Inform´
atica no Ensino de Matem´
atica
Prof. Jos´
e Carlos de Souza Junior
http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc
Aula 06 - Desvendando o GeoGebra
PARTE 15 - PROPRIEDADES DE UM OBJETO.
Ao iniciar o GeoGebra, escolha a disposi¸c˜ao
Geometria
.Veremos como mudar a aparˆencia de um objeto (sua cor, seu tamanho, sua espessura) usando o Bot˜ao Direito do Mouse.
Para tanto, vamos utilizar o arquivo baricentro.ggb, que se encontra na Aula 05, em nossa p´agina WEB:
Passo 01: Ap´os abrir o arquivo acima, ative a ferramenta Mover.
Passo 02: Coloque o apontador do mouse sobre a mediana CD e, ent˜ao, clique com o bot˜ao direito do mouse! No menu que aparecer´a, basta escolher a op¸c˜ao “
Propriedades . . .
”Passo 03: As v´arias guias (abas) d˜ao acesso `as v´arias propriedades do objeto!
Passo 04: Vamos mudar o estilo da linha da mediana do triˆangulo para o formato pontilhado! Para tanto, clique na aba
Estilo
Passo 05: ´E poss´ıvel modificar as propriedades de outros objetos mantendo essa janela aberta! Para isso, basta selecionar o objeto. Por exemplo, clique com o bot˜ao esquerdo do mouse sobre a mediana BF .
Depois, basta mudar o estilo deste objeto para pontilhado! Deixe todas as medianas com a mesma aparˆencia!
Passo 06: Vamos agora, modificar a aparˆencia do triˆangulo (pol´ıgono preenchido). Clique no interior do triˆangulo, selecione
Propriedades . . .
. Depois mude a cor para azul, com um n´ıvel de transparˆencia de 25%.Resumindo, tudo o que fizemos na aula anterior atrav´es da
Barra de Estilo
, podemos fazer clicando no objeto com o bot˜ao direito do mouse!PARTE 16 - A FERRAMENTA MEDIATRIZ.
Veremos como usar a ferramenta
Mediatriz
do GeoGebra. Lembramos que a mediatriz associada a dois pontos dados ´e o lugar geom´etrico dos pontos no plano que s˜ao equidistantes a estes dois pontos.Passo 01: Vamos criar dois segmentos de reta e dois pontos arbitr´arios, conforme a figura a seguir.
Passo 02: Ative a ferramenta
Mediatriz
Passo 03: Com a ferramenta ativada, selecione dois pontos! Por exemplo, clique nos pontos A e B e tamb´em nos pontos E e F . Tamb´em podemos encontrar a mediatriz selecionando um segmento. Por exemplo, clique no segmento CD.
PARTE 17 - A FERRAMENTA BISSETRIZ.
Veremos como usar a ferramenta
Bissetriz
do GeoGebra. Lembramos que a bissetriz asso-ciada a duas retas concorrentes ´e o lugar geom´etrico dos pontos no plano que s˜ao equidistantes a estas duas retas.Para tanto, vamos utilizar o arquivo bissetriz.ggb, que se encontra na Aula 06, em nossa p´agina WEB:
http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=informatica2013
Passo 01: Selecione a ferramenta
Bissetriz
.Passo 02: Com a ferramenta ativada, basta selecionar trˆes pontos (para obter a bissetriz in-terna). Por exemplo, clique nos pontos C, A, B (o v´ertice sempre no meio) e nos pontos I, G, H. Ao selecionarmos duas retas concorrentes, obtemos as bissetrizes interna e externa! Por exem-plo, selecione as retas vermelhas.
ATIVIDADE 01.
Nesta atividade, veremos como construir o incentro e o c´ırculo inscrito de um triˆangulo!
Lembre-se que o incentro ´e o ponto de interse¸c˜ao das bissetrizes internas de um triˆangulo!
Passo 01: Usando a ferramenta
Segmento definido por Dois Pontos
, construa um triˆangulo como na figura a seguir.Passo 02: Usando a ferramenta
Bissetriz
, encontre as bissetrizes internas do triˆangulo cons-tru´ıdo no passo anterior.Passo 03: Selecione a ferramenta
Interse¸
c˜
ao de Dois Objetos
e encontre a interse¸c˜ao das bissetrizes internas. Mude o nome desse ponto para I.Passo 04: Selecione a ferramenta
Reta Perpendicular
e depois clique sobre o segmento AB e sobre o ponto I.Passo 05: Novamente, selecione a ferramenta
Interse¸
c˜
ao de Dois Objetos
e encontre o ponto que est´a na perpendicular, criada no passo anterior, e no segmento AB.Passo 06: Selecione a ferramenta
C´ırculo dados Centro e Um de seus Pontos
e crie um c´ırculo com centro em I, passando pelo ponto D.Passo 07: Esconda as constru¸c˜oes auxiliares. Sugest˜ao: use a t´ecnica de sele¸c˜ao m´ultipla. Para tanto, mantenha a tecla
CRTL
pressionada e, ent˜ao clique nos v´arios objetos a serem escon-didos. No ´ultimo objeto, clique com o bot˜ao direito do mouse e selecioneExibir Objeto
.Exiba apenas o triˆangulo, o c´ırculo e o ponto I.
Passo 08: Manipule os v´ertices do triˆangulo.
ATIVIDADE 02.
(Uma fal´acia cl´assica em geometria) Abaixo temos os passos de uma demonstra¸c˜ao errada para o seguinte teorema falso: “todo triˆangulo ´e is´osceles”.
(a) Usando somente l´apis e papel, tente descobrir qual passo est´a errado. Anote a sua res-posta! O ideal ´e que vocˆe fa¸ca os seus pr´oprios desenhos no papel mas, se quiser, use esta figura aqui:
(b) Implemente os passos abaixo no GeoGebra e confirme a sua resposta.
Passo 01: No triˆangulo ∆ABC, seja O o ponto de interse¸c˜ao da mediatriz←→F O e do lado AB com a bissetriz ←→CO do ˆangulo ∠ACB.
Passo 02: Construa os segmentos OE perpendicular ao lado AC e DO perpendicular ao lado BC, respectivamente.
Passo 03: Os triˆangulos ∆CEO e ∆CDO s˜ao congruentes e, portanto, EO = DO e EC = DC.
Passo 04: Como AO = BO, o triˆangulo retˆangulo ∆AEO ´e ent˜ao congruente ao triˆangulo retˆangulo ∆BDO e, assim, AE = BD.
Passo 05: Consequentemente, AC = AE + EC = BD + DC = BC e o triˆangulo ∆ABC ´
e is´osceles.
ATIVIDADE 03.
(Uma fal´acia cl´assica em geometria) Abaixo temos os passos de uma demonstra¸c˜ao errada para o seguinte teorema falso: “todo ˆangulo ´e reto”. Implemente estes passos no GeoGebra e descubra qual ´e o erro da demonstra¸c˜ao!
Passo 01: Dado um ˆangulo α, seja ABCD um quadrado e seja E um ponto com BE = BC e m(∠EBA) = α. Sejam tamb´em R o ponto m´edio e DE, P o ponto m´edio de DC, Q o ponto m´edio de AB e O a interse¸c˜ao da reta ←→P Q com a mediatriz do segmento DE (veja a figura a seguir).
Passo 02: Os triˆangulos ∆AQO e ∆BQO s˜ao congruentes, uma vez que ←→OQ ´e a mediatriz do segmento AB. Segue-se ent˜ao que AO = BO.
Passo 03: Os triˆangulos ∆DRO e ∆ERO s˜ao congruentes uma vez que ←→RO ´e a mediatriz do segmento DE. Segue-se ent˜ao que DO = EO.
Passo 04: Agora, DA = BE, pois ABCD ´e um quadrado e E ´e o ponto escolhido de tal maneira que BE = BC.
Passo 05: Desta maneira, os triˆangulos ∆OAD e ∆OBE s˜ao congruentes porque seus lados possuem o mesmo tamanho.
Passo 06: Segue-se, portanto, que m(α) = m(∠EBA) = m(∠EBO)−m(∠ABO) = m(∠OAD)− m(∠OAB) = m(∠BAD) = 90o.
ATIVIDADE 04.
(O teorema de Pappus) Sejam r e s duas retas. Construa os pontos A, B e C sobre a reta r e construa os pontos D, E e F sobre a reta s. Sejam P o ponto de interse¸c˜ao das retas ←AE→ e ←→DB, Q o ponto de interse¸c˜ao das retas ←AF e→ ←→DC e R o ponto de interse¸c˜ao das retas ←→BF e ←→
EC:
P =←AE ∩→ ←→DB, Q =←AF ∩→ ←→DC e R =←→BF ∩←→EC.
(a) Implemente esta constru¸c˜ao no GeoGebra. Os nomes dos pontos e das retas r e s devem aparecer! Use cores diferentes para real¸car as retas que definem os pontos P, Q e R.
(b) Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante geom´etrico. Ob-serva¸c˜ao: um invariante geom´etrico ´e uma propriedade geom´etrica (concorrˆencia, colinea-ridade, comprimento, medida de ˆangulo, etc) que permanece constante (invariante!) para qualquer configura¸c˜ao da constru¸c˜ao satisfazendo certas propriedades pr´e-estabelecidas.
ATIVIDADE 05.
(O teorema de Pascal para o c´ırculo) Seja C um c´ırculo. Construa os pontos A, B, C, D, E e F sobre o c´ırculo C. Sejam P o ponto de interse¸c˜ao das retas ←AE e→ ←→DB, Q o ponto de interse¸c˜ao das retas←AF e→ ←→DC e R o ponto de interse¸c˜ao das retas←→BF e ←→EC:
P =←AE ∩→ ←→DB, Q =←AF ∩→ ←→DC e R =←→BF ∩←→EC.
(a) Implemente esta constru¸c˜ao no GeoGebra. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use cores diferentes para real¸car os v´arios elementos da constru¸c˜ao.
(b) Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante geom´etrico.
ATIVIDADE 06.
Seja ABCP um quadrado qualquer. Sobre o lado AB construa o triˆangulo equil´atero ∆ABQ “para dentro” do quadrado e, sobre o lado BC, construa o triˆangulo equil´atero ∆CBR “para fora” do quadrado. Que propriedade marcante os pontos P, Q e R possuem? Identifique um invariante geom´etrico e demonstre-o!
ATIVIDADE 07.
Nesta atividade veremos como construir uma par´abola de foco F e diretriz r.
Lembre-se que a par´abola ´e o lugar geom´etrico dos pontos no plano que s˜ao equidistantes de F e r.
Passo 01: Usando a ferramenta
Reta definida por Dois Pontos
, crie uma reta pas-sando pelos pontos A e B. Chame esta reta de r.Passo 02: Crie um ponto F fora da reta r.
Para construir a par´abola, vamos precisar de uma nova categoria de pontos: os pontos semilivres.
Um ponto semilivre ´e aquele que ´e criado sobre um objeto e, devido a este v´ınculo, ele s´o pode ser deslocado sobre o objeto.
Passo 03: Ative a ferramenta
Novo Ponto
e clique sobre a reta r para criar o ponto C vinculado a esta reta! Mude a cor do ponto C para a cor rosa. Observe que este ponto s´o pode ser deslocado sobre a reta r!Passo 04: Oculte os pontos A e B.
Vamos agora construir um ponto P que pertence `a par´abola, isto ´e, que pertence ao lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de F e de r!
Passo 05: Selecione a ferramenta
Mediatriz
e depois, clique sobre os pontos F e C.Passo 06: Ative a ferramenta
Reta Perpendicular
e clique sobre a reta r e depois, sobre o ponto C.Passo 07: Selecione a ferramenta
Interse¸
c˜
ao de Dois Pontos
e encontre o ponto per-tencente `a mediatriz e `a reta perpendicular. Renomeie o ponto, chamando-o de P .Passo 08: Oculte a mediatriz e a reta perpendicular.
Vamos agora usar um recurso do GeoGebra que permite rastrear (a posi¸c˜ao de) um ponto! Ao rastrear o ponto P , teremos uma percep¸c˜ao melhor do lugar geom´etrico!
Passo 09: Clique com o bot˜ao direito do mouse sobre o ponto P e selecione a op¸c˜ao
Habilitar
Rastro
. Depois selecione a op¸c˜aoMover
.Passo 10: Clique sobre o ponto C e movimente-o sobre a reta r. Veja o rastro do ponto P !
Passo 11: Clique com o bot˜ao direito do mouse sobre o ponto P e desabilite a op¸c˜ao
Habilitar
Rastro
. Rastros n˜ao s˜ao permanentes! Basta ampliar (use a roda do mouse) um pouco a figura que o rastro ir´a sumir.Usaremos agora a ferramenta
Lugar Geom´
etrico
que permite construir o lugar geom´etrico como uma curva permanente na constru¸c˜ao.Passo 12: Selecione a ferramenta
Lugar Geom´
etrico
.Agora, clique sobre o ponto P do lugar geom´etrico e, depois, clique sobre o ponto semilivre C, do qual P depende.
ATIVIDADE 08.
Sejam C um c´ırculo de centro O e P um ponto de C. Para cada X em C, considere o ponto m´edio M do segmento P X. Qual ´e o lugar geom´etrico do ponto M quando X se desloca sobre o c´ırculo C? Implemente esta constru¸c˜ao no GeoGebra, investigue, fa¸ca uma conjectura. Justifique a sua conjectura para o lugar geom´etrico?
ATIVIDADE 09.
Considere dois c´ırculos C1 e C2, com C1 contido no interior de C2. O c´ırculo C1 tem centro no
ponto A e ele passa pelo ponto B. O c´ırculo C2 tem centro no ponto C e ele passa pelo ponto
D. Seja agora X um ponto do c´ırculo C1. Marque o ponto Y que ´e a interse¸c˜ao da semirreta
−−→
AX com o c´ırculo C2. Finalmente, construa o ponto m´edio M do segmento XY .
(a) Implemente esta constru¸c˜ao no GeoGebra. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use cores diferentes para real¸car os v´arios elementos da constru¸c˜ao.
(b) Quais s˜ao os pontos livres, semilivres e fixos desta constru¸c˜ao?
(c) Rastreie o ponto M quando X se movimenta sobre o c´ırculo C1. O lugar geom´etrico
descrito pelo ponto M ´e um c´ırculo? Justifique a sua resposta!
ATIVIDADE ELETR ˆ
ONICA 17.
No artigo “Estudo das cˆonicas com Geometria Dinˆamica”, Jos´e Carlos de Souza Junior e Andr´ea Cardoso exploram as defini¸c˜oes alternativas das cˆonicas, que facilitam t´ecnicas do Desenho Geom´etrico com o aux´ılio do computador. Leia o artigo que est´a dispon´ıvel no link “Biblioteca” na p´agina WEB:
http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=informatica2013
Implemente a constru¸c˜ao da hip´erbole no GeoGebra, salve a constru¸c˜ao com o nome
hiperbole.ggb e envie o arquivo para o seguinte e-mail:
trabalhoinformatica.matematica@gmail.com
(note o ponto · entre as palavras). Use “AE-17: Hip´erbole” como assunto (subject) deste e-mail. S´o ser˜ao aceitos os e-mails enviados at´e o dia 12/07/2013 (sexta-feira). N˜ao esque¸ca de colocar o seu nome.
ATIVIDADE ELETR ˆ
ONICA 18.
Seja ∆ABC um triˆangulo qualquer. Sobre os lados AB e AC construa, respectivamente, triˆangulos equil´ateros ∆P AB e ∆RCA “para fora” do triˆangulo ∆ABC. Sobre o lado BC, construa o triˆangulo equil´atero ∆QCB “para dentro” do triˆangulo ∆ABC. Por fim, trace os segmentos P Q e QR.
(a) Implemente esta constru¸c˜ao no GeoGebra. Quais s˜ao os pontos livres?
(b) Que propriedade marcante o quadril´atero P QRA possui? Identifique o invariante geom´etrico e demonstre-o!
Implemente este enunciado no GeoGebra, salve a constru¸c˜ao com o nomeaquecimento.ggb
e envie o arquivo para o seguinte e-mail:
trabalhoinformatica.matematica@gmail.com
(note o ponto · entre as palavras). Use “AE-18: Invariante Geom´etrico” como assunto (subject) deste e-mail. S´o ser˜ao aceitos os e-mails enviados at´e o dia 12/07/2013 (sexta-feira). N˜ao esque¸ca de colocar o seu nome.
