Capítulo IV DETERMINANTES

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Capítulo IV

DETERMINANTES

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Capítulo IV

O conceito de determinante surgiu tendo por objectivo a simplificação do estudo e resolução dos sistemas de equações lineares. Definiremos, de início, determinante de

2ª ordem, depois determinante de 3ª ordem e finalmente, por generalização, determinate de ordem n - ou de n -ésima ordem.

Determinante de 2ª Ordem.

Seja um sistema com duas equações e duas incógnitas ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a . x , ₁ x são ₂

as incógnitas do sistema. a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ são os coeficientes das incógnitas. b₁, b₂

são os termos independentes, como já sabemos. Os coeficientes das incógnitas podem ser colocados num quadro chamado matriz dos coeficientes do sistema, como vimos:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 22 21 12 11 a a a a

. Supondo que o sistema é possível e determinado, um dos coeficientes,

pelo menos, será diferente de zero. Suponhamos que a₁₁ ≠0 e resolvamos o sistema pelo método da substituição: da primeira equação acima vem

11 2 12 1 1 a x a b x = − .

Substituindo este valor na segunda equação tem-se ₂₂ ₂ ₂

11 2 12 1 21 a x b a x a b a − + = , ou seja: a₂₁b₁−a₂₁a₁₂x₂ +a₁₁a₂₂x₂ =a₁₁b₂ e

(

a₁₁a₂₂−a₂₁a₁₂

)

x₂ =a₁₁b₂ −a₂₁a₁₂. Assim 12 21 12 11 1 21 2 11 2 a a a a b a b a x − −

= . Substituindo este valor em

11 2 12 1 1 a x a b x = − , obter-se-ia 12 21 22 11 2 12 1 22 1 a a a a b a b a x − −

= . Os valores de x₁ e x₂ encontrados representam a solução do

sistema dado. Note-se, no entanto, que os denominadores das duas fracções são iguais. Por definição o determinante da matriz inicial é o denominador comum das

duas fracções e é representado pelo símbolo

22 21 12 11 a a a a . Por definição ∆= = 22 21 12 11 a a a a 12 21 22 11a a a a −

(3)

2 linhas: 1ª linha: a₁₁, a₁₂ 2ª linha: a₂₁, a₂₂ 2 colunas: 1ª linha: a₁₁, a₂₁ 2ª linha: a₁₂, a₂₂ Diagonal principal: a₁₁, a₂₂ Segunda diagonal: a₂₁, a₁₂

Exemplo – Calcule o valor do determinante 4 3 2 1 − .

( )

2 10 3 4 1× − × − = = ∆ .

Os numeradores das fracções têm a mesma forma que os denominadores, pelo que os podemos, também, considerar como sendo determinantes: O numerador de x₁ é o determinante de uma matriz que se obtém substituindo, na matriz inicial, os elementos da sua 2primeira coluna pelos termos independentes do sistema e o numerador de x₂

é o determinante de uma matriz que se obtém, substituindo, na matriz inicial, os

elementos da sua segunda coluna pelos termos independentes: ∆ = =

22 2 12 1 1 a b a b 12 2 22 1a b a b − = , ₁₁ ₂ ₂₁ ₁ 2 21 1 11 2 a b a b b a b a − = =

∆ . Estes factos vão-nos permitir entender melhor a Regra de Cramer, explicada mais adiante.

Saliente-se, desde já, que, num determinante, o número de linhas é sempre igual ao

número de colunas. Neste caso esse número é 2, o que significa que o determinante é

de 2ª ordem.

Determinante de 3ª Ordem.

O determinante de 3ª ordem – isto é, o determinante com 3 linhas e 3 colunas – será definido a partir da resolução de um sistema com 3 equações e 3 incógnitas:

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⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + = + + 3 3 13 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

. A matriz dos coeficientes do sistema é agora

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

. Admitamos que o sistema é possível e determinado – neste caso,

pelo menos um dos seus coeficientes, a₁₁ por exemplo, será não nulo – e resolvamo-lo usando, novamente, o método da substituição. Da primeira equação

11 3 13 2 12 1 1 a x a x a b

x = − − obtemos, substituindo este valor nas segunda e terceira

equações: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + + − − = + + − − 3 3 33 2 32 11 3 13 2 12 1 31 2 3 23 2 22 11 3 13 2 12 1 21 b x a x a a x a x a b a b x a x a a x a x a b a

, ou seja, teremos assim a

equação ⎩ ⎨ ⎧ = + + − − = + + − − 3 11 3 33 11 2 32 11 3 13 31 2 12 31 1 31 2 11 3 23 11 2 22 11 3 13 21 2 12 21 1 21 b a x a a x a a x a a x a a b a b a x a a x a a x a a x a a b a e, portanto, tem-se ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − + − − = − + − 1 31 3 11 3 13 31 33 11 2 12 31 32 11 1 21 2 11 3 21 13 23 11 2 21 12 22 11 ) ( ) ( ) ( ) ( b a b a x a a a a x a a a a b a b a x a a a a x a a a a

. Este sistema tem duas

equações e duas incógnitas - x e ₂ x - e a sua solução pode ser obtida, conforme já ₃

foi referido, a partir de duas fracções:

∆ ∆ = 1 2 x e ∆ ∆ = 2 3 x , sendo ∆ o determinante da matriz dos coeficientes do sistema e ∆ e ₁ ∆ os determinantes que se obtêm ₂ daquele substituindo, respectivamente, a primeira coluna – para ∆ - e a segunda ₁ coluna – para ∆ - pelos termos independentes, isto é: ₂ ∆=

13 31 33 11 12 31 32 11 21 13 23 11 21 12 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a − − − − = . 13 31 33 11 1 31 3 11 21 13 23 11 1 21 2 11 1 _a _b _a _b _a _a _a _a a a a a b a b a − − − − = ∆ . ∆₂ = 1 31 3 11 12 31 32 11 1 21 2 11 21 12 22 11 b a b a a a a a b a b a a a a a − − − −

= . Efectuando os cálculos e simplificando os resultados obteríamos: 33 12 21 23 32 11 13 22 31 23 12 31 13 32 21 33 22 11 33 1 21 23 3 11 13 2 31 23 1 31 13 3 21 33 2 11 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a b a a b a a b a a b a a b a x − − − + + − − − + + = e 33 12 21 23 32 11 13 22 31 23 12 31 13 32 21 33 22 11 3 12 21 2 32 11 1 22 31 2 12 31 1 32 21 3 22 11 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a x − − − + + − − − + + = . O valor de x ₁

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obter-se-ia substituindo estes dois resultados na expressão 11 3 13 2 12 1 1 a x a x a b x = − − . Teríamos: 33 12 21 23 32 11 13 22 31 23 12 31 13 32 21 33 22 11 33 12 2 23 32 1 13 22 3 23 12 3 13 32 2 33 22 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a b a a b a a b a a b a a b x − − − + + − − − + + = . Os

denominadores das três fracções são iguais. Por definição, o determinante da matriz

(

3× é o valor comum desses três denominadores e representa-se, simbolicamente, 3

)

por: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

. Trata-se de um determinante com 9 elementos, 3 linhas e 3

colunas. A sua diagonal principal é constituida pelos elementos a , ₁₁ a , ₂₂ a e a ₃₃

segunda diagonal por a , ₃₁ a₂₂, a . Uma regra prática que permite obter o ₁₃

determinante a partir da sua representação simbólica é a Regra de Sarrus que consiste

em repetir as duas primeiras linhas do determinante por baixo deste e obter os produtos dos elementos tomados três a três conforme se ilustra a seguir:

23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a

Temos assim detA=a₁₁a₂₂a₃₃+a₂₁a₃₂a₁₃+

33 12 21 23 32 11 13 22 31 23 12 31a a a a a a a a a a a a − − − + .

Exemplo – Calcule o determinante

3 2 1 2 3 4 1 2 1 − − − . Temos então

( )

( ) ( )

( )

2 3 4 1 2 1 1 3 1 2 2 1 1 2 4 3 3 1 3 2 1 2 3 4 1 2 1 − − − × × − − × × − + − × × + − × × = − − −

( )

3 9 8 4 3 4 24 4 2 4 2 2 1× × − × × − =− − − − − + =− − . ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫

a cada um destes produtos atribui-se o sinal - a cada um destes produtos atribui-se o sinal +

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A regra de Sarrus permite também calcular o determinante de 3ª ordem do seguinte modo: repetem-se as duas primeiras colunas à direita do determinante; os termos positivos do desenvolvimento são o termo principal e os produtos dos elementos dispostos paralelamente à diagonal principal; os termos negativos são o termo secundário e os produtos dos elementos dispostos paralelamente à diagonal secundária

ou segunda diagonal: 32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a

. Temos assim detA=a₁₁a₂₂a₃₃+

31 22 13 33 21 12 32 23 11 32 21 13 31 23 12a a a a a a a a a a a a a a a + − − − + .

3 1 3 2 2 5 1 3 2 . Tem-se então: =2×2×3+3×2×3+1×5×1−2×2×1−3×5×3− 1 3 2 5 3 2 3 1 3 2 2 5 1 3 2 20 6 45 4 5 18 12 3 2 1× × = + + − − − =− − .

Repare-se, finalmente, que os numeradores das três fracções atrás indicadas, podem, também, ser considerados como determinantes cujos símbolos são, respectivamente,

33 32 3 23 22 2 13 12 1 1 a a b a a b a a b = ∆ , 33 3 31 23 2 21 13 1 11 2 a b a a b a a b a = ∆ e 3 32 31 2 22 21 1 12 11 3 b a a b a a b a a = ∆ . Regra de Cramer.

A regra de Cramer permite resolver sistemas de equações lineares. O que já sabemos

sobre determinantes vai-nos ajudar a compreender este método. Vejamos então: um sistema de n equações com n variáveis pode ser resolvido pela regra de Cramer. Seja

a cada um destes produtos atribui-se o sinal -

a cada um destes produtos atribui-se o sinal +

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o sistema: n n nn n n n n n n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a = + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + + = + + + + = + + + + 3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 2 32 1 31 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11

. Seja A a matriz dos coeficientes:

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11

A . Seja A₁ a matriz que se obtém da matriz A

substituindo os coeficientes da variável x₁ pelos termos independentes que figuram

nas equações correspondentes:

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = nn n n n n n n a a a b a a a b a a a b a a a b 3 2 3 33 32 3 2 23 22 2 1 13 12 1 1 A . Calcula-se o valor de 1 x do seguinte modo: A A det det ₁ 1=

x . Do mesmo modo calculam-se os valores das

demais variáveis A A det det _i i x = .

A regra de Cramer é, pois, a seguinte: Um sistema de Cramer tem uma única solução,

sendo o valor de cada variável dado por uma fracção que tem para denominador o determinante da matriz dos coeficientes, e, para numerador, o determinante da matriz que se obtém a partir da matriz dos coeficientes, substituindo os coeficientes da variável considerada pelos termos independentes que figuram nas equações correspondentes. Para que se tenha um sistema de Cramer, o número de equações tem

que ser igual ao número de incógnitas; o determinante da matriz dos coeficientes do sistema tem que ser diferente de zero – o sistema é assim sempre possível e determinado.

Exemplo – Resolva, aplicando a regra de Cramer, o seguinte sistema

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − + = + + 31 2 7 4 2 4 5 3 53 4 3 2 z y x z y x z y x .

(8)

O determinante de A é:

( )

4 5 3 4 3 2 4 3 4 4 7 3 2 5 2 2 7 4 4 5 3 4 3 2 det − − − × × + × × + − × × = − − = A

( )

4 3 3

( )

2 10 7 2 4 5 4× × − × × − − × × − = − . 30 2 7 31 4 5 2 4 3 53 det ₁ = − − = A , det A₂ = 50 2 31 4 4 2 3 4 53 2 = − − = , 80 31 7 4 2 5 3 53 3 2

detA₃ = = . Por conseguinte: 3 10 30 det det ₁ = = = A A x , 5 10 50 det det ₂ = = = A A y e 8 10 80 det det ₃ = = = A A z .

Generalização do Conceito do Determinante.

Retomemos os seis termos do somatório que define o determinante de 3ª ordem:

33 12 21 23 32 11 13 22 31 23 12 31 13 32 21 33 22 11a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + − − − . Verifica-se que,

abstraindoo sinal, todos eles se podem obter do primeiro termo, a₁₁a₂₂a₃₃ - termo

principal – permutando de todas as formas possíveis os primeiros sub-índices,

mantendo inalteráveis os segundos. Procuremos, agora, uma lei que permita obter o sinal de cada um dos termos do somatório. Para isso tomemos a ordem natural dos números – 1, 2, 3 – ordem crescente. Quando, numa permutação, um número maior precede um menor, ocorre uma inversão.

Exemplo – Na permutação 1 2 3 o número de inversões é zero, porque 1<2<3. Na permutação 2 3 1 há duas inversões – assinaladas com setas arqueadas. Na permutação 5 1 3 4 2 há 6 inversões.

Assinalando os 6 termos do somatório inicial, concluimos que:

nos termos cujos primeiros sub-índices formam uma permutação com um número

par de inversões, o sinal é +,

nos termos cujos primeiros sub-índices formam uma permutação com um número

(9)

Sendo assim, obtemos: 9 1º termo - 1 2 3 0 inversões + 9 2º termo - 2 3 1 2 inversões + 9 3º termo - 3 1 2 2 inversões + 9 4º termo - 3 2 1 3 inversões - 9 5º termo - 1 3 2 1 inversão - 9 6º termo - 2 1 3 1 inversão -

Estas mesmas considerações são válidas, como é fácil de perceber, para os dois termos que formam o somatório que define o determinante de 2ª ordem. Deste modo ficamos aptos a generalizar esta lei de formação de termos no caso de determinante de

ordem n . Considere-se a matriz

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11

. A esta matriz pode associar-se

um número – determinante da matriz – que é calculado do seguinte modo:

a) Considera-se o produto dos elementos da diagonal principal:

nn

a a

a₁₁, ₂₂,…, - termo principal do determinante.

b) Permutando de todas as maneiras possíveis os sub-índices dos elementos considerados em a) obtemos !n produtos representados, genericamente, por:

n

a a

a_α₁, _β₂,…, _γ onde

(

α,β,…,γ

)

representa uma permutação dos números

n , , 2 , 1 … .

c) Multiplica-se cada um dos produtos obtidos em b) por

( )

−1 I onde I é o número

de inversões da permutação respectiva. Assim, cada um dos produtos ficará afectado do sinal + ou – conforme o número de inversões for par ou ímpar.

d) O somatório

( )

n I a a a_α _β _γ

∑

−1 ₁ ₂… de todos os !n termos assim obtidos é, por

definição, o determinante da matriz

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 , ou seja, determinante

(10)

de ordem n , cujo símbolo é: nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 ⋅ ⋅ ⋅ . Teorema de Laplace.

Como calcular um determinante de ordem superior a 3? Uma das formas de o fazer seria usar, directamente, a definição. No entanto, esse não seria um processo cómodo. O método mais usual para o cálculo de um determinante de qualquer ordem baseia-se

no Teorema de Laplace que só será enunciado mais adiante. Entretanto vamos

introduzir os conceitos de menor complementar, ou simplesmente menor, e de cofactor, ou complemento algébrico, de um elemento de um determinante:

) menor complementar, ou menor, de um elemento de um determinante, é o determinante que se obtém daquele suprimindo-lhe a linha e a coluna que se cruzam nesse elemento,

) cofactor, ou complemento algébrico de um elemento de um determinante, é o produto do menor complementar desse elemento por

( )

−1i+k, onde i e k são as ordens da linha e da coluna, respectivamente, que se cruzam nesse elemento. Representemos o menor complementar, ou menor, do elemento a_ik - elemento da linha i, coluna k - por M e o seu complemento algébrico por _ik A . Assim, _ik

( )

ik

k i

ik M

A = −1 + × .

Exemplo – Calcule o menor e o cofactor do elemento da 2ª linha e 3ª coluna do

determinante 2 1 4 3 0 0 2 3 1 1 2 3 1 0 5 2 − − − − . 32 30 0 6 0 12 8 2 4 3 0 2 3 1 5 2 23 =− + + − + − =− − − = M . A ou ₂₃ C₂₃ =

( )

−12+3×

(

−32

)

= 32 = .

(11)

Enunciemos, agora, o teorema de Laplace: um determinante é igual à soma dos

produtos que se obtêm multiplicando cada um dos elementos de uma das suas

linhas – ou colunas – pelo respectivo cofactor ou complemento algébrico.

∑

= = + + + = ∆ n k ik ik in in i i i i A a A a A a A a 1 2 2 1 1 ou ∆=a1kA1k +a2kA2k + +ankAnk =

∑

= = n k ik ikA a 1

, conforme o desenvolvimento se faça segundo a linha de ordem i ou a

coluna de ordem k do determinante.

Exemplo – Desenvolver o determinante

1 1 1 2 1 1 0 0 2 1 3 1 4 1 2 1 − − − − − − segundo a) a 3ª linha, b) a 2ª coluna. a)

( )

+ − − − − − × + − − − − × − × + − − − − × − × = ∆ + + + 33 3 3 32 2 3 31 1 3 1 1 2 2 3 1 4 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 4 1 1 1 0 1 1 1 2 1 3 4 1 2 1 0 A A A

( ) ( )

= + +

(

− + − − − −

) (

+ − + + + +

)

= − − − − × − + + 2 1 6 4 1 3 2 2 24 8 4 3 0 0 1 1 2 1 3 1 1 2 1 1 1 34 4 3 A 20 15 35+ =− − = . b)

( )

+ − − − − × − × + − − − × − × + − − − − × − × = ∆ + + + 1 1 2 2 1 1 4 1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 4 1 1 1 3 1 1 2 1 1 0 2 1 1 1 2 12 2 2 3 2

( ) ( )

= ×

( ) (

− × + − + − +

)

+ ×

(

− + + − − − − − × − × − + + 2 0 1 3 0 1 4 2 0 1 1 2 1 1 0 2 1 1 4 1 1 1 1 4 2

) ( )(

1 1 4 0 0 2 1

)

2 2 3

( )

6 2 20 0 1 8+ + + − − − + + + + =− × + × − + =− −

(12)

Repare-se que nos dois desenvolvimentos se obteve o mesmo valor para o determinante dado. Esse valor manter-se-ia, como é evidente, para qualquer outro desenvolvimento.

Se quiséssemos ter tido menos trabalho no cálculo do determinante bastaria operarmos sobre o determinante de modo a anular, segundo uma linha ou coluna, todos os elementos excepto um. Nesse caso o determinante de A é igual ao produto desse elemento pelo seu cofactor.

Exemplo - 3 1 2 5 0 0 2 1 4

−12+3×

(13)

(

10 2

)

8 5 2 1 2 − = − − = × ,

( )

4 4

)

0 2 4 1 2 13 3 33 = − × =+ − = + c . A matriz C é C= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 0 8 4 8 0 12 16 8 4 e a matriz adjunta de A é: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = = 0 8 16 8 0 8 . 4 12 4 adjA CT .

Para determinar a matriz adjunta de uma matriz A , pode formar-se primeiro a matriz T

A e a seguir a matriz dos cofactores dessa matriz.

Qualquer que seja a matriz A , de ordem n , tem-se: A⋅

(

adjA

) (

= adjA

)

⋅A=

(

)

(

)

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det detA I A . Matriz Inversa.

Consideremos a igualdade: A⋅

(

adjA

) (

= adjA

)

⋅A=

(

detA

)

⋅I. Supondo detA≠0, a igualdade anterior pode ser expressa do seguinte modo: ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _⋅ ⋅ A A A adj det 1 I A A A ⎟⎠⋅ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _⋅ = adj det 1

ou, representando por B a matriz A A adj det 1 _⋅ , tem-se I A B B

A⋅ = ⋅ = . Toda a matriz B que satisfaça a condição AB=BA=I diz-se

matriz inversa de A e representa-se por A - como vimos já. Então −1

A A A adj det 1 1= ⋅ − .

Exemplo – Seja a matriz

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 5 2 2 2 4 3 1 2

A . Ache a sua inversa.

(14)

2 2 4 3 1 2 32 12 20 12 4 60 12 3 5 2 2 2 4 3 1 2 3 5 2 2 2 4 3 1 2 det = = + + − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

. Como detA≠0 existe

inversa. Finalmente calculamos a matriz dos cofactores

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 0 8 16 8 0 8 4 12 4 C (ver ex. anterior). Logo ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 0 8 16 8 0 8 4 12 4 adjA . Finalmente − = ⋅ = × 32 1 adj det 1 1 A A A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⇔ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − × − 0 4 1 2 1 4 1 0 8 1 8 1 8 3 8 1 32 0 32 8 32 16 32 8 32 0 32 8 32 4 32 12 32 4 0 8 16 8 0 8 4 12 4 1 A .

Pode verificar-se que A⋅A−1 =A−1⋅A=I.

Propriedades Fundamentais dos Determinantes.

1ª. propriedade: O valor de um determinante não se altera quando se trocam, ordenadamente as suas colunas com as suas linhas.

Exemplo – Os determinantes 2 1 3 1 2 4 1 3 1 − − = ∆ e 2 1 1 1 2 3 3 4 1 − − =

∆′ são iguais. Com efeito ∆=−4−4+9+6−1+24=30 e ∆′=−4+9−4+6−1+24=30

Daqui resulta que qualquer propriedade demonstrada relativamente às linhas de um determinante, ficará também demonstrada para a as suas colunas. Quando nos referirmos simultaneamente às linhas ou colunas, chamaremos fila.

(15)

2ª. propriedade: Se uma das filas de um determinante é constituida pelo produto de n elementos, existindo sempre um – e um só – pertencente a uma dada fila. Se esta for constituida, apenas, por elementos nulos, cada um dos termos conterá um factor nulo e daí ser nulo o determinante.

3ª. propriedade: Permutando, entre si, duas filas paralelas de um determinante, o determinante obtido será simétrico do inicial.

Exemplo – Sejam os determinantes

2 1 3 1 2 4 1 3 1 − − = ∆ e 3 1 2 4 2 1 1 3 1 − − = ∆′ . Repare-se que ∆′ se obteve de ∆ permutando entre si a 1ª e a 3ª colunas.

30 24 1 6 9 4 4− + + − + = − = ∆ . ∆′=−6+1−24+4+4−9=−30.

4ª. propriedade: Um determinante com duas filas paralelas iguais é nulo.

Considere-se um determinante com duas filas paralelas iguais. Permutando-se essas filas entre si, por um lado o determinante não se altera – pois as filas são iguais, por outro lado, usando a propriedade anterior, obtém-se um determinante simétrico do inicial. Representando este por ∆ e o outro por ∆′, teríamos, então ∆′=−∆ e

∆ + =

∆′ , o que só será possível se ∆=0.

5ª. propriedade: Quando se multiplicam – ou se dividem – todos os elementos de uma das filas de um determinante por um número k , o determinante tem como valor o produto – ou o quociente – do determinante inicial por k .

Na verdade, quando se multiplicam por k todos os elementos de uma fila de um determinante, como cada termo contém, sempre, um elemento dessa fila, todos eles serão, também, multiplicados por k , o mesmo acontecendo, por conseguinte, ao

somatório que define o determinante.

(16)

=∆ = + − +5f 13b 7d 5e f 13a b 7c d .

8ª. propriedade: Um determinante não se altera se aos elementos de uma das suas filas se adicionarem os elementos correspondentes de outra fila paralela multiplicados por um qualquer número k .

(17)

Sejam os determinantes nn nj ni n n n j i n j i a a a a a a a a a a a a a a a 2 1 2 2 2 22 21 1 1 1 12 11 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∆ e ∆′= nn ni nj ni n n n i j i n i j i a ka a a a a a ka a a a a a ka a a a a + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = 2 1 2 2 2 2 22 21 1 1 1 1 12 11

. Provemos que ∆′=∆. Aplicando

duas propriedades, vem +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∆′ nn nj ni n n n j i n j i a a a a a a a a a a a a a a a 2 1 2 2 2 22 21 1 1 1 12 11 e propriedad ª 7 ∆ = + ∆ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + 0 e propriedad ª 6 2 1 2 2 2 2 22 21 1 1 1 1 12 11 nn ni nj ni n n n i j i n i j i a ka a a a a a ka a a a a a ka a a a a .

Exemplo – Se à segunda linha do determinante

4 1 3 2 1 2 1 3 1 − − adicionarmos a sua

primeira linha multiplicada por

( )

− obtemos o determinante 2

4 1 3 4 7 0 1 3 1 − − = ∆′ igual a ∆. Com efeito ∆′=∆=−17.

Esta propriedade tem muita importância, pois será o uso dela que permitirá simplificar o cálculo dos determinantes principalmente se a sua ordem for superior a 3.

2 2 5 4 3 1 2 3 2 3 1 2 3 4 2 3 − − − .

(18)

Se para resolvermos este problema, aplicássemos, directamente, o Teorema de Laplace, teríamos de calcular, a certo passo da resolução, quatro determinantes de 3ª ordem – seriam os menores complementares dos elementos da fila segundo a qual se faria o desenvolvimento do determinante. No entanto, se, previamente, aplicarmos, por três vezes, a 8ª propriedade como a seguir se indica, o número de determinantes de 3ª ordem a calcular, ficará reduzido a um. Vamos, então, adicionar, aos elementos da:

=

− − − − − − = − − − − − − × − × = ∆ + 12 13 14 1 1 1 7 2 1 7 12 13 14 7 7 7 7 2 1 1 1 2 2

( )

4 28 7× − =− = .

Repare-se que foi a partir do elemento pertencente à 2ª linha e 2ª coluna que conseguimos reduzir a zero os outros elementos da 2ª linha. É por isso que esse elemento toma o nome de elemento redutor. É importante notar que o mesmo efeito

seria produzido se adicionássemos, sucessivamente, aos elementos da 1ª, 3ª e 4ª linhas os elementos correspondentes da 2ª linha multiplicados, respectivamente, por

( )

− , 2 2 e

( )

− , ou, ainda, utilizando como redutor o elemento da 3ª linha, 3ª coluna. 5 Finalmente saliente-se a conveniência de escolher, como elemento redutor, aquele que for igual a 1 ou

( )

− . No caso de tal elemento não existir pode proceder-se conforme 1 se indica nos dois exemplos seguintes.

(19)

Exemplo – Calcule o determinante 2 2 3 4 3 2 2 3 3 6 4 3 4 2 3 2 − − − − .

Neste determinante não existe qualquer elemento igual a 1 ou

( )

− . No entanto, ao 1 aplicarmos a 5ª propriedade obtemos

2 1 3 4 3 1 2 3 3 3 4 3 4 1 3 2 2 − − − − × =

∆ surgindo, deste modo,

três elementos que podem ser usados, com vantagem, como redutores. Tomemos o que se encontra envolvido com um círculo e, aplicando a 8ª propriedade, anulemos os restantes elementos da 3ª coluna. Para tal adicionaremos:

à 2ª. linha, a 1ª multiplicada por

( )

− 3 à 3ª. linha, a 1ª multiplicada por 1 à 4ª. linha, a 1ª multiplicada por 1

Assim,

( ) ( )

2 8 16 2 6 6 1 5 5 9 5 3 1 1 2 2 0 6 6 1 0 5 5 9 0 5 3 4 1 3 2 2 1 3 =− × =− − − − × − × − × = − − − − = ∆ + .

o determinante obtido, tem-se

( )

nn n a a a a a 0 1 3 33 1 1 22 11× × − × ⋅ ⋅ + . A iteração do

processo conduzir-nos-ia ao resultado ∆=a₁₁×a₂₂×a₃₃× ×a_nn.

Valores Próprios e Vectores Próprios.

Chama-se vector próprio de uma transformação linear f , representada pela matriz

(21)

Se X≠ , é vector próprio da transformação linear f , representada pela matriz T , o 0

número real λ tal que TX=λX é denominado valor próprio de f .

A igualdade TX=λX pode ser verificada por mais de um valor próprio λ. O conjunto de todos os valores próprios de uma transformação linear f é chamado

espectro de f . Os vectores próprios são também denominados vectores característicos, eigenvectores ou autovectores. Por sua vez os valores próprios são

também denominados valores característicos, eigenvalores, autovalores, raízes características ou raízes latentes.

Vamos ver como se determinam os valores próprios e vectores próprios em ℜ3, por exemplo: se X e λ são respectivamente, vector próprio e valor próprio de uma transformação linear representada pela matrix

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a T tem-se X

TX=λ ou TX−λX=0. Tendo em vista que X=IX, pode escrever-se

0 IX

TX−λ = ou

(

T−λI

)

X=0. Mas X≠ , logo: 0 T−λI=0 e det

(

T− Iλ

)

=0.

Por sua vez tem-se que:

(

)

=

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det det 33 32 31 23 22 21 13 12 11 λ λ a a a a a a a a a I T 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 = − − − = λ λ λ a a a a a a a a a

é uma equação do 3º grau em λ. Em virtude de que

toda a equação do 3º grau, admite sempre, pelo menos, uma raíz real – as outras duas

podem ser complexas ou reais, a transformação linear f , em ℜ3, possui pelo menos um valor próprio λ. A substituição de λ pelos seus valores no sistema homogéneo de equações lineares permite determinar os vectores próprios associados. O polinómio

(

T−λI

)

det é denominado polinómio característico da transformação linear f - ou

da matriz T associada. A equação det

(

T− Iλ

)

=0 é denominada equação

característica da transformação linear f ou da matriz T. Os valores próprios da

transformação linear f - ou da matriz T - são as raízes reais da sua equação

(22)

Exemplo – Determinar os valores próprios e vectores próprios da matriz _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 2 2 5

A . Primeiro, determinaremos os valores próprios:

(

)

(

)

⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = − − = + − − ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = − = + − ⇔ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 2 2 0 2 5 2 2 2 5 2 2 2 5 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x λ λ λ λ λ AX

(

A− I

)

X=0 ⇔ λ .

(

)

= ⇔

(

− −

)(

− −

)

− = − − − − ⇔ = − 0 5 2 4 2 2 2 5 0 det λ λ λ λ λI A 0 6 7 2+ + = =λ λ . = − ± − × × = − ± = − ± ⇔ =−1∨ 2 5 7 2 25 7 2 6 1 4 49 7 1 λ λ 6 2 =−

−6 =

{

x₂

(

−2,1

)

}

. E

( )

−6 é o subespaço próprio associado a λ₂ =−6 e os vectores próprios associados são todos os vectores do tipo

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 , 1 1 x com x₁ ≠0 ou x₂

(

−2,1

)

com x₂ ≠0.

Neste caso os dois subespaços próprios têm dimensão 1 – são definidos à custa de um vector. Um único vector gera o espaço.

A matriz dos vectores próprios é dada por _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 1 1 ou _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ 1 1 2 2 1 .

Diagonalização de Uma Matriz Quadrada.

(23)

D = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ n λ λ λ 0 0 0 0 0 0 2 1

, em que λ₁,λ₂,…,λ_n são os valores próprios da matriz

inicial. Esta matriz pode ser obtida a partir da fórmula D=X−1AX_{em que X}

representa a matriz dos vectores próprios – na forma de colunas.

Exemplo – Diagonalize a matriz _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 2 2 5 A .

Já vimos que λ₁ =−1 e λ₂ =−6, do exemplo anterior. _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = 1 1 2 2 1 X . Calculemos → ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − → ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = − 5 1 5 2 1 0 0 2 4 1 1 2 5 0 0 2 4 1 1 0 1 1 0 2 4 1 1 0 1 1 0 1 2 2 1 1 X ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 5 1 5 2 1 0 5 4 5 2 0 1 Assim ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 5 1 5 2 5 4 5 2 1 X . Então _⎟⎟× ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 2 2 5 5 1 5 2 5 4 5 2 D ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ × ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ × 2 1 0 0 6 0 0 1 1 1 2 2 1 5 6 5 12 5 4 5 2 1 1 2 2 1 λ λ .

Uma matriz só é diagonalizável se a dimensão de cada subespaço próprio associado ao valor próprio é igual à ordem de multiplicidade – única, dupla, etc – do valor próprio correspondente.