Controlo de Sistemas Controladores PID

Controlo de Sistemas

Controladores PID

Alexandra Moutinho

• Erro estacionário

• Caracterização das ações básicas de Controlo:

P, I, D (frequência e tempo)

• O controlador PID

• Projeto de controladores PID por métodos

Ziegler-Nichols

• Considere o sistema de controlo por realimentação

• O controlador 𝐺_𝑐(𝑠) define o valor da variável manipulada 𝑈(𝑠)

de modo a compensar desvios na variável controlada 𝑌(𝑠), causados quer por perturbações 𝐷(𝑠), quer por variações na referência 𝑅(𝑠)

Controlo por realimentação

𝑅(𝑠) 𝑈(𝑠) 𝐷(𝑠) 𝑌(𝑠) Controlador 𝐺_𝑐 𝑠 Sistema 𝐺_𝑝(𝑠) 𝐸(𝑠)

• Ações básicas do controlador 𝐺_𝑐 𝑠

– Proporcional, P – Integrativa, I – Derivativa, D

• Os controladores PID (nas diferentes combinações das ações

básicas e versões modificadas) são os mais utilizados na indústria

Controlador PID

• Ação proporcional ao erro de seguimento (lida com presente):

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠) = 𝐾𝑝, 𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝐸 𝑠

ℒ−1

𝑢 𝑡 = 𝐾_𝑝𝑒(𝑡)

• Reduz o efeito das perturbações e o erro de seguimento

𝑌 𝑠 = 𝐺𝑝 𝑠 1 + 𝐾_𝑝𝐺_𝑝 𝑠 𝐷 𝑠 + 𝐾_𝑝𝐺_𝑝 𝑠 1 + 𝐾_𝑝𝐺_𝑝 𝑠 𝑅 𝑠

Controlador Proporcional, P

• Ajuste fácil (apenas 1 parâmetro de projeto)

• Aumenta a velocidade de resposta e o sobreimpulso

• Pode levar à instabilidade do anel de controlo (sistemas de ordem elevada)

• Não elimina erro estacionário (𝐾_𝑝 ≪ ∞ devido a limitações dos

atuadores)

Controlador Proporcional, P

• Considere que pretende controlar a velocidade

angular de um motor com indutância não desprezável, com FT dada por

𝐺_𝑝 𝑠 = Ω(𝑠)

𝑈(𝑠) =

𝐴

𝑠2 + 𝑎₁𝑠 + 𝑎₂

Controlador Proporcional: Exemplo

1. Desenhe o LGR do sistema para 𝐾 > 0 2. Verifique que caraterísticas do anel

fechado pode alterar com a escolha de ganho

𝐺_𝑝 𝑠 = Ω(𝑠)

𝑈(𝑠) =

𝐴

𝑠2 + 𝑎₁𝑠 + 𝑎₂

• A equação caraterística com controlador proporcional é

1 + 𝐾_𝑝𝐺_𝑝 𝑠 = 0

𝑠2 + 𝑎₁𝑠 + 𝑎₂ + 𝐾_𝑝𝐴 = 0 ⇔ 𝑠2 + 2𝜉𝜔_𝑛𝑠 + 𝜔_𝑛2 = 0

• O projetista pode ajustar a frequência natural do sistema

controlado, 𝜔_𝑛 = 𝑎₂ + 𝐾_𝑝𝐴, mas não consegue alterar o tempo

de estabelecimento (𝜉𝜔_𝑛)

• Sistema tipo 0:

𝑒_𝑠𝑠degrau = 1 1 + lim

𝑠→0 𝐾𝑝𝐺𝑝(𝑠)

= const

• 𝐾_𝑝 elevado diminui 𝑒_𝑠𝑠degrau, mas:

• Amortecimento poderá ser muito baixo para obter uma resposta transiente

satisfatória

• Tempo de estabelecimento,

𝑇_𝑠2% = 4

𝜉𝜔_𝑛, não varia

Controlador Proporcional: Exemplo

LGR, 𝐾 > 0

Controlador Proporcional: Exemplo

• Ação proporcional ao

integral do erro

de

𝐺

𝑠 =

𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠)

=

1

𝑇

𝑠

• Elimina erro estacionário de posição, 𝑒

= 0 (anel

aberto de tipo >1)

Controlador Integrativo, I

𝑈 𝑠 = 1 𝑇_𝑖𝑠 𝐸 𝑠 ℒ−1 𝑢 𝑡 = 1 𝑇_𝑖 න₀ 𝑡 𝑒 𝜂 𝑑𝜂

• A amplitude da ação de controlo, 𝑈(𝑠), altera-se sempre que 𝑒(𝑡) ≠ 0, mantendo-se constante quando este se anula

• A ação de controlo exercida é tanto maior quanto mais demorada for a correção do erro

• Pode provocar oscilações indesejáveis na presença de saturações na ação de controlo (reset-windup) 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 1 𝑇_𝑖𝑠

• Diminui a estabilidade relativa do anel de controlo: introduz atraso de fase no anel aberto

• Considere o mesmo problema do motor: 𝐺_𝑝 𝑠 = Ω(𝑠) 𝑈(𝑠) = 2 𝑠2 + 2𝑠 + 4 • Controlador integrativo: 𝐺_𝑐 𝑠 = 1 𝑇_𝑖𝑠

Controlador Integrativo: Exemplo

1. Desenhe o LGR do sistema para 𝐾 > 0

2. Verifique que caraterísticas do anel fechado a escolha de ganho pode alterar

• Considere o mesmo problema do motor: 𝐺_𝑝 𝑠 = Ω(𝑠) 𝑈(𝑠) = 2 𝑠2 + 2𝑠 + 4 • Controlador integrativo: 𝐺_𝑐 𝑠 = 1 𝑇_𝑖𝑠

• Sistema tipo 1: 𝑒_𝑠𝑠degrau = 1 1 + lim 𝑠→0 1 𝑠 𝐺𝑝(𝑠) = 0

• Ação de controlo cumulativa do erro de seguimento, ou seja, mesmo quando erro se anula 𝑢(𝑡) ≠ 0

Controlador Integrativo: Exemplo

𝑢 𝑡 = න

0 𝑡

• Ação proporcional à derivada do erro de seguimento (lida com futuro): 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝑇𝑑𝑠

𝑈 𝑠 =

𝑇

𝑠

𝐸 𝑠

𝑢 𝑡 =

𝑇

d𝑒(𝑡)

d𝑡

• Nunca se usa isoladamente pois amplifica o ruído do erro (proveniente do ruído dos sensors que medem 𝑌(𝑠))

Controlador Derivativo, D

• Ação de controlo com caráter antecipatório (derivative

kick), é por isso mais rápida a

reagir a erros

• Não anula o erro estacionário

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠) = 𝑇𝑑𝑠

• Aumenta a estabilidade

relativa do anel de controlo: introduz avanço de fase no anel aberto

• O controlador 𝐺

(𝑠) poderá ser obtido pela combinação

das 3 acções básicas de controlo, resultando:

– Controlador PI (Proporcional-Integral). – Controlador PD (Proporcional-Derivativo).

– Controlador PID(Proporcional-Integral-Derivativo)

Família de controladores PID

𝑅(𝑠) 𝑈(𝑠) 𝐷(𝑠) 𝑌(𝑠) Controlador 𝐺_𝑐 𝑠 Sistema 𝐺_𝑝(𝑠) 𝐸(𝑠)

𝑈 𝑠 = 𝐾

1 +

1

𝑇

𝑠

𝐸 𝑠 = 𝐾

𝑇

𝑠 + 1

𝑇

𝑠

𝐸 𝑠

𝑢 𝑡 = 𝐾

𝑒 𝑡 +

1

𝑇

න

𝑒 𝜂 𝑑𝜂

Controlador PI

𝑈 𝑠 = 𝐾

𝑇

𝑠 + 1

𝑇

𝑠

𝐸 𝑠

• Sistema tipo 1 (1 polo na origem):

– Elimina erro estacionário de posição, 𝑒_𝑠𝑠degrau = 0

– Introduz atraso de fase no anel aberto

• Zero no SPCE, em 𝑠 = −

𝑇_𝑖

:

– “Atrai” LGR para a esquerda, melhorando as características dinâmicas da resposta

• Devido ao termo proporcional, a ação correctiva é imediata:

• O polo na origem introduz atraso de fase no anel aberto: diminui a estabilidade relativa

• Pode resultar em oscilações indesejáveis

• Efeito provocado pela variação dos parâmetros 𝑇_𝑖 e 𝐾_𝑝:

• Necessária sintonia dos parâmetros 𝑇_𝑖 e 𝐾_𝑝 para melhorar

resposta transitória do anel de controlo

• Comparar desempenho do sistema de controlo com:

• Controlador P:

• Controlador PI:

Controlador PI: Exemplo

Controlador PI: Exemplo

𝑈 𝑠 = 𝐾

1 + 𝑇

𝑠 𝐸 𝑠

𝑢 𝑡 = 𝐾

𝑒 𝑡 + 𝑇

d𝑒(𝑡)

d𝑡

• Carácter antecipatório da acção correctiva

Controlador PD

𝑈 𝑠 = 𝐾

1 + 𝑇

𝑠 𝐸 𝑠

• Sistema tipo 0:

– Não elimina erro estacionário de posição, 𝑒_𝑠𝑠degrau = const

• Zero no SPCE, em 𝑠 = −

𝑇_𝑑

:

– “Atrai” LGR para a esquerda, melhorando as características dinâmicas da resposta

– Amplifica o ruído na alta frequência devido ao ganho positivo – Aumenta a estabilidade relativa devido à introdução de avanço

de fase no anel aberto

Controlador PD

Amplifica o ruído na alta frequência devido ao

ganho positivo

Aumenta a estabilidade relativa devido à introdução de avanço de

• Comparar desempenho do sistema de controlo com: • Controlador P: 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝐾_𝑝 = 19 • Controlador PI: 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝐾_𝑝 𝑇𝑖𝑠+1 𝑇_𝑖𝑠 = 19 2𝑠+1 2𝑠 • Controlador PD: 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝐾_𝑝 1 + 𝑇_𝑑𝑠 = 19 1 + 0.21𝑠

Controlador PD: Exemplo

Controlador PD: Exemplo

𝑈 𝑠 = 𝐾

𝑇

𝑇

𝑠

_{+ 𝑇}

𝑠 + 1

𝑇

𝑠

𝐸 𝑠

𝑢 𝑡 = 𝐾

𝑒 𝑡 +

1

𝑇

න

𝑒 𝜂 𝑑𝜂 + 𝑇

d𝑒(𝑡)

d𝑡

Controlador PID

𝑈 𝑠 = 𝐾_𝑝 𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠

2 _{+ 𝑇}

𝑖𝑠 + 1

𝑇_𝑖𝑠 𝐸 𝑠

• 1 polo na origem:

– Elimina erro estacionário de posição, 𝑒_𝑠𝑠degrau = 0

• 2 zeros no SPCE (podem ser reais ou complexos):

– “Atrai” LGR para a esquerda, melhorando as características dinâmicas da resposta

– Amplifica o ruído na alta frequência

– Aumenta a estabilidade relativa devido à introdução de avanço de fase no anel aberto

– Caráter antecipatório da ação corretiva

Controlador PID

Amplifica o ruído na alta frequência devido ao

ganho positivo

Aumenta a estabilidade relativa devido à introdução de avanço de

• O desempenho do sistema depende da sintonia de K_𝑝, 𝑇_𝑖, e 𝑇_𝑑

• Aumentar 𝐾_𝑝 e 1/𝑇_𝑖, reduz o erro de seguimento, mas pode

instabilizar o sistema

• Aumentar 𝑇_𝑑 (para valores pequenos) melhora a estabilidade,

embora origine uma resposta oscilatória e uma indesejável amplificação do ruído para valores elevados:

• Comparar desempenho do sistema de controlo com: • Controlador P: 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝐾_𝑝 = 19 • Controlador PI: 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝐾_𝑝 𝑇𝑖𝑠+1 𝑇_𝑖𝑠 = 19 2𝑠+1 2𝑠 • Controlador PD: 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝐾_𝑝 1 + 𝑇_𝑑𝑠 = 19 1 + 0.21𝑠 • Controlador PID: 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝐾_𝑝 𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2+𝑇𝑖𝑠+1 𝑇 𝑠 = 19 0.42𝑠2+2𝑠+1 2𝑠

Controlador PID: Exemplo

Família de controladores PID:

quadro resumo

Controla-dor Expressão temporal

Função de transferência 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝑈(𝑠)/𝐸(𝑠) P 𝑢 𝑡 = 𝐾_𝑝𝑒 𝑡 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝐾_𝑝 I 𝑢 𝑡 = 1 𝑇_𝑖 න₀ 𝑡 𝑒 𝜂 d𝜂 𝐺_𝑐 𝑠 = 1 𝑇_𝑖𝑠 PI 𝑢 𝑡 = 𝐾_𝑝 𝑒 𝑡 + 1 𝑇_𝑖 න₀ 𝑡 𝑒 𝜂 d𝜂 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝐾_𝑝 𝑇𝑖𝑠 + 1 𝑇_𝑖𝑠 PD 𝑢 𝑡 = 𝐾_𝑝 𝑒 𝑡 + 𝑇_𝑑d𝑒(𝑡) d𝑡 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 𝑡 2

• Fazer um quadro resumo das vantagens e

desvantagens de cada controlador da família PID

relativamente a:

– Resposta transiente (𝑀

, 𝑡

, …)

– Resposta estacionária (𝑒

)

– Resposta em frequência (ruído, margens estabilidade)

Trabalho de casa

• Projeto de controladores PID pelos métodos de

Ziegler-Nichols

– Controlo de Sistemas, Miguel Ayala Botto, AEIST Press, 2008

• Capítulo 8

– Feedback Control of Dynamic Systems, Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami‐Naeini, Pearson (6ª edição), 2010

• Capítulo 4

– Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice‐Hall International (4ª edição), 2002

• Capítulo 8

– Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons (6ª edição), 2011