Dimensões Implícitas nos Processos de Visualização e
Representação de Conceitos Matemáticos em Cálculo
Diferencial e Integral no Contexto das Possibilidades
Didático-Pedagógicas de um Software Tridimensional.
Carolina Augusta Assumpção Gouveia1
Rosana Giaretta Sguerra Miskulin2
1- Introdução
Reflexões e pesquisas realizadas nos últimos anos, envolvendo a utilização didática das TICs na Educação Matemática têm mostrado possíveis benefícios educacionais. A cada novidade estudada, novos questionamentos passam a existir sobre essa temática.
O trabalho com softwares educacionais desenvolvido por Gouveia, uma das autoras deste trabalho, inicia-se com a avaliação da qualidade técnica de softwares educacionais e transcorre pela procura de uma ferramenta que auxilie a formação pedagógica e o desenvolvimento cognitivo do aluno. Na monografia de Gouveia (2007) foi trabalhado, com um aluno da 7ª série do ensino fundamental, a reprodução planificada de objetos tridimensionais no computador. O software utilizado possibilitava uma rotação nos objetos simulados, consistindo assim, em uma aplicação que não se permite realizar nos livros, cadernos ou quadros-negros os quais trazem em cada representação dos objetos, apenas um ponto de vista. O trabalho permitiu ao aluno um maior desenvolvimento de sua percepção, juntamente com o conhecimento desenvolvido pelos métodos aplicados na sala de aula convencional.
Percorrendo o mesmo caminho, percebemos muitos trabalhos de pesquisa utilizando as Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs), os quais trazem resultados importantes para a Educação. Porém, poucos resultados despertam o interesse dos professores que atuam nas escolas brasileiras e poucas pesquisas alcançam as salas de
1 Mestranda do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da UNESP de Rio Claro.
2 Orientadora, docente do Departamento de Matemática e do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP.
aula. Deste modo, começamos a refletir sobre as possibilidades da tecnologia exceder os campos de pesquisa das universidades e chegar à escola.
Diante das questões que surgem e causam reflexões, a partir de cada nova leitura realizada, uma questão tem permanecido e assume uma maior atenção. O foco das pesquisas deve estar no aluno ou no professor? Percebe-se que admiráveis trabalhos com alunos de escolas públicas e particulares não avançam como se espera, e talvez o enigma esteja mesmo no foco de nossas pesquisas. Portanto, caminhamos para pesquisas com alunos da graduação, especificamente alunos de Licenciatura em Matemática (futuros professores), objetivando investigar e evidenciar as dimensões implícitas nos processos
de visualização e de representação de conceitos matemáticos em CDI, a partir das possibilidades didático-pedagógicas do software tridimensional Scilab.
2 – A Visualização e o Cálculo Diferencial e Integral
Delimitar um tema de pesquisa torna-se difícil. Quando propomos o trabalho com futuros professores e as TICs, disciplinas de Matemática cursadas na graduação de licenciatura tornam-se possíveis focos de pesquisa. Porém, durante uma análise inicial de ementas das disciplinas e os resultados obtidos na sala de aula, o Cálculo Diferencial e Integral (CDI) mostra-se como uma disciplina representada pela grande dificuldade de aprendizagem para alguns alunos da Licenciatura e também para graduandos de outras áreas.
Nos trabalhos de pesquisas realizados por programas de Pós-Graduação em Educação e/ou Educação Matemática, como os de Souza Jr (2000), Silva (1997), Bean (2004), Farias (2007), Barufi (1999) e Reis (2001), a disciplina de CDI mostra-se como um importante foco de pesquisa. Um dos argumentos para tais pesquisas é referido por Souza Jr (2000), ao mostrar que:
No Brasil, o ensino do Cálculo tem sido responsabilizado por um grande número de reprovações e de evasões de estudantes universitários. É comum em nossas universidades a reclamação, por parte dos alunos ou por parte dos professores de outras áreas, da inexistência de esforços para tornar o Cálculo interessante ou útil (SOUZA JR, 2000, p.18).
Contudo, as pesquisas nessa área, preocupam-se pouco com o processo de visualização envolvido no curso de CDI. Porem, mostram-se vantajosas ao estarem
empenhadas nas questões aplicativas que possam retratar o cotidiano e dar um maior sentido a aprendizagem do conteúdo.
O presente trabalho, portanto, torna-se diferenciado por investigar e evidenciar as dimensões implícitas no desenvolvimento da visão espacial dos alunos, propondo o computador como uma alternativa didática na aprendizagem de CDI. Propiciar o desenvolvimento da visão espacial significa permitir ao aluno uma compreensão universal do objeto ou do ambiente, mesmo que planificado.
Procuramos, portanto, uma nova forma de explorar o significado das funções matemáticas, proporcionando dimensões matemáticas, pedagógicas e didáticas ao conhecimento matemático dos alunos de Licenciatura em Matemática. Para os professores em formação, uma didática significativa é ainda mais relevante, pois serão esses os profissionais, em um momento posterior, os responsáveis pela aplicação de CDI para novos estudantes ou expandindo conhecimentos em novas pesquisas em Educação Matemática. E, ainda com mais ênfase, serão profissionais que vão conhecer novas estratégias didáticas, como o uso das TICs.
3 - Fundamentação teórica
A fundamentação teórica desta pesquisa será baseada na inter-relação da teoria sobre visualização no contexto das TICs e a formação de futuros professores de Matemática.
Conhecer os processos de representação e visualizações das Funções em Cálculo Diferencial e Integral pode ser profícuo no conhecimento dos professores em formação, na construção dos significados da Matemática. Ao contrário do que podemos supor inicialmente, os livros de Cálculo expõem a importância da representação desde a conceituação dos conteúdos, como Swokowski (1994) faz em seu livro de Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1.
Seja f uma função não-negativa em todo um intervalo fechado [a, b]. Fazendo-se o gráfico de f girar em torno do eixo-x, obtém-se uma
superfície de revolução. Por exemplo, se f(x) = r²− π ² para uma constante positiva r, o gráfico de f em [-r, r] é o semicírculo superior de x² + y² = r², e uma revolução em torno do eixo-x gera uma esfera de raio r e área o, 4 π r². (Swokowski, 1994, p.430)
As propostas escolares, entretanto, pouco adotam os conceitos geométricos. Alguns professores da Graduação não se entretêm com a importância das concepções geométricas dos conteúdos e, sendo assim, fazem da disciplina de Cálculo, um curso com valor extremo nas regras de Derivação e de Integração. Além dos problemas que permeiam a disciplina de Cálculo, os alunos não conseguem explorar os verdadeiros significados dos conceitos matemáticos e suas características, não conseguindo, muitas vezes resolver os problemas de Derivada e Integral.
Porém, consideramos relatar, que não só na disciplina de Cálculo encontramos essa proposta pedagógica, baseada no ensino tradicional. É possível dizer que nas disciplinas da área de exatas, principalmente durante o período do curso básico, predominam aulas expositivas, com pouca participação dos alunos, nas quais é comum ver o professor se posicionar no quadro-negro – escrevendo ao mesmo tempo em que dá explicações – e os alunos em seus lugares, fazendo as anotações. Essas aulas giram em torno de exercícios: em classe e em casa, devido às muitas listas que são dadas e obviamente nas provas. (RODRIGUES, 1997, apud BEAN, 2004, p.43).
Entendemos como necessário, então, o uso das TICs na sala de aula como auxílio pedagógico para a representação e a visualização de conceitos matemáticos, propiciando um envolvimento dos alunos nos conceitos de CDI. Além disso, com essa pesquisa, promovemos a iniciação dos professores, em formação, nas possibilidades do uso das TICs na sala de aula.
É preciso que o professor, desde sua formação inicial, tanto nas licenciaturas quanto nos cursos de Magistério, tenha a possibilidade de interagir com o computador de forma diversificada e, também, de discutir criticamente questões relacionadas com as transformações influenciadas pela informática, sobretudo nos estilos de conhecimento e nos padrões de interação social. (SILVA, 1997, p.110)
Ao refletirmos sobre a proposta de representar e construir objetos bidimensionais e tridimensionais na sala de aula constatamos que não se constitui em uma tarefa simples, ao contrário, tal proposta exige raciocínios abstratos e processos de codificação e decodificação dos elementos que compõem os objetos representados no plano. (MISKULIN, 1999, p.288).
Cabe então, reafirmar que o computador é o elemento fundamental para a visualização e representação das figuras matemáticas, sobretudo em 3D. Segundo Farias (2007, p.53) essa tecnologia funciona como um importante auxílio no ensino e na aprendizagem da Matemática, que possibilita meios de informação visual, simulações, nos
quais o estudante em função de conhecimentos anteriores e/ou de sua capacidade investigativa pode representar e interagir. São modelos cujo procedimento é por vezes complexo e seria certamente difícil realizar de maneira manipulativa.
Pela perspectiva de Maltempi (2005b, p.5) percebemos que, em um mundo globalizado e, cada vez mais complexo, embora haja muito mais do que se aprender, há muito mais e melhores maneiras de se aprender, graças às novas metodologias, que envolvem também as TICs. Assim, nesta pesquisa, que nos instiga, buscamos no computador um
(...) novo paradigma que promove a aprendizagem ao invés do ensino, que coloca o controle do processo de aprendizagem nas mãos do aprendiz, e que auxilia o professor a entender que a educação não é somente a transferência de conhecimento, mas um processo de construção do conhecimento pelo aluno, como produto do seu próprio engajamento intelectual ou do aluno como um todo. (VALENTE, 1993b, p.21, apud Maltempi, 2005b, p.5).
A possibilidade do desenvolvimento de novas mídias em sala de aula, diante dos caminhos que a Matemática está tomando, vislumbra na possibilidade de se considerar novas hipóteses a respeito da mudança do pensamento matemático. Em algumas pesquisas já realizadas concluímos que:
As atividades, além de naturalmente trazer a visualização para o centro da atividade matemática, enfatizam um aspecto fundamental na proposta pedagógica da disciplina: a experimentação. As novas mídias, como os computadores com softwares gráficos e as calculadoras gráficas, permitem que os alunos experimentem, de modo semelhante ao que faz nas aulas de experimentais de biologia ou de física. (BORBA e PENTEADO, 2003, p.37)
Vemos que Maltempi (2005c, p.1) se aproxima da proposta acima mencionada, ao considerar o computador como ferramenta pedagógica essencial no aprendizado do aluno permitindo-lhe ricos ambientes educacionais com um maior potencial de aprendizagem. Em seu trabalho realizado nas construções de páginas Web, o autor relata que os alunos envolvidos
(...) passaram a conhecer a maioria dos objetos e conceitos que fizeram parte do ambiente do estudo, tais como Internet, Web, hardware e software. Além desse aprendizado, os estudantes afirmaram ter aprendido sobre o conteúdo trabalhado nas páginas e sobre Web design. A experiência adquirida no desenvolvimento dos projetos também lhes proporcionou um aprendizado sobre planejamento e estratégia, pois vários estudantes tinham um plano definido quando foi levantada a hipótese de reiniciar o trabalho. (MALTEMPI, 2005a, p.276-277)
Borba e Penteado preconizam que: “(...) vale observamos o fato de que lançar mão do uso dessa tecnologia não significa necessariamente abandonar as outras tecnologias. É preciso avaliar o que queremos enfatizar e qual a mídia mais adequada para atender o nosso propósito.” (BORBA e PENTEADO, 2003, p.64). Há, principalmente, a preocupação em utilizar as TICs para suprir necessidades que, dentro de uma sala de aula, quando quadro-negro, giz, papel, lápis, régua, compasso e sólidos de qualquer natureza, não encontram o resultado esperado e/ou mais proveitoso.
Dentre as propostas apresentadas, a mais recente, a qual esse trabalho está intimamente ligado, faz referência à mudança da função do computador como meio educacional, que acontece juntamente com um questionamento da função da escola e do papel do professor. A verdadeira função do aparato educacional não deve ser a de ensinar, mas sim a de criar condições de aprendizagem. (...) As novas tendências de uso do computador na Educação mostram que ele pode ser um importante aliado neste processo que estamos começando a entender (VALENTE, 1993, p.6).
Tal medida permite a busca da adequação entre as novas metodologias educacionais e as didáticas redefinidas com o desenvolvimento das mídias no contexto educacional.
4 - Metodologia da Pesquisa e Procedimentos de Investigação e de Análise
A metodologia desta pesquisa apóia-se em uma abordagem Qualitativa, no qual são investigados os processos mentais e computacionais envolvidos nos processos de visualização e representação de conceitos matemáticos de Cálculo Diferencial e Integral de sujeitos pertencentes à turma de CDI I, do ensino superior de uma UNESP de Rio Claro, durante 6 meses do ano de 2008, por meio de situações práticas de Resolução de Problemas. Os procedimentos de investigação e de análise da presente pesquisa são:
Observação do conteúdo apresentado tradicionalmente nas aulas de CDI I e do desenvolvimento dos alunos diante dessa Metodologia de ensino. Para isso, faz-se necessária a presença da pesquisadora durante um semestre na sala onde ocorrerá a disciplina de Cálculo, para o primeiro ano de Matemática.
Para um momento inicial do trabalho, estará presente uma breve apresentação do software para conhecimento dos alunos. Posteriormente, serão elaboradas atividades com o
software 3D para o conteúdo de superfície de revolução, as quais serão aplicadas em
alunos que cursam a disciplina de CDI I
Ressaltamos que os depoimentos dos alunos recolhidos nas aulas de Cálculo serão de fundamental importância para a análise posterior dos resultados. A proposta consiste em levar os sujeitos a expressarem livremente suas opiniões sobre o significado dos problemas e conceitos matemáticos apresentados nas aulas de CDI I, sobretudo no trabalho com funções e suas representações. O caráter flexível desse tipo de abordagem permitirá os sujeitos responderem de acordo com sua perspectiva pessoal, em vez de se moldar as questões previamente elaboradas. A Coleta dos dados não terá o objetivo de confirmar ou infirmar hipóteses construídas previamente; ao invés disso, as abstrações serão construídas à medida que os dados particulares recolhidos irão se agrupando.
Os resultados escritos nesta pesquisa conterão citações feitas com base nos dados para ilustrar e substanciar a apresentação, incluindo transcrições de Entrevistas, notas de campo, fotografias, documentos pessoais e outros registros oficiais. Durante as análises serão utilizadas fontes de leituras em Educação Matemática; Informática na Educação; e pesquisas realizadas na área. A participação no Grupo de Pesquisa de Formação de Professores, o qual é coordenado pela Profa. Dra. Rosana G. S. Miskulin e Profa. Dra. Miriam G. Penteado, na UNESP/RIO CLARO, com os demais alunos, propiciará um ambiente de discussões sobre o significado dos processos de visualização e de representação no ensino e aprendizagem de futuros professores de Matemática.
Procuraremos, assim, alcançar o objetivo deste trabalho ao investigar e evidenciar as dimensões implícitas nos processos de visualização e representação de conceitos matemáticos de CDI, a partir das possibilidades didático-pedagógicas de um software tridimensional. Durante o segundo ano de pesquisa no Mestrado será elaborada uma Dissertação com os resultados obtidos.
5 – Considerações Finais
A pesquisa realizada durante a Especialização, pela pesquisadora, lança questionamentos sobre as dimensões implícitas nos processos de visualização e
representação de conceitos matemáticos. Ao mostrar o possível desenvolvimento
espacial do aluno quando a visualização e a representação tornam-se o ponto central no estudo de Geometria, outros conteúdos matemáticos tornam-se foco da pesquisa presente.
Contudo, com uma atenção recente na formação inicial de professores busca-se, neste trabalho, propiciar um contexto educativo que forneça, aos alunos da licenciatura, elementos teórico-metodológicos para enfrentarem, no futuro, a sala de aula permeada de múltiplos problemas.
Farias (2007, p.183), coloca-ns que “todas as formas de representações matemáticas constituem-se em formas lógicas”. Isso se mostra como mais um auxílio na construção de um trabalho consistente sobre as dimensões implícitas na representação e sua importância no contexto escolar.
Assim, por meio do conceito geométrico atribuído às Superfícies de Revolução, abordado pelos autores nos livros de Cálculo com Geometria Analítica, busca-se expandir o estudo inicial para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Com as perspectivas abordadas e, partindo da problemática da pesquisa, acreditamos que o objetivo do ensino, na formação inicial não consiste apenas em formar os futuros professores de Matemática, mas, também propiciar um contexto educativo que forneça aos alunos elementos teórico-metodológicos para enfrentarem, no futuro, a sala de aula, permeada de múltiplos problemas.
Por fim, cabe ressaltar que a pesquisa encontra-se em fase parcial, em que a análise e parte da coleta de dados ainda não foram realizadas, de modo que o principal objetivo de expor essas idéias e concepções consiste em refletir e potencializar os conhecimentos já adquiridos, bem como avançar gradativamente de acordo as estratégias da pesquisadora, constituindo assim modos de organização e de realização da mesma.
6- Bibliografia e obras consultadas
ÁVILA, G. Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro, LTC, 1981.
BARUFI, Maria Cristina Bonomi. A Construção/Negociação de Significados no Curso
Universitário Inicial de Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo, 1999. Tese
(doutorado) – Universidade de São Paulo, Faculdade de Educação, 1999.
BEAN, Dale William. Aprendizagem pessoal e aprendizagem afastada: o caso do aluno de cálculo. Campinas, 2004. Tese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação, 2004.
BOGDAM, Roberto C.; Biklen, Sari Knopp. Investigação Qualitativa em Educação. Traduzido por: Maria João Alvarez, Sara Bahia dos Santos e Telmo Mourinho Baptista. Portugal: Porto Editora, 1994. 13-51 p.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação
Matemática. 3ª edição. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. 100p.
FARIAS, Maria Margarete do Rosário. As representações matemáticas mediadas por
softwares educativos em uma perspectiva semiótica: uma contribuição para o
conhecimento do futuro professor de matemática. Rio Claro, 2007. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Estadual Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociêcias e Ciência Exatas, 2007.
GOUVEIA, Carolina Augusta Assumpção. O uso do software 3D na geometria espacial. Juiz de Fora, 2007. Monografia (Especialização em Educação Matemática). Universidade Federal de Juiz de Fora, Instituto de Ciências Exatas, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro, LTC Editora, 1997.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra, São Paulo, Harbra, 1994.
MALTEMPI, M.V. Construcionismo: pano de fundo para pesquisas em informática aplicada à Educação Matemática. Em M.A.V. Bicudo, M.C. Borba (Org.). Educação
Matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2005a. 265-282p.
________. Novas Tecnologias e Construção de Conhecimento: Reflexões e Perspectivas. In: V Congresso Ibero-americano de Educação Matemática (CIBEM). Porto, Portugal, 17 a 22 de julho. 2005b.
________. Tecnologias e Conhecimento: Pesquisas em Educação Matemática. III Congresso Internacional de Ensino da Matemática, Canoas, RS, 21 de outubro. 2005c.
MISKULIN, Rosana Giaretta Sguerra. Concepções teórico-metodológicas sobre a
introdução e a utilização de computadores no processo ensino/aprendizagem da geometria. Campinas, 1999. Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas,
Faculdade de Educação, 1999.
SOUZA JR. Arlindo José de. Trabalho coletivo na universidade: Trajetória de um grupo de ensinar e aprender Cálculo Diferencial e Integral. Campinas, 2000. Tese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação, 2000.
SILVA, Miriam Godoy Penteado da. O computador na perspectiva do desenvolvimento
profissional do professor. Campinas, 1997. Tese (doutorado) – Universidade Estadual de
Campinas, Faculdade de Educação, 1997.
SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com Geometria Analítica. Traduzido por: Alfredo Alves de Faria, com colaboração dos professores Vera Regina L.F. Flores e Marcio Quintão Moreno. São Paulo: Editora Makron Books, 1994. 400-435 p.
VALENTE, José Armando. Diferentes Usos do Computador na Educação. Em J.A. Valente (Org.), Computadores e Conhecimento: repensando a educação. Campinas, SP: Gráfica da UNICAMP, 1993a. 1-23p.
________. Por Quê o Computador na Educação. Em J.A.Valente (Org.), Computadores e
Conhecimento: repensando a educação. Campinas, SP: Gráfica da UNICAMP, 1993b.
