CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e

Tecnológico

Relatório Científico de Projeto de Pesquisa

IMPLANTAÇÃO DE UM CAMPO DE TESTE PARA A CALIBRAÇÃO DE

CÂMARAS DIGITAIS

Referência: Edital CNPq no 019/2004 - Universal Processo: 481047/2004-2

Equipe:

Prof. Dr. Mauricio Galo

Coordenador/Pesquisador, Unesp/FCT, Dep. de Cartografia

Prof. Dr. Paulo de Oliveira Camargo

Pesquisador, Unesp/FCT, Dep. de Cartografia

Prof. Dr. Antonio Maria Garcia Tommaselli

Pesquisador, Unesp/FCT, Dep. de Cartografia

Prof. Dr. Julio Kiyoshi Hasegawa

Pesquisador, Unesp/FCT, Dep. de Cartografia

Presidente Prudente Setembro de 2007

Sumário

1. Introdução - - - 1

2. Objetivo - - - 4

3. Atividades realizadas - - - 5

3.1. Escolha e adaptações no Campo de Calibração - - - 5

3.2. Modelo funcional básico do aplicativo para a Calibração de Câmaras - - - 8

3.3. Desenvolvimentos adicionais - - - 12

3.3.1. Incorporação da análise da significância de parâmetros - - - 12

3.3.1.1. Particularização do cálculo de F para vetores 2D - - - 16

3.3.2. Injunções de distância entre CPs e pontos do espaço-objeto - - - 17

3.3.3. Análise da matriz de correlação dos parâmetros de OI por PCA - - - 20

3.3.4. Coeficiente de correlação global - - - 24

4. Experimentos e análises - - - 26

4.1. Significância dos parâmetros / Correlação / Controle de qualidade - - - 28

4.2. Análise dos componentes principais via SVD - - - 33

4.3. Injunções de distância / Controle de qualidade - - - 35

4.4. Injunções de distância / Controle de qualidade (para 5 distâncias) - - - 37

5. Considerações finais e conclusões - - - -- - - 39

5.1. Considerações finais - - - 39

5.2. Conclusões - - - 40

Referências bibliográficas - - - 41 Anexo I – Imagens do Campo de Calibração da UNESP/FCT

Anexo II – Paquímetro de precisão

1. Introdução

Como descrito no projeto submetido proposto ao CNPq, a Calibração de Câmaras é um tema bem estudado pela comunidade Fotogramétrica mundial. Segundo Livingston (1980, p. 247) as primeiras calibrações, usando técnicas visuais a base de teodolitos e goniômetros, iniciaram por volta de 1930. Posteriormente, estudos importantes feitos por pesquisadores como Hotine, Merrit, Washer, Pennington, Brown, Schmid, dentre outros, permitiram o desenvolvimento de diferentes métodos de calibração, tais como métodos de laboratório, método estrelar, etc, sendo desenvolvidos modelos matemáticos que permitem a modelagem de erros sistemáticos das câmaras utilizadas em operações Fotogramétricas.

Em meados da década de 60 pode-se destacar os trabalhos de Duane C. Brown, onde houve uma preocupação na melhoria de alguns modelos matemáticos destinados à modelagem das distorções provocadas pelo sistema de lentes (LIVINGSTON, 1980; ANDRADE e OLIVAS, 1981). Dean Merchant, na década de 70 e início dos anos 80, apresentou grande contribuição no desenvolvimento de métodos de campo, trabalhando essencialmente com a minimização do efeito da correlação entre alguns parâmetros de orientação interior (ou parâmetros intrínsecos) e alguns parâmetros de orientação exterior (parâmetros extrínsecos).

No Brasil, os trabalhos iniciais com calibração de câmaras se devem a Andrade e Olivas (OLIVAS, 1980; ANDRADE e OLIVAS, 1981) no início dos anos 80, onde foram testados métodos de calibração, usando dentre outras, injunções de distância, de modo a simplificar a manutenção de campos de teste para a calibração. Com o advento dos elementos semicondutores deu-se o início do desenvolvimento e a disponibilização de câmaras digitais, no qual o elemento sensor passa a ser do tipo CCD (Charge Coupled Device) e CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor). No Brasil, os primeiros trabalhos práticos com calibração de câmaras digitais foram no início dos anos 90 (TOMMASELLI e TOZZI, 1990; GALO, 1993), onde foram estudados, testados e avaliados diferentes modelos e métodos de calibração.

Embora o problema da calibração seja bem estudado, o desenvolvimento de novos sensores, de novas objetivas e a possibilidade da integração de diferentes sistemas (câmaras digitais, GPS, sistemas inerciais), etc; faz com que este problema seja ainda objeto de estudo, como pode ser visto pelas recomendações apresentadas no relatório apresentado pelo ASPRS Camera Calibration Panel (ASPRS, 2000) bem como da criação da EuroSDR - Network "Digital Camera Calibration", no contexto do consórcio EuroSDR - European Spatial Data Research (EuroSDR, 2004), onde discussões para o estabelecimento de campos de testes internacionais para a calibração, tanto radiométrica quanto geométrica, são avaliados, de modo que os seguintes aspectos sejam considerados: que atendam aos padrões de exigência; considerem as variações de características como iluminação e diversidade de terrenos; sejam mantidos por organizações reconhecidas; e sejam disponíveis para a calibração de sensores para organizações autorizadas.

Ainda com referência a este consórcio, é relevante mencionar a organização de um recente evento internacional, com o foco específico no problema de Calibração e Orientação, denominado EuroCOW 20061 - International Calibration and Orientation Workshop, onde diversos trabalhos ligados ao tema foram apresentados, sendo dois do Brasil. Neste evento foi realizada uma seção específica denominada “EuroSDR Session” onde destaca-se a apresentação do Prof. Dr. Michael Cramer (University of Stuttgart) intitulada "Calibration and validation of digital airborne cameras", na qual foram tratados justamente os aspectos ligados aos testes e recomendações ligadas à calibração, não apenas de câmaras, mas dos modernos sistemas de aquisição de dados que integram sensores ópticos de imageamento bem como sensores a LASER integrados a Unidades de Medição Inerciais (IMU – Inertial Measurement Unit) por exemplo.

Um outro aspecto relevante, se refere a adoção, por parte de alguns países desenvolvidos, de especificações destinadas ao uso de câmaras de pequeno e médio formatos, uma vez que o uso deste tipo de câmara, em aplicações métricas, tem aumentado. Como exemplo pode-se mencionar o documento denominado “Small & Medium Format Digital Camera Specifications” do BMGS (Base Mapping and Geomatic Services) e da agência ILMB (Integrated Land Management Bureau), da Província de Colúmbia Britânica do Canadá. Neste documento (ILMB, 2007) são destacados diversos aspectos, dente eles o de calibração de câmaras digitais de pequeno e médio formato, sendo previsto tanto a calibração in-door quanto in-situ, bem como aspectos relacionados à estabilidade da câmara e critérios de aceitação para a calibração, por exemplo. Nestas normas, em específico, são sugeridos métodos que se baseiam no uso de feições retas (HABIB e MORGAN, 2003, 2005; TELLES e TOMMASELLI, 2003; MARCATO JÚNIOR et al., 2007). Na verdade, a proposição destas especificações mostra a relevância e atualidade do tema, sendo esse um problema que o Brasil deverá se preocupar, face ao crescente uso de imagens obtidas por câmaras digitais em aplicações métricas, como pode-se ver em inúmeros trabalhos acadêmicos e outros, como por exemplo em MITISHITA et al (2003), onde diferentes tipos de câmaras, em diferentes plataformas, podem ser usados na geração de base de dados.

Estes são alguns dos aspectos destacados, sendo outros também relevantes, como por exemplo, a influência de diferentes métodos de extração de coordenadas no espaço imagem; a análise da variação dos parâmetros com o tempo (MITISHITA e BARBOSA, 2003; SANTOS JÚNIOR, MITISHITA, MACHADO, 2004), importantes para a definição da periodicidade adequada da calibração; e a avaliação da significância dos parâmetros, que pode ser feita por diferentes abordagens, como testes estatísticos e Análise de Componentes Principais (SILVA, 2004), dentre outros.

Uma vez que a determinação da posição de pontos imagens com acurácia subpixel é importante para algumas aplicações Fotogramétricas, como destacam Tang e Heipke (1996, p. 49) é relevante a avaliação da influência deste tipo de refinamento no resultado da Calibração da Câmara, ou seja, na estimativa dos parâmetros de OI (Orientação Interior). Como métodos para a extração

1

Os artigos deste evento podem ser obtidos a partir da página da ISPRS (International Society for Photogrammetry and Remote Sensing) no endereço http://www.isprs.org/commission1/euroCOW06/.

com qualidade subpixel podem ser usados diversos operadores de interesse, como alguns descritos em Galo e Tozzi (2002) e Remondino (2006), como o operador de Moravec (MORAVEC, 1977), Förstner (FÖRSTNER, 1986), Harris (HARRIS e STEPHENS, 1988; MA et al, 2007) e SUSAN (SMITH e BRADY, 1995), dentre outros. Para isso é necessário que os alvos implantados no campo de teste sejam projetados de acordo com as especificações do operador que será utilizado para a extração com qualidade subpixel. Outro aspecto relevante se refere à análise da significância dos parâmetros intrínsecos, que pode ser feita através da análise por componentes principais; por testes estatísticos ou ainda pela análise da influência de cada parâmetro, em relação ao erro total modelado, sendo importante a incorporação deste tipo de análise em aplicativos que realizam a Calibração de Câmaras.

2. Objetivo

Com a intenção de contribuir para o incremento do procedimento de Calibração de Câmaras digitais, pretende-se criar um campo de testes para a aquisição de imagens, de modo que possa ser utilizado para a calibração das diversas câmaras disponíveis no Departamento de Cartografia da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual Paulista (FCT/Unesp), bem como câmaras de usuários externos da Universidade. Além disso, pretende-se desenvolver aplicativos e funções, bem como adaptar aplicativos já existentes no Departamento de Cartografia, no sentido de incorporar e proporcionar a medição de coordenadas com qualidade subpixel; incluir a opção de uso das injunções de distância no aplicativo de Calibração de Câmaras disponível, bem como realizar a análise da significância dos parâmetros intrínsecos resultantes. É relevante destacar que parte do desenvolvimento feito está disponível na biblioteca de funções UPTK (TOMMASELLI, HASEGAWA, GALO, 2003) que pode ser encontrado no endereço http://www2.prudente.unesp.br/dcartog/uptk/.

Etapas previstas:

1) Fazer o planejamento de um campo de teste. A partir do projeto do campo de teste deve ser feita a materialização do campo de teste, bem como a medição das posições dos alvos. Será implantado um campo de teste na parede de uma edificação da universidade;

2) Definir um procedimento que permita a análise da significância dos parâmetros de calibração, com a sua incorporação em um dos programas de Calibração de Câmaras disponíveis na unidade. Além disso, pretende-se incorporar a possibilidade de inclusão de injunções de distância no mesmo aplicativo destinado à Calibração de Câmaras;

3) Fazer a implementação de funções que permitam, de modo integrado, obter as coordenadas dos alvos projetados no espaço imagem, com qualidade subpixel, fazendo a avaliação da influência deste refinamento na Calibração de Câmaras; 4) Fazer a avaliação dos parâmetros de calibração em diferentes épocas.

3. Atividades realizadas

Nesta seção serão descritas as principais atividades desenvolvidas e realizadas neste projeto.

3.1. Escolha e adaptações no Campo de Calibração

A princípio, a idéia da equipe era a de fazer a escolha de uma parede de um dos prédios da UNESP/FCT – Campus de Presidente Prudente para fazer a implantação dos alvos do Campo de Calibração. Em função de fatores como dimensões mínimas, localização em local de pouco trânsito de pessoas e veículos, dentre outros; a opção foi por adequar um Campo de Calibração já existente no Campus, implementado com recursos obtidos via projetos do Laboratório de Mapeamento Móvel da FCT, coordenado pelo Prof. Dr. João Fernando Custódio da Silva, como descrito em Silva et al. (2001) e Silva, Camargo e Gallis (2003). Este Campo de Calibração está localizado na parede externa do fundo do ginásio de esportes do Campus da UNESP/FCT.

Após a opção pela reforma do campo já existente, foi feita a solicitação junto à direção da UNESP/FCT de uma autorização para a adequação deste campo, sendo mantidos e reparados os pontos originalmente implantados (54) e colocados pontos adicionais. Na Figura 1 é mostrado o Campo de Calibração antes da reforma, com os 54 pontos originalmente implantados.

a) b)

Figura 1 – Campo de Calibração da FCT com 54 pontos de apoio (a) e detalhes mostrando alguns pontos.

Pode ser observado na Figura 1a que ao fotografar todo o Campo de Calibração, os pontos de apoio ficam localizados na parte inferior da imagem. A fim de permitir a tomada de imagens com câmaras de diferentes características (dimensão do quadro, distância focal, abertura, etc),

possibilitando a tomada de imagens a diferentes distâncias, com mais pontos de apoio, bem como pontos mais espalhados no campo visual, tanto para o caso de tomadas convergentes quanto frontais; a parede foi pintada e foram criados mais alguns pontos, sendo inclusive alguns situados fora do plano da parede. Na Figura 2 são mostradas algumas imagens, onde podem ser vistas algumas das etapas da reforma no Campo de Calibração, utilizando recursos deste projeto.

a) b)

c) d)

Figura 2 – Etapa de pintura (a), colocação de novos alvos (b, c) e colocação de hastes que sustenta ponto afastado da parede (d).

Nas imagens mostradas em 2a, 2b e 2c, pode-se ver a estrutura armada para a etapa de pintura e colocação dos alvos. Em 2d é mostrado um detalhe de uma das 4 hastes chumbadas na parede do Campo de Calibração, que tem a função de suportar um alvo na extremidade. O uso de pontos fora da parede, e portanto com um certo desnível, tem a função de minimizar algumas correlações no processo de calibração, mais especificamente entre alguns parâmetros de OI (orientação interior) e OE (orientação exterior), como pode ser visto em Andrade e Olivas (1981), Andrade (2003) e Dorth e Galo (2006). Os alvos fora do plano da parede estão localizados a aproximadamente 1,5m da parede.

a) b)

Figura 3 – Campo de Calibração após a reforma (a, b).

Em 3a tem-se uma visão geral do campo com os 54 pontos originais e mais 29 pontos, sendo 4 deles situados a aproximadamente 1,5m da parede, como destacado na Figura 3b. Pode-se também notar nesta última figura algumas linhas. Estas linhas de aço foram colocadas em algumas partes do Campo de Calibração, a fim de realizar experimentos relacionados ao uso de feições retas na calibração de câmaras (HABIB, MORGAN e LEE, 2002; TELLES e TOMMASELLI, 2005; BAZAN, TOMMASELLI, GALO, 2005; MARCATO JÚNIOR, TOMMASELLI, GALO, 2007).

Na sequência são mostrados alguns detalhes dos pontos implantados. Nos 4 cantos extremos do campo e no ponto central da parte superior foram colocados pontos circulares brancos com o fundo preto, como todos os demais, sendo colocado em cada placa um retângulo colorido (amarelo para os pontos nos cantos SE e SO) e verde na parte superior (NO, centro e NE). Na Figura 4a são mostrados os alvos localizados nos cantos inferior esquerdo e direito, respectivamente.

a) b)

Figura 4 – Detalhes de alguns alvos implantados no Campo de Calibração. Em (a) são mostrados alguns pontos dos cantos e em (b) alguns pontos da parte central.

No Anexo I são mostradas algumas imagens referentes a algumas etapas da reforma do Campo de Calibração. Neste anexo as imagens estão em baixa resolução e através do acesso à

pagina do projeto, no endereço http://www2.fct.unesp.br/dcarto/galo/projeto, as imagens em maior resolução poderão ser vistas.

3.2. Modelo funcional básico do aplicativo para Calibração de Câmaras

O modelo funcional utilizado no aplicado destinado à Calibração de Câmaras (GALO, 1993, 2004) se baseia nas conhecidas equações de colinearidade, com parâmetros adicionais. Para um determinado ponto p(xij,yij) do espaço imagem, localizado na imagem j e imagem do ponto i do

espaço objeto, estas equações podem ser escritas como:

)

Z

Z

(

m

)

Y

Y

(

m

)

X

X

(

m

)

Z

Z

(

m

)

Y

Y

(

m

)

X

X

(

m

c

y

)

Z

Z

(

m

)

Y

Y

(

m

)

X

X

(

m

)

Z

Z

(

m

)

Y

Y

(

m

)

X

X

(

m

c

x

j cp i j 33 j cp i j 32 j cp i j 31 j cp i j 23 j cp i j 22 j cp i j 21 ij j cp i j 33 j cp i j 32 j cp i j 31 j cp i j 13 j cp i j 12 j cp i j 11 ij

−

+

−

+

−

−

+

−

+

−

−

=

−

+

−

+

−

−

+

−

+

−

−

=

(1) onde:

- (X,Y,Z)i é a posição de um ponto genérico P no espaço objeto;

-

(

X

_cpj

,

Y

_cpj

,

Z

_cpj

)

é a posição do centro perspectivo da imagem j, no espaço objeto; - c é a distância focal das câmaras; e

- mij são os elementos da matriz de rotação (Mκϕω) da imagem j, função das rotações em torno

dos eixos x, y e z do sistema do espaço imagem, e dada por:





















ϕ

ω

+

ϕ

ω

−

ϕ

+

κ

ω

+

κ

ϕ

ω

+

κ

ω

+

κ

ϕ

ω

−

κ

ϕ

−

κ

ω

+

κ

ϕ

ω

−

κ

ω

+

κ

ϕ

ω

+

κ

ϕ

+

=

κϕω

cos

.

cos

cos

.

sin

sin

cos

.

sin

sin

.

sin

.

cos

cos

.

cos

sin

.

sin

.

sin

sin

.

cos

sin

.

sin

cos

.

sin

.

cos

sin

.

cos

cos

.

sin

.

sin

cos

.

cos

M

(2)

As Equações 1 permitem que seja feito o mapeamento de um ponto P(X,Y,Z)i do espaço

objeto para o espaço imagem p(x,y)ij. Nestas equações considera-se um caso ideal onde não são

consideradas as distorções provocadas pelo sistema de lentes, etc. Ignorando os sub-índices ij, correspondentes ao número do ponto (i) e à imagem (j), respectivamente, e designando as coordenadas observadas no sistema de imagem e transformadas para um sistema com origem no

centro da imagem (x’,y’); (x0,y0) as coordenadas do ponto principal no sistema fiducial; e (∆x,∆y) as

funções capazes de modelar as distorções em x e y respectivamente, pode-se escrever:

x y x y x y x y       = ′_′      −      −      0 0 ∆ ∆ . (3)

Detalhes sobre os referenciais e as transformações podem ser obtidos em Galo (2003), Tommaselli, Hasegawa e Galo (2002) e Tommaselli e Hasegawa (2005), por exemplo. Reescrevendo as Equações 1, e incorporando o resultado da Equação 3, obtém-se:

)

Zcp

Z

(

m

)

Ycp

Y

(

m

)

Xcp

X

(

m

)

Zcp

Z

(

m

)

Ycp

Y

(

m

)

Xcp

X

(

m

c

y

y

y

)

Zcp

Z

(

m

)

Ycp

Y

(

m

)

Xcp

X

(

m

)

Zcp

Z

(

m

)

Ycp

Y

(

m

)

Xcp

X

(

m

c

x

x

x

33 32 31 23 22 21 0 33 32 31 13 12 11 0

−

+

−

+

−

−

+

−

+

−

−

∆

+

=

′

−

+

−

+

−

−

+

−

+

−

−

∆

+

=

′

. (4)

Na Equação 3 o terceiro termo incorpora o modelo matemático usado para a modelagem dos erros e uma possibilidade é considerar três componentes: a distorção radial simétrica, a distorção descentrada e os parâmetros de afinidade. Para detalhes adicionais sobre estes modelos, as seguintes referências são sugeridas: Moniwa (1972); Merchant (1979); Lugnani (1987); Andrade (1998), Andrade & Olivas (1981) e Mitishita e Olivas (2001). As equações utilizadas na implementação são mostradas na Tabela 1.

Tabela 1: Modelos matemáticos utilizados para a modelagem dos erros sistemáticos. Componentes

da Distorção

Parâmetros Modelo matemático

Radial Simétrica* (δxr,δyr) K1, K2 e K3 δx _{x x K r K r K r} r=( ′ − 0)( 1 2+ 2 4+ 3 6) δy_r=(y′ −y₀)(K r₁ 2+K r₂ 4+K r₃ 6) Descentrada** (δxd,δyd) P1 e P2

)

y

y

)(

x

x

(

2P

)

)

x

x

2(

(r

P

δx

0 0 2 2 0 2 1 d

−

′

−

′

+

−

′

+

=

δy P r y x P x x y y d = + ′ − + ′ − ′ − 2 2 0 2 1 0 0 2 2 ( ( ) ) ( )( ) Afinidade*** (δxa,δya) A e B δx_a=A x( ′ −x₀) δy_a=B x( ′ −x₀) r= (x′ −x₀)2+(y′ −y₀)2

* - Modelo de Conrady (Andrade e Olivas, 1981).

** - Modelo de Conrady – Brown (Andrade e Olivas, 1981).

*** - O modelo utilizado é ligeiramente modificado do original (Moniwa, 1972), como pode ser observado nas referências (Tommaselli e Tozzi, 1990; Galo, 1993).

Deste modo, o modelo de erro pode ser finalmente escrito por: ∆ ∆ x y x y x y x y r r d d a a       =      +      +      δ δ δ δ δ δ . (5)

Os modelos descritos são usados em alguns aplicativos. No entanto, outros modelos são utilizados, como por exemplo os que modelam deformações afim, escrito por:

)

y

'

y

(

A

y

)

y

'

y

(

A

)

x

x

(

A

x

0 1 a 0 2 0 1 a

−

−

=

δ

−

+

−

′

−

=

δ

(6)

e utilizado por Habib e Morgan (2003, 2005) e como pode ser visto em ILBM(2007), por exemplo. Além deste, pode-se também considerar modelos que são apenas variantes de outros, como por exemplo o da Distorção Radial Simétrica, que pode ser escrito de diferentes formas (ILBM, 2007; MITISHITA e OLIVAS, 2001):

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

[

6

]

0 6 3 4 0 4 2 2 0 2 1 0 r 6 0 6 3 4 0 4 2 2 0 2 1 0 r

r

r

K

r

r

K

r

r

K

)

y

'

y

(

y

r

r

K

r

r

K

r

r

K

)

x

'

x

(

x

−

+

−

+

−

−

=

δ

−

+

−

+

−

−

=

δ

(7a)

[

]

[

6

]

3 4 2 2 1 0 0 r 6 3 4 2 2 1 0 0 r

r

K

r

K

r

K

K

)

y

'

y

(

y

r

K

r

K

r

K

K

)

x

'

x

(

x

+

+

+

−

=

δ

+

+

+

−

=

δ

(7b)

Estes modelos são responsáveis por modelar a distorção radial simétrica, como faz o primeiro modelo mostrado na Tabela 1. No caso do modelo dado pela Eq. 7a a única diferença se refere ao termo r0, que corresponde a um valor arbitrário de r para o qual as componentes (δxr, δyr)

simultaneamente se anulam. Deste modo, a partir da definição de um valor adequado para r0, a curva

de distorção pode ser balanceada. O modelo 7a foi implementado neste projeto, podendo ser arbitrado um valor para r0, adequado à dimensão do quadro do sensor utilizado. Observando as

Equações 7a e 7b pode-se fazer o desenvolvimento destas equações e expressar K0 como uma

função dos valores de K1, K2, K3 e r0, obtendo-se

(

)

6 0 3 4 0 2 2 0 1 0

K

r

K

r

K

r

K

=

−

+

+

.

Na seqüência é mostrado na Figura 5 um exemplo das curvas de distorção radial usando o valor de r0=0 mm e um valor não nulo, r0=15 mm, para o caso do processamento usando um conjunto

de imagens adquiridas com a câmara digital Sony Cyber-Shot DSC-R1 – CMOS, com quadro 3888 (h) x 2592 (v) e dimensão do pixel igual a 0,009 mm, correspondente a um quadro padrão 35 mm (36 mm x 24 mm).

a)

b)

Figura 5 – Curvas de distorção radial simétrica, obtidas usando o modelo dado pela Eq. 7, com r0=0

mm e r0=15 mm, respectivamente. Nas superfícies, à direita dos gráficos, são mostradas as

magnitudes das distorções.

A partir destes gráficos pode-se notar que em 5b a curva de distorção se anula para r=0 mm e também para r=15 mm, que é justamente o valor arbitrado para r0. Nas superfícies mostradas à

direita podem ser vistas as magnitudes das distorções, para os dois casos. É relevante ressaltar que a mudança no valor de r0 não elimina a distorção, mas apenas redistribui e reduz a distância entre as

distorções mínima e máxima.

Como referências adicionais relativas aos modelos matemáticos destinados à correção de erros sistemáticos sugere-se FRASER (1997). É relevante destacar que os modelos apresentados nesta seção e neste trabalho se referem à modelagem das distorções para câmaras de quadro (frame), onde se considera que a imagem é formada por uma projeção central, ou seja, considera-se o modelo denominado “câmara central”, segundo a denominação dada por STURM, RAMALINGAN e LODHA (2006).

3.3. Desenvolvimentos adicionais

Nesta seção serão apresentados alguns aspectos relacionados aos melhoramentos e desenvolvimentos que foram incorporados ao aplicativo de Calibração de Câmaras utilizado neste projeto. Além da inclusão do modelo dado pela Eq. 7, com a possibilidade de escolha do valor de r0,

pode-se mencionar a análise estatística da significância de parâmetros de OI, a opção do usuário incluir ou não injunção de distâncias no CP ou nos pontos do espaço objeto, a análise da MVC usando componentes principais (via um aplicativo desenvolvido independente do aplicativo destinado à Calibração de Câmaras) e o cálculo do coeficiente de correlação global.

3.3.1. Incorporação da análise da significância de parâmetros

Ao fazer a determinação dos parâmetros intrínsecos das câmaras, como a distância focal, a posição do ponto principal e os parâmetros que modelam a distorção do sistema óptico, um problema é saber quantos e quais parâmetros devem ser utilizados. No caso da calibração de câmaras fotogramétrica métricas, o vetor dos parâmetros é normalmente composto pelos seguintes parâmetros: [ c x0 y0 K1 K2 K3 P1 P2 ]

t

. No caso de câmaras digitais não existe um padrão a ser seguido, uma vez que câmaras de diferentes qualidades e características são disponíveis. Além disso, deve-se lembrar que, poucas delas são feitas especificamente com a finalidade métrica. Na Figura 6 são mostradas as dimensões de quatro câmaras, uma câmara fotogramétrica de quadro 230mm x 230mm e três câmaras digitais: uma DuncanTech MS3100 – CIR (1392 (h) x 1039 (v) pixels, sensor CCD, formato 1/2" 6,4 x 4,8 mm); uma Sony Cyber-Shot DSC-R1 – CMOS (dimensão da imagem: 3888 (h) x 2592 (v) pixels, sensor CMOS, formato 21,5 x 14,4 mm) e uma Hasselblad H1D - 22Mpixels (dimensão da imagem: 5440 (h) x 4080 (v) pixels, sensor CCD, formato 37 x 49 mm, distância focal nominal de 50mm).

a) b)

c) d)

Figura 6 – Dimensões do quadro de algumas câmaras: câmara métrica (a) de quadro 230x230mm, f=150mm e três câmaras digitais: DuncanTech MS3100 – CIR (b), Sony Cyber-Shot DSC-R1 – CMOS (c) e Hasselblad H1D – 22Mpixel (d).

A partir destas figuras pode-se observar que os ângulos de abertura são diferentes de câmara para câmara, embora não sejam mostrados os valores destas aberturas. Do mesmo modo que algumas características geométricas simples podem ser diferentes de câmara para câmara, a qualidade do sistema óptico é variável e os parâmetros intrínsecos que modelam adequadamente as distorções de uma câmara podem não modelar as distorções para outras câmaras. Deste modo, a análise da significância de parâmetros é relevante.

Um dos critérios que pode ser utilizado para esta análise é o da influência de cada um dos parâmetros que compõem os modelos de erro, em cada um dos componentes do vetor de fotocoordenadas [x y]t. Uma outra possibilidade é a aplicação de testes de hipótese em cada um dos componentes do modelo, como apresentado por Zhong (1997) para o caso da análise de graus de polinômios na interpolação de alturas elipsoidais a partir de pontos de referência obtidos por GPS. Estes testes são descritos por Zhong (1997), e também apresentados por Camargo (1999), para a seleção de parâmetros utilizados na modelagem regional da ionosfera e também são adequados ao problema tratado.

Na seqüência é apresentado o teste baseado na distribuição F, utilizado para a avaliação da significância de um parâmetro genérico xi, com

x

_i

{

X

_a

}

r

– Método dos Mínimos Quadrados. Uma vez que após o ajustamento têm-se tanto o vetor dos parâmetros ajustados

X

_a

r

quanto a MVC – Matriz de Covariâncias dos parâmetros ajustados

( )

a X r

Σ

, a variância 2_x i

σ

de um parâmetro xi é conhecida. A partir destas informações, as seguintes hipóteses

podem ser formuladas (ZHONG, 1997; CAMARGO, 1999):

    ≠ = 0 x : H a Alternativ 0 x : H Básica Hipóteses i 1 i 0 . (8)

Estabelecidas as hipóteses anteriores, a estatística F para o parâmetro xi pode ser calculada

por: 2 x 2 i x i i

x

F

σ

=

~

F

~

_1,gl. (9)

Deste modo, assumindo que o número de graus de liberdade seja gl e que o nível de significância seja α, a hipótese básica será validada se a seguinte igualdade for verdadeira:

(1 ,1,gl)

x

F

F

i

<

−α . (10)

Neste caso, uma vez que a hipótese básica não é rejeitada, o parâmetro analisado xi pode

ser considerado como não significativo e pode ser eliminado do modelo. Este processo pode ser repetido para os demais parâmetros do modelo, de modo que apenas os parâmetros estatisticamente significativos façam parte do modelo funcional final.

As Equações 8, 9 e 10 permitem a realização da análise isolada de cada um dos parâmetros presentes no modelo funcional. Uma outra análise que pode ser considerada se refere a análise simultânea de um conjunto de parâmetros, incorporando nesta análise a covariância entre cada parâmetro deste conjunto. Como exemplo de conjuntos de parâmetros de OI pode-se citar a posição do ponto principal (x0 e y0), os parâmetros da distorção descentrada (P1 e P2) ou dos parâmetros de

distorção radial simétrica, considerando os conjuntos {K1, K2} e {K1, K2, K3}. Considerando a distorção













−

−

+

−

+

−

−

+

−

+

=













)

y

)(y'

x

(x'

P

2

)

)

y

2(y'

(r

P

)

y

)(y'

x

(x'

P

2

)

)

x

2(x'

(r

P

δy

δx

0 0 1 2 0 2 2 0 0 2 2 0 2 1 d d . (11)

No caso deste modelo, especificamente, este tipo de análise é interessante uma vez que o modelo não é um polinômio, ou uma série, como em outros modelos matemáticos e, portanto, não faz sentido incluir um dos parâmetros (P1) e excluir outro (P2) do modelo, ou vice-versa.

Para formalizar esta análise, e os testes que devem ser aplicados, de acordo com a formulação apresentada por Zhong (1997), considera-se que a análise será aplicada em um grupo de p parâmetros do vetor

{ }

X

_a

r

, iniciando a partir de um parâmetro genérico j, ou seja,

[

]

t 1 p j 1 j j 1 p j , j

x

x

...

x

x

r

_{+ −}

=

_{+ + −} com

x

_{j,j p1}

{ }

X

_a

r

r

∈

− + . (12)

Para este caso genérico, as seguintes hipóteses podem ser formuladas:

     ≠ = − + − + 1 px 1 p j , j 1 1 px 1 p j , j 0 0 x : H a Alternativ 0 x : H Básica Hipóteses r r . (13)

A partir dos parâmetros estimados e de sua matriz cofatora, a estatística F pode ser calculada por 2 0 1 p j , j 1 1 p j , j t 1 p j , j ˆ p x Q x F σ = + − − − + − + r r , (14)

onde Q_j,j+p−1 é a matriz cofatora do vetor rx_j,j+p−1 e σˆ2₀ é a variância da unidade de peso a posteriori. Uma vez que a matriz de covariância dos parâmetros ajustados se relaciona com a matriz cofatora dos parâmetros ajustados por Σ_j,j+p−1=σˆ2₀Q_j,j+p−1, a inversa da matriz cofatora pode ser calculada por Q_j,1_{j p 1}

( )

ˆ₀2 1 −_j,1_j+_p−₁

− −

−

+ = σ Σ , que substituída na Equação 14 resulta:

p x x F j,j p 1 1 1 p j , j t 1 p j , j + −Σ−+ − + − = r r . (15)

Se o valor de F estimado pela equação anterior satisfazer a igualdade ) gl , p , 1 (

F

F

<

_−α , (16)

para um nível de significância α, a hipótese básica não poderá ser rejeitada, ou seja, o conjunto de parâmetros

x

r

_j,j+p−1 pode ser considerado como não significativo para o modelo.

3.3.1.1. Particularização do cálculo de F para vetores 2D

Considerando que se deseja calcular o valor de F para os parâmetros P1 e P2, após a

convergência do ajustamento, pode-se assumir que o vetor dos parâmetros e sua respectiva Matriz de Covariâncias são disponíveis, isto é, tem-se:

[

]

t 2 1 P P

P

P

x

2 1

=

r

        σ σ σ σ = Σ ₂ P P P P P 2 P P P 2 2 1 2 1 1 2 1 (17)

Substituindo os elementos da Eq. 17 na Eq. 15 obtêm-se:

[

]

2

P

P

P

P

p

x

x

F

2 1 1 2 P P P P P 2 P 2 1 1 p j , j 1 1 p j , j t 1 p j , j 12 1 2 1 1





























σ

σ

σ

σ

=

Σ

=

− − + − − + − +

r

r

(18)

Assumindo que a matriz 2x2 na equação anterior tem inversa, após o desenvolvimento da Eq. 18 pode-se obter o valor da estatística F para o grupo de parâmetros {P1, P2} por:

) ( 2 P P P 2 P F ₂ P P 2 P 2 P 2 P 2 2 P P 2 1 2 P 2 1 P P 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 _{σ σ −σ} σ + σ − σ = . (19)

Para o caso particular em que a covariância entre P1 e P2 seja nula, o valor de 2 1P

P

F

pode ser calculado por:

2 P 2 P 2 P 2 2 2 P 2 1 P P 2 1 1 2 2 1

2

P

P

F

σ

σ

σ

+

σ

=

. (20)

De modo análogo, as estatísticas amostrais F para os grupos de parâmetros [ x0 y0 ] t

e [ A B ]t podem ser calculados por:

) ( 2 y y x 2 x F ₂ y x 2 y 2 x 2 y 2 0 y x 0 0 2 x 2 0 y x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _{σ σ −σ} σ + σ − σ = (21) ) ( 2 B AB 2 A F ₂ AB 2 B 2 A 2 B 2 AB 2 A 2 AB _{σ σ −σ} σ + σ − σ = (22)

3.3.2. Injunções de distância entre CPs e pontos do espaço-objeto

No aplicativo usado como base neste projeto tem-se a possibilidade de fazer a inclusão de injunções em qualquer parâmetro do vetor de parâmetros

{ }

X

_a

r

, como pode ser visto em Galo (2004). Para isso basta que se conheça a posição do parâmetro no vetor

{ }

X

_a

r

, o valor do parâmetro e o respectivo desvio-padrão. Uma vez que a distância entre pontos do espaço objeto e entre os centros perspectivos (CPs) podem ser observadas diretamente, em alguns casos (estéreo-câmaras e sistemas duais), que as medidas de distância poderem ser feitas por técnicas diretas e contribuírem para a escala dos blocos, é importante que se tenha também a possibilidade de injunções de distância no processamento. Por esta razão foram incluídas as possibilidades de aplicar injunção de distância entre CPs bem como entre pontos no espaço objeto.

Apenas como exemplo de aplicação de uso de injunção de distância entre CPs pode-se considerar esta injunção aplicada ao par de câmaras de vídeo digitais da UMMD – Unidade Móvel de Mapeamento Digital, no qual pode-se considerar que este conjunto atue como uma estéreo-câmara digital, com estéreo-base b, como pode ser visto em Espinhosa (2006).

Além da possibilidade de injunção de distância entre CPs, outra possibilidade é o uso da injunção de distância entre os pontos do espaço objeto, que constitui em uma forte restrição geométrica na escala no bloco. Por esta razão, caso sejam disponíveis distâncias medidas com precisão, a incorporação desta informação no ajustamento é relevante. No caso do Campo de Calibração descrito neste relatório, pode-se considerar que se as coordenadas dos pontos forem

conhecidas por um levantamento topográfico, por exemplo, as distâncias podem ser calculadas e incluídas no ajustamento. Outra possibilidade, além dessa, é utilizar um medidor direto de distância, como por exemplo, um paquímetro.

A injunção de distância entre dois pontos genéricos i (Xi, Yi, Zi) e j (Xj, Yj, Zj), que podem ser

tanto pontos do espaço objeto ou dois CPs, pode ser escrita por:

(

) (

) (

)

[

₂

]

1/2 i j 2 i j 2 i j ij

X

X

Y

Y

Z

Z

D

=

−

+

−

+

−

, (23)

onde Dij é a distância euclidiana entre os pontos i e j, que pode ser medida diretamente, e que possui

desvio-padrão ij

D

σ

.

Para fazer a inclusão das injunções de distância no processamento, basta que sejam incluídas como equações de observação adicionais no ajustamento, tantas equações do tipo da Eq. 23 quanto forem as distâncias medidas. Assim como feito para as equações de colinearidade, para estas equações também devem ser calculadas as derivadas parciais de Dij em relação a cada uma

das coordenadas dos pontos i e j (que são parâmetros do ajustamento), como pode ser visto na sequência:

(

)

1 ij j i i ij

d

D

X

X

X

D

=

−

=

∂

∂

₄ i ij j ij

d

X

D

X

D

=

∂

∂

−

=

∂

∂

(

)

2 ij j i i ij

d

D

Y

Y

Y

D

=

−

=

∂

∂

₅ i ij j ij

d

Y

D

Y

D

=

∂

∂

−

=

∂

∂

(24)

(

)

3 ij j i i ij

d

D

Z

Z

X

D

=

−

=

∂

∂

₆ i ij j ij

d

Z

D

Z

D

=

∂

∂

−

=

∂

∂

Para o cálculo da matriz normal N (N=AtPA) do ajustamento (GEMAEL, 1994), deve-se montar a matriz A das derivadas parciais e a matriz P (Matriz dos Pesos), onde o peso correspondente a uma determinada distância Dij pode ser calculado por

2 D 2 0 Dij

p

/

ij

p

=

=

σ

σ

. Fazendo a montagem da matriz A e da matriz P é possível verificar que a influência da inclusão de uma injunção de distância pode ser feita diretamente na matriz N, sem a necessidade de aumentar o número de equações de observação (sem aumentar a matriz A do ajustamento). Esta incorporação da injunção direto na matriz N pode ser feita por 4 blocos de dimensão 3x3, como pode ser visto na seguinte matriz, onde o primeiro bloco 3x3 deve ser incluído no sub-bloco correspondente à influência

do primeiro ponto i (

N

c_ii) e de modo análogo para os demais blocos, como indicado pelos sub-índices. c ii

N

N

_ijc

=

−

N

c_ii (25) c ii c ji

N

N

=

−

N =

c_jj

N

c_ii

Fazendo o desenvolvimento do produto AtPA, correspondente a esta injunção, e considerando d1, ...,d6 como sendo as 6 derivadas parciais (Equação 24) obtêm-se:





















































−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

d

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

d

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

d

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

d

p

d

p

d

d

p

d

d

p

d

2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 3 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 3 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1

L

L

L

M

M

M

O

M

M

M

L

L

L

. (26)

Pode-se notar que o número total de elementos que devem ser incluídos na matriz N é igual a 36, sendo que destes elementos, apenas 6 devem ser calculados [

d

₁2

p

d

₁

d

₂

p

d

₁

d

₃

p

d

2₂

p

d

₂

d

₃

p

d

₃2

p

], sendo todos os demais obtidos a partir destes valores calculados.

De modo análogo, pode ser incorporada a influência desta injunção no vetor U (AtPL), sendo esta influência dada por:

ij 1

pW

d

ij 2

pW

d

ij 3

pW

d

M

(27) -

d

₁

pW

_ij -

d

₂

pW

_ij -

d

₃

pW

_ij

onde

W

_ij

=

d

0_ij

−

d

ajustada_ij representa o erro de fechamento. Mais detalhes sobre ajustamento de observações pelo critério do MMQ podem ser obtidos em Mikhail (1976) e Gemael (2004), por exemplo.

A partir do desenvolvimento apresentado pode-se ter uma idéia do processo de incorporação da inclusão de injunção de distâncias no ajustamento das observações. Este modelo matemático e estas possibilidades foram incorporadas no aplicativo de Calibração de Câmaras, sendo apresentados em seções posteriores alguns resultados práticos.

Para a medição de distâncias no Campo de Calibração optou-se por fazer as medidas utilizando um paquímetro. A princípio pensou-se em adquirir um paquímetro que permitisse medir distâncias de até 1500 mm, como pode ser visto na proposta inicial deste projeto. Posteriormente, com a redução do valor do dólar em relação à moeda brasileira e a possibilidade de adquirir um paquímetro de maior alcance (2000 mm), permitindo medir mais distâncias do que com o uso do paquímetro de 1500 mm, foi feita a solicitação ao CNPq, sendo autorizada a aquisição. No Anexo II podem ser vistas duas imagens do paquímetro adquirido, que possui as seguintes especificações: PANTEC 2000mm / 80", Leitura 0,020mm, Ref. 11215-2000-2.

3.3.3. Análise da matriz de correlação dos parâmetros de OI por PCA

Na Seção 3.3.1 foi apresentado o processo de análise da significância de parâmetros por meio de testes estatísticos. Independente da realização destes testes, uma possibilidade inicial é fazer a análise da influência de um determinado parâmetro, nas componentes (δxr,δyr) para o caso da

distorção radial simétrica e de modo análogo para as demais distorções. Neste tipo de análise é possível verificar se, por exemplo, a influência ou efeito de um determinado parâmetro é maior ou igual a acurácia do processo de medição de coordenadas no espaço imagem. Se isso ocorrer, o uso do parâmetro analisado parece ser significativo. Esta é uma análise inicial uma vez que leva em conta apenas um parâmetro.

Uma outra possibilidade é verificar a magnitude de cada um dos parâmetros estimados, em relação ao respectivo desvio-padrão. O fato do desvio-padrão ser da mesma ordem de grandeza que o próprio parâmetro é um indicador de que uma análise mais cuidadosa deve ser realizada. Nestes exemplos não foi feita menção à existência de correlações significativas entre parâmetros, o que significa na prática que o modelo matemático não consegue separar, ou pelo menos estimar de modo independente os efeitos de diferentes parâmetros. Ou seja, um parâmetro pode estar absorvendo o efeito provocado por outro parâmetro, resultando em um modelo matemático que não representa de modo rigoroso o problema físico tratado.

O problema de correlação entre alguns parâmetros de orientação interior e exterior é clássico em Fotogrametria, especialmente para o caso de fotos verticais em terreno plano. Para minimizar este problema métodos como câmaras convergentes e uso de pontos com diferentes desníveis

contribuem para minimizar a correlação entre parâmetros, como pode-se ver em Andrade e Olivas (1981); Andrade (2003), Dorth e Galo (2006). Para um estudo detalhado sobre a correlação entre alguns dos parâmetros as seguintes referências são sugeridas: Clarke, Wang e Fryer (1998) e Shortis, Robson e Beyer (1998).

Além dos aspectos e das possibilidades de análise mencionadas, o uso da técnica PCA (Principal Component Analysis), ou simplesmente Análise de Componentes Principais é uma outra possibilidade a considerar, como discutido e avaliado em Silva (2004). A análise por PCA é uma técnica utilizada em uma série de aplicações e de acordo com Johnson e Wichern (1992) tem dois objetivos gerais: redução de dados e interpretação. A aplicação na redução de dados é muito comum em Sensoriamento Remoto, a fim de que apenas as bandas espectrais que armazenam a maior parte da informação dos alvos analisados sejam utilizadas, otimizando o processamento dos dados, como pode-se ver em um exemplo mostrado em Gonzalez e Woods (1993). Além deste aspecto relevante de redução dos dados, o aspecto da seleção dos parâmetros que “carregam” a maior parte da informação é relevante e por isso o uso na seleção dos parâmetros de calibração também pode ser considerado.

De acordo com Johnson e Wichern (1992, p. 358), assumindo que a Matriz de Covariância Σ associada ao vetor

X

r

, composto de p variáveis aleatórias, ou seja,

[

1 2 p

]

t

_X

_X

_X

X

r

=

L

, (28)

e que a matriz Σ tenha os pares de autovalor-autovetor dados por

(

λ

₁

,

e

r

₁

)

, ....,

(

λ

_p

,

e

r

_p

)

, com λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ ... λp ≥ 0, o i-éssimo componente principal pode ser escrito por:

p pi 3 i 3 2 i 2 1 i 1 t i i

e

X

e

X

e

X

e

X

...

e

X

Y

=

=

+

+

+

+

r

r

(29)

com i∈{1, 2, ...,p}. O componente principal Yi possui as seguintes propriedades:

k

i

para

0

)

Y

,

Y

(

Cov

)

Y

(

Var

k i i i

≠

=

λ

=

. (30)

A partir destas propriedades, conforme prova apresentada em Johnson e Wichern (1992, p. 358), pode-se notar que as componentes principais possuem variâncias iguais aos autovalores da Matriz de Covariância (Σ) e são não correlacionadas (possuem covariâncias nulas).

Estas propriedades são fundamentais e permitem interpretar as componentes principais como uma transformação geométrica que descorrelacionam as variáveis iniciais consideradas, sendo útil na redução da dimensionalidade, a partir da avaliação da contribuição de cada componente principal k, com k∈{1, 2, ..., p}, por: p 3 2 1 k

...

C

k

λ

+

λ

+

λ

+

+

λ

λ

=

λ . (31)

Esta equação permite o cálculo da influência de cada componente principal, tendo como consequência a redução da dimensionalidade dos dados. Esta redução pode ser feita pela substituição das p variáveis originais por algumas componentes, aquelas que apresentam contribuição significativa no modelo. Para o cálculo da importância de cada uma das variáveis originais em cada componente principal pode-se analisar o coeficiente de correlação entre uma componente Yi e cada uma das variáveis Xk por:

kk i ki X , Y

e

k i

σ

λ

=

ρ

, (32)

com i,k∈{1, 2, ..., p}, como pode ser visto em Johnson e Wichern (1992).

Uma vez que neste tipo de análise são necessários os autovalores e os correspondentes autovetores da matriz de covariância, uma possibilidade de fazer a determinação destes autovalores e autovetores é através da decomposição SVD (Single Value Decomposition), ou Decomposição em Valores Singulares, como pode ser visto em MA et al. (2006, p. 458), Strang e Borre (1997, p. 258) e Press et al. (1992, p. 59) que fornece diretamente estes elementos (autovalores e autovetores).

Assumindo que uma matriz A possua dimensão mxn, com m≥n, a decomposição em valores singulares, ou de modo abreviado, a SVD de A, pode ser escrita por:

t n 2 1 n 2 1 n 2 1 t n n n n n m n m

A

U

V

u

u

u

v

v

v













































ω

ω

ω





















=

Σ

=

r

r

L

r

O

r

L

r

r

(33)

onde U é uma matriz mxn cujas colunas são ortogonais, Σ é uma matriz diagonal com elementos positivos ou nulos, denominados “valores singulares” ou autovalores, e V é uma matriz ortogonal nxn (PRESS et al., 1992, p. 59).

Considerando o caso da análise considerada neste projeto, que é da matriz de covariância, bem como da matriz dos coeficientes de correlação dos parâmetros de OI estimados, as matrizes da Equação 33 passam a ser quadradas.

Retomando à PCA, uma vez que para a análise da influência de cada componente principal pode-se usar a decomposição SVD para determinar as matrizes da Equação 33, para cada um dos autovalores na diagonal da matriz Σ, tem-se o autovetor correspondente numa das nas colunas da matriz U.

Este tipo de análise foi implementado em um aplicativo (SVD.EXE) desenvolvido neste projeto, que pode ser executado de modo independente do programa de Calibração de Câmaras. Para a execução deste aplicativo são utilizados como entrada os dados mostrados no Quadro 1:

Quadro 1 – Dados de entrada do aplicativo SVD.EXE. Estes dados são gerados a partir do programa de Calibração de Câmaras. O texto em negrito foi incluído com o propósito de informar o conteúdo do arquivo mostrado.

5 < Número de parâmetros de OI

0.23730E+02 0.66863E-02 < Parâmetro e respectivo desvio-padrão

0.32881E-01 0.13807E-02 0.17070E-01 0.18398E-02 -0.16409E-03 0.72886E-06 0.17915E-06 0.20853E-08

SIM < Indicador de que a matriz seguinte é simétrica

0.44707E-04 < Primeira linha da triangular inferior da MVC

0.14124E-05 0.19064E-05

0.50277E-06 -0.40419E-06 0.33847E-05

-0.52240E-09 -0.29634E-10 -0.28113E-09 0.53124E-12

0.59220E-11 0.47958E-12 0.60293E-12 -0.13614E-14 0.43483E-17

#

# ARQUIVO CONTENDO OS PARAMETROS DE OI E RESPECTIVA # MVC. DEVIDO A SIMETRIA, APENAS OS ELEMENTOS DA # TRIAGULAR INFERIOR FORAM ARMAZENADOS.

#

# Arquivo gerado pelo programa CC. #

Este aplicativo foi desenvolvido em Linguagem C/C++, em ANSI C, sendo utilizadas funções disponíveis em PRESS et al (1992), que também podem ser encontradas no NGS - NOAA (National Geodetic Survey – National Oceanic and Atmospheric Administration), mais especificamente nos endereços:

- http://www.ngs.noaa.gov/gps-toolbox/sp3intrp/svdfit.c - http://www.ngs.noaa.gov/gps-toolbox/sp3intrp/

A principal função utilizada é a que realiza a decomposição de uma matriz de entrada, nas matrizes U, Σ e V, função esta denominada “svdcmp”, que pode ser vista em Press et al (1992, p. 67-70).

3.3.4. Coeficiente de correlação global

A Matriz de Covariâncias ou Matriz Variância-Covariância traz a informação da variância dos parâmetros estimados na diagonal e as covariâncias entre cada um dos parâmetros. Para um caso genérico de p parâmetros esta matriz pode ser escrita por:





























σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

∑

2 p 2 p 1 p p 2 2 2 21 p 1 12 2 1

L

M

O

M

M

L

L

(34)

A partir desta matriz pode-se calcular a matriz dos coeficientes de correlação, representada por

ρ,

ou R na notação usada por Gemael (1994):





























ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

=

ρ

1

1

1

2 p 1 p p 2 21 p 1 12

L

M

O

M

M

L

L

, (35)

onde a correlação entre os parâmetros i e j pode ser obtida por:

j i ij ij

_σ

_σ

σ

=

ρ

, com

−

1

≤

ρ

_ij

≤

1

, (36)

sendo σi e σj os desvios-padrão dos parâmetros i e j, respectivamente.

Uma vez finalizado o ajustamento pelo MMQ, é obtida a matriz dada pela Equação 34, sendo possível o cálculo do coeficiente de correlação entre os parâmetros, que tem relação com o grau de dependência linear entre os parâmetros analisados. Na Figura 7 é mostrado um exemplo real de uma

calibração realizada com 10 imagens, no qual são mostrados os Coeficientes de Correlação entre os seguintes parâmetros: c, x0, y0, K1, K2, K3, P1, P2, A e B. COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO PARA OS PARÂMETROS DE OI c x0 y0 K1 K2 K3 P1 P2 A B 1.00 0.08 1.00 0.10 0.03 1.00 -.27 0.03 0.09 1.00 0.30 -.02 -.08 -.91 1.00 -.26 0.03 0.09 0.82 -.97 1.00 0.13 0.75 0.08 0.01 -.01 -.01 1.00 0.06 0.08 0.75 0.14 -.05 0.03 0.04 1.00 -.14 -.03 0.02 0.13 -.09 0.07 0.00 0.00 1.00 0.05 -.02 -.03 -.09 0.09 -.09 0.05 -.03 -.01 1.00

Figura 7 – Coeficientes de Correlação entre os parâmetros de orientação interior (Esq.) e imagem correspondente. A triangular superior não é mostrada em função da simetria. As cores, vermelho e azul, representam correlações positivas e negativas, respectivamente.

Como pode ser observado por este exemplo, tem-se algumas correlações elevadas, em valores absolutos. Sublinhadas e em azul, na Figura 7, são mostradas as correlações negativas, que ocorrem entre os parâmetros K1 e K2 e entre K2 e K3, por exemplo. As demais correlações elevadas e

positivas (em vermelho) ocorrem entre os parâmetros K1 e K3 e entre os parâmetros x0 e P1 e y0 e P2.

Além desse tipo de análise, alguns aplicativos utilizam o Coeficiente de Correlação Total ou Global que é uma medida da quantidade total de correlação entre uma variável e todas as demais (LELLOUCH, 2006). Dentre os aplicativos que calculam o Coeficiente de Correlação Global pode-se mencionar o programa BLUH 3 (JACOBSEN, 1998). Designando por Cij um elemento da diagonal da

matriz de covariância (Σ), a Correlação Global associada a um elemento i pode ser calculada por:

ii 1 ii i

)

C

(

C

1

1

−

₋

=

ρ

, (37)

como pode ser visto em Lellouch (2006). Para os casos em que ρi =0 tem-se que o parâmetro i não

apresenta correlação com os demais parâmetros e quando ρi =1 indica que o parâmetro i pode ser

4. Experimentos e análises

Nesta seção serão apresentados alguns experimentos realizados, considerando o número de parâmetros de OI no modelo, o uso de pontos de apoio e o uso de injunções de distância no espaço objeto, considerando diferentes graus de liberdade no ajustamento.

As imagens utilizadas nestes experimentos foram adquiridas com a câmara Sony DSC R1 – CMOS no dia 04 de julho de 2006, sendo estas imagens utilizadas para diferentes análises em outros trabalhos (DORTH e GALO, 2006; MARCATO JÚNIOR, TOMMASELLI e GALO, 2007).

As 10 imagens utilizadas são mostradas na Figura 8.

Figura 8 – Bloco de imagens adquiridas com a câmara Sony DSC R1 – CMOS, em 4 de julho de 2006.

Na Figura 9 são mostrados os pontos de apoio medidos quando da criação do Campo de Calibração, com 54 pontos. Estes pontos foram medidos por técnicas topográficas utilizando uma estação total Sokkia (SILVA et al., 2001).

Figura 9 - Pontos do Campo de Calibração existentes na criação do campo.

As coordenadas destes pontos foram obtidas a partir da lista de coordenadas existente em Guardia, Reiss e Silva (1999) sendo aplicadas reflexões e adequados os eixos de modo que o referencial do espaço objeto ficasse com a orientação mostrada na Figura 10, onde o ponto origem mostrado nesta figura (ponto 61) ficasse com as coordenadas finais iguais a X=100,000m; Y=400,000m e Z=0,000m.

Figura 10 – Orientação do sistema de coordenadas do espaço objeto.

Para ter uma visão tridimensional dos pontos do Campo de Calibração, na página indicada no Anexo I tem um arquivo VRML que permite a mudança do ponto de vista.

Após a colocação de novos pontos, não foram feitas novas medições de coordenadas por técnicas topográficas, optando-se por realizar medidas diretas de distâncias a partir de um paquímetro de precisão, como mencionado na Seção 3.3.2. Foram medidas 58 distâncias, sendo feita para cada uma das distâncias duas leituras (por operadores diferentes). A Figura 11 mostra os pontos e as distâncias medidas.

Figura 11 – Pontos e distâncias medidas no Campo de Calibração.

4.1. Significância dos parâmetros / Correlação / Controle de qualidade

O primeiro experimento apresentado se refere à comparação do resultado da calibração ao usar o mesmo conjunto de dados (53 pontos de apoio, 10 imagens, mesmas observações) e apenas diferentes grupos de parâmetros de OI. As medidas das fotocoordenadas foram feitas com qualidade sub-pixel, usando os aplicativos MID (desenvolvido por Mário Reiss) e PMon_Interior (desenvolvido por J. K. Hasegawa). A Tabela 2 mostra uma síntese dos resultados dos ajustamentos, onde são mostrados os parâmetros de OI e algumas estatísticas, para 4 conjuntos de parâmetros de OI diferentes, ou seja:

- Opção 22422: c, x0, y0, K1, K2, K3, P1, P2, A, B.

- Opção 22321: c, x0, y0, K1, K2, P1, P2.

- Opção 22311: c, x0, y0, K1, K2.

- Opção 22211: c, x0, y0, K1.

Os 5 dígitos usados no número das opções se referem às opções do aplicativo utilizado, como pode ser visto em Galo (2004).

Tabela 2 – Parâmetros de OI estimados e estatísticas dos ajustamentos para os 4 processamentos realizados. Opções de parâmetros de OI 22422 22321 22311 22211 c(mm) 24,6369 ±0,0041 24,6474 ±0,0040 24,6418 ±0,0045 24,5492 ±0,0115 x0(mm) 0,0731 ±0,0017 0,0732 ±0,0018 0,0331 ±0,0013 0,0074 ±0,0037 y0(mm) 0,0156 ±0,0023 0,0141 ±0,0024 0,0169 ±0,0017 -0,0084 ±0,0044 K1(mm -2 ) -,1634633E-03 ±0,1119E-05 -,1705888E-03 ±0,6421E-06 -,1701345E-03 ±0,7082E-06 -,1129182E-03 ±0,8654E-06 K2(mm-4) 0,1266667E-06 ±0,8016E-08 0,1844742E-06 ±0,1820E-08 0,1857182E-06 ±0,2029E-08 - K3(mm-6) 0,1241200E-09 ±0,1708E-10 - - - P1(mm -1 ) 0,2682231E-04 ±0,1123E-05 0,2668894E-04 ±0,1156E-05 - - P2(mm-1) -,3437758E-05 ±0,1114E-05 -,3506420E-05 ±0,1156E-05 - - A 0,1578393E-03 ±0,2395E-04 - - - B 0,1018192E-03 ±0,2390E-04 - - - 1-α , gl 90%, 1423 90%, 1426 90%, 1428 90%, 1429 QQamostral 160,25 173,14 222,47 1507,80 QQtabelado 1491,78 1494,85 1496,90 1497,93 Teste aceito ? S S S N

Analisando os dados da Tabela 2 pode-se observar que ao usar a opção 22211 o teste χ2 unilateral não é aceito, diferente do que ocorre nos demais casos. Ao considerar a opção 22422 observa-se que a magnitude de alguns parâmetros é da mesma ordem de grandeza que o desvio-padrão do próprio parâmetro (no caso do parâmetro P2). No entanto, ao verificar a análise da significância, para este caso, observa-se que os parâmetros são estatisticamente significativos, como mostram os dados da Tabela 3.

Tabela 3 – Síntese da análise da significância para os parâmetros de OI para o caso do uso das opções 22242.

ANALISE GLOBAL DO AJUSTAMENTO

Hipoteses |Basica H0: Var. a posteriori = Var. a priori |Alternativa H1: Var. a posteriori > Var. a priori Nivel de confianca (1 - Alfa) - 95.0%

Graus de liberdade - 1423 Qui-quadrado amostral (QQa) - 160.25 Qui-quadrado tabelado (QQt) - 1511.87 QQa < QQt |--> H0 nao rejeitada* QQa >= QQt |--> H0 rejeitada

* Para uma analise conclusiva sobre o ajustamento recomenda-se tambem verificar os residuos (no arquivo CC.RES).

# --- SIGNIFICANCIA DOS PARAMETROS DE CALIBRACAO

(Analise parametro a parametro)

Nivel de confianca (1 - Alfa) - 95.0% Graus de liberdade (Teste F) - 1 e 1423 F tabelado - 3.85

c : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.3633E+08 x0 : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.1779E+04 y0 : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.4574E+02 k1 : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.2135E+05 k2 : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.2497E+03 k3 : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.5281E+02 P1 : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.5701E+03 P2 : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.9518E+01 A : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.4344E+02 B : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.1815E+02

# --- COEFICIENTES DE CORRELACAO PARA OS

PARAMETROS DE OI 1.00 0.07 1.00 0.09 0.03 1.00 -.27 0.03 0.09 1.00 0.30 -.02 -.08 -.91 1.00 -.26 0.03 0.09 0.83 -.97 1.00 0.12 0.75 0.08 0.01 -.01 -.01 1.00 0.06 0.07 0.75 0.13 -.04 0.02 0.04 1.00 -.15 -.03 0.02 0.12 -.09 0.07 0.00 0.00 1.00 0.05 -.02 -.03 -.09 0.08 -.09 0.05 -.02 -.01 1.00 # --- SIGNIFICANCIA DOS PARAMETROS DE IO

(Para grupos de parametros)

Nivel de confianca (1 - Alfa) - 95.0% Graus de liberdade (Teste F) - 2 e 1423 F tabelado - 3.85

x0 y0: <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.9032E+03 P1 P2: <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.2941E+03 A B : <--[ Par. significativo ] F calc. = 0.3114E+02