" CONDIÇÕES PARA AUSÊNCIA DE RENORMALIZACAO INFINITA EM MASSAS E CONSTANTES DE ACOPLANENTO * TESE D E MESTIADO. Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas

EDGARDO SALOH09 CMEB TERRAB

" CONDIÇÕES PARA AUSÊNCIA DE RENORMALIZACAO INFINITA EM MASSAS E CONSTANTES DE ACOPLANENTO *

T E S E D E M E S T I A D O

Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas 1 9 8 5

Trabalha-se com um modelo onde interagem partículas escalares, pseudo escalares e de spin —5— . Depois de reformu lar o problema em função de Campos Auxiliares, desenvolvem - se os cálculos perturbativos até um loop ercontrando-se certas re 1ações entre as constantes características do sistema, as quais garantem (até a ordem considerada) ausência de . renormalizaçao infinita em massas e constantes de acoplamento. Para os leito res familiarizados com a teoria quântica de campos são prescin díveis os parágrafos 1) e 2) do Capítulo I.

Um panorama completo do conteúdo e resultados deste trabalho pode se obter através da introdução e das conlusões ( Capítulo IV).

NOTAÇÃO UTILIZADA

g ^ - II. - 1 , -Ir -1]

D - - v

v

+ • Campo escalar

n * Campo pseudo escalar

¥ * Campo d e spin -j- (spinor de Dirac) F « Campo Auxilar escalar

N « Campo Auxiliar escalar

G * Campo Auxiliar pseudoescalar

T * Operador d e ordenação cronológica

DA( xrX2) = - i W x ^ A Í X j H = -k0|TAÜt1)A(x2)|0>= / - ^ E j e- l p , t AAfe) (2ir)

A (p) = propagador do campo A em representação de momentos. A

d p * Elemento de volume n o espaço de dimensão D .

c * 4-D * parâmetro do processo de regularização dimensional quando D •*• 4, e -*• 0 .

L (x) * Contra termos. Sua definição é dada na pág. 2 4 . A (x1... xR) • Operadores quase-locais definidos na pág. 2 4 . + • Usado nos apêndices A e B. Significa reter somente a parte

infinita. 2

T _ 2Í7T • Usado nos apêndices para significar a parte infi e nlta d a integral 10 d o formulário d o apêndice A . 0

,

. . .

- Z Í _ . *'«

*U

s-*<kx

• qx

)

.

_

P a g .

AGRADECIMENTOS i i i

RESUI10 i v NOTAÇÃO UTILIZADA v

INTRODUÇÃO ;

CAPITULO I - BASES TEÚRICAS 1 1) TEORIA DOS CAMPOS ESCALARES 1

1.1 - Partículas livres. Lagrangiana dos

com-pôs escalares 1 1.2 - Solução às equações clássicas do campo

livre •»

1.3 -.Quantlzação do campo escalar *

2) SISTEMAS DE PARTÍCULAS EM INTERAÇÃO 3

2.1 - Teoria Perturbatlva. Matriz S 9 2.2 - Os propagadores e as integrais

divergen-tes 14 2.3 - Regularização dimensional 21 2 . 4 - 0 processo de renormallzação 24 3) CAMPOS AUXILIARES 29 3.1 - Caso Clássico 29 3.2 - Caso Quãntico ,., ,\ 31 i CAPÍTULO IX - 0 MODELO ...\,.... 34 1) APRESENTAÇÃO 00 MODELO 34 1.1 - A lagrangiana» »au conteúdo a suaa carac

1.2 - Os campos auxlllaras do modelo 37 1.3 - Cálculo dos propagadores

CAPÍTULO III - COKOIÇÜES PARA AUSÊNCIA DE RtNORMALIZAÇÃO INFINITA AS MASSAS E CONSTANTES DE ACOPLA

HEKTO 47 1) FUNÇÕES DE GREEN DE DUAS PERNAS 47

1.1 - Cálculo das correções infinitas ate 1

loop âs funções de Green de duas pernas. 47 1.2 - Condições para ausência de

renormaliza-ção infinita às massas 59 1 . 3 - extrapolação dos resultados ao caso

su-jersimétrico 65

2) FUNÇtKS DE GREEN DC TRÊS PERNAS 66 2.1 Cálculo das correções infinitas até 1

loop as funções de Green de três pernas. 66 2.2 - Condições para ausência de

renormaliza-çâo infinite 38 constantes de acoplamento. 77

2.3 Renormalliação â norma dos campos 79

C A P Í T U L O IV - CONCLUSÕES 66 APÊNDICE A -A . 1 ) i d t r i c e s de K i r a c 66 A . 2 ) F o r m u l á r i o 67 A . 3 ) J á l c u l o )ra i n t e g r a i s do f o r m u l á r i o . . . 96 t ÍAPtNPICE B

B.1J Cálculo da parte infinita do produto dt dois

propagadore. . . . , . . . , , . , , . . . . , . . . , , . , , . , 105

l,2> Cálculo da parta infinita do produto à» três

Usa das características físicas mais importante das partículas Microscópicas, é sua capacidade para interagir e transformar-se umas nas outras. De acordo com o ponto de vista atual, existem somente 4 interações fundamentais que são: Gravi-tação, Bletromagnetismo, Interações fracas e Interações fortes. O tratamento dos problemas relativos à interação entre estas partículas, é feito através da teoria quantica de campos.A questão especifica nesta teoria, consiste em determinar a proba» bilidade de transição entre os possíveis estados iniciais e fi-nais do sistema de partículas sob estudo. No entanto, dado um sistema de partículas em interação, a solução exata do problema, pode ser obtida somente em um número pequeno de casos. Assim, do mesmo modo que na Mecânica Quantica, na teoria quantica de campos, o cálculo das probabilidades de transição é feito com o auxilio da teoria das perturbações. A aproximação inicial, (on-de se conhece a solução exata do problema) consiste em consi(on-derar o sistema de partículas como não interatuantes (livres). Nas aproximações seguintes, são considerados todos os efeitos

liga-dos ã interação entre elas, como sendo pequenas perturbações ao estado inicial. Isto é feito, decompondo o Lagrangeano total do sistema ems

*tot ' Lo * LINT

onde I»0 é o Lagrangeano dos campos livres (representa o

sis-tema de partículas, sem interação) e, Lf M T contém todos os

ter-fl- • f 11

Matematicamente fale .do, existeai certo» problemas na soluCio através da teoria perturbativa. A questão de interesse neste trabalho, é o aparecimento de divergências (infinitos) nas sucessivas aproximações assim coso sua eliminação, de modo a ob- %

ter resultados convergentes nos cálculos das probabilidades. B-xistesi diversos pontos de vista sobre o Método de eliminação doa infinitos da teoria1 *. Orna primeira maneira de ver as coisas,

é pensar que estes infinitos tem sua origem em certas contradi-ções na aproximação inicial (onde se conhece a solução exata) .De fato, nesta aproximação onde as partículas são consideradas li-vres (sem interação) são utilizadt como a massa das parti cuias, a qual, por sua vez, é impossível de ser medida, se as partículas estão realmente livres; já que qualquer medida da massa perturbaria o sistema, de tal modo que ele deixaria de com portar-se como livre. Deste modo, a teoria admitiria uma redefi nição da massa, de modo a embutir parte dos infinitos, no valor observado da massa das partículas.

De um modo equivalente, são tratadas as constantes d» acoplamento e a norma dos campos, no sentido de admitir uma rede finição capaz de embutir todos os infinitos, que não foram embu-tidos na redefinição da massa, da modo a obter a eliminação to-tal das divergências da teoria1 '. Isto é conhecido como o mato

do da renormalização na teoria daa perturbações.

Uma outra maneira de ver aa colsaa, surgiu a uns 1 0 a -nos atrás junto com aa teorias supersimétricas. A diferença com o ponto da viata anterior começa basicamente na introdução slmul tensa de partículas da diferente spin (todas integrantes da um mesmo multiplete supsrslmittrlco) com o que muitas das dlvargên

O fato destes cancelamentos entre os dois setores te-rea sido estudados pela priaaira ves no contexto das teorias su-persiaêtricas, fes coa que esta solução ao probleaa das divergia cias seja, ea geral, associado a astas teorias. No entanto,exis tea satoras bosõnicos a fendcnioas que podem ser coabinados nua aodelo não supersiaétrico (as partículas correspondentes não cor respondea a aultipletes supersiaétricos). Deste aodo chegamos, naturalmente, a idéia central da tese, que é desenvolver um mode

ló não necessariamente supersiaétrico, e estabelecer as condi-ções necessárias para que ocorram cancelamentos de divergências análogos aos observados naquelas taorias.

o r f n a o i

BASES TEÓRICAS

1 - TEORIA DOS CAMPOS ESCALARES

1.1 - PARTÍCULAS LIVRES. LAGRANGIANA DOS CAMPOS ESCALARES Antes de entrar no tema, vamos introduzir una série de conceitos já conhecidos na teoria quântica de campos, os quais podem ser considerados coao breve síntese das bases teóricas des te trabalho.

Para isto, vamos começar com a teoria des campos esca-lares. Esta teoria é a que descreve as partículas cujo momento angular no referencial de repouso, é igual a zero, ou então, par ticuias de massa nula, sem polarização1 '.

Genericamente trata-se das partículas de spin zero. Analiticamente, este sistema pode ser estudado a par-tir da sua Lagrangiana. (Entenda-se densidade de Lagrangiana), supondo sempre, que no Limite clássico, a evolução do sistema o-corre de acordo com o princípio da mínima ação.

De maneira análoga & Mecânica Quântica, o estado do sistema i representado por um vetor de estado

Bcistea os operadores de caapo # equivalentes aos opera dores de posição <a da Mecânica Quãntica. No Liai te clássico, o caapo # fas as vezes de "Coordenada generalizada" d.a um sisteaa de infinitos graus de Liberdade.

Sea ser nuito rigoroso, a foraa do Lagrangiano de ua sisteaa de partículas livres de spin zero, pode ser construída considerando-se o Liaite clássico.

Neste caso, supõe-se que

L = L C # , a

#, a

a

v# •••>

ou seja, que o Lagrangeano é função do caapo e de suas deriva-das.

Se as partículas estão livres» tanto a energia P° coao o aoacntua p de cada partícula são conservados, valendo seapre a

U 2 relação p p » a .

c

Assia, para cada valor de p^, se +(po, p) é solução

das equações decorrentes de L, então v(-P0# p) ou v(P0, -P) ou

• <-p_, -p) também é solução já que a única relação a ser satis-feita é p2 » m2 ou pQ« t / p2* a2, \ $ | » / p| - a2

Isto é indicativo de que as equações de Lagrange para o caapo, admitem duas soluções independentes ea cada variável e então são equações diferenciais de segunda ordem, de modo que o Lagrangia-no pode conter somente derivadas primeiras1 '.

Por outro lado, qualquer solução • das equações de cam po, representa um sisteaa de partículas livres que pode existir na natureza. Assim, a soaa de ua número arbitrário destes fc tan bem representa um sistema de partículas livres que pode existir na natureza, a então, também é solução .das mesmas equações, isto

-3-ê a expressão do principio de superposição do qual se conclui que as equações de casco são Lineares e homogêneas, da modo que

finalmente, o Lagrangiano deve ser uma expressão quadrãtica nos campos e suas primeiras derivadas.

1.2 - SOLUÇÃO AS EQUAÇÕES CLÁSSICAS DO CAMPO LIVRE Supondo

L « avv 3Mé3Vé • 6*2

temos as seguintes equações de Lagrange que surges do princípio da Minima Ação

•> (ouV 3M3V - 3) • » 0

2 2

expandindo em ondas planas e lembrando que p - m se conclui rapidamente que

a

Mv

* V , B » - m D = -

3

D

Deste modo, os campos , satisfazem a equação de Klein-Gordon

( D - m

) • - 0

A escolha do coeficiente numérico geral no Lagrangiano, é conven clonal e está ligada ã normalização da.teoria.

1 .

^ ^

L =

-j- { djir* -

m V )

A solução ãs equações clássicas do campo, pode obter-se em repre

[6]

cujas soluções incompletas são:

a) <Mp) = 0 que não é o caso em questão 2 2

b) p « m ; 4>(p) arbitrário

Isto permite procurar * na forma: *(P) =6(P2 - m2) $(p) /STT

Então temos:

<Mx)

(2

1 ^ 2 f d4P ei p x J(p). 6(P2 - m2)

Expandindo a função delta em

ó(p2 - m2) * Ó(P0 - xL)

"3F

i . pi—r

-5-e int-5-egrando -5-em p mais br-5-ev-5-e alg-5-ebra, ch-5-egamos a:

*( x ) . _ 1 I-ÈLÃ [ i c p i e ^ . i (-pie-^J. — 2 —

| / / 2P ^

(2n)z ° °

que reescrevemos como:

(2u)2 ' / V

/2p /2p *o *o

que é a solução geral às equações clássicas do campo. As fun-ções c(p) podem obter-se uma vez conhecidas as condifun-ções de con-torno invertindo o resultado.

0 tensor Energia-Momentum do campo escalar livre se obtém partin do da expressão geral: (Entenda-se densidade de).

TMV 9L -V h uv_

Substituindo aqui L pela sua expressão, concreta, obtem-se

T » 3 ^ <b - gpvL

A energia t o t a l do sistema, é dada por:

que em»função d e c (p) e c~(p) a p a r e c e d e p o i s de 1 ?ve á l g e b r a , como

/ d3P p» c+

0 « I A*Z « 0 r.+ tn\ «-~frO n °

T° - / d3p p° c (p) c (p) = / p 2 + m2*

Como se vê, o produto c c~ aparece classicamente, como a densida de de partículas de spin 0 e massa m .

1.3 - QUANTIZAÇÂO DO CAMPO ESCALAR

Os parênteses clássicos de Poisson são, sob certo pon-to de vista, o modo ma ir: simples e direpon-to de quantizar a teoria dos campos escalares.

f 71 Partindo da definição geral1 J:

{ p , o - íd

z

{

y>

J j 6<f>. ( z ) óir. (z) 6<(», ( z ) 6ir. ( z )

onde F e G são F u n c i o n a i s de <j> e n . ; e i r . é o momentum c a n õ n i -co a s s o c i a d o ao campo $ .

. - 9 L

3

W)

temos como resultado direto:

{ <Mx) ; ir(y) ) . - 6(x - y)

-7-Poisson clássico das funções ^ e i , pelo comutador quântico entre os operadores correspondentes $ e * :

i *(x) ; ff(y) > = i «3(x - y)

x°=y°

Em essência, o processo de quantizaçao do campo escalar aqui se guião, consiste na aplicação do conhecido principio da corres-pondência da Mecânica Quântica, a um sistema com infinitos graus de liberdade.

Segundo ele, ao parêntese de Poisson clássico lhe corresponde o comutador quântico dividido por i; e às coordenadas generaliza das, lhe correspondem operadores que atuam sobre o vetor de esta do | <p >do sistema.

Do mesmo modo, a qualquer função de $ e n , lhe corresponde um operador função de $ e K , (operadores).

Como se vê, os operadores obtidos deste modo, aparecem todos na representação de Heisenberg.

Assim, ás funções c (p) e c~(p), também correspondem operadores quãnticos c (p) e c~(p). (Daqui em diante, os símbolos c+ e c~ representam os próprios operadores, e não as funções clássicas). A expressão do operador de campo escalar fica:

#(x)

, _ i _

í

ÜE- (

(p) e

** • «TCP) e"

** >

< 2 * ), / 2 / /2p°

Os comutadores para c* e c~ aparecem na format

(2)

Os operadores c (p) são chamados de criação e de aniqu ilação de vido a que, quando aplicados a um estado de 4-momentum definido

2 2 f 81 k , geram um outro estado de 4-momenturo k±p onde p = m l J.

Desde este ponto de vista podemos considerar o operador c+(p)co

mo descrevendo a criação de uma partícula de 4-momentum p e mas 2 2

-sa m (p = m ) , enquanto que c (p) corresponde a aniquilação da mesma partícula.

Algebricamente, este processo, é representado pelo comutador do operador de campo com o operador 4-momentum total do campo:

i 3y 4»{x) = { T( x ) ; TM }

que implica em:

PM cTíp) = + ( c ^ p ) , TM } ( 2 )

Se | <)> > é um auto estado de T com autovalor k :

T

> -

\

!• >

aplicando o comutadorÍ2j, obtemos diretamente:

TM ( c*(p) U > ) = ( kp ± pM) ( c*(p) |v > )

que inostra que c (p) | <|>> também é a u t o e s t a d o de T com a u t o v a l o r

2 .- SISTEMAS DE PARTÍCULAS EM INTERAÇÃO

2.1 - TEORIA PERTURBATIVA - MATRIZ S

Passando do caso de sistemas de partículas em intera-ção, a questão se complica de maneira notável já que não mais vale o principio da superposição e as equações no caso geral, deixam de ser lineares e homogêneas; com o que torna-se prati-camente impossível conhecer a solução exata do problema . No entanto, quando a interação pode ser considerada como um fator adicional que gera pequenas mudanças nas propriedades dinâmicas do sistema; é possível tentar uma solução aproximada através da teoria perburbativa.

0 ponto de partida é a solução exata do problema quando as par-tículas estão livres, (ou seja, desprezando a interação) que é considerada a primeira aproximação. Todos os efeitos ligados á interação são considerados como pequenas perturbações ao estado inicial. As constantes de interação (constantes de acoplamento) são consideradas como pequenos parâmetros com os quais se cons-trói uma série de potências, que é a base da expansão perturba-Uva*1 0'.

A possibilidade de usar uma expansão em série nas constantes de acoplamento envolve várias hipóteses nem sempre verificadas. As sim, por exemplo, na Eletrodinâmica Quântica, o parâmetro da ex pansão

a S i

ê da ordem de 10~ com o que os termos superiores na série, re-presentam correções "realmente" pequenas ao primeiro termo não nulo na expansão; o que justifica em grande parte o uso da teo ria perturbativa ; enquanto que na Cromodinâmica quântica o problema é bem mais complicado havendo questões como a ausência de estados livres para os quarks e os gluons, que não podem ser

[121 estudados dentro da teoria perturbativa ordinária .

No entanto, os estudo das propriedades de renorioaliza ção do modelo a ser apresentado neste trabalho, será feito no contexto da teoria usual; assumindo tacitamente que não há pro-blemas com o comportamento assintótico da série.

A abordagem matemática mais simples da teoria pertur-bativa, conduz, naturalmente, ao conceito de matriz de espalha-mento. O ponto de partida é a equação de Schrodinger1 '.

i _ i — |$(t) > * H |4(t) > )3) Dt

onde H é o Hamiltoniano total dos campos quantizados e | <t> > é o vetor de estado em representação de números de ocupação. O caso de interesse é quando o Hamiltoniano pode ser dividido em

H » H0 • V

onde Ho é o Hamiltoniano dos campos livres eV é o "potencial" de interação que no caso aqui considerado, coincide com o La-grangiano total de interação a menos de um sinal.

Supondo conhecidos os autovalores e autovetores de H t (solução exata para os campos livres)

-11-Hê In > = E In > |n > é um estado estacionário

1 n

pode-se chegar a uma s:>lução formal (representação de interação) que representa a base da expansão perturbativa.

Efetivamente, da equação original ( 3 )

i —3— I *(t) > = { H0 + V } j<Mt) > 3t

se chega rapidamente a

£

-J_ {

| + (t) > ) = í e

V e "

} { e

|f(t) > )

3t

que escrevemos como

1 -— |* > = V U > ( 4 )

3t

onde e ° |<J>(t) > =| *> é o vetor de estado em representação de interação (coincide com a representação de Heisenberg quando não há interação); e é dependente do tempo (seria independente se não houvesse interação).

Assim, conhecendo a solução exata para HQ, podemos cal cular os elementos de matriz

<n| V |ro>

<n|#> - <n| ei H o t |+(t)>

partindo de (4) que ree sere vemos como

i — — <n|*> a I <n| V jm> <m|*> at

que "formalmente" é o caminho para resolver o problema.

No entanto, estas equações não são diretamente integra veis pois tanto V como • dependem do tempo. A solução a este pro blema é a própria expansão perturbativa. De fato, considerando o caso infinitesimal, podemos escrever a equação ( 4 ) como:

|f(t + ít) > - j*(t) > = - i ít V |t(t) > ót <<1 • |*(t + ót) > • { 1 - i ót V(t) } |#(t) > extrapolando: N » 1 |*(t') > = | + (t • i *' " t ) N ) > = N - |é(t + Z ôta) > » { II {1 - i V(t0) «ta } > |*<t) >

-13-1 { -13-1 - i V(t ) 6t } » n { e "i V (V 6 to ) o a a a

se V(t) comutasse C O M V (t') poderíamos substituir o produtorio pela integral no expoente mas como este não é o caso, devemos conservar a ordem em que atuamos operadores vUa) sobre |*>

Podemos escrever formalmente:

a a

wr

onde T é o operador de ordenação cronológica, e se "encarrega"de manter a ordem temporal na somatória integral de modo que a inte gração formal da equação de Schrodinger fica:

|v(f) > » T e- i /t V ( t ) d t |*(t) >

Considerando o caso em que t = -» t' » •«• temos:

!#(•) > - S !•(-•) >

r

/Z v«t)dt

onde definimos S » Te / - • como sendo a matriz de espa-lhamento.

Assim, se antes de ocorrer a interação o sistema se en contra num estado inicial |•(-»)> característico de partículas

livres, a amplitude de probabilidaae.de transição para o estado final |•>("»)> (outro conjunto de partículas livres) é dada pelo

eleaento de matriz

sf i - <*(«)| s !•(—)> ( 5 )

Escrevendo o potencial de interação V(t) em função da densidade • Lagrangiana de interação, chegamos a

S - T e1/ - - L d'x

Expandindo a exponencial em série de potências obtemos:

S

* í

^

/"-

d%Xl

/-- ***' '" /"- ****

T { L(tl) L ( t 2 )

- - -

L í t

k

, ]

que nada mais é do que a série perturbativa da qual estávamos fa lando.

Os estados |<t> (±«) > são considerados estados de partí-culas livres, e como tais, coincidem com os estados quanticos na representação de Heisenberg; isto é: são independentes do tempo e coincidem com a solução exata pare Hg . os operadores L(t)

são funções dos operadores de campo (eq. (1) )

Assim, pelo menos formalmente, é possível calcular as amplitudes de probabilidade ( eq. (5) ).

2.2 - OS PROPAGADORES E AS INTEGRAIS DIVERGENTES

-15

pressões chamadas propagadores, que são de vital importância téc nica1 . No caso do campo escalar, esta expressão é dada por:

_<0j T f(x) f(y) |0> .

.

. _

J^

O cálculo dos propagadores pode ser feito de diversas maneiras, no entanto devido â posterior aplicação no caso de cam pos auxiliares, seguiremos aqui o caminho da função de Partição do sistema, acoplado a correntes externas* '.

A integral de Partição para um campo livre acoplado a uma corrente externa J é dada por:

)L> e1 /<*** ( L» * J» >

onde L ê o Lagrangiano dos campos Livres.

No caso de interesse, L pode expressar-se como uma forma quadrática nos campos <P através de um operador que chama-mos de A:

LQ = ^ A $

2

Para o campo escalar, A s D - m ou seja o operador de Klein--Go.don.

Sendo LQ uma forma quadrática, a integral é do tipo gaussiana e pode ser resolvida diretamente:

- - 4 - í d"x d"y J(x) D(x-y) J(y) - -i-( J, A~*J)

1- J d x J(x) A_ l(x) J(x)

onde D(x-y) é o propagador procurado. Chamando

*y J(x) D(x-y) J(y)

íd^x d*]

podemos obter o propagador diferenciando W funcionalmente duas vezes em relação a J(x).

Para o campo escalar, se obtém:

D(x)

[_dj^_

-ipx JB

p2 - m2

Desde o ponto de vista matemático, os propagadores re presentam a função da Green da equação dos campos Livres' '; a£ sim, por exemplo, para o campo escalar#D(x), satisfaz a equação:

{ D - m2 } D(x) = 5*U)

Apesar da simplicidade de estrutura da teoria exposta, existem certos problemas de origem matemática na manipulação dos propagadores. 0 modo mais direto de ver isto, é a expressão de£ tea em termos de funções singulares:

D(X)

. -AüiL- • — i a i _

2, *

*+

-17-1 •*• o > O

onde 0(a) 3

0 -*• a < 0

é a função degrau.

Esta expressão contém 4 tipos de singularidades: um po Io do tipo — j — , um do tipo Ln(x ) , uma função delta, c uma

x 2

descontinuidade em 6(x ) .

Assim, a função D(x) (e junto com ela todos os propaga dores) pertence ã classe de funções ditas impróprias ou distribu

ições.

0 ponto é que estas distribuições são definidas estabe lecer.do as regras de integração delas, junto com funções sufici-entemente regulares; mas estas regras não são prescrição sufici entes para a integração do produto entre elas mesmas; e estes produtos aparecem de maneira crescente na medida em que se avan ça na ordem do termo considerado na série perturbativa' '.

Saindo um pouco da discussão formal, este problema era evidente já que a menos de um fator i, a função D(x) coincide com o T-produto dos campos livres:

i D(x-y) - <0| T +(x) •(y) \0>

T •(xy <Ky) =^- *4>U) <My) x° > y

B , „o

*(y) *(x) x' < y

ou seja, que o T-produto, é definido em todo o 4-espaço menos em x » y de modo que as regras de integração no entorno

infinites!-f 191 mal de x = y podem ser fixadas arbitrariamente1 J.

Num caso típico, por exemplo no modelo X $ temos:

1

L - - 4 - { : <f> {tJ- m2} <j> : + A : <fr* : }

(onde : : significa ordenamento normal)

No termo de segunda ordem da série perturbativa, aparece a integral

-§-Jd*

Xl

d*

(2ir) A(p) A(p')

— ^ I d-k e í / a P A(P) A(k • p) )

<2ir)* / / Uv)h

onde A (p)

-19-A integral entre parênteses,

/^!E_/ 1

/ (2ir)V {m2- p2} {m2- (p + k)2}

apresenta sérios problemas já que o integrando não vai a zero su-ficientemente rápido na região de grandes momentos p; o que faz com que diverja logaritmicamente.

Esta é uma manifestação direta dos problemas que apare-cem quando se multiplicam duas distribuições.

. O modo com que se tem atacado estes problemas, consiste em considerar os propagadores (ou as próprias integrais divergen tes) como formas limites de expressões mais gerais, as quais por sua vez são convergentes. Este método é chamado de

regulariza-- 120]

çao . Neste sentido, a integral acima precisa ser regulariza da para poder ser calculada. Em geral, isto envolve a introdu-ção de certos parâmetros, os quais desaparecem num segundo passo quando se executa a transição até o limite. Basicamente, este processo faz com que o resultado da integral se separe em duas partes. Uma delas é finita e é a que tem significado físico con creto.

A outra, é infinita, e em princípio íão tem significa-do físico.

De fato, a construção "Axiomática" da teoria quântica dos Campos, (Matriz S "Axiomática") mostra que os requisitos de causalidade, unitarledade, invariãncia relativista (covariãncia) • princípio da correspondência, não são suficientes para determi nar a forma do integrando nas integrais 4-espáciais da matriz S. (Normalmente este integrando á constituído de produtos de Lagran

gianos de interação).

Com efeito, sempre é possível somar ao Lagrangiano de Interação, uma série de operadores quasi-locais:

A(x;y) - 0 — » x + y A - A

através dos quais pode-se eliminar todas as partes divergentes que aparecem no cálculo, sem alterar os resultados físicos.

-21-2.3 - REGULARIZAÇÃO DIMENSIONAL

Dentre os diversos métodos de regularização usados nor í 211

malmente1 *, trabalharemos aqui, com a regularização dimensional

í 221

(Bollini-Giambiagi) ' devido a suas vantagens formais, como co variãncia de Lorentz e de gauge (o que permite posteriores exten

soes do trabalho) assim como por sua praticidade e simplicidade conceituai.

Touiando como exemplo ilustrativo a integral acima

/

-d"p

m2 - p2 } { m2 - (p + k )2 }

a idéia central consiste em substituir a integração no espaço 4 --dimensional na variável pM por uma integração num espaço D -

di-mensional onde a dimensão D dele, é uma quantidade arbitrária,no início inteira, mas logo tomada como variável analítica. Este processo faz com que em geral (e é o caso da integral acima) as integrais sejam rapidamente computáveis, e seu resultado de ex-presse em termos das funções gama

r (x)

Í241

cujo argumento depende agora de D1 . Feito isto, a expansão

deste resultado em torno de D * 4 permite separar a parte que tem significado físico (parte finita) da parte infinita.

Assim, no exemplo tomado, aplicando a fórmula 7 do for fulário (parâmetros de Feynman)(Apêndice "A")J

a = m2- ( p + k )2 b = m2- p2 a = B = 1

f dx /d

1

I - / dx fd

p

(m

- k

x - p

- 2 pk x )

Aplicando a formula 1 do formulário:

D-4

! ,

2

4 - D j Z

,_

2

2

Por comodidade escrita, introduzimos o parâmetro £ = 4-D D = 4-e

I = i ir

r{-|-}| dx U x

+>/:

- x)k

+ m

}

A expansão em torno de D = 4 é equivalente â expansão em torno de

e « 0. Segundo as fórmulas 12 e 13 do formulário:

12 5 ríx} • - i - - c

*

Euler

C * 0,5772...

2 3 ->x . . T . . (x Ln A)2 . 1 3 - : A = 1 + x Ln A + —! ;—— + . . . f 2 1 Temos: 4-e TT2 { 1 %- Ln TT + 0 ( e ) } r {

_|_

_?_ - c

onde 0(e) representa termos proporcionais a potências positivas de e.

No limite em que a dimensão D do espaço tende a 4(e ten de a 0) o resultado se separa como era esperado, numa parte dive£ gente , e uma convergente, que é a que tem significado físico;

Con o que, em principio, se resolve o problema para a integral considerada, já que a integração na variável x é con ver gente, e pode ser calculada por tabela.

Há também situações em que o cálculo de I.. ê mais com

* tin — plicado; no entanto, a questão de interesse nesta tese, está na

compensação das partes divergentes. Assim, a parte convergente será deixada de lado em todos os cálculos subseguintes.

2 . 4 - 0 PROCESSO DE RENORMALIZAÇÃO

Como já foi mencionado, os requisitos de causalidade, u nitariedade, covariancia e principio da correspondência, não são suficientes para determinar a forma do integrando nas integrais 4-espaciais da matriz S; podendo-se sempre somar ao Lagrangiano de interação uma série de operadores quase-locais A (x. ... x ) (diferentes de zero somente quando todos seus argumentos coinci-dem) sem alterar os resultados físicos. A forma mais geral

des-ta seqüência de operadores A é [25):

L

q*

" n$2 " J J

n í

»'

2'"-

n >

*2 •••<*„ ' *

de modo que o integrando na matriz S, fica :

L

-

int * V

ou seja, o Lagrangiando de interação mais a seqüência i n f i n i t a de

operadores q u a s e - l o c a i s .

-25-Aqui, alguns comentários precisam ser feitos. Era pri-meiro lugar, como todos os operadores A sâo quase-locais, (são diferentes de zero, somente quando coincidem todos os seus argu-mentos) , todas as integrais que aparecem em LQi^ i desaparecem, e então L (x) é um operador local (só depende do valor dos cam pos no ponto x ) . Em segundo lugar, o fato da somatória começar em n « 2, é já evidente pois, os termos de ordem zero e de ordem um na matriz S, são convergentes. Em terceiro lugar, é interes-sante estruturar a série perturbativa, para melhor compreender de que modo a existência de L ( a£\# é capaz de eliminar os infinitos na matriz.

Assim, temos: (L - I«INT)

1 + i f ÍL + Lq£Xxi) dxi + -|1 / T {L + LqAHxi) ÍL + I_t>(X2) 0x^2+.,

o próximo passo e' substituir L . pela sua forma (6) em termos dos operadores A (x, ... x ) e arrumar os termos, destacando

n r n

como f a t o r comum o s elementos de integração d x . , d x , , . . . , dx . Aqui vamos e x e m p l i f i c a r , expondo e s t e esquema a t é a t e r c e i r a o r -dem na s é r i e , o que em geral c o i n c i d e com a expansão a t é 1 Loop. Se obtém, então:

S - Ifi / dx, Uxi) + -T- / dx. / d x i Uxt) + - | ^ / d x 1 dx* T ÍL(x,) L(x2) - i A(xi,-x2)>

1

~2T

[

Numa linguagem mais familiar, o operador A 2 elimina as divergências nas correções de 1 loop aos propagadores; A3 elimi na as divergências nas correções próprias de 1 loop aos vértices, e assim por diante.

Tomando como exemplo a teoria com interação tipo A +3 até terceira ordem na série perturbativa, temos:

L

*

T

V

" "7"

*

int *

*

Um cálculo simples mostra que a escolha de A^ÍXjX.) e A^fo-x, x.) que tornam a série convergente é dada por:

A2<Xi,x2) - " * *'*' :*(xi) •(x2): ó(x»-x2)

AjOCwXarXj) = 0

onde e é o parâmetro que aparece através da regularização dimen sional.

A seqüência de o p e r a d o r e s q u a s e - l o c a i s 6 é dada por:

V*i>«-f/

Como foi mencionado, a integração desaparece devido ao caráter quase-local do operador A s

2 7

-L (x) - " 1 8;2 A < : *?( X ) :

q ^ E

e o Lagrangiano t o t a l :

L ^ . L + L ^ » • • ( - r

V

"

- r ^

c'

> •' *

*

já que o valor • da massa das partículas quando elas es tão livres é inobservável, podemos embutir o fator divergente

18 w'X3 . *. . - .

• numa redefinição da massa:

-È-

,+

—;—

O valor de m_ pode ser medido experimentalmente (se o modelo * r fosse realista, o que não é o caso).

Este modelo, é um bom exemplo da renormalização da mas-sa, no entanto, num caso mais geral, a idéia de renormalização, se apoia em que como regra, o L . tem a mesma estrutura do La-grangiano inicial. E assim, pelo mesmo caminho, são renormaliza veis a norma dos campos, e cada uma das constantes de acoplamen to que apareçam na teoria.

De todos os modos, é importante assinalar que esta iden tidade de estrutura entre L - e o Lagrangiano inicial não ocor re em todo e qualquer modelo teórico, com o que o processo de re normalização das constantes da teoria, não se mostra suficiente para eliminar todas as divergências (26). A solução nestes ca-los é muito complicada, e em gural se torna impossível de obter

uma expressão fechada para o Lagrangiano total ou efetivo.

Sem entrar nos detalhes formais da questão, podemos di-zer que uma das características mais facilmente identificável dos modelos renormalizâveis, consiste em que os términos de inte ração não contém potências superiores a 4 nos campos escalares, que é o caso do modelo a ser tratado nesta tese.

3 - CAMPOS AUXILIARES

3.1 - CASO CLÁSSICO

Sob certo ponto de vista, mesmo fora do contexto da su persimetria, os Campos Auxiliares são uma ferramenta analítica, capaz de facilitar o cálculo das correções na série perturbativa.

Matematicamente falando, se trata de campos que não tem dinâmica, isto é, o Lagrangiano não contem derivadas dos cam pos auxiliares.

Fisicamente, eles não representam partícula alguma e seu aparecimento tem sentido quando existem outros campos de ver dadeiro significado físico.

De fato, eles sempre poderiam ser eliminados já no La-grangiano, prescindindo-se deles, o que confirma o seu caráter de ferramenta técnica auxiliar no cálculo.

Desde este ângulo, tem pouco sentido falar dos "quan-tos" associados aos campos auxiliares, ou do "Lagrangiano dos campos auxiliares livres".

Como exemplo ilustrativo destas questões, considerare-mos um sistema escalar com interação cúbica e quãrtica, fixando-nos primeiro no caso clássico.

Seja:

L - -4- ${0- m H + f *3- X f*

L = -^- • {Q- m2} • - mM *3 - A •*

Não ê difícil ver que o Lagrangiano pode ser reescrito com o auxilio de um outro campo P (campo auxiliar) em "interação" com • , na forma

L « -|- ^ | • + -§- F2 - í m • + /1X #2 } F .

Efetivamente, das equações de Lagrange para o novo campo F, tem-- s e :

- L L . . o m m • + /~2Ã <fr2 - F -• F = { m * + /^X *2 }

3 F

e substituindo este valor do F, se reobtem a expressão do

Lagrangiano escrita em função somente do cango $

Como se vê, e de acordo com o que foi dito, a manobra consiste na introdução de um campo auxiliar F, sem dinâmica, e cujo sentido é devido à existência do campo <P .

Evidentemente o verdadeiro conteúdo físico do LagrangjL ano está no campo 4» . 0 campo F aparece aqui como um recurso a través do qual, podemos rcescrever o Lagrangiano sem alterer seu conteúdo.

O estudo do sistema pode ser feito com o campo F, ou •em ele, eliminando-o através das equações do movimento.

31

3.2 - CASO QUANTICO

No entanto, na teoria quântica de campos, usando o for aalismo geral da função de partição, pode-se sostrar que estas equações de Lagrange, não são necessárias para eliainar o caapo auxiliar P. De. fato, este pode ser integrado exatamente, eli^ •tnando-o totalmente da função de partição, coa o que, depois de ter quantizado os caapos, o sistema físico taabea pode ser analJL sado coa ou sea caapo Auxiliar.

Ea outras palavras, taabea no caso quántico, a introdu ção do operador de caapo F, ea nada altera as características f£ sicas do sisteaa.

Para se verificar isto, seja:

L « :

{

-§~ O*

•

-J" ?*

- (»•+ ^X#

) F ) :

onde 4 e F são operadores de caapo.

A integral de partição é dada por:

l í

/

' «

í

(

*

o

Z » — I D+ DF e ' N - I D+ Df • ' °

Por outro lado, para uaa i n t e g r a l do t i p o gauss lana coao é o c a

-s o , é t r i v i a l mo-strar que

/

i / d * x ( - i - F*- F b(x) ) - i / d*x - £ - b

(x)

DF e - e

Temos assim: i / d"x { - i - CM» + - 4 - F2- (m<fr + /~2T <|>2) F } D(J, DF e 7 z z ^ d " x { - | - CM» " -j- (m 4» + S2\ <|>2)2} desenvolvendo o quadrado,

1 í i/***

-T

z » Y

P *

e

Isto é, a integral funcional, depois de ter eliminado o campo au xiliar F, se converte na que corresponde ao campo <J> "puro", de modo que, fisicamente, o conteúdo da descrição com ou sem opera-dores de campos auxiliares, é o mesmo. Isto prova a validade da utilização dos campos auxiliares no tratamento quantico do siste ma de maneira idêntica ã que ocorre no caso clássico via equa-ções de Lagrange.

Para completar a exposição, restam duas questões a se-rem tratadas. A primeira se refere ao cálculo do propagador de um campo auxiliar. Este ponto será tratado ao desenvolver o mo-delo estudado nesta tese, calculando-se os propagadores de todos os campos envolvidos. Como único comentário remarcável, podemos dizer que o fato do campo F não ter dinâmica (ausência de deriva das de F no Lagrangiano) faz com que o propagador, na representa çao dos momentos, tenha iguais potências de p tanto no numera-dor como no denominanumera-dor.

-33-A_(p) = E2

F 2 2

p*- nr

A segunda questão está referida a certas limitações que aparecem quando se trabalha com campos auxiliares,

Esta limitação já é visível no exemplo ilas trativo aqui considerado: a equivalência do tratamento com ou sem campo auxiliar, foi possível devido a exister uma relação en-tre as constantes características do sistema.

De fato, o sistema contém 3 constantes m, f, A

mais uma relação entre elas: f = - m/2 X

Na realidade, esta dificuldade pode ser contornada e, para tratar o caso em que esta relação não existe, é preciso in-troduzir pelo menos mais um campo auxiliar, o que pode ser feito de diversas maneiras equivalentes.

As vantagens e desvantagens desta solução dependem, ob-viamente, do modelo em estudo e, assim, deixamos esta discussão para o momento em que ele for exposto.

0 MODELO

1 - APRESENTAÇÃO DO MODELO

1,1 - A LAGRANGIANA, SEU CONTEÜDO E SUAS CARACTERÍSTICAS

O modelo aqui estudado, consiste basicamente num siste ma em interação, formado por três tipos de partículas diferentes: partículas escalares, pseudo-escalares e de spin 1/2 .

A interação entre os diversos tipos de partículas é a mais geral possível dentro dos modelos renormalizáveis, no senti do comentado na introdução teórica. 0 Lagrangiano, em termosdos

campos "físicos" ( não auxiliares), é dado por:

7 i - ^ . (|,{D- m í H + -%- r\{Q- m|}n + f*3+ f'<frn2+ WH+ A V +

+ A ' ^ n2 Vi l# - M } * + ?{g* - g'y n ) *

Como é visível, vários tipos possíveis de interação fo ram considerados. (As potências ímpar do campo pseudo-escalar,so mente aparecem acompanhadas de Y ) .

-35-Os três campos, <fr, n, 4», escalar pseudo-escalar es» pinorial, tem massas diferentes de zero e distintas entre si: m. * m , * M.

As constantes de acoplamento são em total 7, de modo que o modelo consta, ao todo, de 10 constantes características.

Como é sabido, para o caso geral em que não existem condições sobre estas constantes, aparecem divergências no cáleu Io das integrais de Feynman com o que seríamos obrigados a renor malizar cada uma das 10 constantes características,, mais a norma dos três campos, como se faz tradicionalmente.

Aparentemente, esta afirmativa já ê suficiente para tornar desinteressante a questão. No entanto a supersimetria mostra que o assunto não ê bem assim, e que há certas questões sutis, capazes de mudar o panorama. A chave está nas possíveis relações entre as constantes de acoplamento.

O modelo aqui tratado apresenta diferenças significati vas com o modelo supersimétrico (conhecido como modelo

Wess-Í271

-Zunimo ) , já que aqui, i|/ é um spinor de Dirac, enquanto que no modelo W-Z trata-se de um spinor de Majorana, além de não con ter "apriori" alguma relação entre as constantes de acoplamento.

Estas diferenças não são triviais e alteram o panorama. De fato, para ter-se um spinor de Dirac nas teorias supersimétrjL cas, é preciso duplicar o número de campos escalares e pseudo-e£ calares1 2 8 1

-Por outro lado, no modelo supersimétrico, a relação en [291

tre as constantes de acoplamento1 '

c) f = f' = + Mg d ) A A » j « ^

-é capaz de transformar significativamente a situação já que es-tas relações são suficientes para que quase todas as divergênci-as da Matriz S desapareçam, com o que nenhuma ddivergênci-as 10 constantes características (em realidade duas, M e g) precisa ser renormaLi zada (a menos de uma renormalização convergente para g ' ) , re£ tando uma renormalização ã norma dos campos.

Voltando ao nosso modelo não supersimétrico, o objeti-vo proposto consiste em desenobjeti-volver os cálculos per turba ti objeti-vos, as» sumindo que todas as constantes do modelo são arbitrárias e in-dependentes entre si e estabelecer as relações entre as

constan-tes do sistema, de modo a eliminar a renormalização infinita às massas e constantes de acoplamento.

Existem, a priori, dois caminhos possíveis para come-çar. O primeiro seria atacar diretamento o Lagrangiano e cons-truir a série perturbativa, sem campos auxiliares. Esta opção, mesmo que a mais direta, apresenta sérias complicações (já no 19 termo não nulo da série,),devido à existência de diversos tipos de divergência superposta (originados nas 4 potências dos cam-pos $, n ) . Assim, mesmo sendo problemas "superáveis", torna- se

impossível associar um número determinado de loops a cada termo da série perturbativa. Por outro lado, a extensão do cálculo aos próximos termos da série carregando diversos tipos de diver-gência superposta, tornaria o modelo extremamente complicado pa-ra tpa-rabalhar.

0 segundo caminho consiste na utilização de campos au-xiliares através dos quais desaparecem todas as quartas

potên-

-37-cias'dos campos 4, n (c . ntão as divergências superpostas na co£ reção de segunda ordem aos propagadores) associando-se um número

fixo de loops a cada termo da série, e simplificando-se diversas partes do cálculo, assim como facilitando, em grande parte, quajl quer possível extensão do trabalho.

1.2 - OS CAMPOS AUXILIARES DO MODELO

Optando pela utilização de campos auxiliares ja foi co raentado na introdução teórica, que o número de campos auxiliares

precisos para descrever um determinado sistema depende basicamen te da relação entre as constantes de acoplamento.

Para resolver esta questão, vamos reescrever o Lagran-giano:

L?íbos) = ~T~ {*( a~ m 2 )* + "J" í n ( D" m 2 ) n } ( 9 >

Lint(bos) = f*' + f'*"2 + *•* + A,n'' + *', (>V (10)

Lint (fer> = * <* • ' *'Y.n> * ( " I

L - LQ(f. b.) + Linfc(f. b.) + L0(f.f.) + Lint(f.f.)

Em primeiro lugar, os campos auxiliares só atuam no se tor bosônico do Lagrangiano, de modo que(11 + 12)permanece inal-terada.

Em segundo lugar, para se produzir

(9Í= LQ(fis. bos.)

é preciso a introdução de pelo menos 2 campos auxiliares (um as-sociado a cada campo físico), um escalar e um pseudo-escalar,jun to com duas constantes m1 e m-.

O Lagrangiano dos campos livres L , é sempre uma forma quadrática. Esta característica deve manter-se quando escrito em função dos campos auxiliares. Isto já é evidente por inspe-ção na integral funcional. Se assim não fosse, a expressão de L em termos dos campos auxiliares, não daria uma integral gaus-•iana e, então, não seria equivalente trabalhar com ou sem eles.

Assim, temos para o Lagrangiano dos campos livres <p e n, bosônicos em função dos campos auxiliares P e G.

3 . 9

-2

+ C-j- rOi + m2 nG :- -~- }

É direto verificar que a eliminação de F e G através das equações de Lagrange (ou integrando funcionalmente, o que

se mostrou equivalente), conduz diretamente a L(Fis.Bos.) =(9) Trata-se agora de escrever o Lagrangiano de interação do setor bosõnico em função dos Campos auxiliares.

Por inspeção, ele contém 5 constantes de acoplamento f, f , A A* A" , de modo que um conjunto de 5 constantes inde-pendentes deve entrar junto com os campos auxiliares.

Por outro lado somente podem entrar primeiras potências dos campos auxiliares; de terceira potência para cima não é pos-sível pois a integral funcinal em F (ou G) deixaria de ser gaus-2 siana e seria impossível sua eliminação( as segundas potências (F

2

ou G ) ja foram incluidos em L , e sao desnecessárias em L j ^ 1 cano se

verifica no raciocínio abaixo ) . Considerando i s t o , mais o f a t o de n e G serem pseudo-escalares, enquanto que o Lagrangiano todo de ve ser e s c a l a r , temos os s e g u i n t e s p o s s í v e i s termos para constru

i r L I N T<A u x>:

<J>2F; n2 F ; <J>nG

De fato, estes pão os únicos termos cúbicos (lineares em F ou G) invariantes por reflexão, (qualquer termo do tipo $F ou nG não passa de uma redefinição da massa de $ ou n)

Mas o problema é que três termos não são suficientes pa *» introduzir um conjunto de 5 constantes independentes. Este é O problema mencionado na introdução teórica.

Uma das soluções consiste em introduzir um terceiro C M po auxiliar N. Por inspeção, ele deve ser ua campo escalar o que permite aumentar em dois, o número de constantes independen-tes, através de termos do tipo:

•2N; n2N

Por outro lado, isto obriga a introduzir o N no La-grangiano dos campos livres (131. Nas como a sua presença está determinada pela parte de interação, não ê preciso introduzir um termo do tipo +N, o qual somente alteraria o valor inicial da massa (e complicaria os cálculos pelo aparecimento de propagado-res cruzados, o qual, como veremos mais a frente, ocorre com F e G, devido aos termos *F e nG) .

Em síntese, podemos escrever o Lagrangiano total como:

L(Aux) = Lo * LINT

LQ = {-|- <|t» + n»,*F + - — } •{-§- nOi • m2nG + -|-} +

-4j-• T { 1 ^ - M } T ( 14 )

Li n t » <*2{cF + cN} + nMc'F + c'N} + 24-ndG +

* í*9 - 9'Y n> T ( 15 )

As equações do movimento para F, C e N permitem escre ver as constantes C, V, A, X*, X" em função de c, ç, c', ç', dt

-41--3— « O = F + *i+ + c*2 + c'n2-* F = - {»! + + c*2 + c'n2} 3F

3k-

= o = G + m

n + 2d#n * G » - {«

n • 2d*n)

3k-

= o = N + c#

+ c'n

N = - (c*-

+ c'n

>

-Subs*-ituindo F, G e N por estas expressões em função de • n# se obtém a seguinte expressão:

L = - 4 - *ía- m2) * + -T- nía-m2}n + ? íi % ' M} f

* 1 * 2 - mie*' -(mie' + 2m2c0*n2 - (-£—t-*—)<fr* .(JtelL-JJfill—)n» -(.cc« +çç« + 2da)#Int ( 16 ) de modo que f > - rolC A - -y-("c2" S2 ) A" * " cc'~ S5'"2d* 17 f• - - ra»c'-2m2d X' « 4-<-{c'}2- íç'}2)

que são as relações procuradas.

£ importante observar que a escolha de A (ou A') pos_i tivo, implica em que pelo monos uma das duas constantes c, ç (ou c*, ç*) são imaginárias puras, o que levaria a trabalhar com um Lagrangiano de campos auxiliares com constantes de acoplamento ( algumas delas) imaginárias.

Assim, para evitar entrar nas complicações teóricas des ta questão, escolhemos A e A' negativas o que é equivalente a impor a realidade c ç c* c'.

1.3 - CALCULO DOS PROPAGADORES

O primeiro passo a dar no cálculo da série perturbati-va é o cálculo dos propagadores. Para isto perturbati-vamos considerar a integral funcional do sistema acoplado a correntes externas J que é dada por ':

1 ( L (*"* Í L0 +

(*,J) = -^-1 D<fr e ' 18

o caso de interesse ocorre quando o Lagrangiano dos campos li-vres é uma forma quadrática:

ho * " T " *A*

Entãot

. [ i /d^x (-4"*A* + J*) (•,J) * - ~ I D* e ' z

-43-/d"x J(x) { A"1(x) J ( X ) }

No nosso caso, * é dado por

P <f= N n G e a matriz A, é : A = J e J m1 0 0 0 m1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 c 0 0 m0 0 0 0 m 1 JF JN Jn

Uma vez esclarecida a natureza do operador A, podemos partir pa-ra a idéia de A"1

A A"1 Ai j Ajk

= «ik

Assim» A~ é dado por:

. - 1 - i n . D - m. -m, D - m D-m, t 3 - mí Então: d"x J(x) A- 1( x ) J(x) = D - m-- ram--

ra-ti - mi

I

A

(x) e

-45-Onde O(x-y) é o propagador procurado; e pode obter-se formalmen te diferenciando funcionalmente duas vezes em relação a J(x), to da integral funcional (18) e colocando J = 0.

Enfim, calculando, temos diretamente:

D(x - y)

h"»*

"2

2

~2 ~I

°

T 2

~2

2

PÍ

?

Onde A- | é a matriz dos propagadores em representação de momen-tum.

Quanto ao propagador do campo fermiônico, a idéia é exa tamente a mesma, somente que a introdução de variáveis anticomu tativas na integral funcional, obriga a um tratamento (técnico) mais detalhado [32]. Na idea de não dispersar a discussão, da-mos diretamente seu resultado.

Y p2- M2

Como foi mencionado anteriormente, existem propagadores cruzados: Por exemplo:

V

>

*

-2 -2

pí- m

i

A origem destes está no termo cruzado no Lagrangiano dos campos Livres:

L » ... + m-^F + ...

assim, é claro agora, o porquê de não acoplar o campo N ao campo $ no Lagrangiano Livre L . Fisicamente só se alteraria (em par-te )o valor da massa, enquanto que mapar-tematicamenpar-te haveria propa-gadores cruzados tipo A.„ e então também A „ o que complicaria as coisas.

De fato, do modo em que N foi introduzdio, estes propa-gadores cruzados de N, não existem; e, mais ainda, o propagador para o campo N, em representação de momentum, é igual a 1.

Vemos também de que modo a falta de dinâmica dos cam-pos auxiliares F e G, faz com que o propagador deles tenha a mesma potência de p no numerador como no denominador, coisa que também foi mencionada na introdução.

CAPITULO 3

AUSÊNCIA DE RENORMAUZAÇAO INFINITA AS

MASSAS E CONSTANTES DE ACOPLAMENTO

1 - FUNÇÕES DE GREEN DE DUAS PERNAS

1,1 - CALCULO DAS CORREÇÕES INFINITAS ATÉ 1 LOOP ÂS FUNÇÕES DE GREEN DE DUAS PERNAS

A expressão da matriz S, é dada por:

S* 1 + i / d"xi : L(x1) : " "J" / d"x» d"X 2 : T L ( xl} L ( x2)

-±1**

onde L(x) é o Lagranglano de Interação. No nosso modelo, L é da do por: 15

i L(x) : = : { ( c <t>2 + c V ) F + ( c <fr2 + c V ) N + (2d <j»n) G +

O segundo termo da série perturbativa é:

- -y- d-X! tfXi : T L(x,) L(x2):

Trata-se, agora, de substituir L(x) pela sua expressão explicita e desenvolver o produto normal :T L(x.) L(x_): sendo que as correções ãs funções de Green, se obtém somente dos ter-mos proporcionais ao produto normal de 2 campos. (Por exemplo:

: «MXj) <Mx2): ou : níXj) G(x2>: ) :T Llx^ L(x2) : = :T{(F[C(fr2 + c'ri2J)v (F[c<fr2 • c 'n 2l )v + (Nfç*2 + c'x)2]) (N[ç<|>2 + ç'n2]) + 4(Gd<f>n)„ (Gd<j)n)v + (4»[<|>g - g'YcnlY)* (t[*g - g'Ycnl*)» + 2 ( F [ C *2 + c ' n2] )v (N[Ç<J>2 + c ' n2] ) A a x2 x1 x2 + 2(F(c*2 + c ' n2] )v 2(Gd4>n)v + 2(Flc<|>2 + c ' n2l )v m<J>g - g'y~n]V)v + 2(N[ç<J>2 • C * n2] )v 2(Gd<J>n)v • 2(N[c<J>2 + ç ' n2l )v ( t U g - g,Y5n]4')x • 4!(Cd<j>n)x ( n * g - g,Y5n l ' Ox h ( 19 )

Para racionalizar o trabalho, é preciso classificar as funções de Green de duas pernas para desenvolver os produtos nor

-49-mais. Uma rápida observação mostra as seguintes funções propor-cionais a: 1: TF : 1: <W : *: *n : 1: *F : s *N : *: *G : : *f : 1: nn : *: nF : *: nN : 1: nG : : r\y : 1: FF : : FN : *: FG : : F* : 1: NN : *: NG : : Nf : 1: GG : : G4» :

Em primeiro lugar, é evidente que todas as funções do ti-po : AP : não existem (a menos de : 1"P ) .

Em segundo lugar, as marcadas * violam paridade em process sos de até 1 loop, de modo que também não são consideradas.

Por outro lado, as funções marcadas com 1 são as que fornecem as correções às massas e a norma dos campos.

A função proporcional a : $N : também deve ser calcu-lada, assim como a função : FN :

Em síntese, a ausência de divergências deve ser condi-ção imposta nas funções marcadas com 1, assim como cm : <j>N : e

: FN :

Trata-se, agora, de filtrar somente as correções âs funções acima mencionadas. Começando pela parcela proporcional a : V(x*) 'Mx-I : contribui a ela unicamente o quarto termo da expressão acima. (19).

* í T { fe - g*Y n ) * ) í ¥ í «tg -g'y n ) f )

S I 5 2

= : ^ ( x . ) 4-b(x2) : I g* |<j>, -i>2 | | t , *, j ^ +

( g ' )2 ( YS | f i ¥ a | Y5 )3 i } In, n2| )

Relembramos q u e :

1*1 fc| = UiX,) <j>(X2)| = 1 D^Xi , X2)

e idem com í^i^^^ab* 0 s £n<*i-ces a e b são indices spinoriais.En quanto à convenção sobre matrizes Y e notações, a questão é dis-cutida no apêndice "A". Por outro lado, o modo de desenvolver o produto normal, consiste numa aplicação simples das regras de co mutação para os campos ou do que em sua forma mais geral, é co-nhecido como teorema de Wick[33J .

Continuando, procuramos agora a parte de : T L(xJ L(x2) : proporcional a : ^ ( x j 4> (x2) :

O primeiro termo contribui com:

í T ( F {©)>'+ c ' n2} )v ( P tof>2+ c ' n2} ) :

Xl X2

:<h <fo

4 { c2 |FX P2| 1 ^ 4>2I + c2 |FX «J.2|2 : <fr(x,) 'Mx2) :

Os f a t o r e s 4 são f a t o r e s e s t a t í s t i c o s (alguns a u t o r e s , o chamam de "simmetry f a c t o r " ) cuja origem c o n s i s t e no número p o s s í v e l de c o n t r a ç õ e s [34](

2 2

O termo : • (x.) F(x.) <í> (x2> Fix,) : permite construir a par cela : <Mx.,) <fr (x_) : [F-jF-l 1*1*2' **e 4 modos distintos:

(• F )x (* F )x => 2.2 = 4

O •(x1) dentro do produto normal pode escolher-se de duas manei-2

ras, tirando-o de (<fr F)x. e idem com <f»(x2). (Por isso os fato-res 2I e m cada "perna externa"). Feito isto, o 4>(x..) restante, pode contrair-se com o 4>(x-) restante de um único modo e idem

. 1 ,

com F(x1) e F(x2) (por isso os fatores | | em cada "linha interna"). Em síntese, temos um peso 4 para o termo. Em outras palavras, este termo aparece 4 vezes ao desenvolver o produto nor mal*

De maneira análoga, o segundo termo contribui com:

: T ( N {c<J>2+ c ' n2) )v ( N {c*z+ c V ) ) :

:<|»i <f)5

4 { <f | NX N2| l ^ <|>2| } : <j.(xi) .Mxz) :

(A contração [4>N] e igual a zero pois não existe propagador cru-zado de N com <M.