Referenciais Não Inerciais. e as Forças do Além. Prof. Márcio A. R. Souza (IF UFG) marcio 18 de setembro de 2018

(1)

Referenciais N ˜ao Inerciais

e as “Forc¸as do Al ´em”

Prof. M ´arcio A. R. Souza (IF – UFG)

marcio souza@ufg.br

(2)

T ´opicos

Mec ˆanica Cl ´assica Revisitando a

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

a Lei Relatividade de Galileu Exemplo de Galileu Exemplo de Galileu Trajet ória de um proj étil Referenciais n ão inerciais Exemplo

■

Referenciais inerciais e n ˜ao inerciais;

■

O princ´ıpio da relatividade de Galileu;

■

Forc¸as de in ´ercia

◮

Modificac¸ ˜ao da

2 a

lei de Newton;

■

Aplicac¸ ˜oes:

Referenciais em translaç ão e rotaç ão;

Referencial fixo na superf´ıcie da terra.

(3)

Mec ˆanica Cl ´assica

T ´opicos

Mec ˆanica Cl ´assica

Revisitando a

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Problema Central

→

descrever o movimento dos corpos:

■

Interaç ões ou Leis de Força;

■

Propriedades intr´ınsecas: massa e carga el ´etrica;

■

Condic¸ ˜oes iniciais (

t

= t

0 ):

~r

0 e

~v

0 .

Leis de Newton:

1. Lei da in ´ercia:

na aus ˆencia de forc¸as um corpo permanece em

seu estado de repouso ou de movimento retil´ıneo uniforme;

2. F

~

=

d~

p

dt

= m~a

(

~

p

= m~v

)

⇒

~a

=

~

F

m

;

(4)

Revisitando a

1

a

Lei

T ´opicos

Mec ˆanica Cl ´assica

Revisitando a

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(5)

Revisitando a

1

a

Lei

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(6)

Revisitando a

1

a

Lei

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(7)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

Primeira lei - Qual o seu significado?

■

Referenciais inerciais - Estrelas Fixas:

∼ 10

16 m

→

N ˜ao ´e um caso particular da segunda lei;

→

Especifica o referencial em que a

Segunda Lei

´e v ´alida.

E o planeta Terra?

(“referencial do laborat ´orio”)

■

Rotac¸ ˜ao:

0, 034

m/s

2 ;

(8)

Relatividade de Galileu

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ´

E imposs´ıvel detectar o movimento retil´ıneo uniforme de um referencial em

relaç ão a outro por qualquer efeito sobre as leis da din âmica:

■

Todos os referenciais inerciais s ˜ao equivalentes;

■

N ˜ao existe um referencial absoluto.

Transformac¸ ˜ao de Galileu (TG):

Passagem de um referencial inercial

S

para outro

S

′

_.

~

r

′

= ~r − ~

V t

(t = t

′

_);

~v

′

= ~v − ~

V

;

~a

′

= ~a;

(9)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

2 a

Lei de Newton em

S

′

:

■

Massas:

m

′

= m

;

■

Forc¸as:

|~r

2 ′

− ~r

1 ′

| = |(~r

2 − ~

V t

) − (~r

1 − ~

V t

)| = |~r

2 − ~r

1 |

.

Portanto:

■

F

~

= m~a

(Referencial

S

);

■

F

~

′

= m

′

~a

′

(Referencial

S

′

).

Mesma Forma

ou Covariante.

O que muda de

S

para

S

′

:

■

As condic¸ ˜oes iniciais;

(10)

Exemplo de Galileu

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ■

Uma pedra solta do repouso cai verticalmente com acelerac¸ ˜ao

~g

;

■

Com as mesmas condic¸ ˜oes iniciais isto continua valendo a bordo de

um navio em movimento com velocidade constante:

→

A pedra solta do topo do mastro cai no p ´e do mastro.

◮

O movimento do navio n ˜ao pode ser detectado!

(11)

Exemplo de Galileu

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(12)

Trajet ´oria de um proj ´etil

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ■

Lanc¸amento a

10 m de altura com

v

0 horizontal de

5 m/s

;

■

Sistema

S

fixo na Terra e

S

′

com velocidade

V

~

em relac¸ ˜ao a

S

;

■

TG

S

→ S

′

:

~r

′

= ~r − ~

V t

.

S

:

x = v

0 t

;

y

= h −

1 ₂

gt

2 .

S

′

_:

x

′

= v

0 t

− V

x

t

;

y

′

_{= h − V}

y

t

−

1

2 gt

2 .

A equaç ão da trajet ória:

y

′

_{= h −}

V

y

(v

0 − V

_x

)

x

′

₋

g

2(v

0 − V

_x

)

2 x

′2

_.

◮

Trajet órias parab ólicas - aceleraç ão vertical

~g

;

(13)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Simulac¸ ˜ao usando o

Gnuplot

(A)

Referencial fixo na superf´ıcie da Terra;

(B)

Movimento observado de

S

′

com

V

_x

= 8

m/s;

(14)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

E se

S

′

estiver acelerado em relac¸ ˜ao a

S

?

■

Origens de

S

e

S

′

coincidentes em

t

= 0

;

■

Velocidade de

S

′

em relac¸ ˜ao a

S

em

t

= 0

→

V

_x

;

■

A

~

= A

x

ˆ

constante e

x

≡ x

′

;

■

Objeto lanc¸ado de uma altura

h

em

S

com velocidade

horizontal

v

0 = V

_x

.

Qual ser ´a a trajet ´oria do objeto em

S

e

S

′

?

Observador em

S

:

movimento de queda a partir de

h

com velocidade horizontal

→

Movimento Parab ´olico

;

(15)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 S

→ S

′

x

′

= x − V

x

t

−

1

2 A

x

t

2 ;

y

′

_{= y.}

S

:

x = v

0 t;

y

= h −

1 ₂

gt

2 .

S

′

_:

x

′

= (v

0 − V

x

)t −

1

2 A

x

t

2 ;

y

′

_{= h −}

1

2 gt

2 .

Equaç ão da trajet ória para

v

0 = V

_x

:

y

′

= h +

g

A

_x

x

′

_.

■

Trajet ´oria retil´ınea em

S

′

;

■

A força peso é a única interaç ão presente!

(16)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Simulac¸ ˜ao usando o

Gnuplot

(A)

Referencial fixo:

h

= 10

m e

v

0 = V

_x

= 5, 0

m/s;

(17)

Referenciais n ˜ao inerciais

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

Modificac¸ ˜ao da

2 a

Lei - Forc¸as Inerciais

1 ◦

_{Caso – Movimento Acelerado de Translac¸ ˜ao:}

■

Sistemas

S

inercial;

■

Sistemas

S

e

S

′

com orientaç ões fixas no espaço.

~r

′

= ~r − ~

R(t);

~v

′

_{= ~v − ~}

_V

_(t);

(18)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Referencial inercial

S

:

m~a

= ~

F .

Referencial

S

′

:

m~a

′

= ~

F

− m ~

A. Em

S

′

devemos adicionar o termo

−m ~

A

“Forc¸a Fict´ıcia ou Inercial”

■

N ão existe uma interaç ão.

■

Podem ser alteradas modificando o referencial.

■

N ão obedecem ao princ´ıpio da aç ão e reaç ão.

(19)

Exemplo

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

Aceler ˆometro

– Observador em

S

:

(20)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

Aceler ˆometro

– Observador em

S

′

:

(21)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

2 ◦

_{Caso – Referencial}

_S

′

_{girando com}

_~

_ω

_{= ωˆ}

_λ

_{em relac¸ ˜ao a}

_S

_:

Vetor posic¸ ˜ao:

~

r

= ~

R

+ ~r

′

_{= ~}

_R

₊

3 X

j=1

x

′

_j

e

ˆ

′

_j

Velocidade angular:

~

ω

= ωˆ

λ

=

3 X

j=1

ω

_x

′

j

e

ˆ

′

j

(22)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Derivando o vetor posic¸ ˜ao

→

Velocidade:

d~r

dt

0 =

d ~

R

dt

!

0 +

d~r

′

dt

0 =

d ~

R

dt

!

0 +

3 X

j=1

ˆ

e

′

j

dx

′

j

dt

+

3 X

j=1

x

′

j

d

e

ˆ

′

j

dt

3 X

j=1

ˆ

e

′

_j

dx

′

j

dt

=

d~r

′

dt

0 ′

≡

δ~r

′

δt

→

Velocidade de P em relac¸ ˜ao a

S

′

_.

3 X

j=1

x

′

j

dˆ

e

′

j

dt

0 =?

(23)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Mudança na direç ão de

e

ˆ

′

1 →

(A) Rotac¸ ˜ao em torno de

e

ˆ

′

2 :

(24)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 →

(B) Rotac¸ ˜ao em torno de

e

ˆ

′

3 :

d

e

ˆ

′

1 = 1 · dθ(+ˆ

e

′

3 ) = ω

x

′

₃

dt

(ˆ

e

′

2 ) = ˆ

e

′

2 ω

x

′

₃

dt

d

e

ˆ

′

1 dt

ˆ

e

′

3 = ˆ

e

′

2 ω

x

′

₃

.

Portanto:

d

e

ˆ

′

1 dt

=

d

e

ˆ

′

1 dt

ˆ

e

′

2 +

d

e

ˆ

′

1 dt

ˆ

e

′

3 = ˆ

e

′

2 ω

x

′

₃

−ˆ

e

′

3 ω

x

′

₂

⇒

d

e

ˆ

′

1 dt

= ~ω × ˆ

e

′

1

(25)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

3 X

j=1

x

′

_j

d

e

ˆ

′

j

dt

0 =

3 X

j=1

x

′

_j

~

ω

× ˆ

e

′

_j

= ~ω ×

3 X

j=1

x

′

_j

e

ˆ

′

_j

= ~ω × ~r

′

Portanto:

d~r

′

dt

0 =

δ~r

′

δt

+ ~ω × ~r

′

_.

Validade Geral

⇒

d

dt

0 =

δ

δt

+ ~ω×

(26)

Velocidade

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 d~r

dt

0 =

d ~

R

dt

!

0 +

δ~r

′

δt

+ ~ω × ~r

′

~v

0 = ~

V

+ ~v

′

+ ~ω × ~r

′

■

~v

0 7→

velocidade da part´ıcula em

S

;

■

V

~

7→

velocidade de

O

′

em relac¸ ˜ao a

O

(translac¸ ˜ao);

■

~v

′

7→

velocidade da part´ıcula em

S

′

;

(27)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Derivando a velocidade

→

Acelerac¸ ˜ao:

~a

0 =

d~v

0 dt

0 =

d~

V

dt

!

0 +

d~v

′

dt

0 +

d~

ω

dt

0 ×~r

′

_+~ω×

d~r

′

dt

0 .

Usando:

d

dt

0 =

δ

δt

+ ~ω×

d~v

′

dt

0 = ~a

′

_{+ ~ω × ~v}

′

d~

ω

dt

0 × ~r

′

_{= ˙~ω × ~r}

′

d~r

′

(28)

Acelerac¸ ˜ao

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ~a

0 = ~

A

+ ~a

′

+ 2~ω × ~v

′

+ ~ω × (~ω × ~r

′

) + ˙~ω × ~r

′

■

~a

0 7→

acelerac¸ ˜ao da part´ıcula em

S

;

■

A

~

7→

acelerac¸ ˜ao de

O

′

em relac¸ ˜ao a

O

(translac¸ ˜ao);

■

~a

′

7→

acelerac¸ ˜ao da part´ıcula em

S

′

;

■

2~ω × ~v

′

7→

acelerac¸ ˜ao de coriolis (independe de

~r

′

);

■

~

ω

× (~ω × ~r

′

) 7→

acelerac¸ ˜ao centr´ıpeta, presente mesmo

quando a part´ıcula est ´a em repouso em

S

′

;

(29)

Modificando a

2

a

Lei...

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Em

S

teremos:

m~a

0 = ~

F

_R

(inercial)

Em

S

′

teremos:

m~a

′

_{= ~}

_F

R

−m

h ~

A

+ 2~ω × ~v

′

+ ~ω × (~ω × ~r

′

) + ˙~ω × ~r

′

i

❄

Forc¸as F´ısicas

Forc¸as Fict´ıcias (

F

~

_{f ic}

)

(Interac¸ ˜oes)

(Referenciais)

(30)

Forc¸as Fict´ıcias

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ■

m~a

′

= ~

F

ef

= ~

F

R

+ ~

F

f ic

■

F

~

f ic

n ão s ão forças f´ısicas, podendo ser alteradas pela escolha

de um outro referencial.

~

F

_cor

= −2m~ω × ~v

′

_{Forc¸a de coriolis}

~

F

_cf

= −m~ω × (~ω × ~r

′

₎

_{Forc¸a centr´ıfuga}

~

F

_az

= −m ˙~ω × ~r

′

_{Forc¸a azimutal}

~

F

_tr

= −m ~

A

Forc¸a translacional

◮

Para

S

′

fixo sobre a superf´ıcie da Terra:

F

~

_az

∝ ˙~ω = 0

.

(31)

Aplicac¸ ˜oes

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

Pendulo c ˆonico em

S

→

“Forc¸a” centr´ıpeta.

■

N ˜ao est ´a em equil´ıbrio:

~

F

_R

= ~

T

+ m~g =

F

~

_c

6= 0

;

■

Movimento de rotac¸ ˜ao:

~a

=

~a

_c

=

F

~

R

m

.

(32)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

Pendulo c ˆonico em

S

′

→

Forc¸a centr´ıfuga.

■

Est ´a em equil´ıbrio:

~

F

_ef

= ~

T

+ m~g + ~

F

_cf

= 0

;

~a

′

_{= 0}

_;

■

Em repouso em

S

′

;

(33)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

Rotac¸ ˜ao da Terra

→

~g

_ef

devido à rotaç ão.

■

m~a

′

_{= ~}

_F

ef

= m~g + ~

F

cf

;

■

~g

ef

= ~g − ~

ω

× (~

ω

× ~r

′

)

;

(34)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(35)

Forc¸a de Coriolis

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

F

~

_cor

= −2m~ω × ~v

′

■

Movimento sobre uma

mesa horizontal girante;

■

F

~

cor

Independe da

posic¸ ˜ao do corpo;

■

A

F

~

_cf

est ´a dirigida

radialmente para fora.

(36)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Durante a batalha naval que ocorreu na Primeira Guerra Mundial,

pr ´oxima das ilhas Malvinas, os artilheiros brit ˆanicos foram

surpreendidos ao ver seus prejeteis cairem

∼ 100

metros `a

esquerda dos navios alem ˜aes.

Os projetistas estavam bem conscientes da deflex ˜ao provocada

pela força de Coriolis e a levaram em consideraç ão. Entretanto, eles

consideraram apenas a possibilidade das batalhas ocorrerem

pr ´oximas `a latitude de

50 ◦

N e nunca

50 ◦

S. Os tiros brit ˆanicos, portanto, cairam a uma dist ˆancia dos alvos igual

ao dobro da deflex ˜ao de Coriolis.

(37)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

F

~

_cor

= −2m~ω × ~v

′

(38)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

Ciclone -

F

~

_cor

= −2m~ω × ~v

′

(39)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(40)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(41)

P ˆendulo de Foucault - 1851

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 Primeira demonstraç ão da rotaç ão da Terra com um

experimento realizado na superf´ıcie terrestre!

(42)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1 ◮

Princ´ıpio:

■

As forças que atuam no p êndulo s ão

T

~

e

m~g

;

■

O plano de oscilaç ão deve permanecer im óvel;

■

Referenciais n ˜ao inerciais

⇒

forc¸as fict´ıcias.

◮

A força de Coriolis produz uma rotaç ão do plano de oscilaç ão:

■

Movimento para a direita no hemisf ´erio norte;

■

Movimento para a esqueda no hemisf ´erio sul;

T

=

24 sin

λ

horas

Per´ıodo do plano de oscilac¸ ˜ao.

(43)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(44)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(45)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

(46)

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

a Lei Relatividade de Galileu Exemplo de Galileu Exemplo de Galileu Trajet ória de um proj étil Referenciais n ão inerciais

(47)

Refer ˆencias

T ´opicos

1

a Lei Revisitando a

1

a_Lei Revisitando a

1

1. H. M. Nussenzveig, Curso de F´ısica B´sica, Vol. 1, Mec ˆanica, Edigard

Bl ¨ucher LTDA, S ˜ao Paulo, Brasil;

2. T. L. Chow, Classical Mechanics, John Wiley & Sons, New York, USA;

3. W. Greiner, Classical Mechanics: Systems of Particles and

Hamiltonian Dynamics, Springer-Verlag, New York, USA;

4. M. Alonso, E. J. Finn, F´ısica - Um Curso Universit ´ario, Vol. 1, Mec ˆnica,