Aula 5 – Parte 1
Progressão Aritmética ... 2
Progressão Geométrica ... 13
Cálculo da razão . ... 14
Termo Geral . ... 14
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita . ... 15
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita . ... 16
Relação das questões comentadas ... 28
Progressão Aritmética
Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Exemplo:
(2,5,8,11,14,...) Progressão aritmética de razão r = 3.
Observe que para calcular a razão em uma progressão aritmética devemos calcular a diferença entre qualquer termo e o termo que o antecede (antecedente).
Assim, podemos dizer que a razão (r = 3) foi calculada da seguinte maneira: = 5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = ⋯ = 3
Desse fato, podemos mostrar que se três números estão em progressão aritmética, o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois termos. Vejamos um caso geral: considere a progressão aritmética (a, b, c). A razão dessa progressão pode ser calculada como a diferença entre dois termos consecutivos. Assim,
− = − 2 = +
= + 2
Essa propriedade é muito importante. Então lembre-se: dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Vejamos com um exemplo numérico:
A sequência (4, 9, 14) é uma progressão aritmética de razão 5. O termo central é a média aritmética dos extremos.
9 = 4 + 142
Como você aplicaria essa propriedade em uma questão? Vejamos um exemplo:
Ora, sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Dessa forma,
( + 1) = + ( + 3)2 + 2 + 1 = + 2+ 6 + 9 2 ∙ ( + 2 + 1) = 2 + 6 + 9 2 + 4 + 2 = 2 + 6 + 9 4 − 6 = 9 − 2 −2 = 7 = − 72
O tópico mais importante da teoria de Progressão Aritmética é comumente denominado “Fórmula do Termo Geral”. Basicamente, essa fórmula serve para descobrir qualquer termo de uma Progressão Aritmética.
Voltemos àquela P.A. do início da teoria: (2, 5, 8, 11, 14, ...).
Se quisermos calcular o próximo termo, basta efetuar 14 +3 = 17. E o próximo? 17 + 3 = 20. E assim, ad infinitum. Bom, calcular termos próximos é muito fácil. O problema surge assim: Qual o milésimo termo dessa progressão? Obviamente não iremos adicionar a razão 3 diversas vezes. Deve haver um método eficaz. E existe!!
A fórmula do termo geral é a seguinte:
= + ( − 1) ∙
Em que é o primeiro termo, é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo).
Por exemplo, se queremos calcular o milésimo termo, deveremos efetuar: . = + (1.000 − 1) ∙
. = + 999 ∙ . = 2 + 999 ∙ 3
O “ruim” desta fórmula é que ficamos “presos” a só poder calcular os termos da progressão se soubermos quem é o primeiro termo. Porém, podemos fazer uma modificação nesta fórmula de forma que conhecendo um termo qualquer da progressão e a razão, poderemos calcular qualquer outro termo da progressão.
Vejamos um exemplo: Suponha que o décimo termo ( ) de uma progressão aritmética seja igual a 25 e a razão seja igual a 4. Qual o vigésimo sétimo termo dessa progressão?
Se você prestar bem atenção à fórmula = + ( − 1) ∙ perceberá que não poderemos utilizá-la da forma como está disposta. Pois só podemos utilizá-la se soubermos o valor do primeiro termo.
Vamos fazer uma analogia. Imagine que você se encontra no décimo andar de um prédio e precisa subir para o vigésimo sétimo andar. Quantos andares preciso subir? A resposta é 17 andares. É o mesmo que acontece com os termos de uma P.A.: Se “estamos” no décimo termo e preciso me deslocar até o vigésimo sétimo termo, preciso avançar 17 termos (27 – 10 = 17). E para avançar cada termo, devemos adicionar a razão. Assim,
= + 17 ∙ = 25 + 17 ∙ 4 = 93.
Vamos fazer o “caminho da volta”: O vigésimo sétimo termo de uma progressão aritmética é igual a 93. Se a razão é igual a 4, qual o décimo termo?
Ainda fazendo a analogia da P.A. com os andares de um prédio, para descer do vigésimo sétimo andar para o décimo andar, deveremos descer 17 andares. Na P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razão (pois estamos voltando na P.A.).
= − 17 = 93 − 17 ∙ 4 = 25
Por fim, é importante conhecer a fórmula que fornece a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética.
= ( + ) ∙ 2
Por exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, 11, ...).
O primeiro passo é calcular o milésimo termo: isso já fizemos anteriormente e sabemos que . = 2.999.
Assim, a soma dos mil primeiros termos é dado por:
= ( + ) ∙ 2 . = ( + .2 ) ∙ 1.000
. = (2 + 2.999) ∙ 1.0002 . = (2 + 2.999) ∙ 1.0002 = 1.500.500
01. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos?
(A) 4.504.500 (B) 4.505.000 (C) 4.505.500 (D) 4.506.000 (E) 4.506.500 Resolução
O menor número de 4 algarismos é 1.000 e o maior número de 4 algarismos é 9.999.
Estamos interessados apenas nos múltiplos de 11. Para descobrir tais números, vamos dividir 1.000 por 11 e dividir 9.999 por 11.
1.000 11 10 90
Observe que o resto da divisão foi igual a 10. Se adicionarmos 1 ao número, o resto será 0. Portanto, o primeiro múltiplo de 11 maior que 1.000 é 1.001. Basta verificar:
1.001 11 0 91 Os múltiplos de 11 maiores que 1.000 são:
(1.001, 1.012, 1.023, … ) Basta “ir somando 11”...
Temos, portanto, uma progressão aritmética de primeiro termo 1.001 e razão 11. Vamos calcular o último termo desta progressão dividindo 9.999 por 11.
9.999 11 0 909
Como 9.999 é múltiplo de 11, então ele é o último termo da progressão. Temos a seguinte progressão:
(1.001, 1.012, 1.023, … ,9.999)
Estes são todos os múltiplos de 11 com 4 dígitos. A questão pede a soma de todos estes múltiplos. Temos, então, que somar todos os termos desta progressão aritmética. Para efetuar tal soma, precisamos saber quantos termos possui esta progressão. Utilizaremos a fórmula do termo geral.
= + ( − 1) ∙ 9.999 = 1.001 + ( − 1) ∙ 11 9.999 = 1.001 + 11 − 11 9.999 = 990 + 11 11 = 9.009 = 819 Há, portanto, 819 múltiplos de 11 com 4 dígitos.
Podemos agora aplicar a fórmula da soma dos primeiros termos de uma P.A..
= ( + ) ∙ 2
= (1.001 + 9.999) ∙ 8192 = 4.504.500
Letra A
02. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Ana, Benedita e Carmem nasceram no mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 6 anos e, em 2009, Benedita comemorou seu 13o aniversário, em que ano Carmem nasceu?
(C) 1994 (D) 1999 (E) 2001 Resolução
Vamos considerar que estamos no ano de 2009. Assim, Benedita possui 13 anos. Como Carmem completou 6 anos quando Ana nasceu, então Carmem é 6 anos mais velha que Ana. Se a idade de Ana for igual a e a idade de Carmem for igual a , então = + 6.
Além disso, sabemos que ( , 13, ) é uma progressão aritmética. Vamos substituir por + 6.
A progressão ficará assim:
( , 13, + 6)
Sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a mé-dia aritmética dos outros dois. Dessa forma,
13 = + + 62 13 = 2 + 62 2 + 6 = 26
2 = 20 = 10
Como = + 6, então = 16. Concluímos que Carmem possui 16 anos no ano de 2009. Ela nasceu em 1993 = 2009 – 16.
Letra B
03. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Um artista pretende dividir 420 ml de pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura?
(A) 1,05 (B) 1,09 (C) 1,18
(D) 1,50 (E) 1,90 Resolução
Vamos considerar que uma das partes (a mais clara) possua ml de pigmento vermelho. Assim, o tom médio possuirá + 50 ml de pigmento e a mais escura possuirá + 100 ml de pigmento. A soma das três partes é igual a 420 ml.
+ + 50 + + 100 = 420 3 + 150 = 420
3 = 270 = 90 #$
Portanto, a parte clara possuirá 90 ml de pigmento vermelho. Como esta parte será misturada com 1 litro (1.000 ml) de tinta branca, então teremos 1.090 ml de tinta rosa clara (1,090 litro).
Letra B
04. (EPE 2009/CESGRANRIO) Uma seqüência de números é tal que seus 4 primeiros termos são:
T1 = 5 T2 = 13 T3 = 24 T4 = 38 Observa-se que: 13 = 5 + 8 24 = 5 + 8 + 11 38 = 5 + 8 + 11 + 14
Conclui-se, então, que o 30o termo (T30) dessa seqüência é (A) 1.380 (B) 1.455 (C) 1.500 (D) 1.545 (E) 2.910 Resolução
De acordo com o padrão estabelecido, para calcular o 30º termo teremos que somar os 30 primeiros termos da progressão aritmética (5, 8, 11, 14,...) de razão 3.
Vamos calcular o 30º termo desta progressão. % = + 29
% = 5 + 29 ∙ 3 = 5 + 87 = 92 A soma dos 30 primeiros termos desta progressão será:
&% = ( + 2 % ) ∙ 30=(5 + 92) ∙ 302 = 1.455
Letra B
05. (IMBEL 2004/CETRO) O 24º termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,. ....) é (A) 38 (B) 28 (C) 45 (D) 35 (E) 73/2 Resolução
O primeiro passo é calcular a razão da progressão. Para isto,devemos calcu-lar a diferença entre dois termos consecutivos.
= 2 − 12 = 4 − 12 = 32
Sabemos que o primeiro termo é igual a 1/2 e a razão é igual a 3/2. Queremos calcular o 24º termo.
Do 1º ao 24º termo deveremos avançar 23 termos. Assim, ' = + 23 ∙
' = 12 + 23 ∙32 = 12 +692 =702 = 35
Letra D
06. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo.
Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número
a) 2326 b) 2418 c) 2422 d) 3452 e) 3626 Resolução
Os números da terceira coluna forma uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a 3 e a razão é igual a 7. Assim, o termo de ordem 346 é dado por:
%'( = + 345 ∙ = 3 + 345 ∙ 7 = 2.418
Letra B
07. (TCE PB 2006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão.
Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a
a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105 Resolução
A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4.
O vigésimo quinto termo é dado por:
) = + 24 ∙ = 5 + 24 ∙ 4 = 101
Letra C
08. (TRT – SC 2005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía:
a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 220 bolas de gude. c) pelo menos 230 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude. Resolução
A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4.
Quantas bolinhas Tisiu utilizou ao completar o décimo T?
= + 9 ∙ = 5 + 9 ∙ 4 = 41
Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos da P.A. é dada por:
= ( + ) ∙ 102 = (5 + 41) ∙ 102 = 230
Como o problema não afirmou que ele utilizou TODAS as suas bolinhas de gude, podemos afirmar que Tisiu tem NO MÍNIMO 230 bolas de gude.
Letra C
09. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo.
Quando terminarmos a figura 20, o número total de b olinhas utilizadas terá sido de: a) 720 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880 Resolução
A figura 1 possui 4 bolinhas, a figura 2 possui 8 bolinhas, a figura 3 possui 12 bolinhas...
Temos uma P.A. com primeiro termo igual a 4 e razão igual a 4. Para calcularmos o total de b olinhas utilizadas ao terminar a figura 20, devemos calcular o vigésimo termo.
= + 19 ∙ = 4 + 19 ∙ 4 = 80
Assim, a soma dos vinte primeiros termos da progressão é igual a
Letra B
10. (EBDA 2006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 20 folhas, no segundo dia, 23 e assim por diante até o trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: (A) 920 (B) 905 (C) 1.905 (D) 1.920 (E) 1.915 Resolução
A quantidade de folhas trazidas pelas formigas ao longo dos dias formam uma progressão aritmética de razão 3.
(20, 23, 26, … )
O problema pede o total de folhas armazenadas por essa colônia até o trigésimo dia. Ou seja, queremos saber a soma dos 30 primeiros termos desta progressão aritmética. Para isto, devemos calcular o trigésimo termo.
% = + 29 ∙ % = 20 + 29 ∙ 3 = 107 Assim, a soma dos trinta primeiros termos será
% = ( + 2 % ) ∙ 30 =(20 + 107) ∙ 302 = 1.905
Letra C
Progressão Geométrica
Considere uma sequência de números reais ( , , %, … , ).
Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real *.
é o primeiro termo, é o segundo termo, e assim por diante. O termo de ordem n é chamado n-ésimo termo.
Exemplos:
Progressão Geométrica Primeiro termo ( ) Razão (+) (3, 6, 12, 24, 48, 96, … ) 3 2 (96, 48, 24, 12, 6, 3, … ) 96 1 2 (2, 2, 2, 2, 2, … ) 2 1 (1, −2, 4, −8, 16, −32, … ) 1 −2 (5, 0, 0, 0, 0, … ) 5 0 Cálculo da razão
Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior).
Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos consecutivos.
No nosso primeiro exemplo, * = 6 3, = 12 6, = ⋯ = 2. No nosso segundo exemplo, * = 48 96, = 24 48, = ⋯ = 1 2, . No nosso terceiro exemplo, * = 2 2, = 2 2, = ⋯ = 1.
No nosso quarto exemplo, * = −2 1, = 4 −2, = ⋯ = −2. Termo Geral
Considere a progressão geométrica ( , , %, … , ). Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão.
Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão.
= ∙ *
-Em que é o primeiro termo, * é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo).
Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica (3, 6, 12, 24, … )?
Resolução
Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, = 11. Utilizemos a fórmula do termo geral:
= ∙ * - = ∙ * = 3 ∙ 2 = 3.072
Obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética.
Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3.
Resolução
Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo. Assim, a expressão do termo geral ficará:
( = ∙ *( ( = 4 ∙ 3( = 2.916
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita
A soma dos termos iniciais de uma progressão geométrica é:= ∙ (** − 1− 1)
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (3, 6, 12, 24, … ). Resolução
A razão, como já vimos, é igual a 2.
= ∙ (** − 1− 1)
= 3.069
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita
Se ( , , %, … , , … ) é uma P.G. com razão −1 < * < 1, então:= + + ⋯ + + ⋯ = 1 − * Exemplo
Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (9, 6, 4, … ). Resolução
Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro: * = 69 =23
Assim,
= 1 − * =1 − 239 = 1/3 = 9 ∙9 1 = 273
11. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica?
(A) – 9 (B) – 5 (C) – 1 (D) 1 (E) 9 Resolução
A maneira mais rápida de resolver esta questão é testando as alternativas. (A) – 9
Vamos somar −9 aos número 1,5 1 7.
(−9 + 1, −9 + 5, −9 + 7) (−8, −4, −2)
Algebricamente, resolvemos esta questão assim. Vamos considerar que o número procurado seja igual a . Assim, a sequência (1 + , 5 + , 7 + ) é uma progressão geométrica.
A razão de uma P.G. é o quociente entre dois termos consecutivos. Como a razão é constante, então:
5 +
1 + =7 + 5 +
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicar em cruz). (5 + ) ∙ (5 + ) = (1 + ) ∙ (7 + ) 25 + 5 + 5 + ² = 7 + + 7 + ² Podemos cancelar ². 25 + 5 + 5 = 7 + + 7 10 + 25 = 8 + 7 10 − 8 = 7 − 25 2 = −18 = −9 Letra A
12. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Quando três números reais, positivos e não nulos formam uma progressão geométrica, dizemos que o termo do meio corresponde à média geométrica dos outros dois. Desse modo, qual é a média geométrica entre 28 e 252? (A) 84 (B) 168 (C) 882 (D) 1.764 (E) 3.528 Resolução
Vamos considerar a progressão geométrica (28, , 252). Pela definição do enunciado, o número é a média geométrica entre 28 e 252. Vamos calcular este valor da mesma maneira que fizemos na questão anterior. Para calcular a razão desta P.G. devemos dividir qualquer termo pelo seu antecedente. A razão em uma P.G. é constante, portanto:
28 =252 ²= 28 ∙ 252
²= 7.056 Precisamos calcular a raiz quadrada de 7.056.
Ora, já que 7.056 termina em 6, então o número deve terminar em 4 ou em 6 (já que 4² = 16 e 6² = 36). Assim, devemos testar as alternativas (A) e (D).
Como 84² = 7.056, então a resposta é a alternativa A. Letra A
13. (TRANSPETRO 2008/CESGRANRIO) Atualmente, Marcelo tem 12 anos e as idades de Pedro, Joana e Marcelo, em anos, formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. Qual será a idade de Joana quando Pedro estiver com 5 anos? (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14 Resolução
As idades de Pedro, Joana e Marcelo formam uma P.G. de razão 2. Se a idade de Pedro for igual a , então as idades de Joana e Marcelo serão, respectivamente, 2 e 4 .
Pedro: anos Joana: 2 anos Marcelo: 4 anos
Como Marcelo tem 12 anos, então:
4 = 12 = 3 As idades são: Pedro: 3 anos Joana: 6 anos Marcelo: 12 anos
Poderíamos ter raciocinado assim: se para avançar em uma P.G. nós multiplicamos os termos pela razão, então para voltar na P.G. devemos dividir os termos pela razão. Assim, como Marcelo tem 12 anos, então Joana tem 12/2 = 6 anos e Pedro tem 6/2 = 3 anos.
Joana é 3 anos mais velha que Pedro. Quando Pedro tiver 5 anos, Joana terá 8 anos. Letra B
14. (SEMSA – Prefeitura de Manaus 2005/CESGRANRIO) Se, numa Pro-gressão Geométrica de razão 5, o último termo é igual a 60, o antepenúltimo termo vale: (A) 12/5 (B) 24/5 (C) 12 (D) 24 (E) 50 Resolução
Na questão 13 falei que para avançar numa P.G. devemos multiplicar os termos pela razão e, para retroceder, devemos dividir os termos pela razão. O último termo da P.G. é 60 e a razão é 5. Assim:
O penúltimo termo é 60/5 = 12. O antepenúltimo termo é 12/5. Letra A
15. (EPE 2009/CESGRANRIO) O valor da soma infinita 2 – 1 + 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + ... é (A) 4 (B) 2 (C) 11/8 (D) 4/3 (E) 2/3 Resolução
O problema pede a soma dos infinitos termos da P.G. 22, −1, 12 , −
1
4 ,18 , −16 , … 31
Para calcular a razão desta P.G. devemos dividir qualquer termo pelo seu antecedente. Vamos dividir o segundo termo pelo primeiro.
* = − 12
O primeiro termo é igual a 2. Para calcular a soma dos infinitos termos desta P.G. devemos aplicar a fórmula vista anteriormente.
= + + ⋯ + + ⋯ = 1 − * = 2 1 − 4− 125 = 2 1 + 12 = 2 3 2
Para dividir frações, repetimos o numerador, invertemos o denominador e multiplicamos.
= 2 ∙ 23 =43
Letra D
16. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se: (A) 5.000 (B) 5.115 (C) 4.995 (D) 5.015 (E) 4.895 Resolução
Ora, o problema nos forneceu o primeiro e o sétimo termos de uma P.G. e nos pede a soma dos dez primeiros termos. Para calcular a soma dos termos de uma P.G. precisamos apenas do primeiro termo e da razão. A relação entre o primeiro e o sétimo termos de acordo com a fórmula do termo geral é a seguinte:
= ∙ *( 320 = 5 ∙ *(
*( = 64 ⇒ *( = 2( ⇒ * = 2 Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos será:
= ∙ (** − 1 − 1)⇒ = ∙ (** − 1− 1) = 5 ∙ (22 − 1− 1)
(CBM-ES 2011/CESPE-UnB) Um soldado, um sargento e um tenente têm suas idades, em anos, dispostas em progressão geométrica, sendo o soldado o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. Sabendo que o produto dessas idades, em anos, é 27.000 e que a soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue os itens seguintes.
17. A idade do sargento é superior a 32 anos.
18. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, as idades dos três militares, em anos, estariam em progressão aritmética.
19. A soma das idades do soldado e do sargento é inferior a 48 anos. Resolução
Quando temos uma progressão geométrica de três termos e é dado o
produto deles, é MUITO INTERESSANTE (ou seja, FAÇA ISSO!!!) que você
chame o termo do meio de x.
( , , )
Assim, o próximo termo será o número x multiplicado pela razão. ( , , ∙ *)
O primeiro termo será o número x dividido pela razão.
2* , , ∙ *3 Qual a vantagem disto?
Olhe a primeira informação do texto: Sabendo que o produto dessas idades, em anos, é 27.000...
Vamos multiplicar as três idades e igualar a 27.000.
* ∙ ∙ * = 27.000 O “q” do denominador cancela com o outro “q”.
³ = 27.000 ³ = 27 ∙ 1.000
A raiz cúbica de 27 é 3 e a raiz cúbica de 1.000 é 10. = 3 ∙ 10
Bom, sabemos que o soldado é o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. Assim, o do meio é o sargento e ele possui 30 anos.
A soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue os itens seguintes
A idade do sargento é 30 anos e a do tenente é ∙ * = 30 ∙ * Assim, 30 + 30* = 75
30* = 45 * = 1,5 Assim, a nossa progressão é dada por:
2* , , ∙ *3 21,5 , 30, 30 ∙ 1,5330
(20, 30, 45)
O soldado tem 20 anos, o sargento tem 30 anos e o tenente tem 45 anos. Vamos analisar os itens.
17. A idade do sargento é superior a 32 anos. O item está errado. O sargento tem 30 anos.
18. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, as idades dos três militares, em anos, estariam em progressão aritmética.
Se o tenente fosse 5 anos mais novo, a sequência seria (20, 30, 40). Ou seja, uma progressão aritmética de razão 10. O item está certo.
19. A soma das idades do soldado e do sargento é inferior a 48 anos. A soma das idades do soldado e do sargento é 20 + 30 = 50 > 48. O item está errado.
(PM-ES 2010/CESPE-UnB) Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em anos, correspondentes aos números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que os números a1, a2 e a5 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica com soma igual a 26 e que os números a1, a3 e a4 estejam, nessa ordem, em progressão aritmética de razão 6 e soma igual a 24, julgue os itens a seguir.
20. A soma a2 + a3 + a4 é igual a 28.
21. A razão da progressão formada pelos números a1, a2 e a5 é um número fracionário não inteiro.
22. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. 23. A idade do indivíduo mais velho é superior a 20 anos. Resolução
Vamos começar trabalhando com a progressão aritmética. (89, 8:, 8;) → =>?@>ABBã? 8>DEFéEDH8
A razão desta P.A. é 6. Assim, se o primeiro termo for x, então o segundo termo será x+6 e o terceiro x+12.
( , + 6, + 12) A soma dessa P.A. é 24.
+ + 6 + + 12 = 24 3 + 18 = 24
3 = 6 = 2 A P.A. é formada pelos números (2, 8, 14).
A nossa sequência original de 5 números está assim: (2, , 8, 14, ))
Os números a1, a2 e a5 estão, nessa ordem, em progressão geométrica com soma igual a 26.
(2, , )) → I. J. K1 LM# 26
Como o problema falou que os números são inteiros positivos, podemos tentar achar a razão no chute. Observe que como a soma dos termos é 26, a razão deve ser pequena.
Será que a razão é 2? A progressão seria formada pelos números (2, 4, 8) e a soma dos termos não seria 26.
Será que a razão é 3? A progressão seria formada pelos números (2, 6, 18) e a soma dos termos seria 26. Achamos!!
Assim, = 6 e ) = 18.
A nossa sequência está pronta!
( , , %, ', )) = (2, 6, 8, 14, 18)
Observe que esta sequência não é P.A. e também não é P.G.. Vamos julgar os itens.
20. A soma a2 + a3 + a4 é igual a 28.
+ % + ' = 6 + 8 + 14 = 28 O item está certo.
21. A razão da progressão formada pelos números a1, a2 e a5 é um número fracionário não inteiro.
A razão desta progressão, como vimos, é igual a 3. O item está errado, porque o número é inteiro.
22. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. O item está certo, porque o mais novo tem 2 anos.
23. A idade do indivíduo mais velho é superior a 20 anos. O item está errado, porque o mais velho tem 18 anos.
(ANAC 2009/CESPE-UnB) Considerando que, nos números positivos a, b, c e d, os números a, b e d estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; a, c e d estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão a/d seja igual a 16/25 e a soma dos números a, b, c e d seja 163, julgue os itens que se seguem.
24. A razão da progressão geométrica é igual a 5/4. 25. A razão da progressão aritmética é menor que 8. 26. O número b é maior que o número c.
Resolução Vamos lá...
=K ² = K Os números a, c e d estão em P.A. Assim,
− = K − 2 = + K A razão a/d seja igual a 16/25.
K =1625 Podemos reescrever está proporção assim:
16 =25K
Podemos prolongar esta proporção somando os numeradores e somando os denominadores. Como + K = 2 , temos:
16 =25 =K 16 + 25 + K 16 =25 =K 412 Assim, temos que:
= 16 ∙ 241 → =3241 K = 25 ∙ 241 → K =5041 Como ² = K, temos a seguinte relação:
² = 3241 ∙5041 ² = 1.600 ∙ ²41² Tirando a raiz quadrada de tudo...
= 4041 A soma dos números a, b, c e d é 163.
+ + + K = 163 32
41 +4041 + +5041 = 163 Para eliminar as frações, vamos multiplicar tudo por 41.
32 + 40 + 41 + 50 = 163 ∙ 41 163 ∙ = 163 ∙ 41
= 41 Já podemos calcular as outras incógnitas.
= 3241 =32 ∙ 4141 → = 32 = 4041 =40 ∙ 4141 → = 40 K = 5041 =50 ∙ 4141 → K = 50 Vamos reescrever o enunciado.
Considerando que, nos números positivos a, b, c e d, os números a, b e d estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; a, c e d estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão a/d seja igual a 16/25 e a soma dos números a, b, c e d seja 163, julgue os itens que se seguem.
Considerando que, nos números positivos 32, 40, 41 e 50, os números 32, 40 e 50 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; 32, 41 e 50 estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão 32/50 seja igual a 16/25 e a soma dos números 32, 40, 41 e 50 seja 163, julgue os itens que se seguem.
Bom, temos uma P.G. 32, 40, 50. A razão da P.G. é 40/32 = 5/4.
Temos uma P.A. 32, 41, 50. A razão da P.A. é 41 – 32 = 9. 24. A razão da progressão geométrica é igual a 5/4.
O item está certo.
O item está errado.
26. O número b é maior que o número c.
O item está errado.
(MPS 2010/CESPE-UnB) Três números estão em progressão aritmética de razão 3 e dois termos dessa progressão são as raízes da equação ² − 2 − 8 = 0. Nesse caso é correto afirmar que
27. o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 28. a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. Resolução
O primeiro passo é resolver a equação.
²− 2 − 8 = 0
∆= ² − 4 = (−2) − 4 ∙ 1 ∙ (−8) = 36 = − ± √∆2 =2 ± 62
= 4 MR = −2
A distância do número -2 ao número 4 é igual a 6. Como a razão é igual a 3, então deve haver um número na progressão entre eles.
(−2, ____ ,4)
Como a razão é igual a 3, o próximo número é -2 + 3 = 1. (−2, 1 ,4)
27. o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. O item está errado, já que −2 ∙ 1 ∙ 4 = −8.
28. a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. O item está errado, já que a soma dos termos é 3.
Relação das questões comentadas
01. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos?
(A) 4.504.500 (B) 4.505.000 (C) 4.505.500 (D) 4.506.000 (E) 4.506.500
02. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Ana, Benedita e Carmem nasceram no mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 6 anos e, em 2009, Benedita comemorou seu 13o aniversário, em que ano Carmem nasceu?
(A) 1990 (B) 1993 (C) 1994 (D) 1999 (E) 2001
03. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Um artista pretende dividir 420 ml de pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura?
(A) 1,05 (B) 1,09 (C) 1,18 (D) 1,50 (E) 1,90
04. (EPE 2009/CESGRANRIO) Uma seqüência de números é tal que seus 4 primeiros termos são:
T1 = 5 T2 = 13 T3 = 24 T4 = 38 Observa-se que: 13 = 5 + 8 24 = 5 + 8 + 11 38 = 5 + 8 + 11 + 14
Conclui-se, então, que o 30o termo (T30) dessa seqüência é (A) 1.380
(D) 1.545 (E) 2.910
05. (IMBEL 2004/CETRO) O 24º termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,. ....) é (A) 38
(B) 28 (C) 45 (D) 35 (E) 73/2
06. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo.
Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número
a) 2326 b) 2418 c) 2422 d) 3452 e) 3626
07. (TCE PB 2006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão.
Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105
08. (TRT – SC 2005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía:
a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 220 bolas de gude. c) pelo menos 230 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude.
09. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo.
Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de: a) 720 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880
10. (EBDA 2006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 20 folhas, no segundo dia, 23 e assim por diante até o trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: (A) 920
(B) 905 (C) 1.905 (D) 1.920 (E) 1.915
11. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica?
(A) – 9 (B) – 5 (C) – 1 (D) 1 (E) 9
12. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Quando três números reais, positivos e não nulos formam uma progressão geométrica, dizemos que o termo do meio corresponde à média geométrica dos outros dois. Desse modo, qual é a média geométrica entre 28 e 252? (A) 84 (B) 168 (C) 882 (D) 1.764 (E) 3.528
13. (TRANSPETRO 2008/CESGRANRIO) Atualmente, Marcelo tem 12 anos e as idades de Pedro, Joana e Marcelo, em anos, formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. Qual será a idade de Joana quando Pedro estiver com 5 anos? (A) 6
(B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14
14. (SEMSA – Prefeitura de Manaus 2005/CESGRANRIO) Se, numa Pro-gressão Geométrica de razão 5, o último termo é igual a 60, o antepenúltimo termo vale: (A) 12/5 (B) 24/5 (C) 12 (D) 24 (E) 50
15. (EPE 2009/CESGRANRIO) O valor da soma infinita 2 – 1 + 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + ... é
(A) 4 (B) 2 (C) 11/8 (D) 4/3 (E) 2/3
16. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se: (A) 5.000 (B) 5.115 (C) 4.995 (D) 5.015 (E) 4.895
(CBM-ES 2011/CESPE-UnB) Um soldado, um sargento e um tenente têm suas idades, em anos, dispostas em progressão geométrica, sendo o soldado o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. Sabendo que o produto dessas idades, em anos, é 27.000 e que a soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue os itens seguintes.
17. A idade do sargento é superior a 32 anos.
18. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, as idades dos três militares, em anos, estariam em progressão aritmética.
19. A soma das idades do soldado e do sargento é inferior a 48 anos.
(PM-ES 2010/CESPE-UnB) Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em anos, correspondentes aos números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que os números a1, a2 e a5 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica com soma igual a 26 e que os números a1, a3 e a4 estejam, nessa ordem, em progressão aritmética de razão 6 e soma igual a 24, julgue os itens a seguir. 20. A soma a2 + a3 + a4 é igual a 28.
21. A razão da progressão formada pelos números a1, a2 e a5 é um número fracionário não inteiro.
22. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. 23. A idade do indivíduo mais velho é superior a 20 anos.
(ANAC 2009/CESPE-UnB) Considerando que, nos números positivos a, b, c e d, os números a, b e d estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; a, c e d estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão a/d seja igual a 16/25 e a soma dos números a, b, c e d seja 163, julgue os itens que se seguem.
25. A razão da progressão aritmética é menor que 8. 26. O número b é maior que o número c.
(MPS 2010/CESPE-UnB) Três números estão em progressão aritmética de razão 3 e dois termos dessa progressão são as raízes da equação ² − 2 − 8 = 0. Nesse caso é correto afirmar que
27. o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 28. a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8.
