Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H) - Turma: Profª Silvana Heidemann Rocha Estudante: GABARITO

(1)

Ministério da Educação

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Curitiba

Diretoria de Graduação e Educação Profissional

Departamento Acadêmico de Estatística

Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H) - Turma: Profª Silvana Heidemann Rocha

Estudante: GABARITO Código: _____________

TRABALHO EM EQUIPE – Valor: 0 a 10,0

Assuntos: Intervalo de Confiança, Teste de Hipótese, Teste Qui-Quadrado, Análise de Variância, Análise de Regressão, Controle Estatístico de Processo

Observação

• As equipes poderão ter até 4 estudantes.

• A capa, a folha de rosto, as citações, as referências, os quadros, as tabelas e os gráficos devem estar conforme as normas para se apresentar trabalhos acadêmicos.

• Todas as fontes consultadas devem estar relacionadas ao final do trabalho, adequadamente. • A resolução de cada exercício deve ser precedida do respectivo enunciado.

01) Um fabricante sabe que a vida útil das lâmpadas que fabrica tem distribuição aproximadamente Normal com desvio-padrão de 200 horas. Para estimar a vida média das lâmpadas, tomou uma amostra aleatória simples de 400 delas, obtendo vida média de 1000 horas.

a) Identifique a variável aleatória de interesse, sua distribuição de probabilidade com os devidos parâmetros e, ainda, sua função densidade de probabilidade.

b) Construa um intervalo de confiança bilateral para a média populacional  , ao nível de confiança de 99%. Suponha que a amostragem foi aleatória simples com reposição. c) Qual a margem de erro, no item b?

d) Qual o tamanho da amostra necessário para se obter um erro de estimação de 5 horas, com 99% de probabilidade de acerto, para se construir um intervalo de confiança bilateral para a média populacional, usando amostragem aleatória simples com reposição?

Solução:

Dados do problema:

𝜎

_𝑋

= 𝜎 = 200 ℎ

(desvio-padrão populacional conhecido) n = 400 lâmpadas (tamanho da amostra)

𝑥̅ = 1000 ℎ

(média da amostra ou média amostral)

𝑠

_𝑋

= 𝑠 =

não informado (desvio-padrão da amostra ou desvio-padrão amostral) Parâmetro desconhecido a ser estimado:

𝜇

_𝑋

= 𝜇

(média populacional) Estimador adequado para estimar

𝜇: 𝑋̅

(média amostral) 1 –

𝛼

= 99% = 0,99 (nível de confiança)

𝛼 =

1% = 0,01 (nível de significância)

(2)

a) X: Vida útil de uma lâmpada, em horas ou tempo de duração de uma lâmpada, em horas X ~ N(

𝜇, 𝜎

2

= 200

2

) → 𝑓

_𝑋

(𝑥) =

1 200√2𝜋

𝑒

−1 2( 𝑥−𝜇 200) 2

, 𝑥 ∈ 𝑅

b)

𝐼𝐶

_0,99

(𝜇; 𝑋~𝑁; 𝜎 = 200) = ] 1000 − 2,57 ∙

200 √400

; 1000 + 2,57 ∙

200 √400

[

𝐼𝐶

_0,99

(𝜇; 𝑋~𝑁; 𝜎 = 200) = ] 974,3; 1025,7[

horas c) Margem de erro =

𝑧

_𝛼/2

∙

𝜎 √𝑛 Margem de erro =

2,57 ∙

200 √400

= 25,7 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

d) Tamanho da amostra:

𝑛 = (

2,57 ∙ 200

5 )

2

≅ 10.567,84

Logo, é necessária uma amostra aleatória de 10.568 lâmpadas.

02) Uma fabricante de papel para impressoras possui um processo de produção que opera de maneira contínua, através de um turno completo de produção. É esperado que o papel tenha um comprimento de 11 polegadas e desvio-padrão de 0,02 polegada. A intervalos periódicos, são selecionadas amostras aleatórias para determinar se o comprimento médio do papel ainda se mantém igual a 11 polegadas ou se algo de errado ocorreu no processo de produção que modificou o comprimento do papel produzido. Se tal situação tiver ocorrido, deve-se adotar uma ação corretiva. Uma amostra aleatória de 100 folhas de papel foi selecionada e verificou-se que o comprimento médio do papel era 10,998 polegadas.

a) Identifique a variável aleatória de interesse.

b) Construa um intervalo de confiança bilateral para a média populacional

𝜇

, ao nível de confiança de 95%. Suponha que a amostragem foi aleatória simples com reposição e que o comprimento do papel siga distribuição Normal.

c) Qual a margem de erro, no item b?

d) Qual o tamanho da amostra necessário para se obter um erro de estimação de 0,005 polegada, com 95% de probabilidade de acerto, para se construir um intervalo de confiança bilateral para a média populacional, usando amostragem aleatória simples com reposição?

(3)

03) A diretoria de qualidade de uma organização de assistência à saúde deseja avaliar o tempo de espera dos pacientes, em uma concessionária local. Uma amostra aleatória simples de 25 pacientes foi selecionada. O tempo de espera foi definido como o tempo medido desde a chegada do paciente até que ele fosse atendido pelo médico. Os dados a seguir representam os tempos de espera, em minutos:

1,9 19,5 36,6 49,0 4,9

21,8 39,0 49,6 10,7 25,4

39,8 49,8 12,1 28,6 42,5

52,1 12,7 29,6 45,6 13,8

30,5 45,9 17,4 31,1 46,1

b) Para se desenvolver uma estimativa da média populacional do tempo de espera, que requisitos teóricos sobre a distribuição de probabilidade da variável aleatória precisariam ser verificados?

c) A partir dos dados, calcule a média amostral e o desvio-padrão amostral.

d) Com um nível de confiança de 95%, desenvolva um intervalo de confiança bilateral para a média populacional

𝜇

do tempo de espera. Suponha que a amostragem foi aleatória simples com reposição.

Solução:

Dados do problema:

𝜎

_𝑋

= 𝜎 = não informado

(desvio-padrão populacional desconhecido) n = 25 pacientes (tamanho da amostra)

𝑥̅ = 30,24 𝑚𝑖𝑛

(média da amostra; calcular pelo Excel ou outro software)

𝑠

_𝑋

= 𝑠 =

15,53 min (desvio-padrão da amostra; calcular pelo Excel ou outro software) Parâmetro desconhecido a ser estimado:

𝜇

_𝑋

= 𝜇

(média populacional)

Estimador adequado para estimar

𝜇: 𝑋̅

(média amostral) 1 –

𝛼

𝛼 =

𝑡

_{𝑛−1; 𝛼/2}

=

𝑡

_{24; 0,025}

= 2,064

(pegar pela tabela das integrais da distribuição t-Student)

a) X: Tempo de espera, em minutos, de um(a) paciente até ele(a) ser atendido(a) pelo médico

b) Precisaria verificar se a variável aleatória X segue distribuição Normal. c)

𝑥̅ = 30,24 min e 𝑠

_𝑋

= 𝑠 =

15,53 min d)

𝐼𝐶

_0,95

(𝜇; 𝑋~𝑁; 𝜎 desconhecido) = ] 30,24 − 2,064 ∙

15,53 √25

; 30,24 + 2,064 ∙

15,53 √25

[

𝐼𝐶

_0,95

(𝜇; 𝑋~𝑁; 𝜎 desconhecido) = ] 23,83; 36,65[

minutos

(4)

04) A gerência de uma empresa que fornece óleo para calefação de residências deseja calcular o consumo médio anual, em galões, em domicílios unifamiliares, em determinada região. Nessa região, foi selecionada uma amostra aleatória de 35 domicílios unifamiliares e o consumo anual desses domicílios, em galões, estão abaixo:

1150,25 1352,67 983,45 1365,11 942,71 872,37 1126,57 1184,17 1046,35 1110,50 1459,56 1252,01 373,91 1047,40 1064,46 941,96 767,37 1598,57 1598,66 1343,29 1013,27 1402,59 1069,32 1108,94 1326,19 1577,77 1050,86 1018,23 1617,73 1074,86 330,00 851,60 996,92 1300,76 975,86

b) Para se desenvolver uma estimativa da média populacional do consumo anual de óleo, que requisitos teóricos sobre a distribuição de probabilidade da variável aleatória precisariam ser verificados?

c) A partir dos dados, calcule a média amostral e o desvio-padrão amostral.

d) Com um nível de confiança de 99%, desenvolva um intervalo de confiança bilateral para a média populacional

𝜇

do consumo anual de óleo. Suponha que a amostragem foi aleatória simples com reposição.

05) A gerente de produção de um jornal da cidade deseja determinar a proporção de jornais impressos que apresentam algum tipo de problema, tal como, excesso de tinta, montagem de páginas inadequada, falta de páginas, páginas duplicadas, dentre outros. Experiências do passado envolveram o exame detalhado do primeiro jornal que sai da impressora, porém nenhuma avaliação posterior era feita dos milhares de jornais impressos. A gerente de produção determinou que fosse selecionada uma amostra aleatória de 200 jornais para análise. Dessa amostra de 200 jornais, 35 apresentaram algum tipo de problema.

a) Determinar um intervalo de confiança bilateral de 90% para a proporção de jornais com algum tipo de problema. Suponha amostragem aleatória simples com reposição.

b) Qual é a margem de erro no item a?

c) Qual o tamanho da amostra necessário para se construir um intervalo de confiança bilateral para a proporção populacional, usando amostragem aleatória simples com reposição, 5% de erro de estimação e 90% de confiança?

d) Qual é a margem de erro da pesquisa, referente ao item c? Solução:

Dados do problema:

n = 200 jornais (tamanho da amostra)

𝑝̂ = 35/200 = 0,175 (proporção da amostra ou proporção amostral) Parâmetro desconhecido a ser estimado: 𝜌 (proporção populacional) Estimador adequado para estimar 𝜌

:

𝑝̂ (proporção amostral) 1 –

𝛼

𝛼 =

(5)

a) 𝐼𝐶0,90(𝜌; 𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 (𝜌); 𝑛 > 30) = ] 0,175 − 1,64√ 0,175 ∙ 0,825 200 ; 0,175 + 1,64√ 0,175 ∙ 0,825 200 [

𝐼𝐶

_0,90

(𝜌; 𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 (𝜌); 𝑛 > 30) = ] 0,131 ; 0,219 [

b) Margem de erro = 𝑧_𝛼/2√𝑝̂∙(1−𝑝̂) 𝑛 Margem de erro =

1,64√

0,175∙0,825 200

≅ 0,0441

c) Tamanho da amostra

𝑛 = (

𝑧

𝛼/2

𝑝̂ − 𝑝

)

2

∙ 𝑝(1 − 𝑝)

𝑛 = (

1,64 0,05

)

2

∙ 0,5(1 − 0,5)

≅ 268,96

Logo, é necessária uma amostra aleatória de 269 jornais.

d) Margem de erro = 𝑧𝛼/2√𝑝 ̂_∙(1−𝑝̂₎

𝑛

Margem de erro =

1,64√

0,5∙0,5

269

≅ 0,05

06) Uma amostra aleatória simples de 400 eleitores de um determinado município, indicou que 55% deles eram a favor do candidato a prefeito João da Silva.

a) Determinar um intervalo de confiança bilateral de 95% para a proporção de todos os eleitores do município, favoráveis ao candidato João da Silva. Suponha amostragem aleatória simples com reposição.

b) Qual é a margem de erro dessa pesquisa?

c) Qual o tamanho da amostra necessário para ser construído um intervalo de confiança bilateral para a proporção populacional, usando amostragem aleatória simples com reposição, 2% de erro de estimação e 95% de confiança?

(6)

07) Deseja-se estimar a proporção de peças defeituosas produzidas por uma máquina e a estimação será por meio de um intervalo de confiança bilateral e amostragem aleatória simples com reposição.

a) Admitindo o nível de confiança de 90% e uma margem de erro de 3%, qual o tamanho de amostra necessário? Admita variância máxima.

b) Admitindo o nível de confiança de 90% e um erro de estimação de 3%, qual o tamanho de amostra necessário? Admita variância máxima.

08) Um fabricante de televisores declarou, no rótulo de garantia, que apenas 8% de seus aparelhos de televisão precisavam de reparo durante os dois primeiros anos de funcionamento. Para testar a validade dessa declaração, uma agência de testes do governo selecionou uma amostra aleatória simples de 100 aparelhos e constatou que 12 aparelhos necessitaram de algum reparo nos primeiros dois anos de funcionamento. Assim, a agência de testes ficou desconfiada de que a proporção populacional era diferente da declarada pelo fabricante.

A declaração do fabricante é válida ou há evidências amostrais de que ela não seja válida? Responda isso por meio de um teste de hipótese, usando um nível de significância de 1% e supondo amostragem aleatória simples com reposição.

Etapas de um teste de hipótese:

a) identifique a variável aleatória e sua distribuição de probabilidade, com os respectivos parâmetros;

b) identifique o parâmetro de interesse e seu estimador adequado; c) identifique a quantidade pivotal adequada (ou estatística de teste); d) formule a hipótese nula e a hipótese alternativa;

e) determine as regiões de rejeição e de não-rejeição da hipótese nula; f) calcule a estatística de teste com base nos dados amostrais;

g) apresente a decisão de forma contextualizada.

Solução:

Dados do problema:

n = 100 televisores (tamanho da amostra)

𝑝̂

= 12/100 = 0,12 (proporção da amostra ou proporção amostral)

Parâmetro de interesse a ser verificado:

𝜌 = 𝑝 = 8% = 0,08

(proporção populacional) Estimador adequado para estimar

𝑝

:

𝑝̂

(proporção amostral)

1 –

𝛼

𝛼 =

𝑧

_𝛼

=

𝑧

_0,01

=

2,33 =

𝑧

_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜} (pegar pela tabela das integrais da distribuição Normal Padrão)

a) X: O aparelho de televisão sob exame necessita de reparo durante os dois primeiros anos de funcionamento

X ~ Bernoulli (p = 0,08)

b) Parâmetro de interesse a ser estimado:

𝜌 = 𝑝

(proporção populacional) Estimador adequado para estimar

𝑝: 𝑝̂

(proporção amostral)

(7)

c) Quantidade pivotal ou estatística de teste:

𝑧 =

𝑝̂−𝑝

√𝑝(1−𝑝)

𝑛

𝑛→∞

→ 𝑁(0,1)

d)

𝐻

₀

: 𝑝 = 0,08 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻

₁

: 𝑝 > 0,08

(hipótese nula versus hipótese alternativa) e) Na curva abaixo, a área pintada representa a região de não-rejeição da hipótese nula

(H0) e a área não pintada representa a região de rejeição de H0 :

Gráfico 1 – Distribuição Normal Padrão, com área pintada à esquerda de z = 2,33, a qual representa 99% da área total sob a curva

Fonte: Autoria própria.

Nota: Comandos do software estatístico R:

curve(dnorm (x, mean = 0, sd = 1), from = -5, to = 5)

polygon(x = c(-5, seq (-5, 2.33, l = 30), 2.33), y = c( 0, dnorm(seq(-5, 2.33, l = 30)), 0), col="gray")

f)

𝑧 =

𝑝̂−𝑝 √𝑝(1−𝑝) 𝑛

𝑧

_{𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜}

=

0,12 − 0,08

√

0,08∙0,92 100

≅ 1,47

(8)

Como

𝑧

_{𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜}

= 1,47 < 𝑧

_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜}

= 2,33

não se rejeita a hipótese nula, pois o

𝑧

_{𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜} pertence à região de não-rejeição da hipótese nula, na curva do item anterior.

g) Conclusão: Com 99% de confiança e usando o teste Z, pode-se dizer que há evidências amostrais de o fabricante estar falando a verdade, ou seja, de a proporção populacional ser 8%.

09) Um fabricante de sistemas anti-incêndio, usados para proteção contra incêndio, em edifícios de escritórios, alega que a temperatura média real de ativação do sistema é 130ºF. Uma amostra aleatória simples de nove sistemas, quando testados, produziu uma temperatura média de ativação de 134,5ºF. Testes estatísticos indicam que a temperatura de ativação segue distribuição Normal com desvio padrão de 1,5ºF. Com um nível de 1% de significância, pode-se dizer que os dados amostrais contradizem a alegação do fabricante? Considere amostragem aleatória simples com reposição.

Etapas de um teste de hipótese:

a) identifique a variável aleatória e sua distribuição de probabilidade, com os respectivos parâmetros;

b) identifique o parâmetro de interesse e seu estimador adequado; c) identifique a quantidade pivotal adequada (ou estatística de teste); d) formule a hipótese nula e a hipótese alternativa;

e) determine as regiões de rejeição e de não-rejeição da hipótese nula; f) calcule a estatística de teste com base nos dados amostrais;

g) apresente a decisão de forma contextualizada.

10) (MAGALHÃES; LIMA, 2008) O número de chegadas de clientes a um banco foi anotado minuto a minuto para uma amostra de 70 períodos de um minuto. Os dados foram os seguintes:

Nº de chegadas 0 1 2 3 4 5 6 mais de 6

Frequência 9 15 17 11 7 5 4 2

Verifique se o modelo de Poisson é adequado para modelar essas chegadas, com um nível de significância de 5%. Para isso:

a) Esboce uma possibilidade de histograma de haste (ou o de pontos) para os dados do problema;

b) Identifique a variável aleatória de interesse; c) Formule a hipótese nula e a hipótese alternativa;

(9)

e) Apresente uma conclusão com embasamento científico, utilizando os resultados estatísticos dos itens anteriores.

11) (MAGALHÃES; LIMA, 2008) Foi realizada uma amostra aleatória do preço unitário de mudas de laranjeira, em reais, em atacadistas especializados, e os resultados estão apresentados na tabela a seguir:

Preço de mudas de laranjeira, em reais, em atacadistas especializados - São Paulo - 2007 Preço de uma muda de laranjeira (R$) Frequência

0,50 ⊢ 0,60 23 0,60 ⊢ 0,65 36 0,65 ⊢ 0,70 64 0,70 ⊢ 0,75 95 0,75 ⊢ 0,80 102 0,80 ⊢ 0,85 71 0,85 ⊢ 0,90 45 0,90 ⊢ 1,00 14 Total 450

Fonte: A autora, baseada em Magalhães e Lima (2008)

a) Construa o histograma de densidade de frequência relativa e, sobre ele, o polígono de densidade de frequência relativa e, ainda, um esboço de uma curva de densidade;

b) Identifique a variável aleatória de interesse. c) Formule a hipótese nula e a hipótese alternativa;

d) Use o Teste Qui-Quadrado, com um nível de significância de 10%, para verificar se o modelo Normal se ajusta bem aos dados.

e) Apresente uma conclusão com embasamento científico, utilizando os resultados estatísticos dos itens anteriores.

12) Num rebanho de bois, retirou-se cinco amostras aleatórias simples de tamanho cinco de uma mesma população com distribuição Normal, com média e variância desconhecidas. Para cada amostra foi aplicado um antiparasitário (tratamentos): Neguvon, Methiridium, TH e Haloxon e, ainda, uma das amostras ficou como grupo Controle. Após um tempo, os pesos dos animais, em quilogramas, foram medidos para cada tratamento e os resultados estão apresentados na tabela abaixo. Desenhe um diagrama que represente o problema; identifique a variável resposta, o fator e os níveis do fator; indique os pressupostos teóricos para conduzir uma análise de variância (ANOVA) e, com significância de 5%, teste se existe efeito de antiparasitário no peso dos animais, ou seja, teste a hipótese estatística,

(10)

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅

𝐻1: 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 para pelo menos um 𝑖 ≠ 𝑗

Tratamentos (antiparasitários)

Neguvon Methiridium TH Haloxon Controle

330 315 298 286 279

314 304 289 273 240

331 307 273 269 266

311 320 240 278 269

320 305 121 274 250

Fonte: Estatística Experimental com aplicações em R. Jaboticabal: UNESP, 2012. Disponível em:

<http://www.fcav.unesp.br/Home/departamentos/cienciasexatas/listas-estatistica-experimental.pdf.pdf>. Acesso em: 25/06/2016.

13) A gerência de um depósito que armazena cargas de pequeno porte está estudando o peso das cargas que chegam ao seu terminal. Usualmente, o terminal recebe quatro tipos de cargas: doméstica (D), administrativa (A), equipamentos industriais (E) e outros tipos (O). Deseja-se verificar se, em média, existem diferenças entre os pesos dos quatro tipos de cargas. Ao longo de um mês, cargas foram colhidas aleatoriamente e seus pesos foram aferidos, fornecendo os dados (em kg):

Tipos de cargas D A E O 24,9 27,9 38,4 23,8 20,4 28,1 38,6 25,3 24,2 28,4 41,2 23,5 22,3 25,3 43,9 27,6 20,3 29,3 40,2 25,5 24,0 28,5 40,2 23,9 23,5 27,9 37,3 22,6

Fonte: MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: EDUSP, 2008:

Desenhe um diagrama que represente o problema; identifique a variável resposta, o fator e os níveis do fator; indique os pressupostos teóricos para conduzir uma análise de variância (ANOVA) e, com significância de 1%, teste se existe efeito do tipo de carga, ou seja, teste a hipótese estatística,

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄

𝐻1: 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 para pelo menos um 𝑖 ≠ 𝑗

14) (MAGALHÃES; LIMA, 2008) Em uma dada região de Bocaina-SP, acredita-se que o gado alimentado em um tipo de pasto tem um ganho de peso maior que o usual.

Estudos de laboratório detectaram uma substância no pasto e deseja-se verificar se ela pode ser utilizada para melhorar o ganho de peso dos bovinos.

Foram escolhidos 15 bois de mesma raça e idade, e cada animal recebeu uma determinada concentração dessa substância, em mg/l.

(11)

O ganho de peso, após 30 dias, foi anotado e os dados foram os seguintes, em kg:

Ganho de peso, em quilos, em bovinos, segundo a concentração de certa substância, em miligramas por litro - Bocaina - São Paulo - 2007

Bovino Concentração da substância, em mg/l Ganho de peso, em kg

1 0,2 9,4 2 0,5 11,4 3 0,6 12,3 4 0,7 10,2 5 1,0 11,9 6 1,5 13,6 7 2,0 14,2 8 2,5 16,2 9 3,0 16,2 10 3,5 17,7 11 4,0 18,8 12 4,5 19,9 13 5,0 22,5 14 5,5 24,7 15 6,0 23,1

Fonte: A autora, baseada em Magalhães e Lima (2008)

Nota: O ganho de peso foi medido após 30 dias de quando se iniciou o experimento.

a) Desenhe o diagrama de dispersão referente aos dados do problema;

b) Calcule o coeficiente de correlação linear (coeficiente de correlação linear de Pearson) e interprete o valor encontrado;

c) Identifique a variável resposta e a variável explicativa, classificando-as; d) Escreva os pressupostos teóricos da análise de regressão linear simples; e) Determine a reta de mínimos quadrados e interprete seus coeficientes;

f) Com um nível de significância de 5%, teste se a reta encontrada se ajusta bem aos dados. g) Apresente uma conclusão com embasamento científico, utilizando os resultados

estatísticos dos itens anteriores.

15) Conceitue "Controle Estatístico de Processo (CEP)", indicando suas principais finalidades. Apresente os principais gráficos, com os respectivos limites de controle (inferior, superior). Apresente os principais índices de capacidade do processo (conceitos, fórmulas matemáticas, significado das respectivas fórmulas matemáticas).

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Referências

BOLFARINE, H.; BUSSAB, W. O. Elementos de amostragem. São Paulo: Blucher, 2005.

LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L.; STEPHAN, D. Estatística: teoria e aplicações usando Microsoft Excel em português. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6 ed. São Paulo: Edusp, 2008.

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.