Resoluções das Atividades
Sumário
1 Aula 13 – Operações e problemas envolvendo conjuntos ... Aula 14 – Conjuntos numéricos ...
01 C
Basta fazer o diagrama de Venn e somar todos os valores.
38 + 2 + 4 + 6 + 1 + 33 + 34 = 118
02 C
Sejam M, T e N os conjuntos dos alunos que frequentaram as piscinas pela manhã, pela tarde e pela noite, respecti-vamente. Note que “sendo 20 pela manhã e pela tarde” faz referência ao conjunto M ∩ T. O número de alunos que frequentaram as piscinas somente pela manhã e pela tarde é igual ao número de alunos que o fizeram pela manhã e pela tarde menos o número de alunos que o fizeram pela manhã, pela tarde e pela noite, ou seja, 20 – 8 = 12. Observe o diagrama de Venn a seguir:
C1 C2 C3 38 2 33 6 4 1 34 M T N 12 12 0 x 8 y 3
Aula 13
Operações e problemas envolvendo
conjuntos
Atividades para Sala
Sabemos que o número total de alunos que frequentaram as piscinas é 38, ou seja, 12 + 12 + 0 + x + 8 + y + 3 = 38. Logo, x + 8 + y + 3 = 14. Note que a soma anterior expressa o número de alunos que frequentaram a piscina à noite.
03 B
Pessoas que gostam apenas de azul: X – Y
X Y
Y – X
X Y
Pessoas que gostam apenas de branco:
(X – Y) ∪ (Y – X) Pessoas que gostam apenas de 1 cor: 3
04 C
Considere o conjunto dos alunos entrevistados como o conjunto universo e F, P e B como os conjuntos dos alunos que optaram por frango, peixe e carne bovina, respecti-vamente. Note que, por exemplo, “7 por carne bovina e frango” faz-se referência ao conjunto B ∩ F. Observe o dia-grama de Venn a seguir:
Dado que 36 pessoas não optaram por carne bovina (BC
tem 36 elementos), equacionamos 9 + x + 3 + 20 = 36 ⇒ x = 4, e dado que 42 pessoas não optaram por peixe (PC
tem 42 elementos), equacionamos 9 + 3 + y + 20 = 42 ⇒ y = 10. Assim, foram entrevistadas
9 + x + 3 + 3 + 4 + 5 + y + 20 = = 9 + 4 + 3 + 3 + 4 + 5 + 10 + 20 = 58 pessoas F P B 9 x 3 5 4 3 y 20 U 01 E
Representemos por meio de um diagrama de Venn a situação descrita no problema. Nele, os conjuntos A, B e C representam, respectivamente, as pessoas que gostam dos refrigerantes A, B e C; U é o conjunto de todas as pes-soas pesquisadas. Indicaremos no próprio diagrama os percentuais de pessoas em cada um dos conjuntos e em suas interseções.
Atividades Propostas
U A C B 8 9 16 33 2 22 10 0Assim, a probabilidade de que uma pessoa entrevistada goste de uma única marca ou de nenhuma é 9% + 10% + 0% + 8% = 27%.
02 C
A situação-problema pode ser demonstrada no diagrama a seguir: Matemáticos Cientistas Professores, Matemáticos, Cientistas Professores
I. Existem somente professores. II. Existem professores e cientistas.
III. Existem professores, cientistas e matemáticos.
03 A
Sejam os conjuntos: A = tem antígeno A B = tem antígeno B
C = não tem nenhum dos dois.
1.000 = n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) = 470 + 230 + 450 – n(A ∩ B) ⇒ n(A ∩ B) = 1.150 – 1.000 = 150.
04 C
Como 50% dos candidatos à Administração Pública eram homens ⇒ 50% eram mulheres. Mas 20% dos candidatos = candidatos a Administração Pública = 1.000 ⇒ 80% dos candidatos = 4.000, 70% de 4.000 = 3.000 = mulheres can-didatas para Administração Pública = homens candidatos para Adminstração Pública.
05 B
Usando o diagrama de Venn e sendo T o total de entrevis-tados: 122 y x Líquido Drágeas z x y z z T T T T T T T T T T T T + + + = + + = + + = = → = 3 2 7 122 5 3 2 7 5 3 2 7 122 61 105 122 2 – – – 110 x z T y z T z T + = + = = ⇒ 3 2 7 5
36 = 5 + 6 + 7 + 4 + 9 – x + 10 – x + x + 7 – x ⇒ 36 = 48 – 2x ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6 07 E Sejam: A: hemofílicos B: homossexuais C: toxicômanos O diagrama fica: 06 E
Sejam: A: quem acertou a primeira. B: quem acertou a segunda. C: quem acertou a terceira. Fazendo o diagrama de Venn:
B A C 5 9 – x 6 7 – x x 10 –x 7 4 25 – x 2 6 x 25 – x B A C 9 7 Temos que x=y 2 ⇒ y = 2x e n o de pacientes = 75 ⇒ 75 = 25 – x + 9 + 2 + x + 7 + 6 + 25 – x + y = 74 + x ⇒ x = 1 08 C
Como existem mulçumanos que não são árabes → T – (A ∪ M) = conjunto de pessoas que não são árabes nem mulçumanos.
09 B
I. Chamaremos o total de pessoas de x. II. Leem A notícia = x
2. III. Leem O informativo = x
3. IV. Leem os dois = x
6. V. Temos o diagrama: x x x 2 6− 3 = x6 x x x 3 6− 6 = N I a x x x x a x x x a x x a a x x x a x = + + + = + + ⇒ = + = = = ⇒ = 3 6 6 2 2 6 4 6 4 6 2 6 3 10 D
Pelo diagrama de Venn:
I. Basta somar os valores: 500 II. 142 + 115 = 257 III. 20 + 5 + 23 + 36 = 84 IV. 20 = 4% de 500 V. 98 = 19,6% de 500 20 5 36 23 A B C 61 142 98 115 01 E
Se a família obteve x quilogramas de latas de alumínio e y quilogramas de garrafas de plástico, resulta, de acordo com o enunciado, que:
y x x y y x x x y x = + = ⇔ = + ⋅ = ⇔ ⇔ = 2 2 90 0 17 16 20 2 2 90 0 17 2 16 20 2 3 , , , , , , ,,24 16 20, 5 10 x x y = ⇔ = =
Portanto, foram 10 quilogramas de plástico.
02 C Temos os conjuntos: I. A = [–1; 3) = –1 3 II. B = [1; 4] = 1 4 III. C = [2; 3) = 2 3 IV. D = (1; 2] = 1 2 V. E = (0; 2] = 0 2 VI. A ∪ B = –1 4 VII. C ∩ D = 2 VIII. (A ∪ B) – (C ∩ D) = –1 2 4 IX. [(A ∪ B) – (C ∩ D)] – E = 2 0 –1 4 03 C
Sendo a, b, c e d, respectivamente, as quantidades de conceitos A, B, C e D que Calvin tirou, temos:
d b c a a b c d d b c a b a = = + + + + = ⇒ = = + = − 5 10 50 10 5 400 5 10 70 11 3
Aula 14
Conjuntos numéricos
01 C
I. B = {x ∈ Q / x2 = 2} ⇒ B = ∅
II. A = {x ∈ Z / –2 < x < 3} ⇒ A = {–2; –1; 0; 1; 2} III. C = {x ∈ N / 1 < x < 4} ⇒ C = {1; 2; 3}
02 A
Sejam V, E e D, respectivamente, as quantidades de vitó-rias, empates e derrotas dessa equipe no campeonato. Do enunciado, temos: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 3 E D V E D J V E J V E P E P V = + + = ∴ + = ⋅ + ⋅ = ∴ = −
Da duas igualdades anteriores, segue que: V + 2 · (P – 3V) = J
V + 2P – 6V = J
–5V = –2P + J ∴ V=2P J− 5
03 D
Sejam x e y as quantidades iniciais de mulheres e homens, respectivamente, presentes na festa. Após a retirada de 31 mulheres, sobram x – 31 mulheres e y homens e, depois, com a saída de 55 homens, sobram x – 31 mulheres e y – 55 homens. Temos: y x x y x y − − − = − ⇒ = = 2 31 31 3 55 64 66 ( ) ( )
Logo, incialmente havia 130 pessoas na festa. Como b≥ ⇔0 70 11− a≥ ⇔ ≤0 a 70⇔ ≤a
11 6. Sendo a um número par, temos:
• a= ⇒ =0 b 70∉N 3 • a = 2 ⇒ b = 16 • a= ⇒ =4 b 26∉N 3 • a= ⇒ = ∉6 b 4 N 3
Logo b = 16, que é um quadrado perfeito.
04 A
Cada galão tem capacidade de 3,8L, como foram 50 galões: 50 · 3,8 = 190L
Sabemos que um dólar, durante a semana da viagem, valia 1,60 real e que o turista teve um custo total de 152 dólares, então: 152 · 1,6 = 243,2 reais
Dividindo o gasto total em R$ pela quantidade total de litros, temos o valor em R$/L:
243 2 190 1 28 , , = R$/L
Atividades Propostas
04 B Sejam:x o número de candidatos que se declaram na primeira situação;
y o número de candidatos que se declaram na segunda situação;
z o número de candidatos que se declaram na terceira situação. Temos: y z x z x y + = + = + = 800 1200 1500
Somando membro a membro, temos:
2x + 2y + 2z = 3500 e, portanto, x + y + z = 1750.
05 B
Das informações do enunciado, o volume de água neces-sário para abastecer toda a população do planeta por um ano, em litros, é:
7.000.000.000 · 150 · 365 = 7 · 109 · 1,5 · 102 · 3,65 · 102 =
≅ 38,3 · 1013
≅ 3,83 · 1014
Ou seja, está entre 1014 e 1015.
06 D
Em 1 hora = 3600 segundos, a quantidade máxima de voos que irão decolar, respeitando a norma, é de 1 3600
45 81 + = . Assim, para a regra não ser respeitada, é suficiente que: Q = 100.
07 D
Como houve 10 provas, foram distribuídas 10 medalhas de ouro, 10 medalhas de prata e 10 medalhas de bronze. Da tabela, concluímos que:
x + 2y + x = 10 ∴ 2x + 2y = 10 (1) x + y + z = 10 (2)
Como a equipe III obteve 18 pontos, temos, da tabela, que 3x + 2y + z = 18 (3)
Das igualdades em (1), (2) e (3), resulta o sistema: 2 2 10 10 3 2 18 x y x y z x y z + = + + = + + =
Resolvendo esse sistema, obtemos x = 3, y = 2 e z = 5. Número de pontos da equipe I: 3x + 2z + 1 x = 22 Número de pontos da equipe II: 3(2y) + 2x + 1y = 20 Número de pontos da equipe III: 18
08 D
I. Temos o número AB.
II. Se invertermos a ordem para BA, temos que BA > AB, com isso temos B > A.
III. A + B = soma dos algarismos é um quadrado perfeito. IV. AB = 10A + B A = 10B + A BA = AB + 27 10B + A = 10A + B + 27 9B – 9A = 27 9(B – A) = 27 B – A = 3, confirma que B > A.
V. Como A + B = quadrado perfeito e B – A = 9, então temos B = 6 e A = 3.
09 D
Em reais, cada broa custou a Luiz a importância de 5 25 5 1 05 ,
, . = Pelas duas broas cedidas, José, que recebeu R$2,45, deve-ria ter recebido R$2,10. Pelas três broas, Geraldo recebeu R$5,25 – R$2,45 = R$2,80, mas deveria ter recebido R$3,15. Portanto, Geraldo deveria ter recebido R$0,35 a mais, pois R$2,80 + R$0,35 = R$3,15.
10 D
Para n = 11, temos as seguintes passagens:
11→ 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.