ESTV DEE Teoria dos Circuitos e do Sinal

(1)

Teoria dos Circuitos

e do Sinal

(2)

ESTV – DEE – Teoria dos Circuitos e do Sinal

Teoria dos Circuitos e do Sinal

n

Docente

n

n LuísLuís FilipeFilipe CarvalhoCarvalho SimõesSimões

n n

Gabinete

n n 1515 n n

E

E--mail

mail

n

n lfcsimoes@[email protected]

n

Página

Página pessoal

pessoal

n

(3)

Teoria dos Circuitos e do Sinal

Teoria dos Circuitos e do Sinal -- Aulas

Aulas

n

Aulas

Aulas teóricas

teóricas

n

n 22 horashoras semanaissemanais ((11++11))

n

Aulas

Aulas Teórico

Teórico--Práticas

Práticas

n

(4)

Teoria dos Circuitos e do Sinal

Teoria dos Circuitos e do Sinal -- Horário

Horário

2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

9 _{Teor Circ Sinal}

T 8

9:30 10:00

Teor Circ Sinal TP2 LMic 10:30 11:00 Teor Circ Sinal TP1 LEP 11:30 12:00 12:30 13:00 _A _L _M _O _Ç _O 14:00 14:30

15:00 _{Teor Circ Sinal}

T 11

15:30

16:00 _{Teor Circ Sinal}

TP1 & TP2 11

(5)

Teoria dos Circuitos e do Sinal

Teoria dos Circuitos e do Sinal -- Avaliação

Avaliação

n

Época

Época normal

normal

n

n UmaUma provaprova escritaescrita dede frequênciafrequência..

n

n UmaUma provaprova escritaescrita dede exameexame..

n

n ParaPara terter aprovaçãoaprovação nana disciplina,disciplina, oo alunoaluno teráterá dede obterobter umauma

classificação

classificação finalfinal igualigual ouou superiorsuperior aa 99,,55..

n

Época

Época de

de Recurso

Recurso

n

n UmaUma provaprova escritaescrita dede exameexame..

n

n PoderãoPoderão participarparticipar nana épocaépoca dede recursorecurso osos alunosalunos queque nãonão

obtiverem

obtiverem aprovaçãoaprovação nana épocaépoca normalnormal ouou osos que,que, tendotendo obtidoobtido

aprovação

aprovação nana épocaépoca normal,normal, pretendampretendam obterobter melhoriamelhoria dede

classificação classificação..

(6)

Calendário Escolar

Calendário Escolar –

– Ano lectivo 2006/07

Ano lectivo 2006/07

1º Semestre

Início Fim Semestre 18/Set/2006 15/Dez/2006 Férias(Natal) 18/Dez/2006 03/Jan/2007 Época Normal (Frequências e exames) 04/Jan/2007 31/Jan/2007 Época de Recurso 07/Fev/2007 17/Fev/2007

(7)

Definição de Circuito

n

Circuito

será

interpretado

nesta

cadeira

como

Sistema

Sistema.. Assim

Assim Circuito

Circuito será

será toda

toda a

a entidade

entidade que

que

processa

processa sinais

sinais de

de entrada

entrada e

e gera

gera sinais

sinais de

de saída

saída ou

ou

algum

algum comportamento

comportamento desejado

desejado..

(8)

Exemplos de sistemas

(9)

Exemplos de Sistemas

(10)

Exemplos de Sistemas

• Colónia de bactérias

(11)

Exemplos de Sistemas

(12)

Definição de Sinal

n

Um

Um Sinal

Sinal é

é um

um conjunto

conjunto de

de informação

informação ou

ou dados

dados..

n

Os

sinais

contêm

informação

sobre

o

comportamento

comportamento de

de algum

algum fenómeno

fenómeno

n

Os

sinais

são

representados

matematicamente

como

função

de

uma

ou

mais

variáveis

independentes

(13)

Exemplos de sinais

n

Gravação

Gravação de

de fala

fala (palavra

(palavra “We”)

“We”)..

(14)

Exemplos de sinais

(15)

Exemplos de sinais

(16)

Aplicações da

Teoria do Circuito e do Sinal

n

Caracterizar

com

precisão

certos

sistemas

para

perceber

perceber como

como reagirá

reagirá o

o sistema

sistema a

a diferentes

diferentes sinais

sinais

de

de entrada

entrada..

n

Noutros

Noutros problemas

problemas de

de análise

análise de

de Teoria

Teoria do

do Circuito

Circuito e

e

do

do Sinal,

Sinal, em

em vez

vez da

da análise

análise de

de um

um sistema

sistema importa

importa

antes

antes o

o processamento

processamento de

de um

um sinal

sinal..

n

Em

Em algumas

algumas aplicações

aplicações é

é ainda

ainda necessário

necessário desenhar

desenhar

sistemas

(17)

Sinais contínuos e discretos

no tempo

n

n UmaUma formaforma dede classificarclassificar sinaissinais éé fazêfazê--lolo dede acordoacordo comcom aa

natureza

natureza dada variávelvariável independenteindependente..

n

n UmUm sinalsinal queque éé especificadoespecificado parapara qualquerqualquer valorvalor dede tt

(variável

(variável independenteindependente tempo)tempo) éé chamadochamado dede sinalsinal

contínuo contínuo..

n

n UmUm sinalsinal queque éé especificadoespecificado parapara valoresvalores discretosdiscretos dede tt éé

chamado

chamado dede sinalsinal discretodiscreto..

n

n OO símbolosímbolo tt denotarádenotará aa variávelvariável independenteindependente tempotempo parapara sinaissinais

contínuos

contínuos:: x(t)x(t).. ParaPara sinaissinais discretosdiscretos oo símbolosímbolo kk desempenharádesempenhará função

(18)

Exemplos de sinais contínuos

no tempo

n

Sinais

Sinais contínuos

contínuos

(19)

Exemplos de sinais discretos

no tempo

§ Exemplo de sinal discreto: índice

Dow Jones semanal no ano de 1929.

n

Sinais

Sinais discretos

discretos

(20)

Contínuos ou discretos

no tempo?

n

(21)

Sinais periódicos e aperiódicos

n

Um

Um sinal

sinal contínuo

contínuo x(t)

x(t) será

será periódico

periódico se

se existir

existir um

um valor

valor T

T que

que

satisfaça

x(t)=

x(t)= x(t+nx(t+n..T)T)

n

qualquer

qualquer que

que seja

seja o

o t,

t, sendo

sendo n

n um

um inteiro

inteiro..

n

Nesse

Nesse caso

caso x(t)

x(t) será

será um

um sinal

sinal periódico

periódico de

de período

período T

T..

n

O

O período

período fundamental

fundamental T

T

₀₀

é

é o

o menor

menor valor

valor positivo

positivo de

de T

T que

que

verifica

verifica a

a equação

equação anterior

anterior..

n

Um

Um sinal

sinal que

que não

não verifique

verifique a

a equação

equação anterior

anterior é

é dito

dito

aperiódico

(22)

Sinais periódicos em tempo discreto

n

Um

Um sinal

sinal discreto

discreto x[k]

x[k] será

será periódico

periódico com

com período

período N

N,, onde

onde N

N é

é

um

um inteiro

inteiro positivo,

positivo, se

se se

se mantiver

mantiver inalterado

inalterado após

após um

um

deslocamento

deslocamento no

no tempo

tempo de

de N,

N, ou

ou seja

seja::

x[k]=

x[k]= x[k+nx[k+n..N]N]

qualquer

qualquer que

que seja

seja o

o k,

k, sendo

sendo n

n um

um inteiro

inteiro..

n

O

O período

período fundamental

fundamental N

N

₀₀

é

é o

o menor

menor valor

valor positivo

positivo que

que

verifica

(23)

Exemplos de sinais periódicos

n

Sinal periódico contínuo no tempo

(24)

Exemplos de sinais aperiódicos

n

Sinal aperiódico contínuo no tempo

(25)

Sinais elementares:

Degrau unitário

n

Degrau

Degrau unitário

unitário

Este

Este sinalsinal éé definidodefinido porpor::

1

1,, t>t>00 11,, k>=k>=00 u(t)=

u(t)= u[k]=u[k]=

0 0,, t<t<00 00,, k<k<00 t u(t) k u[K] 1 1

(26)

Sinais elementares:

Impulso unitário

n

Este

Este sinal

sinal é

é representado

representado por

por

δδ

(t),

(t), sendo

sendo

geralmente

geralmente chamado

chamado de

de função

função delta

delta de

de

Dirac,

Dirac, ou

ou simplesmente

simplesmente função

função delta

delta..

t Características: Características: δδ(0) (0) àà ∞∞ δδ(t) = 0, t (t) = 0, t ≠≠00 +• +•

••

δδ(t) dt = 1(t) dt = 1 --•• δδ(t)(t) δδ(t)(t)

(27)

Sinais elementares:

Impulso unitário

n

Para

Para sinais

sinais discretos

discretos o

o impulso

impulso

δδ

[k]

[k] tem

tem uma

uma

representação

de

interpretação

mais

simples

simples::

k δδ[k][k] 1 1

(28)

Transformações na variável independente

Sinal _Sistema Sinal Transformado

A maioria destas transformações ocorre na variável independente A maioria destas transformações ocorre na variável independente

Dado que a variável independente na presente descrição de sinais é o tempo, Dado que a variável independente na presente descrição de sinais é o tempo, estas operações são descritas como:

estas operações são descritas como:

n

n translação temporaltranslação temporal

n

n inversão temporalinversão temporal

n

(29)

Transformações na variável independente

n

n escalonamento temporalescalonamento temporal

t

t x(t)

(30)

Transformações na variável independente

n

Para t₀>0 ocorre um atraso no sinal (sinal deslocado para a direita num sistema de eixos), para t₀<0 o sinal aparece adiantado (sinal deslocado para a esquerda).

Considerando-se um sinal x(t), uma representação deste sinal deslocado no tempo será um novo sinal

x₁(t) que se relaciona com o anterior por: x₁(t)=x(t-t₀).

A translação no tempo é de t₀ segundos.

x(t) x1(t)=x(t-t0)

(31)

Transformações na variável independente

n

Para t₀>0 ocorre um atraso no sinal (sinal deslocado para a direita num sistema de eixos).

x(t)

Para t₀<0 o sinal aparece adiantado (sinal deslocado para a esquerda).

x₁(t)=x(t-t₀) x₂(t)=x(t-t₀) t₀ t t t

(32)

Transformações na variável independente

n

Note-se que a análise feita para tempo contínuo é também válida para tempo discreto. x₁[k]=x[k-k₀]

(33)

Transformações na variável independente

n

t

t x(t)

(34)

Transformações na variável independente

n

Da inversão temporal de x(t) obtém-se um novo sinal x₁(t) que se relaciona com o anterior através de:

x₁(t)=x(-t).

O sinal x(-t) é obtido a partir do sinal x(t) fazendo uma reflexão em t=0.

Note-se que o que quer que aconteça ao sinal original no instante t, acontece ao sinal invertido no instante –t. Assim, para inverter um sinal definido por uma expressão analítica, substitui-se

(35)

Transformações na variável independente

n

Inversão temporal de um sinal contínuo

Inversão temporal de um sinal discreto

Note-se que a análise feita para tempo contínuo é também válida para tempo discreto. x₁[k]=x[-k]

(36)

Transformações na variável independente

n

t

t x(t)

(37)

Transformações na variável independente

n

A compressão ou expansão de um sinal é conhecida como escalonamento temporal.

A variável independente é multiplicada por um factor K que produz o efeito de escalonamento.

• Para |K|>1, x(Kt) representará uma versão compactada de x(t) (o sinal existe num intervalo de tempo mais reduzido).

• Para |K|<1, x(Kt) representará uma versão expandida de x(t) (o sinal existe num maior intervalo de tempo).

(38)

Transformações na variável independente

n

Para |K|>1, x(Kt) representará uma versão compactada de x(t) (o sinal existe num intervalo de tempo mais reduzido).

Para |K|<1, x(Kt) representará uma versão expandida de x(t) (o sinal existe num maior intervalo de tempo). t x(t) t x₁(t)=x(Kt) t x₂(t)=x(Kt) t x(t)

(39)

Transformações na variável independente

n

(40)

Sistemas

n

Um

Um sistema

sistema pode

pode ser

ser caracterizado

caracterizado quanto

quanto ao

ao tipo

tipo de

de sinais

sinais

de

de entrada

entrada e

e de

de saída

saída::

n

n SistemaSistema ContínuoContínuo

n

n SistemaSistema DiscretoDiscreto

n

n SistemaSistema AnalógicoAnalógico

n

(41)

Sistemas

n

n SistemaSistema DigitalDigital

Um sistema de tempo-contínuo é um sistema em que sinais de entrada temporalmente contínuos são transformados em sinais de saída contínuos.

Sinal de entrada de tempo contínuo

Sinal de saída de tempo contínuo

(42)

Sistemas

n

um sistema de tempo-discreto transforma sinais discretos de entrada em sinais de saída também temporalmente discretos. Sinal de entrada de tempo discreto Sinal de saída de tempo discreto x[k] y[k]

(43)

Sistemas

n

Um sistema cujos sinais de entrada e saída são analógicos é um sistema analógico. Um sistema cujos sinais de entrada e de saída são digitais é um sistema digital.

As expressões “tempo-contínuo” e “tempo-discreto” qualificam a natureza dos sinais ao longo do eixo temporal (eixo horizontal na representação comum de sinais).

Os termos “analógico” e “digital” qualificam a natureza dos sinais quanto à amplitude (eixo vertical).

(44)

Sistemas

n

Um

Um sistema

sistema diz

diz--se

se homogéneo

homogéneo se

se para

para qualquer

qualquer

entrada

entrada x(t)

x(t) (que

(que produz

produz uma

uma saída

saída y(t)

y(t) no

no sistema)

sistema)

e

e qualquer

qualquer número

número real

real a

a,, a

a resposta

resposta do

do sistema

sistema à

à

entrada

entrada a

ax(t)

x(t) seja

seja a

ay(t)

y(t)..

f(x)=sin(2x) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x f(x) f(x)=sin(2x)*sin(8x) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x f(x) f(x)=3sin(2x) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x f(x) f(x)=3sin(2x)*sin(8x) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x f(x) Sistema Sistema x(t) _y(t) a.x(t) a.y(t)

(45)

Sistemas

n

n UmUm sistemasistema dizdiz--sese aditivoaditivo sese parapara quaisquerquaisquer doisdois sinaissinais dede

entrada

entrada xx₁₁(t)(t) ee xx₂₂(t),(t), aa respostaresposta àà somasoma dasdas entradasentradas

x

x₁₁(t)+x(t)+x₂₂(t)(t) éé igualigual àà somasoma dasdas respostasrespostas aa cadacada sinalsinal..

f(x)=1 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x f(x) f(x)=x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x f(x) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x Sistema Sistema Sistema x₁(t) y₁(t) x₂(t) y₂(t) x₁(t)+ x₂(t) y₁(t)+ y₂(t)

(46)

Sistema Linear

n

n UmUm sistemasistema éé linearlinear sese forfor simultaneamentesimultaneamente aditivoaditivo ee

homogéneo

homogéneo,, ouou seja,seja, parapara quaisquerquaisquer sinaissinais dede entradaentrada x

x₁₁(t),(t), xx₂₂(t)(t) ee quaisquerquaisquer valoresvalores escalaresescalares aa₁₁,, aa₂₂,, aa respostaresposta

à

à entradaentrada aa₁₁xx₁₁(t)+a(t)+a₂₂xx₂₂(t)(t) sejaseja aa₁₁yy₁₁(t)+a(t)+a₂₂yy₂₂(t)(t) (sendo(sendo yy₁₁(t)(t) ee

y

y₂₂(t)(t) asas respostasrespostas dodo sistemasistema aosaos sinaissinais xx₁₁(t)(t) ee xx₂₂(t)(t)

isoladamente) isoladamente).. f(x)=(1/2)x+(4)sin(2x)*sin(8x) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x f(x) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x Sistema Sistema x₁(t) y₁(t) x₂(t) y₂(t) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 x f(x)=(1/2)+4*sin(2x) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x f(x) Sistema 1/2x₁(t)+ 4x₂(t) 1/2y₁(t)+ 4y₂(t)

(47)

Sistema Invariante no Tempo

n

n UmUm sistemasistema éé ditodito invarianteinvariante nono tempotempo sese umauma translaçãotranslação temporaltemporal

no

no sinalsinal dede entradaentrada causacausa umauma translaçãotranslação idênticaidêntica nono sinalsinal dede saídasaída..

Se

Se y(t)y(t) éé aa saídasaída correspondentecorrespondente àà entradaentrada x(t),x(t), umum sistemasistema invarianteinvariante

no

no tempotempo apresentaráapresentará umauma saídasaída y(ty(t--T)T) quandoquando x(tx(t--T)T) forfor aa suasua

entrada entrada.. x(t) y(t) Sistema x(t-T) y(t-T) Sistema

Sinal de entrada deslocado

Sinal de saída deslocado

t t

(48)

Sistemas com e sem Memória

n

Se

Se a

a saída

saída de

de um

um sistema

sistema num

num instante

instante tt depende

depende apenas

apenas da

da

entrada

entrada nesse

nesse instante

instante o

o sistema

sistema é

é chamado

chamado sem

sem memória

memória..

n

Um

Um sistema

sistema cuja

cuja saída

saída em

em tt é

é completamente

completamente determinada

determinada

pelos

pelos sinais

sinais de

de entrada

entrada durante

durante os

os T

T segundos

segundos prévios,

prévios,

[intervalo

[intervalo de

de ((tt--T

T)) até

até tt]] é

é um

um sistema

sistema de

de memória

memória finita

finita com

com

memória

memória de

de T

T segundos

segundos..

n

Classifique

Classifique quanto

quanto à

à memória

memória o

o sistema

sistema descrito

descrito pela

pela

seguinte

seguinte relação

relação entre

entre o

o sinal

sinal de

de entrada

entrada (x(t))

(x(t)) e

e o

o sinal

sinal de

de

saída

saída (y(t))

(y(t))::

n

(49)

Sistemas causais e não causais

n

n UmUm sistemasistema dizdiz--sese causalcausal sese parapara umum instanteinstante tt₁₁,, aa saídasaída dodo

sistema

sistema y(ty(t₁₁)) resultanteresultante dada entradaentrada x(t)x(t) nãonão dependedepende dede valoresvalores dede

x(t) x(t) posterioresposteriores aa tt₁₁ (t>t(t>t₁₁)).. Sistema x(t) t y(t) t

(50)

Sistemas estáveis e instáveis

n

n UmUm sistemasistema éé estávelestável se,se, parapara qualquerqualquer sinalsinal dede entradaentrada dede

amplitude

amplitude limitada,limitada, aa respostaresposta dodo sistemasistema y(t),y(t), éé tambémtambém

de

de amplitudeamplitude limitadalimitada::

Sistema1 Sistema1 Sistema2 x(t) y(t) B₁ B2 x(t) B₁ y(t) B₂ Instável

(51)

Sistemas Inversos

n

n UmUm sistemasistema éé inversívelinversível se,se, aa partirpartir dada suasua saída,saída, sese consegueconsegue

determinar

determinar qualqual aa entradaentrada queque lhelhe deudeu origemorigem.. IstoIsto implicaimplica queque éé

possível

possível construirconstruir umum sistemasistema inversoinverso queque quandoquando ligadoligado emem sériesérie

com

com oo primeiroprimeiro sistemasistema permitepermite obterobter oo sinalsinal originaloriginal..

Sistema1 Sistema2

x(t) y(t) f(t)

f(t) =x(t)

(52)

Sumário

n

Definição

Definição de

de Sinal

Sinal

n

Definição

Definição de

de Sistema

Sistema (Circuito)

(Circuito)

n

Caracterização

Caracterização de

de sinais

sinais::

n n Contínuos/DiscretosContínuos/Discretos n n Periódicos/AperiódicosPeriódicos/Aperiódicos n n Analógicos/DigitaisAnalógicos/Digitais n

n

Transformações

Transformações na

na variável

variável independente

independente::

n

n TranslacçãoTranslacção temporaltemporal

n

n EscalonamentoEscalonamento temporaltemporal

n

(53)

Sumário

n n

Sistemas

n n Contínuos/DiscretosContínuos/Discretos n n Analógicos/DigitaisAnalógicos/Digitais n

n Lineares/NãoLineares/Não lineareslineares

n

n Variantes/InvariantesVariantes/Invariantes nono tempotempo

n

n Com/SemCom/Sem memóriamemória

n

n CausaisCausais ee nãonão causaiscausais

n

n Estáveis/InstáveisEstáveis/Instáveis

n

(54)

Modelo de Sistemas

n

n AA teoriateoria dosdos sistemassistemas visavisa umauma variedadevariedade dede sistemas,sistemas, desdedesde

eléctricos,

eléctricos, mecânicos,mecânicos, hidráulicos,hidráulicos, acústicos,acústicos, electromecânicos,electromecânicos,

químicos,

químicos, ee aindaainda sociais,sociais, económicoseconómicos ee biológicosbiológicos..

n

n OO primeiroprimeiro passopasso parapara aa análiseanálise dede umum sistemasistema éé aa construçãoconstrução dodo

modelo

modelo dodo sistemasistema,, queque éé geralmentegeralmente umauma expressãoexpressão matemática

matemática queque aproximaaproxima oo desempenhodesempenho dinâmicodinâmico dodo sistemasistema..

( )

_   + ⋅     = cos ( ) tanh ₍ ₎ 2 ) ( ln ) ( t x t x t x t y π f(x)=sqrt(ln(sin(x)/2)*cos(sin(x))+tanh(pi/sin(x))) -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x f(x) f(x)=sin(x) -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x f(x) Sistema x(t) y(t)

(55)

Exemplo de Descrição Matemática de Sistemas

n

Sistema

Sistema mecânico

mecânico translacional

translacional

Os

Os elementos

elementos básicos

básicos de

de modelação

modelação de

de sistemas

sistemas mecânicos

mecânicos

translacionais

translacionais são

são massas,

massas, molas

molas e

e amortecedores

amortecedores..

Nas

Nas expressões

expressões seguintes

seguintes:: M

M é

é a

a massa,

massa, K

K é

é a

a constante

constante de

de

elasticidade

elasticidade da

da mola

mola e

e B

B é

é o

o coeficiente

coeficiente de

de amortecimento

amortecimento do

do

amortecedor

amortecedor..

2 2

( )

d y t

M

f t

dt

=

( )

Ky t

=

f t

( )

dy t

B

f t

dt

=

Componente diferencial (2ª ordem)

( )

y t

( )

f t

Relação linear

( )

y t

( )

f t

(56)

Exemplo de Descrição Matemática de Sistemas

n

n SistemaSistema mecânicomecânico rotacionalrotacional n

n RelaçãoRelação entreentre oo bináriobinário dede entradaentrada (T(T -- torque)torque) ee oo ânguloângulo dede saídasaída

((θθ)) nono sistemasistema ilustradoilustrado nana figurafigura

2 2

( )

d

t

d t

J

B

K t

T t

dt

θ

₊

θ

_{+ θ}

₌

(57)

Exemplo de Descrição Matemática de Sistemas

n

n SistemaSistema electromecânicoelectromecânico n

n UmaUma vastavasta variedadevariedade dede sistemassistemas electromecânicoselectromecânicos convertemconvertem

sinais

sinais eléctricoseléctricos emem movimentomovimento mecânicomecânico ee vicevice--versaversa..

2 2 T

( )

d

J

B

K i t

dt

θ

₊

θ

₌

(58)

Exemplo de Descrição Matemática de Sistemas

n

n NoNo cursocurso dede EngEng.. ElectrotécnicaElectrotécnica serãoserão naturalmentenaturalmente maismais comunscomuns

os

os sistemassistemas eléctricoseléctricos..

n

n TambémTambém estesestes assumemassumem umauma descriçãodescrição diferencialdiferencial..

Sistema Sinal de entrada

x(t) = V_s

Sinal de saída y(t) = V_C

(tensão aos terminais do condensador) (tensão aos terminais da fonte)

(59)

Exemplo de Descrição Matemática de Sistemas

− ⇔ ( ) = s( ) C( ) R v t v t i t R

=

( )

C C

dv t

i t

C

dt

( )

1

1 ( )

( )

s C C C C s

v t

dv t

C

R

dt

dv t

v t

dt

RC

−

₌

_⇔

+

=

( )

dy t

ay t

bx t

dt

+

=

Dado que V_s = x(t) e que V_c = y(t),

a equação tem uma descrição genérica:

onde a=1/RC e b=1/RC

=

( )

R R

v t

i t

R

=

⇔

( )

R C

i t

(60)

Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes

Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes –– forma geralforma geral

n

n OsOs exemplosexemplos anterioresanteriores demonstramdemonstram queque umum sistemasistema dede tempo

tempo--contínuo

contínuo podepode serser descritodescrito pelapela equaçãoequação diferencialdiferencial queque relacionarelaciona aa

entrada

entrada comcom aa saída,saída, queque temtem aa formaforma genéricagenérica::

n

n O símbolo d/dt representa a operação de diferenciação.

n Substitui-se esta notação por D, obtendo-se uma expressão mais

compacta: 1 1 1 ₁ 1 0 1 ₁ 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) N N M M N M M N N M M d y t d y t dy t d x t d x t dx t a a a y t b b b b x t dt dt dt dt dt dt − − − − − − + + + + = + + + +

(

1

)

1 1 ... 1 0 ( ) ( 1 ... 1 0) ( ) N N M M N M M D + a ₋ D − + + a D + a y t = b D + b ₋ D − + + b D + b x t Derivadas de várias ordens da saída y(t)

(até à ordem N)

Derivadas de várias ordens da entrada x(t) (até à ordem M)

(61)

n

n UmaUma classeclasse significativasignificativa dede sistemassistemas podepode entãoentão serser descritadescrita porpor

equações

equações diferenciais,diferenciais, queque nono operadoroperador DD assumemassumem aa formaforma

genérica genérica::

(

1

)

1 1 ... 1 0 ( ) ( 1 ... 1 0) ( ) N N M M N M M D + a ₋ D − + + a D + a y t = b D + b ₋ D − + + b D + b x t n

n ComCom asas seguintesseguintes atribuiçõesatribuições polinomiaispolinomiais::

( ). ( )

Q D y t

=

P D x t

Obtém-se uma nova equação diferencial que determina

comportamento do sistema: 1 1 1 0

( )

N _N N

...

Q D

=

D

+

a

₋

D

−

+

a D

+

a

1 1 1 0 ( ) _M M _M M ... P D = b D + b ₋ D − + + b D + b Q(D) P(D)

(62)

Sistema

n O primeiro passo na análise de um

sistema é determinar a equação diferencial que rege o seu comportamento 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) N N M M N M M N N M M d y t d y t dy t d x t d x t dx t a a a y t b b b b x t dt dt dt dt dt dt − − − − − − + + + + = + + + +

n Para simplificação da notação,

passa-se a equação diferencial para o operador D

(

1

)

1 1 ... 1 0 ( ) ( 1 ... 1 0) ( ) N N M M N M M D + a ₋ D − + + a D + a y t = b D + b ₋ D − + + b D + b x t n Atribuindo os polinómios Q(D) e

P(D) obtém-se uma nova expressão

( ). ( ) ( ). ( )

Q D y t = P D x t

n Do polinómio Q(D), de P(D) e da relação entre ambos, será possível extrair toda a informação sobre o sistema. Estes polinómios são portanto fundamentais no seu estudo.

(63)

Resposta de um sistema descrito por equações diferenciais a um Resposta de um sistema descrito por equações diferenciais a um

sinal de entrada sinal de entrada

n

A

A saída

saída de

de um

um sistema

sistema para

para tt

≥≥00 éé resultado

resultado de

de duas

duas

causas

causas independentes

independentes::

n

n aa respostaresposta aa entradaentrada--nulanula:: resultaresulta apenasapenas dasdas

condições

condições iniciaisiniciais emem t=t=00 comcom oo sinalsinal dede entradaentrada x(t)=x(t)=00

para

para tt≥≥00 (devida(devida aa propriedadespropriedades internasinternas dodo sistemasistema

como

como sejaseja aa existênciaexistência dede armazenamentoarmazenamento dede energiaenergia ––

bobinas

bobinas ee condensadorescondensadores emem circuitoscircuitos eléctricos,eléctricos, molasmolas

em

em sistemassistemas mecânicos,mecânicos, etc)etc)

n

n aa respostaresposta aa estadoestado--nulonulo:: resultaresulta apenasapenas dada entradaentrada

x(t)

(64)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula

nula

Sistema

n Mesmo sem uma entrada, um sistema pode apresentar um sinal de

saída, para tt≥≥00,, devido a armazenamento interno de energia.

x(t) y(t)

n Esta resposta do sistema, que ocorre sem um sinal de entrada, é

designada por:

(65)

Resposta a estado

Resposta a estado--nulo

nulo

Sistema x(t)

n Naturalmente, um sistema, mesmo tendo um estado inicial nulo

(sem energia armazenada), responde a um sinal de entrada.

n Esta resposta do sistema, na ausência de um estado enegético

inicial, é designada por:

Resposta a estado-nulo

(66)

Resposta total de um sistema

Sistema x(t)

n A resposta de um sistema com estado inicial não nulo (com energia

armazenada), a um sinal de entrada, será a soma da resposta a entrada-nula com a resposta a estado-nulo.

Resposta Total = Resposta a estado-nulo + Resposta a entrada-nula

(67)

Resposta total de um sistema

n

As duas componentes da resposta de um sistema são

independentes uma da outra, podendo uma ser calculada

independentemente da outra.

n

Para o cálculo da resposta de um sistema para certas

condições iniciais e determinado sinal de entrada, pode

calcular-se separadamente o sinal gerado na saída e

depois somar os sinais resultantes (de resposta a

entrada-nula e de resposta a estado-nulo).

(68)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula (y

nula (y

₀₀

(t)) de um sistema

(

1

)

1 1 ... 1 0 ( ) ( 1 ... 1 0) ( ) N N M M N M M D + a ₋ D − + + a D + a y t = b D + b ₋ D − + + b D + b x t

( ). ( )

Q D y t

=

P D x t

n

n RelembrandoRelembrando oo conceitoconceito dede respostaresposta aa entradaentrada--nulanula::

Sistema

x(t) y0(t)

n

n ParaPara determinardeterminar aa expressãoexpressão analíticaanalítica dada respostaresposta aa entradaentrada--nula,nula, queque

designaremos

designaremos porpor yy₀₀(t),(t), aa partirpartir dada equaçãoequação dodo sistema,sistema, teremosteremos dede

fazer

fazer x(t)=x(t)=00,, obtendoobtendo--sese aa expressãoexpressão::

n

n UmUm sistemasistema éé descritodescrito pelapela equaçãoequação diferencialdiferencial nono operadoroperador DD::

n

n RecorrendoRecorrendo aosaos polinómiospolinómios Q(D)Q(D) ee P(D),P(D), aa expressãoexpressão anterioranterior assumeassume aa

forma forma:: 0

( )

( ) 0

( )

0 Q D

y t

P D

Q D

y t

⋅

=

⋅ ⇔

⋅

=

(

)

1 1 ... 1 0 0( ) 0 N N N D + a ₋ D − + + a D + a y t =

(69)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de 1ª ordem

0 0 (D + a y t) ( ) = 0 0 0 0( ) dy a y t dt = −

(

1

)

1 1 ... 1 0 ( ) ( 1 ... 1 0) ( ) N N M M N M M D + a ₋ D − + + a D + a y t = b D + b ₋ D − + + b D + b x t n

n UmUm sistemasistema dede primeiraprimeira ordemordem teráterá nana expressãoexpressão queque descrevedescreve oo seuseu

comportamento

comportamento derivadasderivadas atéaté àà primeiraprimeira ordemordem dede derivaçãoderivação nono sinalsinal dede

saída saída..

n

n NoNo operadoroperador d/dtd/dt obtémobtém--sese entãoentão aa expressãoexpressão::

n

n Assim,Assim, aa procuraprocura dada respostaresposta aa entradaentrada--nulanula passapassa porpor determinardeterminar aa

saída

saída y(t)y(t) nana equaçãoequação anterior,anterior, parapara umauma entradaentrada nulanula::

(

)

− − + = + 1 + + + 0 ( ) ( 1 ... 1 0) ( ) M M M M D a y t b D b D b D b x t Sistema de ordem N: Sistema de 1ª ordem: ₌₀ + = ⇔ 0 0 0( ) 0 dy a y t dt

(70)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de 1ª ordem

n

n AA equaçãoequação mostramostra queque aa respostaresposta aa entradaentrada nulanula yy₀₀(t)(t) éé umauma funçãofunção

cuja

cuja derivadaderivada éé dada mesmamesma formaforma queque elaela própriaprópria (a(a menosmenos dede umauma

constante

constante multiplicativamultiplicativa:: ––aa₀₀))..

( )

_{= −} 0 0 0( ) dy t a y t dt 0

( )

t

y t

=

ce

λ Exponencial genérica n

n QueQue funçãofunção apresentaapresenta estaesta propriedade?propriedade?

n

n AA funçãofunção exponencialexponencial.. VamosVamos portantoportanto assumirassumir queque aa soluçãosolução

daquela

(71)

n

n NãoNão esqueceresquecer queque aa expressãoexpressão::

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de 1ª ordem

n

n ConcluiConclui--sese entãoentão queque aa respostaresposta aa entradaentrada--nulanula dede umum sistemasistema dede

1

1ªª ordemordem nãonão assumeassume umauma qualquerqualquer forma,forma, masmas simsim aa formaforma dede

uma

uma exponencialexponencial::

0( ) t y t = ceλ Sistema 1ª ordem x(t) y0(t) 0( ) t y t = ceλ Representa

Representa umauma exponencialexponencial genérica,genérica, pelopelo queque oo formatoformato dede umauma

resposta

resposta aa entradaentrada--nulanula dede umum sistemasistema dede 11ªª ordem,ordem, nãonão temtem dede serser

necessariamente

necessariamente umauma exponencialexponencial decrescentedecrescente..

λ > 0

(72)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de 1ª ordem

( )

_{= −}

0 0 0

( )

dy t

a y t

dt

0

( )

t

y t

=

ce

λ

( )

λ

_{= −}

λ 0 t t

d

ce

a ce

dt

λ λ

⇔ λ

_{c e}

t

= −

_{a ce}

₀ t

λ = −

a

₀

⇒

Substituindo

Substituindo aa soluçãosolução::

Obtém

Obtém--sese::

na

na equaçãoequação queque permitepermite determinardeterminar aa respostaresposta aa entradaentrada--nulanula numnum

sistema

(73)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de 1ª ordem

Então,

Então, aa soluçãosolução dede

0 0

(

D

+

a y t

) ( )

=

0

0 0

( )

a t

y t

=

ce

−

É de notar que c é uma constante arbitrária; a solução na

expressão anterior verifica a equação para qualquer valor de c.

Consequentemente há uma infinidade de soluções possíveis

para a equação.

A solução única pode ser determinada se acrescentarmos uma

restrição à solução. Esta restrição é vulgarmente dada na forma

de uma condição inicial.

0

( )

t

y t

=

ce

λ

Será

(74)

Como já se verificou que um sistema descrito por

apresenta uma resposta com a forma:

Exemplo para sistema de 1ª ordem

(

D+2

) ( )

y t0 = 0

( )

_{( )}

2 5 ( ) dy t y t x t dt + = Sistema 1ª ordem x(t) y0(t) 0( ) t y t = ceλ

(

D+2

) ( )

y t =5 ( )x t

Como se procura a resposta a entrada-nula, anula-se a entrada x(t)

Recorrendo ao uso do operador D.

0 0 (D + a y t) ( ) = 0 0 0( ) a t y t = ce−

( )

2 0 t y t = ce−

(75)

Exemplo para sistema de 1ª ordem

Sistema 1ª ordem

x(t) y0(t)

Fica assim definida a taxa de queda da exponencial.

( )

2 0

t

y t =ce−

n No entanto, nem tudo está definido quanto a esta exponencial.

Repare-se que todas as exponenciais seguintes têm o mesmo parâmetro •, no entanto têm início num valor diferente.

(76)

Exemplo para sistema de 1ª ordem

Sistema x(t) y0(t) Sistema x(t) y0(t) Sistema x(t) y0(t)

n Conclui-se então que a resposta a entrada-nula só poderá ser

completamente determinada se fôr conhecida a situação inicial do sistema.

(77)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula de um sistema de 1ª ordem

nula de um sistema de 1ª ordem

0 0

(D + a y t) ( ) = 0

A equação diferencial que descreve o sistema permite que se determine o parâmetro • da resposta a entrada-nula.

Recapitulando:

Um sistema de 1ª ordem descrito por uma equação diferencial na forma:

Terá uma resposta a entrada-nula da forma:

0 0( ) a t y t = ce− 0( ) t y t = ceλ

O parâmetro c dependerá das condições iniciais do sistema, ou seja, da energia que ele tem armazenada no início.

(78)

Caso particular de 1ª ordem

− ⇔ _{i t}( ) = v ts( ) v tC( ) R

( )

dv t

C

i t

C

dt

=

( )

1

1 ( )

( )

s C C C C s

v t

dv t

C

R

dt

dv t

v t

dt

RC

−

₌

_⇔

+

=

( )

dy t

ay t

bx t

dt

+

=

Dado que V_s = x(t) e que V_c = y(t),

a equação tem uma descrição genérica:

onde a=1/RC e b=1/RC

=

( )

v t

R

i t

R

Logo a resposta a entrada nula será

dada por: − = 1 0( ) t RC y t ce

(79)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de ordem N

(

1

)

1 1 ... 1 0 ( ) ( 1 ... 1 0) ( ) N N M M N M M D + a ₋ D − + + a D + a y t = b D + b ₋ D − + + b D + b x t

(

−

)

− − − + 1 + + + = + 1 + + + ⋅ 1 ... 1 0 0( ) ( 1 ... 1 0) 0 N N M M N M M D a D a D a y t b D b D b D b

(

−

)

− + 1 + + + = 1 ... 1 0 0( ) 0 N N N D a D a D a y t A

A somasoma pesadapesada dede diversasdiversas derivadasderivadas dada respostaresposta devemdevem anularanular--se,se, pelopelo queque a

a funçãofunção exponencialexponencial preenchepreenche osos requisitosrequisitos comocomo respostaresposta:: ₌ λ

0( ) t y t ce

(

−

)

λ − + 1 + + + = 1 ... 1 0 0 N N t N D a D a D a ce 1 1 1 0 1 1 1 0 ... 0 ( ... ) 0 N t N t t t N N N t N c e ca e ca e ca e c a a a e λ − λ λ λ − − λ − λ + λ + + λ + = λ + λ + + λ + =

Para uma solução não trivial (c=0 seria a solução trivial) teremos que ter:

1 1 ... 1 0 0 N N N a ₋ − a a λ + λ + + λ + =

Este resultado significa que desde que λ verifique a equação anterior

t ceλ

(

1

)

1 ... 1 0 0( ) 0 N N N D + a ₋ D − + + a D + a y t = é solução da equação:

(80)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de ordem N

Notar que o polinómio:

( )

0 Q

λ =

Se exprimirmos numa forma factorizada, a equação anterior pode ainda ser escrita na forma:

( )

Q

λ

1 2

( )

(

)(

)...(

_N

)

0 Q

λ = λ − λ λ − λ

λ − λ

=

1 1 1 0

( )

N _N N

...

Q D

=

D

+

a

₋

D

−

+

a D

+

a

1 1

...

1 0

0

N N N

a

₋ −

a

λ +

λ

+

+ λ +

=

O polinómio Q(D) é dado por:

é igual ao polinómio Q(D) da expressão com D substituído por λ.

Ou seja, a equação anterior pode ser escrita na forma:

(

1

)

1

1 ... 1 0 ( ) ( 1 ... 1 0) ( )

N N M M

N M M

(81)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de ordem N

1 2

( )

(

)(

)...(

_N

)

0 Q

λ = λ − λ λ − λ

λ − λ

=

Verifica-se claramente que são as soluções.

Assim, para um sistema de ordem N, não há apenas uma solução como ocorria para os sistemas de 1ª ordem, mas sim N soluções.

1

,

2

,...,

N

λ λ

λ

,(

1,2,..., )

it

e

λ

i

=

N

Por cada raiz há uma exponencial que verifica a equação, na forma:

Quais as soluções desta equação?

λ − λ = ∨ λ − λ = ∨

₁ ₂

∨ λ − λ

=

(

)

0 (

)

0 ... (

_N

)

0 ⇔ λ = λ ∨ λ = λ ∨

₁ ₂

...

∨ λ = λ

_N

(82)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de ordem N

Observe que o polinómio , que é característico do sistema, nada tem a ver com o sinal que se injecta na entrada do sistema. Por esta razão é chamado o polinómio característico do sistema.

( )

Q

λ

( )

0 Q

λ =

é chamada equação característica do sistema.

1 2

( )

(

)(

)...(

_N

)

0 Q

λ = λ − λ λ − λ

λ − λ

=

verifica-se claramente que são as raízes da equação

característica. Consequentemente são chamadas de raízes características

do sistema. As exponenciais na resposta a entrada-nula são chamadas de modos característicos do sistema.

1

,

2

,...,

N

λ λ

λ

,(

1,2,..., )

it

e

λ

i

=

N

A equação Na equação

(83)

Resposta a entrada

Resposta a entrada--nula y

nula y

₀₀

(t)

Sistema de ordem N

Existe um modo característico para cada raiz característica do sistema, e a resposta a entrada-nula é uma combinação linear dos modos característicos do sistema como é visível pela expressão:

1 2

0

( )

1 2

...

N

t t t

N

y t

=

c e

λ

+

c e

λ

+

c e

λ

O atributo mais importante de sistemas LITC (lineares, invariantes no tempo e causais) são os seus modos característicos.

Os modos característicos não só determinam a resposta do sistema a entrada-nula como também desempenham um papel importante na determinação da resposta a estado-nulo.

,( 1,2,..., )

it