CRESCIMENTO POPULACIONAL
De acordo com Souza (2013, p. 149), existem exemplos de aplicações de funções exponenciais em diversas áreas do conhecimento, tais como o crescimento populacional de uma região, as curvas de aprendizagem, o controle de temperatura, o desenvolvimento de sistemas do setor financeiro e até mesmo na própria criação do jogo de xadrez.
Em termos de definição, o crescimento exponencial compreende o crescimento populacional onde os indivíduos encontram limitações estruturais para expandir em uma dada
região, de modo a apresentar aumento contínuo nas suas taxas de desenvolvimento. Ou seja, eles crescem e ocupam determinada área de forma rápida.
Assim, é possível observar que o número de passageiros ao embarcar em um navio cruzeiro obedece ao critérios de crescimento populacional, de modo que as entradas de acesso à embarcação atuam como limitadoras para a devida ocupação e preenchimento das instalações em um determinado tempo.
Diante disso, foi selecionado um problema para a aplicação do cálculo da estimativa do crescimento populacional através do método iterativo direto de Newton-Raphson. Burden e Faires (2010, p. 77, tradução nossa) propõe:
Encontre uma aproximação para o valor de x no intervalo [0.1,0.2] com
precisão de 10−8, para a equação populacional discutida na introdução a
este capítulo: 1.564.000 = 1.000.000𝑒𝑒𝑥𝑥+435.000
𝑥𝑥 (𝑒𝑒𝑥𝑥− 1). Use esse valor
para prever a população no final do segundo ano, supondo que a taxa de imigração durante este ano permaneça em 435.000 indivíduos por ano. A fim de determinar a primeira raiz , inicialmente, é necessário simplificar a equação para a forma reduzida:
1.000.000𝑒𝑒𝑥𝑥+435.000
𝑥𝑥 (𝑒𝑒𝑥𝑥− 1) − 1.564.000 = 0
Desse modo, como o intervalo onde a raiz está contida já foi definido, e diante dos recursos do programa utilizado (PASCAL N-IDE, 2018), é possível usar um dos valores delimitados como uma
raiz de interesse para a inspeção. Portanto, é válido supor como termo inicial 𝑥𝑥0 = 0,1, que já consta
dentro do intervalo de convergência da função.
A posteriori, é necessário garantir que a função seja contínua no intervalo [-0,1,0,2]. Se 𝑓𝑓(0,1) e 𝑓𝑓(0,2) possuírem sinais contrários, então, haverá pelo menos uma raiz em [-0,1,0,2], e o Teorema de Bolzano será satisfeito, pois 𝑓𝑓(0,1). 𝑓𝑓(0,2) < 0. Este último, também afirma que se a derivada na função existir e preservar o sinal no intervalo, então esse intervalo contém um único zero de 𝐹𝐹(𝑥𝑥), a qual satisfiz a relação de unicidade da raiz (RUGGIERO, 2009).
Definida essa condição, efetua-se a derivada da função 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), de modo a atender os critérios para a convergência: 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) e 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) sejam contínuas num intervalo que contém a raiz 𝑥𝑥. Assim, a derivada na estimativa precisa ser menor que um e a derivada segunda deve ser diferente de zero, assim como a primeira (RUGGIERO, 2009).
Figura 4 – Código para cálculo de crescimento populacional pelo Aplicativo Pascal N-IDE (Android)
Fonte: (elaborado pelo autor)
Após calcular a derivada da função, confirmou-se a constância do sinal do intervalo de separação na mesma. Em seguida, efetuou-se a iteração cíclica diante do módulo de erro ∆𝑥𝑥, nesse
caso com precisão de 10-8, encontrando-se, então após 3 iterações, a raiz desejada. Ao seguir todos
os parâmetros necessários para a convergência do método, a raiz encontrada através deste método é 0,10099793.
Figura 5 – Compilação do cálculo de crescimento populacional pelo Aplicativo Pascal N-IDE (Android)
A elaboração por etapas do código usado (Anexo B) consta na íntegra para a análise detalhada das linhas de programação usadas na resolução desse exemplo. Ademais, a modificação dos valores definidos no problema é válida para diferentes tipos de situação, sendo aplicáveis em problemas de avaliação da taxa de crescimento de tripulantes em um navio cruzeiro que atendam a equação citada. Outros aspectos que também podem ser abordados com esse método, em estudos futuros, é o cálculo de juros compostos na área financeira, a desvalorização de bens transportados ao longo do tempo por rotas de longo curso e a avaliação da Escala Richter em abalos sísmicos em condições adversas de navegação, os quais também têm ampla aplicação na área marítima.
5 MODELO CARACTERÍSTICO DA TRAJETÓRIA DE UM PROJÉTIL
De acordo com Nussenzveig (2002, p. 51), a equação da trajetória de um projétil é descrita por um movimento oblíquo, composto por um movimento vertical e outro horizontal. Diante os fundamentos presentes no movimento vertical, sabe-se que, ao ser desprezada a resistência do ar, o corpo sofre apenas a aceleração da gravidade. Assim, o móvel se desloca na direção do movimento, de forma a desenvolver uma trajetória com altura máxima delimitada, e depois volta a descer, de modo a formar uma trajetória parabólica.
Diante disso, conhecida ou não a trajetória, a posição de uma partícula pode ser definida, relativamente a um referencial, através de um vetor de posição. Porém, como a posição da partícula varia conforme o tempo, o vetor posição é, portanto, função do tempo. Diante te tal fato, as equações que traduzem a variação das coordenadas de posição, com o tempo, designam-se por equações paramétricas do movimento. Por esse viés, conhecida a equação do vetor posição em função do tempo, é possível determinar a equação da trajetória. Por eliminação do parâmetro tempo, 𝑡𝑡, no sistema constituído por estas equações, obtém-se a equação da trajetória.
Os resultados obtidos nesta demonstração podem ser encontrados em Nussenzveig (2002) e Halliday, Resnick e Walker (2009).
No eixo horizontal, posição e velocidade são descritas, respectivamente, pelo movimento uniforme:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥0+ 𝑣𝑣0𝑥𝑥𝑡𝑡 ⇔ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)= 0 + 𝑣𝑣0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡
𝑥𝑥(𝑡𝑡)
No eixo vertical, posição e velocidade são descritas, respectivamente, pelo movimento uniformemente variável:
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦0+ 𝑣𝑣0𝑦𝑦𝑡𝑡 +𝑔𝑔𝑡𝑡²2 ⇔ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = ℎ + 𝑣𝑣0𝑐𝑐𝑒𝑒𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡 −𝑔𝑔𝑡𝑡²2
𝑣𝑣𝑦𝑦 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦 − 𝑔𝑔𝑡𝑡 ⇔ 𝑣𝑣𝑦𝑦(𝑡𝑡)= 𝑣𝑣0𝑐𝑐𝑒𝑒𝑡𝑡𝑐𝑐 − 𝑔𝑔𝑡𝑡
Na composição dos dois movimentos ao substituir o parâmetro tempo: 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = ℎ + 𝑣𝑣0𝑐𝑐𝑒𝑒𝑡𝑡𝑐𝑐 �𝑣𝑣 𝑥𝑥 0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐� − 𝑔𝑔 2 � 𝑥𝑥² 𝑣𝑣0²𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐²𝑐𝑐�
Simplificando apenas em relação à função tangente: 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = ℎ + 𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑐𝑐 −2𝑣𝑣𝑔𝑔
02(1 + 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡²𝑐𝑐)𝑥𝑥²
Diante disso, foi adaptado um problema para a aplicação do cálculo da estimativa da raiz da equação da trajetória de um projétil realizada por um lança retinida por meio do método iterativo direto de Newton-Raphson. Estephan (2013, p.2, adaptado pelo autor) enuncia:
Um marítimo está prestes a usar um lança retinida pneumático para se conectar a outra embarcação no mar. O lançador tem uma altura de 1.82m e a embarcação de destino do projétil está 18.2m afastada. A expressão que descreve o movimento da trajetória é a familiar equação da física que descreve o movimento do projétil:
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(θ) −2𝑣𝑣 𝑥𝑥2𝑔𝑔
0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐²(θ)+ ℎ
Onde x e y são as distâncias horizontal e vertical, respectivamente, g = 9,81
m/s2 é a aceleração da gravidade, v0 é a velocidade inicial do projétil quando
deixa lançador e θ é o ângulo que o projétil faz com o eixo horizontal nesse
mesmo instante. Para v0 = 15,2 m/s, x = 18,2m, h = 1,82m e y = 2,1m,
determine o ângulo θ no qual o marítimo deve lançar o projétil.
A fim de determinar o ângulo θ que o projétil faz com o eixo horizontal , inicialmente, é necessário substituir os valores das variáveis fornecidos na equação:
2,1 = 18,2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(θ) −2. (15,2)(18,2)22. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐²(θ). 9,81 + 1,82 Simplificando na forma reduzida:
18,2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(θ) −7,03226
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐²(θ) − 0,28 = 0
Com isso, é possível delimitar o intervalo onde a raiz de interesse está inserida, de modo as calcular 𝑓𝑓(0) e 𝑓𝑓(1), os quais indicam, pela variação de sinal, se há uma raiz para a equação em questão. Assim, como 𝑓𝑓(0) = −7,31226 e 𝑓𝑓(1) = 3,97568, a raiz se encontra no intervalo [0,1].
Todavia, haja vista os recursos do programa utilizado (PASCAL N-IDE, 2018), a análise do intervalo pode ser dada por inspeção e, por simplicidade, é possível supor uma raiz de interesse, a fim de se observar a convergência da função próxima a esse valor. Portanto, por indução, é válido
supor como termo inicial 𝑥𝑥0 = 0, o qual, como já verificado, atende de fato ao intervalo de
convergência.
A posteriori, é necessário garantir que a função seja contínua no intervalo [0,1]. Se 𝑓𝑓(0) e 𝑓𝑓(1) possuírem sinais contrários, então, haverá pelo menos uma raiz em [0,1], e o Teorema de Bolzano será satisfeito, pois 𝑓𝑓(0). 𝑓𝑓(1) < 0. Este último, também afirma que se a derivada na função existir e preservar o sinal no intervalo, então esse intervalo contém um único zero de 𝐹𝐹(𝑥𝑥), a qual satisfaz a relação de unicidade da raiz (RUGGIERO, 2009).
Dessa forma, com tais condições verificadas, efetua-se a derivada da função 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), de modo a atender os critérios para a convergência: 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) e 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) sejam contínuas no intervalo que contém a raiz 𝑥𝑥. Assim, a derivada na estimativa deve ser menor que um e a derivada segunda precisa ser diferente de zero, assim como a primeira (RUGGIERO, 2009).
Após calcular a derivada da função, confirmou-se a constância do sinal do intervalo de separação na mesma. Em seguida, efetuou-se a iteração cíclica diante do módulo de erro ∆𝑥𝑥, nesse
caso com precisão de 10-8, encontrando-se, então após 5 iterações, a raiz desejada. Ao seguir todos
os parâmetros necessários para a convergência do método, a raiz encontrada para o ângulo θ em radianos através deste método é 0,461523137.
Figura 6 – Código para cálculo da trajetória de um projétil pelo Aplicativo Pascal N-IDE (Android)
Fonte: (elaborado pelo autor)
Figura 7 – Compilação do cálculo da trajetória de um projétil pelo Aplicativo Pascal N-IDE (Android)
Fonte: (elaborado pelo autor)
A elaboração por etapas do código usado (Anexo C) consta na íntegra para a análise detalhada das linhas de programação usadas na resolução desse exemplo. Ademais, a modificação dos valores definidos no problema é válida para diferentes tipos de situação, sendo aplicáveis em problemas de lançamento de um cabo ou lança retinida em manobra de atracação, fundeio ou salvamento, de modo a seguir as especificações previstas no código LSA (2012, p.60),
7.1.1 Todo equipamento lança-retinida deverá:
.1 ser capaz de lançar uma retinida com uma precisão razoável;
.2 possuir não menos de quatro projetis, cada um deles capaz de lançar a retinida a pelo menos 230 m, com bom tempo;
.3 possuir não menos de quatro retinidas, cada uma com uma carga de ruptura não inferior a 2kN; e
.4 possuir instruções sucintas ou diagramas ilustrando claramente o emprego do equipamento lança-retinida.
Diante disso, a fim de se obter a melhor posição do equipamento e aprimorar a precisão do lançamento, é possível inserir os dados das condições iniciais do lançamento no código do aplicativo e obter o ângulo otimizado para o uso do lança retinida a bordo. Outro aspecto que também pode ser abordado com esse método, em estudos futuros, é o cálculo das demais variáveis da equação da trajetória, como a distância alcançada pelo projétil, e altura a ser posicionado o lançador, os quais também têm ampla aplicação na área marítima.
6 CONCLUSÃO
A avaliação de cada problema em questão diante do método iterativo de Newton-Raphson, por uso do programa de compilação (PASCAL N-IDE, 2018), evidencia sua notoriedade, de modo satisfatório aos requisitos para a busca da raiz, além de possuir um reduzido número de iterações no processo de convergência.
Assim, o método de Newton apresentou alta precisão nas principais variações disponíveis no programa, de modo a exemplificar sua relevância em decisões econômicas e operacionais. Além do mais, o cálculo da raiz por Newton-Raphson por meio de programação em Pascal mostrou-se simples, e sem complicações na sua adaptação a cada problema.
Logo, confirma-se a importância de tal método para problemas de viés matemático e também de cunho físico em um sistema bidimensional. Ademais, visa-se também motivar outros estudos para o melhor aprimoramento das ferramentas já desenvolvidas, proporcionadas pelo constante avanço tecnológico, as quais podem e devem ser utilizadas cada vez mais na prática marítima, a fim de coletar novos experimentos, aprofundar conceitos e formular conjecturas, de modo a proporcionar o crescimento do meio marítimo como um todo.
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