Estudo comparativo de modelos matemáticos para o
problema de roteamento de veículos capacitado
Rafael Wojciechowski Barbosa
Acadêmico do Curso de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Santa Maria - UFSM
Santa Maria, Brasil rafael.w.b@gmail.com
Vinícius Jacques Garcia
Departamento de Engenharia de Produção Universidade Federal de Santa Maria - UFSM
Santa Maria, Brasil viniciusjg@ufsm.br
Abstract — this paper introduces a comparison between two integer linear programming models to solve the vehicle routing problem. The main issue addressed refers to the number of constraints and variables included on these models, in order to show the truly complexity associated with this problem. In addition, this study have shown how suitable could be the consideration of certain set of constraints and their consequence on the graphical solution obtained.
Index Terms — Heuristics, mathematical programming, combinatorial optimization, vehicle routing problem.
I. INTRODUÇÃO
Um dos principais desafios com que nos deparados cotidianamente se refere à necessidade de tomar uma decisão, que envolve a escolha de uma alternativa dentre várias disponíveis, assumindo um critério de seleção e sujeito a um conjunto de restrições. A otimização combinatória trata dos problemas de decisão em que há uma natureza combinatória quanto ao número de alternativas e a otimização combinatória contempla problemas matemáticos que envolvem três elementos fundamentais: variáveis de decisão, função objetivo e restrições.
O problema de roteamento de veículos (vehicle routing
problem – VRP) é um problema de natureza combinatória,
cuja atenção dedicada na literatura especializada ocorre desde 1954, com o trabalho seminal de Dantzig, Fulkerson e Johnson. No entanto, as contribuições acerca do VRP somente começaram a ter uma quantidade significativas na década de 90, devido ao advento do microcomputador e da capacidade dos pesquisadores poderem desenvolver e implementar algoritmos mais complexos e sofisticados [1].
II. REFERENCIAL TEÓRICO
Seja G=(V, A) um grafo não direcionado, onde V= {1, ..., n} é o conjunto de vértices representando os destinos, com a origem alocada em 1; e A, o conjunto de arestas. Para cada aresta (i, j), com i≠j, é associado um valor não negativo em uma matriz distância C=(cij), interpretado como o custo ou tempo para o trajeto entre a origem i e o destino j. Ainda, assumimos que existam k veículos disponíveis no depósito, cada um com uma capacidade Q, e que há uma demanda qi associada a cada destino. O VRP consiste em encontrar um conjunto de rotas de tal modo que o custo total seja mínimo, sem deixar de observar as seguintes restrições [2]:
a. Cada rota começa e termina no depósito; b. Cada cliente é visitado por um cliente;
c. A demanda total dos clientes em cada rota não deve exceder a capacidade Q do veículo.
Ou seja, problemas de roteamento de veículos consistem no atendimento de um conjunto de “consumidores” que necessitam ter suprida uma demanda por uma frota de veículos independentes, que partem de um ou mais pontos, denominados depósitos, com o menor custo possível; sendo que estes veículos devem partir e retornar ao final do percurso a um depósito, denominamos os pontos de vértices e as rotas de arestas. Sendo que principal limitante dos problemas dos VRPs é a capacidade dos veículos[3].
Os problemas de roteamento de veículos possuem um número extraordinário de aplicações práticas, entre as quais destacam-se: distribuição de jornais, distribuição de valores, entrega de pizza, transporte escolar, leitura de medidores elétricos, manutenção de elevadores, roteamento de satélites, projeto de anéis em redes de telecomunicações, roteamento de pacotes de computadores, roteamento de fluxo de comunicações em redes de telecomunicações. Podemos ainda incluir o roteamento de informações em redes elétricas inteligentes, devido ao fluxo de informação que existirá entre os consumidores e a concessionária, e as diversas rotas que esta informação poderá assumir até chegar a seu destino [4].
Uma das formulações mais difundidas na literatura e adotada como modelagem clássica no presente artigo é a apresentada por Fisher e Jaikumar (1981) [5].
𝑉𝑅𝑃 = 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝑐!" !,! 𝑥!"# ! (1) Sujeito a: 𝑦!"= 1 ! 𝑖 = 2, … . . , 𝑛 (2) 𝑦!"= 𝑘 ! 𝑖 = 1 (3) 𝑞! ! 𝑦!"≤ 𝑄! 𝑘 = 1, … , 𝑚 (4) 𝑥!"! ! = 𝑥!"# ! = 𝑦!" 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑘 = 1, … , 𝑚 (5) 𝑥!"#≤ 𝑆 − 1 !,!∈! ∀𝑆 ⊆ 2, … , 𝑛 , 𝑘 = 1, … , 𝑚 (6) 𝑦!"∈ 1,0 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑘 = 1, … , 𝑚 (7) 𝑥!"∈ 1,0 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑘 = 1, … , 𝑚 (8) Onde:
𝑥!"#= variável binária que assume o valor 1 quando o
veiculo k visita o cliente j imediatamente após o cliente i, 0 em caso contrário.
𝑦!"= variável binária que assume o valor 1 se o cliente i é
visitado pelo veículo k, caso contrário o valor é 0. 𝑄! é a capacidade do veículo k.
𝑐!" é o custo de percorrer o trecho que vai do cliente i ao j.
O conjunto de restrições (2) estabelece que todo cliente seja visitado por apenas um veículo. Em (3), temos a garantia que exatamente k veículos sairão do depósito. As capacidades dos veículos são consideradas em (4) e em (5) é assegurado que todo o cliente tenha apenas uma aresta de chegada e uma de saída. O conjunto de restrições (6) não permite que ocorram subciclos.
Uma modelagem alternativa é a eliminação dos subciclos que não incluam o depósito através da formulação de Miller-Tucker-Zemlin (MTZ), que faz uso de um conjunto de variáveis auxiliares u!(i=1,...,n) e as seguintes restrições [6]:
𝑢!= 1 (9) 2 ≤ 𝑢!≤ 𝑛 ∀𝑖 ≠ 1 (10)
𝑢!− 𝑢!+ 1 ≤ 𝑛 − 1 1 − 𝑥!" ∀𝑖 ≠ 1 ∀𝑗 ≠ 1 11
Chamamos (11) de inequação de restrição de arco. Ao invés de excluir a equação (9) para (i,j) , ela força 𝑢!≥ 𝑢!+
1, quando 𝑥!"#= 1. Se uma solução factível contem mais que
um ciclo o valor de ui cresceria para infinito. O argumento que implica os limites nas variáveis ui também implica que há apenas um valor para ui no ciclo. As vantagens do MTZ são:
• É pequena (precisamos apenas n extra variáveis e n2/2 restrições adicionais);
• Se preferimos visitar uma cidade A antes de uma cidade B no ciclo, isto pode ser facilmente modelado na forma de realizar a multiplicação da variável auxiliar ui, por um termo -‐∂i, este sendo maior que 0.
III. MODELAGEM E RESULTADOS
Afim de conseguir um melhor conjunto de soluções, a modelagem proposta pela literatura sofreu alterações. Na equação (3) foi especificada a condição de que não seja necessária a saída de todos os veículos disponíveis no depósito para atender o conjunto de pontos, mas sim o número correspondente de ciclos para que seja atingido a totalidade das arestas com o menor custo de operação, ou seja, o numero de veículos para atender os pontos deve ser igual ou maior a 1, conforme (12).
𝑦!"≥ 1
!
𝑖 = 1 (12) Já nas equações onde as variáveis auxiliares estavam presentes, (9), (10) e (11), houve o acréscimo de uma dimensão, de modo a atender as necessidades pelas quais os problemas foi abordado, assim para cada veículo k, temos um conjunto de variáveis auxiliares, respectivamente sendo (13), (14) e (15).
𝑢!"= 1 (13) 2 ≤ 𝑢!"≤ 𝑛 ∀𝑖 ≠ 1 (14)
𝑢!"− 𝑢!"+ 1 ≤ 𝑛 − 1 1 − 𝑥!"# ∀𝑖 ≠ 1 ∀𝑗 ≠ 1 15
Com isso, o modelo denominado clássico contempla as restrições (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) e (8), enquanto que o modelo denominado alternativo contempla as equações (1), (2), (12), (3), (4), (5), (6), (7), (13), (14) e (15).
Para a realização dos testes e do estudo foi utilizada uma instância com 11 pontos, o ponto 0 sendo identificado como depósito e os 10 pontos subseqüentes são assumidos como os clientes a serem atendidos, conforme ilustra a Tabela 1. Com esta instância foram criadas três outras, a instância denominado vrpnc4 consiste do depósito e os 4 primeiros vértices; a instância vrpnc7, com o depósito e os 7 primeiros clientes; e finalmente vrnpc10, que contempla todos os vértices. Utiliza-se essa abordagem para verificar como os modelos se comportarão de acordo com o grau de instruções que eles necessitam processar.
Conforme é visto na Tabela 1, da esquerda para a direita temos o ponto em si, a localização do ponto junto a coordenada X, a localização na ordenada Y, perante o plano cartesiano, e a demanda que necessita ser suprida, respectivamente.
Localização Ponto X Y Demanda 0 35 35 0 1 41 49 10 2 35 17 9 3 55 45 8 4 55 20 7 5 15 30 6 6 25 30 5 7 20 50 10 8 10 43 9 9 55 60 8 10 30 60 7 Figura 1. Fluxograma
A linguagem de modelagem algébrica utilizada para a realização do estudo é a ZIMPL[7], com o emprego do SCIP[8] para encontrar a solução ótima do problema considerado. Resalta-se que o ZIMPL realiza a compilação do modelo algébrico para uma linguagem que o SCIP consiga compreender e resolver o problema efetivamente.
TABELA II. VARIÁVEIS GERADAS NO ZIMPL
ZIMPL
Base Modelo Veículos Capacidade Variáveis Restrições Instruções
vrpnc4 Clássico 2 20 60 61 10222 vrpnc4 Alternativo 2 20 70 77 7877 vrpnc7 Clássico 3 20 216 447 132837 vrpnc7 Alternativo 3 20 240 251 27805 vrpnc7 Clássico 2 40 144 303 89113 vrpnc7 Alternativo 2 40 160 170 19283 vrpnc10 Clássico 5 20 660 5251 2690467 vrpnc10 Alternativo 5 20 715 731 84029 vrpnc10 Clássico 2 40 265 2113 1077688 vrpnc10 Alternativo 2 40 286 299 35837
Para uma melhor visualização e compreensão foram gerados três gráficos a partir dos dados da Tabela 2, sendo apresentados nas Figuras 1, 2 e 3.
Figura 2. Aumento das variáveis de acordo com tamanho da instância
Conforme podemos visualizar nos gráficos das Figuras 2 e 3, o número de variáveis tem um aumento dado por uma função linear em relação ao número de destinos considerados, em ambos os modelos. Para as restrições, no entanto, há uma variação dada por uma função linear no modelo alternativo e uma variação dada por uma função exponencial para o modelo clássico.
Figura 3. Aumento das restrições conforme aumento da instância
Após a realização da primeira etapa no ZIMPL, os arquivos gerados foram carregados e processados no SCIP, onde este apresentou soluções factíveis conforme será salientado posteriormente.
Para uma instância com 4 pontos e capacidade de 20 unidades por veículos, a solução ótima é dada na Tabela III, onde o veículo 1 parte do depósito e visita os clientes 1 e 3 e depois retorna para o depósito, enquanto o veículo 2 visita os clientes 2 e 4. A conformação gráfica das rotas pode ser verificada na Figura 4, correspondendo a custo de 115,37.
TABELA III. MELHOR ROTA PARA VRPNC4 COM CAPACIDADE DE 20
INSTÂNCIA CAPACIDADE
vrpnc4 20
SOLUÇÃO 115,37 Veículo 1 0-1-3-0
Veículo 2 0-2-4-0
Já para uma instância com 8 pontos, 1 depósito e 7 clientes propomos duas variantes, uma com 3 veículos com capacidade de 20 e 2 veículos com capacidade de 40, sendo que as soluções ótimas são apresentadas nas Tabelas IV e V e as representações das rotas nas Figuras 5 e 6, respectivamente.
Figura 4. Representação gráfica Tabela III
TABELA IV. MELHOR ROTA PARA VRPNC7 COM CAPACIDADE DE 20
INSTÂNCIA CAPACIDADE vrpnc7 20 SOLUÇÃO 192,86 Veículo 1 0-2-5-6-0 Veículo 2 0-3-5-0 Veículo 3 0-1-7-0
TABELA V. MELHOR ROTA PARA VRPNC7 COM CAPACIDADE DE 40
INSTÂNCIA CAPACIDADE
vrpnc7 40
SOLUÇÃO 156,02 Veículo 1 0-2-4-3-1-0 Veículo 2 0-6-5-7-0
Para a instância vrpnc7 com a capacidade dos veículos igual a 20 foi obtida uma solução ótima com 3 veículos, percorrendo os ciclos descritos na Tabela IV e ilustrados na Figura 5, com um custo de 192,86. Para a mesma instância mas com capacidade dos veículos igual a 40, a solução ótima
contemplou apenas 2 veículos, com os ciclos descritos na Tabela V, e graficamente plotados na Figura 6, possuindo um custo de 156,02.
Figura 5. Representação gráfica Tabela IV
Figura 6. Representação gráfica Tabela V
TABELA VI. MELHOR ROTA PARA VRPNC10 COM CAPACIDADE DE 20
INSTÂNCIA CAPACIDADE
vrpnc10 20
SOLUÇÃO 285,27 Veículo 1 0-1-0 Veículo 2 0-8-5-6-0
Veículo 3 0-4-2-0 Veículo 4 0-3-9-0 Veículo 5 0-10-7-0
TABELA VII. MELHOR ROTA PARA VRPNC10 COM CAPACIDADE DE 40
INSTÂNCIA CAPACIDADE
vrpnc10 40
SOLUÇÃO 212,28 Veículo 1 0-1-7-8-5-6-0 Veículo 2 0-10-9-3-4-2-0
Figura 7. Representação gráfica Tabela VI
Figura 8. Representação gráfica Tabela VII
As tabelas VI e VII são referentes a instância vrpnc10, com 1 depósito e 10 pontos a serem atendidos, com capacidade dos veículos de 20 e 40, respectivamente. Para a instância vrpnc10 com capacidade de 20 para os veículos mostrou-se necessário a utilização de 5 veículos na solução ótima. As respectivas rotas estão apresentadas na Tabela VI e graficamente na Figura 7, sendo o custo da solução ótima igual a 285,27. Já para a variante do vrpnc10 com capacidade de 40 para cada veículo foram necessárias 2 veículos na solução ótima, a um custo de 212,28. Os resultados são apresentados na Tabela VII e na Figura 8.
IV. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Por meio da análise dos dois modelos e diante dos testes realizados junto as três instâncias é possível concluir que o modelo alternativo foi mais conveniente em relação ao modelo clásico, houve uma considerável redução em relação ao número de instruções necessárias para interpretar o modelo, reduzindo na mesma medida os requisitos de memória computacional..
Podemos concluir também que o modelo alternativo é mais generalista porque ele atende uma situação onde o valor de saídas do depósito não é fixo em relação ao número de veículos existentes. Ou seja, ele busca a melhor alternativa para a solução do problema desde que o número de veículos seja igual ou superior a 1, e seja inferior ao número k de veículos. Todavia, isso representa um processamento de dados maior e assim o tempo gasto para o SCIP realizar a tarefa é maior, tornando mais evidente com o aumento de veículos disponíveis.
, mas ele busca a melhor solução existente para a situação descrita desde que o número de veículos existentes seja menor que o numero disponível, deste modo para condições com mais veículos o tempo de processamento no SCIP se torna mais elevado, deixando evidente o paradoxo entre a busca de otimização e a resolução mais generalista do problema.
Mesmo para o modelo alternativo, é sabido que ele apenas representa uma alternativa para instâncias com poucas dezenas de vértices. Uma sugestão para estudos futuros é investigar generalizações e relaxações do método que possibilitem a sua utilização em conjunto com técnicas heurísticas para a solução de problemas com centenas ou mesmo milhares de vértices.
REFERENCIAS
[1]B. Eksioglu. A. V. Vural, A. Reisman. The vehicle routing problem: A taxonomic review. Computers & Industrial Engineering Vol 57 2009. 1472-1483
[6]P. Gábor. Teaching integer programming formulations using the traveling salesman Problem. Society for Industrial and Applied Mathematics. Vol. 45, No. 1, pp. 116-123, February, 2003.
[3]T. K. Ralphs, L. Kopman, W.R. Pulleyblak. On the capacitated Vehicle Routing Problem 1991
[2]G. Laporte. The Vehicle Routing Problem: A overview of exact and aprroximate algorithms, 1991
[4]M. C. Goldbarg. Otimizaçãocombinatória e programação linear: modelos e algoritmos: 2. Ed. – Rio de Janeiro:Elsevier, 2005 p.373-375
[5]M. C. Goldbarg. Otimização combinatória e programação linear: modelos e algoritmos: 2. Ed. – Rio de Janeiro:Elsevier, 2005 p.398-399
[7]K. Torsten. Rapid Mathematical Programming, Berlin 2004.
[8[T. Achterberg. SCIP: solving constraint integer programs, Mathematical Programming Computation, volume 1, number 1, pages 1-41, 2009.
