PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA FUZZY APLICADA AO PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO DE RESÍDUOS DA COLHEITA DE CANA-DE-AÇÚCAR

PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA FUZZY APLICADA AO PROBLEMA DE

MINIMIZAÇÃO DE RESÍDUOS DA COLHEITA DE

CANA-DE-AÇÚCAR

Luiza Amalia Pinto Cantão1 Departamento de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista – UNESP Av. Três de Março, 511, 18087-180, Sorocaba – SP

luiza@sorocaba.unesp.br

Maria Márcia Pereira Sartori Faculdade Eduvale de Avaré – EDUVALE

Av. Prefeito Misael Euphrásio Leal, 265 – Jardim América Cep 18.705-050 - Avaré - SP

msartori@btu.flash.tv.br

Renato Fernandes Cantão

Thorus Scisoft Tecnologia da Informação Ltda.

Estrada da Telebrás/UNICAMP, km 0,97 – Cidade Universitária. CEP 13081-970 – Campinas – SP

cantao@thorus-scisoft.com.br

Resumo

Um problema de grande interesse agronômico, econômico e ambiental é o do tratamento da biomassa residual resultante da colheita da cana-de-açúcar. Este problema pode ser formulado como um problema de Programação Linear, porém, devido às incertezas inerentes aos seus dados, propomos a utilização de técnicas de Programação Matemática Fuzzy que levam em conta estas incertezas na modelagem.

Palavras Chave: Programação Matemática Fuzzy, Biomassa Residual. Abstract

A problem of great environmental concern is the treatment of biomass residues resulting from the sugarcane crop. This problem can be formulated as a Linear Programming one, but, due to the inherent uncertainties of its data, we propose a new approach through Fuzzy Mathematical Programming techniques, that naturally take into account those uncertainties.

Keywords: Fuzzy Mathematical Programming, Biomass residues.

INTRODUÇÃO

A Programação Matemática Fuzzy (apresentada por [BZ-1970]) busca a resolução de problemas com dados imprecisos. Estas características podem ocorrer em diversas áreas de conhecimento que envolvam uma formulação matemática e pouco conhecimento sobre os dados estudados, incluindo naturalmente a de Problemas Ambientais. Neste sentido, será apresentado aqui o problema de Minimização de Resíduos da Colheita de Cana-de-Açúcar que possui incerteza nos dados do problema, uma vez que estes dados foram obtidos por uma média estatística de curto prazo.

Os resíduos da colheita de cana-de-açúcar crua, ponteiro, palha e folha, podem ser chamados de palhiço. Atualmente, devido à redução das queimadas, pesquisadores e produtores têm buscado a

1

maneira mais produtiva, econômica e eficaz para o aproveitamento desse material, uma vez que se estima uma produção de 54 a 108 milhões de toneladas por ano, vide [RIP-1991] e [SL-2000].

Com o aumento das exportações do açúcar, com a criação de veículos bicombustíveis e com a alta do petróleo, o álcool hidratado ganha espaço no mercado e amplia gradativamente a produção de cana e, por conseqüência, o aumento de palhiço nas lavouras.

Segundo [Cru-2002], mesmo com a prorrogação da lei do fim da queimada de cana para 2030, a mecanização da colheita de cana cresce a cada safra, propiciando também o aumento da biomassa residual de colheita da cana. Sem as queimadas e com o maior acúmulo de palhas sobre o solo criam-se condições favoráveis para o aparecimento da cigarrinha da raiz e também o atraso da brota da cana, comprometendo assim a próxima safra.

Conforme [SFBL-2001], na tentativa de minimizar o impacto ambiental e as influências causadas na produtividade e, conseqüentemente, na lucratividade das empresas sucroalcooleiras, pesquisadores têm persistido na escolha da variedade que derive palhiços com maior poder calorífico e com um menor custo de coleta e transporte, sem perder as características de produção.

A escolha certa da variedade de cana-de-açúcar para o plantio é uma tarefa difícil, pois depende de um conjunto de informações fundamentais sobre os fatores agronômicos e industriais, bem como da interação de todos os fatores bióticos, abióticos, administrativos e econômicos, vide [PGMC-1999]. Os dados do palhiço podem ser mais uma opção para escolha das variedades, porque possibilitam melhores resultados econômicos e auxiliam na implantação desse resíduo no sistema de produção.

Observa-se em [SFBL-2001] que a escolha de variedades para o plantio da cultura de cana-de-açúcar pode ser auxiliada por modelos matemáticos de otimização. Com o aproveitamento do palhiço, além do potencial energético desta biomassa, tem-se como vantagens as questões ambientais, a manutenção de empregos e a projeção de vida limitada para os recursos energéticos de fontes naturais [ECP-1998].

Neste trabalho apresentaremos a formulação do problema estudado, os recursos da programação matemática fuzzy usada para resolvê-lo e os resultados obtidos.

O

M

ODELO DE

B

IOMASSA

R

ESIDUAL DE

C

OLHEITA

O modelo apresentado aqui, segundo [SH-2002], tem por objetivo minimizar a biomassa residual em função da escolha de variedades (1.a) adaptáveis ao tipo de solo. A primeira restrição leva em consideração a área disponível para plantio (1.b); a segunda restrição a produção de sacarose que deve, no mínimo, ser igual à produção média entre as variedades pré-selecionadas (1.c); a terceira restrição, a média de produção de energia disponível nessa biomassa (1.d) e finalmente a restrição (1.e) exige a positividade das variáveis. O modelo segue abaixo:

Minimizar

a

1

x

1

+

a

2

x

2

+

L

+

a

n

x

n (1.a) Sujeito a

x

1

+

x

2

+

L

+

x

n = b (1.b)

γ

1

x

1

+

γ

2

x

2

+

L

+

γ

n

x

n

≥

b

γ

(1.c) n n

x

x

x

β

β

β

_{1 1}

+

_{2 2}

+

_L

+

≥

b

β

(1.d) n

x

x

x

₁

,

₂

,

_K

,

≥

0 (1.e) onde:

• n (

i

=

1

,

2

,

_K

,

n

): variedades de cana-de-açúcar que fazem parte do sistema; •

a

_i: produtividade média do resíduo de colheita para a variedade i, em t.ha-1; •

x

_i: variável que determina a área para o plantio da variedade i, em hectare; •

•

β

: produção média de energia, entre as variedades, em kj. ha-1; •

β

_i: produção média de energia para variedade i, kj. ha-1.

Os dados para a aplicação do modelo da Biomassa Residual foram obtidos de [SFBL-2001], [SF-2002] e [SL-2000]. Eles foram tomados dos experimentos desenvolvidos no Departamento de Ciências Ambientais (FCA – UNESP – campus de Botucatu/SP), através da monitoração de uma área de 6000 ha reservada para o plantio em uma fazenda em Paraguaçú Paulista – SP. As variedades disponíveis da cana-de-açúcar seguem na Tabela 1. Os dados de biomassa residual foram determinados para quatro cortes da cana-de-açúcar (a energia dessa biomassa foi determinada sobre o PCU – poder calorífico útil).

Variedade

x

i Sacarose (pol.ha

-1 ) Energia (kj. ha-1) Resíduo (t. ha-1) SP791011 71,32 42740948 96276,63 RB835486 69,20 37732451 83822,78 RB72454 76,96 44447978 94895,03 RB855113 77,00 53382634 119820,9 RB855536 69,28 49053767 107599,9

Tabela 1: Dados médios do teor de sacarose, energia média e quantidade de resíduo da cana-de-açúcar para cada variedade em quatro cortes.

PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA FUZZY –PARÂMETROS FUZZY

Um problema de Programação Matemática Fuzzy (PMF) pode apresentar incertezas em seus dados (ou coeficientes) e nos permite um tratamento mais próximo da realidade que o envolve. Neste trabalho estamos interessados no seguinte problema de PMF Linear:

Minimizar

a

x

a

x

a

n

x

n

~

~

~

2 2 1 1

+

+

L

+

(2.a) Sujeito a

x

1

+

x

2

+

L

+

x

n = b (2.b)

γ

~

₁

x

₁

+

γ

~

₂

x

₂

+

_L

+

γ

~

_n

x

_n >~

b

( )

γ

~

(2.c) n nx x x

β

β

β

~1 1 + ~2 2 +L+ ~ >~

( )

β

~

b

(2.d) n

x

x

x

₁

,

₂

,

_K

,

≥

0 (2.e)

O símbolo ‘~’ indica onde está a incerteza do problema. Note que

a

~

_i,

γ

~

_i e

β

~_i são números fuzzy,

( )

γ

~

e

( )

β

~

representam o valor médio dos números

γ

~

_i e

β

~_i, respectivamente, para

n

i

=

1

,

2

,

_K

,

e >~ estabelece a relação entre os dois lados das restrições com números fuzzy.

Cada número fuzzy está associado a uma função de pertinência. Uma função de pertinência é denotada por:

]

1

,

0

[

~

=

ℜ

→

c

μ

,

onde c~representa o elemento (ou conjunto) fuzzy. A função de pertinência que usaremos aqui modela os números fuzzy do problema (2) como números fuzzy triangulares:

(

c c c

)

c , ,

~ =

onde

~

c

∈ F

(

ℜ

)

é um número fuzzy,

F

(ℜ

)

é o conjunto fuzzy sobre ℜ, c é o valor modal (valor máximo da função de pertinência associada), c é o espalhamento à esquerda do valor modal e

c

o espalhamento à direita do valor modal. Assim a função de pertinência para o número fuzzy é dada por:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

+

∈

+

+

−

−

∈

−

−

=

contrário

caso

0

)]

(

,

[

se

)

(

]

),

[(

se

)

(

)

(

~

x

a

a

a

a

a

a

x

a

a

a

x

a

a

a

x

x

c

μ

(3)

Note que, um conjunto

α

-corte é denotado por:

μ

_c~α

(

x

)

=

{

x

∈

F

(

ℜ

)

tal

que

μ

~_c

(

x

)

≥

α

}

, para

]

1

,

0

[

∈

α

.

Se escrevermos a função inversa de (3) na forma de intervalo e usando o conceito de

α

-corte, temos:

[

(

),

(

)

]

[

,

]

(

)

~

2 1

∈

ℜ

=

+

+

−

−

+

=

c

c

c

c

c

c

c

c

F

c

_α

α

α

α α (4) onde

c

1α e α 2

c

representam a parte crescente e decrescente de

μ

~_c

(

⋅

)

, respectivamente,

∀

α

∈

[

0

,

1

]

. O problema (2) apresenta a função objetivo (2.a) e as restrições (2.c) e (2.d) com coeficientes fuzzy. Uma maneira de tratar este problema de PMF é reescrevendo-o como:

n n

x

a

x

a

x

a

~

_{1 1}

+

~

_{2 2}

+

_L

+

~

>~ b~₀ (4.a) n

x

x

x

1

+

2

+

_L

+

= b (4.b)

γ

~

₁

x

₁

+

γ

~

₂

x

₂

+

_L

+

γ

~

_n

x

_{n >~}

_b

( )

γ

~

(4.c) n nx x x

β

β

β

~1 1 + ~2 2 +L+ ~ >~

( )

β

~

b

(4.d) n

x

x

x

1

,

2

,

K

,

≥

0 (4.e)

onde a função objetivo (2.a) entra no conjunto de restrições (4.a), devendo ser pelo menos igual (aproximadamente) a um valor 0

~

b . As restrições (4.a), (4.c) e (4.d) apresentam desigualdades fuzzy que podem sofrer uma violação:

) 1 ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 0 2 2 1 1x +a x + +a x >b −t −

α

a L n n (4.a’) ) 1 ( ~ ) ~ ( ~ ~ ~ ~ 1 2 2 1 1

γ

γ

γ

α

γ

x + x +L+ nxn > b − t − (4.c’)

)

1

(

~

)

~

(

~

~

~

~

2 2 2 1 1

β

β

β

α

β

x

+

x

+

L

+

n

x

n

>

b

−

t

−

(4.d’) 0

~

t

, 1 ~ t e 2 ~

t são números fuzzy dados pelo decisor de acordo com seus interesses para a violação das restrições, para

α

∈

(

0

,

1

]

. Desta maneira, o problema (4) passa a ser tratado como:

Maximizar

α

(5.a) Sujeito a

a

x

a

x

a

n

x

n

~

~

~

2 2 1 1

+

+

L

+

>~ (1 ) ~ ~ 0 0 − t −

α

b (5.a’) n

x

x

x

1

+

2

+

L

+

= b (5.b)

γ

x

γ

x

γ

n

x

~

~

~

2 2 1 1

+

+

L

+

>~

( )

(

1

)

~

~

1

α

γ

− t

−

b

(5.c) n nx x x

β

β

β

~1 1+ ~2 2 +L+ ~ >~

( )

~

(

1

)

~

2

α

β

− t

−

b

(5.d) n

x

x

x

1

,

2

,

K

,

≥

0 (5.e)

]

1

,

0

(

∈

α

(5.f)

Note que minimizávamos a função objetivo (2.a) e esta foi incorporada ao conjunto de restrições, desde que obtivesse um valor aproximadamente igual a 0

~

b (restrição (4.a)). Agora esta função é dada por (5.a’) e desejamos maximizar a pertinência

α

. Ou seja, desejamos obter o seguinte conjunto de

onde

μ

₀

(

⋅

)

,

μ

₁(⋅) e

μ

₂(⋅) são as funções de pertinência associadas as restrições (5.a’), (5.c) e (5.d), respectivamente. Este tratamento é baseado em [BZ-1970].

De [CV-1989], para estabelecer uma relação entre o lado esquerdo e direito de cada desigualdade fuzzy podemos deffuzzificar os números fuzzy através de uma função

g

(⋅

)

de maneira a obter um valor ordinário correspondente, ou seja,

g

: F

(

ℜ)

→

ℜ

. Ou ainda, através de uma função que nos garanta:

) ~ ( ) ~ ( ~ ~ ~ 2 1 2 1 c g c g c c > ⇒ ≥ (7)

A função utilizada para resolver o problema aqui apresentado utiliza um parâmetro

k

∈

[

0

,

1

]

, tal que :

}

)

(

que

tal

max{

)

~

(

c

x

~

x

k

g

k

=

μ

c

≥

(8)

De acordo com esta função, se o decisor estabelecer um valor para k, então:

2 1 ~

~

~ _c

c > , com

k

∈

[

0

,

1

]

fixo, implica

g

k

(

c

~

1

)

≥

g

k

(

c

~

2

)

(9) Em particular, se os números fuzzy c~1 e ~c2 estão associados a uma função de pertinência triangular,

então (8) pode ser dado por:

2 2

1

1 (1 k)c kc (1 k)c

kc + − ≥ + − (10)

De (10), o problema (5) é reescrito como um problema de Programação Matemática clássico:

Maximizar

α

(11.a) Sujeito a

(

)

i n i i

ka

x

a

k

∑

=

+

−

1 1

)

1

(

≥

(

1

−

k

)

b

₀

+

kb

₀

−

(

(

1

−

k

)

t

₀

+

kt

₀

)(

1

−

α

)

(11.a’) n

x

x

x

₁

+

₂

+

_L

+

= b (11.b)

(

)

n i i i

k

x

k

∑

=

+

−

1

)

1

(

γ

γ

_>~

₍

₁

−

_k

₎

_b

( )

γ

+

_kb

( ) (

γ

−

₍

₁

−

_k

₎

_t

₁

+

_kt

₁

)(

₁

−

α

)

(11.c)

(

)

i n i i i

k

x

k

∑

=

+

−

1

)

1

(

β

β

>~ ₍₁−_k)b

( )

β

+_kb

( ) (

β

− ₍₁−_k)t2 +_kt2

)(

₁−

α

)

(11.d) n

x

x

x

1

,

2

,

K

,

≥

0 (11.e)

]

1

,

0

(

∈

α

(11.f)

para algum

k

∈

[

0

,

1

]

fixo.

I

MPLEMENTAÇÃO E

R

ESULTADOS

C

OMPUTACIONAIS

A implementação do problema foi feita usando-se uma combinação de softwares livres. Escolhemos o GNU/Octave2 como linguagem de alto nível e o lp_solve3 como biblioteca para solução de problemas lineares. Ambos foram escolhidos por sua robustez e por já possuírem uma interface de comunicação bem definida.

O problema (1) teve os seus coeficientes da função objetivo (1.a) e das restrições (1.c) e (1.d) denotados por números fuzzy triangulares, e uma variação simétrica para c e

c

(em relação ao valor modal) em 1%, 1.5% e 2%, como seguem nas tabelas abaixo, ~t0 =~t1 =~t2 =1~0=(10,0.1,0.1)

(variação de 1%), transformando-o em um problema como em (5). Para o resolvermos, tomamos o problema (11), para k= 0.7, 0.8 e 0.9.

A solução do problema ordinário, apresentado por [SFBL-2001], [SF-2002] e [SL-2000] é dada abaixo:

2_{http://www.octave.org}

1

x x₂

x

3 x4 x5 Função Objetivo

Variedade 0 0 4666.58 0 1333.42

5

.

8631

×

10

8

Tabela 2: Solução do problema ordinário.

7 . 0 = k 1% 1.5% 2% SP791011 – x1 0 2736.36635 2643.18908 RB835486 – x2 297.51826 0 0 RB72454 –

x

₃ 0 0 0 RB855113 – x₄ 5702.48174 1974.97087 2000.1597 RB855536 – x₅ 0 1288.66278 1356.65122 Função Objetivo 8

10

000

.

5

×

4

.

500

×

10

8

4

.

500

×

10

8

Tabela 3 Solução do problema fuzzy com k = 0.7.

8 . 0 = k 1% 1.5% 2% SP791011 – x₁ 3894.99654 0 0 RB835486 – x2 0 2941.73243 2941.89532 RB72454 –

x

₃ 0 0 0 RB855113 – x4 1668.86975 2728.43079 2728.8568 RB855536 – x₅ 436.13371 329.83679 329.14413 Função Objetivo 8

10

000

.

5

×

4

.

8903

×

10

8

4

.

8842

×

10

8

Tabela 4 Solução do problema fuzzy com k = 0.8.

9 . 0 = k 1% 1.5% 2% SP791011 – x₁ 0 0 0 RB835486 – x₂ 2942.01267 2941.83868 2941.91124 RB72454 –

x

3 0 0 0 RB855113 – x₄ 2729.16371 2728.70868 2728.89845 RB855536 – x₅ 328.82362 329.45264 329.19031 Função Objetivo 8

10

4932

.

5

×

5

.

4901

×

10

8

5

.

4871

×

10

8

Tabela 5 Solução do problema fuzzy com k = 0.9.

Na Tabela 2 temos a solução ordinária do problema fuzzificado, e nas Tabelas 3, 4 e 5 a solução para o problema fuzzificado. Em todos os casos, houve um ganho em relação a função objetivo, ou seja, obtemos uma solução que mais minimiza o problema ordinário. Porém, devemos destacar que a variedade relativa a variável

x

₃, em nenhum caso foi selecionada. Para k ≤0.6 houve divergência na resolução do problema.

A

GRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao Prof. Dr. Akebo Yamakami (DT – FEEC – UNICAMP) pelas sugestões que contribuíram para a execução deste trabalho, e à Profa. Dra. Helenice de Oliveira Florentino (IB – UNESP – campus de Botucatu) pelas sugestões na modelagem do problema.

R

EFERÊNCIAS

B

IBLIOGRÁFICAS

[BZ-1970] R. E. Bellman e L. A. Zadeh. Decision-making in a fuzzy environment. Management

Science, 17(4):B141

–

B164, 1970.

[CV-1989] L. Campos e J. L. Verdegay. Linear programming problems and ranking of fuzzy numbers.

Fuzzy Sets and Systems, 32(1989), 1

–

11.

[Cru-2002] D. M. Cruz. Fim da queimada é prorrogada até 2003. Jornal da Cana, Dezembro de 2002. P. 44.

[ECP-1998] F. Eid, K. Chan e S. S. Pinto. Tecnologia e co-geração de energia na indústria sucoalcooeira paulista: uma análise de experiência e dificuldades de difusão. Informações Econômicas, 28(5), 1998.

[PGMC-1999] Programa de melhoramento genético de cana-de-açúcar. Universidade Federal de São Carlos – Departamento de Biotecnologia Vegetal, 1999.

[Rip-1991] T. C. Ripoli. Utilização do material remanescente da colheita de cana-de-açúcar

(Saccharum ssp) – Equacionamento dos balanços energético e econômico. PhD Thesis, USP – ESALQ, 1991. 148 p.

[SFBL-2001] M. M. P. Sartori, H. de O. Florentino, C. Basta e A. L. Leão. Determination of the optimal quantity of crop residues for energy in sugarcane crop management using linear programming in variety selection and planting strategy. Energy, 26:1031–1040, 2001.

[SF-2002] M. M. P. Sartori e H. de O. Florentino. Metodologia e Técnicas Experimentais – Modelo de Minimização de Biomassa Residual. Bragantia, Campinas, v. 61, n. 3, 297–303, 2002.

[SL-2000] M. M. P. Sartori e A. L. Leão. Available energy from sugar-cane post harvest residues. In