ALGAN - Sebenta

Texto

(1)Álgebra Linear e Geometria Analítica. Ana Júlia Viamonte Departamento de Matemática ISEP Setembro de 2011.

(2) Conteúdo 1 Matrizes. 4. 1.1. Denições Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2. Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.3. Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 1.4. Aplicação: tratamento de imagens. Exercícios propostos 1.4.1. 2 Determinantes 2.1. 2.2. 25. Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. Aplicação: Cálculo de áreas ou volumes. Exercícios propostos 2.2.1. 3 Matrizes inversa 3.1. 3.2. 37. Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.1.1. 44. Aplicação: codicação de mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Exercícios propostos 3.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4 Sistemas de equações lineares. 52. 4.1. Denições Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 4.2. Método de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 1.

(3) 2. CONTEÚDO. 4.3. Método de Gauss e Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 4.4. Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 4.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 4.5. Aplicação aos Circuitos elétricos. Exercícios Propostos 4.5.1. 5 Espaços vetoriais. 74. 5.1. Denições Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 5.2. Subespaços. 75. 5.3. Combinação linear. 5.4. Espaço gerado e Conjunto gerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 5.5. Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. 5.6. Base e dimensão de um espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. 5.7. Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. 5.7.1. . . . . . . . . . . . . .. 91. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. 5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Interpretação geométrica da Independência Linear. Exercícios propostos 5.8.1. 6 Transformações lineares. 77. 98. 6.1. Denições Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.2. Matriz de uma transformação linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102. 6.3. Núcleo e imagem de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105. 6.4. Exercícios resolvidos. 109. 6.4.1 6.5. Aplicação: matriz Canónica de uma projeção. . . . . . . . . . . . . . . . .. 111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112. Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 114. Exercícios propostos 6.5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 Valores e vetores Próprios 7.1. 98. Exercícios resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115 119.

(4) CONTEÚDO. 7.1.1 7.2. 3. Aplicação: Problemas de misturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123. Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124. Exercícios propostos 7.2.1. 8 Geometria Analítica. 125. 8.1. vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125. 8.2. retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134. 8.3. Exercícios resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148. 8.4. Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151. Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155. 8.4.1. 9 Bibliograa. 156.

(5) Capítulo 1. Matrizes 1.1 Denições Gerais Denição 1.1 1. Sejam p; n 2 N, designa-se por matriz do tipo p n (lê-se "p por n"), sobre o corpo K , a uma função de f1; : : : ; pg f1; : : : ; ng em K . Isto é, uma matriz do tipo p n é uma tabela com p linhas (las horizontais) e n colunas (las verticais), 2 6 6 6 6 4. a11 a21 ::: ap 1. a12 a22 ::: ap2. ::: ::: ::: :::. a1n a2n ::: apn. 3 7 7 7: 7 5. 2. Neste curso iremos trabalhar sobre o corpo R dos números reais. Representa-se por Mpn (R) o conjunto das matrizes de tipo p n sobre R ou simplesmente, conjunto das matrizes de tipo p n. 3. Sejam A 2 Mpn (R), i 2 f1; : : : ; pg e j e da coluna j de A por. 2 f 1; : : : ; n g .. Representa-se o elemento da linha i. aij ou por (A)ij : 4. Seja A 2 Mpn (R). Se p 6= n diz-se que A é uma matriz retangular de tipo p n; se p = n diz-se que A é uma matriz quadrada de ordem n. 5. Chama-se linha i da matriz A, e representa-se por li;A , ou por li se não houver ambiguidade relativamente à matriz, a. li;A = (ai1 ; : : : ; ain ): 6. Chama-se coluna j da matriz A, e representa-se por cj;A , ou por cj se não houver 4.

(6) CAPÍTULO 1.. MATRIZES. 5. ambiguidade relativamente à matriz, a. cj;A = (a1j ; : : : ; apj ): Notação Usam-se letras maiúsculas para representar matrizes.. j 2 f1; : : : ; ng.. Sejam. A. 2 Mpn(R), i 2 f1; : : : ; pg e. Usa-se a seguinte notação:. A = [aij ] 2 Mpn (R):. 1 1 3 p5 7 Exemplo: 1 1. A matriz A = 6 4 0 p 1 3=5 2=3 5 2 M34(R). 2 3 0 2= 5 2. A é uma matriz retangular de tipo 3 4. p 3. a23 = 3=5; a14 = 5; a33 = 0. 4. a segunda linha da matriz A é: l2 = (0; 1; 3=5; 2=3). 5. a terceira coluna da matriz A é: c3 = ( 3; 3=5; 0). 2. 3. Exemplo: 2 Explicitar a matriz A 2 M33 (R), aij 2 3. = i + j 1.. 1 2 3 A= 2 3 4 7 5 é uma matriz quadrada de ordem 3. 3 4 5 6 4. Denição 1.2. 1. Dois elementos dizem-se homólogos se são elementos na mesma posição.. 2. Sejam A; B 2 Mpn (R). Diz-se que A e B são iguais se e só se os elementos homólogos são iguais, isto é, aij = bij ; 8i; j . ". 0 a 2 Exemplo: 3 1. As matrizes A = 1 2 3 a = 2 e b = 3. 2. 3. 2. #. ". 0 2 2 eB = 1 2 b. 0 a 2 0 2 2 6 7 6 2. As matrizes A = 4 1 2 3 5 e B = 4 1 2 3 1 2 4 1 2 a2 a2 = 4, isto é, a = 2 e a = 2, ou seja, a = 2.. #. são iguais se e só se. 3 7 5. são iguais se e só se a = 2 e. Denição 1.3 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, 1. designam-se por elementos principais da matriz A os elementos aii ; i 2 f1; : : : ; ng..

(7) 6. 1.1.. DEFINIÇÕES GERAIS. 2. chama-se diagonal principal ou diagonal de A a (a11 ; a22 ; : : : ; ann ). 3. chama-se diagonal secundária a (a1n ; a2;n 1 ; : : : ; an1 ). 4. o traço de A representa-se por tr(A) e é igual à soma dos elementos da diagonal principal, isto é,. tr(A) = a11 + : : : + ann =. 2. Exemplo:. 1 6 6 2 4 Na matriz 6 6 3 4 0. 2 1 0 5. 3 0 1 6. n X i=1. aii :. 3. 07 5 77 ; 6 75 1. (1; 1; 1; 1). 2. A diagonal secundária é (0; 0; 0; 0). 3. tr(A) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.. 1. A diagonal principal é. Denição 1.4 Seja A 2 Mmn (R), 1. Diz-se que A é uma matriz nula se todos os elementos da matriz são nulos, isto é, se aij = 0; 8i; j . Representa-se esta matriz por 0mn ou, se não houver ambiguidade relativamente ao tipo da matriz, apenas por 0. 2. Diz-se que A é uma matriz coluna se só tem uma coluna, isto é, se n = 1. 3. Diz-se que A é uma matriz linha se só tem uma linha, isto é, se m = 1.. Denição 1.5 Seja A 2 Mnn (R), 1. Diz-se que A é uma matriz diagonal se aij. = 0 quando i 6= j .. 2. Diz-se que A é uma matriz escalar se é uma matriz diagonal em que. a11 = a22 = : : : = ann ; 3. Diz-se que A é a matriz Identidade se é uma matriz escalar em que. a11 = a22 = : : : = ann = 1: Representa-se esta matriz por In ou, se não houver ambiguidade relativamente à ordem da matriz, apenas por I ..

(8) CAPÍTULO 1.. MATRIZES. 7. 4. Diz-se que A é uma Matriz triangular superior se aij elementos "abaixo"da diagonal principal são todos nulos.. = 0 quando i > j .. Isto é, os. 5. Diz-se que A é uma Matriz triangular inferior se aij elementos "acima"da diagonal principal são todos nulos.. = 0 quando i < j .. Isto é, os. 2. 3. 1 0 0 6 1. A matriz 4 2 3 0 7 5 é uma matriz triangular inferior de ordem 3. 4 5 6. Exemplo: 5 2. 3. 2. 3. 1 0 0 7 2. A matriz 6 4 0 3 0 5 é uma matriz diagonal. 0 0 6 1 0 0 6 3. A matriz 4 0 1 0 7 5 é a matriz identidade de ordem 3, I3 . 0 0 1 ". 4. A matriz. 5 0 0 5. #. é uma matriz escalar.. 1.2 Operações com matrizes Adição de matrizes:. A; B 2 Mmn (R). A + B 2 Mmn (R) onde Sejam. Chama-se soma das matrizes. A e B , e representa-se por A B , à matriz. (A + B )ij = (A)ij + (B )ij :. Produto (ou Multiplicação) de uma matriz por um escalar:. A 2 Mmn (R) e 2 R. Chama-se produto (ou multiplicação) da matriz A pelo escalar , e representa-se por A, à matriz de tipo m n tal que. Seja. ( A)ij = (A): Obs: 1. 1. A adição de matrizes só está denida se as matrizes forem do mesmo tipo.. 2. É sempre possível multiplicar uma matriz por um escalar. 3. Seja A 2 Mmn (R). Em vez de. ( 1)A escreve-se apenas A. 4. Sejam A; B 2 Mmn (R). Em vez de A + ( 1)B escreve-se apenas A Teorema 1.1 As operações de matrizes gozam das seguintes propriedades:. B..

(9) 8. 1.2.. 1.. OPERAÇÕES COM MATRIZES. Propriedade comutativa da adição de matrizes:. 8A; B 2 Mmn(R) : A + B = B + A: 2.. :. Propriedade associativa da adição de matrizes. 8A; B; C 2 Mmn(R) : A + (B + C ) = (A + B ) + C: 3.. :. Existência de elemento neutro na adição de matrizes. 8A 2 Mmn(R) : A + 0mn = A: 4.. Existência de elemento oposto na adição de matrizes. 8A 2 Mmn(R) :. :. A + A = A A = 0mn :. 5. 8 ;

(10) 2 R; 8A 2 Mmn (R). : (

(11) )A = (

(12) A): 6. 8 ;

(13) 2 R; 8A 2 Mmn (R) : ( +

(14) )A = A +

(15) A: 7. 8 2 R; 8A; B 2 Mmn (R) : (A + B ) = A + B: 8. 8A 2 Mmn (R) : 1A = A: Exemplo: 6 Considere as matrizes: ". 1 0 A= 2 4 Tem-se:. #. ; B=. ". 1 2 3 2. ". #. eC=. #. ". ". 1 3 3 1. #. :. #. 1 + ( 1) 0 + 2 = 0 2 = B + A; A+B = 2 + 3 4 + ( 2) 5 2 ". #. ". #. 1) + 1 (0 + 2) + 3 = 1 5 = A + (B + C ) (A + B ) + C = (1 (2 + 3) 3 (4 2) + 1 2 3 ". #. ". 3A = 33 12 33 04 = 36 120 Produto (ou Multiplicação) de matrizes:. AB 2 Mmp (R) onde. (AB )ij =. n X k=1. :. A 2 Mmn (R) e B 2 Mnp (R). Chamamatriz B, e representa-se por AB , à matriz. Sejam. se produto (ou multiplicação) da matriz A pela. #. (A)ik (B )kj :.

(16) CAPÍTULO 1.. MATRIZES. 9. Obs: 2 1. Só é possível efetuar o produto de duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. 2. Se A 2 Mmn (R) e B 2 Mnp (R) então (AB )ij. = li;A cj;B .. 3. O produto de matrizes não é comutativo, isto é, de uma forma geral AB 6= BA. Denição 1.6 Sejam A 2 Mmn (R) e B 2 Mnp (R). Em geral, AB 6= BA. Nos casos particulares em que AB = BA, as matrizes A e B dizem-se permutáveis ou comutáveis. Teorema 1.2. 1. 8A 2 Mmn (R); 8B 2 Mnp (R); 8C. 2 Mpq (R) : (AB )C = A(BC ):. 2. 8A; B 2 Mmn (R); 8C. 2 Mnp(R)) : (A + B )C = AC + BC .. 3. 8A 2 Mmn (R); 8B; C. 2 Mnp(R)) : A(B + C ) = AB + AC .. 4. 8A 2 Mmn (R) : AIn = Im A = A 5. 8 2 R; 8A 2 Mmn (R)); 8B 2 Mnp (R) : (AB ) = ( A)B = A( B ):. Denição 1.7 Seja A 2 Mnn (R) e p 2 N. Designa-se por p-ésima potência da matriz A, e representa-se por Ap o produto de A por si própria p vezes. Isto é,. Ap =. p Y k=1. A. Por exemplo A2 = AA, A3 = AAA = A2 A, A4 = AAAA = A3 A. Exemplo: 7 Dadas as matrizes:. A=. ". a b c d e f. #. 2. ; B=6 4. 3. 1 2 1 2 75 3 4. eC=. ". 1 3 3 1. #. :. Determine AB , BC e C 2 . Resolução:. ". a( d(. #. 1) + b 1 + c 3 a 2 + b ( 2) + c 4 AB = 1) + e 1 + f 3 d 2 + e ( 2) + f 4 " # a + b + 3 c 2a 2 b + 4 c = d + e + 3 f 2d 2e + 4 f ; 2 3 2 3 1 1 + 2 ( 3) 1 3 + 2 1 7 1 BC = 6 1 3 2 1 75 = 64 7 1 75 ; 4 1 1 2 ( 3) 3 1 + 4 ( 3) 3 3 + 4 1 9 13.

(17) 10. 1.2.. C 2 = CC =. ". #. ". #. OPERAÇÕES COM MATRIZES. ". 1 3 1 3 = 1 1 + 3 ( 3) 1 3 + 3 1 3 1 3 1 3 1 + 1 ( 3) 3 3 + 1 1 " # 8 6 = 6 8 :. #. Obs: 3 A lei do Anulamento do produto não é válida para o produto de matrizes. ". 1 1 1. A equação matricial AB = 022 onde A = 1 1. Exemplo: 8. #. eB. =. ". 1 1 1 1. #. ,. mostra que é possível que o produto de duas matrizes não nulas seja a matriz nula. 2. Sejam. ". #. ". #. 0 1 eB= 1 1 : A= 0 1 0 0 2 mostre que:(A + B )2 "6= A2 + 2AB # +B " # 1 0 1 0 : A+B = (A + B ) 2 = 0 1 0 1 " # " # " # " # 0 1 0 0 0 0 1 1 A2 = 2AB = 2 0 0 = 0 0 B 2 = 0 0 0 1 " # 1 2 A2 + 2AB + B 2 = 0 1 .. Resolução. 3. Sejam A e B matrizes comutáveis, mostre que :(A + B )2 = A2 + 2AB + B 2 : Se A e B são matrizes comutáveis, então, por denição, tem-se que. Resolução. AB = BA. (A + B )2 = (A + B )(A + B ) = A2 + AB + BA + B 2 pela denição de matrizes comutáveis. (A + B )2 = A2 + AB + AB + B 2 = A2 + 2AB + B 2: Matriz transposta:. AT. Seja. A 2 Mmn (R),. e é denida por. Isto é,. AT. 2 Mnm(R) e AT. a matriz transposta da matriz. A. representa-se por. (AT )ij = (A)ji: resulta da matriz. A, trocando as linhas pelas colunas e vice-versa.. Obs: 4 É sempre possível calcular a transposta de uma matriz.

(18) CAPÍTULO 1.. Teorema 1.3. MATRIZES. 11. 1. 8A 2 Mmn (R). 2. 8A; B 2 Mmn (R). :. , (A T )T. =A. : ( A + B ) T = AT + B T. : (In)T = In 4. 8A 2 Mmn (R); 8k 2 R : (kA)T = kAT 5. 8A 2 Mmn (R) ; 8B 2 Mnp (R) : (AB )T = B T AT 3. 8n 2 N. Obs: 5 Do teorema anterior resulta que:. (AB : : : L)T = LT : : : B T AT : Isto é, a transposta do produto de um número nito de matrizes é o produto das transpostas dessas matrizes por ordem inversa.. Denição 1.8 Designa-se por matriz simétrica, uma matriz quadrada que verique a condição AT = A. 2. 2 1 Exemplo: 9 A matriz A = 6 2 4 1 13 0 2 2 1 1 6 T Resolução: A = 4 1 2 p0 75 = A 1 0 5. 3. 1 7 p0 5 é uma matriz simétrica. 5. Denição 1.9 Seja A uma matriz quadrada. Designa-se por matriz antissimétrica ou hemissimétrica, uma matriz quadrada que verique a condição AT = A. Obs: 6. 1. Se A é uma matriz simétrica, então aij. 2. Se A é uma matriz antissimétrica, então aij 0 ; 8i. 2. 0 2 6 Exemplo: 10 A matriz 4 2 0 1 33 2 0 2 1 6 T Resolução: A = 4 2 0 3 75 = 1 3 0 Operações elementares: triz, as seguintes operações:. =. = aji ; 8i; j . aji ;. 8i; j. e consequentemente, aii. =. 3. 1 3 75 é uma matriz antissimétrica. 0 2 3 0 2 1 1 64 2 0 3 75 = A: 1 3 0. Designam-se por operações elementares sobre as linhas de uma ma-.

(19) 12. 1.2.. 1. A troca de duas linhas da matriz. A troca das linhas. OPERAÇÕES COM MATRIZES. li e lj. representa-se por. li. $ lj ;. 2. A substituição de uma linha por um seu múltiplo não nulo, isto é, a multiplicação dos elementos de uma linha por uma constante não nula. A substituição de se obtém multiplicando todos os elementos de por. li. li. li. por um escalar. li. pela linha que. não nulo representa-se. 3. A substituição de uma linha pela sua soma com um múltiplo de outra linha, isto é, a adição, aos elementos de uma linha, os elementos homólogos de outra linha multiplicada por um. li pela linha que se obtém somando os elementos de li aos elementos que se obtêm multiplicando por um escalar

(20) os elementos de lj representa-se por li li +

(21) lj. escalar qualquer. A substituição de. Obs: 7 Na denição anterior apenas se fazem referência às operações elementares sobre as linhas de uma matriz. De uma fora análoga poderíamos denir as operações elementares sobre as colunas de uma matriz. Denição 1.10 Sejam A; B 2 Mmn (R). Diz-se que A e B são matrizes equivalentes se se pode obter uma através da outra através de uma sequência nita de operações elementares. Denição "1.11 # 1. Diz-se que A é uma matriz em escada se A está na forma A = T ou T B A= onde T é uma matriz triangular superior, 0 é uma matriz nula e B é uma. 0 0. matriz qualquer.. = In ou A = Ip B 0 0 onde In é a matriz identidade de ordem n,Ip é a matriz identidade de ordem p, 0. 2. " Diz-se que # A é uma matriz em escada reduzida se A está na forma A é uma matriz nula e B é uma matriz qualquer.. 3. Chama-se caraterística da matriz A à dimensão da matriz identidade que se obtém na forma de escada reduzida equivalente a A (n ou p respetivamente). Representa-se a caraterística de A por c(A).. Teorema 1.4 Seja A equivalente a A.. 2 Mmn(R).. Então, existe uma única matriz em escada reduzida que é. Obs: 8 Seja A 2 Mmn (R). Existe uma única matriz em escada reduzida que é equivalente a A, mas existem várias matrizes em escada que são equivalentes a A. 2. Exemplo:. 3. 0 0 0 3 6 11 Considere a matriz 40 1 1 27 5. Determine uma matriz em escada e a matriz 0 2 2 1. em escada reduzida semelhante a A..

(22) CAPÍTULO 1.. Resolução:. MATRIZES. 2. 13. 3. 0 0 0 3 6 7 40 1 1 25 0 2 2 1. 2. 2. 3. 0 1 1 2 ! 6 7 l1 $ l2 40 0 0 35 0 2 2 1 2 3 0 1 1 2 ! 60 0 0 3 7 l3 l3 2l1 5 4 0 0 0 3 2 3 0 1 1 2 ! 60 0 0 37 l3 l3 + l2 4 5 0 0 0 0 3. 0 1 1 2 6 Esta matriz está em escada 4 0 0 0 3 7 5 0 0 0 0 l2. 1=3!l2. 2. 3. 0 1 1 2 6 7 40 0 0 15 0 0 0 0 2. 3. 0 1 1 0 ! 6 7 l1 l1 2l2 40 0 0 15 0 0 0 0 2 3 1 0 1 0 6 7 c1 $ ! c2 40 0 0 15 0 0 0 0 2 3 1 0 1 0 6 7 c2 $ ! c4 40 1 0 05 0 0 0 0 3 2 1 0 1 0 7 Esta matriz está em escada reduzida 6 4 0 1 0 0 5 e tem caraterística igual a 2, c(A) = 2: 0 0 0 0.

(23) 14. 1.3.. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. 1.3 Exercícios Resolvidos 1. Considere as matrizes. ". 1 D= 1. #. A=. 2. e E=. ". 1 0 1 23 1 1. #. ". ;. 1 0 2 1 75 0 1. 6 4. 1 B= 2. #. ". ;. 3 C= 1. #. ;. . Indique se estão bem denidas as seguintes expressões,. efetuando nesses casos as respetivas operações. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11.. 2B 3C B T A; AB T ; ( C T A 2D T A ) T ; AT B ; B T (C + D ); (AE )T ; DT A; A2 ; (AAT )2; 2B + 3 C. Resolução:. " #. 1.1.. 1.2.. 1.3.. AB T. #. ". #. ". 9 = 7 3 1. #. :. #. 1 =h 1+4 0+2 1 2 i 1. não está bem denida, pois o número de colunas de. de linhas de. BT ,. A , 3, é diferente do número. 1.. ". #. ". #. 1 0 1 =h 3+2 0+1 3 1 i CT A = 3 1 2 1 1 h i = 1 1 2 h. 1.4.. ". 2B 3C = 24 + 93 = 42 " h i 1 0 BT A = 1 2 2 1 h i = 3 2 1 :. i. 1 0 1 =h 1+2 0+1 1 1 i=h 1 1 0 i DT A = 1 1 2 1 1 h i h i h i C T A 2D T A = 1 1 2 + 2 2 0 = 3 1 2 h. i.

(24) CAPÍTULO 1.. MATRIZES. 15. 2. 3. 3 1 75 : 2. (C T A 2DT A)T = 64 2. 1.5.. 1.6.. 1.7.. 3. 2. 3. 2. 3. 1 2 " 1# 1+4 3 6 7 6 7 6 7 T A B =4 0 1 5 = 4 0 + 2 5 = 4 2 5: 2 1 1 1 2 1 " # " # " # 3 + 1 = 4 C +D = 1 1 2 " # h i h i h i 4 B T (C + D ) = 1 2 = = : 4 + 4 8 2 2 3 " # 1 0 1 0 1 64 2 1 75 = AE = 2 1 1 0 1 # " # " 1+0+0 0+0+1 = 1 1 2+2+0 0 1 1 0 2 " # (AE )T = 11 02 " # h i h i h i 1 0 1 = = DT A = 1 1 1 + 2 0 + 1 1 1 1 1 0 2 1 1 .. 1.8.. 1.9.. A2. = AA. Não está bem denida pois o número de colunas de. número de linhas de. 2. é diferente do. 3. 1 0 1 64 01 21 75 = AAT = 2 1 1 1 1 " # " # 1 + 0 + 1 2 + 0 1 2 3 = 2+0 1 4+1+1 = 3 6 " # " # " # " # 2 3 2 3 4 + 9 6 18 13 24 (AAT )2 = 3 6 3 6 = 6 18 9 + 36 = 24 45 ". 1.10.. A.. A. .. #. .. 2. 3. 1 0 2 6 A=4 0 1 1 7 5 2 0 2 AX = BX. 2. Dadas as matrizes. 2.1. Mostre que. ,. 2. 3. 2. 3. 1 3 0 6 5 7 6 7 6 B=4 0 4 1 5 eX=4 2 2 4 7 5 2 3 0 3 3 6. .. 2.2. Deste exercício poderá tirar alguma conclusão acerca da validade da lei do corte para o produto de matrizes?.

(25) 16. 1.3.. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Resolução:. 2. 2.1.. 6+0+6 6 AX = 4 0 + 2 + 3 12 + 0 + 6 2 6+6+0 6 BX = 4 0 + 8 3 12 + 0 + 6. 5+0+6 0+2+3 10 + 0 + 6 5+6+0 0+8 3 10 + 0 + 6. 3. 2. 7 + 0 + 12 12 7 6 0+4+6 5=4 5 14 + 0 + 12 3 2 18 7 + 12 + 0 12 7 6 0 + 16 6 5 = 4 5 14 + 0 + 12 18. 2.2. A lei do corte não é válida para o produto de matrizes,. 11 5 16 11 5 16. 3. 19 10 75 26 3 19 10 75 = AX 26 AX = BX A 6= B , mas. .. A e B duas matrizes quadradas de ordem n tais que AT A = AAT = I B T B = BB T = I , estude a permutabilidade das matrizes C e D, sendo C = ABAT D = AB T AT .. 3. Sendo. Resolução:. CD = (ABAT )(AB T AT ) = AB (AT A)B T AT = A(BB T )AT = AIAT = AAT = I. = ABIBT AT = ABB T AT =. DC = (AB T AT )(ABAT ) = AB T (AT A)BAT = A(B T B )AT = AIAT = AAT = I = CD. = AB T IBAT = AB T BAT =. Logo as matrizes. 4. Uma matriz. A. e e. C e D são permutáveis. A AT. diz-se ortogonal se. =I. . Mostre que o produto de duas matrizes. ortogonais é uma matriz ortogonal. Resolução:. A e B duas matrizes ortogonais, então A AT = I e B B T Vejamos que AB também é ortogonal: (AB ) (AB )T = ABB T AT = A(BB T )AT = AIAT = AAT = I:. Sejam. 5. Uma matriz quadrada diz-se idempotente se então. I. A também o é.. Resolução:. I A é idempotente se e só se (I (I A)2 = (I A)(I A) = I 2 2 = I , IA = AI = A e Como I I A A + A = I A.. A2. =A. A) 2 = I A. I A A I + A2 A2 = A por A ser. .. =I. Mostre que se. .. A. é idempotente,. idempotente, tem-se:. (I. A )2. =.

(26) CAPÍTULO 1.. MATRIZES. 17. 2 6. Considere a matriz. 3. 1 1 1 6 7 42 1 15 1 0 1. . Determine a caraterística da matriz, uma matriz em escada. e a matriz em escada reduzida semelhante a Resolução:. 2. !. 3. !. l1 + l2 ( 1) l2. 2 Esta matriz está em escada reduzida. 7. Considere a matriz. 1 6 62 6 62 4 3. 2. 1 6 62 6 62 4 3. 3. 2. 3. 1 0 0 6 7 40 1 05 0 0 1. 3. 1 0 0 6 7 4 0 1 0 5 0 0 1. e tem caraterística igual a 3,. c(A) = 3:. 3. 0 3 17 1 1 177 0 6 275 1 2 2. . Determine a caraterística, uma matriz em escada e a. matriz em escada reduzida semelhante a Resolução:. 3. 1 175 0 3 1 175 1. 1 1 0 6 1 075 40 0 0 1 !. l1 l2. 1 1 1 1 1 0. 2. l2 + l3 l1 l3. l2 l1. 2. 2. 1 l2 l2 2l1 6 40 l3 l3 l1 0 2 1 ! 6 l3 l3 l2 40 0 2 3 1 1 1 6 1 1 75 4 0 0 0 1. 1 1 1 6 7 42 1 15 1 0 1. Esta matriz está em escada. A.. A.. 3. 0 3 17 1 1 177 0 6 275 1 2 2. l2 l3 l4. l4. l2 l3 l4. !. 2l1 2l1 3l1 !. l4 l2. 2. 1 0 6 60 1 6 60 0 4 0 1 2 1 0 6 60 1 6 60 0 4 0 0. 3 7 0 7 3 7 0 0. 3. 17 177 0 75 1 3. 17 177 0 75 0.

(27) 18. 1.3.. 2. tica igual a 2,. c(A) = 2: ". 8. Dada a matriz. C. métrica. B. e está em escada reduzida. Tem caraterís-. #. 1 2 A= 3 5 A = B + C:. , determine uma matriz simétrica. B. e uma matriz antissi-. tais que. Resolução: Se. 3. 0 3 1 7 1 7 1 77 0 0 0 75 0 0 0. 1 6 6 0 6 6 4 0 0. Esta matriz está em escada. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. B. é uma matriz simétrica, então. antissimétrica, então. C=. ". 0. d. 0. d. ". #. =. ". . Como. #. 1 2 = 3 5. ". a b b c. # .. Analogamente se. C. é uma matriz. A = B + C , então. a b b c. #. ". + 0d d0. #. ou seja. 8 > > > > <. 1=a 2=b+d > 3=b d > > > : 5=c ". Logo. 1 5 =2 B= 5=2 5. , #. 8 > > > > < > > > > :. a=1 b=2 d 3=2 d d c= 5. eC=. ". 0. 1= 2. 1= 2 0. ,. 8 > > > > < > > > > :. a=1 b = 2 d = 2 + 1=2 = 5=2 d = 3 22 = 1=2 c= 5. #. 1.3.1 Aplicação: tratamento de imagens A letra. N. da gura 1.1 está determinada por 8 pontos ou vértices.. Figura 1.1: letra N.

(28) CAPÍTULO 1.. MATRIZES. 19. As coordenadas desses pontos podem guardar-se numa matriz de dados,. D.. vertice. D=. Coordenada x Coordenada y. ". 1 2 3 4 5 6 7 8# 0 0:5 6 5:5 :5 0 5:5 6 0 0 0 1:58 6:42 8 8 8. Além desta matriz seria necessária outra matriz onde se especicasse quais os vértices que estavam ligados por meio de linhas, mas neste exemplo vamos omitir essa matriz.. ". D. Qual o efeito de multiplicar. pela matriz. 1 0:25 A= 0 1. #. ?. Utilizando a denição de. multiplicação de matrizes, tem-se:. ". #. 0 0:5 6 5:895 2:105 2 7:5 8 AD = 0 0 0 1:580 6:420 8 8 8 ou seja efetuamos uma rotação à letra. N. (ver gura 1.2).. Figura 1.2: letra N inclinada. ". Qual será agora o efeito de multiplicar. AD. pela matriz. S. = 0:075 01. # ?. Utilizando a. denição de multiplicação de matrizes, tem-se:. ". #. 0 0:375 4; 5 4:42125 1; 57875 1:5 5; 625 6 S (AD) = SAD = 0 0 0 1:580 6:420 8 8 8 ou seja diminuímos a abertura da letra. N. inclinada (ver gura 1.3).. Figura 1.3: transformação composta de N.

(29) 20. 1.4.. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 1.4 Exercícios propostos 2 1. Dadas as matrizes. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.. 3. A=6 4. A+B AB BA A2 + 2A 21 B A B B B T + A + 3I3 :. 2. 3. 1 1 0 1 0 4 7 6 0 2 1 5 e B = 4 2 6 0 75 ; 1 0 3 1 2 8. 2. 3. 2. calcule:. 3. 2 3 1 1 0 1 6 7 6 A = 4 0 1 2 5 eB = 4 2 1 1 7 5 1 2 3 1 1 0. 2. Dadas as matrizes. , mostre que se vericam as. condições: 2.1. 2.2.. ( A + B )T = A T + B T (AB )T = B T AT. 3. Dadas as matrizes. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.. A=. ". 1 0 1 2 1 1. A=. ". ,. 1 B= 2. 0 2 4 1 2 0. 5. Mostre que a expressão. Y 2. 6. Considere a matriz. 2. #. B.. e. # ,. C=. ". 3 1. = X 2 + 5X + 2I. #. , calcule. se anula para. 3. A2 e A3 : 2 Calcule a matriz A + A I. 4 5 6 2 Deduza A , A e A em função de A , A e I .. ". 1 eD= 1. # , calcule. 3. 0 1 6 B=4 0 1 7 5 2 3. 0 0 1 6 A=4 2 1 0 7 5: 1 0 0. 6.1. Calcule as matrizes. 6.3.. ". BT A C T A + DT A T AT B B T (C + D ). 4. Dadas as matrizes. 6.2.. #. X=. ". X. tal que. 1 1 2 4. # .. 2AT + 2X =.

(30) CAPÍTULO 1.. 7. Sejam. A. MATRIZES. 21. 2 M23(R), B 2 M32(R) e C 2 M33(R): Quais das seguintes operações são. possíveis?. A + B; A B; B C;. 2A;. ". 8. Verique se são permutáveis as matrizes. 5B:. B #. 1 15 A= 10 4. eB=. ". 2 3 2 1. #. :. 9. Determine " # todas as matrizes quadradas de ordem 2 que sejam permutáveis com a matriz. 1 1 0 1. : 2. 3. 2. 3. 1 2 0 0 1 2 6 7 6 A=4 3 1 4 5 eB=4 1 2 3 7 5: 1 2 3 1 0 0 (A + B )2 e A2 + 2AB + B 2:. 10. Considere as matrizes. 10.1. Calcule. 10.2. Que condições deveriam satisfazer as matrizes quadradas. B )2 = A2 + 2AB + B 2 ? 2. A=. 11. Dadas as matrizes. que a matriz. 3. 2 1 1 3 75 0 4. 6 4. eB=. ". a. 1. A B seja simétrica.. 1. 13. Considere a matriz. M. =. ". 1 1 2 2. 8. c. ". 12. Verique que duas quaisquer matrizes da forma são dois números reais.. b. AeB. # , determine. a b b a. de modo que. (A +. a, b, c 2 R de modo. # são permutáveis, onde. aeb. #. :. M 2 . Verique que M 2 = M . 3 4 Calcule M e M em função de e M .. 13.1. Calcule 13.2.. 13.3. Deduza da alínea anterior a expressão genérica de. ". 14. Deduza. An ,. sendo. 1 2 A= 0 1. #. :. 15. Uma matriz quadrada diz-se idempotente se. 2. 15.2. Prove que se 16. Mostre que matriz. A.. 3. 2 2 4 6 4 75 4 1 3 1 2 3 AB =A e BA=B. 15.1. Mostre que a matriz. M n.. A2 = A. é idempotente.. , então. A e B são idempotentes.. A AT e AT A são expressões com signicado qualquer que seja a ordem da.

(31) 22. 1.4.. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. A e B duas matrizes quadradas de ordem n simétricas. Prove que A B é simétrica sse A e B são permutáveis (aplique as propriedades da transposição).. 17. Sejam. 18. Determine a caraterística das matrizes:. 2. 3. 1 2 3 6 A = 41 1 17 5 0 1 2 19. Determine para que valores de. 2 6 4. 1 1 1 1. x y. 3. 2. x y7 5. 1 1 1 x 175 1 1 x. x. (b). 1. 6 4. 3. x. 2. 3. 1 0 1 6 B = 41 1 07 5 0 1 1 e/ou de. y. 1.4.1 Soluções 2. 1. 1.1.. 1.2.. 1.3.. 1.4.. 1.5.. 1.6.. 0 6 A+B =4 2 2 2 3 6 AB =4 3 2 2 5 BA=6 4 2 9. 3. 1 4 8 1 75 2 11 3 6 4 14 8 75 6 20 3 1 12 10 6 75 5 26 2 3 2 9 3 A2 + 2A 12 B = 6 18 13 75 4 2 6 7 29 2 3 2 1 4 A B=6 4 1 75 4 2 0 2 5 2 3 21 3 33 7 B B T + A + 3I3 = 6 4 2 45 11 5 32 10 75 2. 2. 2.1.. 2.2.. 3. 1 2 2 6 T T T (A + B ) = A + B = 4 3 2 1 75 2 3 3 2 3 5 4 2 (AB )T = B T AT = 64 4 3 1 75 5 1 1. 2. 3. 1 1 1 6 C = 42 2 27 5 3 3 3. as matrizes têm caraterística máxima:. (a).

(32) CAPÍTULO 1.. 3. 3.1.. 3.2.. MATRIZES. BT A =. h. 3 2. C T A + DT A. 1. i. 2. T. 2. 23. = 64. 3. 3 6 T A B=4 2 7 5 1 B T (C + D) = [4] 2 3 0 3= 2 7 X=6 4 2 5 =2 5 5 3 =2. 3. 4 0 75 4. 3.3.. 3.4.. 4.. 5.. Y = X 2 + 5X + 2 I = 2. ". #. 0 0 0 0. .. 3. 2. 3. 1 0 0 0 0 1 6 7 3 6 2 A =4 2 1 2 5A =4 4 1 2 7 5 0 0 1 1 0 0 A2 + A I = A3 A4 = 2A2 I A5 = 2A2 + A 2I e A6 = 3A2 2I A B; 2A B 5B " # 28 18 AeB AB =BA= 12 34. 6. 6.1.. 6.2.. 6.3.. ,. 7. Operações possíveis:. 8.. e. .. são permutáveis:. " 9. Matrizes da forma:. 2 10. 10.1.. 10.2.. (A + B )2 = 64. a b 0 a. .. #. .. a; b 2 R.. , com. 3. 3 10 25 10 29 46 75 0 6 19. ,. 2. A2 + 2AB + B 2 = 6 4. A e B teriam de ser permutáveis. 2. 11. Se. a. = 17=2; b = 6 e c = 15=2. simétrica. 12.. ". 13. 13.1.. 13.2.. #. 3 3 = 3M M2 = 6 6 M 3 = 32 M e M 4 = 33 M .. .. , a matriz. AB. = 64. 3. 0 8 19 19 28 38 75 6 11 23 18 11=2 4. 3. 11=2 4 47=2 30 75 30 32. , logo é.

(33) 24. 1.4.. 13.3.. 14.. M n = 3n 1 M . ". 1 2n An = 0 1. #. :. 15. 16. 17. 18.. c(A) = 2, c(B ) = 3; c(C ) = 1. 19. 19.1. 19.2.. x 6= y. x 2 Rnf 2; 1g.. EXERCÍCIOS PROPOSTOS.

(34) Capítulo 2. Determinantes Denição 2.1 Seja A uma matriz quadrada. Designa-se por determinante de A e representase por jAj ou det(A) à soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, xados os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou -, conforme a permutação dos segundos índices seja par ou ímpar.. Obs: 9 Na prática esta denição é de difícil aplicação e por isso surgiram algumas regras práticas de cálculo de determinantes. 1. Só de denem determinantes de matrizes quadradas, sendo o seu valor um número real. 2. Seja A = [a11 ], então jAj = a11 . 3. Seja A =. ". #. a11 a12 : Então, jAj = a11 a22 a12 a21 : a21 a22 2. 3. a11 a12 a13 6 4. Seja A = 4 a21 a22 a23 7 5 : Então para calcular o determinante de A podemos usar a31 a32 a33 a "Regra de Sarrus" (esta regra apenas se aplica a matrizes de ordem 3): forma-se o determinante da matriz e repetem-se as duas primeiras linhas (ou as duas primeiras colunas). Considera-se a diagonal principal conjuntamente com as outras duas diagonais que lhe são paralelas, e aos produtos dos elementos que nelas guram, atribui-se o sinal +. Considera-se depois a diagonal secundária e as 2 diagonais que lhe são paralelas e, aos produtos dos elementos destas diagonais, atribui-se o sinal -. A soma algébrica dos 25.

(35) 26. produtos assim obtidos é igual a jAj. Então:

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(47). a11 a21. jAj = a31 a11. a12. & &. &. .. a21. .. a22. a23. &.. a32. a33. &.. a12 a22. 2 1 1. Seja A = 5 3.

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(59). = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 (a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21):. a13. &. ". Exemplo: 12. a13. a23 #. : Então: jAj = 6 ". 1 1 2. Considere as matrizes de ordem 2. A = 2 3 ". 3 1 A+B = 3 0 e. #. #. ( 5) = 11: ". 2 0 eB= 1 3. ; jA + B j = 0. #. : Então:. ( 3) = 3. jAj = 3 ( 2) = 5; jB j = 6 0 = 6; jAj + jB j = 1: 2. 3. 1 0 3 6 3. Seja A = 4 2 1 5 75 Então 1 1 2 jA j =.

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(69)

(70)

(71). 1 2 1 1 2. & &. &. .. 0 1 1 0 1.

(72). . &. &. &. 3

(73)

(74) 5 2.

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83). = 2 6+0+3+5 0=0. 3 5. Denição 2.2 1. Seja A uma matriz de ordem n. Designa-se por matriz complementar do elemento aij , e representa-se por Aij , a matriz que se obtém por supressão da linha li e coluna cj da matriz A. 2. Designa-se por menor complementar do elemento aij , o determinante jAij j..

(84) CAPÍTULO 2.. DETERMINANTES. 27. 3. Designa-se por complemento algébrico ou cofactor do elemento aij , e representa-se por Aij , o produto do menor complementar por ( 1)i+j , isto é,. Aij = (. 1)i+j jAij j:. Teorema 2.1 Teorema de Laplace:Seja A 2 Mnn R e i 2 f1; : : : ; ng. O determinante de uma matriz A de ordem n é igual à soma dos produtos dos elementos de uma la qualquer, por exemplo linha i, pelos respetivos complementos algébricos, ou seja:. jAj = ai1Ai1 + ai2Ai2 + : : : + ainAin =. n X k=1. aik Aik :. Obs: 10 O teorema de Laplace permite, portanto, calcular um determinante de ordem n, à custa de n determinantes de ordem n 1.. Exemplo:.

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94).

(95). 1 2 1 1

(96)

(97)

(98) 3 2 0 0

(99)

(100) . 13 Seja = 1 1 1 1

(101)

(102)

(103) 2 1 2 2

(104). Usando o teorema de Laplace para efetuar os. cálculos à custa da segunda linha, obtemos:. = 321 + 222 + 023 + 024 =

(105)

(106)

(107) 3

(108)

(109)

(110)

(111). 2 = 3( 1) 1 1

(112)

(113) 1

(114) + 0( 1)6

(115)

(116)

(117) 1

(118) 2.

(119).

(120).

(121) 1 1 1 1

(122)

(123)

(124)

(125) 4 1 1

(126)

(127) + 2( 1)

(128)

(129)

(130) 1 1

(131) 2 2 2 2

(132)

(133)

(134)

(135) 2 1 2 1

(136)

(137)

(138) 1 1

(139)

(140)

(141) = 3

(142)

(143)

(144) 1 1

(145) 1 2 1 2

(146).

(147).

(148).

(149).

(150) 1 2 1

(151)

(152) 1

(153)

(154)

(155)

(156)

(157) 1

(158)

(159) + 0( 1)5

(160)

(161) 1 1 1

(162)

(163)

(164) +

(165) 2 1 2

(166) 2

(167)

(168) 1

(169)

(170) 1

(171)

(172)

(173) = 18: 2

(174). Teorema 2.2 (propriedades dos determinantes) Sejam A; B 2 Mnn R. Então: 1. Em geral, jA + B j = 6 jA j + j B j. 2. Se os elementos de uma la (linha ou coluna) são nulos, então jAj = 0. 3. jAj = jAT j 4. Se multiplicarmos uma la por uma constante, o determinante ca multiplicado por essa constante. 5. Ao trocarmos duas las, o determinante troca de sinal. 6. O determinante de uma matriz com duas las paralelas iguais é nulo..

(175) 28. 7. O determinante de uma matriz com uma la múltipla de outra ou uma la combinação linear de outras é nulo. 8. O determinante de uma matriz A não se altera quando se adiciona a uma coluna (ou linha) de A uma combinação linear de OUTRAS colunas (ou linhas, respetivamente). 9. jA B j = jAj jB j 10. O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) ou diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.. Obs: 11. 1. Seja k 2 R e A uma matriz de ordem n. Então, jkAj = kn jAj.. 2. Um dos inconvenientes da aplicação direta do Teorema de Laplace é o facto de exigir a resolução de n determinantes de ordem n 1. No entanto, se conjugarmos as propriedades dos determinantes com o Teorema de Laplace para resolver um determinante de ordem n, podemos resolver apenas um determinante de ordem n 1. Para isso, resolve-se o determinante em duas fases: 2.1. selecionar um la qualquer e, usando as propriedades, anular os seus elementos com exceção de um, 2.2. aplicar o Teorema de Laplace a essa la.. Exemplo: 14

(176)

(177)

(178)

(179)

(180)

(181)

(182)

(183)

(184)

(185). 1 jA j = 3 1 0. 2 8 1 0.

(186). 1 1 0 1. = 1 ( 1). 0

(187)

(188)

(189) 4

(190)

(191) = 3

(192)

(193)

(194) l2 5

(195) l3.

(196)

(197)

(198) 1+1

(199)

(200)

(201)

(202).

(203).

(204).

(205). 1 2 1 0

(206)

(207)

(208) 0 2 2 4

(209)

(210) = 0 1 1 3

(211)

(212)

(213) 0 0 1 5

(214)

(215). 2 2 4

(216)

(217)

(218)

(219) 1 1 2

(220)

(221) 1 1 3

(222)

(223)

(224) = 2

(225)

(226)

(227) 1 1 3

(228)

(229)

(230) = 0 1 5

(231)

(232) 0 1 5

(233). =l. l2 + l1. 2. = 2(. l2 3l1 l3 l1.

(234)

(235)

(236)

(237)

(238)

(239)

(240)

(241)

(242)

(243).

(244)

(245). 1)1+1

(246)

(247)

(248).

(249)

(250)

(251)

(252)

(253)

(254)

(255).

(256). 1 1 2

(257)

(258) 2 0 2 5

(259)

(260)

(261) = 0 1 5

(262)

(263). 2 5

(264)

(265)

(266) = 2( 10 5) = 30: 1 5

(267).

(268) CAPÍTULO 2.. DETERMINANTES. 29. 2.1 Exercícios Resolvidos ". 1. Seja. 1 1 A= 2 2. #. Resolução:.

(269)

(270)

(271)

(272)

(273). 2 A= 4. #. 1 2. . Determine. Resolução:. jAj..

(274)

(275)

(276)

(277)

(278).

(279). j Aj = 2 4 ". 3. Sejam.

(280).

(281) jAj = 1 1

(282)

(283)

(284) = 2 2 = 0: 2 2. ". 2. Seja. j A j.. . Determine. 1 3 A= 2 4. #. Resolução:. 1

(285)

(286)

(287) = 4 ( 4) = 4 + 4 = 0: 2

(288). ". e. 2 9 B= 7 20. #. ". #. . Determine. ". j A j j B j e jA B j .. #. ". 1 3 2 9 = 23 69 AB = 2 4 7 20 32 98 jA B j = 23 98 32 69 = 46

(289)

(290)

(291)

(292)

(293).

(294).

(295). #.

(296).

(297)

(298)

(299) jAj = 1 3

(300)

(301)

(302) = 4 6 = 2; jB j =

(303)

(304)

(305) 2 9

(306)

(307)

(308) = 40 63 = 23 2 4 7 20 jAj jB j = ( 2) ( 23) = 46 = jA B j. 2. 4. Seja. 3. 1 0 3 6 A=4 2 1 5 7 5 1 1 2. . Determine. jA j.. Resolução:. j Aj =.

(309)

(310)

(311)

(312)

(313)

(314)

(315).

(316). 1 0 3

(317)

(318) 2 1 5

(319)

(320)

(321) = 2 6 + 0 + 3 + 5 0 = 8 + 8 = 0 1 1 2

(322) 1 0 3 2 1 5.

(323) 30. 2.1.. 2. 5. Seja. 3. 1 0 3 7 A=6 4 1 1 1 5 3 2 5. . Determine. Resolução:. jA j =. 2. 6. Seja. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.

(324)

(325)

(326)

(327)

(328)

(329)

(330). 1 1 3 1 1. 0 1 2 0 1. jA j.

(331). 3

(332)

(333) 1

(334)

(335)

(336) = 5 + 6 + 0 9 2 0 = 0 5

(337) 3 1. 3. 1 2 1 17 6 6 3 2 0 0 7 7 A=6 6 1 1 1 1 75 4 2 1 2 2. . Determine. jA j.. Resolução: Aplicando o teorema de Laplace à segunda linha da matriz, obtemos:.

(338)

(339)

(340)

(341)

(342)

(343)

(344)

(345)

(346)

(347).

(348). 1 2 1 1

(349)

(350)

(351)

(352) jAj = 3 2 0 0

(353)

(354) = 3A21 + 2A22 + 0A23 + 0A24 = 1 1 1 1

(355)

(356) 2 1

(357) 2 2

(358)

(359)

(360)

(361)

(362)

(363)

(364) 2 1

(365) 1 1

(366) 1 2 1

(367)

(368) 1

(369)

(370) 1

(371)

(372)

(373)

(374)

(375) = 3( 1)3

(376)

(377)

(378) 1 1 1

(379)

(380)

(381) + 2( 1)4

(382)

(383)

(384) 1 1 1

(385)

(386)

(387) + 0( 1)5

(388)

(389)

(390) 1 1 1

(391)

(392)

(393) +

(394) 1 2 2

(395)

(396) 2 2 2

(397)

(398) 2 1 2

(399)

(400)

(401)

(402)

(403)

(404) 1 2 1

(405)

(406) 2 1 1

(407)

(408)

(409)

(410)

(411) + 0( 1)6

(412)

(413)

(414) 1 1 1

(415)

(416)

(417) = 3

(418)

(419)

(420) 1 1 1

(421)

(422)

(423) = 18:

(424) 2 1 2

(425)

(426) 1 2 2

(427) 2. 7. Seja. 1 6 6 3 A=6 6 1 4 0. 3. 1 1 1 7 4 1 2 77 1 0 3 75 1 1 2. . Determine. Resolução:.

(428)

(429)

(430)

(431)

(432)

(433)

(434)

(435)

(436)

(437). 1 jA j = 3 1 0 =l. 2 l3. l2 3l1 l3 l1. jA j.

(438). 1 1 1

(439)

(440)

(441) 4 1 2

(442)

(443) = 1 0 3

(444)

(445)

(446) 1 1 2

(447)

(448)

(449)

(450)

(451)

(452)

(453)

(454)

(455)

(456)

(457). 1 0 0 0.

(458). 1 1 1

(459)

(460)

(461) 1 2 5

(462)

(463) = 0 1 2

(464)

(465)

(466) 1 1 2

(467).

(468) CAPÍTULO 2.. DETERMINANTES. =l. 31. l4 l2. 4. =l. l4 + l2. 4.

(469)

(470)

(471)

(472)

(473)

(474)

(475)

(476)

(477)

(478). 1 0 0 0. 1 1 1

(479)

(480)

(481) 1 2 5

(482)

(483) = 0 1 2

(484)

(485)

(486) 0 1 7

(487).

(488)

(489)

(490)

(491)

(492)

(493)

(494)

(495)

(496)

(497). 1 0 0 0. 1 1 1

(498)

(499)

(500) 1 2 5

(501)

(502) = 0 1 2

(503)

(504)

(505) 0 0 9

(506).

(507).

(508). = 1 1 ( 1) 9 = 9 8. Considere as matrizes:. 2. 3. 1 2 3 6 A = 40 2 37 5; 0 0 3. 2. 3. 1 1 1 6 B = 42 2 27 5; 3 3 3 P 2 M33 (R) P sendo. 2. 3. 1 2 1 6 C = 40 0 07 5; 1 1 3. 2. uma matriz invertível.. Usando as propriedades dos determinantes, calcule: 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12.. jA j. jB j . jC j. jD j. j 2 A j. 2 j A j. jA 3 j . j2 A T A j. jA T A 1 B T j. jA 1DAj. jABCDj. jP 1AP j.. Resolução:. A é uma matriz triangular, jAj = 1 2 3 = 6. Como as colunas de B são iguais, (c1;B = c2;B = c3;B ), tem-se jB j = 0. Como C tem uma linha nula, jC j = 0. Como D é uma matriz diagonal, jD j = 1 2 1 = 2.. 8.1. Como 8.2. 8.3. 8.4.. 3. 1 0 0 6 D = 40 2 07 5; 0 0 1.

(509) 32. 2.1.. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12.. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. j 2Aj = ( 2)3jAj = 8 6 = 48. 2jAj = 2 6 = 12. jA3j = (jAj)3 = 63 = 216. j2AT Aj = 23jAT j jAj = 8jAj jAj = 8 6 6 = 288. jAT A 1B T j = jAT j jA 1j jB T j = jAj 1=jAj jB j = jB j = 0. jA 1DAj = jA 1j jDj jAj = 1=jAj jDj jAj = jDj = 2. jABCDj = jAj jB j jC j jDj = 6 0 0 2 = 0. jP 1AP j = jP 1j jAj jP j = 1=jP j jAj jP j = jAj = 6.. 2.1.1 Aplicação: Cálculo de áreas ou volumes A é uma matriz quadrada de ordem 2, a área do paralelogramo determinado pelas colunas de A é jdet(A)j. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, o volume do paralelepípedo determinado pelas colunas de A é jdet(A)j. Se. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos pontos. ( 2; 2) (0; 3) (4; 1) (6; 4) ,. ,. e. .. Figura 2.1: paralelograma. Primeiro vamos determinar os vetores que denem o paralelogramo. exemplo, o vértice. ( 2; 2). u = (0; 3). Para isso xemos, por. e obtemos os vetores. ( 2; 2) = (2; 5). e v = (4;. 1) ( 2; 2) = (6; 1) ". 2 6 A= 5 1 jdet(A)j = j2 30j = 28. O paralelogramo é, então, determinado pelas colunas de Logo a área do paralelogramo é igual a. .. # ..

(510) CAPÍTULO 2.. DETERMINANTES. 33. 2.2 Exercícios propostos 1. Calcule os seguintes determinantes:.

(511)

(512)

(513)

(514)

(515)

(516)

(517).

(518) 1 2 3

(519) 2 8

(520) jA j = 3 1

(521)

(522) ; jB j = 32 11 52

(523)

(524)

(525)

(526)

(527).

(528)

(529)

(530)

(531)

(532)

(533)

(534)

(535)

(536)

(537). 2. Sem efetuar o cálculo, verique que o determinante:. 3. Calcule o determinante:.

(538)

(539)

(540)

(541)

(542)

(543)

(544).

(545). 1 jC j = 3 1 2.

(546)

(547)

(548)

(549)

(550) ;

(551)

(552).

(553)

(554)

(555)

(556)

(557)

(558)

(559). 2 0 2

(560)

(561)

(562) 0 4 0

(563)

(564) 0 2 1

(565)

(566)

(567) 5 1 3

(568)

(569). 2 4 18

(570)

(571) 1 3 15

(572)

(573)

(574) 1 0 6

(575). é múltiplo de 6..

(576). 1 3 7

(577)

(578) 2 4 5

(579)

(580)

(581) 3 1 1

(582). 3.1. reduzindo-o ao cálculo de um único determinante de 2. a. ordem;. 3.2. desenvolvendo-o segundo os elementos de uma linha ou coluna.. 4. Sem efetuar o desenvolvimento, diga quais os valores de.

(583)

(584)

(585)

(586)

(587)

(588)

(589) 2 5. Seja. A=. 6 6 6 6 4. x que anulam o determinante.

(590). 2 2. 1 2x

(591)

(592) 1 3

(593)

(594)

(595) : 1 3

(596). x2. 3. 1 2 1 1 7 1 1 2 1 77 : 0 1 0 1 75 1 2 2 1. 5.1. Determine. jA j.. 5.2. Sabendo que. B. = 2A. , determine. 1. jB j ,. utilizando exclusivamente as propriedades dos. determinantes.. 6. Utilizando as propriedades dos determinantes, mostre que.

(597)

(598)

(599)

(600)

(601)

(602)

(603). y x z x z y z y x.

(604)

(605)

(606)

(607)

(608)

(609)

(610). =0. se. x+y+z =0.

(611) 34. 2.2.. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 7. Diga se é verdadeira ou falsa a proposição.

(612)

(613)

(614)

(615)

(616)

(617)

(618)

(619)

(620)

(621). 8. Sabendo que.

(622)

(623)

(624)

(625)

(626)

(627)

(628). a b c.

(629). 0 0 0

(630)

(631)

(632) 0 0 b 0

(633)

(634) = 0 c 0 0

(635)

(636)

(637) 0 0 0 d

(638). a. abcd:.

(639). 1 1

(640)

(641) 0 1

(642)

(643)

(644) = 1 3 1

(645). , calcule o determinante da matriz. 2. A=6 4. 9. Verique a igualdade.

(646)

(647)

(648)

(649)

(650)

(651)

(652). 1 1 1. a b c a2 b2 c2.

(653)

(654)

(655)

(656)

(657)

(658)

(659). m. 1 3 3a. 1 m m 3. 0 3b. = (c b)(c. 1 3c. 1. 3 7 5:. a)(b a):. 10. Recorrendo exclusivamente às propriedades dos determinantes, mostre que.

(660)

(661)

(662)

(663)