MODELO DE SELEÇÃO DE PORTFOLIO USANDO FUNÇÃO DE UTILIDADE

MODELO DE SELEÇÃO DE PORTFOLIO USANDO FUNÇÃO DE

UTILIDADE

Renata Patrícia L. Jeronymo M. Pinto

Universidade Federal da Paraíba Departamento de Estatística

João Pessoa, PB – Brasil renata@de.ufpb.br

Roberto Quirino do Nascimento

Universidade Federal da Paraíba Departamento de Estatística

João Pessoa, PB – Brasil quirino@de.ufpb.br

RESUMO

Neste trabalho apresentamos um modelo de seleção de portfolio usando função de utilidade, onde o modelo encontrado é um modelo de programação quadrática mista. Usamos a técnica de Branch and Bound para obter a solução e fazemos uma aplicação para um portfolio composto de doze ativos comprados e vendidos no mercado brasileiro comparando o resultado obtido com a seleção de portfolio proposta por Markowitz.

PALAVRAS-CHAVE. Função Utilidade, Risco, Desvio Utilidade

Área Principal: Programação Matemática, Economia e Finanças

ABSTRACT

In this work, we present a portfolio selection model using a utility function, where the model found is a model of mixed quadratic programming. We use the technique of Branch and Bound for the solution and make an application for a portfolio composed of twelve assets bought and sold in the Brazilian market by comparing the result with the portfolio selection model proposed by Markowitz.

KEYWORDS. Utility Function, Risk, Utility Deviation

1. Introdução

Riscos estão normalmente associados a possíveis perdas financeiras ou a possibilidade de não se atingir um nível de remuneração compatível com o investimento. A eliminação total de riscos pode ser economicamente inviável ou mesmo impossível. Por outro lado, situações de risco podem oferecer grandes oportunidades de ganho. Na área financeira decisões referentes à alocação de recursos são encaradas em um contexto de risco-retorno, ou seja, decisões que envolvem um maior nível de risco só são aceitas se proporcionarem maiores retornos. Existem diversas abordagens de avaliação de risco universalmente utilizadas, como:

• Variância dos Retornos; • Downside risk;

• Arrependimento; • Value at Risk.

A idéia de classificação das carteiras de ativos surgiu com a incorporação do risco, que se iniciou com o modelo de média-variância de Markowitz (1952). Se o retorno esperado de uma carteira é tanto maior quanto o seu risco, então o uso de alguma medida de risco na avaliação permite verificar quanto do retorno proporcionado pelo gestor vem do seu profissionalismo, quanto vem da casualidade dos critérios e quanto vem do risco assumido para obtê-lo.

A utilização dos critérios de média-variância se desenvolveu simultaneamente com o modelo tradicional Capital Asset Pricing Management – CAPM, em 1964. Treynor (1966), Sharpe (1966) e Jensen (1968) foram pioneiros em reconhecer a importância do modelo para avaliar o desempenho dos investimentos, através da relação retorno e risco.

O conceito do modelo tradicional está associado ao equilíbrio de forma que os investidores demonstram comportamento do tipo média-variância. Para Sharpe (1964), no modelo CAPM, os investidores escolhem seu portfolio ideal maximizando uma função utilidade que depende apenas do critério média-variância do retorno do portfolio.

Nas últimas décadas, grandes esforços foram realizados em duas vertentes na área de medidas de risco: (i) criar medidas de risco com propriedades desejáveis para problemas de decisões multi-período, e (ii) encontrar formulações mais eficientes para essas medidas de forma a proporcionar uma maior eficiência neste tipo de problema, que por natureza já são demasiadamente complexos de serem resolvidos. Entretanto, poucos trabalhos foram realizados no sentido de estabelecer a conexão entre teoria de utilidade e essas atuais medidas de risco, como exemplo podemos citar Leone (2004) e Leone, Nascimento, Leone e Oliveira (2007).

Este trabalho consiste em fazer uma pequena alteração no modelo proposto por Leone (2004) e solucioná-lo usando a metodologia de Programação Quadrática Mista com o Método de Branch and Bound ao invés da técnica de Programação Geométrica Signomial utilizada pelo autor. O portfolio selecionado com esta metodologia será comparado com o obtido através do Modelo de seleção de portfolio de Markowitz para uma carteira composta de doze ativos comprados e vendidos no mercado brasileiro.

O artigo está estruturado em sete seções, incluindo esta introdução. Nas três seções

seguintes apresentamos o referencial teórico que norteia este trabalho; na seção 5 apresentamos o modelo desenvolvido por Leone (2004) como também a nossa proposta para este modelo. Em seguida, tem-se a análise dos dados e as considerações finais deste estudo.

2. Problema de Seleção de Portfolio - Modelo de Markowitz

O problema de Markowitz fornece o fundamento para a teoria de investimento para um período. O problema trata explicitamente da relação entre a taxa de retorno esperada e a variância da taxa de retorno de um portfolio. Uma vez que o problema de Markowitz é formulado, ele pode ser resolvido numericamente para obter uma solução numérica específica.

Suponha um portfolio composto por N ativos A₁

,

_K

,

A_Ncom taxas de retorno médio N

r

r₁

,

_K

,

, respectivamente. Deseja-se determinar a proporção de capital , , que

minimize o risco total do portfolio:

i

x

i=1,_K,N Minimize

∑ ∑

= = N i N j ij j i

x

x

1 1

2

1

_σ

Sujeito a: r r x N i i i =

∑

=1 1, 1 =

∑

= N i i x

w

_i

≥

0

onde:

r é o retorno esperado do portfolio; e

ij

σ é a covariância entre os retornos dos ativos A i , eAj i, j=1,K,N.

Este problema assume como risco a variância do portfolio e se resume ao caso em que temos apenas um período. O modelo garante um retorno esperado com risco mínimo, porém não garante que todos os ativos terão retorno satisfatório, ou seja, pode existir algum ativo no modelo com retorno abaixo do retorno esperado.

O modelo de Markowitz foi uma inovação brilhante na ciência de seleção de portfolio, pois mostrou que todas as informações necessárias para escolher o portfolio ótimo para qualquer nível de risco determinado estão contidas em três estatísticas simples: média, desvio-padrão e correlação.

3. A Função de Utilidade

“Função de utilidade” é a ordenação dos benefícios que estão disponíveis a uma pessoa, de acordo com a satisfação que esses lhe trarão.

Em um jogo, o resultado é incerto, desconhecido. A informação disponível permite apenas inferir as probabilidades dos eventos favoráveis e desfavoráveis. Na teoria da probabilidade, o valor esperado ou esperança matemática fornece o lucro esperado caso seja positiva, ou o prejuízo esperado caso seja negativa. Em jogos de azar, por exemplo, a esperança sempre é negativa para o jogador e positiva para a banca. Ao jogador cabe buscar uma estratégia que torne a sua esperança de lucro a maior possível.

Entretanto, pode-se dizer que existem diferentes perfis de jogadores. Uns preferem arriscar-se mais a perder se isso trouxer a possibilidade de altos ganhos. Outros preferem arriscar-se menos a perder, mesmo que isso signifique um menor lucro.

A função utilidade de um jogador expressa o seu perfil de aversão ao risco. Por exemplo, quando o gerente de um banco infere sobre o perfil de investidor de um cliente (agressivo, arrojado ou conservador), na verdade, está sendo analisada a função utilidade que caracteriza esse cliente como investidor.

Quando se deseja então buscar uma estratégia de jogo otimizada que leve em conta o perfil do jogador, não se busca maximizar a esperança dos pontos adquiridos, mas a esperança da função utilidade, que é uma função dos pontos.

A função de utilidade modela as atitudes de risco subjetivo do investidor individual. Conseqüentemente, investidores individuais podem diferir em seu grau de aversão ao risco. Assim, um investidor pode ser extremamente avesso ao risco, enquanto que outro pode apresentar menor aversão ao risco. As funções de utilidade constituem-se numa classe especial de funções preferenciais. Segundo Baron (1977), as funções devem satisfazer um grupo de

axiomas garantindo que o indivíduo possa exibir um comportamento racional e consistente. Mesmo dentro da classe de funções de utilidade, uma grande variedade de formas funcionais possíveis estão disponíveis, cada uma com características diferentes.

4. Risco baseado em Utilidade

Nesta seção apresentaremos a metodologia desenvolvida por Leone (2004) para o cálculo do risco baseado em uma função utilidade parametrizada pela média dos retornos e pelo desvio-padrão do índice de mercado.

Definição 1: O padrão amostral (ou populacional) de referência é um desvio-padrão amostral (ou populacional) representativo do mercado em que está inserida a amostra.

Definição 2: Uma amostra Aé dita Amostra Referencial Válida se:

1. X +6

σ

>0

2.

P

( )

Y

≥

90

%

, onde

Y

=

{

X

_i

∈

A

;

X

_i

+

6

σ

>

0

,

i

=

1

,

_K

,

n

}

onde:

n

é o número de observações na amostra;

i

X

é uma observação de A;

X

é a média da amostra;

σ

é o desvio-padrão amostral de referência; e

( )

Y

P

é a probabilidade associada ao conjunto Y.

Definição 3: A Função-Utilidade definida em A é dada por:

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

σ

σ

ρ

6

6

ln

X

X

X

U

i onde: i

X

é uma observação de A;

X

é a média da amostra referencial válida;

σ

é o desvio-padrão amostral de referência; e

ρ

é um parâmetro positivo que depende do perfil do investidor, apenas quanto ao risco.

Definição 4: A Variância-Utilidade é o número real dado por:

(

)

n

X

X

d

VAR

n i i U

∑

=

=

1

,

onde:

n

é o número de observações da amostra para as quais a função de utilidade está bem definida,

isto é, as observações em que o logaritmo existe; e

(

) (

)

X

A

X

X

X

X

X

X

d

i i i i

⎟

∀

∈

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

−

=

,

6

6

ln

,

2 4

σ

σ

e

ρ

=1

Definição 5: O Desvio-Utilidade é a raiz quadrada da Variância-Utilidade, ou seja,

U

VAR

DU

=

Definição 6: A Covariância – Utilidade entre duas amostras referenciais válidas A e Bé dada por:

(

)

(

)

(

)

n

X

X

X

X

X

X

X

X

B

A

COV

B B i B B i n i A A i A A i U

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

−

=

∑

=

σ

σ

σ

σ

6

6

ln

6

6

ln

,

2 1 2 onde: A i

X é uma observação da amostra referencial válida A;

A

X

é a média da amostra referencial válida A;

B i

X é uma observação da amostra referencial válida B;

B

X

é a média da amostra referencial válida B;

σ

é o desvio-padrão amostral de referência; e

n

é o número de produtos bem definidos (para os quais a função utilidade é definida em ambas

as amostras).

Definição 7: A Correlação-Utilidade entre duas amostras referenciais válidas A e Bé dada por:

(

)

(

)

B A U U

DU

DU

B

A

COV

B

A

COR

×

=

,

,

onde:

(

A

B

COV

U

,

) é a covariância-utilidade entre as amostras referenciais válidas

A e B; e

A

DU

e

DU

_B são, respectivamente, os desvios-utilidade das amostras referenciais válidas A

e B.

5. Modelo Proposto

Considere um portfolio constituído de

N

ativos

A

1

,

K

,

A

N.

Sejam o capital total disponível para se investir no portfolio e o preço do ativo

, .

0

C

X

_i

i

A

i=1,_K,N

A taxa de retorno

R

_ido ativo

A

_i, i =1,_K,N é definida como:

i i i i

X

X

X

R

=

+1

−

, i=1,_K,N

Leone (2004) propõe um modelo para a seleção de uma carteira de investimentos que maximize o retorno, levando em conta o risco e a maior aversão a desvios negativos do que a desvios positivos, acrescido da componente utilidade. O modelo maximiza a seguinte função objetivo:

(

)

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − +

∑

∑

∑∑

= = = ≠ N i Sr U N i j i j j i i i N i i i i x x DU x DU x DU COR i j R R C 1 1 2 1 2 2 1 0

ρ

1

ρ

, sujeito a: 0 1 C y x N i i i ≤

∑

= i i i i

y

x

C

y

b

≤

≤

₀ ,

∀

i

+

∈ R

x

_i ;

y

_i

∈

{ }

0

,

1

,

∀

i

onde: i

R

é o retorno do ativo

A

_i, i=1,_K,N; i

DU

é o desvio-utilidade do ativo

A

_i, i=1,_K,N ; e

(

i

j

COR

_U

,

)

é a correlação entre os ativos

A

_i e A_j,

i

≠

j

; O modelo proposto minimiza a função objetivo:

(

)

(

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

−

∑

∑

∑∑

= ≠ = =

j

i

COR

DU

x

DU

x

DU

x

y

x

R

_U N i j i j j i i i N i i i i N i i

,

1

1 2 1 2 2 1 1

ρ

ρ

)

sujeito a: 0 1 C x N i i ≤

∑

= i i i i

y

x

C

y

b

≤

≤

₀ ,

∀

i

+

∈ R

x

_i ;

y

_i

∈

{ }

0

,

1

,

∀

i

Este modelo seria um problema de programação quadrática clássico se não tivéssemos as

variáveis binárias. No entanto, com a existência dessas variáveis usaremos uma estratégia

do tipo Branch and Bound para resolver este problema. i

y

6. Resultados Computacionais

O portfolio é composto por doze ativos comprados e vendidos no mercado brasileiro e a coleta de dados foi realizada no período de 10 de maio de 2004 a 16 de maio de 2005, tendo assim um total de 256 observações para cada ativo. Para cada ativo anotou-se diariamente, no período indicado, o preço de fechamento do ativo.

Para cada um dos ativos que compõe o portfolio verificou-se que os mesmos satisfazem a condição de Amostra Referencial Válida.

A Tabela 1 a seguir apresenta o desvio-padrão e o desvio-utilidade da taxa de retorno para os doze ativos que compõem o portfolio.

Tabela 1 – Desvio-Padrão e Desvio-Utilidade da Taxa de Retorno

Ativo Desvio -Padrão Desvio-Utilidade

Vale do Rio Doce 0,02250 0,00273

Bradesco 0,01958 0,00153 Ambev 0,01591 0,00111 Embratel 0,03174 0,04543 Petrobrás 0,01858 0,00207 Eletrobrás 0,03209 0,06568 Acesita 0,02300 0,00513 Ipiranga 0,02306 0,00413 Itaú 0,01824 0,00124 Telemar 0,01875 0,00129 Sadia 0,01989 0,00222 Bombril 0,03409 0,01115

Para o cálculo da função-utilidade da definição 3, usou-se como desvio-padrão

referencial a média dos desvios-padrões dos ativos que compõem o portfolio e

ρ

=1.

Observa-se na Tabela 1 acima que o desvio-utilidade é maior que o desvio-padrão em apenas dois dos ativos que compõem o portfolio: Embratel e Eletrobrás, sendo nos demais sempre menor.

A escolha dos ativos da carteira que serão selecionados tanto pelo modelo proposto como pelo modelo de Markowitz podem ser vistos na Tabela 2 a seguir.

Tabela 2 – Seleção dos Ativos que compõem o portfolio

Ativo Modelo de Markowitz Modelo Proposto

Vale do Rio Doce -

-Bradesco 0,078 -Ambev - -Embratel 0,017 -Petrobrás - 0,546 Eletrobrás 0,410 0,010 Acesita 0,147 0,161 Ipiranga - 0,266 Itaú 0,025 -Telemar 0,268 0,017 Sadia 0,056 -Bombril -

-Observa-se a Tabela 2 acima que o Modelo de Markowitz seleciona 7 (sete) dos ativos que compõem o portfolio: Bradesco, Embratel, Eletrobrás, Acesita, Itaú, Telemar e Sadia, alocando 41% do capital na Eletrobrás seguido da Telemar (26,8%) e da Acesita (14,7%). Por outro lado, o modelo por nós proposto seleciona apenas 5 (cinco) ativos do portfolio: Petrobrás, Eletrobrás, Acesita, Ipiranga e Telemar, alocando 54,6% do capital na Petrobrás seguido da Ipiranga (26,6%) e da Acesita (16,1). Enquanto o Modelo de Markowitz coloca a Embratel com a maior participação no portfolio, o modelo proposto aloca apenas 1% do capital neste ativo.

7. Bibliografia

Baron, D. P. (1977), On the utility theoretic foundations of mean-variance analysis, Journal of

Financial Economics, 1683-1697.

Jensen, M. (1968), The performance of Mutual Funds in the period 1945-64, Journal of

Finance, V. 23, N. 2, 389-416.

Leone, R. J. G. (2004), Modelagem e Otimização de um Sistema de Telecomunicação sem fio e de uma Carteira de Investmentos, Tese de doutorado em Engenharia de Sistemas e Computação, COPPE/UFRJ.

Leone, R. J. G., Nacimento, R. Q., Leone, G. G., Oliveira, P. (2007), Proposta de Mensuração de Risco baseado em Utilidade, Revista Contabilidade & Finanças, Volume 18, Número 44, 23-31.

Luenberger, D. G., Investment Science, Oxford University Press, New York., 1998.

Markowitz, H. M. (1952), Portfolio Selection, Journal of Finance, 7 (1): pages 77-91, March.

Sharpe, W. F. (1964), Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, Journal of Finance, 19, 425-442, 1964.

Sharpe, W. F. (1966), Mutual Fund Performance, Journal of Business, 39, January, 119-138, 1966.

Treynor, J. (1966), How to rate management investment funds, Harvard Business Review, V. 43, 63-75.