Palavras chave--Linhas de transmissão, transitórios eletromagnéticos, modelos a parâmetros discretos, modelos a parâmetros distribuídos.
Resumo--Será apresentada uma técnica que elimina as componentes de alta frequência resultantes da representação de linhas de transmissão por elementos discretos de circuitos. O método proposto consiste de um filtro digital do tipo FIR (Finite Impulse response). Para comprovar a eficiência do filtro, são mostrados resultados de simulações da energização de uma linha que foi representada por meio de uma cascata de circuitos π, por meio de um modelo a parâmetros distribuídos e por meio de um modelo constituído de uma cascata de circuitos π e de um filtro FIR. Verificou-se que os resultados obtidos com o ultimo modelo descrito e com o modelo a parâmetros distribuídos são praticamente idênticos, sendo que o conjunto cascata de circuitos
π/filtro FIR possui a vantagem de ser implementado diretamente
no domínio do tempo enquanto que no modelo a parâmetros distribuídos a resposta no domínio do tempo foi obtida utilizando transformadas inversa de Laplace.
I. INTRODUÇÃO
MA das mais importantes características de uma linha de transmissão, e que deve ser levada em consideração em análises de transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica, é o fato de que os parâmetros longitudinais e transversais da linha são distribuídos ao longo do comprimento da mesma [1]. Neste tipo de análise, somente o fato de que os parâmetros da linha são distribuídos ao longo de seu comprimento explica o comportamento das tensões e correntes durante a ocorrência de faltas e/ou operações de manobras e chaveamentos que ocorrem na linha.
As equações de correntes e tensões ao longo de uma linha de transmissão podem ser obtidas, no domínio da freqüência, a partir das equações diferenciais da mesma. Neste modelo de linha, desenvolvido no domínio da freqüência, é possível
Este trabalho recebeu suporte financeiro do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).
S. Kurokawa e A. Akira Shinoda são docentes no Departamento de Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Ilha Solteira, Brasil (e-mail: kurokawa@dee.feis.unesp.br, shinoda@dee.feis.unesp.br).
M. Gadelha da Silveira e J. R. A. Rossi Filho são alunos do curso de graduação em Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Ilha Solteira, Brasil (e-mail: mauricio_gadelha@hotmail.com, joaorossifilho@hotmail.com).
incluir facilmente o fato de que os parâmetros da linha são distribuídos ao longo do comprimento da mesma e também é possível levar em consideração que os parâmetros longitudinais da linha são variáveis em função da freqüência [2].
O modelo de linha descrito no parágrafo anterior não é amplamente utilizado devido ao fato de que o mesmo fornece a resposta no domínio da freqüência, sendo que somente após a utilização de transformadas inversas de Fourier e/ou de Laplace é possível obter a resposta no domínio do tempo [2]. Outra desvantagem de modelos de linhas desenvolvidos no domínio da freqüência é que tais modelos dificultam a inclusão de elementos não lineares (tais como pára-raios, chaves e disjuntores) no sistema [3]. Modelos desenvolvidos no domínio da freqüência também não são utilizados devido ao fato de que os mais reconhecidos softwares de simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica, tais como o Electromagnetic Transients Program (EMTP) e o Alternative Transients Programs (ATP), são desenvolvidos diretamente no domínio do tempo [3].
Desde a década de 60, diversos pesquisadores trabalham no desenvolvimento de modelos de linhas de transmissão que forneçam a resposta direto no domínio do tempo, sendo que atualmente existem diversos modelos deste tipo. Como exemplo de um modelo desenvolvido diretamente no domínio do tempo pode-se citar os modelos de linha a parâmetros discretos. Estes modelos consideram que um segmento de linha de pequeno comprimento pode ser representado por elementos discretos de circuitos na forma de um circuito π, sendo então possível representar a linha por meio de uma grande quantidade de circuitos π conectados em cascata [4]. Neste modelo, as correntes e tensões em cada um dos circuitos π da cascata representam as correntes e tensões ao longo da linha. As correntes e tensões ao longo da cascata de circuitos π são escritas na forma de equações de estado que são integradas por meio de métodos numéricos.
A representação de linhas de transmissão monofásica por meio de uma cascata de circuitos π permite obter resultados diretamente no domínio do tempo e pode ser facilmente inserido em programas do tipo EMTP/ATP. Outra vantagem deste modelo é que o mesmo é facilmente implementado em qualquer linguagem computacional, fato este que permite a realização de simulações de transitórios em linhas de transmissão sem a necessidade de se utilizar softwares do tipo
Eliminação das Oscilações Espúrias Resultantes
da Representação de Linhas de Transmissão por
meio de Elementos Discretos de Circuitos
Sérgio Kurokawa, Ailton A. Shinoda, Maurício G. da Silveira e João Ricardo A. Rossi Filho
EMTP/ATP. Este tipo de modelo produz bons resultados quando utilizado para representar a linha em simulações de transitórios resultantes de operações de manobras e chaveamentos que ocorrem na mesma [4].
O modelo em que a linha é representada por meio de elementos discretos de circuitos, no entanto, apresenta como desvantagem o fato de que a resposta obtida com o mesmo possui uma resposta oscilatória de alta freqüência que não corresponde ao que ocorre em uma linha real. Esta componente oscilatória independe do método de integração numérico utilizado [5] e não está presente quando as simulações são realizadas com um modelo que considera o fato de que os parâmetros da linha são distribuídos ao longo de seu comprimento [6].
Para eliminar as oscilações de altas freqüências, presentes na resposta obtida com a representação da linha por meio de uma cascata de circuitos π, neste artigo é proposto a utilização de um filtro digital do tipo FIR (Finite Impulse Response). Os resultados obtidos mostram que o filtro proposto elimina as oscilações de alta freqüência presentes na resposta, sem alterar o comportamento da mesma.
II. REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA POR MEIO DE UMA CASCATA DE CIRCUITOS Π
Sabe-se que uma linha de transmissão monofásica pode, em algumas situações, ser representada por meio de uma grande quantidade de circuitos π conforme mostra a Fig. 1, onde uma linha de transmissão monofásica de comprimento d é representada por meio de n circuitos π [4].
Fig. 1. Linha monofásica representada por uma cascata de circuitos π.
Na Fig. 1, os elementos R, L, G e C são escritos como sendo: ) 1 ( ' ; ' ; ' ; ' n d C C n d G G n d L L n d R R= = = =
Em (1) R’ e L’ são os parâmetros longitudinais da linha em Ω/km e H/km, respectivamente, enquanto que G’ e C’ são os parâmetros transversais em S/km e F/km. O termo d é o comprimento da linha e n é quantidade de circuitos π utilizados para representar a linha.
A Fig. 2 mostra a corrente longitudinal ik(t), que percorre a
resistência e a indutância, e a tensão transversal vk(t) no
k-ésimo circuito π da cascata mostrada na Fig. 1.
É possível escrever as correntes longitudinais e as tensões transversais ao longo da cascata de circuitos π mostrada na Fig. 1 na forma de equações de estado. Deste modo, obtém-se:
) 2 ( ) t ( u ] B [ ] X [ ] A [ ] X [ = + •
Em (2), [A] e [B] são as matrizes de estado, [X] é o vetor
com as variáveis de estado, •
]
[ X é o vetor com as derivadas, em relação ao tempo, das equações de estado e u(t) é a entrada aplicada no sistema.
Fig. 2. Corrente e tensão no k-ésimo circuito π da cascata.
Escolhendo as correntes longitudinais e as tensões transversais em cada um dos circuitos π que constituem a cascata mostrada na Fig. 1, é possível escrever o vetor [X] como sendo:
[
() () () () () ()]
(3)]
[X T =i1 t i2 t in t v1t v2 t vn t
Em (3) [X]T é o vetor [X] transposto, enquanto que [A] e [B] são as matrizes de estado do circuito [4].
As correntes e tensões ao longo da linha são obtidas a partir da integração de (2), processo este que pode ser realizado por meio de métodos numéricos [5].
III. FILTRO FINITE IMPULSE RESPONSE (FIR)ZERO-PHASE
Em aplicações de tempo real devem-se empregar os filtros do tipo causal, onde a saída y(n) é função somente das entradas anteriores z(n-k), k=0,1,2... Uma propriedade inerente dos filtros causais é a introdução do deslocamento de fase. Um meio de combater essa característica indesejável é projetar o filtro de forma que o deslocamento de fase seja linear, ou aproximadamente linear na faixa de passagem de frequência, resultando no mesmo tempo de atraso para todas as componentes de freqüências [7].
Não havendo a obrigatoriedade da utilização do filtro causal, é possível realizar a filtragem de forma a evitar o deslocamento de fase. É o caso das aplicações de pós-processamento [8]. Também em aplicações de tempo real os sinais muitas vezes podem ser processados em amostras de comprimento N, e nesse caso o processamento não requer uma filtragem causal [9].
Em aplicações onde o pós-processamento é factível, a implementação do filtro com fase nula é simples. Como a resposta em frequência de um filtro H(z) é dado por H(e jω) e a fase por ϕH(ω)=arg(H(e jω)), isto significa que a fase de uma
componente espectral de frequência ω1 é deslocada por um
ângulo ϕH(ω1) quando o filtro é aplicado na entrada com
sequência direta temporal do tipo:
𝑦𝑦(𝑛𝑛) = ℎ(0)𝑧𝑧(𝑛𝑛) + ℎ(1)𝑧𝑧(𝑛𝑛 − 1) + ⋯ + ℎ(𝑛𝑛)𝑧𝑧(0) (4) 𝑛𝑛 = 0,1, … , 𝑁𝑁 − 1
Em (4), z(n) é a n-ésima amostra do sinal de entrada e h(n)
G/2 R L G C R L G C R L G C G/2 C/2 C/2 R L ik(t) G/2 C/2 G/2 C/2 vk(t)
a n-ésima resposta impulsiva discreta (coeficiente) do filtro. Por simetria, se o filtro é aplicado no tempo reverso, de acordo com (5), têm-se:
𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝑛𝑛) = ℎ(0)𝑧𝑧(𝑛𝑛) + ℎ(1)𝑧𝑧(𝑛𝑛 + 1) + ⋯
+ ℎ(𝑁𝑁 − 1 − 𝑛𝑛)𝑧𝑧(𝑁𝑁 − 1) (5) 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁 − 1, 𝑁𝑁 − 2, … ,0
a fase da componente espectral ω1 é deslocado pelo ângulo
-ϕH(ω1), enquanto a magnitude da resposta em frequência
permanece a mesma da filtragem original (sem a reversão do tempo). Portanto, a FIR zero-phase pode ser obtida com o uso do filtro H(z) em dobro: na primeira vez no tempo reverso seguido pela filtragem no tempo direto. O processo envolve duas etapas de filtragem, descritas a seguir:
• Dada uma sequência 𝑧𝑧(𝑛𝑛), 𝑛𝑛 = 0,1, … , 𝑁𝑁 − 1
• Aplica-se a filtragem reversa no tempo de acordo com (5), gerando a sequência 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑛𝑛), 𝑛𝑛 = 0,1, … , 𝑁𝑁 − 1
• Aplica-se a filtragem direta no tempo na sequência 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑛𝑛)
A saída final y(n) é dada por
𝑦𝑦(𝑛𝑛) = ℎ(0)𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑛𝑛) + ℎ(1)𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑛𝑛 − 1) + ⋯
+ ℎ(𝑛𝑛)𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑛𝑛 − 1), 𝑛𝑛 = 0,1, … , 𝑁𝑁 − 1 (6) A transformada de Fourier de (6) é
𝑌𝑌(𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝐻𝐻(𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗)𝐻𝐻(𝑟𝑟−𝑗𝑗𝑗𝑗)𝑍𝑍(𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗) = �𝐻𝐻(𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗)�2𝑍𝑍(𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗) (7) Assim, de acordo com (7), as componentes espectrais do sinal de entrada não sofrem nenhum tipo de deslocamento de fase (fase nula).
IV. APLICAÇÃO DO FILTRO NOS ELEMENTOS DO VETOR [X] Para aplicar o filtro no vetor [X], descrito em (3), considere as seguintes condições [10]:
• Ordem do filtro M
• Número de amostra por segmento 𝑁𝑁 ≥ 3𝑀𝑀 • K segmentos de N amostras
Assim (5) pode ser expresso como
𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 (𝑛𝑛) = � ℎ(𝑙𝑙)𝑧𝑧𝑘𝑘(𝑛𝑛 + 𝑙𝑙) (8) 𝑀𝑀−1
𝑙𝑙=0
onde 𝑧𝑧𝑘𝑘(𝑛𝑛) indica a n-ésima amostra do k-ésimo segmento. Expressando os coeficientes do filtro na forma vetorial têm-se:
[𝐻𝐻] = [ℎ(0) ℎ(1) ⋯ ℎ(𝑀𝑀 − 1)] (9) Criando a matriz das amostras do k-ésimo segmento de
[𝑍𝑍𝑘𝑘], obtém-se: [𝑀𝑀𝑍𝑍𝑘𝑘] = � 𝑧𝑧 𝑘𝑘(0) ⋯ 𝑧𝑧𝑘𝑘(𝑁𝑁 − 1) ⋮ ⋱ ⋮ 𝑧𝑧𝑘𝑘(𝑀𝑀 − 1) ⋯ 𝑧𝑧𝑘𝑘(𝑁𝑁 + 𝑀𝑀 − 2)� (10) sendo 𝑧𝑧 𝑘𝑘(𝑁𝑁 + 𝑗𝑗) = 𝑧𝑧𝑘𝑘+1(𝑗𝑗) 𝑧𝑧𝐾𝐾(𝑁𝑁 + 𝑗𝑗) = 0, 𝑗𝑗 = 0, … , 𝑀𝑀 − 1 A partir de (9) e (10) é possível obter:
[𝑌𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 ] = [𝐻𝐻][𝑀𝑀𝑍𝑍𝑘𝑘] = [𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 (0) ⋯ 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 (𝑁𝑁 − 1)] (11) Portanto (8) e (11) são equivalentes.
A equação (6) pode ser expressa como sendo:
𝑦𝑦𝑘𝑘(𝑛𝑛) = � ℎ(𝑙𝑙)𝑦𝑦
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 (𝑛𝑛 − 𝑙𝑙) (12) 𝑀𝑀−1
𝑙𝑙=0
A matriz das amostras do k-ésimo segmento de [𝑌𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 ] será escrita como sendo:
[𝑀𝑀𝑌𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 ] = � 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 (0) ⋯ 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 (𝑁𝑁 − 1) ⋮ ⋱ ⋮ 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 (−𝑀𝑀 + 1) ⋯ 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 (𝑁𝑁 − 𝑀𝑀) � (13) onde 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑘𝑘 (−𝑗𝑗) = 𝑦𝑦 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘−1(𝑁𝑁 − 𝑗𝑗) 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟1 (−𝑗𝑗) = 0, 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑀𝑀 − 1 A partir de (9) e (13), é possível escrever (12) na forma vetorial como sendo:
[𝑌𝑌𝑘𝑘] = [𝐻𝐻][𝑀𝑀𝑌𝑌
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 ] = [𝑦𝑦𝑘𝑘(0) ⋯ 𝑦𝑦𝑘𝑘(𝑁𝑁 − 1)] (14) Aplicando a filtragem para os elementos do vetor [𝑋𝑋], em (3), têm-se:
�𝐻𝐻𝑖𝑖𝑗𝑗� = �ℎ𝑖𝑖𝑗𝑗(0) ℎ𝑖𝑖𝑗𝑗(1) ℎ𝑖𝑖𝑗𝑗(2) ⋯ ℎ𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑀𝑀 − 1)� (15) Em (15) �𝐻𝐻𝑖𝑖𝑗𝑗� é o vetor de coeficientes do filtro associado a corrente 𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑡𝑡), 𝑗𝑗 = 1 … 𝑛𝑛.
A matriz da corrente 𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑡𝑡) discretizada no k-ésimo segmento, �𝐼𝐼𝑗𝑗𝑘𝑘�, pode ser expresso como sendo:
�𝑀𝑀𝐼𝐼𝑗𝑗𝑘𝑘� = �
𝑖𝑖𝑗𝑗𝑘𝑘(0) ⋯ 𝑖𝑖𝑗𝑗𝑘𝑘(𝑁𝑁 − 1)
⋮ ⋱ ⋮
𝑖𝑖𝑗𝑗𝑘𝑘(𝑀𝑀 − 1) ⋯ 𝑖𝑖𝑗𝑗𝑘𝑘(𝑁𝑁 + 𝑀𝑀 − 2)
� (16) A filtragem reversa de �𝐼𝐼𝑗𝑗𝑘𝑘� pode ser obtida a partir de (15) e (16), ou seja:
��𝑌𝑌𝐼𝐼𝑗𝑗�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 � = �𝐻𝐻𝑖𝑖𝑗𝑗��𝑀𝑀𝐼𝐼𝑗𝑗𝑘𝑘� (17) A matriz de ��𝑌𝑌𝐼𝐼𝑗𝑗�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 � , �𝑀𝑀�𝑌𝑌𝐼𝐼𝑗𝑗�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 �, pode ser determinada
de forma análoga a equação (13).
A filtragem direta de ��𝑌𝑌𝐼𝐼𝑗𝑗�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 � , FIR zero-phase, é dada por:
��𝑌𝑌𝐼𝐼𝑗𝑗�𝑘𝑘� = �𝐻𝐻𝑖𝑖𝑗𝑗� �𝑀𝑀�𝑌𝑌𝐼𝐼𝑗𝑗�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 � (18) Similarmente, aplicando o mesmo procedimento as tensões 𝑟𝑟1(𝑡𝑡), 𝑟𝑟2(𝑡𝑡), … , 𝑟𝑟𝑛𝑛(𝑡𝑡) , têm-se:
��𝑌𝑌𝑉𝑉𝑗𝑗�𝑘𝑘� = �𝐻𝐻𝑟𝑟𝑗𝑗� �𝑀𝑀�𝑌𝑌𝑉𝑉𝑗𝑗�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 � (19) Assim a filtragem FIR zero-phase de (3), pode ser expresso como uma combinação de (18) e (19), resultando em: [𝑋𝑋𝑘𝑘]𝑇𝑇 = �[(𝑌𝑌𝐼𝐼
1)𝑘𝑘] ⋯ [(𝑌𝑌𝐼𝐼𝑛𝑛)𝑘𝑘] ⋯ [(𝑌𝑌𝑉𝑉1)𝑘𝑘] ⋯ [(𝑌𝑌𝑉𝑉𝑛𝑛)𝑘𝑘]� (20) V. RESULTADOS OBTIDOS
Para verificar a eficiência do filtro Finite Impulse Response (FIR), foram utilizados resultados da simulação do processo de energização de uma linha monofásica com 100 km de comprimento, conforme mostra a Fig. 3.
Fig. 3. Energização de uma linha monofásica.
A linha monofásica mostrada na Fig. 3 possui os seguintes parâmetros: R' = 0,05 Ω/km, L' = 1 mH/km, C' = 11,11 ηF e G' = 0,556 µS/km.
A linha foi energizada por uma fonte de tensão v(t) considerando o terminal B em aberto, em curto-circuito e alimentando uma carga de alta impedância.
Para a linha com o terminal B em aberto e em curto circuito foi considerado que v(t) é uma fonte de tensão de valor constante igual 20 kV. No caso em que a linha alimenta uma carga de alta impedância, considerou-se que v(t) é uma fonte de tensão cossenoidal de amplitude igual a 20 kV.
A linha foi representada por uma cascata com 100 circuitos π com e sem a presença do filtro FIR. No caso em que a linha foi representada pela cascata de circuitos π sem a presença do filtro, o modelo foi denominado modelo π clássico. A representação em que os resultados obtidos com a cascata de circuitos π foram filtrados pelo filtro FIR foi denominada modelo π com filtro. Também foram obtidos resultados utilizando o Universal Line Model (ULM) [11], que é um modelo de linha desenvolvido no domínio da freqüência bastante utilizado para analisar a performance de outros modelos de linha.
A. Comparação entre os modelos π clássico e com filtro
A Fig. 4 mostra a tensão no terminal B da linha em aberto.
Fig. 4. Tensão no terminal da linha em aberto obtida com o modelo π clássico (curva 1 em azul) e com o modelo π com filtro (curva 2 em vermelho).
A Fig. 4 mostra que quando se utiliza o modelo π clássico, em simulações da energização da linha em aberto, os resultados apresentam componentes de alta frequência (curva 1 em azul). Estas componentes são eliminadas quando se utiliza o modelo π com filtro (curva 2 em vermelho). Observa-se também que a utilização do filtro não produz nenhum deslocamento de fase na resposta.
A Fig. 5 mostra a corrente no terminal B da linha, considerando que este terminal está em curto-circuito. A curva 1 mostra a corrente obtida com o modelo π clássico (curva 1 em azul) e com o modelo π com filtro (curva 2 em vermelho).
Fig. 5. Corrente no terminal da linha em curto obtida com o modelo π clássico (curva 1 em azul) e com o modelo π com filtro (curva 2 em vermelho).
Observa-se na Fig. 5 que em simulações da energização da linha com o terminal B em curto a utilização do modelo π clássico também resulta em oscilações de alta frequência que são eliminadas quando se utiliza o modelo π com filtro. verifica-se também que a utilização do modelo π com filtro não produz deslocamento de fase na resposta.
A Fig. 6 mostra a tensão no terminal B da linha quando a mesma alimenta uma carga de alta impedância. neste caso, a linha foi energizada com uma fonte cossenoidal com
0 1 2 3 4 5 -10 0 10 20 30 40 50 Tempo (ms) Tens ão (kV) 0 0.5 1 1.5 2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Tempo (ms) Corrente (A) A B v(t) (1) (1) (2) (2)
amplitude de 20 kV. A curva 1 (azul) mostra o resultado obtido com o modelo π clássico e a curva 2 (vermelho) mostra o resultado obtido com o modelo π com filtro.
Fig. 6. Tensão no terminal da linha obtida com o modelo π clássico (curva 1 em azul) e com o modelo π com filtro (curva 2 em vermelho): Linha alimentando uma carga de alta impedância.
A Fig. 6 mostra que as oscilações resultantes da utilização do modelo π clássico são eliminadas quando se utiliza o modelo π com filtro. Neste caso também não se verificou deslocamento de fase quando se utiliza o modelo π com filtro. A ausência de deslocamento de fase pode ser melhor observada nas curvas mostradas na Fig. 7.
Fig. 7. Tensão no terminal da linha obtida com o modelo π clássico (curva 1 em azul) e com o modelo π com filtro (curva 2 em vermelho): Linha alimentando uma carga de alta impedância.
B. Comparação entre o modelo π com filtro e o ULM
A Fig. 8 mostra a tensão no terminal B da linha em aberto, obtida com o modelo π com filtro (curva 1 em azul) e com o Universal Line Model (curva 2 em vermelho). os resultados mostram que os dois modelos produzem resultados praticamente idênticos, com a exceção de que no resultado obtido com o modelo π com filtro há a tendência de aparecimento de algumas oscilações à medida que o tempo aumenta. No entanto as oscilações presentes no modelo π com filtro são menores que as oscilações que aprecem nos resultados do modelo π sem filtro. verifica-se também que o
modelo π com filtro não produz nenhum deslocamento de fase nos resultados.
Fig. 8. Tensão no terminal da linha em aberto obtida com o modelo π com filtro (curva 1 em azul) e com o Universal Line Model (curva 2 em vermelho).
A Fig. 9 mostra a corrente no terminal B da linha em curto obtida com o modelo π com filtro (curva 1 em azul) e com o Universal Line Model (curva 2 em vermelho).
Fig. 9. Corrente no terminal da linha em curto obtida com o modelo π com filtro (curva 1 em azul) e com o Universal Line Model (curva 2 em vermelho).
Fig. 10. Tensão no terminal da linha obtida com o modelo π com filtro (curva 1 em azul) e com o Universal Line Model (curva 2 em vermelho): Linha alimentando uma carga de alta impedância.
0 5 10 15 20 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Tempo (ms) Tens ão (kV) 0 2 4 6 8 10 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Tempo (ms) Tens ão (kV) 0 1 2 3 4 5 -10 0 10 20 30 40 50 Tempo (ms) Tens ão (kV) 0 1 2 3 4 5 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Tempo (ms) Corrente (A) 0 5 10 15 20 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Tempo (ms) Tens ão (kV) (2) (1) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (1) (2)
Observa-se na Fig. 9 que os resultados obtidos com os dois modelos são praticamente idênticos.
A Fig. 10 mostra a tensão no terminal B da linha quando a mesma alimenta uma carga de alta impedância. Verifica-se que a utilização do modelo π (curva 1 em azul) resultou em uma resposta praticamente idêntica à que foi obtida com o Universal Line Model (curva 2 em vermelho).
VI. CONCLUSÕES
Modelos de linhas baseados em elementos discretos de circuitos (cascata de circuitos π) podem ser utilizados em simulações de transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de manobras e chaveamentos que ocorrem nas linhas. No entanto estes modelos resultam em componentes de alta frequência que não estão presentes nos resultados obtidos com o Universal Line Model.
Neste artigo foi mostrado que a utilização de um filtro FIR (Finite Impulse Response Filter) é capaz de eliminar grande parte do conteúdo de alta frequência presente na resposta da cascata de circuitos π. Verificou-se que este filtro eliminou o conteúdo de alta frequência sem provocar deslocamento de fase ou alteração considerável na amplitude da resposta.
Foram realizadas simulações da energização de uma linha com o terminal em aberto e em curto-circuito. Também foram realizadas simulações considerando a presença de uma carga de alta impedância conectada no terminal da linha.
As simulações mostraram que quando se utiliza a representação da linha por meio de uma cascata de circuitos π juntamente com um filtro FIR, os resultados obtidos se aproximam consideravelmente dos resultados obtidos com o Universal Line Model que é um modelo que leva em conta a distribuição dos parâmetros da linha ao longo de seu comprimento. Verificou-se também que o filtro FIR utilizado é bastante robusto pois o mesmo mostrou-se bastante eficiente nas três situações de energização que foram consideradas.
Deste modo este artigo mostrou que a utilização de filtros do tipo FIR pode ser utilizado para corrigir uma das principais desvantagens da representação da linha por meio de uma cascata de circuitos π, que são as oscilações indesejáveis presentes na resposta da mesma.
VII. REFERÊNCIAS
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and Systems, vol. PAS 101 No 1, pp. 147-155, Jan. 1982.
[2] A. Budner, "Introduction of frequency dependent line parameters into an electromagnetic transient program", IEEE Trans. Apparatus and
Systems, vol. PAS 89 No 1, 88-97, Jan. 1970.
[3] L. Marti, "Simulation of transients in underground cables with frequency dependent modal transformation matrices", IEEE Trans. on Power
Delivery, vol. 3 No 2, pp. 1099-1110, July 1988.
[4] S. Kurokawa, F. N. R. Yamanaka, A. J. Prado e J. Pissolato, "Inclusion of the frequency effect in the lumped parameters transmission line model: State space formulation", Electric Power Systems Research, vol. 79 No 7, pp. 1155-1163, July 2009.
[5] R. C. Silva, S. Kurokawa, A. J. Prado e J. Pissolato, "Análise de alguns métodos numéricos que podem ser utilizados em simulações de transitórios eletromagnéticos", in Proc.2010 IEEE PES Transmission
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[6] A. R. J. Araújo e S. Kurokawa, "Representação de linhas de transmissão por meio de parâmetros discretos e consequências desta aproximação", in Proc.2010 IEEE PES Transmission and Distribution Conferece and
Exposition: Latin America, pp. 1-6.
[7] A. V. Oppenheim e R.W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3nd ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 2009.
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Proc. The 3rd International IEEE -NEWCAS Conference, pp. 349-352,
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[9] A. K. Djedid e S. S. Lawson, "Design of doubly complementary filters with Approximate Linear Phase", IEE Proc. - Vision, Image and Signal, vol. 147, No 2, pp. 103-108, April 2000.
[10] P. S. R Diniz., E. A. B. Silva e S. L. Netto, Digital Signal Processing, 2nd ed., Cambridge University Press, 2010.
[11] B. Gustavsen, "Validation of frequency dependent transmission line models, IEEE Trans. on Power Delivery, Vol. 20, No 2, abril, 2005,
págs. 925-933.
VIII. BIOGRAFIAS
Sérgio Kurokawa é graduado em Engenharia Elétrica (1990) e Doutor em
Engenharia Elétrica (2003) pela Faculdade de Engenharia Elétrica e da Computação da Universidade Estadual Paulista (UNICAMP). Desde 1994 atua como Professor e Pesquisador na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista (UNESP). Suas principais áreas de interesse são transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência e modelos de linhas de transmissão para simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência.
Ailton Akira Shinoda possui graduação em Engenharia Elétrica pela
Universidade Estadual de Campinas (1986) , mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (1993) , doutorado em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (1996) e pós-doutorado pela Yokohama National University (1998). Atualmente é Professor Livre-Docente da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Tem experiência na área de Engenharia Elétrica , com ênfase em Telecomunicações. Atuando principalmente nos seguintes temas: Sistemas de Comunicacao Movel, rede sem fio, Compatibilidade Eletromagnética (EMC), FPGA e PCB.
Maurício Gadelha da Silveira é graduando em Engenharia Elétrica na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (UNESP). Suas principais áreas de interesse são transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência, desenvolvimento e aprimoramento de novos modelos de linha de transmissão e desenvolvimento de softwares para analise de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência.
João Ricardo de A. Rossi Filho é graduando em Engenharia Elétrica na
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (UNESP). Desenvolve estudos na área de processamento digital de sinais com ênfase em filtros paramétricos e simulação de sistemas não lineares de áudio.
