MÉTODOS NUMÉRICOS
ENGENHARIA CIVIL
EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS
1. O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de alga-rismos significativos do que as parcelas.Comprove a afirmação, calculando a ex-pressão x + y com x = 0.123 × 104 e y = 0.456 × 10−3.
2. Para x = 0.433 × 102
, y = 0.745 × 100
e z = 0.100 × 101, calcule usando aritmética
de três algarismos significativos (a) x + y
(b) y x (c) xz
Quantos algarismos significativos apresentam os resultados? Estime os erros de arredondamento cometidos.
3. Calcule um limite superior do erro absoluto no cálculo da expressão f (x, y, z) =−x + y2+ sen(z)
sabendo que são usados os seguintes valores aproximados:
x = 1.1 (δx = 0.05); y = 2.04 (δy = 0.005); z = 0.5rad. (δz = 0.05).
Quantos algarismos significativos apresenta o valor calculado de f ?
4. Com base no limite superior do erro absoluto do valor calculado da expressão f (x, y, z) = 2xy
x2+ z,
e sabendo que são usados os seguintes valores aproximados
x = 3.1416 de π ; y = 1.732 de √3 ; z = 1.4142 de√2 quantos algarismos significativos tem o valor calculado de f ?
5. Uma corrente eléctrica atravessa uma resistência (R) de 20Ω. A resistência foi me-dida com um erro relativo que não excede 0.01. A intensidade da corrente (I) é 3.00± 0.01 A. Sabendo que a tensão da corrente é dada por V = RI, determine um limite superior do erro absoluto no cálculo da tensão da corrente. Quantos algarismos significativos garante para o valor calculado da tensão?
6. Seja A = 3√23a2 a área de um hexágono regular de lado a. Seja 1m o valor aproximado para o lado do hexágono. Considerando um valor aproximado de √3 com quatro algarismos significativos, com que aproximação se deve medir o lado de modo a que o limite superior do erro absoluto no cálculo da área não exceda 100cm2?
7. Pretende-se calcular a área de um círculo, de raio aproximadamente igual a 25cm, com erro absoluto que em módulo não excede 0.5cm2. Com que aproximação se
deve medir o raio do círculo e quantos algarismos significativos se devem usar no valor aproximado de π?
8. Localize através do método gráfico as raízes das equações não lineares em x: (a) f (x) ≡ x3 − 3x + 1 = 0. (b) f (x) ≡ sen(x) + x − 2 = 0. (c) f (x) ≡ ex+ x − 1 = 0. (d) f (x) ≡ x + ln(x) = 0.
9. Baseado num trabalho de Frank-Kamenetski, em 1955, a temperatura no interior de um material, quando envolvido por uma fonte de calor, pode ser determinada se resolvermos a seguinte equação não linear em x:
e−0.5x
cosh(e0.5x) =
√ 0.5L
Para L = 0.088, calcule a raiz da equação, usando um método que não recorra a derivadas.
Tome como aproximação inicial o intervalo [−1, 0] e pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε1 = 0.5e ε2 = 0.1, ou ao fim de 2 iterações.
Nota: cosh(y) = ey+e2−y
10. A concentração de uma bactéria c(t) num depósito decresce de acordo com a seguinte expressão
c(t) = 70e−1.5t+ 25e−0.075t.
Utilize um método iterativo que recorre ao cálculo da derivada para determinar o tempo necessário até a concentração da bactéria ficar reduzida a 9. Use a seguinte aproximação inicial t1 = 5. Para a paragem do processo iterativo use ε1 = ε2 = 0.05
ou nmax= 3.
11. Um certo equipamento de 20000 euros vai ser pago durante 6 anos. O pagamento anual é de 4000 euros. A relação entre o custo do equipamento P , o pagamento anual A, o número de anos n e a taxa de juro i é a seguinte:
A = P i(1 + i)
n
(1 + i)n− 1.
Utilize o método iterativo mais adequado para determinar a taxa de juro utilizada nos cálculos. O valor da taxa de juro pertence ao intervalo [0.05, 0.15]. Para a paragem do processo iterativo use ε1 = ε2 = 0.05 ou nmax = 3.
12. Considere a equação não linear f (x) ≡ x + ln(x) = 0 que tem uma única raiz. Sabe-se que esta pertence ao intervalo [0.5, 1.0].
(a) Determine uma aproximação a essa raiz através do método de Newton. Con-sidere no critério de paragem ε1 = 0.005 e ε2 = 0.0005.
(b) Repita o processo, para o método de Newton, tomando agora x1 = 3.0. Que
13. Uma bola esférica de raio r = 10 cm feita de uma substância cuja densidade é ρ = 0.638, foi colocada num recipiente com água. Calcule a distância x da parte submersa da bola sabendo que
f (x)≡ π (x
3
− 3x2r + 4r3ρ)
3 = 0
usando o método de Newton. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε1 = ε2 = 0.001, ou ao fim de 3 iterações.
r = 10 x -1000 0 1000 2000 5 10 15 20 2 3 2552 30 y= − x +x
14. Uma fábrica de tintas pretende utilizar as sobras de tinta de 4 tipos diferentes de tonalidades de tinta verde para criar uma tonalidade de verde mais popular. Uma unidade de medida (u.m.) da nova tinta será composta por x1 u.m. de tinta tipo
1, x2 u.m. de tinta tipo 2, x3 u.m. de tinta tipo 3 e x4 u.m. de tinta tipo 4. Cada
u.m.de tinta nova é composta por 4 pigmentos que estão relacionados pelo seguinte sistema de equações lineares:
80x1+ 30x3+ 10x4 = 40 80x2+ 10x3+ 10x4 = 27 16x1+ 20x2+ 60x3+ 72x4 = 31 4x1+ 8x4 = 2
Os coeficientes da matriz representam a percentagem de pigmento em cada uma das 4 diferentes tonalidades de tinta verde, por exemplo, a tinta com a nova tonalidade deverá conter 31% de pigmento 3, sabendo que a tinta tipo 1 contém 16%, a tinta tipo 2 20%, a tinta tipo 3 60% e a tinta tipo 4 contém 72% do mesmo pigmento. a) Resolva o sistema por um método directo e estável.
b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes. c) Calcule a matriz inversa da matriz dos coeficientes.
d) Analisando apenas as condições suficientes de convergência, verifique se o método de Gauss-Seidel converge, quando aplicado a este sistema.
e) Resolva o sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Seidel, uti-lizando para aproximação inicial o ponto (0.5, 0.2, 0.2, 0)T e utilizando para critério de paragem = 0.25ou nmax = 2.
15. Um engenheiro supervisiona a produção de 3 marcas de automóveis. Para a sua pro-dução, são necessários 3 tipos de materiais: metal, tecido e plástico. As quantidades para produzir um carro de cada marca são:
carro metal(lb/carro) tecido(lb/carro) borracha(lb/carro) 1 1500 25 100
2 1700 33 120 3 1900 42 160
Estão disponíveis por dia, respectivamente 106000, 2170, 8200 lb de metal, tecido e borracha. Quantos automóveis podem ser produzidos por dia?
a) Resolva o sistema por um método directo e estável.
b) Utilize o método iterativo de Gauss-Seidel, considerando como aproximação ini-cial o vector (5, 5, 5) e use no critério de paragem ε = 0.25 ou nmax = 2.
16. Uma equipa de três paraquedistas ligados por uma corda de peso desprezável é lançada em queda livre a uma velocidade v = 5 m/s conforme a figura.
Considere os seguintes dados:
Paraquedista Massa Coef. de resistência (i) (mi) (Kg) (ci) (Kg/s)
1 70 10 2 60 14 3 40 17 O sistema linear resultante permite calcular a tensão em cada secção da corda (R e T ) e a aceleração da equipa (a).
m1g −T −c1v = m1a m2g +T −c2v −R = m2a m3g −c3v +R = m3a (considere g = 9.8 m/s2).
O que poderia dizer acerca da convergência do método iterativo de Gauss-Seidel quando aplicado ao sistema? Justifique.
uma força F de 2000 Kg.
Numa situação de equilíbrio, as equações força-balanço deduzidas definem inter-relações entre as molas:
k2(x2 − x1) = k1x1 k3(x3 − x2) = k2(x2−x1) k4(x4 − x3) = k3(x3−x2) F = k4(x4−x3)
em que k1 = 150, k2 = 50, k3 = 75e k4 = 225são as constantes das molas (kg/s2).
Analise as três condições suficientes de convergência do método de Gauss-Seidel e conclua sobre a convergência do método na resolução do sistema linear dado. 18. Usando o método iterativo de Newton, determine um dos pontos de intersecção da
circunferência
x21+ x22 = 2
com a hipérbole
x21 − x22 = 1.
Considere os valores iniciais (x1, x2)(1) = (1.5, 0.5) e para a paragem do processo
iterativo use ε1 = ε2 = 0.05ou nmax = 2.
19. Num colector solar, um balanço de energia na placa absorvente e na placa de vidro produz o seguinte sistema de equações não lineares nas temperaturas absolutas da placa absorvente (x1) e da placa de vidro (x2)
½
x41 + 0.068x1− x42− 0.058x2 = 0.015
x4
1 + 0.058x1− 2x42− 0.117x2 = 0 .
Considerando a seguinte aproximação inicial (x1, x2)(1) = (0.3, 0.3),implemente uma
iteração do método de Newton. Apresente uma estimativa do erro relativo da aproxi-mação calculada.
20. Duas estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais económica possível. O custo total de operação das duas estações é dado por
f (x1, x2) = 0.1 + 0.01x1x2+ 0.15x42+ 0.01x 4
1− 0.25(x1+ x2− 100)
em que x1 é a energia fornecida pela primeira estação e x2 é a energia fornecida
pela segunda estação. Determine os valores de x1 e x2 por forma a minimizar o
custo total de operação das duas estações. Utilize como aproximação inicial o ponto (2.0, 0.5) e ε1 = ε2 = 0.2 (uma iteração).
tempo (seg) 1 3 5 7 20 vel (cm/seg) 800 2310 3090 3940 8000
a) Estime o valor da velocidade no instante de tempo t = 10seg, utilizando um polinómio interpolador de grau 3.
b) Calcule uma aproximação do erro cometido na alínea anterior.
21. Pretende-se construir um desvio entre duas linhas de caminho de ferro parale-las. O desvio deve corresponder a um polinómio de grau três que une os pontos (x0, f0) = (0, 0) e (x4, f4), como mostra a figura
) , (x4 f4 ) 0 , 0 ( ) , (x0 f0 =
Com base nos dados da tabela
xi 0 1 1.5 2 x4
fi = p3(xi) 0 0.3125 0.6328125 1 f4
verifique se o ponto (x4, f4) = (4, 2)pertence ao polinómio.
NOTA: Use 7 casas decimais nos cálculos.
22. Pretende-se construir um desvio entre duas linhas de caminho de ferro paralelas. O desvio deve corresponder a um polinómio de grau três que une os pontos (0, 0) e (4, 2), como mostra a figura
) 2 , 4 ( ) 0 , 0 (
Com base nos quatro pontos da tabela
xi −1 0 4 5
fi = f (xi) 0.4375 0 2 1.5625
construa uma spline cúbica natural para definir a trajectória do desvio e calcular f (2).
23. A resistência de um certo fio de metal, f (x), varia com o diâmetro desse fio, x. Foram medidas as resistências de 6 fios de diversos diâmetros:
xi 1.5 2.0 2.2 3.0 3.8 4.0
f (xi) 4.9 3.3 3.0 2.0 1.75 1.5
Como se pretende estimar a resistência de um fio de diâmetro 1.75, use uma “spline” cúbica natural para calcular esta aproximação.
24. A distância requerida para parar um automobilista é função da velocidade a que ele se desloca. Os seguintes dados experimentais foram recolhidos para quantificar essa relação:
vel (Km/h) 15 20 25 30 40 50 distˆancia (m) 16 20 34 40 60 90
Estime a distância necessária para parar um carro que se desloca a uma velocidade de 45 Km/h, utilizando uma spline cúbica completa.
25. Num estudo realizado sobre a radiação emitida por raios Gama concluiu-se que a dose varia com a posição (distância a um certo ponto). Da experiência obteve-se a seguinte tabela de valores de f (x) (dose)
posição 0 0.5 1 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 dose 1.90 2.39 2.71 2.98 3.20 3.20 2.98 2.74
(a) Por várias razões não foi possível registar a radiação na posição 2.0. No entanto, ela é precisa. Estime a informação que falta, usando uma aproximação baseada numa ”spline” cúbica completa.
(b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior.
26. Um braço de um robô deve passar nos instantes t0, t1, t2, t3, t4 e t5 por posições
pré-definidas θ(t0), θ(t1), θ(t2), θ(t3), θ(t4)e θ(t5), onde θ(t) é o ângulo (em radianos) que
o braço do robô faz com o eixo dos X´s.
ti 1 2 3 4 5 6
θi = θ(ti) 1 1.25 1.75 2.25 3 3.15
(a) Com base nos dados da tabela, aproxime a trajectória do robô por uma spline cúbica completa. Indique também uma aproximação da posição do robô no instante t = 1.5.
(c) Calcule um limite superior do erro de truncatura que se comete quando se usa a derivada da spline calculada para aproximar a velocidade do robô.
27. Um carro inicia a sua marcha num dia frio de inverno e um aparelho mede o consumo de gasolina verificado no instante em que percorreu x Km. Os resultados obtidos foram:
x
distância em Km 0 1.25 2.5 3.75 5 6.25 f (x)
consumo em Kml 0.260 0.208 0.172 0.145 0.126 0.113
Construa um modelo quadrático, para descrever o consumo de gasolina em função da distância percorrida, usando a técnica dos mínimos quadrados.
28. A resistência de um certo fio (de uma certa substância), f (x), varia com o diâmetro desse fio, x. A partir de uma experiência registaram-se os seguintes valores:
xi 1.5 2.0 3.0 4.0
f (xi) 4.9 3.3 2.0 1.5
Foram sugeridos os seguintes modelos para ajustar os valores de f (x), no sentido dos mínimos quadrados:
- uma recta
- o modelo linear: M (x, c1, c2) =
c1
x + c2x (a) Calcule a recta.
(b) Calcule o modelo M (x) .
(c) Qual dos modelos escolheria? Justifique a sua escolha
29. Em sistemas de transportes urbanos, o preço das viagens depende da procura. Quanto maior é a procura, x, mais baixo é o preço, P (x) (em euros). Os regis-tos obtidos nos últimos quatro meses foram:
xi 30 35 45 50
P (xi) 12 12 10 8
Pretende-se construir um modelo que descreva o comportamento de P em função de x. Com base no modelo M (x)
M (x; c1, c2) = c1x + c2e−x,
determine c1 e c2 de tal forma que
min c1,c2 4 X i=1 (P (xi)− M(xi))2.
30. A tabela seguinte contém os registos efectuados dos valores médios da radiação solar numa região de Portugal:
mês(xi) J(1) F(2) M(3) A(4) M(5) J(6) J(7) A(8) S(9) O(10) N(11) D(12)
Radiação 122 - 188 - - 270 - - - 160 - 120
Ajuste o modelo
M (x) = c1x + c2sen(x)
aos valores da tabela, no sentido dos mínimos quadrados, e use o modelo encontrado para prever a radiação média no mês de Agosto.
31. O custo de investimento (C) em construção civil de um arejador num sistema de lamas activadas numa Estação de Tratamento de Águas Residuais depende do vo-lume (v) do tanque da seguinte forma
C(v; c1, c2) = c1vc2
em que c1 e c2 são parâmetros a estimar pela técnica dos mínimos quadrados a
partir dos dados recolhidos de uma construtora
vi (em mil m3) 0.4 0.6 1 1.3
Ci (em milhares de euros) 87 160 190 366
Estime os parâmetros c1 e c2 do modelo dado anteriormente, recorrendo à seguinte
transformação que transforma o modelo dado num modelo polinomial de grau um: ln(C(v; c1, c2)) = ln(c1) + c2ln(v)
C = c1+ c2v
Comece por calcular os parâmetros c1 e c2 do modelo polinomial usando a técnica
dos mínimos quadrados, com base nos valores da tabela
vi = ln(vi) −0.916 −0.511 0 0.262
Ci = ln(Ci) 4.466 5.075 5.247 5.903
e posteriormente apresente os valores solicitados.
32. A variação do fluxo de calor (condução) entre dois pontos de um cilindro aquecido numa das extremidades é dada por
dQ(t) dt = λA
dT (x) dx ,
onde λ é uma constante, A é a área de uma secção do cilindro, Q(t) representa o fluxo de calor, T (x) a temperatura, t o tempo e x é a distância à extremidade aquecida. Como a equação envolve duas derivadas, podemos simplificá-la usando:
dT (x) dx =
100(L− x)(20 − t) 100− xt ,
em que L é o comprimento do cilindro. Combine as duas equações e calcule o fluxo de calor, Q(t), para t = 0.25 e t = 0.5. A condição inicial é Q(0) = 0 e os parâmetros são λ = 0.4, A = 10, L = 20 e x = 2.5.
33. Considere o seguinte modelo linear para a velocidade, v(t), dv(t)
dt = g− c mv(t)
onde g = 9.8, c = 14 e m = 70. É possível definir um novo modelo, baseado numa descrição mais complexa da força de atrito causada pela resistência ao vento, que é dado por dv(t) dt = g− c m[v(t) + a( v(t) vmax )b]
em que as constantes empíricas a, b e vmaxsão dadas respectivamente por 8.464, 2 e
46.
Usando o método de Runge-Kutta de 2a ordem, calcule aproximações numéricas a
v(5)para os dois modelos (separadamente), sabendo que v(0) = 0. Tome h = 5 e comente a diferença obtida para os dois modelos.
34. A disciplina de Métodos Numéricos II do curso de Engenharia Civil no ano lectivo 2004/05 tem 236 alunos inscritos. No início (instante t = 0), um grupo de 10 alunos resolveu lançar o boato de que o exame iria ser cancelado. Em média cada estudante conversa com outros colegas a uma taxa de α = 2 estudantes/hora, podendo estes já saberem ou não da novidade. Se y(t) representar o número de estudantes que sabem do boato no instante de tempo t (horas) então a taxa de recepção do boato é dada por
dy(t)
dt = αy(t)(
236− y(t) 236 ).
Resolva esta equação numericamente e calcule o número de estudantes que após 2 horas tomou conhecimento do boato (use h = 1).
35. As seguintes equações definem as concentrações de três reagentes dc1(t) dt =−2c1(t)c3(t) + 2c2(t) c1(0) = 0.5 dc2(t) dt = 2c1(t)c3(t)− 2c2(t) c2(0) = 0 dc3(t) dt =−2c1(t)c3(t) + 2c2(t)− 0.2c3(t) c3(0) = 0.5
Determine as três concentrações para t = 0.5, usando um método explícito de ordem dois e de passo único. Considere um espaçamento h = 0.5.
36. O movimento vertical de um peso seguro por uma mola é descrito pela seguinte equação diferencial: 1 4 d2x dt2 + dx dt + x = 0, x(0) = 4, x 0(0) = 2.
Utilizando o método mais adequado que estudou, calcule a distância vertical, x, percorrida pelo peso após 1 unidade de tempo (use h = 0.5).
37. O movimento simples de um pêndulo pode ser descrito pela seguinte equação difer-encial de 2a ordem: d2θ dt2 =− g Lsen(θ), θ(0) = θ0 e dθ dt = 0 . Considerando L = 1 m, g = 9.81 m/s2 e θ
0 = π/10, calcule a posição θ no instante
de tempo t = 5 (considere um espaçamento h = 2.5).
38. O composto A difunde-se através de um tubo de comprimento 4cm e reage à medida que se difunde. A equação que governa a difusão e reacção é
Dd
2A(x)
dx2 − kA(x) = 0.
Numa extremidade do tubo existe uma grande quantidade de composto a uma concentração de 0.1M . Na outra extremidade do tubo existe um material absorvente que rapidamente absorve o composto e a concentração é igual a 0M . Se D = 1× 10−6cm2/s
e k = 4 × 10−6s−1, qual é a concentração do composto nos seguintes
pontos do tubo: 1cm, 2cm, 3cm.
39. A conservação de calor pode ser usada para desenvolver um balanço de calor para uma haste fina e longa. Se a haste não estiver isolada ao longo do seu comprimento e o sistema estiver em estado estacionário, surge a seguinte equação
d2T (x)
dx2 + h 0(T
a− T (x)) = 0,
em que h0 é um coeficiente de transferência de calor que parametriza a variação da
dissipação do calor para o ar circundante e Ta é a temperatura do ar circundante.
Para uma haste de comprimento L = 10 e para h0 = 0.01, T
a = 20, calcule a
temperatura ao longo da haste, supondo que T (0) = T1 = 40 e T (L) = T2 = 200.
40. Considere a seguinte equação diferencial y00(t) = ½ t− y(t), 0≤ t ≤ π πeπ−t− y(t), t > π com as condições y(0) = 0 e y(2π) = 1. Resolva-a no intervalo [0, 2π], considerando h = π
2. 41. Dado o problema de equações diferenciais
− d dx(x dy(x) dx ) + x 2dy(x) dx =−x,
com y(0) = 1 e y(1) = −2 , calcule aproximações a y(0.25), y(0.5) e y(0.75). Use um espaçamento h = 0.25.
42. Dado o problema de equações diferenciais
(1− x)y00(x) + x2y0(x)− y(x) = x
com y0(0)−y(0) = 1 e y(1) = 1, calcule aproximações numéricas a y(0), y(0.25), y(0.5)
e y(0.75).
43. Foram registados os consumos, f (xi), de um aparelho em determinados instantes,
xi (em segundos):
xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 3.6 6.6 9.6 9.8 10
f (xi) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 0.6 0.6 0.7 0.8
Calcule o consumo total ao fim de 10 segundos.
44. A função F (t) surge na determinação da tensão à superfície de um líquido que rodeia uma bolha esférica de gás:
F (t) = Z t 0 P (x) Q(x)dx para 0 ≤ t ≤ 1 em que P (x) = 3 + 3x + x2 Q(x) = 3 + 6x + 6x2+ 2x3
Determine F (1) considerando apenas os seguintes valores de x no cálculo do integral 0, 0.25, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0
45. O comprimento do arco da curva y = f (x) ao longo do intervalo [a, b] é dado por Z b
a
q
1 + (f0(x))2dx.
Calcule uma aproximação numérica ao comprimento do arco da curva f (x) = e−x
46. A resposta de um transdutor a uma onda de choque causada por uma explosão é dada pela função F (t) = 8e−tI(a)
π para t ≥ a, em que I(a) = Z 2 1 f (x, a)dx com f (x, a) = e ax x
Calcule I(1) usando a fórmula composta do trapézio com erro de truncatura inferior a 0.05.
47. O valor de π pode ser calculado através do seguinte integral: π =
Z 1 0
4 1 + x2dx.
Estime o valor de π utilizando a fórmula composta do trapézio com erro de trun-catura inferior a 0.01.
48. Determine uma aproximação ao valor do integral definido Z 1 0 µ x2+ 1 x + 1 ¶ dx
através da fórmula de Simpson, com um erro de truncatura, em valor absoluto, inferior a 0.0005
49. O tempo t (seg) para um carro acelerar desde 40 mph até a velocidade v (mph) é dado, para seis valores de v, pela seguinte tabela:
i 1 2 3 4 5 6 vi(mph) 40 45 50 55 60 70
ti(seg) 0.00 0.69 1.40 2.15 3.00 3.90
Estime a distância x (f t) que o carro percorre desde a aceleração de 40 mph até 70 mph, através da seguinte expressão:
x = 22 15 t6v6− 70 Z 40 t dv
Estime o erro de truncatura cometido no período [60, 70] .
50. A função distribuição normal acumulada é uma função importante em estatística. Sabendo que F (z) = √1 2π Z z −∞ e−x2/2dx = 1 +√1 2π Z z −z e−x2/2dx 2
Calcule uma estimativa de F (1), usando a fórmula composta do trapézio com 5 pontos no cálculo do integral.
