O USO DE ABORDAGENS PARAMÉTRICA E POSSIBILÍSTICA EM PROGRAMAÇÃO MULTI-OBJETIVO COM INCERTEZAS

O USO DE ABORDAGENS PARAMÉTRICA E POSSIBILÍSTICA EM

PROGRAMAÇÃO MULTI-OBJETIVO COM INCERTEZAS

Ricardo C. Silva Departamento de Telemática

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas

Av. Albert Einstein, 400, C.P. 6101, CEP 13083-970 [email protected]

RESUMO

O objetivo deste trabalho é criar condições de otimalidade para resolver os problemas de programação multi-objetivo restritos em um ambiente incerto. Os problemas da vida real, que necessitam ser otimizados, tem parâmetros incertos por uma gama grande de situações e a forma de tratar essa incerteza pode ser usando lógica nebulosa. Neste trabalho, foram desenvolvidas duas abordagens para resolver problemas multi-objetivo nebulosos, sendo uma paramétrica, que transforma um problema com parâmetros nebulosos em um problema paramétrico com um número maior de funções objetivo, e outra possibilística, que usa a teoria de possibilidade como um índice de comparação entre números nebulosos. Alguns exemplos numéricos são resolvidos usando um algoritmo genético chamado NSGA-II elitista, com algumas modificações para a comparação de números nebulosos, e depois feita uma análise dos resultados encontrados por ambas os enfoques.

PALAVRAS CHAVE. Programação matemática, otimização multi-objetivo nebulosa, condições Pareto-otimalidade nebulosas

ABSTRACT

The main goal of this work is to create optimality conditions to solve the constraint multi-objective programming problems in fuzzy environment. Real-world optimization problems have uncertain parameters to a wide range of situations and the way to deal with this imprecision can be used fuzzy logic. In this work, two approaches were developed to solve fuzzy multi-objective problems. The first approach parameterizes the fuzzy problem and transforms it into a classic multi-objective programming problem with a lot of more objective functions, while the second one uses the possibility theory as comparison index between two fuzzy numbers. Some numerical examples are solved by using a genetic algorithm called elitist NSGA-II, with some modifications to compare fuzzy numbers, and then an analysis of obtained results is made to both approaches.

KEYWORDS. Mathematical programming, fuzzy multi-objective optimization, fuzzy Pareto-optimality conditions

1. Introdução

O surgimento da pesquisa operacional (PO) forneceu uma base quantitativa e racional para as tomadas de decisão. A PO é um ramo da ciência que tem por finalidade desenvolver técnicas para otimizar o desempenho de sistemas. Suas aplicações encontram-se nas áreas industriais, de negócios, militares e governamentais, entre outras. O estudo da PO pode ser dividido em algumas sub-áreas, sendo a programação matemática (PM) uma delas. Essa tem como meta solucionar problemas que envolvem minimização (ou maximização) de uma ou várias funções objetivo. Esses problemas são formulados matematicamente de maneira clara e precisa. Eles necessitam ter a(s) função(ões) objetivo(s) a ser(em) otimizada(s), e podem ser do tipo restrito ou restrito. PM tem várias classes de problemas que podem ser encontrados em teoria de jogos, alocação de facilidades, problemas de logística, designação de tarefas, problemas de economia em geral, controle, processamento de sinais entre outros. Várias aplicações e métodos podem ser encontrados em Beale (1959), Floudas et al. (1999), Hock e Schittkowski (1981), Schittkowski (1987) e Wolfe (1959).

Os problemas de PM descritos neste trabalho têm duas ou mais funções objetivo, que são chamadas de problemas de programação multi-objetivo restritos e podem ser formulados da seguinte maneira: Ω ∈ ≤ x x G a s x F 0 ) ( . ) ( min (1)

sendo que F=

(

f1,f2,K, fm

) (

, m≥2

)

é um vetor de objetivos e Ω⊂ℜn é o conjunto de soluções factíveis.

Diante do problema de obter uma solução ótima única, o conceito de uma solução ótima eficiente foi introduzida em Pareto (1987a) e Pareto (1987b), e, a partir deste momento, o campo de otimização multi-objetivo surgiu. Alguns métodos específicos para resolver problemas de programação multi-objetivo são propostos em Chankong e Haimes (1983). A grande maioria destes métodos são descritos por modelos de otimização que usam freqüentemente PM clássica, a qual tenta desenvolver um modelo exato para resolver os problemas de otimização em geral.

Muitos problemas do mundo real não podem ser adequadamente representados ou formulados como um problema linear devido à natureza das funções do problema que são não-lineares. Entretanto, os problemas de PM contêm dados incertos, imprecisos ou mal-definidos na maioria dos casos. Existem algumas maneiras de conseguir descrever matematicamente essas incertezas, como processos estocásticos, lógica nebulosa, caos ou até mesmo uma aproximação numérica destes dados imprecisos.

A lógica nebulosa e a teoria dos números nebulosos foram desenvolvidas por Zadeh (1965), na tentativa de refletir matematicamente a imprecisão do mundo real. Hoje em dia, a lógica nebulosa é empregada com grande sucesso na concepção, construção, formulação e utilização de uma ampla gama de produtos e sistemas em que o funcionamento é diretamente baseado na forma de raciocínio do ser humano. Um problema de programação multi-objetivo nebuloso pode ser formulado como

Ω ∈ ≤ ~ ~ 0 ~ ~ ) ~ ; ~ ( . ) ~ ; ~ ( in m~ x x a G a s x c F (2)

sendo F =

(

f1, f2,K,fm

) (

, m≥2

)

um vetor de objetivos, G=

(

g1,K,gl

)

um vetor de funções de restrição que determinam a região factível, c~∈ℑ(ℜm×p) os parâmetros nebulosos nas funções objetivo, )~a∈ℑ(ℜl×p os parâmetros nebulosos do conjunto de restrições, ≤~ representa a relação

de ordem nebulosa que compara dois valores nebulosos e Ω~⊂ℑ(ℜn) o conjunto de solução factíveis. )ℑ(ℜ define o conjunto de números nebulosos, ℑ(ℜn) define o conjunto de vetores n-dimensionais com parâmetros nebulosos e ℑ(ℜm×p) define o conjunto de matrizes (m× )-p dimensionais com parâmetros nebulosos. Dentre os parâmetros incertos que foram descritos no Problema (2), podemos observar que as imprecisões podem estar presentes em vários pontos do problema a ser otimizado. Entretanto, o problema que será trabalhado no decorrer deste artigo tem incertezas somente nos custos das funções objetivo.

Existem casos de problemas do mundo real em que os seus parâmetros não são conhecidos com exatidão e necessitam ser estimados pelo decisor que tem uma certa experiência sobre o problema. Assim, a aplicação de métodos que consigam descrever matematicamente essas imprecisões é necessária, como descrito em Appadoo, Bhatt e Bector(2008), Lai e Hwang(1992), Negoita e Ralescu(1975) e Wang e Zhu(2002).

Esse trabalho está organizado como segue: Seção 2 apresenta uma nova abordagem que resolve problemas de programação multi-objetivo restritos com incertezas nos custos das funções objetivo. Ela parametriza os números nebulosos que representam as incertezas transformando o problema multi-objetivo nebuloso em um problema clássico paramétrico e os novos objetivos buscam um nível de satisfação ótimo; Seção 3 introduz uma abordagem que usa a teoria de possibilidade para definir um índice de comparação entre números nebulosos. Esse índice ajuda a construir um conjunto nebuloso ordenado de acordo com o nível de satisfação escolhido pelo decisor, que permite fazer a extensão de definições e teorias que garantam condições necessárias para obter um conjunto de soluções eficientes; na Seção 4 são apresentados os problemas usados para validar as abordagens, paramétrica e possibilística, desenvolvidas neste trabalho, junto com os resultados computacionais dos mesmos e alguns comentários sobre os resultados obtidos; Finalmente, algumas considerações finais sobre todo o trabalho desenvolvido e validado são apresentados na Seção 5.

2. Abordagem paramétrica

Muitas abordagens que transformam um problema de programação matemática nebuloso em um problema de programação matemática clássico já foram publicadas e, dentre eles, pode-se destacar a abordagem paramétrica. Por um lado, ela transforma o problema nebuloso em vários problemas clássicos com a inserção de um parâmetro que representa o nível de satisfação, o qual pertence ao intervalo [0,1]. Por outro lado, define esse novo parâmetro como uma variável de decisão do problema e tentar otimizá-la para encontrar o nível de satisfação ótima.

A abordagem paramétrica está dividida em duas etapas. Primeiramente, será explanada a idéia básica do uso dos parâmetros que ajudam a transformar o problema nebuloso em um problema clássico. Depois de descrita essa idéia paramétrica, será apresentada uma formulação matemática que transformam um problema de programação nebuloso restrito em um problema clássico paramétrico restrito.

2.1. Idéia paramétrica

A natureza ambígua dos custos que estão presentes nas funções de objetivo de problemas de programação multi-objetivo com incertezas podem ser tratadas por muitas maneiras distintas (como probabilidade, caos, aproximação de valores), mas aqui é definida por lógica nebulosa. Esses custos descrevem esses dados vagos de maneira a permitir alguma violação, que não é permitida no caso clássico, e esses parâmetros nebulosos podem ser definidos pelo decisor. Assim, um problema de programação multi-objetivo com parâmetros nebulosos nas funções objetivo pode ser formulado da seguinte forma:

Ω ∈ ≤ x x G a s x c F 0 ) ( . ) ; ~ ( min (3)

sendo F =

(

f1, f2,K,fm

) (

, m≥2

)

um vetor de objetivos, G=

(

g1,K,gl

)

um vetor de funções de restrição que determinam a região factível, c~∈ℑ(ℜm×p) os parâmetros nebulosos e Ω⊂ℜn é um subconjunto de soluções factíveis.

O grau de satisfação de uma solução x∈ℜn é dado por um conjunto de funções de pertinência. Essas funções de pertinência podem ser formuladas como segue

I i

i :ℜ→(0,1], ∀ ∈ μ

sendo que μ é uma função de pertinência e I é o conjunto que contém todos os parâmetros imprecisos.

Se ℵ=_Ii∈Iℵ_i, onde ℵ representa a região factível da i-ésima função de pertinência. Então, _i o problema multi-objetivo nebulosos, descrito anteriormente, pode ser definido por uma forma compacta:

{

F(c~;x)|x∈ℵ

}

min

É claro que ∀α∈

[ ]

0,1, um α-corte dos parâmetros incertos será o conjunto clássico

( )

α =

{

∈Ω μ

( )

≥α

}

ℵ x | _ℵ x sendo que ∀x∈ℜn,

( )

x = _i

(

x

(

−

)

)

i∈I ℵ infμ 1 α , μ

Assim, um α-corte dos i-ésimos parâmetros serão denotados por ℵ

( )

α . Logo, se ∀α∈

(

0,1

]

,

( )

α =

{

x∈Ω F

(

[

c c

]

_α x

)

= F

(

[

c c

]

_α y

)

y∈ℵ

( )

α

}

S _| L_, U _{; min} L_, U _{; ,}

a solução nebulosa para o problema será portanto o conjunto nebuloso definido pela seguinte função pertinência ( )

{

( )

}

( )

⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = contrário caso 0 : supα α α μ α α S x S x S U

A solução operativa para o problema anterior pode ser encontrado, α-corte por α-corte, resolvendo o problema de programação multi-objetivo paramétrico auxiliar.

Portanto, o problema de programação multi-objetivo nebulosos restrito foi parametrizado no fim da primeira fase. Na segunda fase o problema paramétrico é resolvido para cada um dos diferentes valores α usando técnicas de programação multi-objetivo convencional. Logo, as soluções para cada α do problema paramétrico satisfazem as condições de otimalidade suficientes de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para o caso de soluções eficientes.

Os resultados obtidos para cada valor de α geram um conjunto de soluções S(α) e, portanto, o Teorema da Representação pode ser usado para integrar todos essas α-soluções específicas. Assim, é demonstrado que as soluções em linhas gerais para o modelo paramétrico é uma solução válida para o problema de programação multi-objetivo nebuloso.

2.2. Formulação da idéia paramétrica

Em Jimenéz(2006) é desenvolvida uma outra abordagem multi-objetivo que resolve problemas de programação não-linear com um único objetivo com incertezas nos custos da função objetivo e no conjunto de restrições, mas ela também pode ser estendida para resolver problemas multi-objetivo nebuloso restritos.Aqui, problemas de programação multi-objetivo restrito com parâmetros imprecisos são considerados, sendo que essas componentes imprecisas

serão definidos como números nebulosos. Esse conjunto de problemas é formulado como segue

[

]

Ω ∈ ≤ x x G a s x c f x c f x c f _{m m} 0 ) ( . ) ; ~ ( , ), ; ~ ( ), ; ~ ( min 1 1 2 2 K (4)

sendo que x é um vetor de n números reais, c~ é um vetor de números nebulosos com _i p _i componentes para cada i=

{

1,2,_K,m

}

. Os números nebulosos são caracterizados pelas funções de pertinência que são definidas pelo tomador de decisão. As funções de pertinência podem ser definidas como

[ ]

j J

{

m

}

j:ℜ→ 0,1, ∈ = 1,2,K, μ

Em particular essas funções de pertinência serão descritas da forma

( )

( )

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ = U j j j j L j j L j U j j c y c y g J j c y c y h c y y c y se se ou se 0 μ (5)

sendo que h_j

( )

⋅ e g_j

( )

⋅ são assumidas como funções continuas estritamente crescente e decrescente, respectivamente, h_j

( )

c_j =g_j

( )

c_j =1, j∈J.

2.2.1. Abordagem multi-objetivo com novas variáveis de decisão

As incertezas podem ser em diferentes formas em um problema de programação matemática, um caso particular está apresentado no Problema (3). Será mostra-do nesta seção um enfoque paramétrico para resolver problemas de programação multi-objetivo nebulosos com custos imprecisos.

Uma abordagem multi-objetivo é desenvolvida em Jiminéz(2006) para resolver problemas de programação não-linear com somente um objetivo, custos imprecisos e incerteza na relação de ordem nas restrições. Aqui será mostrado o uso desta abordagem somente com custos nebulosos que está descrito no Problema (3). A solução nebulosa é obtida pela transformação de um problema de programação não-linear nebuloso em um problema não-linear multi-objetivo paramétrico no qual os parâmetros α,β_i∈

[ ]

0,1 são tratados como novas variáveis de decisão. Junto com a variável de decisão α, são também consideradas m× novas variáveis de decisão p

p j

m i

ij, =1,K, e =1,K,

β , para transformar os intervalos I_ij =

[

h_ij−1

(

1−α

)

,g_ij−1

(

1−α

)

]

em funções da forma c_ij

(

α,β_ij

)

=h_ij−1

(

1−α

)

+β_ij

(

g_ij−1

(

1−α

)

−h_ij−1

(

1−α

)

)

.

Consequentemente, minimizar F

(

x,α,β11,K,β_mp

)

e maximizar e minimizar

p j m i ij, 1, , e 1, , ,β = _K = _K

α , simultaneamente. Portanto, o problema multi-objetivo que foi definido em (4) pode ser reformulado como segue:

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

[

]

[ ]

i m j p x x G a s x c f x c f x c f ij mp mp m m p p m m m , , 1 e , , 1 , 1 , 0 , , , 0 ) ( . 1 , , , 1 , , , 1 , , , 1 , , , ; , , , ; , , ; , min 1 1 1 1 11 11 2 2 2 1 1 1 K K K K K K = = ∈ Ω ∈ ≤ − − − − β α β β β β β β β β α β α β α β α (7)

sendo que o conjunto de soluções ótimas para o problema multi-objetivo é composto das soluções com os valores máximos para um grupo de funções F

(

x,α,β11,K,β_mp

)

para cada valor dos parâmetros α,β_ij,i=1,_K,me j=1,_K,p.

3. Abordagem possibilística

A teoria de possibilidade, a qual é análoga à teoria de probabilidade, foi proposta por Zadeh(1978) para agregar o conceito de uma distribuição de possibilidade para a teoria dos conjuntos nebulosos. Um dos conceitos é o uso nos índices de comparação para a ordenação de números nebulosos. O emprego da teoria de possibilidade no intuito de criar um critério de comparação para ordenar números ou intervalos nebulosos foi proposta em Dubois e Prade(1983). Sua importância originou-se do fato que muito das informações tem uma natureza possibilística, na qual a decisão humana depende de alguma coisa que não é exata. A representação e manipulação aritmética das quantidades numéricas incertas podem ser definidas pela média dos conjuntos nebulosos. Infelizmente, a comparação entre dois ou mais números, intervalos e/ou conjuntos nebulosos não é trivial. Diante desse impasse, várias abordagens para compará-los (veja mais exemplos em Dubois e Prade(1980), Kaufmann e Gupta(1984), Klir e Yuan(1995) e Pedrycs e Gomide(1998)) foram desenvolvidas, cada uma é baseada em diferentes pontos de vista.

3.1. Conceitos básicos nebulosos

Segundo as regras para conseguir ordenar números nebulosos em uma ordem crescente(decrescente), ela tem que optar por uma medida de comparação e, portanto, a medida de possibilidade pode ser usada.

Definição 1 (Medida de Possibilidade): Seja A um sub-conjunto de U e seja Π uma _X distribuição de possibilidade associada com uma variável X que toma valores em U. A medida de possibilidade, π

( )

A , de A é definida por

{

X éA

} ( )

A supmin

(

(u), (u)

)

Poss _{A X} U u π μ π ∈ = = (8)

sendo que μ_A é uma função de pertinência de A e π_X é a função de distribuição de possibilidade de X. Ele pode ser interpretado como a possibilidade de que o valor X pertença ao conjunto A e é definido para ser numericamente igual à função de pertinência de X.

A definição acima permite definir um conjunto nebulosamente ordenado ℑ(ℜ) que é uma extensão do conjunto classicamente ordenado, isto é, conjunto ordenado de números reais. Um conjunto é dito ser completamente ordenado se ele satisfaz as seguintes condições:

Definição 2 (Conjunto Nebulosamente Ordenado): Um sub-conjunto nebuloso A⊂ℑ(ℜ) é nebulosamente ordenado com respeito à medida de possibilidade se cada elemento em $A$ satisfaz as seguintes propriedades básicas:

[

]

[

]

[

]

[

]

{

}

[

]

[

]

[

]

{

}

[ ]

0,1. , e , ~ , ~ , ~ , min ~ ~ ~ ~ e ~ ~ . 3 , min ~ ~ ~ ~ e ~ ~ . 2 1 ~ ~ . 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 1 2 1 1 1 ∈ ∀ ∈ ∀ ≥ = ⇒ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ⇒ ≥ ≤ ≥ ≤ = ≤ α α α α α α α α α α A a a a a a Poss a a Poss a a Poss a a Poss a a Poss a a Poss a a Poss

De acordo com as expressões acima, um sub-conjunto nebuloso A⊂ℑ(ℜ) é completamente ordenado. Contudo, um sub-conjunto ℑ(ℜ) é somente parcialmente ordenado. Logo, o conceito de solução ótima para os problemas com um único objetivo não se adapta na formulação dos problemas com vários objetivos. Um sistema multi-objetivo é mais freqüentemente empregado em problemas com objetivos conflitantes e não-comensuráveis, quando é difícil admitir uma única solução ótima. Como a existência de uma solução ideal é muito rara, ela não será considerada na presente análise.

Conceitualmente, uma solução eficiente é uma solução que não é dominada por qualquer outra solução factível. Assim, o conceito de dominância de um problema multi-objetivo nebuloso deveria refletir as preferências do decisor. Nesse trabalho, um novo conceito de dominância

nebulosa é proposto, o qual pode ser ajustado pelo grau de satisfação que melhor descreve as preferências do decisor. Isso torna essa nova proposta mais flexível e personalizar, e possivelmente aplicável para uma grande gama de problemas reais. Para qualquer ponto

n

x0∈ℜ

, vamos considerar os seguintes sub-conjuntos:

( )

{

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

}

( )

{

[

( )

( )

]

}

( )

α

{

{

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

}

α

}

α α α α ≤ ≥ ≤ ℜ ∈ = Ω ≥ ≥ ℜ ∈ = Ω < = ≥ ≤ ℜ ∈ = Ω ≥ < 0 0 0 ~ 0 0 0 0 0 ; ~ ; ~ , ; ~ ; ~ max | ; ; ~ ; ~ | ; 1 ; ~ ; ~ e ; ~ ; ~ | ; x c F x c F Poss x c F x c F Poss x x x c F x c F Poss x x x c F x c F Poss x c F x c F Poss x x n n n

O sub-conjunto Ω_<

( )

x0;α é composto dos pontos em ℜ que dominam n x , enquanto 0

( )

x0;α

≥

Ω englobam os pontos em ℜ que são dominados por n x . O conjunto dos pontos que 0 nem dominam nem são dominados por x é denominado 0 Ω~

( )

x0;α . O parâmetro α é um vetor e cada termo deste vetor pertence ao intervalo [0,1]. Estes conjuntos são definidos e eles podem denotar o conjunto de soluções Pareto-ótimas nebulosas.

Definição 3 (Solução Pareto-ótima nebulosa): x*∈Ω é dito ser uma solução Pareto-ótima nebulosa se não existe um outro ponto x∈Ω tal que Poss

[

f_i

(

~c_i;x

)

≤ f_i

(

c~_i;x*

)

]

≥α_i,∀i e

(

)

(

)

[

f ~c ;x = f ~c ;x*

]

<1

Poss _{i i i i} para ao menos um j, sendo que α_i∈

[ ]

0,1,∀i.

Diante da dificuldade de encontrar uma solução ótima global num grande grupo de problemas, é freqüentemente aceitável usar uma solução ótima local. Uma solução eficiente local para o problema proposto é definida abaixo:

Definição 4 (Solução Pareto-ótima local nebulosa): x*∈Ω é dita ser uma solução Pareto-ótima local nebulosa se exixte um número real δ ≥0 tal que não exista nenhum outro

( )

x*,δ

N

x∈Ω_I tal que Poss

[

f_i

(

c~_i;x

)

≤ f_i

(

~c_i;x*

)

]

≥α_i,∀i e Poss

[

f_i

(

c~_i;x

)

= f_i

(

c~_i;x*

)

]

<1 em ao menos um j, sendo que α_i∈

[ ]

0,1,∀i.

Note que a definição acima implica que uma solução candidata para o problema nebuloso proposto é (localmente) não-dominada ou eficiente, se não se pode achar (em uma certa vizinhança) uma outra solução que simultaneamente melhora todas as funções objetivo.

3.2. Caracterização das soluções eficientes nebulosas

A caracterização das soluções eficientes, efi

( )

Ω , por meio de problemas escalares bem definidos é um enfoque recorrente em problemas multi-objetivo nebulosos. O seguinte teorema estabelece as condições necessárias de uma soluções eficientes para problemas escalares.

Teorema 1: x*∈Ω se e semente se x resolve os m problemas escalares *

(

)

(

)

( )

k l m l x c f x c f a s x c f P l l l l k k x k ≠ ∀ = ≤ Ω ∈ e , , 2 , 1 ; ~ ~ ; ~ . ; ~ min : * K (9)

Demonstracao: (⇒ ) Se x*∈efi

( )

Ω , então não existe um outro x∈Ω tal que

(

)

(

)

[

f c x f c x

]

i

Poss _i ~_i; ≤ _i ~_i; * ≥α_i,∀ , e Poss

[

f_i

(

c~_i;x

)

= f_i

(

~c_i;x*

)

]

<1, para algum j. Nesse caso

*

x resolve (9) para todo k.

(⇐ ) Suponha que x resolve (9), mas * x*∉efi

( )

Ω , então existe um outro x∈Ω tal que

(

)

(

)

[

f c x f c x

]

i

Poss _i ~_i; ≤ _i ~_i; * ≥α_i,∀ , e, para algum j, Poss

[

f_i

(

c~_i;x

)

= f_i

(

c~_i;x*

)

]

<1. Portanto, x * não resolve o Problema (9). Essa contradição conclui essa prova.

Empregar uma análise similar para o teorema apresentado acima, uma relação é estabelecida entre soluções não-dominadas de um problema multi-objetivo nebuloso e soluções para o problema ponderado. Uma caracterização alternativa baseado na combinação linear dos objetivos podem ser expressados como

Teorema 2: Seja x*∈Ω que resolve o problema

( )

_∑

(

)

= Ω ∈ = m i i i i x w w F c x w f c x P 1 ; ~ , ~ , min : (10) para algum w∈ℜm,w≥0 e

∑

= = m i i w 1 1 . Então x*∈efi

( )

Ω se i. x é a solução única de (10), ou * ii. w>0, i=1,2,_K,m.

Demonstração: (i.) Se x*∈Ω é uma solução única para (10), então ∀x∈Ω e por definição,

( )

( )

(

i i i i

)

i

{ }

i m i i x c f x c f w Poss ~; * ~; 0~ min α 1 ≥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ < −

∑

=

é obtido. Suponha que x*∉efi

( )

Ω , isto é, existe ao menos um x0∈Ω tal que Poss

[

f_i

( ) ( )

c~_i;x0 ≤ f_i c~_i;x*

]

≥α_i,∀i e Poss

[

f_i

( ) ( )

~c_i;x0 = f_i c~_i;x*

]

<1, para algum j. isso contradiz a hipótese de unicidade, porque w≥0. Logo, x*∈efi

( )

Ω .

(ii.) Suponha que x*∉efi

( )

Ω , mas x é a solução de (10). Então existe um * x0∈Ω tal que

( ) ( )

[

f c x f c x

]

i

Poss _i ~_i; 0 ≤ _i ~_i; * ≥α_i,∀ e Poss

[

f_i

( ) ( )

~c_i;x0 = f_i c~_i;x*

]

<1, para qualquer j. Assim,

( ) ( )

(

~; * ~; 0

)

~0 min

{ }

, . 1 i x c f x c f w Poss m _{i i i i i i} i i ∀ ≥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ < −

∑

= α Uma contradição e, portanto, x*∈efi

( )

Ω .

3.3. Condições de KKT para soluções eficientes

Considere o Problema (3) com os custos das funções objetivo sendo números nebulosos e os coeficientes das funções de restrição sendo números clássicos e suponha que as funções objetivo são diferenciáveis. Nesse caso, as condições de otimalidade podem ser garantidas para um conjunto eficiente para qualquer x∈Ω. A ausência de uma condição suficiente para a eficiência é uma grande diferença entre as condições de otimalidade para problemas com um único objetivo e múltiplos objetivos.

Definição 5: Um ponto factível x*∈Ω desse problema satisfaz as condições necessárias de Karush-Huhn-Tucker (KKT) para um problema eficiente nebuloso se

(i) f_i, g_j e h_l são diferenciáveis para todo i=1,2,_K,m, j=1,_K,q, l=1,_K,r e

{

∈ℜ ≤ =

}

≠ =

Ω x n|G(x) 0 e H(x) 0

ø

;

(ii) Existem mútiplos vetores λ*∈ℜq, com λ* ≥0, ν*∈ℜr e ω*∈ℜm, com ω* ≥0 tal que ); , , 1 ( 0 ) ( 0 ) (x* *g x* j q g_j ≤ λ_{j j} = = _K

∑

∑

∑

= = = ≅ ∇ + ∇ + ∇ q j r l l l j j m i i i x h x g x c f 1 1 * * * * 1 * * 0 ~ ) ( ) ( ) ; ~ ( λ ν ω

As condições de KKT para um conjunto eficiente nos problemas de otimização multi-objetivo nebulosos são condições necessárias. Isso tornará claro no seguinte teorema:

Teorema 3: Assuma que f , i i=1,2,K,m, g , j j=1,K,q, e h , l l=1,K,r são diferenciáveis e seja x um ponto regular de * P , que foi definido na anteriormente, para ao menos um k. Então k

( )

Ω ∈efi

x*

implica que x satisfaz as condições de KKT para um conjunto eficiente. *

Demonstração: Seja x*∈efi

( )

Ω , então pelo Teorema 1 é obtido que x resolve (9), para todo *

m

i=1,2,_K, . Pela hipótese, existe ao menos um k tal que x é um ponto regular de * P . Logo, k pela definição, pode ser obtido

(

(~; )

)

0, ( ); , 0 ) ; ~ (c x* * * f c x* * i k f_{k k} −ε_k ≤ ω_{i i i} −ε_i = ∀ ≠ ); , , 1 ( , 0 ) ( , 0 ) (x* *g x* j q g_j ≤ λ_{j j} = = _K

∑

∑

∑

= = ≠ = ≅ ∇ + ∇ + ∇ + ∇ q j r l k l l j k j m k i i k i i i k k c x f c x g x h x f 1 1 * * * * * * , 1 * * * * 0 ~ ) ( ) ( ) ; ~ ( ) ; ~ ( ω ν ω λ ω ω

onde um elemento ε é um limitante para cada função objetivo.

Portanto, x satisfaz as condições de KKT para um conjunto eficiente. * 4. Resultados computacionais

Serão apresentados dois problemas teóricos para exemplificar como as abordagens desenvolvidas neste trabalho encontram a fronteira de Pareto que é o mapeamento no espaço das funções do conjunto eficiente que está no espaço das variáveis. Esses problemas não têm critérios muito complexos para que seja encontrado um conjunto eficiente, mas são suficientes para validar as duas novas abordagens que foram descritas nos capítulos anteriores. Os problemas são baseados em alguns problemas clássicos restritos, descritos em Deb (2001), e com duas funções objetivo porque a intenção é mostrar as soluções encontradas por ambas as abordagens. Entretanto, as incertezas foram inseridas pelo autor, onde a configuração de cada número nebuloso foi definida de acordo com cada caso.

As abordagens desenvolvidas neste trabalho foram implementadas utilizando o programa MatLab® 7.6. Um algoritmo genético multi-objetivo baseado NSGA-II com elitismo foi implementado de duas maneiras, onde a primeira é idêntico ao que já foi publicado, enquanto o segundo foi alterado o critério de comparação porque nesse caso usamos um índice de comparação baseado em teoria de possibilidade para comparar dois números nebulosos. A máquina, que foi usada para simular todos os problemas de otimização multi-objetivo em ambiente nebuloso, foi um Pentium Centrino Core 2 Duo, 2.26GHz cada processador, com 4GB de memória RAM, usando o sistema operacional Ubuntu 8.10.

O primeiro problema multi-objetivo nebuloso adaptado que será usado é formulado da seguinte maneira:

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

20 20 , 20 20 0 10 3 ) ( 225 ) ( . ~ ~ ; ~ min ~ ~ ~ ; ~ min 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 22 2 1 21 2 2 2 13 2 2 12 1 11 1 1 ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ + − = ≤ + = − − = − + − + = x x x x x g x x x g a s c x x c x c f c x c x c x c f (11)

onde c~11=~c12=

(

2,1,1

)

_LR, c~13=c~22 =

( )

1,1,1LR e c~21=

( )

9,1,1LR. O número está definido como

(mod,left,right), onde mod é o valor central do número nebuloso, e caso ele tenha altura igual a 1,

esse valor mod representa o valor modal desse número nebuloso, left representa o espalhamento a esquerda a partir do valor modal e right representa o espalhamento a direita a partir do valor modal.

Pode-se observar na Figura 1 que as duas soluções estão distribuídas de forma parecida e até mesmo a diversidade das soluções está bem clara. Entretanto, as diferenças entre as soluções

eficientes encontradas nas duas abordagens desenvolvidas neste trabalho são visíveis. Outro ponto interessante ocorre quando a soluções nebulosas têm um nível de imprecisão menor, isto é, o tamanho do retângulo é menor as duas abordagens obtêm soluções muito similares.

0 50 100 150 200 250 −250 −200 −150 −100 −50 0 50

Fronteira de Pareto para alpha igual a 0.8

Espaco da funcao objetivo 1

Espaco da funcao objetivo 2

Figura 1: Fronteira de Pareto

É possível observar que a fronteira de Pareto formada pelos números nebulosos encontrados usando a abordagem possibilística, a qual é representada por uma faixa de elementos, engloba a fronteira formada pelos pontos encontrados pela abordagem paramétrica, que é a segunda opção de parametrizar o problema multi-objetivo nebuloso restrito.

O próximo problema tem duas variáveis de decisão o que aumenta um pouco mais a complexidade do problema. Contudo, o problema ainda continua sendo convexo e, portanto, pode-se garantir encontrar todas as soluções eficientes para um número infinito de elementos na população do NSGA-II. Esse segundo problema pode ser formulado como

(

)

(

)

5 0 , 1 1 . 0 1 9 6 9 ) ( . ~ ; ~ min ~ ; ~ min 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ − − ≥ + = − = = x x x x x x x g a s x x c x c f x c x c f (12) onde ~c1 =c~2 =

( )

1,1,1_LR. 0 50 100 150 0 10 20 30 40 50 60

Fronteira de Pareto para alpha igual a 0.8

Espaco da funcao objetivo 1

Outro fator que ajuda ao aumento da complexidade é a inserção de quatro parâmetros incertos. Todos os problemas aqui apresentados foram simulados com 50 elementos na população no decorrer de 50 iterações, tanto no enfoque possibilístico quanto no enfoque paramétrico.

Na Figura 2, é um caso básico em que as soluções eficientes paramétricas geram uma fronteira de Pareto que é um dos limitantes da faixa de Pareto formada pelas soluções eficientes possibilísticas. Até este exemplo, a diferença métrica de cada função objetivo não foi um obstáculo para os enfoques aqui comparados. Um ponto interessante está no fato de que quatro elementos da faixa de Pareto estão um pouco distante do conjunto em geral, porém não estão muito isolados porque dois elementos da fronteira de Pareto também estão presentes neste pequeno conjunto e pertencem as soluções eficientes possibilísticas.

5. Conclusões

Problemas de programação multi-objetivo são muito importantes tanto do ponto de vista teórico como prático. Entretanto, os problemas de programação matemática que encontramos no mundo real não podem, muitas vezes, ser formalizados de maneira clara e precisa porque os dados são ambíguos, vagos e imprecisos. Como elemento deste conjunto, os problemas de programação multi-objetivo também apresentam esses tipos de incertezas. Essa ambigüidade é natural e está presente em situações da vida real que requerem soluções precisas. Existem algumas técnicas para representar esses dados imprecisos, como processos estocásticos, caos, aproximação a valores conhecidos e lógica nebulosa, sendo que essa última foi a escolhida para ser usada neste trabalho por se adaptar perfeitamente aos problemas de programação multi-objetivo com incertezas.

A abordagem paramétrica é uma extensão de métodos paramétricos desenvolvidos para solucionar problemas de programação linear. Ela foi criada para tratar a incerteza que está presente na relação de ordem do conjunto de restrições e transforma o problema de otimização nebuloso original em um problema de otimização multi-objetivo clássico. Essa idéia pode ser empregada também para discretizar os coeficientes nebulosos que estão nas funções que geram o conjunto factível. Por fim, essa abordagem também pode englobar os custos nebulosos presentes na(s) função(ões) objetivo. Na Seção 2 é descrita uma nova metodologia para parametrizar um problema de programação multi-objetivo nebuloso restrito e transformá-lo em um problema de programação multi-objetivo clássico restrito, mas o número de funções objetivo do problema clássico é maior que do nebuloso. Por um lado, isso aumenta a complexidade na obtenção de uma solução para problema transformado, porém, por outro lado, esse problema encontra um conjunto de soluções satisfatórias para cada discretização desses números nebulosos e aplicando o Teorema da Representação podemos gerar uma solução nebulosa do problema original.

A abordagem possibilística é um enfoque novo para determinar condições necessárias e suficientes para garantir uma otimalidade de Pareto satisfatória, que é fornecida ao decisor uma solução nebulosa. Essa abordagem usa a teoria de possibilidade como um critério de comparação entre dois números nebulosos e a partir disto é definido um conjunto nebulosamente ordenado que engloba todos os números nebulosos que podem ser ordenados segundo um determinado nível de satisfação que pode ser escolhido pelo decisor. Essa definição abre o precedente para separarmos um conjunto nebulosamente ordenado em elementos que são dominados, que dominam e que não podemos determinar. Assim, podemos estender a definição de solução eficiente de problemas de programação multi-objetivo clássicos para obter as soluções eficientes nebulosas mediante o nível de satisfação escolhido pelo decisor. Juntamente com essa definição estendida foi estabelecido um conjunto de definições e teoremas que garantem as condições necessárias e suficientes para encontrar uma solução ótima nebulosa para um problema de programação multi-objetivo nebuloso restrito. Essas condições de otimalidade estão descritas na Seção 3 e também são usados alguns exemplos numéricos para mostrar como encontrar a solução ótima nebulosa.

Os dois problemas testes que os enfoques desenvolvidos neste trabalho mostraram a eficiência dos mesmos, pois os parâmetros incertos podem estar presentes nas funções objetivo, na meta a ser otimizada, na relação de ordem e/ou nas funções que determinam o conjunto

factível das variáveis de decisão. Em cada problema foi realizada uma análise de comparação entre as duas abordagens e foi mostrado onde uma ou outra obtiveram soluções mais satisfatórias. Aqui, não estamos realizando uma disputa de qual das metologias tem maior vantagem em ser usada, mas sim mostrar duas novas abordagens que podem ser usadas para resolver problemas de programação multi-objetivo restrito em ambiante nebuloso.

Agradecimento

O autor agradece ao suporte financeiro fornecido pela CAPES.

Lista de Referências.

Appadoo, S., Bhatt, S. e Bector, C. (2008), Application of possibility theory to investiment decision, Fuzzy Optimization and Decision Making, 7, 35-57.

Beale, E. (1959), On quadratic programming, Naval Research Logistics Quarterly, 6, 227-244. Chankong, V. e Haimes, Y.Y., Multiobjective decision making: theory and methodology, vol. 8 of North Holland series in systems science and engineering, North Holland, New York, USA, 1983.

Deb, K., Multi-objective optimization using evolutionary algorithms, John Wiley & Sons, Chichester, UK, 2001.

Dubois, D. e Prade, H., Fuzzy sets and systems: theory and application, Academic Press, San Diego, USA, 1980.

Dubois, D. e Prade, H. (1983), Ranking fuzzy numbers in the setting of possibility theory,

Information Sciences, 30(3), 183-224.

Floudas, C.A. et ali, Handbook of test problems in local and global optimization, vol. 33 of

Nonconvex optimization and its applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999.

Hoch, W. e Schittkowski, K., Test examples for nonlinear programming, vol. 187 of Lecture

notes and mathematical systems, Springer-Verlag, 1981.

Jiménez, F., Cadenas, J., Sánches, G., Gómez-Skarmeta, A. e Verdegay, J.L. (2006), Multi-objective evoluyionary computation and fuzzy optimization, International Journal of

Approximate Reasoning, 43(1), 59-75.

Kaufmann, A. e Gupta, M.M., Introduction of fuzzy arithmetic: theory and applications, Van Nostrand Reinhold, New York, USA, 1984.

Klir, G.J. e Yuan, B., Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications, Prentice Hall, New Jersey, USA, 1995.

Lai, Y.J. e Hwang, C.L., Fuzzy mathematical programming: methods and applications, vol. 392 of Lecture notes and mathematical systems, Springer, Berlin, 1992.

Negoita, C.V. e Ralescu, D.A., Applications of fuzzy sets to systems analysis, Birkhauser Verlag, Stuttgard, 1975.

Pareto, V., Cours d’economique politique, vol I, Macmillan, Paris, 1897. Pareto, V., Le cours d’economique politique, vol II, Macmillan, London, 1897.

Pedrycs, W. e Gomide, F., An introduction of fuzzy sets: analysis and design, MIT Press, Cambridge, USA, 1998.

Schaffer, J.D., Multiple objective optimization with vector evaluated genetic algorithms, Tese de doutorado, Vanderbilt University, 1984.

Schittkowski, K., More test examples for nonlinear programming codes, vol. 282 of Lecture

notes and mathematical systems, Springer-Verlag, 1987.

Wang, S. e Zhu, S.(2002), On fuzzy portfolio selection problems, Fuzzy Optimization and

Decision Making, 1, 361-377.

Wolfe, P.(1959), The simplex method for quadratic programming, Econometrica, 27, 382-398. Zadeh, L.A.(1965), Fuzzy sets, Information and Control, 8, 338-353.

Zadeh, L.A.(1978), Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility, Fuzzy sets and systems, 1(1), 3-28.