Matemática. Produtos notáveis e Fatoração. Teoria. Produtos Notáveis

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Produtos notáveis e Fatoração

Teoria

Produtos Notáveis

Por serem frequentes no cálculo algébrico, alguns produtos são chamados de produtos notáveis. São eles: • Produto da soma pela diferença de dois termos: (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦)

• Quadrado da soma de dois termos: (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)² • Quadrado da diferença de dois termos: (𝑥 − 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)²

Desenvolvendo esses produtos temos (aplicando a distributiva): • (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦) = 𝑥² + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑦² = 𝒙² − 𝒚²

O produto da soma pela diferença é igual à diferença de quadrados.

• (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)² = 𝑥² + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦² = 𝒙² + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚²

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.

Obs.: esse resultado é chamado trinômio quadrado perfeito.

• (𝑥 − 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)² = 𝑥² − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑦² = 𝒙² − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚²

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro termos vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.

Alguns exemplos de aplicação:

• (3 + 𝑥)² = 3² + 2 ∙ 3 ∙ 𝑥 + 𝑥² = 9 + 6𝑥 + 𝑥²

• (2𝑥 − 3𝑦)² = (2𝑥)² − 2 ∙ 2𝑥 ∙ 3𝑦 + (3𝑦)² = 4𝑥² − 12𝑥𝑦 + 9𝑦² • (4𝑥 + 2)(4𝑥 − 2) = (4𝑥)2_{− 2}2_{= 16𝑥² − 4}

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Fatoração

Fatorar uma expressão diz respeito a transformação em fatores de um produto. Por exemplo: A forma fatorada de 𝑥²+ 2𝑥 + 1 é (𝑥 + 1)² (que é igual (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)), a forma fatorada de 𝑥²− 5𝑥 + 6 é (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 3). O que faremos, muitas vezes, é fazer o caminho inverso ao de um produto notável.

Fatorar muitas vezes é útil para simplificações algébricas. Por exemplo: 𝑥²+2𝑥+1

𝑥+1

=

(𝑥+1) ∙ (𝑥+1)

(𝑥+1)

= (𝑥 + 1)

.

Fator comum em evidência

Uma técnica muito útil é a de fatorar pelo fator comum em evidência. Como, por exemplo: 2𝑥 + 2𝑦. Note que 2 é fator comum em ambos os termos. Logo, podemos reescrever 2𝑥 + 2𝑦 como 2(𝑥 + 𝑦). Caso efetue a distributiva chega-se ao termo original 2𝑥 + 2𝑦. Observe alguns exemplos de fatoração pelo fator comum em evidência:

• 𝑎 + 𝑎𝑏 = 𝑎(1 + 𝑏). Nesse caso, o fator comum é o

𝑎.

• 10𝑥 − 20𝑦 = 10(𝑥 − 2𝑦). Nesse caso, o fator comum é o 10, que é o maior divisor comum entre 10 e 20. • 𝑥³+ 3𝑥 = 𝑥(𝑥²+ 3). Nesse caso, o fator comum é o 𝑥.

• 𝑥3𝑦2− 𝑥𝑦2+ 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦(𝑥2𝑦 − 𝑦 + 1). Nesse caso, o fator comum é 𝑥𝑦.

Agrupamento

Essa outra técnica é usada quando o fator comum é um grupo comum. Por exemplo: 2𝑥 + 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎. Nesse caso podemos fatorar pelo fator comum os dois primeiros e os dois últimos termos dessa soma, ficando com 2(𝑥 + 1) + 𝑎(𝑥 + 1). Note que, após essa primeira etapa, 𝑥 + 1 é comum a ambos os termos da soma. Logo, podemos por esses termos em evidência, agrupando-o: (𝑥 + 1)(2 + 𝑎). Para verificar se isso foi feito corretamente, efetue a distributiva e você voltará ao 2𝑥 + 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎. Outros exemplos:

• 𝑥²+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥(𝑥 + 𝑎) + 𝑏(𝑥 + 𝑎) = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) • 𝑥³− 𝑥²+ 𝑥 − 1 = 𝑥²(𝑥 − 1) + 1 ∙ (𝑥 − 1) = (𝑥 − 1)(𝑥2+ 1)

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Exercícios

1.

Qual é o fator comum a todos os termos do polinômio 18𝑥2_𝑦8_{− 36𝑥}9_𝑦9_{+ 24𝑥³𝑦}5_? a) 6𝑥2_𝑦5 b) 2𝑥2𝑦9 c) 36𝑥9𝑦9 d) 3𝑥9𝑦9 e) 6𝑥9_𝑦9

2.

O produto (4𝑥 + 𝑦)(4𝑥 – 𝑦) equivale a: a) 16𝑥² – 𝑦² b) 8𝑥² – 𝑦² c) 4𝑥² – 𝑦² d) 16𝑥² – 8𝑥𝑦 + 𝑦² e) 8𝑥2_{– 4𝑥𝑦 + 𝑦}2

3.

Fatorando a expressão 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 – 𝑎𝑑 – 2𝑏𝑑, obtemos:

a) (𝑎 – 2𝑏)(𝑐 – 𝑑) b) (𝑎 + 2𝑏)(𝑐 – 𝑑) c) (𝑎 – 2𝑏) (𝑐 + 𝑑) d) (𝑎 + 𝑐)2(𝑎 – 𝑏) e) (𝑎– 𝑐)(𝑎 + 2𝑏)

4.

Se (𝑥 −1_𝑥)2= 3 , então

𝑥

2

₊

1 𝑥2 é igual a: a) 0 b) 1 c) 5 d) 6 e) 8

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6.

O valor da expressão 𝑥2−𝑦² 𝑥+𝑦

∙

𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦² 𝑥−𝑦 , para 𝑥 = 1,25 e 𝑦 = 0,75, é: a) – 0,25 b) – 0,125 c) 0 d) 0,125 e) 0,25

7.

O valor da expressão 𝑥²𝑦 + 𝑥𝑦², no qual 𝑥𝑦 = 12 e 𝑥 + 𝑦 = 8, é:

a) 40 b) 96 c) 44 d) 88 e) 22

8.

A expressão (𝑥 – 𝑦)² – (𝑥 + 𝑦)² é equivalente a: a) 0 b) 2𝑦² c) – 2𝑦² d) – 4𝑥𝑦 e) – 2(𝑥 + 𝑦)²

9.

Simplificando a expressão 𝑥2+6𝑥+9 𝑥2₋₉

,

obtém-se: a) 6𝑥 b) – 6𝑥 c) 𝑥 − 3 𝑥 + 3 d) 𝑥 + 3 𝑥 − 3 e) 𝑥 + 9 𝑥 − 9

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10.

O valor da expressão

(𝑎

−1

_{+ 𝑏}

−1

₎

−2_é: a) _(𝑎+𝑏)𝑎𝑏 ₂ b) _{(𝑎²+𝑏²)}𝑎𝑏 ₂ c)

𝑎

2

+ 𝑏²

d) 𝑎²𝑏² (𝑎+𝑏)2 e) _(𝑎+𝑏)𝑎+𝑏₂

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Gabaritos

1. A

8 5

9 9 5 7 4

5 5

18x²y

6x²y .3y³

36x y

6x²y .6x y

24x³y

6x²y .4x

=

2. A + − = − = −

(4x y)(4x y) (4x)² (y)² 16x² y²

3. B + = − + − = + − ac 2bc – ad – 2bd a(c d) 2b(c d) (a 2b)(c d) 4. C 2

1

1 x

x² 2.x.

3 x² 2

3 x²

5 x

x

x²



₋



₌

₋

₊

_{= }

_{− +}

_{= }

₊

₌









5. B

x y 13

(x y)² 169

x² 2xy y² 169

x.y

1 x² 2 y² 169

x² y² 167

+ =



+

=



+

=

+ +

=



+

=

6. E · · − − + + − = = − = + − + − = − = = 2 2 2 2

x y x 2xy y (x y)(x y) (x - y)²

(x y)²

x y x y x y x y

(1,25 0,75)² (0,5)² 0,25

7. B

+ = + = =

x²y xy² xy(x y) 12.8 ₉₆

8. D

(

x – y ² – x y ²

)

(

+

)

=x² 2xy y² x² 2xy y²− + − − − = −4xy

9. D + + ₌ + ₌ + − + − − x² 6x 9 (x 3)² x 3 x² 9 (x 3)(x 3) x ₃ 10. D

(

)

₌_ ₊  _− ₌ ₊ ₊ − ₌ + + − ₌       _ _  _ _ _ _ ₊   + –2 –1 –1 1 2 1 1

1 1 1 2 1 b² 2ab a² a²b²

a b a² ab b

a b