sen 2 (2x) sen(4x) 4x+x 2. 5) Calcule a área da região do plano limitada pela curvas de equação y = 2x 2 2

Departamento de Matem´atica

Bioengenharia e Bioqu´ımica 2a _{Frequˆencia de C´alculo I} 11 de Janeiro de 2019 Ano lectivo 2018/2019 Dura¸c˜ao: 2 horas

1) Seja f a fun¸c˜ao definida por

f(x) = x2_{(2 ln x − 5) .}

a) Estude a monotonia da fun¸c˜ao f e determine, caso existam, os pontos de extremo local de f .

b) Estude as concavidades de f e determine, caso existam, os pontos de inflex˜ao de f . 2) Mostre que

x <(1 + x2) arctg x < x + x3 para qualquer x > 0

3) Use a regra de Cauchy para calcular lim x→0 sen2_(2x) sen (4x) − 4x + x2. 4) Calcule a) Z xcos x + s arcsen5_x 1 − x2 dx; b) Z −4

tg x − 1dx; (Sugest˜ao: fa¸ca a substitui¸c˜ao tg x = t); c)

Z 2

0

1

x2_{− 2x + 2}dx; (Sugest˜ao: fa¸ca a substitui¸c˜ao x = t + 1).

5) Calcule a ´area da regi˜ao do plano limitada pela curvas de equa¸c˜ao y= 2x2 _{− 2}

e

y = x2+ x.

6) Calcule o comprimento da curva dada pelo gr´afico da fun¸c˜ao f : [0, e −1] → R definida por f(x) = 1

8ln (x + 1) − x

1) Seja f a fun¸c˜ao definida por

f (x) = x2_{(2 ln x − 5) .}

a) Estude a monotonia da fun¸c˜ao f e determine, caso existam, os pontos de extremo local de f . b) Estude as concavidades de f e determine, caso existam, os pontos de inflex˜ao de f .

1a) O dom´ınio de f ´e o conjunto

Df = {x ∈ R: x > 0} = ]0, +∞[ e a primeira derivada de f ´e dada por

f′ (x) = x2_{(2 ln x − 5)}
′ = x2
′ (2 ln x − 5) + x2(2 ln x − 5)′ = 2x (2 ln x − 5) + x2 2 x = 2x (2 ln x − 5) + 2x = 2x (2 ln x − 5 + 1) = 2x (2 ln x − 4) = 4x (ln x − 2) . Ent˜ao f′ (x) = 0 ⇔ 4x (ln x − 2) = 0 ∧ x ∈ Df ⇔ (4x = 0 ∨ ln x − 2 = 0) ∧ x ∈ ]0, +∞[ ⇔ (x = 0 ∨ ln x = 2) ∧ x ∈ ]0, +∞[ ⇔ x = 0 ∨ x = e2
∧ x ∈ ]0, +∞[ ⇔ x = e2 e do quadro de sinais x 0 e2 4x ₋ 0 + + + ln x − 2 N.D. N.D. ₋ 0 + f′ (x) N.D. N.D. ₋ 0 + f (x) N.D. N.D. _ց Min _ր

conclui-se que a fun¸c˜ao f ´e decrescente em0, e2_{, ´e crescente em e}2_{, +∞ e tem um m´ınimo local} no ponto x = e2.

1b) Calculando a segunda derivada de f tem-se f′′ (x) = (4x (ln x − 2))′ = (4x)′ (ln x − 2) + 4x (ln x − 2)′ = 4 (ln x − 2) + 4x1_x = 4 ln x − 8 + 4 = 4 ln x − 4, o que implica que

f′′

(x) = 0 ⇔ 4 ln x − 4 = 0 ∧ x ∈ Df ⇔ ln x = 1 ∧ x ∈ ]0, +∞[ ⇔ x = e ∧ x ∈ ]0, +∞[ ⇔ x = e .

Assim, fazendo um quadro de sinais tem-se

x 0 e

4 ln x − 4 N.D. N.D. ₋ 0 +

f (x) N.D. N.D. _∩ P.I. _∪

o que permite concluir que f tem a concavidade voltada para baixo em ]0, e[, tem a concavidade voltada para cima em ]e, +∞[ e tem um ponto de inflex˜ao em x = e.

2) Mostre que

x < (1 + x2) arctg x < x + x3 para qualquer x > 0

2) Sejam x um n´_{umero positivo qualquer e f : [0, x] → R a fun¸c˜ao definida por} f (t) = arctg t.

A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em [0, x] e ´e diferenci´avel em ]0, x[ (ali´as ´e diferenci´avel em [0, x]) e f′

(t) = 1 1 + t2.

Pelo Teorema do valor m´edio de Lagrange, existe c ∈ ]0, x[ tal que f (x) − f (0) x − 0 = f ′ (c) ⇔ arctg x − arctg 0_x = 1 1 + c2 ⇔ arctg x x = 1 1 + c2. Ent˜ao 0 < c < x ⇒ 0 < c2 < x2 ⇒ 1 < 1 + c2 < 1 + x2 ⇒ _{1 + x}1 ₂ < 1 1 + c2 < 1 ⇒ _{1 + x}1 ₂ < arctg x x < 1 ⇒ _{1 + x}x ₂ < arctg x < x ⇒ x < (1 + x2) arctg x < (1 + x2)x ⇒ x < (1 + x2) arctg x < x + x3, o que prova o pretendido.

3) Use a regra de Cauchy para calcular lim x→0 sen2(2x) sen (4x) − 4x + x2. 3) Como lim x→0 sen2_(2x) sen (4x) − 4x + x2 = sen2_{(2 · 0)} sen (4 · 0) − 4 · 0 + 02 = sen2₍₀₎ sen (0) − 0 + 0 = 02 0 = 0 0, aplicando a Regra de Cauchy resulta que

lim x→0 sen2(2x) sen (4x) − 4x + x2 = lim_x→0 sen2(2x)
′ (sen (4x) − 4x + x2₎′ = lim x→0 2 sen(2x) (sen(2x))′ 4 cos(4x) − 4 + 2x = lim x→0 2 sen(2x) (2 cos(2x)) 4 cos(4x) − 4 + 2x = lim x→0 4 sen(2x) cos(2x) 4 cos(4x) − 4 + 2x = lim x→0 2 sen(4x) 4 cos(4x) − 4 + 2x = 2 sen(4 · 0) 4 cos(4 · 0) − 4 + 2 · 0 = 2 sen(0) 4 cos(0) − 4 + 0 = 2 · 0 4 · 1 − 4 = 0 0,

pelo podemos aplicar novamente a regra de Cauchy e obtemos lim x→0 sen2(2x) sen (4x) − 4x + x2 = lim_x→0 (2 sen(4x))′ (4 cos(4x) − 4 + 2x)′ = lim x→0 2 · 4 cos(4x) 4(−4 sen(4x)) + 2 = lim x→0 8 cos(4x) −16 sen(4x) + 2 = 8 cos(4 · 0) −16 sen(4 · 0) + 2 = 8 cos(0) −16 sen(0) + 2 = 8 · 1 −16 · 0 + 2 = 8 2 = 4.

4) Calcule a) Z x cos x + s arcsen5x 1 − x2 dx; b) Z −4

tg x − 1dx; (Sugest˜ao: fa¸ca a substitui¸c˜ao tg x = t); c)

Z 2

0

1

x2_{− 2x + 2}dx; (Sugest˜ao: fa¸ca a substitui¸c˜aox = t + 1).

4a) Usando o facto de a primitiva de uma soma de fun¸c˜oes ser a soma das primitivas das fun¸c˜oes, temos Z x cos x + s arcsen5x 1 − x2 dx = Z x cos x dx + Z s arcsen5x 1 − x2 dx. Na primeira primitiva, usando a f´ormula de primitiva¸c˜ao por partes

Z f′ (x)g(x) dx = f (x)g(x) − Z f (x)g′ (x) dx com f′ (x) = cos x e g(x) = x, obtemos Z x cos x dx = Z cos x · x dx = sen x · x − Z sen x (x)′ dx = x sen x + Z − sen x dx = x sen x + cos x + C. Para a segunda primitiva, que ´e imediata, resulta

Z s arcsen5x 1 − x2 dx = Z √ arcsen5_x √ 1 − x2 dx = Z ₁ √ 1 − x2 (arcsen x) 5/2 _dx = (arcsen x) 7/2 7/2 + C = 2 7(arcsen x) 7/2_{+ C.} Assim, Z x cos x + s arcsen5x 1 − x2 dx = Z x cos x dx + Z s arcsen5x 1 − x2 dx = x sen x + cos x +2 7(arcsen x) 7/2 + C.

4b) Fazendo a substitui¸c˜ao t = tg x, temos x = arctg t e, portanto, dx = (arctg t)′ dt = 1 t2_{+ 1}dt. Assim, Z −4 tg x − 1dx = Z −4 t − 1 · 1 t2_{+ 1}dt = Z −4 (t − 1)(t2_{+ 1)}dt,

pelo que temos de calcular a primitiva de uma fun¸c˜ao racional. Tendo em conta que o grau do numerador ´e menor do que o grau do denominador, n˜ao ´e poss´ıvel fazer a divis˜ao. Al´em disso, o denominador tamb´em j´a est´a factorizado, pelo que temos de calcular n´umeros reais A, B e C tais que −4 (t − 1)(t2_{+ 1)} = A t − 1+ Bt + C t2_{+ 1} . Daqui resulta que

A(t2_{+ 1) + (Bt + C)(t − 1) = −4 ⇔ At}2+ A + Bt2_{− Bt + Ct − C = −4} ⇔ (A + B)t2+ (C − B)t + A − C = −4 e, portanto,        A + B = 0 C − B = 0 A − C = −4 ⇔        A = −B C = B −B − B = −4 ⇔        —– —– −2B = −4 ⇔        A = −2 C = 2 B = 2 Assim, Z −4 tg x − 1dx = Z −4 t − 1 · 1 t2_{+ 1}dt = Z −2 t − 1+ 2t + 2 t2_{+ 1}dt = −2 Z ₁ t − 1dt + Z _2t t2_{+ 1}dt + 2 Z ₁ t2_{+ 1}dt = −2 ln |t − 1| + ln t2+ 1 + 2 arctg t + C = −2 ln |tg x − 1| + ln tg2x + 1 + 2x + C.

4c) Fazendo a substitui¸c˜ao x = t + 1, temos

dx = (t + 1)′

dt = dt.

Al´em disso, como t = x − 1, quando x = 0 temos t = −1 e quando x = 2 temos t = 1 e, por conseguinte, Z 2 0 1 x2_{− 2x + 2}dx = Z 1 −₁ 1 (t + 1)2_{− 2(t + 1) + 2}dt = Z 1 −₁ 1 t2_{− 2t + 1 − 2t − 2 + 2}dt = Z 1 −1 1 t2_{+ 1}dt = h arctg ti1 −₁ = arctg 1 − arctg(−1) = π 4 −  −π₄= π 2.

5) Calcule a ´area da regi˜ao do plano limitada pela curvas de equa¸c˜ao y = 2x2_{− 2}

e

y = x2+ x.

5) Calculemos os pontos de intersec¸c˜ao das duas par´abolas. Para isso temos de resolver o sistema ( y = 2x2_{− 2} y = x2_{+ x} ⇔ ( ———– 2x2_{− 2 = x}2_{+ x} ⇔ ( ———– x2_{− x − 2 = 0} e, por conseguinte, temos de resolver a equa¸c˜ao

x2_{− x − 2 = 0 ⇔ x =} −(−1) ±p(−1) 2_{− 4 · 1 · (−2)} 2 · 1 ⇔ x = 1 ±√1 + 8 2 ⇔ x = 1 ± √ 9 2 ⇔ x = 1 ± 3 2 ⇔ x = −1 ∨ x = 2.

Assim, os pontos de intersec¸c˜ao das duas curvas s˜_{ao (−1, 0) e (2, 6). Representemos} geometrica-mente a regi˜ao plana de que queremos calcular a ´area e calculemos a sua ´area:

x y −1 2 6 y = x2_{+ x} y = 2x2_{− 2} A = Z 2 −1 x2_{+ x − (2x}2_{− 2) dx} = Z 2 −₁ −x2+ x + 2 dx = − Z 2 −1 x2dx + Z 2 −1 x dx + 2 Z 2 −1 1 dx = − x3 3 2 −₁ + x2 2 2 −₁ + 2hxi2 −₁ = − 2 3 3 − (−1)3 3  +2 2 2 − (−1)2 2 + 2 (2 − (−1)) = − 8 3 + 1 3  + 2 − 1 2 + 2 · 3 = −9₃ + 2 −1₂ + 6 = −3 + 8 −1₂ = 5 −1₂ = 9 2.

Logo a ´area da regi˜ao plana limitada pelas par´abolas de equa¸c˜ao y = 2x2_{− 2}

e

y = x2+ x ´e igual a 9

6) Calcule o comprimento da curva dada pelo gr´afico da fun¸c˜ao _{f : [0, e −1] → R definida por} f (x) = 1

8ln (x + 1) − x

2_{+ 2x
.}

6) O comprimento pretendido ´e dado por ℓ = Z e −1 0 q 1 + [f′_(x)]2_dx. Como f′ (x) = 1 8ln (x + 1) − x 2_{+ 2x}
′ = 1 8 1 x + 1− (2x + 2) = 1 8(x + 1)− 2 (x + 1) , tem-se 1 +f′ (x)2 = 1 +  1 8(x + 1) − 2 (x + 1) 2 = 1 +  1 8(x + 1) 2 − 2 · _{8(x + 1)}1 · 2 (x + 1) + [2 (x + 1)]2 = 1 +  1 8(x + 1) 2 −1₂ + [2 (x + 1)]2 =  1 8(x + 1) 2 +1 2 + [2 (x + 1)] 2 =  1 8(x + 1) + 2 (x + 1) 2 , e, por conseguinte, ℓ = Z e −1 0 q 1 + [f′_(x)]2_dx = Z e −1 0 s  1 8(x + 1) + 2 (x + 1) 2 dx = Z e −1 0 1 8(x + 1) + 2 (x + 1) dx = 1 8ln(x + 1) + x 2_{+ 2x} e −1 0 = 1 8ln(e −1 + 1) + (e −1) 2_{+ 2(e −1) −} 1 8ln(0 + 1) + 0 2_{+ 2 · 0}  = 1 8ln e + e 2 −2 e +1 + 2 e −2 − 1₈ln 1 + 0 + 0  = 1 8 · 1 + e 2_{−1 −} 1 8 · 0  = 1 8 + e 2_{−1 − 0} = e2₋7 8.