PROBLEMA DE DESLOCAMENTO DE VIATURAS MILITARES PELA REDE FERROVIÁRIA FEDERAL (UMA ABORDAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR)

PROBLEMA DE DESLOCAMENTO DE VIATURAS MILITARES PELA

REDE FERROVIÁRIA FEDERAL

(UMA ABORDAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR)

NEI CARLOS DOS SANTOS ROCHA1 ALBA REGINA MORETTI2 LUIZ HENRIQUE DA COSTA ARAÚJO3 CARLA SILVA OLIVEIRA4 1- Instituto de Matemática / UFRJ - Ilha do Fundão ,caixa postal 68530, Rio de Janeiro, 21.945-970, rocha@lncc.br; 2- Dep. de Matemática / Instituto de Ciências Exatas / UFRRJ,BR 465, Km 7, Seropédica, RJ, 23.890-000, moretti@ufrrj.br; 3- IME / Instituto Militar de Engenharia,Praça General Tiburcio, 80, Praia Vermelha, Rio de Janeiro, 22290-270,

lharaujo@de9.ime.eb.br;

4- ENCE / Escola Nacional de Ciências Estatísticas / IBGE, Rua André Cavalcanti, 106, 4º andar - Sta _{Teresa, 20.231-050,}

Rio de Janeiro - carlasilva@ibge.gov.br.

RESUMO: ROCHA, N. C. S.; MORETTI, A. R.; ARAÚJO, L. H. C.; OLIVEIRA, C. S. Problema de deslocamento de viaturas militares pela Rede Ferroviária Federal (Uma abordagem em programação linear). Revista Universidade Rural: Série Ciências Exatas e da Terra, Seropédica, RJ: EDUR, v. 24, n. 1-2, p. 01-11, jan-dez., 2005. Neste trabalho, modelamos o problema de deslocamento de viaturas militares pela Rede Ferroviária Federal via teoria de otimização linear. Como as especificações de vagões e viaturas são condicionantes nos tipos de configurações possíveis para o transporte, construímos, numa primeira instância, um algoritmo para a determinação das configurações viáveis, de maneira a estabelecer as equações matemáticas responsáveis pela restrição de material a ser transportado e de números de vagões disponíveis.

Palavras-chave: programação linear, modelagem e otimização.

ABSTRACT: ROCHA, N. C. S.; MORETTI, A. R.; ARAÚJO, L. H. C.; OLIVEIRA, C. S. Problem of displacement of military vehicles for the Federal Railway (An approach in lineal programming). Revista Universidade Rural: Série Ciências Exatas e da Terra, Seropédica, RJ: EDUR, v. 24, n. 1-2, p. 01-11, jan-dez., 2005. In this paper, we model the problem of displacement of military vehicles through the Federal Railway via linear optimization theory. Since the specifications of wagons and vehicles are constraints of the viable configuration type for transportation, we build firstly an algorithm to determine the feasible configurations, in order to establish the mathematical equations responsible for the restriction on the material to be transported and the numbers of the available wagons.

Key words: linear programming, modeling and optimization.

1. INTRODUÇÃO

Anualmente o Exército Brasileiro realiza exercícios de adestramento para suas Unidades Operacionais. Esse planejamento é realizado de forma a adaptar as várias Unidades aos diversos tipos de terrenos e climas encontrados em nosso país. Assim, pode ser necessário o deslocamento de uma grande quantidade de material a grandes distâncias.

Apesar de dispor de meios próprios para esse deslocamento, essa opção não é

favorável devido ao alto custo em termos de combustível e manutenção (as viaturas empregadas por essas unidades não são novas, e possuem tempo pequeno entre falhas). Uma opção relativamente barata é o transporte ferroviário até a cidade mais próxima do destino e, a partir desse ponto, realizar o deslocamento rodoviário em comboio.

Neste trabalho, modelamos o problema de deslocamento de viaturas militares pela Rede Ferroviária Federal via teoria de otimização linear. Como as especificações

de vagões e viaturas são condicionantes nos tipos de configurações possíveis para o transporte, construímos, numa primeira instância, um algoritmo para a determinação das configurações viáveis, de maneira a estabelecer as equações matemáticas responsáveis pela restrição de material a ser transportado e de números de vagões disponíveis. Para um estudo detalhado da teoria de otimização linear citamos [3], [4] e [5].

O problema que será apresentado nesse trabalho está descaracterizado, posto que as unidades e os trechos ferroviários são fictícios. Porém, os dados relativos à disponibilidade de tipos de vagões e viaturas são muito próximos aos valores reais.

2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA

Para fins de treinamento, será realizada uma Manobra Militar em um Campo de Instrução no Estado do Rio Grande do Sul, dentre as várias Unidades participantes; em especial, três Unidades estão aquarteladas no interior do Estado de São Paulo. Cada unidade possui uma dotação em termos de viaturas e material a ser transportado, e esse material deve ser transportado como um todo para a região onde a manobra irá ser realizada. O gráfico da figura 1 representa de forma esquemática o trajeto do deslocamento. Cabe ressaltar que os trechos das referidas cidades até a cidade de São Paulo não são relevantes ao problema de deslocamento, já que o trecho de interesse é tão somente de São Paulo ao campo de interesse no Estado do Rio Grande do Sul. A RFFSA disponibilizou um catálogo com as características dos diversos tipos de vagões existentes, e informou que, nesse trecho, as opções disponíveis de vagões são os da tabela 1.

A tarifação desse transporte será realizada pelo peso total a ser transportado e pela quantidade de vagões a ser utilizada.

Uma restrição imposta é a de que o tempo de carga e descarga do material seja mínimo. Ora, após uma análise do problema, chegou-se à conclusão de que essa restrição é equivalente ao de minimizar o número de vagões, uma vez que parte do tempo necessário para o embarque e desembarque corresponde à manobra da composição para o posicionamento do vagão junto à rampa de carga e descarga.

Outro aspecto concernente às restrições diz respeito à limitação de custos referentes à operacionalidade do processo. Embora qualquer que fosse o ótimo, recursos financeiros estariam disponibilizados para a execução do objetivo, resolvemos no presente problema incluir esta possível limitação financeira, como uma restrição do tipo

≤

, a fim de modelar o caso mais geral possível.

3. MODELAGEM DO PROBLEMA

Uma abordagem para a solução desse problema seria a de determinar as várias configurações possíveis de viaturas em vagões, segundo a estrutura de um problema de Programação Inteira, em seguida satisfazer às restrições relativas ao material a ser transportado, à quantidade de vagões disponíveis e ao custo máximo da operação.

Uma vez que o número de configurações possíveis é grande, construímos inicialmente um algoritmo capaz de determinar as combinações viáveis para o embarque de viaturas.

3.1 Algoritmo para determinação das configurações viáveis

Dadas as características de um vagão [1], o algoritmo irá posicionar as viaturas [2] de forma a cobrir todas as configurações viáveis. As configurações viáveis são, então, obtidas levando-se em

conta quatro dimensões básicas: comprimento, largura, altura e peso das viaturas de forma que estas atendam às especificações de cada tipo de vagão. As várias configurações de viaturas embarcadas podem ser representadas por subfamílias da família de viaturas a serem transportadas. O princípio de funcionamento do algoritmo é a construção de permutações de objetos com repetição. Porém, nem todas as permutações são válidas devido às características das viaturas e às limitações dos vagões. No anexo, encontra-se o algoritmo das configurações viáveis.

A título de exemplo, suponha que desejamos transportar as viaturas das Classes “URUTU”, “REO 2 ½” e “JEEP” no vagão PES, segundo as características dadas pela tabela 2 abaixo.

As possíveis configurações dadas pelo algoritmo são: 1 PES levando URUTU URUTU Jeep; 1 PES levando URUTU REO Jeep; 1 PES levando URUTU Jeep Jeep Jeep; 1 PES levando REO REO Jeep; 1 PES levando REO Jeep Jeep Jeep; 1 PES levando Jeep Jeep Jeep Jeep.

A determinação dessas configurações nos permitirá estabelecer equações nas restrições do PPL, como veremos na seção seguinte.

3.2 Construção do PPL

Uma vez definidas as várias configurações de embarque, através do algoritmo de determinação de configurações, é possível estabelecer as equações matemáticas responsáveis pelas restrições de material a ser transportado e de número de vagões disponíveis. Nosso problema é então caracterizado matematicamente segundo a estrutura de um problema de programação linear inteira, onde as variáveis de decisão são dadas por x_ijk (quantidade de vagões do tipo k, da unidade j, usados segundo a configuração i).

Para cada unidade a ser transportada,

devemos fazer com que o total de material levado em todas as configurações viáveis seja maior ou igual ao total a ser transportado. Além disso, devemos ter em mente a restrição referente à limitação de vagões disponíveis da RFFSA. Seja então

v_ijkl a quantidade de viaturas do tipo l transportadas na configuração i da unidade

j com vagão do tipo k, obtida pelo algoritmo

das alocações viáveis; t_jl a quantidade de viaturas do tipo l a ser transportada da unidade j; q_k a quantidade de vagões

disponíveis da RFFSA do tipo k; e n_jk a

quantidade de configurações possíveis da unidade j no vagão k.

4. FUNÇÃO OBJETIVO

Nosso objetivo é minimizar a quantidade de vagões utilizados, o que equivale a dizer que desejamos minimizar a quantidade total de configurações, isto é,

(ii) Restrições

5. QUANTO À QUANTIDADE DE MATERIAL A SER TRANSPORTADO,

TEMOS

A título de exemplo, com os dados anteriores, transportando 22 viaturas do tipo URUTU na unidade 101BI (k = 1), temos

x₁₁₁ – 1 PES levando URUTU URUTU Jeep

x₂₁₁ – 1 PES levando URUTU REO Jeep

x₃₁₁ – 1 PES levando URUTU Jeep Jeep Jeep

e cuja restrição associada é

22

2

x

₁₁₁

+

x

₂₁₁

+

x

₃₁₁

≥

.

l

j

t

x

v

_jl k n i ijk ijkl jk

,

3 1 1

∀

≥

∑∑

_{= =}

∑∑∑

₌3₁ 3_{=1 =1}

min

k j n i ijk jk

x

(b) Quanto à quantidade de vagões disponíveis da RFFSA, temos

(c) Definindo c_k o custo unitário referente ao uso do vagão do tipo k e C o custo financeiro máximo disponível, e tendo em mente que

∑∑

= = 3 1 1 j n i ijk jk

x

representa a quantidade total de vagões do tipo k, a restrição quanto ao custo total da operação é dada por

De forma compacta o problema é então apresentado da seguinte forma:

Sujeito a:

Em anexo encontram-se as tabelas referentes aos coeficientes v_ijkl , t_jl e q_k que compõem o nosso modelo.

6. QUESTÃO DA PÓS-OTIMIZAÇÃO

Cabe ressaltar que, em se tratando de um problema com uma magnitude considerável de variáveis de decisão como é o nosso problema, a análise de sensibilidade é não apenas relevante (devido à dinamicidade dos elementos fundamentais que compõe o nosso modelo; por exemplo, os coeficientes v_ijkl, t_jl, q_k e

C, bem como algumas variáveis de decisão

podem ser alteradas, o que tornaria o nosso problema mais próximo das mudanças potenciais reais), mas também é extremamente justificável do ponto de vista econômico, visto que o aproveitamento de uma solução ótima já previamente calculada evitaria um esforço computacional considerável se tivéssemos que reotimizá-lo do princípio.

Reconhecendo, embora, a grande importância deste fato, nenhuma análise de sensibilidade foi conduzida, uma vez que não dispúnhamos de recurso computacional de grande porte para viabilizar o tratamento desta grande massa de dados.

7. CONCLUSÃO

Ao longo do processo de entendimento do nosso objeto de estudo, pudemos nos defrontar não apenas com as múltiplas vertentes a que um problema real pode nos conduzir, mas sobretudo com a constante revisão de nossos conceitos e estruturas matemáticas utilizadas na sua caracterização, até a sua forma “final” que aqui se encontra.

Finalmente, embora tenhamos considerado apenas três unidades operacionais (j = 1,2,3) e três tipos de viatura (k = 1,2,3), a extensão para o caso geral é natural (j = 1,2,...,p e k = 1,2,...,q).

k

q

x

_k j n i ijk jk

∀

≤

∑∑

3_{= =} 1 1

.

3 1 1 3 1

C

x

c

j n i ijk k k jk

≤









∑∑

∑

_{= = =}

∑∑∑

3_{= = =} 1 3 1 1

min

k j n i ijk jk

x

























∀

≥

≤









∀

≤

∀

≥

∑∑

∑

∑∑

∑∑

= = = = = = =

.

,

,

0

,

,

,

,

,

,

3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 1

k

j

i

x

C

x

c

k

q

x

l

j

t

x

v

ijk j n i ijk k k k j n i ijk jl k n i ijk ijkl jk jk jk

8. ANEXOS 8.1. Algoritmo Program Permut; Type Características = record TP: string [20]; L: real; C: real; H: real; W: real;

end;

viaturas: array [1..10] of Caracteristicas;

vagao, Vg_Car: Caracteristicas; Cl_Viat, I: integer; COMP:STRING; Procedure Aloc_spc (j: Integer; VG: Caracteristicas; COMP: String);

Var

K: integer; begin

if ((Viaturas[j].L<= VG.L) and (Viatura[j].C<= VG.C) and ((Viaturas[j].H<= VG.H) and (Viatura[j].W<= VG.W)); then begin VG.C:= VC.C – Viatura[j].C; VG.W:= VC.W – Viatura[j].W; COMP:= COMP – Viatura[j].TP; For k:=j to Cl_Viat do Aloc_spc (k,VG,COMP); end; else if (j=Cl_Viat)

then Writeln (COMP); end; begin COMP:=’ ‘; Cl_Viat:=3; V i a t u r a s [ 1 ] . C : = 6 . 2 ; Viaturas[2].C:=6.2; Viaturas[3].C:=3.7; V i a t u r a s [ 1 ] . T P : = ’ U R U T U ’ ; V i a t u r a s [ 2 ] . T P : = ’ R E O ; Viaturas[3].TP:=’Jeep; V i a t u r a s [ 1 ] . l : = 2 . 6 ; Viaturas[2].l:=2.2; Viaturas[3].l:=1.5; V i a t u r a s [ 1 ] . W : = 1 3 ; Viaturas[2].W:=9; Viaturas[3].W:=1.6; V i a t u r a s [ 1 ] . H : = 2 . 8 ; Viaturas[2].H:=2.8; Viaturas[3].H:=1.9; Vagao.L := 2.9; Vagao.C := 18.3; Vagao.W := 72.3; Vagao.H := 5; For i:= 1 to Cl_Viat do begin

Aloc_spc (I, Vagao, ‘ ‘); end;

8.2. Figuras Figura 1 Tabela 2 Taubaté 48º RCMec 8.3. Tabelas Tabela 1 Tipo de Vagão Comprimento Útil Largura Útil Altura Útil Carga Útil PES 18,3 m 2,9 m - 72,3 Ton PAR 25,3 m 2,4 m 1,5 m 45 Ton PGS 25,9 m 2,6 m - 71 Ton

Características das Viaturas

Viatura Largura Comprimento Peso Altura

URUTU 2,6 m 6,2 m 13 Ton 2,8 m

REO 2 ½ 2,3 m 6,2 m 9 Ton 2,7 m

100º BI (j = 1)

Viatura Comprimento Largura Altura Peso Qtde (tjl) URUTU (EE-11) 6,1 m 2,6 m 2,8 m 13 Ton 16

Jeep M38 3,5 m 1,5 m 1,4 m 1,5 Ton 12

REO M35 7,1 m 2,5 m 2,9 m 8,1 Ton 12

REO M35 + Reb 11 m 2,5 m 2,9m 9,1 Ton 6 Ambulância 4M 5,6 m 1,9 m 2,3 m 2,1 Ton 2

101º BI (j = 2)

Viatura Comprimento Largura Altura Peso Qtde (tjl) Meia Lagarta 6,5 m 2,3 m 2,7 m 9,4 Ton 8

URUTU 6,1 m 2,6 m 2,8 m 13 Ton 4

REO M602 6,7 m 2,5 m 2,9 m 8,1 Ton 9

REO + Reboque 11 m 2,5 m 2,9 m 9,1 Ton 6

Cisterna 6,7 m 2,4 m 2,1 m 8 Ton 2

Guiondaste QW 9 m 2,5 m 3,6 m 22 Ton 1

Socorro M62 9m 2,5 m 2,8 m 16 Ton 2

48º RCMec (j = 3)

Viatura Comprimento Largura Altura Peso Qtde (tjl)

Cascavel 5,4 m 2,6 m 3,2 m 12 Ton 6

X1A2 6,5 m 2,6 m 2,5 m 20 Ton 8

M 41 7,2 m 3,2 m* 3,1 m 24 Ton 8

REO M35 + REB 11 m 2,5 m 2,9 m 9,1 Ton 10 Carro Oficina 7,3 m 2,7 m 3,2 m 9,1 Ton 4

Tipos de vagões Quantidades disponíveis

PES 60

PAR 10

PGS 30

Unidade 100BI ( j = 1 e k = 2)

Viatura (l)

Config. ( I) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP

1 0 0 0 0 14

Coeficientes q_k

Coeficientes vijkl

Segundo a RFFSA o excesso lateral não prejudica o transporte, quando realizado em vagão PES.

Cada Unidade Militar a ser transportada possui uma dotação em termos de

Coeficientes tjl

equipamento a ser transportado, conforme abaixo.

Unidade 100BI ( j = 1 e k = 1)

Viatura (l)

Config. ( I) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP

1 1 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 3 1 0 0 1 0 4 1 0 0 0 2 5 0 0 2 0 1 6 0 1 1 0 1 7 0 0 1 2 0 8 0 0 1 1 1 9 0 0 1 0 3 10 0 2 0 1 0 11 0 2 0 0 1 12 0 1 0 2 0 13 0 1 0 1 1 14 0 1 0 0 3 15 0 0 0 3 0 16 0 0 0 2 1 17 0 0 0 1 3 18 0 0 0 0 5 Unidade 48RC MEC ( j = 3 e k = 3) Viatura (l)

Config. ( I) REO+REB M41 X1A1 CASCAVEL CARRO

OFICINA 1 2 0 0 0 0 2 1 0 2 0 0 3 1 0 1 1 0 4 1 0 0 2 0 5 0 0 3 0 0 6 0 0 2 2 0 7 0 0 1 3 0 8 0 0 0 4 0 9 0 0 0 2 0 10 0 0 0 1 1 11 0 0 0 0 2

Unidade 100Bl (j = 1 e k = 3)

Viatura (l)

Config. (l) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP

1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 3 1 1 1 0 0 4 1 1 0 1 2 5 1 1 0 0 2 6 1 0 2 0 0 7 1 0 1 1 0 8 1 0 1 0 2 9 1 0 0 2 1 10 1 0 0 1 2 11 1 0 0 0 4 12 0 3 0 0 1 13 0 2 1 0 1 14 0 2 0 2 0 15 0 2 0 1 1 16 0 2 0 0 3 17 0 1 3 0 0 18 0 1 2 1 0 19 0 1 2 0 1 20 0 1 1 2 0 21 0 1 1 1 1 22 0 1 1 0 3 23 0 1 0 3 0 24 0 1 0 2 2 25 0 1 0 1 3 26 0 1 0 0 5 27 0 0 4 0 0 28 0 0 3 1 0 29 0 0 3 0 2 30 0 0 2 2 0 31 0 0 2 1 2 32 0 0 2 0 3 33 0 0 1 3 0 34 0 0 1 2 2 35 0 0 1 1 4 36 0 0 1 0 5 37 0 0 0 4 1 38 0 0 0 3 2

Unidade 101BI ( j = 2 e k = 3)

Viatura (l)

Config. ( I) REO+REB GUINDASTE QW SOCORRO M62

REO M602 MEIA LAGARTA 1 2 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 3 1 0 1 0 0 4 1 0 0 2 0 5 1 0 0 1 1 6 1 0 0 0 2 7 0 2 0 1 0 8 0 2 0 0 1 9 0 1 1 1 0 10 0 1 1 0 1 11 0 1 0 2 0 12 0 1 0 1 1 13 0 1 0 0 2 14 0 0 2 1 0 15 0 0 2 0 1 16 0 0 1 2 0 17 0 0 1 1 1 18 0 0 1 0 2 19 0 0 0 3 0 20 0 0 0 2 1 21 0 0 0 1 2 22 0 0 0 0 3 Unidade 48RC MEC ( j = 3 e k = 1) Viatura (l)

Config. ( I) REO+REB M41 X1A1 CASCAVEL CARRO OFICINA

1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 3 1 0 0 1 0 4 0 0 0 0 2 5 0 1 0 0 1 6 0 0 1 0 1 7 0 0 0 2 1 8 0 2 0 0 0 9 0 1 1 0 0 10 0 1 0 2 0 11 0 0 2 0 0 12 0 0 1 2 0 13 0 0 0 3 0

9. BIBLIOGRAFIA

[1] REDE FERROVIÁRIA FEDERAL S.A.

Catálogo de Vagões. Rio de Janeiro – RJ,

1979.

[2] MINISTÉRIO DO EXÉRCITO.

Características Gerais das Viaturas Automóveis do Exército. 2ª edição,

Brasília – DF, 1981.

[3] VANDERBEI, R.J. Linear Programming Foundations and Extensions. International

Series In Operations Research And Management Science. 2ª ed., 37, 1997.

[4] NASH, S.G. & SOFER, A. Linear and

Nonlinear Programming. McGraw-Hill,

1996.

[5] IGNIZIO, J.P. & CAVALIER, T.M. Linear

Programming. Prentice Hall International Series in Industrial and Systems Engineering, 1994, p. 666.