ALOCAÇÃOÓTIMADEBANCOSDECAPACITORESEMREDESDE
DISTRIBUIÇÃOPRIMÁRIAUSANDOALGORITMOSGENÉTICOS
ELISA M. P. COSTA1, HELON D. M. BRAZ2.
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica1, Depto. de Engenharia Elétrica2, Universidade Federal da Paraíba
Caixa Postal 5088, CEP 58051-900, João Pessoa, PB, BRASIL E-mails: elisa.costa@cear.ufpb.br, helon@cear.ufpb.br
Abstract This paper proposes the use of genetic algorithms to solve the problem of capacitor banks allocation in radial pri-mary distribution networks. Two cases are developed with different optimization parameters. Initially, only the reduction of ac-tive losses is evaluated. In the second case, the total costs obtained from the acac-tive system losses and capacitor banks’ invest-ment are considered. The algorithms can be applied to different levels of system load, and the capacitors banks are modelled as constant impedance type reactive loads, which allow an actual analysis. Finally, a real system of 63 bars available in literature is used to test the algorithms.
Keywords Optimization, Genetic Algorithms, Allocation of Capacitor Banks, Primary Distribution Network.
Resumo Este artigo propõe a utilização de algoritmos genéticos para solucionar o problema de alocação de bancos de capaci-tores em redes de distribuição primária radiais. Dois casos são analisados, com diferentes parâmetros de otimização. No primei-ro deles, apenas a redução de perdas ativas é avaliada. No segundo caso, avaliam-se os custos totais obtidos a partir das perdas ativas do sistema e do investimento nos bancos de capacitores. Os algoritmos propostos podem ser aplicados para diferentes pa-tamares de carga do sistema e os bancos de capacitores são modelados como cargas reativas do tipo impedância constante, o que torna a análise mais real. Por fim, os algoritmos apresentados são testados utilizando-se um sistema real de 63 barras disponível na literatura.
Palavras-chave Otimização, Algoritmos Genéticos, Alocação de Bancos de Capacitores, Redes de Distribuição Primária.
1 Introdução
O crescente aumento de demanda de energia nos Sis-temas Elétricos de Potência tem dado maior destaque para o gerenciamento de energia reativa. Uma das formas mais efetivas no controle de reativos do sis-tema de potência consiste na instalação de Bancos de Capacitores (BCs) em derivação na rede primária, pois os mesmos compensam o atraso de fase da cor-rente em relação à tensão e elevam o fator de potên-cia.
Os benefícios trazidos pela aplicação de BCs no sistema incluem a redução das perdas ativas, melho-ria dos níveis de tensão, controle dos fluxos de po-tência e aumento da capacidade do sistema (Mendes
et al., 2002). A redução de perdas ativas alivia o
sis-tema como um todo, garantindo o atendimento de um número maior de consumidores pelas concessioná-rias. Traz também benefícios econômicos, já que a energia antes perdida pode passar a ser vendida.
De modo geral, o problema de alocação de BCs consiste em determinar a localização, a quantidade, o tamanho, o tipo (fixos ou chaveados) e o esquema de controle dos bancos (Alves et al., 2012). Usualmente, os critérios para busca das melhores soluções, são: minimização das perdas ativas e dos custos de inves-timento dos capacitores (Sundhatarajan & Pahwa, 1994; Ghose et al., 1998; Alves et al., 2002; Ferreira, 2002). Contudo, outros critérios podem ser
conside-rados. Kalyuzhny et al. (2000) desenvolveram um método analisando transitórios eletromagnéticos e perdas de chaveamento dos capacitores. Outro parâ-metro adicional pode ser o controle de perfil de ten-são das barras do sistema (Beê, 2007; Direito, 2010). Diferentes técnicas têm sido utilizadas na solu-ção dos problemas de alocasolu-ção de capacitores. Os trabalhos mais atuais baseiam-se em métodos de inte-ligência artificial, que englobam, dentre outras técni-cas, os Algoritmos Genéticos (AGs). Os AGs passa-ram a ser amplamente utilizados a partir da década de 90 graças à sua eficiência na resolução de problemas de otimização. Eles são programas evolutivos inspi-rados na Teoria da Seleção Natural que atuam sobre uma população de indivíduos de forma que aqueles com boas características tenham maiores chances de sobrevivência, produzindo descendentes cada vez mais aptos. Os indivíduos menos aptos, por sua vez, tendem a desaparecer ao longo das gerações.
Boone & Chiang (1993) foram os pioneiros na utilização de um algoritmo genético para determinar os pontos ótimos de localização de BCs. Os resulta-dos mostraram-se idênticos aos do trabalho de Chi-ang et al. (1990). Contudo, a técnica baseada em AGs apresentou esforço computacional reduzido. Trabalhos como o de Gallego et al. (2001) e Direito (2010) também evidenciam vantagens de utilização dos AGs frente a outras técnicas de otimização.
Neste trabalho, dois AGs são propostos com a finalidade de encontrar a localização e a quantidade ótimas de bancos de capacitores fixos para instalação
em um sistema de distribuição primária. O primeiro deles (AG1) utiliza apenas a redução de perdas ativas totais como critério de busca das soluções. O segun-do (AG2) inclui em suas análises os custos segun-dos ban-cos de capacitores. Desta forma, utiliza como função objetivo a redução dos custos totais obtidos a partir das perdas e do investimento dos bancos. Os algorit-mos genéticos foram desenvolvidos com o auxílio da biblioteca de otimização global do software Matlab®.
2 Formulação do Problema
O problema de alocação de bancos de capacitores tratado neste trabalho pode ser definido de forma geral como:
Min fn(u) (1)
em que fn é definida de acordo com os objetivos da
solução e sua complexidade afeta o desempenho do algoritmo. A função fn a ser minimizada é definida de
acordo com a metodologia desenvolvida, para n = 1,2. O argumento da função é uma configuração de rede de distribuição primária radial, sobre a qual fn é
computada.
Para o AG1, tem-se:
Perdas
f1(u) (2) com Perdas correspondendo à quantidade total de perdas ativas do sistema. Assim, o algoritmo genético em questão deve ser capaz de encontrar a solução em que as perdas totais do alimentador sejam mínimas, desconsiderando os custos dos bancos.
Para o AG2, por sua vez:
f2(u) fperdasfinvestimento (3) em que,
H H Perdas perdas i i i Custo f ) 1 ( 1 1 (4)finvestimento CustoCapnCap (5) são funções que denotam objetivos a serem minimi-zados. A função (4) representa o custo das perdas de energia ativa no valor presente enquanto (5) totaliza o custo de investimento nos bancos de capacitores. Além disto,
CustoPerdas Custo das perdas de energia ativa a
cada ano;
H Horizonte de planejamento em anos;
i Taxa interna de retorno;
CustoCap Custo dos bancos de capacitores; nCap Quantidade de bancos de capacitores
instalados no sistema.
A ideia da função objetivo f2 é calcular os custos
no valor presente envolvendo as perdas do sistema e o investimento dos capacitores.
Do ponto de vista da complexidade computacio-nal, o principal algoritmo requerido no cálculo de fn é
uma rotina de cálculo de fluxo de potência. O Méto-do da Soma de Potência (MSP) foi aMéto-dotaMéto-do. Ele siste em um fluxo de carga aplicável somente a con-figurações radiais de sistemas de distribuição e foi implementado como uma função associada ao pro-grama principal.
Um exemplo de aplicação para o problema de alocação de BCs é apresentado na figura 1.
Figura 1. Alimentador primário de 63 barras.
Este caso consiste em instalar bancos de capaci-tores ao longo das 63 barras de um alimentador pri-mário.
3 Método da Soma de Potência
O cálculo do fluxo de carga em um sistema de potên-cia consiste em determinar os fasores tensão em todas as barras da rede, assim como o fluxo de potência nas linhas e suas respectivas perdas de potência. Isto permite que o estado da rede elétrica seja obtido no momento desejado. O processo iterativo do MSP costuma seguir os passos gerais apresentados:
1. Inicialmente, consideram-se nulas as perdas de potência ativa e reativa em todos os trechos do alimentador;
2. Os fluxos de potência são calculados partindo do trecho final até a origem do alimentador;
3. Com o auxílio de variáveis, calcula-se a ten-são em cada barra, começando na barra mais próxima à subestação;
4. Calculam-se as perdas de potência em cada linha do alimentador, em qualquer ordem;
5. Repetem-se os passos de 2 a 4, até que não ha-ja variação significativa nos valores das tensões cal-culadas entre iterações consecutivas;
6. Após a convergência do método, calculam-se as perdas totais do alimentador.
Neste trabalho, o algoritmo do MSP foi modifi-cado a fim de permitir a representação dos bancos de capacitores. Com esta alteração, o cálculo do fluxo de potência é realizado conhecendo-se a localização e a potência nominal dos BCs.
Os capacitores são tratados como uma carga do tipo impedância constante (modelo ZIP), portanto: QC j
SnomVpu2
(6) em que,QC Potência reativa do capacitor
efetiva-mente injetada no sistema (Mvar);
Vpu Tensão da barra na qual o capacitor foi
instalado (pu);
Snom Potência nominal do capacitor tomada
para 1 pu de tensão na barra (Mvar). Neste modelo de carga, o capacitor injeta na re-de uma quantidare-de re-de potência reativa que difere da sua potência nominal e que é proporcional ao qua-drado da tensão na barra em que o mesmo foi insta-lado. A cada iteração do MSP, o fluxo nas barras que contêm capacitores é modificado pela atualização de
QC e com esta alteração, o MSP pode ser executado
normalmente. As perdas ativas totais calculadas ao final do processo iterativo serão utilizadas nas fun-ções objetivo apresentadas em (2) e (3).
4 Metodologia de Solução dos Algoritmos Os AGs desenvolvidos para solucionar o problema formulado na seção 2 são geracionais, com elitismo para os melhores indivíduos, operador de cruzamento uniforme, mutação simples e critério de parada em função do número de gerações. Ao término de sua evolução, os algoritmos indicam quantos capacitores devem ser instalados em cada barra do sistema. Nas subseções 4.1, 4.2 e 4.3 são apresentados detalhes do processo de codificação, da função de aptidão e da evolução dos algoritmos.
4.1 Codificação
A codificação é uma das etapas mais críticas na defi-nição de um algoritmo genético. Cada indivíduo de uma população pode ser visto como uma possível solução ao sistema e é representado por um cromos-somo composto de uma sequência de números, que assumem valores dependendo da codificação utiliza-da. Neste artigo a codificação de indivíduos foi feita a partir de números inteiros.
Para sistemas reais, é usual delimitar a quantida-de máxima quantida-de barras que poquantida-dem conter bancos quantida-de capacitores. Este procedimento diminui significati-vamente o espaço de busca do problema sem prejudi-car a qualidade das soluções, uma vez que o processo
de instalação de BCs é viável apenas em algumas barras de um alimentador. Considerando o sistema apresentado na seção 2, optou-se por alocar os BCs em apenas 4 barras do sistema, que podem ser quais-quer umas das 63, a depender da evolução do algo-ritmo. Desta forma, a estrutura cromossômica adota-da neste trabalho assume a forma apresentaadota-da na fi-gura 2.
Figura 2. Codificação de estrutura cromossômica. Os genes em posições ímpares (branco) indicam a barra do alimentador e os genes em posições pares (cinza), a quantidade de bancos instalados na barra do gene anterior. Para o cromossomo fictício apre-sentado, tem-se a seguinte distribuição:
Barra 28 – 2 BCs; Barra 36 – 1 BC; Barra 45 – 3 BCs; Barra 61 – 2 BCs.
Este formato de codificação é utilizado na apli-cação dos dois métodos de AG.
4.2 Função de Aptidão
A função de aptidão indica quão boa é cada solução encontrada pelo algoritmo, auxiliando no seu proces-so evolutivo. Maiores aptidões representam maiores chances de perpetuação dos genes para a próxima geração.
Restrições de tensão nas barras, corrente nos ra-mos e de capacidade nas subestações não precisam ser modeladas na função de aptidão, uma vez que a instalação de BCs na rede tende a melhorar o perfil de tensão, reduzir as correntes nos ramos e mitigar a demanda por transformação nas subestações. A au-sência de restrições na formulação do problema per-mite que a função de aptidão seja representada dire-tamente por (2) ou (3), a depender da análise consi-derada. Portanto, ela reflete uma análise concreta da função objetivo do problema.
4.3 Evolução do Algoritmo
Em linhas gerais, os algoritmos utilizam os critérios de otimização definidos na função objetivo para apli-car os BCs à rede elétrica original (sem capacitores). Os bancos são aplicados a partir do vetor de codifi-cação mostrado na figura 2. O MSP apresentado na seção 3 é executado, obtendo-se as perdas totais do alimentador após a instalação dos bancos. De posse das perdas ativas, calcula-se a aptidão de cada solu-ção e uma nova populasolu-ção é gerada a partir da utili-zação dos operadores genéticos adequados. Este pro-cedimento se repete ao longo de todas as gerações, até a finalização do algoritmo pelo critério do núme-ro de gerações.
5 Aplicação
O sistema mencionado da seção 2 será utilizado para validar os algoritmos desenvolvidos. Para este sistema são fornecidas as resistências e reatâncias de cada trecho do alimentador (Tabela 1), a tensão da subestação (13,8kV), assim como a curva de duração de carga segmentada em 4 patamares (Figura 3).
Para o escopo deste trabalho, o problema se res-tringe a instalar até 10 bancos de capacitores fixos de 300 kvar em até 4 das 63 barras do alimentador pri-mário. Como o problema trata de aplicar apenas ca-pacitores fixos, considerou-se o patamar de maior carregamento da curva de carga segmentada deste sistema (patamar 1). Desta forma, foram calculadas as cargas ativas (Pl1) e reativas (Ql1) de cada barra
(Tabela 1) referentes ao carregamento máximo do sistema.
Figura 3. Curva de duração de carga segmentada.
Tabela 1. Dados do sistema de 63 barras. Barra Inicial Barra Final R (Ohm) X (Ohm) S (MVA) Pl1 (MW) Ql1 (Mvar) 0 1 0,1153 0,2280 0,2148 0,1847 0,0546 1 2 0,0251 0,0310 0,1351 0,1161 0,0343 1 3 0,0269 0,0530 0,1351 0,1161 0,0343 2 4 0,4121 0,1270 0,0810 0,0696 0,0206 2 5 0,2789 0,0860 0,1351 0,1161 0,0343 3 6 0,0698 0,1380 0,0000 0,0000 0,0000 4 7 0,3770 0,1160 0,1351 0,1161 0,0343 4 8 0,1103 0,0340 0,1344 0,1156 0,0342 6 9 0,008 0,0160 0,2148 0,1847 0,0546 7 10 0,5885 0,1810 0,0810 0,0696 0,0206 7 11 0,1226 0,0380 0,1351 0,1161 0,0343 8 12 0,2973 0,0910 0,2148 0,1847 0,0546 9 13 0,2360 0,0720 0,1351 0,1161 0,0343 9 14 0,0282 0,0560 0,1351 0,1161 0,0343 11 15 0,2728 0,0840 0,0540 0,0465 0,0137 13 16 0,1624 0,0500 0,1351 0,1161 0,0343 14 17 0,0118 0,0230 0,0810 0,0696 0,0206 16 18 0,1103 0,0340 0,2148 0,1847 0,0546 17 19 0,0373 0,0740 0,0000 0,0000 0,0000 19 20 0,0274 0,0540 0,081 0,0696 0,0206 19 21 0,0472 0,0590 0,4726 0,4064 0,1201 20 22 0,0590 0,1170 0,1081 0,0929 0,0275 21 23 0,0125 0,0160 0,1351 0,1161 0,0343 Barra Inicial Barra Final R (Ohm) X (Ohm) S (MVA) Pl1 (MW) Ql1 (Mvar) 22 24 0,0362 0,0720 0,0810 0,0696 0,0206 22 25 0,4414 0,1360 0,4049 0,3482 0,1029 23 26 0,0671 0,0830 0,2025 0,1741 0,0515 24 27 0,0244 0,0480 0,0000 0,0000 0,0000 24 28 0,1163 0,1440 0,2701 0,2322 0,0686 25 29 0,0521 0,0160 0,0269 0,0232 0,0068 26 30 0,1103 0,0340 0,3906 0,3359 0,0993 26 31 0,0613 0,0190 0,1351 0,1161 0,0343 27 32 0,0179 0,0350 0,0000 0,0000 0,0000 28 33 0,0199 0,0250 0,0000 0,0000 0,0000 31 34 0,0307 0,0090 0,4052 0,3484 0,1030 32 35 0,0354 0,0700 0,0269 0,0232 0,0068 33 36 0,1073 0,0330 0,6752 0,5806 0,1716 33 37 0,1042 0,0320 0,2701 0,2322 0,0686 35 38 0,1992 0,0610 0,0810 0,0696 0,0206 35 39 0,0145 0,0290 0,0540 0,0465 0,0137 36 40 0,2268 0,0700 0,0269 0,0232 0,0068 37 41 0,1655 0,0510 0,0810 0,0696 0,0206 39 42 0,1134 0,0350 0,0269 0,0232 0,0068 39 43 0,0202 0,0400 0,2429 0,2089 0,0617 41 44 0,3218 0,0990 0,3384 0,2910 0,0860 43 45 0,0962 0,1900 0,0810 0,0696 0,0206 45 46 0,1318 0,0400 0,0810 0,0696 0,0206 45 47 0,0304 0,0600 0,2025 0,1741 0,0515 47 48 0,0202 0,0400 0,1079 0,0928 0,0274 48 49 0,1624 0,0500 0,0810 0,0696 0,0206 48 50 0,0392 0,0780 0,0810 0,0696 0,0206 50 51 0,0736 0,0230 0,2701 0,2323 0,0687 50 52 0,0301 0,0600 0,0000 0,0000 0,0000 52 53 0,1686 0,0520 0,2025 0,1741 0,0515 52 54 0,0140 0,0170 0,0000 0,0000 0,0000 53 55 0,0981 0,0300 0,0810 0,0696 0,0206 54 56 0,4935 0,1520 0,1351 0,1161 0,0343 54 57 0,0177 0,0220 0,1351 0,1161 0,0343 56 58 0,2391 0,0730 0,0810 0,0696 0,0206 57 59 0,0538 0,0670 0,1351 0,1161 0,0343 59 60 0,0605 0,0750 0,1351 0,1161 0,0343 60 61 0,0295 0,0370 0,9584 0,8242 0,2436 61 62 0,5037 0,1550 0,0810 0,0696 0,0206 62 63 0,2146 0,0660 0,3239 0,2785 0,0823 Como comentado anteriormente, serão analisa-dos dois casos distintos:
Caso 1: A função objetivo a ser mini-mizada segue o modelo da equação (2). Os custos dos capacitores são desconsi-derados;
Caso 2: A função objetivo passa a ser analisada em função dos custos, como apresentado em (3).
Na prática, os dois algoritmos implementados di-ferem somente em suas funções objetivo, represen-tando duas análises distintas de um mesmo problema. Os aspectos de codificação e os parâmetros de ajuste não sofrem alterações. Assim, para os dois testes, os seguintes parâmetros do AG foram utilizados: popu-lação de 250 indivíduos, critério de parada de 250 gerações e taxa de cruzamento de 65%. O vetor de codificação segue o modelo da figura 2.
5.1 Caso 1
Para o sistema inicial (sem capacitores) apresen-tado na seção 2, as perdas ativas para o patamar de
maior carregamento ficam em torno de 149,7 kW. Ao executar o AG1, a melhor solução encontrada é re-presentada pelo cromossomo (21 4 61 1 33 2 50 2). Segundo esta solução os capacitores devem ser insta-lados da seguinte forma:
Barra 21 – 4 BCs; Barra 61 – 1 BC; Barra 33 – 2 BCs; Barra 50 – 2 BCs.
Esta solução apresenta um total de 9 BCs insta-lados, fornecendo uma redução de perdas ativas de 14,09 kW (9,41%) para o patamar de maior carrega-mento.
Outro ponto importante é a melhoria no perfil das tensões do sistema. Isto pode ser observado a partir da figura 4, que exibe as tensões nas barras do alimentador original e após a aplicação dos bancos de capacitores.
Figura 4. Perfil de tensão nas barras do alimentador. Antes da instalação dos BCs, a barra 63 apresen-tava a menor tensão do alimentador, com 0,9646 pu. Após a solução obtida no caso 1, este valor subiu para 0,9780 pu, representando uma melhoria de 1,34%.
De posse da redução total de perdas de energia e do preço de investimento dos capacitores é possível calcular o tempo de pagamento dos BCs e o lucro obtido pelo investidor ao longo dos anos. Para o sis-tema proposto, calculou-se uma redução de perdas de energia de 0,1365 MWh/dia, que gera uma economia a depender do custo médio de energia.
Considerando o preço da energia no mercado re-gular como R$ 268,33/MWh (EBC, 2014), é possível calcular o custo anual das perdas evitadas como sen-do de R$ 13.280,73/ano. Consequentemente pode-se construir uma curva (Figura 5) que indica a economia obtida (em milhares de reais) pela concessionária ao longo dos anos.
Figura 5. Economia a partir da redução de perdas. Para um custo dos capacitores de R$ 3.300,00 a cada 100 kvar (Costa, 2014), obtém-se um investi-mento total de R$ 89.100,00 considerando os 9 BCs de 300 kvar instalados no sistema. Consultando o gráfico da figura 4, é notável que o investimento dos bancos seria pago em menos de 7 anos. A partir deste ponto, o investidor começaria a lucrar. Considerando um tempo de vida de aproximadamente 20 anos dos bancos, o investidor lucraria, ao longo desse tempo, cerca de R$ 176.514,60.
É perceptível que o preço da energia afeta dire-tamente o lucro dos investidores. Em épocas em que os níveis dos reservatórios de água estão baixos, o custo da energia atinge seu preço máximo. Seguindo o raciocínio anterior, é possível notar que o lucro das concessionárias também aumenta. Esta análise serve para mostrar que sempre haverá lucro devido à redu-ção de perdas alcançada com a instalaredu-ção de BCs. Este lucro, contudo, varia à medida que variam os preços da energia.
5.2 Caso 2
Nesta simulação são utilizadas as equações (3)-(5). Para isto, considera-se um horizonte de planejamento (H) de 10 anos e uma taxa interna de retorno (i) de 6,39% ao ano. O custo dos capacitores para cada 100 kvar e o preço da energia no mercado regular são os mesmos apresentados na subseção 5.1 (Caso 1).
É importante destacar que a inflação foi descon-siderada nessa análise, assim, o custo das perdas de energia torna-se constante ao longo dos anos.
O custo total presente (perdas + investimento) para a configuração original do sistema de 63 barras, antes da aplicação dos bancos, é de R$ 1.025.512,78. A melhor solução encontrada pelo algoritmo corres-ponde ao cromossomo (61 1 36 1 48 1 57 1) e deter-mina a alocação de 4 bancos de capacitores no ali-mentador:
Barra 61 – 1 BC; Barra 36 – 1 BC; Barra 48 – 1 BC; Barra 57 – 1 BC.
Esta solução apresenta um custo presente de R$ 991.733,70, o que resulta em uma economia de R$ 33.779,08 (3,29%) com relação ao caso sem capaci-tores. De forma similar ao caso anterior, é possível
perceber a melhoria no perfil de tensão do alimenta-dor. Considerando a figura 4, percebe-se que a tensão da barra 63 subiu de 0,9646 pu para 0,9730 pu, re-presentado uma melhoria de 0,84%.
6 Conclusão
Os algoritmos apresentados permitiram a obtenção de resultados viáveis para o problema de alocação de bancos de capacitores.
A partir de uma comparação entre os dois casos mostrados, percebe-se que para o AG1, uma quanti-dade maior de capacitores tende a ser alocada, já que os custos com seu investimento não são levados em conta e apenas a redução de perdas é considerada. Deste modo, a melhoria no perfil das tensões tende a ser mais significativa. Ao se analisar ambos os custos (das perdas e dos capacitores) como critério de oti-mização, uma quantidade menor de BCs tende a ser alocada, resultando em uma solução que apresenta uma quantidade ligeiramente maior de perdas ativas, mas com o menor custo total possível. Desta forma, é correto afirmar que o segundo modelo proposto aten-de às necessidaaten-des das concessionárias aten-de energia aten-de forma mais satisfatória.
De modo geral, os algoritmos utilizados com-provaram eficácia na solução do problema, apresen-tando resultados satisfatórios. Após a instalação dos bancos de capacitores as perdas de potência foram reduzidas, trazendo benefícios econômicos. Além disso, notou-se a melhoria no perfil de tensão do ali-mentador.
Referências Bibliográficas
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