Uma Contribuição da Matemática Chinesa:

(1)

Uma Contribui¸c˜ao da Matem´atica Chinesa:

O M´etodo da ´

Area para Demonstra¸c˜oes

Autom´aticas de Teoremas em Geometria

Plana Aﬁm

Humberto Jos´e Bortolossi

A B C P S_{P BC} S_{P AB}

=

BCAB P Q A M B S_{P AB} S_QAB

=

P MQM

II Bienal da SBM

Universidade Federal da Bahia

25 a 29 de outubro de 2004

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Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Segmentos orientados e ´areas com sinal 7

2.1 Segmentos orientados . . . 7 2.2 Areas com sinal . . . .´ 9

3 Proposi¸c˜oes b´asicas e exemplos 16

3.1 O teorema do co-lado . . . 16 3.2 Exemplos: os teoremas de Ceva e Menelau . . . 19 3.3 Exemplos: outras categorias de problemas . . . 25

4 Paralelismo 40

4.1 Caracteriza¸c˜ao de paralelismo via ´areas com sinal . . . 40 4.2 Exemplos com paralelismo . . . 41

5 Mecaniza¸c˜ao dos teoremas de interse¸c˜ao pura de Hilbert 51

5.1 Descri¸cão dos enunciados . . . 52 5.2 Eliminando pontos de áreas com sinal . . . 56 5.3 Eliminando pontos de razões de segmentos orientados . . . . 58 5.4 Pontos livres e coordenadas de áreas . . . 61 5.5 Método de decisão . . . 63

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Agradecimentos

Dedicado a Josel´ı Maria Silva dos Santos.

Este texto é fruto de um ciclo de seminários realizados na Universidade Estadual de Santa Cruz (Ilhéus, BA) sobre as técnicas desenvolvidas pela escola chinesa (S.-C. Chou, X. Shan-Gao e J.-Z. Zhang) na área de meca-niza¸cão de demonstra¸cões de teoremas em geometria, mais especificamente, sobre o método da área como algoritmo de decisão para a classe de teore-mas de interse¸cão pura de Hilbert. Agrade¸co a Maria L´ıdia Coco Terra que participou e registrou tudo em seu “diário de bordo”.

Os semin´arios seguiram, de perto, o livro [13]: Machine Proofs in

Geo-metry : Automated Production of Readable Proofs for GeoGeo-metry Theorems, Series on Applied Mathematics, vol. 6, World Scientiﬁc, 1998.

O interesse pelo assunto, contudo, come¸cou bem antes, com os estudos realizados com Carlos Tomei e Silvana Marini Rodrigues no Departamento de Matemática da PUC-Rio em 2002. Gostaria de agradecê-los também!

Todas as ﬁguras do texto foram produzidas com o excelente (e gratuito)

software de geometria dinˆamica “R´egua e Compasso” [21]. Obrigado a Ren´e Grothmann, autor do programa!

Finalmente, gostaria de agradecer ao Departamento de Matemática da Universidade Federal do Esp´ırito Santo (que forneceu as condi¸cões de infra-estrutura necessárias para a confeçcão deste texto) e a comissão organizadora da II Bienal da SBM (em especial, a professora Elinalva Vasconcelos, coor-denadora do evento).

Vit´oria, 15 de agosto de 2004 Humberto Jos´e Bortolossi

Departamento de Matem´atica, UFES (hjbortol-ufes@pop.com.br)

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Em 8 de agosto de 1900, por ocasião do Segundo Congresso Internacional de Matemática, realizado em Paris, David Hilbert apresentou 23 problemas em aberto com o intuito de apontar temas promissores para a investiga¸cão em matemática no século XX. Em um dos problemas, Hilbert perguntou se a teoria dos n´umeros era completa, no sentido que ´e sempre poss´ıvel deter-minar através de uma demonstra¸cão se uma senten¸ca lógica em aritmética é verdadeira ou falsa. Em uma teoria incompleta, uma afirma¸cão sem contra-exemplos não é necessariamente demonstrável a partir dos axiomas.

Figura 1.1: David Hilbert (1862–1943).

Kurt Gödel, em 1931, forneceu uma resposta negativa [18, 19]: existem verdades na aritmética que ela própria desconhece, pior, não pode conhecer.

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2 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica

Mais precisamente, um sistema de axiomas para a aritmética não conse-gue nem demonstrar nem negar determinadas afirma¸cões sobre os números, ainda que essas afirma¸cões sejam sintaticamente corretas e desprovidas de contra-exemplos. Este resultado ´e conhecido como o Primeiro Teorema de

Incompletude de Gödel. Uma vez que a aritm´etica é incompleta, tudo que a ela se reduza será incompleto.

Figura 1.2: Kurt G¨odel (1906–1978) e Albert Einstein (1879–1955).

Por outro lado, Alfred Tarski, em 1951, demonstrou que a teoria de ´algebra elementar dos n´umeros reais e, portanto, tamb´em a teoria de geometria

ele-mentar ´e completa [29]. Na verdade, Tarski demonstrou que estas teorias s˜ao decid´ıveis, isto é, existe um algoritmo que em um número finito de passos consegue determinar se cada uma das senten¸cas da teoria é verdadeira ou falsa.

O ponto técnico fundamental no argumento de Tarski ´e a elimina¸cão de quantificadores que, em princ´ıpio, simplifica uma f´ormula lógica ao obter outra equivalente com um quantificador a menos. Infelizmente, o algoritmo original de Tarski tem mais interesse teórico do que prático. Ele nunca foi implementado, devido a sua alt´ıssima complexidade: um teorema com algumas dezenas de variáveis levaria milhões de anos para ser demonstrado. Aprimoramentos subseqüentes melhoraram de muito seu desempenho, mas

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Introdu¸c˜ao 3

Figura 1.3: Alfred Tarski (1902–1983).

ainda assim, praticamente não existe (e parece que nem pode existir) um programa de demonstra¸cão em geometria completo e rápido (o algoritmo do tipo Tarski mais rápido que se conhece atualmente ´e a decomposi¸cão algébrica cil´ındrica [3, 4], cuja complexidade computacional ´e da ordem de

een

, onde n ´e o tamanho dos dados de entrada [5]). Para mais detalhes sobre o método de Tarski, além do trabalho original [29], o leitor pode consultar as referências: [20, 27, 30, 31, 32].

O uso efetivo de computadores para produzir demonstra¸cões de teoremas em geometria come¸cou no in´ıcio da década de 1950 com o trabalho de Ge-lerntner (trabalhando na IBM), J. R. Hanson e D. W. Loveland [17], que tentaram usar a abordagem sintética apresentada por Euclides em Os Ele-mentos (e a primeira que aprendemos no col´egio). Apesar do seu sucesso inicial, este tipo de técnica se mostrou inadequada para automatiza¸cão em computadores. De fato, programas que usam a abordagem sintética não conseguem demonstrar teoremas mais sofisticados em geometria.

Em 1977, o matemático chinês Wu Wen-Tsün introduziu um método algébrico com o qual ele e seus disc´ıpulos da escola chinesa — Chou Shang-Ching, Xiao Shan-Gao e Zhang Jing-Zhong — demonstraram uma grande variedade de teoremas em geometria, cujas provas tradicionais são conside-radas muito dif´ıceis [10, 11, 12, 13, 34].

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Figura 1.4: Wu Wen-Ts¨un.

O método de Wu demonstra teoremas cuja hipótese e tese podem ser convertidas em equa¸cões polinomiais com coeficientes racionais (o m´etodo entretanto permite (e emprega) nega¸cões de igualdades). Uma vez que a conversão para a linguagem algébrica é feita, o método verifica se o polinômio

g associado `a tese ´e identicamente nulo no conjunto dos pontos que anulam

simultaneamente todos os polinˆomios h_i, i = 1, . . . , n associados `a hip´otese:

h1 = 0 ∧ h2 = 0 ∧ · · · ∧ hn = 0 ⇒ g = 0.

Isto pode ser feito empregando bases de Gr¨obner [15, 16] ou pseudo-divis˜oes sucessivas [11, pp. 12–13].

Por outro lado, as demonstra¸cões geradas pelo método de Wu (ou bases de Gröbner) são dif´ıceis de acompanhar. Dependendo do teorema que se quer provar, as demonstra¸cões produzidas pelo método usam polinômios com centenas de parcelas e mais de uma dúzia de variáveis!

Neste curso estudaremos um dos métodos que geram demonstra¸cões que s˜ao leg´ıveis aos olhos humanos: o m´etodo da área. Como veremos, o método é realmente muito simples. Ele se estabelece a partir do conceito de área com sinal e da rela¸cão entre as áreas (orientadas) de dois triângulos com um lado comum.

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Introdu¸c˜ao 5

O método da área tradicional é muito antigo. A demonstra¸cão de Eucli-des para o teorema de Pitágoras, por exemplo, faz o uso de áreas [25, livro I, proposi¸cão 47]. De maneira curiosa, o emprego de áreas para se resol-ver problemas em geometria não é um hábito ocidental. De fato, a ferra-menta padrão que estamos acostumados a usar é semelhan¸ca ou congruência de triângulos. Contudo, em muitos casos, não é evidente quais triângulos considerar. Para que isto aconte¸ca, constru¸cões não-intuitivas de retas au-xiliares são necessárias. Como o leitor poderá perceber ao longo do curso, triângulos com um lado em comum aparecem muito mais naturalmente em um enunciado de um teorema em geometria do que triângulos semelhantes ou congruentes.

Exerc´ıcios

[01] Obtenha uma demonstra¸cão do teorema de Pitágoras a partir da fi-gura 1.5.

(9)

[02] Três moedas de ouro de mesma espessura mas com diâmetros diferentes foram colocas sobre os três lados de um triângulo retˆangulo ∆ABC, conforme a figura 1.6. O que você prefere? Ficar com as duas moedas menores ou apenas com a moeda maior? E se as moedas fossem subs-titu´ıdas por pe¸cas de ouro no formato do “Daruma-sama” indicado na figura 1.7?∗

B C

A

Figura 1.6: Uma conseqüência do teorema de Pitágoras.

B C

A

Figura 1.7: Uma conseqüência do teorema de Pitágoras.

(10)

Cap´ıtulo 2

Segmentos orientados e ´

areas com

sinal

Os conceitos de segmentos orientados e áreas com sinal permitem simplifi-car em muito o enunciado e a demonstra¸cão de teoremas em geometria. Com eles, casos que tradicionalmente seriam estudados um a um são tratados de uma vez só.

2.1 Segmentos orientados

Defini¸cão 2.1 (Segmento orientado) Um segmento orientado nada mais é do que um segmento de reta onde se atribui uma es-colha para as extremidade inicial e final do segmento. Usaremos a nota¸c˜ao AB para designar o segmento orientado cuja a extremidade inicial ´e A e a extremidade final é B. A medida de um segmento ori-entado AB que, por abuso de nota¸c˜ao, também ser´a denotada por AB ´e definida da seguinte maneira: se A e B s˜ao dois pontos de uma reta orientada l, ent˜ao

AB =

+|AB|, se AB tem a mesma orienta¸c˜ao da reta l,

−|AB|, caso contr´ario,

onde |AB| representa a medida euclidiana convencional do segmento de reta com extremidades A e B (ﬁgura 2.1).

(11)

A B l

Figura 2.1: O segmento orientado AB.

Note que

AB = −BA e AB = 0 se, e somente se, A = B. (2.1)

Se A, B, C e D s˜ao quatro pontos de uma reta l em que A = B, podemos considerar a raz˜ao

t = CD AB,

de modo que CD = t · AB. Note que AB e CD têm a mesma orienta¸cão se t > 0 e orienta¸cões diferentes se t < 0 (figura 2.2), independentemente da orienta¸c˜ao escolhida para a reta l.

A C D B l

Figura 2.2: CD/AB ≥ 0 pois CD e AB possuem a mesma orienta¸c˜ao.

Cuidado: este tipo de compara¸cão só é poss´ıvel se os quatro pontos esti-verem sobre uma mesma reta, pois o sinal de AB depende da orienta¸c˜ao da reta que passa por A e B!

Se P ´e um ponto da reta ←→AB, vale que

AB = AP + P B, (2.2) ou ainda, que AP AB + P B AB = 1. (2.3)

(12)

Segmentos orientados e ´areas com sinal 9

Note a vantagem de trabalharmos com segmentos orientados: se tiv´ es-semos que relacionar os comprimentos euclidianos habituais |AB|, |AP | e

|P B|, ter´ıamos que considerar três situa¸cões: (1) P entre A e B, (2) B entre A e P e (3) A entre P e B (exerc´ıcio [01]). A equa¸cão 2.2 incorpora de uma

vez só todas estas três situa¸cões!

Ainda com rela¸cão à equa¸cão 2.2, é claro que para dois n´umeros s e t satisfazendo s + t = 1, existe um único ponto P na reta ←→AB que satisfaz

AP /AB = t e P B/AB = s.

Em particular, M ´e o ponto m´edio do segmento AB se, e somente se,

AM/AB = MB/AB = 1/2.

Exerc´ıcios

[01] Sejam A e B dois pontos pontos distintos e seja P um ponto sobre a reta l que passa por A e B. Relacione os comprimentos euclidianos

|AB|, |AP | e |P B| de acordo com a posi¸c˜ao relativa do ponto P .

[02] Sejam B, C, D e H quatro pontos colineares, com B = C. Mostre que

se BH/HC = BD/DC, ent˜ao D = H.

[03] Sejam A, B e C trˆes pontos colineares. Mostre que (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 + 2· AB · CB.

[04] Sejam A, B, C e D quatro pontos colineares. Mostre que AB · CD +

AC · DB + AD · BC = 0.

[05] Dizemos que quatro pontos colineares A, B, C e D formam uma

se-qüência harmônica se AC/BC = −AD/BD. Mostre que quatro pontos

colineares A, B, C e D formam uma seq¨uˆencia harmˆonica se, e somente se, AB/CB + AB/DB = 2.

[06] Mostre que quatro pontos colineares A, B, C e D formam uma seq¨uˆencia harmˆonica se, e somente se, MC · MD = (MA)2, onde M ´e o ponto m´edio de AB.

2.2 Areas com sinal

´

(13)

B e C não-colineares é definida por

∇ABC = b · h

2 ,

onde h ´e a medida de uma altura relativamente a uma base de medida b do triˆangulo.

Defini¸cão 2.2 ( ´Area com sinal de um triângulo) Sejam A, B e C três pontos do plano. Se A, B e C forem colineares, definimos a

´

area com sinal S_ABC do triˆangulo (degenerado) ∆ABC como sendo 0. Se, por outro lado, A, B e C forem n˜ao-colineares, ent˜ao deﬁnimos

S_ABC = +∇ABC

se A, B e C est˜ao dispostos no sentido anti-hor´ario e

S_ABC = −∇ABC

se A, B e C est˜ao dispostos no sentido hor´ario, onde∇ABC representa a ´area convencional do triˆangulo ∆ABC.

B C A b h SABC = +∇ABC = + b · h 2 B C A b h _S ABC =−∇ABC = −b · h₂

(14)

Segue imediatamente da defini¸cão de área com sinal de um triângulo que

S_ABC = S_BCA = S_CAB = −S_ACB = −S_BAC = −S_CBA. (2.4) Se ∆ABC ´e um triˆangulo, um ponto P no plano determina outros trˆes triˆangulos: ∆P AB, ∆P BC e ∆P CA (figura 2.4). Com a no¸c˜ao de áreas com sinal, podemos relacionar as áreas destes quatro triângulos através de uma única expressão:

S_ABC = S_{P AB} + S_{P BC} + S_{P CA}. (2.5)

B C

A P

Figura 2.4: S_ABC = S_{P AB}+ S_{P BC}+ S_{P CA} e ∇ABC = +∇P AB + ∇P BC + ∇P CA.

Se estivéssemos trabalhando com áreas convencionais, seriam necessárias outras seis rela¸cões, dependendo da posi¸c˜ao do ponto P (figura 2.5)!

Usando geometria anal´ıtica, é fácil obter uma f´ormula expl´ıcita para S_ABC em termos das coordenadas dos v´ertices A, B e C: se A = (x_A, y_A), B = (x_B, y_B) e C = (x_C, y_C), então S_ABC = 1 2 · det ⎛ ⎝ ⎡ ⎣ xx_BA yy_BA 11 x_C y_C 1 ⎤ ⎦ ⎞ ⎠ (2.6) = 1 2 · (x_A − x_B)· (y_B − y_C)− (y_A − y_B)· (x_B − x_C) .

Note que, com a expressão 2.6, é poss´ıvel demonstrar a rela¸cão 2.5 dire-tamente, sem a necessidade de considerar separadamente cada um dos sete casos das figuras 2.4 e 2.5.

(15)

12 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica B C A P B C A P

∇ABC=+∇P AB+∇P BC−∇P CA ∇ABC=+∇P AB−∇P BC+∇P CA

B C A P B C A P

∇ABC=−∇P AB+∇P BC+∇P CA ∇ABC=−∇P AB−∇P BC+∇P CA

B C A P B C A P

∇ABC=+∇P AB−∇P BC−∇P CA ∇ABC=−∇P AB+∇P BC−∇P CA

(16)

Mais fácil ainda: verificar a validade de 2.5 é verificar se um polinômio nas duas vari´aveis x_P e y_P ´e identicamente nulo. Se o fizermos para x_P e y_P em um aberto, isto é, se demonstrarmos que este polinômio se anula em um conjunto aberto, concluiremos que ele se anula sempre!

Dito de outra maneira: se demonstrarmos que a rela¸cão 2.5 é verdadeira para apenas um dos sete casos das figuras 2.4 e 2.5, estaremos demonstrando que ela ´e verdadeira para todos os casos! Usaremos esta id´eia com muita freqüência neste curso!

Podemos também definir a área de quadriláteros orientados. Dados quatro ponto A, B, C e D no plano, existem 6 maneiras de percorrer estes v´ertices. Assim, existem seis orienta¸cões poss´ıveis para um quadrilátero (figura 2.6).

Defini¸cão 2.3 ( ´Area com sinal de um quadrilátero) A área (com sinal) S_ABCD de um quadrilátero orientado ABCD é definida

por

S_ABCD = S_ABC + S_ACD. (2.7)

A D

B C

A partir da rela¸cão 2.5, não é dif´ıcil de se mostrar (exerc´ıcio [01]) que a ´area com sinal S_ABCD está bem definida, isto é, ela independe da escolha inicial do vértice que comp˜oe o ciclo A → B → C → D → A:

S_ABCD = S_BCDA = S_CDAB = S_DABC.

Observe que a área com sinal pode ser generalizada para um pol´ıgono com um número arbitrário de lados.

(17)

14 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica A D B C A D B C A → B → C → D → A A → B → D → C → A A D B C A D B C A → C → B → D → A A → C → D → B → A A D B C A D B C A → D → B → C → A A → D → C → B → A

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Exerc´ıcios

[01] Prove que

S_ABCD = S_BCDA = S_CDAB = S_DABC =

− SDCBA = −SCBAD = −SBADC = −SADCB.

Em particular, conclua que a ´area com sinal de um quadril´ateroABCD

independe da escolha inicial do v´ertice que comp˜oe o ciclo A → B →

C → D → A.

[02] Quantas orienta¸c˜oes diferentes podemos atribuir a um pol´ıgono com n lados?

[03] Prove as identidades abaixo.

(a) S_ABCD = S_ABC − S_ADC = S_BCD − S_BAD. (b) S_ABBC = S_ABCC = S_AABC = S_ABCA = S_ABC.

[04] Prove que se A, B, C, P e Q s˜ao cinco pontos em um mesmo plano, ent˜ao S_{P AQB} + S_{P BQC} = S_{P AQC}.

(19)

Cap´ıtulo 3

Proposi¸

c˜

oes b´

asicas e exemplos

Duas proposi¸cões básicas sustentam o método da área. Apesar de sua simplicidade, veremos que estas proposi¸cões, por si só, já são suficientes para demonstrar vários teoremas não-triviais em geometria.

3.1 O teorema do co-lado

Proposi¸c˜ao 3.1 Sejam A, B e C trˆes pontos colineares distintos. Se P é um ponto que não está na reta ←→AB, então

S_{P BC} S_{P AB} =

BC

AB (3.1)

ou, se t ∈ R ´e tal que BC = t · AB, ent˜ao S_{P BC} = t· S_{P AB}.

A B C

P

(20)

Proposi¸c˜oes b´asicas e exemplos 17

Demonstra¸c˜ao: Considere o caso ilustrado na ﬁgura 3.1, com B entre A e C

e os triˆangulos ∆P AB e ∆P BC orientados no sentido anti-hor´ario. Dado que ∆P AB e ∆P BC possuem a mesma altura h, temos que

S_{P BC} S_{P AB} = ∇P BC ∇P AB = |BC| · h 2 |AB| · h 2 = |BC| |AB| = BC AB.

Os demais casos (A entre B e C, C entre A e B, os triˆangulos orientados no sentido horário ou no sentido anti-horário) são tratados analogamente (ou, se preferir, basta usar o argumento dado na página 13: um caso prova todos os demais).

Observac¸ ˜ao.

Na configura¸cão geométrica descrita na proposi¸c˜ao 3.1, com A, B e C pon-tos colineares e P um ponto não-colinear com A, B e C, a equa¸c˜ao 3.1 nos diz que podemos substituir uma divisão de ´areas com sinal que envolve o ponto P por uma raz˜ao de segmentos orientados onde P n˜ao aparece, isto é, podemos usar a equa¸c˜ao 3.1 para eliminar o ponto P da expressão S_{P BC}/S_{P AB}! Evi-dentemente, o resultado continua válido mesmo quando, nesta express˜ao, P não aparece no in´ıcio: S_{BP C} S_{AP B} = S_BCP S_ABP = S_{P BC} S_{P AB} = BC AB.

O próximo teorema também tem um caráter “eliminatório”. Ele nos ensina, sob certas condi¸cões, como eliminar um ponto que é interse¸cão de duas retas.

Proposi¸c˜ao 3.2 (o teorema do co-lado) Seja M a interse¸c˜ao das retas ←→AB e ←→P Q. Se Q = M, ent˜ao

S_{P AB} S_QAB =

P M

(21)

P

Q

A M B

Figura 3.2: O teorema do co-lado: S_{P AB}/S_QAB = P M /QM .

Demonstra¸c˜ao 1: Temos S_{P AB} S_QAB = S_{P AB} S_{P AM} · S_{P AM} S_QAM · S_QAM S_QAB (∗) = AB AM · P M QM · AM AB = P M QM,

onde, em (∗), usamos a proposi¸c˜ao b´asica 3.1.

Demonstra¸c˜ao 2: Seja N um ponto sobre a reta ←→AB tal que MN = AB.

P

Q

(22)

Proposi¸c˜oes b´asicas e exemplos 19 Desta maneira, S_{P AB} S_QAB = S_{P MN} S_QMN (∗) = P M QM,

onde, em (∗), usamos a proposi¸c˜ao b´asica 3.1.

Observac¸ ˜ao.

A ferramenta básica que aprendemos no ensino médio para atacar pro-blemas de geometria ´e semelhan¸ca (ou congruˆencia) de triângulos. Contudo, nem sempre é óbvio identificar quais triângulos são semelhantes na confi-gura¸cão geométrica descrita pelo problema. Para obter triângulos semelhan-tes, lan¸ca-se mão de retas auxiliares nada intuitivas!

Nestas configura¸cões geométricas, é muito mais fácil encontrar triângulos com um lado em comum do que triângulos semelhantes (veja, por exemplo, a configura¸cão geométrica na figura 3.2).

3.2 Exemplos: os teoremas de Ceva e Menelau

Teorema 3.1 Sejam ∆ABC um triˆangulo e P um ponto qualquer do plano. Seja D o ponto de interse¸c˜ao das retas ←→AP e ←→CB:

D = ←→_{AP ∩}←→CB.

Analogamente, considere as interse¸c˜oes:

E = ←→_{P B ∩}←→AC e F = ←→CP ∩←→AB (ﬁgura 3.3). Vale ent˜ao que

P D AD + P E BE + P F CF = 1 (3.3)

(23)

20 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica B C P A D E F

Figura 3.3: P D/AD + P E/BE + P F /CF = 1.

Note o aspecto construtivo da hipótese deste teorema, onde cada ponto é definido ou constru´ıdo por vez!

1. Os pontos A, B, C e P s˜ao deﬁnidos livremente.

2. Os pontos D, E eF s˜ao constru´ıdos, respectivamente, como a in-terse¸c˜ao da reta ←→AP com a reta ←→CB, da reta ←→P B com a reta ←→AC e da reta ←→CP com a reta ←→AB, retas estas que, por sua vez, dependem dos pontos livres A, B, C e P introduzidos anteriormente.

A idéia da demonstra¸cão é eliminar os pontos constru´ıdos do lado esquerdo

P D AD + P E BE + P F CF

da tese (equa¸cão 3.3) do teorema, em ordem contrária a que eles foram introduzidos, até que somente pontos livres apare¸cam na expressão. Esta expressão final será igual ou facilmente redut´ıvel ao lado direito da tese (no caso, o número 1).

(24)

Proposi¸c˜oes b´asicas e exemplos 21 E e F . Assim, ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ D = ←→_{AP ∩}←→_{BC e D = A ⇒} SP BC S_ABC = P D AD, E = ←→_{BP ∩}←→_{AC e E = B ⇒} SP AC S_BAC = P E BE, F = ←→_{CP ∩} ←→_{AB e F = C ⇒} SP AB S_CAB = P F CF. Sendo assim, P D AD + P E BE + P F CF = S_{P BC} S_ABC + S_{P AC} S_BAC + S_{P AB} S_CAB (∗) = SP BC S_ABC + −SP CA −SABC + S_{P AB} S_ABC = SP BC + SP CA+ SP AB S_ABC (∗∗) = SABC S_ABC = 1,

onde, em (∗) usamos a propriedade de permuta¸cão 2.4 (página 11) e, em (∗∗) a propriedade de decomposi¸cão 2.5 (página 11).

Observac¸ ˜ao.

Evidentemente, o teorema que acabamos de demonstrar não é válido para qualquer escolha dos pontos A, B, C e P . Por exemplo, o triângulo ∆ABC deve ser não-degenerado (isto é, S_ABC = 0) e o ponto P deve ser tal que as interse¸c˜oes D, E e F sejam todas normais (isto ´e, existe apenas um ponto de interse¸c˜ao entre cada par de retas, de forma que D, E e F estejam bem defi-nidos). Estas condi¸cões s˜ao denominadas condi¸cões de não-degenerescência

do teorema. Trataremos deste assunto, com detalhes, mais adiante.

Teorema 3.2 (Ceva) Sejam ∆ABC um triˆangulo, P um ponto qual-quer do plano, D = ←→AP ∩←→CB, E = ←→P B ∩←→AC e F = ←→CP ∩←→AB, como no teorema 3.1 (ﬁgura 3.3). Vale ent˜ao que

AF F B · BD DC · CE EA = 1. (3.4)

(25)

Este teorema foi demonstrado pelo matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734). Com ele, é poss´ıvel unificar vários outros resultados, como a concorrência das medianas, bissetrizes e alturas de um triângulo. Infeliz-mente, o teorema de Ceva não costuma ser tratado em cursos de geometria elementar.

Aplica¸cões do teorema de Ceva (como também uma demonstra¸cão usando semelhan¸ca de triângulos) podem ser encontradas na referência [6]. Lembra-mos também que, por conta do teorema de Ceva, retas em um triângulo que ligam um vértice com um ponto do lado oposto s˜ao denominadas cevianas (assim, medianas, bissetrizes e alturas são cevianas). Desta maneira, o te-orema de Ceva estabelece uma condi¸cão necessária para que três cevianas de um triângulo sejam concorrentes (veremos que esta condi¸cão é também suficiente).

Demonstra¸c˜ao: Vamos novamente usar o teorema do co-lado para eliminar

os pontos D, E e F . Assim, ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ D = ←→_{BC ∩}←→_{AP e D = C ⇒} SBAP S_CAP = BD CD, E = ←→_{CA ∩}←→_{BP e E = A ⇒} SCBP S_ABP = CE AE, F = ←→_{AB ∩}←→_{CP e F = B ⇒} SACP S_BCP = AF BF, de modo que AF F B = − AF BF = − S_ACP S_BCP, BD DC = − BD CD = − S_BAP S_CAP e CE EA = − CE AE = − S_CBP S_ABP. Conseq¨uentemente, AF F B· BD DC· CE EA = −_SSACP BCP · −S_SBAP CAP · −S_SCBP ABP = −SACP S_CAP· S_BAP S_ABP · S_CBP S_BCP.

Agora, pela propriedade de permuta¸c˜ao 2.4, sabemos que S_ACP = −S_CAP,

S_BAP = −S_ABP e S_CBP = −S_BCP. Assim,

AF F B · BD DC · CE EA = − −S_SACP ACP · −S_SBAP BAP · −S_SCBP CBP = 1.

(26)

Teorema 3.3 (Menelau) Sejam F , D e E trˆes pontos sobre os la-dos ←→AB, ←→BC e ←→AC de um triˆangulo ∆ABC, respectivamente. Os pontos D, E e F s˜ao colineares se, e somente se,

AF F B · BD DC · CE EA = −1. (3.5) B C A D E F

Figura 3.4: O teorema de Menelau: (AF /F B)· (BD/DC) · (CE/EA) = −1.

Este teorema foi demonstrado pelo matemático Menelau de Alexandria, por volta do s´eculo I, em seu livro Sphaerica (um tratado sobre triˆangulos esféricos e suas aplica¸cões à astronomia). Enquanto que o teorema de Ceva estabelece condi¸cões para que três cevianas de um triˆangulo sejam

concor-rentes, o teorema de Menelau estabelece condi¸c˜oes para que três pontos, um sobre cada lado de um triˆangulo, sejam colineares. De fato, pode-se demons-trar que eles são equivalentes (veja, por exemplo, as referências [7, 8, 28]).

Demonstra¸c˜ao: Existem duas possibilidades: apenas dois dos trˆes pontos D,

E e F estão nos segmentos AB, BC e AC (figura 3.4) ou os três pontos estão

fora destes segmentos (figura 3.5). A prova que daremos, usando o método da área, funciona para os dois casos.

(⇒) Suponha que E, F e G sejam colineares. Ent˜ao, pelo teorema do co-lado,

(27)

24 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica B C A D E F

Figura 3.5: O teorema de Menelau: (AF /F B)· (BD/DC) · (CE/EA) = −1.

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ D = ←→_{BC ∩}←→_{EF e D = C ⇒} SBEF S_CEF = BD CD = − BD DC, E = ←→_{CA ∩}←→_{EF e E = A ⇒} SCEF S_AEF = CE AE = − CE EA, F = ←→_{AB ∩}←→_{EF e F = B ⇒} SAEF S_BEF = AF BF = − AF F B,

Sendo assim, conclu´ımos que

AF F B · BD DC · CE EA = −_SSAEF BEF · −S_SBEF CEF · −S_SCEF AEF = −1.

(⇐) Reciprocamente, sejam E, F e D pontos sobre ←→AC, ←→AB e ←→BC tais que a equa¸c˜ao 3.5, AF F B · BD DC · CE EA = −1,

seja v´alida. Seja H a interse¸c˜ao das retas ←→EF e ←→BC. Para mostrar que E,

F e D s˜ao colineares, basta mostrar que D = H. Dado que D, E e H s˜ao

colineares, pelo que demonstramos na parte (⇒),

AF F B · BH HC · CE EA = −1.

(28)

BH HC =

BD DC,

Assim, pelo exerc´ıcio [02] na p´agina 9, conclu´ımos que D = H.

3.3 Exemplos: outras categorias de problemas

Teorema 3.4 Seja ∆ABC um triˆangulo e sejam D e E pontos sobre os lados ←→AC e ←→AB. Defina os números u e v pelas rela¸cões

CD = u · AD e AE = v · BE. Se P ´e a interse¸c˜ao das retas ←→BD e ←→CE, ent˜ao

P D P B = u · v u − 1. (3.6) C A B D E P

Figura 3.6: Se CD = u· AD e AE = v · BE, ent˜ao P D/(P E) = u · v/(u − 1).

Demonstra¸c˜ao: Como P = ←→BD ∩←→CE, pelo teorema do co-lado, P D P B = DP BP = S_DCE S_BCE.

(29)

Precisamos agora eliminar os pontos E e D. Novamente, pelo teorema do co-lado, DC AC = S_DCE S_ACE e AE BE = S_ACE S_BCE,

dado que C = ←→AD ∩←→CE e E = ←→AB ∩←→CE, respectivamente. Desta maneira,

P D P B = S_DCE S_BCE = S_DCE S_ACE · S_ACE S_BCE = DC AC · AE BE = CD CA · EA EB. Mas CD = u· AD, CA = CD + DA = u · AD − AD = (u − 1) · AD e EA = v · EB. Conseq¨uentemente, P D P B = CD CA · EA EB = u · AD (u− 1) · AD · v · EB EB = u · v u − 1.

Corolário 3.1 (Concorrˆencia das Medianas) As três medianas de um triângulo s˜ao concorrentes em um ponto P que divide cada mediana na propor¸cão 2 por 1. Mais precisamente, dado um triˆ an-gulo ∆ABC, se D, E e F s˜ao, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AC, AB e BC, ent˜ao as retas ←→BD, ←→CE e ←→AF são concorrentes em um ponto P e

BP = 2 · P D, CP = 2 · P E e AP = 2 · P F .

O ponto P ´e denominado baricentro ou centro de gravidade do triˆ an-gulo ∆ABC.

Demonstra¸c˜ao: Seja P a interse¸c˜ao das retas ←→BD e ←→CE. Como D e E s˜ao pontos m´edios dos segmentos AC e AB, respectivamente, vale que

CD = −AD e AE = −BE, isto ´e, u = v = −1 no teorema anterior. Portanto,

P D P B = u · v u − 1 = − 1 2.

(30)

passa pelo ponto P . Ora, se Q ´e a interse¸cão das retas ←→BD e ←→AF , então pelo teorema anterior, QD/QB = −1/2 = P D/P B. Pelo exerc´ıcio [02] na p´agina 9, conclu´ımos que, necessariamente, P = Q. Por simetria, isto, trocando-se os nomes dos vértices do triˆangulo ∆ABC, conclu´ımos que

CP = 2 · P E e AP = 2 · P F .

Teorema 3.5 Com as mesmas hip´oteses do teorema 3.4, vale que

S_{P BC} S_ABC =

u

u − 1 − u · v. (3.7) Demonstra¸cão: Pela propriedade de decomposi¸c˜ao 2.5 e pela propriedade de permuta¸cão 2.4 (página 11), temos que

S_ABC S_{P BC} = S_{AP C} S_{P BC} + S_ABP S_{P BC} + S_{P BC} S_{P BC} = − S_{AP C} S_{BP C} − S_{AP B} S_{CP B} + 1.

Agora, como E = ←→AB ∩←→P C e D = ←→AC ∩←→P B, pelo teorema do co-lado, temos que S_ABC S_{P BC} = − S_{AP C} S_{BP C} − S_{AP B} S_{CP B} + 1 = − AE BE − AD CD + 1.

Mas AE = v · BE e CD = u · AD. Portanto,

S_ABC S_{P BC} = − v · BE BE + AD u · AD + 1 = −v − 1 u + 1 = u − 1 − u · v u .

Sendo assim, S_{P BC}/S_ABC = u/(u− 1 − u · v).

Teorema 3.6 Considere trˆes pontos D, E e F sobre os lados ←→AC,

←→

AB e ←→BC de um triângulo ∆ABC. Defina os números u, v e w pelas

express˜oes u = CD AD, v = AE BE e w = BF CF .

(31)

Temos ent˜ao que

S_{P QR} S_ABC = (1 + u· v · w)2 (1− u + u · v) · (1 − v + w · v) · (1 − w + w · u). C A B D E F Q R P

Figura 3.7: Se CD = u AD, AE = v BE e BF = w CF , ent˜ao S_{P QR}/S_ABC = (1 + uvw)2/((1 − u + uv)(1 − v + wv)(1 − w + wu)).

Demonstra¸c˜ao: Usando a propriedade de decomposi¸c˜ao 2.5 (p´agina 11) e o teorema anterior, temos que

S_{P QR} = S_ABC − S_{P BC} − S_QCA− S_RAB = 1− u u − 1 − u · v − w w − 1 − w · u − v v − 1 − w · v · SABC = (1 + u· v · w) 2 (1− u + u · v) · (1 − v + w · v) · (1 − w + w · u) · SABC, de onde se segue o resultado.

Note, por exemplo, que se u = v = w = −1/2, isto ´e, se DA = 2 CD,

(32)

Proposi¸cões básicas e exemplos 29 S_{P QR} = 1 7SABC. C A B D E F Q R P (1 3) jACjÁ (2 3) jACjÁ (1 3) jACjÁ (2 3) jACjÁ (1 3) jBCjÁ (2 3) jBCjÁ ABC (1 7) SÁ Figura 3.8: Se DA = 2 CD, EB = 2 AE e CF = 2 F B, então S_{P QR} = (1/7) S_ABC.

Corolário 3.2 (Vers˜ao forte do teorema de Ceva) Consi-dere trˆes pontos D, E e F sobre os lados ←→AC, ←→AB e ←→BC de um triˆangulo ∆ABC. Defina os números u, v e w pelas express˜oes

u = CD AD, v = AE BE e w = BF CF .

Ent˜ao as retas ←→AF , ←→BD e ←→CE s˜ao concorrentes se, e somente se,

S_{P QR} = 0, isto ´e, se, e somente se, u· v · w + 1 = 0 ou

CD AD · AE BE · BF CF = −1.

Lema 3.1 (de eliminac¸ ão) Seja L a interse¸c˜ao dos lados ←→AB e ←→CD de um quadrilátero ABCD. Então

(33)

30 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica S_BCD S_BCAD = LB AB = S_LBD S_ABD, (3.8) isto ´e, S_LBD = SBCD · SABD S_BCAD . (3.9) A B C D L

Figura 3.9: Se L = ←→AB ∩←→CD, ent˜ao S_BCD/S_BCAD = LB/AB = S_LBD/S_ABD.

Note que este lema nos ensina como eliminar o ponto L, definido como a interse¸cão de dois lados opostos do quadriláteroABCD, na expressão

para a ´area com sinal S_LBC.

Demonstra¸cão: Vamos colocar os pontos A, B, C e D em uma posi¸c˜ao mais conveniente, como aquela indicada na figura 3.10 (naturalmente, os mesmos argumentos podem ser aplicados à figura 3.9, pois um caso demonstra todos os demais). Agora, dado que B = ←→LA ∩ ←→BD, pelo teorema do co-lado, sabemos que

S_LBD S_ABD =

LB AB.

Desta maneira, resta veriﬁcar que

S_BCD S_BCAD = S_LDB S_ADB = SLBD S_ABD

(34)

Proposi¸c˜oes b´asicas e exemplos 31 A B C D L

Figura 3.10: Se L =←→AB ∩←→CD, ent˜ao S_BCD/S_BCAD = LB/AB = S_LBD/S_ABD.

ou ainda, que

S_LDB + S_LBC

S_LDB + S_LBC + S_LCA+ S_LAD =

S_LBD S_LBD + S_LAD.

Mas esta última expressão ´e equivalente a S_LBC · S_LAD = S_LDB · S_LCA que, por sua vez, é equivalente a

S_LDB S_LAD = S_LBC S_LCA, ou ainda, S_DLB S_DLA = S_CLB S_CLA,

Mas, pela proposi¸cão básica 3.1 na página 16,

S_DLB S_DLA = LB LA = S_CLB S_CLA.

Teorema 3.7 (Construc¸ ão com régua de uma seqüência harmônica) Sejam L a interse¸c˜ao das retas←→AB e ←→CD, K a interse¸cão de ←→AD e ←→BC, F a interse¸cão de ←→BD e ←→LK e G a interse¸cão de ←→AC e ←→KL. Então LF KF = LG GK. (3.10)

(35)

32 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica A B C D L F K G Figura 3.11: LF /KF = LG/GK.

Demonstra¸c˜ao: Para eliminar o ponto F , usaremos o teorema do co-lado: F = ←→_{LK ∩}←→BD, de modo que

LF KF =

S_LBD S_KBD.

Precisamos agora eliminar os pontos K e L que aparecem nas express˜oes S_LBD e S_KBD. Para isto, vamos usar o lema de elimina¸c˜ao 3.1:

S_LBD = SBCD · SABD

S_BCAD e SKDB =

S_DCB _{· S}_ADB

S_DCAB = −SKBD

j´a que L ´e a interse¸cão dos lados ←→AB e ←→CD do quadrilátero ABCD e K é

a interse¸c˜ao dos lados ←→AD e ←→BC do mesmo quadril´atero. Desta maneira

LF KF = S_LBD S_KBD = S_BCD _{· S}_ABD S_BCAD −SDCB_S · SADB DCAB = S_BCD _{· S}_ABD S_BCAD −SBCD_S · SABD DCAB = −SDCAB S_BCAD.

Analogamente, demonstra-se que LG/GK = −S_DCAB/S_BCAD, de onde se obt´em a igualdade LF /KF = LG/GK desejada.

(36)

Teorema 3.8 (Pappus) Sejam r e s duas retas, A, B e C pontos

em r e E, F e G pontos em s. Os pontos P = ←→_{AE ∩}←→DB, Q = ←→_{AF ∩}←→DC e R = ←→BF ∩←→EC s˜ao sempre colineares. A B C r D E F s P Q R

Figura 3.12: O teorema de Pappus.

Demonstra¸cão: Uma maneira de se demonstrar que P , Q e R s˜ao colineares ´e definir X = ←→P Q ∩←→BF , Y = ←→P Q ∩←→EC e então mostrar que X = Y . Mas, pelo exerc´ıcio [02] na p´agina 9, para mostrar que X = Y , basta mostrar que

P X QX = P Y QY , ou ainda, que P X QX · QY P Y = 1.

Podemos eliminar X e Y na express˜ao (P X/QX)· (QY /P Y ) usando o teo-rema do co-lado: P X QX · QY P Y = S_{P BF} S_QBF · S_QCE S_{P CE}. (*)

Precisamos agora eliminar os pontos P e Q nesta express˜ao. O próximo passo é novamente aplicar o teorema do co-lado para obter as rela¸cões

(37)

34 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ F = ←→_{QA ∩}←→_{BF ⇒} SQBF S_ABF = QF AF ⇒ SQBF = QF AF · SABF, C = ←→_{QD ∩}←→_{CE ⇒} SQCE S_DCE = QC DC ⇒ SQCE = QC DC · SDCE, B = ←→_{P D ∩}←→_{BF ⇒} SP BF S_DBF = P B DB ⇒ SP BF = P B DB · SDBF, E = ←→_{P A ∩} ←→_{CE ⇒} SP CE S_ACE = P E AE ⇒ SP CE = P E AE · SACE.

Vamos agora usar o lema de elimina¸cão 3.1 (considere a figura 3.10 na página 31): ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Q = ←→_{AF ∩}←→DC (diagonal ←→AF de ACF D) ⇒ QF AF = S_DCF S_{ACF D}, Q = ←→_{AF ∩}←→DC (diagonal ←→DC de ACF D) ⇒ QC DC = S_ACF S_{ACF D}, P = ←→_{AE ∩}←→DB (diagonal ←→DB de ABED) ⇒ P B DB = S_ABE S_ABED, P = ←→_{AE ∩}←→DB (diagonal ←→AE de ABED) ⇒ P E AE = S_DBE S_ABED.

Substituindo na equa¸c˜ao (∗), obtemos que

P X QX · QY P Y = S_{P BF} S_QBF · S_QCE S_{P CE} = S_ABE S_DCF · S_DBF S_ABF · S_ACF S_DBE · S_DCE S_ACE = S_ABE S_ACE · S_DBF S_DBE · S_ACF S_ABF · S_DCE S_DCF.

Mas, pela propriedade b´asica 3.1 (p´agina 16), temos que

S_ABE S_ACE = AB AC, S_DBF S_DBE = DF DE, S_ACF S_ABF = AC AB e S_DCE S_DCF = DE DF. Conseq¨uentemente, P X QX · QY P Y = 1.

(38)

Teorema 3.9 Se R ´e um ponto sobre a reta ←→P Q, ent˜ao

S_RAB = P R

P Q · SQAB + RQ

P Q · SP AB. (3.11)

para dois pontos A e B quaisquer.

A B

P

Q

R

Figura 3.13: S_RAB = (P R/P Q)· S_QAB + (RQ/P Q)· S_{P AB}.

Demonstra¸c˜ao: Temos:

S_RAB (1)= S_{P AB} + S_RAP + S_{RP B} (2)= S_{P AB} + P R P Q · SQAP + P R P Q · SQP B = S_{P AB} + P R P Q · SQAP − P R P Q · SBP Q = S_{P AB} + P R P Q · (SQAP − SBQP) (3) = S_{P AB} + P R P Q · (SAP B + SABQ) = S_{P AB} − P R P Q · SP AB + P R P Q · SABQ = 1− P R P Q · SP AB + P R_{P Q} · SABQ = _{P Q}RQ · SP AB + _{P Q}P R · SQAB,

onde, em (1) usamos a propriedade de decomposi¸cão 2.5 (figura 3.14), em (2) o teorema do co-lado e, em (3), a propriedade de decomposi¸cão mais uma vez (figura 3.15).

(39)

A B

P

Q

R

A B

P

Q R

Teorema 3.10 Seja ∆ABC um triˆangulo inscrito em uma circun-ferˆencia C de centro O e sejam

K = ←→_{AO ∩}←→BC, L = ←→_{BO ∩}←→AC e M = ←→CO ∩←→AB. Defina os pontos P , Q e R como os pontos sim´etricos com rela¸cão ao centro O de C dos pontos A, B e C, respectivamente (figura 3.16).

KP AK + LQ BL + MR CM = 1 (3.12)

(40)

Proposi¸c˜oes b´asicas e exemplos 37 O A B C K L M P Q R C Figura 3.16: KP /AK + LQ/BL + MR/CM = 1.

Demonstra¸c˜ao: Como M = ←→RC ∩←→AB, L = ←→QB ∩←→AC e K = ←→P A ∩←→BC, pelo

teorema do co-lado segue-se que

RM CM = S_ABR S_ABC, QL BL = S_ACQ S_ACB = − S_ACQ S_ABC e P K AK = S_BCP S_ABC, de modo que KP AK + LQ BL + MR CM = − P K AK − QL BL − RM CM = −SABR+ SACQ− SBCP S_ABC .

Agora, O ´e ponto m´edio dos segmentos AP , BQ e CR. Assim, pelo teo-rema 3.9,

S_ABR = CR

CO · SABO+ RO

CO · SABC = 2 SABO− SABC, S_ACR = BQ

BO · SACO + QO

BO · SACB = 2 SACO + SABC, S_BCP = AP

AO · SBCO + P O

(41)

Desta maneira, podemos escrever que

KP AK + LQ BL + MR CM =

−2 SABO+ SABC + 2 SACO + SABC − 2 SBCO + SABC

S_ABC

= −2 (SABO− SACO + SBCO) + 3 SABC

S_ABC (1)

= −2 (SABO+ SAOC + SBCO) + 3 SABC

S_ABC (2) = −2 SABC + 3 SABC S_ABC = S_ABC S_ABC = 1,

onde, em (1) usamos que S_AOC = −S_ACO (propriedade de permuta¸c˜ao) e, em (2), que S_ABC = S_ABO+ S_AOC+ S_BCO (propriedade de decomposi¸c˜ao).

Exerc´ıcios

[01] Justiﬁque cada uma das igualdades abaixo para obter uma outra de-monstra¸c˜ao do teorema 3.7. LF KF = S_LBD S_KBD = S_LBD S_KBL · S_KBL S_KBD = DA AK · LC DC = S_DAC S_AKC · S_LAC S_DAC = S_LAC S_AKC = LG GK.

[02] Dados trˆes pontos A, B e C colineares, realize as seguintes constru¸c˜oes geom´etricas:

(1) Escolha um ponto E que n˜ao seja colinear com A e B. (2) Trace as retas ←→EA, ←→EB e ←→EC.

(3) Escolha um ponto I aobre a reta←→EA e, em seguida, trace a reta ←IB.→ (4) Marque o ponto G que ´e a interse¸c˜ao de ←→EC e ←IB e, em seguida,→

trace a reta ←→GA.

(5) Marque o ponto F que ´e a interse¸c˜ao de ←→GA e ←→EB e, em seguida, e trace a reta ←IF .→

(6) Marque o ponto D que ´e a interse¸c˜ao de ←IF e ←→→ AB.

(42)

[03] Sejam A, B, C e D pontos em uma mesma reta. Suponha que P e Q sejam dois pontos tais que S_{P CQD} = 0. Mostre que S_{P AQB}/S_{P CQD} =

AB/CD.

[04] Com as mesmas hip´oteses do teorema 3.1, mostre que

AP AD + BP BE + CP CF = 2.

[05] Seja ABCD um quadril´atero e O um ponto. Sejam E, F , G e H as

interse¸c˜oes das retas ←→AO, ←→BO, ←→CO e ←→DO com as diagonais ←→BD, ←→AC,

←→

BD e ←→AC do quadril´atero, respectivamente. Mostre que AH HC · CF F A · BE ED · DG GB = 1.

[06] (Ainda sobre o teorema do co-lado) Se M ´e a interse¸c˜ao das re-tas ←→AB e ←→P Q, mostre que

P M QM = S_{P AB} S_QAB, P M P Q = S_{P AB} S_{P AQB} e QM P Q = S_QAB S_{P AQB}.

[07] Se C e D s˜ao pontos que pertencem a reta ←→AB e P ´e um ponto que n˜ao pertence a reta ←→AB, mostre que

S_{P CD} S_{P AB} =

CD AB.

(43)

Cap´ıtulo 4

Paralelismo

4.1 Caracteriza¸

c˜

ao de paralelismo via ´

areas com sinal

Defini¸cão 4.1 (Relac¸ ão ) Dizemos que duas retas ←→AB e ←→CD são

paralelas se elas n˜ao possuem pontos em comum. Usaremos a nota¸c˜ao

AB CD

para representar o fato de que os pontos A, B, C e D satisfazem pelo menos uma das trˆes condi¸c˜oes seguintes:

(a) ←→AB e ←→CD s˜ao retas paralelas, (b) A = B ou C = D ou

(c) A, B, C e D s˜ao colineares.

Defini¸c˜ao 4.2 (Paralelogramo) Um paralelogramo ´e um qua-drilátero ABCD orientado com AB CD, BC AD e tal que ne-nhuma escolha de três de seus vértices resulte em pontos colineares.

Note que, se ABCD é um paralelogramo, então AB e DC possuem a mesma dire¸cão, independentemente da orienta¸cão escolhida para ABCD. Com isto, podemos estabelecer a seguinte defini¸cão.

(44)

Paralelismo 41

Deﬁni¸c˜ao 4.3 (Raz˜ao de dois segmentos paralelos) Seja

ABCD um paralelogramo. Dados dois pontos P e Q em ←→DC,

deﬁ-nimos

P Q AB =

P Q

DC (4.1)

como a raz˜ao dos dois segmentos paralelos P Q e AB.

Proposi¸c˜ao 4.1 Sejam A, B, C e D quatro pontos. Ent˜ao AB CD se, e somente se, S_ABC = S_ABD (ou, equivalentemente, S_ADBC = 0).

Demonstra¸cão: (⇒) Se AB CD, então (a) ←→AB e ←→CD são retas paralelas,

(b) A = B ou C = D ou (c) A, B, C e D s˜ao colineares. No caso (a), ∆ABC e ∆DBC s˜ao dois triˆangulos de mesma base (|BC|), mesma altura e mesma orienta¸c˜ao, de modo que S_ABC = S_BCD. No caso (b), se A = B, ent˜ao S_ABC = S_BBC = 0 = S_BBD = S_ABD e, se C = D, ent˜ao, obviamente,

S_ABC = S_ABD. No caso (c), S_ABC = 0 = S_ABD, já que os quatro pontos são colineares. A demonstra¸cão da rec´ıproca (⇐) fica como exerc´ıcio.

4.2 Exemplos com paralelismo

Teorema 4.1 Seja O a interse¸c˜ao das duas diagonais ←→AC e ←→BD de

um paralelogramo ABCD (figura 4.1). Então AO = OC, isto é,

AO/OC = 1.

Demonstra¸c˜ao: Vamos reescrever o enunciado do teorema em termos

cons-trutivos:

1. Os pontos A, B e C s˜ao deﬁnidos livremente.

2. O ponto D ´e constru´ıdo pela condi¸c˜ao de que ←→AB e ←→CD sejam retas paralelas satisfazendo AB = DC.

(45)

A B

D C

O

Figura 4.1: No paralelogramo ABCD, AO = OC.

Usaremos as proposi¸cões básicas para eliminar os pontos na equa¸cão que representa a tese do teorema, na ordem inversa em que eles foram definidos, até obter uma expressão que é trivialmente verdadeira, envolvendo apenas os pontos livres. Assim, temos:

AO OC = − AO CO (1) = −SABD S_CBD = S_ABD S_BCD (2) = SABC S_BCA (3) = SABC S_ABC = 1,

onde em (1) usamos o teorema do co-lado (j´a que O = ←→AC ∩←→BD) e, em (2), usamos a proposi¸c˜ao 4.1: S_ABD = S_ABC (pois AB CD) e S_BCD = S_BCA (pois BC AD). Em (3), usamos a propriedade de permuta¸c˜ao 2.4.

Teorema 4.2 (Tales) Se trˆes retas paralelas r, s e t cortam a reta m em A, B e C e a reta n em X, Y e Z (ﬁgura 4.2), ent˜ao

AB CB =

XY

ZY . (4.2)

Demonstra¸c˜ao: Temos

AB CB (1) = SABY S_CBY (2) = SXBY S_ZBY (3) = XY ZY ,

onde, nos passos (1) e (3), usamos o teorema do co-lado (j´a que, respec-tivamente, B = ←→AC ∩ ←→BY e Y = ←→XZ ∩ ←→BY ) e, no passo (2), usamos a

(46)

Paralelismo 43

proposi¸c˜ao 4.1: S_ABY = S_XBY (dado que AX BY ) e S_CBY = S_ZBY (dado que CZ BY ). C A X r m n s t Z B Y

Figura 4.2: Teorema de Tales (AB/CB = XY /ZY ).

Teorema 4.3 Sejam ←→AB e ←→CD duas retas paralelas tais que ←→AC e ←→BD

sejam concorrente em um ponto P . Se Q =←→AD∩←→BC e M = ←→P Q∩←→AB, ent˜ao M ´e o ponto m´edio do segmento AB, isto ´e, AM = MB.

A B C D P Q M Figura 4.3: AM = MB.

(47)

Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema do co-lado, podemos eliminar o ponto M = ←→

AB ∩←→P Q: AM/BM = S_{AP Q}/S_{BP Q}, de modo que

AM MB = − AM BM = − S_{AP Q} S_{BP Q} = − S_{P AQ} S_{P BQ}.

Precisamos agora eliminar o ponto Q nas express˜oes S_{P AQ} e S_{P BQ}. Como

A = ←→_QD∩←→AP , pelo teorema do co-lado mais uma vez, QA/DA = S_QAP/S_DAP

e, conseq¨uentemente,

S_{P AQ} = AQ

AD · SP AD.

Agora, pelo lema de elimina¸c˜ao 3.1 (p´agina 29), AQ/AD = S_ABC/S_ABDC. Desta maneira, S_{P AQ} = SABC S_ABDC · SP AD = S_ABC S_BDCA · SP AD. Analogamente, S_{P BQ} = BQ BC · SP BC = S_BDA S_BDCA · SP BC = − S_BDA S_BDCA · SP CB.

Combinando as rela¸c˜oes que deduzimos at´e aqui, temos

AM MB = − S_{P AQ} S_{P BQ} = − + SABC S_BDCA · SP AD −_SSBDA BDCA · SP CB = SABC · SP AD S_BDA _{· S}_{P CB}.

Mas AB CD, de modo que pela proposi¸c˜ao 4.1, S_ABC = S_ABD = S_BDA. Sendo assim,

AM MB =

S_{P AD} S_{P CB}.

Agora, pela ﬁgura 4.3, usando a propriedade de decomposi¸c˜ao, temos que

S_{P AD} = S_{P CD} + S_CAD e S_{P CB} = S_{P CD}+ S_CBD, de modo que

AM MB =

S_{P CD} + S_CAD

S_{P CD}+ S_CBD.

Usando novamente a proposi¸c˜ao 4.1, temos que S_CAD = S_ADC = S_BDC =

S_CBD, uma vez que AB CD. Logo

AM MB =

S_{P CD} + S_CAD

(48)

Paralelismo 45

Teorema 4.4 (Axioma de Pascal) Sejam A, B e C trˆes pontos em uma reta e sejam P , Q e R trˆes pontos em outra reta. Se AQ RB e BP QC, ent˜ao AP RC. A C R B Q P

Figura 4.4: O axioma de Pascal: Se AQ RB e BP QC, ent˜ao AP RC.

Demonstra¸c˜ao: Para mostrar que AP RC, pela proposi¸c˜ao 4.1, basta

mostrar que S_RAP = S_CAP. Desde que AQ RB e BP QC, pela pro-posi¸c˜ao 4.1, temos que S_RAQ = S_BAQ e S_{BP Q} = S_{BP C}, respectivamente. Desta maneira,

S_RAP (1)= S_RAQ + S_{AP Q} = S_BAQ + S_{AP Q} (2)= S_{BAP Q} =

S_BAP + S_{BP Q} = S_BAP + S_{BP C} (3)= S_CAP, onde, em (1), (2) e (3), usamos a propriedade de decomposi¸c˜ao.

Teorema 4.5 (Axioma de Desargues) Sejam r, s e t trˆes retas distintas, concorrentes em um ponto S. Sejam A e X pontos em r, B e Y pontos em s e C e Z pontos em t tais que AB XY e AC XZ (ﬁgura 4.5). Ent˜ao BC Y Z.

(49)

46 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica S A C B X Y Z t s r

Figura 4.5: O axioma de Desargues: se AB XY e AC XZ, ent˜ao BC Y Z.

Demonstra¸c˜ao: Para mostrar que BC Y Z, pela proposi¸c˜ao 4.1, basta

mos-trar que S_{Y BC} = S_ZBC. Agora

S_BCZ (1)= CZ

CS · SBCS (2)

= AX

AS · SBCS,

onde, em (1) usamos o teorema do co-lado (C =←→SZ ∩←→BC) e, em (2), usamos o teorema de Tales. Analogamente,

S_BCY = BY

BS · SBCS = AX

AS · SBCS.

Sendo assim, S_BCZ = S_BCY, como quer´ıamos.

Teorema 4.6 Sejam X, Y , Z e W pontos sobre os lados CD, DA,

AB e BC de um paralelogramo ABCD tais que CX CD = DY DA = AZ AB = BW BC = 1 3

(figura 4.6). Então a área com sinal do quadrilátero formato pelas retas ←→AX, ←→BY , ←→CZ e ←−→DW é 1/13 da área com sinal do

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Paralelismo 47 A B D X C Y Z W P Q R S

Figura 4.6: Se CX/CD = DY /DA = AZ/AB = BW /BC = 1/3, ent˜ao

S_{P QRS} = S_ABCD/13.

Demonstra¸c˜ao: Seja I = ←→DB ∩←→P A = ←→AX ∩←→DB (ﬁgura 4.7). Temos S_ABCD S_ABP = S_ABD + S_BCD S_ABP (1) = SABD + SABD S_ABP = 2· S_ABD S_ABP (2) = 2· SABP + SP BD + SP DA S_ABP = 2· _S ABP S_ABP − S_DBP S_ABP − S_{P AD} S_{P AB} (3) = 2· 1− DY AY − DI BI (4) = 2· 1− DY AY − S_DAX S_BAX = 2· 1 + 1 2 + 2 3 = 13 3 .

onde, em (1) usamos que S_BCD = S_ABD, em (2) usamos a propriedade de decomposi¸c˜ao e, em (3) e (4) usamos o teorema do co-lado (uma vez que

Y = ←→_{DA ∩}←→BP , I = ←→_{DB ∩}←→P A e I = ←→_{AX ∩}←→DB). Analogamente, demonstra-se que S_ABCD S_BCQ = S_ABCD S_CDR = S_ABCD S_DAS = 13 3 .

Usando a propriedade de decomposi¸c˜ao para ´areas com sinal,

S_{P QRS} S_ABCD =

S_ABCD _{− S}_ABP _{− S}_BCQ _{− S}_CDR _{− S}_DAS

S_ABCD = 1−

12 13 =

1 3.

(51)

48 II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica A B D X C Y Z W P Q R S I

Figura 4.7: Se CX/CD = DY /DA = AZ/AB = BW /BC = 1/3, ent˜ao

S_{P QRS} = S_ABCD/13.

Proposi¸c˜ao 4.2 Sejam ABCD um paralelogramo e P e Q dois

pon-tos. Ent˜ao S_{AP Q}+ S_{CP Q} = S_{BP Q}+ S_{DP Q}, (4.3) isto ´e, S_{P AQB} = S_{P DQC} (4.4) A B D C P O Q

Figura 4.8: No paralelogramo ABCD vale que S_{AP Q}+ S_{CP Q} = S_{BP Q}+ S_{DP Q}.

Demonstra¸cão: Seja O a interse¸c˜ao de ←→AC e ←→BD. Desde que O é o ponto m´edio do segmento AC (veja o teorema 4.1 na p´agina 41), pela proposi¸cão 3.9 na página 35, temos que

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Paralelismo 49 pois S_{OP Q} = AO AC · SAP Q+ OC AC · SCP Q = 1 2 · SAP Q+ 1 2 · SCP Q. Pela mesma raz˜ao,

S_{BP Q}+ S_{DP Q} = 2· S_{OP Q}. Assim,

S_{AP Q}+ S_{CP Q} = 2· S_{OP Q} = S_{BP Q}+ S_{DP Q}.

Esta ´ultima equa¸c˜ao pode ser escrita na forma S_{BP Q}−S_{AP Q} = S_{CP Q}−S_{DP Q}, de modo que

S_{P AQB} = S_{BP Q}+ S_AQP = S_{BP Q}− S_{AP Q}

= S_{CP Q} − S_{DP Q} = S_{CP Q} + S_DQP = S_{P DQC}, o que estabelece a segunda f´ormula.

Proposi¸c˜ao 4.3 Sejam ABCD um paralelogramo e P um ponto

qualquer. Ent˜ao

S_{P AB} = S_{P DC} − S_ADC = S_{P DAC}. (4.5)

A B

D C

P

Figura 4.9: No paralelogramo ABCD vale que S_{P AB} = S_{P DC}− S_ADC = S_{P DAC}.

Demonstra¸c˜ao: Pela proposi¸c˜ao anterior, com Q = B, S_{AP B} + S_{CP B} =