OTIMIZAÇÃO DA MONTAGEM DE
CORTE DO TIPO SLITTER EM CHAPAS
DE AÇO: UMA PROPOSTA DE
APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO
LINEAR
Leonardo Lopes de Campos
leolopes.rio@gmail.com
Rosemberg Nunes Ferreira Filho
bergferreira96@hotmail.com
O presente trabalho busca evidenciar as vantagens da Pesquisa Operacional como ferramenta de apoio na resolução de problemas envolvendo recursos em operações industriais, tendo como ênfase apresentar a Programação Linear, um dos principais tópicos da Pesquisa Operacional. A estrutura do trabalho elenca conceitos da Pesquisa Operacional e a da Programação Linear reunidos em pesquisa sobre o tema, sendo esta norteada para embasar o desenvolvimento de um modelo para preparação de uma máquina de corte de chapas de aço do tipo slitter. Este equipamento está instalado em uma indústria de beneficiamento de bobinas de aço, sendo este processo de corte slitter o cenário do estudo. Seguindo as etapas identificadas como necessárias para modelagem de um problema na Programação Linear, construiu-se um modelo contendo 40 variáveis de decisão, desenvolvido considerando os estoques de peças de montagem como restrições de recursos disponíveis e as características técnicas dos produtos de saída como objetivos observados na etapa de análise do problema. As equações finais do modelo foram inseridas como fórmulas matemáticas no software Microsoft Excel 2013, tornando possível realizar simulações para otimização no suplemento Solver. A realização destas simulações serviram como validação do modelo e também para avaliação de resultados preliminares de uma proposta de melhoria na operação de montagem do corte.
Palavras-chave: Pesquisa Operacional, Programação Linear, Solver, método simplex, Empresa metalúrgica
XXXVIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO “A Engenharia de Produção e suas contribuições para o desenvolvimento do Brasil”
1
1. Introdução
Tomadas de decisões, sejam nos níveis gerenciais ou estratégicos, são etapas comuns nos processos produtivos. Em sua necessidade, se faz essencial a fundamentação da decisão através da análise de dados envolvidos na questão, como exemplo, o impacto sobre todo o sistema em que o processo está inserido, as variáveis que o influenciam, o ambiente e as limitações do processo. A Pesquisa Operacional insere-se neste cenário com uma ciência que utiliza de modelos matemáticos e ferramentas cientificas no auxílio da formulação de problemas identificando assim a melhor alternativa de resolução.
Uma das formas de aplicação da Pesquisa Operacional é realizada a partir da modelagem do problema em questão. Existem diversas técnicas de modelagem de problemas, que podem ser utilizadas para simular ou otimizar uma situação, como uma operação ou um processo produtivo. Para melhor ilustrar esta metodologia, este trabalho terá como objetivo apresentar uma proposta de aplicação de uma programação matemática de modelagem na preparação de uma máquina de corte de chapas de aço por slitter, instalada em uma indústria de beneficiamento de bobinas de aço.
O modelo se caracterizou como uma programação linear, contendo 40 variáveis de decisão, desenvolvido considerando os estoques de peças de montagem como restrições de recursos disponíveis e as características técnicas dos produtos como objetivos observados na análise do problema. As equações do modelo foram inseridas como fórmulas no software Microsoft Excel 2013 e para validação realizaram-se três simulações no suplemento Solver utilizadas para avaliação de resultados preliminares.
2. Pesquisa Operacional
A Pesquisa Operacional pode ser descrita como um “conjunto de técnicas que faz uso do método científico para auxiliar as pessoas a tomarem decisões” (LONGARAY, 2013, p. 1). Ela tem sua origem no período da Segunda Guerra Mundial. Nesse conflito, era comum que os comandos dos exércitos tivessem que lidar com problemas que poderiam ter consequências grandiosas, positivas ou negativas. Isto levava a necessidade de complexas análises para tomadas de decisões nas campanhas (JAISWAL, 1997).
Estas decisões eram desde natureza logística, como dimensionamento de comboios e aprovisionamento de tropas, até problemas de movimentação de guerra, como escolha de certo avião para determinada missão ou probabilidade de destruição de submarinos. Para apoiar os comandos na resolução desses problemas e assim tomarem as decisões táticas ideais, foram montados grupos multidisciplinares de engenheiros, matemáticos, físicos e
2 diversos profissionais das ciências exatas. Esses cientistas aplicavam o método científico aos problemas apresentados, desenvolvendo então a ideia de criar modelos matemáticos, sustentados por dados e fatos, que permitissem simular os resultados hipotéticos em função das alternativas tomadas sobre os problemas apresentados e modelados.
Assim, a Pesquisa Operacional se tornou uma ciência que busca a resolução de problemas que envolvam a tomada de decisões, a partir da análise de dados para formulação de modelos matemáticos, sem desviar-se da importância dos elementos subjetivos que fazem parte do processo. Sua aplicação envolve métodos científicos qualitativos de equipes multidisciplinares, como matemática e estatística, na utilização desses modelos a fim de realizar uma “experimentação” do processo e da tomada de decisão (ANDRADE, 2015). Hillier e Lieberman (2013) destacam o crescente relacionamento da Pesquisa Operacional em diferentes setores de negócios, como industrial, serviços, comércio, financeiro e agropecuário. Quanto ao desenvolvimento de suas técnicas, Andrade (2015) salienta que a Pesquisa Operacional teve um crescimento extraordinário devido, em grande parte, ao avanço tecnológico dos computadores e suas ferramentas digitais. A velocidade de processamento das informações, a capacidade de armazenamento de grandes volumes de dados e a fácil recuperação de dados, faz dos computadores itens essenciais e ferramentas importantíssimas na análise e modelagem de processos. O avanço tecnológico está levando ao desenvolvimento de modelos cada vez mais dinâmicos, mais ágeis e sobretudo mais interativos, com a possibilidade da interação do fator humano no desenrolar dos cálculos.
Num cenário empresarial atual, onde há um alto nível de competição nos ambientes de negócios, empresas têm percebido que ao lado das forças de marketing e vendas, os investimentos em tecnologia são cada vez mais importantes na busca pelo sucesso e eficácia de seus processos. Nas indústrias, houve um crescimento na procura por técnicas que modelam e simulam processos industriais (SECCHI, 1995).
Conforme um processo torna-se cada vez mais complexo, aumenta a necessidade do controle, estruturação e análise de suas variáveis. Campos (2009, p. 59) destaca que “o objetivo geral da análise e da síntese é, justamente, reduzir as incertezas na tomada de decisões”.
Quando nos deparamos com um problema e existe a necessidade de uma decisão significativa, o processo que vai anteceder a decisão com a finalidade de gerar as soluções para este problema, será tão importante quanto à própria situação problemática. Este processo anterior à decisão é conhecido como processo decisório.
3 Debatendo o processo decisório, Chiavenato (2006, p. 277) conceitua decisão como “processo de análise e escolha entre as alternativas disponíveis de cursos de ação que a pessoa deverá seguir”. Para seguir um curso de ação (estratégia), é necessário abandonar outros cursos alternativos. Ou seja, para caracterizar a situação de decisão é necessário pelo menos duas opções excludentes entre si. A Pesquisa Operacional por sua vez, fornece meios para que a análise e a tomada do curso de ação aconteçam da melhor forma possível.
2.1. Os modelos na Pesquisa Operacional
A Pesquisa Operacional atua a partir do desenvolvimento de modelos com embasamento lógico e cientifico a fim de estruturar uma tomada de decisões. Longaray (2013, p. 9) define modelo como "a representação matemática, simbólica ou descritiva, de um conjunto de eventos físicos, ou aspectos subjetivos, considerados importantes para o agente responsável pela decisão em um contexto especifico". Lachtermacher (2014) destaca a importância da modelagem de eventos com diferentes alternativas para auxiliar líderes responsáveis pelo processo de decisão. Os modelos permitem que o indivíduo envolvido com o problema possa visualizar a estrutura do sistema em análise, bem como analisar e avaliar os cenários possíveis de cada alternativa.
Os modelos gerados com a utilização de uma programação matemática são os mais corriqueiros na Pesquisa Operacional. Na sua forma mais comum e simplificada, esses modelos são compostos por variáveis controláveis e não controláveis, restrições, e pelos menos um objetivo.
As variáveis são fatores que “podem assumir valores diversos durante o desenvolvimento da solução” (ANDRADE, 2015. p. 14). Variáveis controláveis são aquelas que o indivíduo envolvido pode agir para chegar ao seu objetivo e as variáveis não controláveis são aquelas em que não é possível agir, porém afetam os resultados do modelo.
As restrições são funções em fator das variáveis que expressam as relações e as limitações entre as variáveis relevantes. Colin (2007. p. 6) expande esta ideia conceituando as restrições como “regras que dizem o que podemos (ou não) fazer e/ou quais são as limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao modelo”.
As relações entre as variáveis e seus limites são formalizadas através de equações ou inequações matemáticas (LACHTERMACHER, 2014). E, o objetivo é a função matemática que indica a solução em que se deseja alcançar, o principal alvo do tomador de decisão.
4 Um exemplo para visualização da criação de um modelo seria o processo manufatureiro de dois produtos. Os produtos “A” e “B” utilizam quantidades distintas da matéria prima P, e também quantidades distintas de Mão de Obra (Hh), além de gerarem lucros também distintos dentro de sua demanda própria.
Neste exemplo, as variáveis controláveis (ou de decisão) seriam as quantidades produzidas de “A” e quantidades produzidas de “B”, pois estas poderiam ser alteradas pelo decisor em busca de maximizar o lucro (função objetivo), conforme as limitações de matéria-prima, mão de obra e demanda (restrições).
Pela grande diversidade de modelos matemáticos disponíveis, o responsável pela análise do problema deve, antes da elaboração do modelo, analisar atentamente a situação a fim de estruturar o escopo do modelo e suas características. Assim, garantindo a seleção do melhor modelo para o problema analisado.
2.2. Programação Linear
A programação linear é um método utilizado na modelagem e solução de problemas lineares determinísticos na Pesquisa Operacional (BÄURLE; STEIN, 2015). Colin (2007) trata a aplicação dos modelos em programação linear como uma das principais técnicas utilizadas para busca de soluções em problemas de otimização (maximização ou minimização).
Esta técnica é uma das mais empregadas na resolução de problemas de Pesquisa Operacional. Segundo Longaray (2013), esta inclinação pelo uso da Programação Linear acontece por conta de sua estrutura algébrica, que mais se aproxima da matemática dentre todos os modelos de otimização, e também pela linearidade natural que de sua aplicação.
Para Milhomem et al. (2015), o entendimento dos modelos básicos de programação linear possibilita uma maior compreensão de todos os outros modelos de programação matemática. Sua característica básica é o fato de suas restrições e objetivos, serem unicamente representados por equações e inequações de funções lineares (LACHTERMACHER, 2014). É um modelo utilizado no auxílio de decisões estratégicas, buscando a maior eficiência possível no resultado da simulação, contando apenas com os recursos disponíveis em cada restrição do problema.
As sequências elaboradas nas equações e inequações lineares, ao receberem determinadas entradas em suas variáveis, geram um resultado pela função objetivo. Como em outras programações, estas soluções podem ser viáveis, inviáveis ou ótimas (ANDRADE, 2015) Soluções viáveis são aquelas atendem a todas as restrições levantadas no escopo do problema. Soluções inviáveis impactam em no mínimo uma restrição, fazendo com que esta restrição
5 não seja atendida. E a solução ótima é uma solução que atende todas as restrições gerando um valor extremo na função-objetivo, que será o maior valor existente para maximização ou o ou menor valor existente para minimização, dentro na área de soluções do modelo (COLIN, 2007).
Silva et al. (2009), destaca que apesar da grande complexidade para a formulação e construção de um modelo, a partir do conhecimento do problema e suas características será possível montar uma sequência de etapas para facilitar a modelação de um problema de programação linear conforme visto na tabela 1:
Tabela 1 – Etapas para modelagem de um problema de Programação Linear
Fonte: Adaptado de Silva et al. (2009)
Existem diversos métodos de resolução para os problemas de programação linear. Um dos métodos mais utilizado nos meios de pesquisa é algoritmo Simplex, processo que possui mecanismos de cálculo estabelecidos e pode ser realizado com auxílio de ferramentas computacionais (HILLIER; LIEBERMAN, 2013). Utilizado principalmente no caso de funções com alto número de variáveis, o Simplex pode ser calculado com a ferramenta Solver, suplemento da aplicação Microsoft Excel 2013.
3. Metodologia
O presente trabalho acadêmico trata-se de uma pesquisa-ação para utilização da programação linear na modelagem de um problema decisório, desenvolvida a partir de uma pesquisa descritiva com a reunião de publicações e outros materiais teóricos utilizando critérios de seleção sobre o tema e a técnica abordada. Devido a extensão de conteúdos relacionados aos fundamentos da Pesquisa Operacional, a pesquisa descritiva se delimitou na modelagem e simulação de problemas pela Programação Linear e a otimização de um problema com auxílio do aplicativo Solver, extensão do Microsoft Excel 2013.
6
3.1. Ambiente de estudo
O estudo ocorreu em uma indústria metalúrgica de beneficiamento de bobinas de aço. Esta empresa realiza a industrialização de chapas de aço em linhas de corte longitudinal (Slitter), transversal (Blanks), perfiladeiras, prensas e dobradeiras. A empresa ainda possui setores para realização de solda MIG/MAG para montagem de estruturas. A linha escolhida para análise neste estudo foi a de corte Slitter, selecionada por critérios quantitativos sobre os custos de operacionalização e dificuldade de resolução manual.
3.2. Materiais e métodos
A montagem do corte slitter era realizada pela indústria com auxilio de uma função linear simples, com preenchimento de variáveis de maneira rudimentar, manual e empírica. A quantidade de resultados possíveis ao modelo, dependentes unicamente a percepção dos responsáveis pela montagem, dava margem a erros e elevava custos desnecessários pela não identificação de oportunidades melhores.
Assim, com orientação de produzir uma programação matemática da operação, realizou-se o trabalho de otimizar a montagem do corte slitter da empresa através de ferramentas científicas. As etapas do projeto foram realizadas seguindo o método indicado por Silva et al. (2009). A seguir, estão resumidas as etapas ordenadas de montagem do modelo:
Definição das quantidades que podem ser usadas de cada tipo de peça de montagem como variáveis de decisão, compreendida através de observação do funcionamento da máquina;
Identificação e registro das larguras das peças de montagem e sua relação de montagem como constantes do problema, já que estas informações não podem ser alteradas;
Como recursos, compreendeu-se que as quantidades de peças disponíveis limitavam as montagens de corte com várias larguras, sendo estes os fatores limitantes do modelo;
O objetivo do modelo foi selecionar as peças ideais para montagem do corte, de forma que a soma de suas larguras atingisse a medida necessária para execução do processo, sem margens de sobra e apenas com as peças disponíveis;
Adaptação das informações de todas as etapas em células e fórmulas matemáticas de uma planilha do software Microsoft Excel 2013 desenvolvendo um modelo em planilha eletrônica, mas ainda com resolução manual;
Por fim, utilizou-se o suplemento Solver do Microsoft Excel 2013 para selecionar as informações do modelo compreendidas nas etapas anteriores, adicionando ainda as
7 restrições de não negatividade e de variáveis inteiras (não é possível selecionar uma quantidade negativa de peças ou a fração de uma peça).
O próximo capítulo demonstrará a aplicação prática do modelo possibilitando uma melhor compreensão destas etapas.
4. Desenvolvimento do estudo de montagem do corte slitter
Como dissertado, a metodologia da programação linear pode ser aplicada em diversos seguimentos de negócios. Este capítulo ilustrará a aplicação da programação linear na definição de sepadores de eixo para montagem de cortes do tipo slitter.
4.1. Operação de corte slitter
Processo slitter é nome dado ao corte longitudinal realizado com o cruzamento de facas rotatórias, semelhante ao movimento de guilhotina. Sendo um dos processos tradicionais no corte de bobinas de aço carbono, inox e galvanizado, também pode ser encontrado no processamento de bobinas de papel (HENN; WASCHER, 2013). O corte slitter é conhecido por ser o meio mais prático, rápido e barato para a realização de cortes longitudinais. Em bobinas de aço, a montagem correta do slitter produz tiras de aços em larguras ideais com acabamento e precisão.
Figura 1 – Fotografia de tiras de aço cortadas pelo método slitter
Fonte: Repositório digital Dalleaço (2014)
O processo acontece pelo desenrolamento da bobina, que passa em seguida por facas ou navalhas rotativas que são montadas de acordo com as medidas das tiras de aço a serem obtidas. A quantidade de tiras a ser obtida em um corte é determinada na montagem do corte,
8 respeitando as tolerâncias de corte e de capacidades da máquina. A largura de cada corte é preparada encaixando espaçadores no eixo até atingir a medida do produto programado.
Figura 2 – Ilustração da composição de montagem do corte slitter
Fonte: Fornecida pela empresa do estudo
Figura 3 – Fotografia de um corte slitter
Fonte: Fornecida pela empresa do estudo
4.2. Modelagem do problema
A análise da operação de corte slitter evidenciou a escolha dos espaçadores como problema do modelo. A quantidade a ser utilizada de cada modelo de espaçador foi definida como variável de decisão, onde o responsável pela montagem pode escolher o modelo e a quantidade que melhor se adequar à montagem do corte. A tabela 2 contempla os 40 modelos de separadores que podem ser selecionados:
9 Tabela 2 – Variáveis de decisão
Fonte: Desenvolvida pelos autores
4.3. Restrições do problema
Foram identificadas quatro restrições para este problema. Primeiramente, os espaçadores têm estoque limitado e variado. Sua escolha para montagem dos cortes deve ser menor ou igual ao estoque disponível. Esta restrição está relacionada aos recursos disponíveis do modelo.
Tabela 3 – Definição da restrição por recursos disponíveis
Fonte: Desenvolvida pelos autores
Cabe ressaltar, que a fabricação de espaçadores novos para estoque tem um custo altíssimo para a empresa e deve ser evitada. Isso reflete na importância de se utilizar montagens inteligentes com os recursos disponíveis.
A segunda restrição está relacionada com o atendimento às especificações do produto. Os espaçadores encaixados no eixo devem alcançar a mesma medida do corte que se deseja realizar através da soma de suas larguras.
Figura 4 – Ilustração exemplo da montagem de espaçadores
10 A equação 1 representa esta segunda restrição:
(1)
A terceira e quarta restrições tratam do uso lógico das variáveis de decisão. Como as mesmas representam as quantidades de calços que serão selecionados, seus valores obrigatoriamente devem ser números inteiros e não negativos. Estas restrições tem grande importância na modelagem através de softwares, já que sua não inclusão afetará a execução das simulações para otimização.
(2) (3)
4.4. Definindo a função objetivo relacionando vários cortes
Objetivando minimizar a quantidade de calços usados, programou-se a função objetivo do modelo para descobrir qual a menor combinação de espaçadores possível para o corte da largura desejada, conforme a equação 4:
(4)
Até esta etapa, foi possível modelar a montagem de espaçadores entre facas rotativas para apenas um corte de tira de aço. Contudo, o corte de bobinas pode ser mesclado com diferentes larguras, aproveitando a matéria prima e um único processamento para cortar produtos de diferentes pedidos e clientes.
Para passagem do modelo às planilhas eletrônicas onde será realizada a simulação, a etapa seguinte se consistiu em repetir o modelo de forma sequencial, considerando as tiras seguintes na mesma bobina mesmo quando os espaçadores devem ser usados na montagem no eixo de oposto.
A relação final entre os modelos se baseou na primeira restrição, que trata do estoque de espaçadores: o estoque disponível para a montagem seguinte será sempre o que restar das montagens anteriores. Logo, o modelo completo de montagem de cortes formou-se pela relação em cascata de “n” modelos individuais - onde “n” é número de tiras que serão
11 cortadas - cada um com sua largura de corte própria (segunda restrição) e com restrição de recursos da simulação seguinte condicionada aos recursos subtraídos da simulação anterior. Ressalta-se, que foi ordenada a possibilidade de até 11 tiras no modelo, considerando a capacidade de produtos na mesma bobina e na tração da máquina.
4.5. Modelagem no Microsoft Excel 2013
Com o planejamento do modelo completo, sua inserção no Microsoft Excel 2013 foi realizada através do uso de fórmulas matemáticas na representação de todas as relações. Incluindo a subtração de recursos das células de variáveis de decisão entre modelos e o somatório de todas as funções objetivo em uma única função, a fim de possibilitar a programação no suplemento Solver.
A figura 5 contém uma montagem de capturas de tela da planilha onde um dos modelos menores - que juntos formam o modelo geral - foi programado.
Figura 5 – Caracterização do modelo contendo campos de input e restrições
Fonte: Desenvolvida pelos autores
O preenchimento dos campos de entrada com as larguras desejadas alteram automaticamente os limites da segunda restrição, estando uma restrição de largura em cada modelo menor. A linha contendo os saldos de espaçadores também é informada no Solver como restrições relacionadas ao preenchimento da linha de solução. Esta linha por sua vez foi identificada na programação do Solver como “células variáveis”, ou seja, as variáveis de decisão do modelo. A função objetivo ficou programada para minimizar a quantidade de peças selecionadas para atingir o limite de cada largura.
12
5. Simulação e resultados
Para avaliação de funcionamento do modelo, realizaram-se três simulações de modelagem de corte diferentes. Como o modelo final trata de um problema de programação linear, utilizou-se em todas as simulações a opção “LP Simplex” do Solver para cálculo dos resultados.
A primeira simulação foi a montagem de corte para 8 tiras de aço, sendo 2 tiras com 100 milímetros (mm) e as outras 6 com 147mm. O relatório de respostas apresentou resultados em 12,1 segundos, com utilização de 20 espaçadores.
Tabela 4 – Resolução do primeiro modelo
Fonte: Relatório de resultados do modelo
A segunda simulação foi a montagem para atendimento de um único pedido, um corte pleno de 5 tiras de aço com 233mm. O relatório de respostas apresentou resultados em 2,2 segundos, com utilização de 15 espaçadores, sendo 2 espaçadores do tipo x36 e 1 do tipo x37 em cada modelo (10 do tipo x36 e 5 do tipo x37, no total).
A terceira simulação foi a montagem de corte para 4 tiras de aço, sendo 1 tira com 355mm e as outras 3 com 277mm. O relatório de respostas apresentou resultados em 15,2 segundos, com utilização de 17 espaçadores.
Tabela 5 – Resolução do terceiro modelo
Fonte: Relatório de resultados do modelo
6. Considerações finais
Considera-se que o objetivo principal deste estudo foi atingido ao realizar a modelagem do problema apresentado seguindo as etapas apresentadas método para modelagem de problemas
13 lineares. O modelo desenvolvido pode ser testado em simulações com pedidos de corte reais da empresa, expondo a eficiência na seleção de espaçadores para as melhores montagens do slitter de maneira dinâmica e otimizada. A relação para repetição das restrições com desconto de estoque tornou-o mais robusto ao permitir realizar as simulações para o corte de várias tiras em uma única bobina.
Dada a delimitação deste trabalho em observar a montagem de cortes em uma bobina, recomenda-se a expansão do estudo para analisar a montagem de um modelo que envolva as necessidades de tiras com a matéria-prima disponível, considerando as possibilidades de encaixe de tiras em várias bobinas sequenciadas. Também se sugere a pesquisa de outros softwares voltados para programação matemática que apresentem ferramentas adicionais ao modelo.
A boa execução das técnicas dissertadas comprovou os benefícios que podem ser alcançados na aplicação da Pesquisa Operacional na produção de bens. A atenção à análise do problema e determinação clara das premissas de modelagem através metodologias estabelecidas, permitiu o desenvolvimento de uma solução bem fundamentada para o apoio na tomada de decisões do processo estudado.
REFERÊNCIAS
ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: Métodos e modelos para análise de decisões. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015. 220 p.
BÄUERLE, N.; STEIN, O. Operations Research: Mathematical Methods. Wiley StatsRef: Statistics Reference
Online. p. 1-8. Doi: 10.1002/9781118445112.stat04584.pub2, 2015. Disponível em
<https://www.researchgate.net/publication/300483978_Operations_Research_Mathematical_Methods> . Acesso em 20 jan 2018.
CAMPOS, V. F. O verdadeiro poder. Nova Lima (MG): INDG Tecnologia e Serviços, 2009. 159 p.
CHIAVENATO, I. Introdução à Teoria Geral da Administração. 3. ed. rev. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006. 503p.
COLIN, E. C. Pesquisa Operacional: 170 aplicações em Estratégia, Finanças, Logística, Produção, Marketing e Vendas. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 488 p.
DALLEAÇO. Slitter: Fitas de aço. 2014. Disponível em <http://www.dalleaco.com.br/slitter.php>. Acesso em 03 abr 2018.
HENN, S.; WASCHER, G. Extensions of cutting problems: setups. Pesq. Oper., Rio de Janeiro , v. 33, n. 2, p. 133-162, 2013.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9. ed. São Paulo: Bookman, 2013. JAISWAL, N. K. Military Operations Research: Quantitative Decision Making. Springer Science Business Media: New York/US. 1997
14 MILHOMEM, D. A. et al. Utilização da programação linear e do método simplex para otimização da produção de pães em uma empresa de panificação. Anais... XXXV Encontro Nacional de Engenharia de Produção. Fortaleza, 2015.
SECCHI, A. R. Modelagem e Simulação de Processos. Porto Alegre (RS): UFRGS, 1995. 199 p.
SILVA, E. M. et al. Pesquisa Operacional: Para curso de Economia, Administração, Ciências Contábeis. São Paulo (SP): Altas, 2009. 184 p.
