Fundamentos de Sistemas Eletricos de Potencia

(1)

Fundamentos de Sistemas

Elktricos de Potsncia

Prof.ManoeiAfonsadeCa~]linkr Coordenadar do LDSP

DEE 1 CTG 1 UFPE

(2)

Luiz Cera Zanetta Jr.

Fundamentos de Sistemas

Elktricos de Potsncia

Editora Livraria da Fisica

(3)

Copyright 2005: Editora Livraria da Fisica

Editor: Josk Roberto Marinho

Capa: Arte Ativa

Impressiio: Grifica Paym

Diagramaqgo: Carlos Eduardo de Morais Pereira

Ilustraq6es: Ricardo Vianna Lacourt

Revisiio do texto: Tiinia Mano Maeta

Dados Internacionais de Catalogaqiio na Publicaqiio

(

CIP

)

(C2mara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Zanetta Jhnior, Luiz Cera

Fundamentos de sistemas eletricos de potsncia / Luiz Cera Zanetta Jr. - I. ed. - S2o Paulo : Editora Livraria da Fisica, 2005.

Bibliografia. 1. Centrais eletricas 2. Correntes elCtricas

3. Energia eletrica - Distribuiq80 4. Energia eletrica - Sistemas 5. Energia eletrica - Transmissgo

6. Linhas elCtricas I. Titulo. i: + * .:: ::il~nso de Canra#lo ]&

;:o:. enad ad or do LDSP DEE I CTG I UFPE

indices para cathlogo sistemitico:

1. Sistemas eletricos de potCncia : Engenharia eletrica 62 1.3 19 1

ISBN: 85-88325-41-1

Editora Livraria da Fisica

Telefone: (1 1) 3936-34 13

(4)

...

CAP~TULO 1 Introduqiio aos Parimetros de Linhas de Transmissso 5

1

.

1 Introduqiio

...

5

...

1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potencia 6

...

1.2.1 Resistencia de Condutores 8 1.2.2 Efeito da Temperatura na Resistencia

...

dos Condutores em Corrente Continua 9

...

1.3 Indutincia de Linhas de Transmiss50 1 1 1.3.1 Generalidades

...

11

...

1.3.2 Fluxo Concatenado com um Condutor 15 1.3.3 Indutincia de um Condutor devida ao Fluxo Interno

...

15

1.3.4 Efeito Pelicular

...

20

1.3.5 Indutincia de um Condutor devida ao Fluxo Externo

...

24

1.3.6 Adiqiio dos Fluxos Interno e Externo

...

28

1.3.7 Indutincia de uma Linha a Dois Fios com Condutores Cilindricos

...

29

1.3.8 Fluxo Concatenado com um Condutor por urn Grupo de Condutores

...

31

1.3.9 Linha Bifasica com Condutores Compostos ou em Feixe

...

34

1.3.10Reatincia Indutiva da Linha com Utilizaqiio de Tabelas

...

43

1.3.1 1 Indutincia de Linhas Trifisicas com Espaqamento Eqiiilatero

...

45

1.3.12 Linhas Trifasicas com Espaqamento Assimktrico

...

47

1.4 Capacitincia de Linhas de Transmissso

...

50

1.4.1 Generalidades

...

:

...

50

1.4.2 Condutor Isolado

...

51

1.4.3 Diferenqa de Potencial entre Dois Pontos no Espaqo ... 52

...

1.4.4 Capacitincia de uma Linha Bifasica 53 1.4.5 Linha Trifasica com Espaqamento Eqiiilatero

...

59

1.4.6 Linha Trifasica corn Espaqamento Assimetrico

...

62

1.4.7 Consideraqiio de Condutores Compostos ou Bundle

...

65

1.5 Referencias Bibliograficas

...

70

...

CAP~TULO 2 Calculo Matricial de Parimetros de Linhas de Transmissso 71 2.1 Introduqiio

...

71

...

2.2 Calculo de Parimetros Incluindo o Efeito do Solo 71 2.2.1 Matriz de Impedincias Skrie

...

72

...

2.2.2 Aplicaqiio do Metodo das Imagens 73 2.2.3 Solo com Resistividade niio Nula

...

76

...

2.2.4 Efeito dos Cabos-Guarda 78

...

(5)

Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia

2.3 Matriz de Capacitincias

...

88

2.3.1 Consideraqio dos Cabos-Guarda

...

-95

2.3.2 Aplicaq5o das Componentes Simktricas no CBlculo de Capacitincia

...

98

2.4 Linhas de Transmissio com Circuitos em Paralelo e Cabos-guarda

...

100

2.5 CBlculo Computacional de Parimetros de Linhas de Transmiss50

...

114

2.5.1 Calculo da Impedincia Skrie (Matriz de Impedincias)

...

114

2.5.2 Calculo da Matriz de Admitincias Capacitiva

...

118

2.6 Refertncias Bibliogrhficas

...

121

CAP~TULO 3 RelapBes entre TensBes e Correntes em uma Linha de Transmiss50

....

123

3.1 Introduqgo

...

123

3.2 Propagaqio de Ondas Eletromagnkticas em uma Linha de Transmiss50

...

123

3.3 Impedincia Caracteristica de uma Linha de Transmiss50

...

127

3.4 Regime Perrnanente em Linhas de Transmiss50

...

127

...

3.4.1 Modelo de Linhas de Transmiss50 com Comprimento Finito 130 3.4.2 Quadripolo Equivalente

...

133

...

3.4.3 Modelo

n

Equivalente de uma Linha Genkrica (Linha Longa) 134 3.4.4 Modelo

n

Nominal

...

140

3.4.5 Modelo para Linhas Curtas

...

141

3.4.6 Modelo T Nominal

...

142

3.5 Algumas Propriedades de Quadripolos

...

143

3.5.1 Associaqio em Cascata de Quadripolos

...

143

3.5.2 Associaq5o de Quzdripolos em Paralelo

...

1 4 4 3.5.3 Representaqgo de Elementos Concentrados Atravks de Quadripolos

...

145

3.6 Transmiss50 de Potzncia

...

146

3.7 Compensaqio Reativa de Linhas de Transmiss50

...

150

3.7.1 Linha de Transmiss50 em Vazio

...

150

3.7.2 Linha de Transmiss50 em Carga

...

154

3.8 Refertncias Bibliograficas

...

164

...

CAPITULO 4 Curto-circuit0 165 4.1 Introduqio

...

165 4.2 Modelos de Geradores

...

167

...

4.2.1 Motor Sincrono 170 4.2.2 Motor de Induqio

...

170

...

.. 4.3 Curto-circuit0 Considerando as Condiqdes Pre-falta 171 4.4 Modelo de Carga e Analise Prk-falta

...

179'

...

4.4.1 Modelo de Carga 179 4.4.2 Estudo das Condiq6es Prk-Falta

...

180

4.5 Curto Trifasico Equilibrado

.

n

.

(6)

T-

Szimario

. .

...

! 4.6 Curto-c~rcu~to Fase-terra 183 4.7 Curto Dupla-fase

...

1 88 4.8 Curto Dupla-fase-terra

...

19 1 4.9 Potencia de Curto-circuit0

...

1 9 5

...

4.9.1 Potencia de Curto-circuit0 Trifisica 1 9 5

...

4.9.2 Potencia de Curto-circuit0 Monofisica 198

...

4.10 Refersncias Bibliogrificas 2 12

...

CAP~TULO 5 Tratamento Matricial de Redes 2 13

I

5.1 Introduqiio

...

2 13 5.2 Matrizes para Redes de Seqiiencias

...

2 13

5.2.1 Formaqiio da Matriz Y Considerando

...

os Elementos Indutivos sem M6tuas 2 13

5.2.2 FormaqBo da Matriz Y Considerando

...

, Elementos Indutivos com Mctuas 2 16

...

5.2.3 ObtenqBo da Matriz de Impedincias Nodais 2 18

5.3 Matrizes Trifasicas

...

220

...

5.3.1 Formaqiio da Matriz Y Trifisica 221 5.4 ReferEncias Bibliogrificas

...

224

CAP~TULO 6 Cilculo Matricial do Curto-circuit0

...

225

6.1 Introduqzo

...

225

...

6.2 Informaqdes da Rede Pri-falta 225

...

6.3 Informaqdes da Rede em Falta 226 6.4 Superposiqdes

...

228 6.5 Componentes de Fase

...

228 6.6 Cilculos de Curto-circuit0

...

229 6.6.1 Curto Trifasico

...

229 6.6.2 Curto Dupla-fase

...

230 6.6.3 Curto Fase-terra

...

231 6.6.4 Curto Dupla-fase-terra

...

:.

...

232 6.7 Refercncias Bibliograficas

...

238

...

CAP~TULO 7 Fluxo de Potzncia em uma Rede Elitrica 239 7.1 Introduqiio

...

239

7.2 Anilise de uma Rede Elementar

...

:

...

240

...

7.3 Variiveis e Anilises de Interesse 244 7.3.1 Barras

...

244

7.3.2 Ligaqdes

...

245

7.4 Consideraqdes sobre o MCtodo Iterativo de Gauss e Gauss-Seidel

...

250

7.4.1 Mitodo de Gauss

...

250

...

7.4.2 F h x o de Potcncia com o Mitodo Iterativo de Gauss-Seidel 253

...

(7)

Fur~damenros de Sistemas Elkfricos de PotBncia

...

7.5.1 Mitodo Iterativo de Newton-Raphson 254

7.5.2 Fluxo de Potencia em uma Rede Elitrica

com o Mitodo de Newton-Raphson

...

258

...

7.5.3 Montagem da Matriz Jacobiana 259 7.6 Fluxo de Potzncia corn o M6todo Newton-Raphson Desacoplado-riipido

...

273

...

7.7 Referencias Bibliogriificas -284 CAPITULO 8 Estabilidade

...

285

...

8.1 Introduqiio 285 8.2 Modelo Elementar

...

286 8.2.1 Modelo Classico

...

286 8.2.2 Obtenqiio da Curva P x

S

...

286 8.3 Anilise da Estabilidade

...

289

...

8.3.1 Elevaqiio da Potencia Meciinica 291

...

8.3.2 Ocorrencia de Curto-circuit0 292 n

.

8.4 Equaqgo Eletromecanica

...

294

...

8.4.1 Equaqiio de Oscilaqiio (Swing) 294 8.4.2 Critirio das Areas Iguais

...

296

8.5.1 Modelo Eletromeciinico Simples

...

300

...

(8)

Um sistema elktrico de potsncia 6 constituido por usinas geradoras, linhas de alta tensiio de transmissso de energia e sistemas de distribuiqiio.

As usinas geradoras estiio localizadas proximo dos recursos naturais energkticos, como as usinas hidroelktricas estabelecidas nos pontos favoraveis para o aproveitamento dos desniveis e quedas de Bgua dos rios, assim como locais propicios para a formaqiio de lagos e o armazenamento da iigua. Da mesma forma, as usinas tirmicas localizam-se proximo das reservas de coinbustiveis fosseis como o carvgo ou gas. Cabe mencionar que pode ser mais econamico fazer o aproveitamento desses combustiveis por meio de sua queima, geraqiio de calor e sua transformaqiio em energia elktrica, transportando-a via linhas de alta tensiio at6 os centros de consumo, do que efetuar o transporte do combustive1 por veiculos, ferrovias OLI embarcaqdes.

At6 mesmo as usinas nucleares, que eventualmente poderiam se localizar proximo aos centros de consumo, por razdes de seguranqa siio instaladas em regides afasta- das das grandes cidades.

As grandes empresas estatais ou privadas siio normalmente as responsaveis pela geraqiio de energia eletrica, devido ao expressivo aporte de capital necessario nesses empreendimentos. Nas usinas geradoras a energia eletrica e produzida em urn nivel de tensiio da ordem de uma ou duas dezenas de quilovolts, sendo inuito comum a tens50 de 13,8 kV, mas essa 6 uma tens20 baixa demais para que o seu transporte seja economicamente viavel a longas distiincias. Desse modo, utilizam-se transformadores encarregados de elevar esse nivel de tens20 a um patainar superior, que vai de algumas dezenas de quilovolts ate algumas centenas.

Essa energia, ao chegar aos grandes centros de consumo, como as cidades e parques industriais, percorre regiaes densamente habitadas, com circulaqiio permanente de pessoas, cuja seguranqa exige a reduqzo do nivel de tens50 a patamares inferiores, novamente sendo muito comum a tens20 de 13,8 kV. Dessa tarefa se encarregam as empresas distribuidoras, que fornecem energia elitrica aos consumi- dores, geralmente classificados em grupos, como residenciais, comerciais e industriais.

(9)

2 Ftrndurnentos de Sisternus Elitricos de Pot6nciu

Fatores macroecon6micos, emprkstimos, juros, variaqdes de preqos internacionais de insumos energkticos, previsdes de demanda e contratos de energia for- mam o pano de fundo de toda ulna engenharia financeira que deterrnina a viabilida- de e o sucesso de cada empreendimento. Tudo isso ocorre ainda ligado a uma ten- dincia recente de desregulamentaqiio do setor elktrico, ou seja, a grosso mod0 di- minuindo a participaqiio estatal na geraqiio, transmiss50 e distribuiqiio, e permitindo a entrada no mercado de um numero maior de agentes empreendedores privados.

Apbs mais de um skculo de exploraqiio da energia elktrica, as fontes de energia mais proximas dos centros de consumo ja se encontram em utilizaq50 plena ou quase isso, o que implica a busca de potenciais cada vez inais distantes, com desafi- os a serem superados no transporte destas grandes quantidades de energia. Embora diversos aspectos ligados aos sistemas elktricos de grande porte, como os anterior- inente inencionados, sejam assuntos palpitantes, nosso interesse neste trabalho k dirigido a um aspect0 extremamente importante neste encadeamento, que k o da transmissiio de energia elktrica por meio de linhas de alta tensgo. Inumeros proble- mas tkcnicos devem ser superados para que a energia elktrica possa ser transportada atendendo aos requisitos de seguranqa das instalaqdes e das pessoas envolvidas. Aspectos cruciais como confiabilidade, flexibilidade e custos envolvidos no transporte estabelecem o nucleo das aqdes das equipes tkcnicas encarregadas da operaqiio e planejamento dos sistemas elktricos de potincia.

Do ponto de vista das linhas akreas de transmiss50, cabe a nbs entender os aspectos basicos dos campos elktrico e magnktico, que estabelecem os fundamentos para a transmiss50 de energia atraves de cabos. Dessa forma trataremos dos aspectos basicos no calculo dos parimetros das linhas de transmiss50, com e sem a pre- senqa do solo. Em seguida, estabeleceremos a modelagem eleinentar da linha de transmissiio em regime permanente, delineando modelos utilizaveis do ponto de vista da teoria de circuitos, que s5o uteis no chlculo de variaveis elktricas coino tensdes, correntes e potincias, assim como suas relaqdes matematicas.

Faz parte ainda de nosso objetivo analisar o calculo das correntes de curto- circuito, principalmente do ponto de vista de sua avaliaqiio para os diferentes tipos

j

de faltas em redes elktricas, coin o uso das cornponentes simetricas. I

Uin outro tema de nosso interesse e igualmente importante sera a abordagem .

1

do fluxo de potencia em redes pois, como sabemos, os sistemas elktricos s5o consti- i tuidos por diversas usinas de geraqiio e centros de consumo, interligados por redes

''

elktricas com diferentes configuragdes, que evoluem e se modificain devido a varios fatores. As interligaqdes elktricas na transmissiio permitiram um aproveitamento

(10)

mais econBmico e confiivel dos recursos energkticos e dos equipamentos eletricos. Fari parte de nossa investigaqiio a compreensiio do fluxo desta energia pelos diferentes caminhos possiveis de uma rede interligada, com o seu equacionamento por meio de uma formulaqiio eficiente no calculo das grandezas eletricas envolvidas.

Desfrutamos de not6rios beneficios que as interligaqdes de sistemas propor- cionam as redes elktricas, como reduqiio de custos e aumento da confiabilidade. No entanto, a partir destis interligaqdes tambem surgiram dificuldades tkcnicas para uma operaqiio estivel dos sistemas diante de perturbaqdes inevitiveis, algumas normais, provenientes de alteraqdes operativas e variaqdes da carga. Outras perturbaqdes siio causadas por curto-circuitos, cuja origem muitas vezes se encontra em tempestades e quedas de raios nas linhas de transmissiio, alem de outros fatores.

Desse modo, complementamos o texto com ulna introduqgo a estabilidade de geradores conectados a barramentos suficientemente robustos, conhecidos como barramentos infinitos, introduzindo os conceitos elementares de estabilidade de redes, corn base no modelo clissico de geradores.

Mencionamos que o objetivo deste livro foi reunir os elementos de transmissgo de energia elktrica em urn sistema de potencia, particularmente aqueles empregados na cadeira de Sistemas de Potencia I, na formaqiio de engenheiros eletricistas pela Escola Politkcnica da USP. Sua despretensiosa elaboraqiio niio pretende substi- tuir uma vasta e rica literatura de textos clissicos existente sobre o tema, mas apenas condensar aspectos hndamentais empregados em urn curso de graduaqgo. Para sua leitura, o aluno de graduaqiio necessita apenas conhecimentos de componentes simktricas e modelos de equipamentos em valores por unidade, desenvolvidos em cursos mais bisicos.

A anilise introdut6ria desenvolvida se ampliar6 num segundotrabalho im- presso, ainda em elaboraqiio, abordando aspectos complementares mais avanqados.

(11)

(12)

INTRODUCAO

AOS

PARAMETROS

DE

LINHAS

DE

TRANSMISSAO

0 projeto de uma linha de transmissiio envolve c ~ l c u l o s elktricos e mec2ni- cos, pois o bom dimensionamento eletrico esti intimamente ligado a fatores mec2- nicos, como por exemplo o dimensionamento das estruturas capazes de suportar o peso dos cabos, rajadas de ventos e outras ocorrencias como rompimento de cabos, etc. Como o cab0 sofre defonna~des, a sua altura em relaqiio ao solo, entre duas estruturas, k inferior A sua altura nas torres. Alkm disso, como os vgos entre torres podem ser irregulares, por exemplo em trechos montanhosos, nas travessias de rios ou de vales, existe a necessidade de uma otimizaqiio do numero de torres e de suas alturas visando reduzir custos, assim como a definir adequadamente o tracionamen- to admissivel desses cabos nas estruturas.

A elevaqiio da tensiio necessita de maior altura dos condutores em relaq8o ao solo, assim como de um inaior distanciamento entre fases, o que implica maiores estruturas de sustentaqiio, freqiientemente methlicas, conhecidas corno torres de linhas de transmiss80. 0 s cabos condutores s8o presos As estruturas por meio de cadeias de isoladores, e siio constituidos por fios encordoados que apresentam caracteristicas elktricas e mecinicas. Do ponto de vista ineciinico destacam-se como variiveis o peso e a resistencia a tragiio, assim como sua flexibilidade, fundamental para a fabricaqiio, transporte e montagem no campo. Do ponto de vista eletrico, s8o importantes variaveis a condutividade e a seqiio condutora.

Nosso objetivo basic0 volta-se para os aspectos elktricos fundamentais do chlculo dos parimetros de uma linha de transmissiio, correspondentes As caracteristicas elktricas, dimensdes e espaqamento dos condutores. Com o cilculo dos campos magnkticos e elktricos definiremos os parimetros indutivos e capacitivos das linhas de transmissgo. Na avaliaqzo elementar de parimetros, desenvolvida a seguir, desconsideramos o efeito do solo, mas dele nos ocuparemos em capitulo posterior dedicado a o k m a .

(13)

6 Fzrndan?entos de Sistemas Elktricos de Potgncia

Nosso interesse no calculo dos parimetros elktricos justifica-se pela impor- tiincia dessa tarefa, da qua1 siio dependentes e alicerqadas as demais avaliaqdes que se faqam de um sistema elktrico de potzncia.

1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potencia

Uma preocupaqiio basica na seleqiio d i um condutor, definido o material a ser utilizado, cobre ou aluminio, 6 com a area de segiio transversal, que esta associada ao volume de material a ser utilizado e portanto ao custo da transmissiio. 0 s aspectos de custo siio tratados dentro de um t6pico chamado de seleqiio do condutor econamico, que niio sera objeto de nossa anilise.

Ao alterarmos o diimetro do condutor, modificamos a densidade de corrente I IS

,

e conseqiientemente as perdas. 0 s aspectos positivos em aumentar o dismetro siio reduzir as perdas e tatnbkm o gradiente elktrico na superficie do condutor, ate- nuando o efeito corona. Em contrapartida, isso aumenta o custo da transmissso.

S = irea da se@o

condutora

S,

(3

s2

Figura 1.1 : Condutores corn raios diferentes.

Quando comparamos condutores de cobre com os de aluminio, fixados um mesmo comprimento e uma mesma resistzncia elktrica do circuito, o volume de aluminio sera maior, pois sera necessaria uma seqiio condutora maior para compen- sar sua condutividade, inferior em relaqiio a do cobre. Apesar disso, devido a maior densidade do cobre, o peso em cobre sera aproxi~nadamente o dobro em relaqiio ao do aluminio. Isso confere uma vantagem adicional ao aluminio, que pode ser utilizado com estruturas de sustentaqiio mais leves, alkm do seu custo mais baixo.

A dificuldade pratica em se fabricar condutores com diimetros elevados implica o uso de cabos formados por diversos fios, denominados cabos encordoados. Quando um so cab0 encordoado niio k suficiente para transmitir a corrente total, ..,,

adicionamos mais cabos em paralelo, separados por espagadores, formando cabos multiplos. Existem diferentes tipos de condutores, e os mais usados em linhas de transmiss50 siio norrnalmente, por raz6es econ6micas, condutores de aluminio:

(14)

Capitzilo 1. Introdtrpio aos Pardmetros de Linhas ₇

CA: condutor de aluminio puro.

AAAC: condutor de liga de aluminio, de all aluminium alloy conductor.

CAA: condutor de aluminio com alma de aqo, cuja denominaqiio muito conhecida em ingles 6 ACSR, de altrminium cable steel reinforced.

ACAR: condutor de aluminio com alma de liga de aluminio, de alziminium conductor alloy reinforced.

SeqZo ' A condutora em forrna de coroa -A Suporte meciinico de aqo

Figura 1.2: Formaqiio 2417 de um cabo CAA que apresenta 24 fios de aluminio e 7 de aqo.

No process0 de encordoamento os fios descrevem uma trajet6ria helicoidal em torno do centro do condutor. Levando-se em conta ainda que os cabos sofrem uma deforrnaqiio provocada pel0 seu peso, o comprimento real 6 um pouco maior que a extensiio da linha .!

.

flecha

Figura 1.3: Efeitos de encordoamento e flecha.

.! : comprimento da linha,

(15)

8 Ftrndanlentos de Sistemas Elktricos de Potincia

Da mesma forma, a resistencia total da linha pode ser estimada em urn valor um pouco acima dos obtidos nos calculos.

As perdas nos condutores em corrente continua, devidas ao efeito Joule, s5o representadas por rneio de resistencias, com a seguinte express20 conhecida:

Figura 1.4: Dimensdes de um condutor.

S2o importantes as seguintes variaveis que definem um condutor cilindrico:

t

: cornprimento do condutor ou da linha (pks, metros, km),

r : raio do condutor (centimetros, polegadas),

S : area da seqiio do condutor (mm' ou CM = circular mil),

p

: resistividade do material utilizado,

o

: condutividade do material utilizado.

A area de 1 CM corresponde B area de um circulo com diiimetro de urn milk- simo de polegada. A area de 1 MCM corresponde a 1000 vezes a area de 1 CM. Obtemos a seguinte correspondencia entre areas dadas em mm' e CM:

(16)

P"----

Capitulo I . I n t r o d z ~ ~ a " ~ aos Pardmetros de Linhas 9

ou aproximadamente em MCM: S 2 = 0,5SMCM.

lnln

A resistividade, ou condutividade @padr60 ou %dr60), padronizada para urn condutor, e a do cobre recozido. Dessa forrna, para outros processos metalurgicos, podemos estabelecer uma correspondCncia entre suas resistividades corn a padronizada, conforme os exemplos a seguir para o cobre e o aluminio.

0 cobre A tCmpera dura tern 97% da condutividade do

a;,,,/,.ii,,

apresentando a resistividade p = 1,77 x 1

o - ~

a m (20

'

C)

.

0 aluminio A tEmpera dura tem 61% da condutividade do opac/rii,, corn resistividade p = 2,83

x

1

o - ~

a m (20 'C)

.

1.2.2 Efeito da Temperatura nu ResistZncia dos

Condutores em Corrente Continua

Sem entrarmos em maiores detalhes, a figura abaixo ilustra o efeito conhecido da variaqiio linear da resistCncia em funqiio da temperatura, quando o condutor 6

percorrido por corrente continua.

Temperatura

A

Figura 1.5: Grafico temperaturax resistcncia.

R2 -

- -

ITI

+ 12

R, I ~ l + l l '

(17)

10 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia

T = Temperatura de referencia na qua1 a resistencia seria teoricamente desprezivel. T = - 234,5 "C para cobre recozido com 100% de condutividade do

o,,,l,fi,,

T = - 24 1,O "C para cobre B tempera dura,

T = - 228,O "C para aluminio B tempera dura.

Para a corre@o da resistencia, em h n @ o de temperatura, utilizamos a seine- ihanqa de triingulos, tomando a temperatura T em modulo.

Vejamos alguns valores tabelados de resistencia de condutores, utilizando o cab0 Grosbeak 636 MCM (636 mil circular mil ou 636.000 CM), com:

R, = 0,0268 R / 1000 p6s (CC)

.

Em corrente continua, passando a unidade de comprimento para milhas, obteinos:

Muitos dados encontram-se tabelados em unidades inglesas e desse inodo 6 conveniente nos habituarmos a trabalhar com as conversdes de unidades para o sistema internacional. A conversZo de 1000 pes para milhas 6 feita da seguinte forrna:

1000 p i s -+ 0,3048 m i , 1,609 1000 pks- 0,1894 m i .

Corrigindo essa resistencia para 50 "C, obtemos:

Nesse caso, tl = 20 "C, t2 = 50 "C e T = -228 "C.

No entanto, cabe mencionar que, em corrente alternada, as resisthcias apresentam um comportainento dependente do efeito pelicular, sendo mais conveniente sua obtenqgo em tabelas fornecidas pelos fabricantes. Para o mesino cab0 Grosbeak, extrairiamos os seguintes valores:

(18)

Capitzrlo 1. IntroduqZo aos Par6rnetros de Linhas I I

1.3 Indutiincia de Linhas de Transmissgo

Neste item introduziremos o cilculo de indutiincias de linhas de transmiss80, sem levar em conta a presenga do solo. Antes porkm, recordemos alguns conceitos basicos de fluxo concatenado em espiras ou bobinas, assim como os conceitos de fluxos interno e externo concatenados com condutores.

1.3. I

Generalidades

Figura 1.6: Indutgncia corn nucleo ferromagnCtico.

Dada uma bobina, envolvendo um nucleo composto por material ferromagnktico, sabemos que para densidades de fluxo elevadas pode ocorrer a saturaq80 do nucleo e nessa situaggo obtemos indutiincias n5o lineares, que variam com a intensidade da corrente.

L = nBo linear, L = ~ ( i )

Figura 1.7: Curva

4

x i

.

Nos lneios com permeabilidade magnktica constante, como por exemplo o ar, encontramos uma rela950 linear entre o fluxo e a corrente i,

4

=

Li

.

(19)

constante, para qualquer nivel de corrente, adotando

p,,.

E p o , sendo

po

a permea-

bilidade do vacuo.

No caso linear, sabemos que:

Analisare~nos a relag50 entre a tens50 e a corrente, em grandezas alternadas no canlpo complexo, aplicando a transfon~~ada de Laplace:

Em reginie per~nanente senoidal, calculando no ponto s = j w , sendo w a fi-equkncia de excitag50, obte~nos a relag50 fasorial entre tens50 e corrente:

coln a corrente atrasada de 90" em relaggo a tensgo, simplificarnos a notaq50:

V = jXI

.

(1.2)

Definimos a reatiincia indutiva do bipolo por:

Quando t e ~ n o s circuitos relativan~ente prbximos, encontramos uma indutiincia mGtua entre eles, definida pela relaggo entre fluxo concatenado coln um circuit0 devido a corrente no outro.

(20)

-

Cauitzrlo 1. Introduca"~ aos Para^melros de Linhas 13

q12

o flux0 concatenado com o circuito 1 devido a corrente no circuito 2. Observa-

mas

que nesse exemplo o fluxo concatenado corn o circuito 1 corresponde i s linhas de fluxo 2 , 3 e 4 da figura 1.8.

42

=M12I2-

M I 2

a indutiincia mutua entre os circuitos 1 e 2.

5

= jmM1 212

.

X,

= mM1 a reatiincia mutua entre os circuitos 1 e 2.

No cilculo de circuitos magnkticos, o fluxo @ ( t ) concatenado corn uma espi- ra esti confinado no material ferromagnktico, conforme a figura 1.9.

fluxo condatenado

Figura 1.9: Fluxo magnetic0 concatenado com uma espira.

As linhas fechadas de B e H, aqui tambim denominadas linhas de fluxo, en- volvern completamente o condutor. Quando temos N espiras, o fluxo concatenado corn a bobina, colocando em skrie todas as espiras, k dado por

A

=

N@,

sendo @ ,

como vimos, o fluxo concatenado com uma espira. A tens20 nos terminais de cada espira k obtida corn a aplicag2o da Lei de Lenz, adotando a conveng20 do receptor.

d @

e ( t ) =-, sendo el =e7

=...

=e,? = e ( t ) dt

em todas as espiras.

A tens20 nos terminais da bobina e obtida por:

ou:

(21)

14 Fundamentos de Sistemas ElLtricos de Potgncia

e admitindo

A

como o fluxo concatenado com

iV

espiras em sirie, defini~nos

A.

= L i , sendo L a indutincia do enrolamento, que se comporta como um fator de proporqiio entre a corrente e o fluxo, nos casos sem saturaqiio.

espiia (vista superior) Figura 1.10: Fluxo concatenado coin N espiras.

Quando temos dois condutores longos de comprimento C, espaqados por uma distiincia D, com l>> D , podemos analogamente aplicar o conceit0 de fluxo concatenado com uma espira, definida pel0 retingulo formado pelos dois condutores, desprezando o efeito do fluxo nas duas extremidades. Novamente, as linhas de fluxo envolvem completamente o condutor.

< >

C >> D

Figura 1.1 1 : Fluxo concatenado corn a espira corn dois condutores paralelos.

Do ponto de vista do circuito elktrico, podemos associar uma indutincia ao circuito formado pelos dois condutores.

(22)

Capittrlo I . Introduqfio nos Pardmetros de Linhas 15

1.3.2 Fluxo Concatenado corn urn Condutor

Um conceito importante, que se aplica ao calculo de parimetros de linhas de transmiss50, 6 o de fluxo concatenado corn um condutor apenas. Para isso necessa- riamente precisarnos fazer uma abstraq5o e supor que o outro condutor, de retorno, encontra-se muito distante, a uma distincia D tendendo ao infinite.

condutor 1 I B d ₁ ₁

J

,-

.

\ X X X ----. , _\ \

.

-

, \ ' \ ' \ 1 e ( t ) D+co condutor 1 4

j

,:

I #' condutor 2

Figura 1.12: Fluxo concatenado corn urn condutor.

Nesse caso, podernos aceitar o conceito de fluxo concatenado com urn condutor.

Veremos a seguir, de tnodo bastante simplificado, como tratar o fluxo interno em urn condutor.

1.3.3 Indutcincia de urn Condzitor devida ao Fluxo Interno

Para uma precis50 rnaior no calculo, consideramos a indutiincia interna do condutor. Vejamos como obter essa induthcia, supondo urn condutor solido, corn raio R e segiio S, percorrido por corrente continua corn intensidade I, que apresenta densidade uniforme de corrente em toda a seqiio condutora:

Para isso, fazemos urna extens50 do conceito de fluxo concatenado, definindo o fluxo parcial concatenado em urn condutor, ao calcularmos o fluxo interno, correspondente a uma se@o condutora corn raio r

<

R

.

(23)

I6 Fundamentos de Sisten~as Elktricos de PotBncia

Figura 1.13: Fluxo interno e externo.

Para r < R, calculemos a densidade de fluxo em uma linha fechada.

Na figura 1.14 B,,, Br2 e BY3 S ~ O densidades de fluxo internas ao condutor,

a distincias q

<

r2 < 13 < R

,

etc.

Figura 1.14: Densidades de fluxo internas ao condutor

0 fluxo interno ao condutor, inserido em um elemento tubular de raio r < R e espessura dr, 6 dado pela express50 d@r = B,dr, a ser novamente examinada logo mais adiante.

Definimos o fluxo parcial concatenado corn a corrente I,.

,

envolvida por esse elemento tubular, pela expressgo:

Obtemos o vetor H, em um ponto no interior do condutor, a uma distincia r

(24)

Capittrlo I . Introdupio aos Parimetros de Linhas 17

Figura 1.15: Fluxo em urn elemento tubular.

Supondo a corrente continua uniforrnernente distribuida pela seqiio transversal, obtemos a corrente interna ao circulo de raio r, corn r

<

R

,

dada pela relaqiio de ireas:

Fazendo a circuita@o do vetor intensidade de carnpo magnetic0 H , em urn caminho fechado, obternos:

Corno H , 6 constante a urna distincia r do centro do circulo:

(25)

18 Fzrndamentos de Sisten~as Elktricos de Potgncia

Conseqiientemente, como B, = p H , , obtemos: B, =- '"I w b / m 2 .

2nR2

De posse da densidade de fluxo B y , ,calcularemos a indutiincia interna do condutor segundo dois procedimentos distintos, o primeiro por rneio da energia eletromagnktica interna e o segundo por meio do fluxo interno concatenado parcialmente.

Energia eletromagnktica interna do condutor

Podemos calcular a energia magnktica interna ao condutor, considerando o volume do condutor em um comprimento unitirio,

1

wmag

=?

JB, ~ , d v o l = -

J

/lr212 ~ v o [ .

2 4

2 ( 2 n ) R

Para isso consideremos um elemento tubular, de comprimento unitario, com volume dvol = 2 n r d r , resultando em:

que corresponde A energia magnktica em uma indutincia L i , percorrida por uma corrente I :

Considerando a perrneabilidade do condutor proxima da permeabilidade do vacuo:

obtemos:

Ou seja, a indutiincia interna de um condutor, percorrido por corrente continua, k uma constante que independe das suas dimensdes. Por sua vez, podemos obter o fluxo interno do condutor por meio da relaqiio:

(26)

Capittllo 1. Introdu~iio aos Parcimetros de Linhas 19

resultando em:

Figura 1.16: Elemento tubular.

Fluxo interno concatenado parcialmente

0 fluxo incremental em um elemento tubular com raio r e espessura dr

C

dado pelo produto Brds

,

sendo ds = d r x 1

,

no caso de comprimento unithrio, resultando em:

d@r =-

'

Idr Wblm

.

2 n ~ ~

Este fluxo interno d@,. concatena somente a parcela I , de corrente interna, ja obtida anteriorrnente.

Faremos a seguir o calculo da induthncia interna empregando o conceit0 de fluxo parcialmente concatenado com um condutor, definido peia expressgo:

(27)

20 Fzindainentos de Sisternus Elktricos de PotEncia

3 . dA=- pr

.

Idr

.

0 fluxo parcial envolve apenas uma parcela da corrente interna do condutor, e desse modo, integrando-o no interval0 0 2 r i R

,

obtemos:

ou:

Observamos que a idCia de fluxo concatenado esta relacionada com a corrente envolvida pelos enlaces de fluxo, que s5o linhas fechadas, e a indutiincia interna do condutor C definida pela rela@o entre o fluxo concatenado interno total e a corrente total do condutor, que se expressa por:

Admitindo-se

p

= po = 4x1

o - ~

,

obtemos:

Esse resultado, coincidente com o da express50 (1.5), demonstra a validade do conceito de fluxo parcialmente concatenado com o condutor. Lembramos que os resultados anteriormente obtidos para o fluxo concatenado so valem para condutores cilindricos percorridos por corrente continua, sendo um conceito tebrico importante para o calculo da indutiincia interna. Do ponto de vista pritico, para os cabos encordoados, veremos posteriomente como abordar essa indutiincia.

1.3.4 Efeito Pelicular

Antes de prosseguir, faremos uma breve e x p l a n a ~ l o sobre a dish.ibui@o de correntes internas em um condutor, percorrido por corrente alternada.

A densidade de corrente em um condutor percorrido por corrente alternada n2o 6 mais uniforrne, diferentemente do caso de conduq50 em corrente continua, como fizemos na hip6tese adotada na express50 (1.3), obedecendo a uma distribui-

(28)

Capittrlo 1. IntroduqCo aos Pardmetros de Linhns 21

qlo que depende da permeabilidade e resistividade do material, assim como da fie-

; qiiencia de excitaqlo.

Figura 1.17: Distribuiqgo de correntes corn o efeito pelicular.

Esse efeito, conhecido como pelicular, altera a indutincia interna do condutor e tem implicaqdes na avaliaqiio das perdas, quando empregamos corrente alternada, pois ocorre uma concentragiio de correntes do centro do condutor para sua periferia,

A

medida que a freqiigncia aumenta, o que causa uma elevaqiio da resistencia, corn uma reduqiio na area efetiva de conduqiio.

Obviamente, o aumento da concentraqgo de correntes k gradual, do centro do condutor para a superficie externa, niio ocorrendo as descontinuidades indicadas na figura 1.17, apenas ilustrativas do fen6meno eletromagnktico.

N5o sera o nosso prop6sito explorar detalhadamente o equacionainento do efeito pelicular, neste texto introdut6rio. Com o objetivo de apresentar os passos do equacionamento, rnencionamos que na deduqiio a seguir siio utilizadas formula~6es basicas do eletromagnetismo, convenientemente elaboradas no campo complexo, em valores fasoriais. Da mesma forma como empregamos grandezas fasoriais de tensdes e correntes, dada a linearidade das relagdes que utilizaremos, k equivalente obter resultados instantineos ou fasoriais em regime permanente. Por exemplo, como

ty=

LI, sendo L linear, a associaqiio de valores fasoriais aos fluxos, a partir dos fasores de corrente alternada, 6 imediata.

Para isso, tomemos um condutor cilindrico de raio R e cornprimento unitario e chamemos a densidade fasorial das correntes J ,

,

no sentido longitudinal do condutor,

A

uma distiincia radial r 5 R do seu centro.

(29)

22 Fz~ndamentos de Sisternas Eldtricos de Potgncia

Figura 1.18: Contornos para aplicagiio das equagbes de Maxwell.

a) CircuitaqBo no contorno

a ,

aplicando a Lei de Ampkre, ao longo do circulo de raio r que envolve a corrente contida no cilindro correspondente:

Com a equaq5o

(129,

trabalhando nesse contornoa, sabemos que a corrente interna do cilindro, com seqiio circular de raio r e Area interna A , 6 funqiio da densidade de corrente Jr :

Das f6rrnulas (1.8) e (1.9) concluimos que:

Diferenciando em relaqBo

A

r, 6 imediato obter a seguinte expressiio:

(30)

Capitt~lo I. Introduqa"~ aos Pardmetros de Linhas 23

No primeiro membro da equaqiio (1.1 I), como o campo elitrico k longitudinal e proportional

A

densidade de corrente, E, =

pJ,,

calculamos a queda de tensgo ao longo do contorno retangularp, adotando o sentido horario. Com relaqiio ao segundo membro, obtemos o fluxo na superficie envolvida por esse contorno.

Exprimindo de forma incremental a alteraqiio da densidade de cowente,

escrevemos:

aJr

p-dr = -jwpH,dr.

a~

0 que implica a relaqiio entre J, e H,

,

com a qual podemos eliminar H, da expressiio (1.1 O), resultando em uma equaqiio diferencial de segunda ordem, da densidade de corrente em relaqiio a distiincia radial

r ao centro do condutor:

Tal equaqiio diferencial apresenta soluqiio em s k i e bem conhecida, denomi- nada sirie de Bessel de primeira espicie e ordem zero.

Chamando m =

,/-

e conhecida a densidade de corrente na superficie do condutor, JR

,

escrevemos a expressgo da densidade de corrente interna ao condutor J,., em variiveis complexas, na qual os termos ber e bei, relativos a parte real e a imaginiria das skries, estiio definidos em expressdes matematicas, n5o explora- das aqui.

A figura a seguir exemplifica um possivel comportamento do m6dulo da va- riivel complexa J , , em funqgo de r, para uma dada freqiizncia de excitaqiio em um condutor cilindrico.

(31)

24 Fundamentos de Sistemas El&tricos de PotZncia

Figura 1.19: Densidade de corrente em funqiio da distiincia r ao centro do condutor, em corrente alternada.

Cabe comentar que a indutincia interna corresponde a uma pequena parcela da indutincia total de um condutor. 0 efeito pelicular visto anteriormente reduz

ainda mais essa parcela, n8o sendo por isso um aspect0 preponderante no calculo de indutiincias. 0 impact0 mais significativo do efeito pelicular se manifesta na eleva- qBo da resistencia e conseqiientemente nas perdas Joule.

1.3.5 Indutincia de urn Condutor devida ao Fluxo Externo

Neste item faremos o cilculo da parcela de indutiincia correspondente ao fluxo externo ao condutor, o qua1 pode ser feito em valores instantineos ou fasoriais, indiferentemente. Como o cilculo anterior de indutincias internas foi feito em corrente continua, voltareinos a empregar essa hipbtese em nossa formula$io.

Vejamos como obter uma express50 que forneqa o fluxo confinado em duas superficies cilindricas determinadas pelas distincias D, e D2 ao centro do condutor? que passam pelos pontos

I;

e P2 mostrados na figura 1.20. Para isso, calcularemos o fluxo na superficie S 2 , apoiada em um plano que passa pelo centro do condutor e contern os pontos

4

e P2, sendo ortogonal a todas as linhas do vetor densidade de fluxo:

Aplicando novamente a Lei de Ampere a um caminho fechado e circular com raio r, r 2 R

,

do vetor intensidade de calnpo H ,

,

obtemos:

(32)

Cauitulo I . Introduciio aos Pardmetros de Linhas 25

elemento tubular

Figura 1.20: Superficies concEntricas de um elemento tubular. Nessa linha circular, como o vetor H , 6 constante, podemos fazerc

H , $ ~ z = I , que resulta em:

2nrH, = I ,

ou:

Sendo o vetor densidade de fluxo dado por:

Observamos que o vetor H , internamente cresce de mod0 linear com a dis- tincia em relaggo ao centro do condutor ( r I R ) e externamente decresce com uma fungiio hiperbblica, em fung8o da distincia ao centro ( r 2 R )

.

(33)

26 Fundamentus de Sistemas El&tricos de PotBncia

Figura 1.2 1 : Curva H x r.

0 fluxo inserido em urn elemento tubular com raio r e corn espessura dr k dado por:

que, integrado, fornece o fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2, ou I j e P 2 , externos ao condutor:

Observamos que estamos impondo D2

>

Dl e que o fluxo externo concatena a corrente uma vez, de tal mod0 que: dQ = d A (N=l).

Sabendo que ,LL E

p0

= 4 n x 1 o - ~ , a express50 (1.13) tambkm pode ser colo-

(34)

Capitulo I . Introdupio aos Pardmetros de Linhas 27.

Esse fluxo, dividido pela corrente do condutor, fomece uma indutiincia parcial, que

.. chamaremos de L12,

ou ainda:

D2

L,, = 2 x 1 0 ~ ~ ln- Hlkm

.

Dl

Novamente, lembrando o conceit0 de energia arrnazenada em um volume, aqui particularmente empregado na coroa, ou na regiIo tubular externa ao condutor, com comprimento unithrio e compreendida entre os pontos

I;

e P2, podemos escrever:

na qua1 h o Z = 2nrdr C o increment0 de volume do elemento tubular com raio r e espessura dr.

Temos:

(35)

1.3.6 AdiqCo dos Fluxos Interno

e

Externo

Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com um condutor, at6 um ponto P externo ao mesmo, situado a uma distincia D do centro.

Figura 1.22: Fluxo concatenado corn urn condutor desde o seu centro at6 urn ponto externo P.

Calculemos o fluxo total concatenado em duas etapas:

@ = @ i + @ e .

0 fluxo interno, como vimos, 6 dado por:

Observamos que colocando o ponto 1 na superficie do condutor, a uma distincia D, = r do centro, e o ponto 2 coincidente com P, a uma distincia D2 = D do centro, o fluxo externo, empregando a express20 (l.l3), e dado por:

Somando as duas parcelas, interna e externa:

Usando o artificio de escrever:

(36)

PT*-

Cauitulo I . Introduciio aos Pardmetros de Linhas 29

ou:

ou ainda:

-114

Chamando r' =

re

de raio corrigido, escrevemos a express50 modificada para o fluxo concatenado:

correspondente ao fluxo concatenado desde o seu centro at6 um ponto externo P. Podemos calcular a indutincia, incluindo todo o fluxo do condutor, do seu centro at6 um ponto P externo, correspondente B energia magnitica armazenada nessa regiiio do espaqo. Tomando a express50 anterior, escrevemos:

1.3.7 Indutdncia de uma Linha a Dois Fios corn Condzitores Cilindricos

(37)

30 Fundamentos de Sistenlas Eldtricos de Potgncia

Consideremos os dois fios a e b da figura 1.23 compostos por condutores cilindricos, com raios externos

r,

e r2, respectivamente.

Observamos que no plano transversal que corta o circuito, se convencionar- mos como positivas as correntes que entram no plano, teremos I, = I e Ih =-I, portanto corn uma soma de correntes nula penetrando no plano transversal.

Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com o circuito formado pe- 10s dois condutores espaqados por uma distincia D. A Grea, associada a urn comprimento unitdrio dos fios, 6 dada por D x 1

.

Figura 1.24: Fluxo concatenado corn dois condutores.

A contribuiqgo do fluxo, dada pel0 condutor a, utilizando a express50 (1.17) 6 :

D D

Q, = 2 x 1 0-7 I, In, corn indutincia parcial L, = 2 x 1 0-7 1n 7

.

rl

r,

A contribuiq50 do condutor b 6 dada por:

7 D

D

Q~ =2x10- Ibin,, com L~ = 2 x 1 0 - ~ in7.

r? Y?

Observamos que Qa tem sentido hordrio e Qb sentido anti-horirio, de mod0 que podemos som&los na superficie apoiada entre as duas espiras, assim como as indutincias, obtendo a indutiincia total do circuito:

(38)

r"-

Capitulo 1. Introduqiio aos Para^metros de Linhas 3 1

I

Lembremos que essa express20 6 vilida para corrente continua e condutor ci-

I lindrico com se@o circular de raio r, exercendo r'o papel de urn raio equivalente. I

Elaborando a express20 urn pouco mais, obtemos:

7

D

L=4x10- ln-

e no caso particular de condutores iguais, quando r' = r,'=

6 ,

Observamos que o n ~ m e r o quatro aparece apenas nas expressaes de linhas a dois fios, quando somamos as indutincias individuais de cada fio.

1.3.8 Fluxo Concatenado corn urn Condutorpor urn Grupo de Condutores

Desenvolveremos, a seguir, urn conceito fundamental no cilculo de indutlncias, quando est2o presentes virios condutores, retilineos e paralelos, percorridos por diferentes correntes. Precisamos ent2o tratar o fluxo concatenado com um condutor devido a um grupo de condutores convencionando como positivas as correntes que penetram no corte transversal do circuito e supondo que a soma das correntes nos condutores seja nula, o que de certa forma nos conduz novamente a idiia de circuito elitrico, ou seja, que deve haver urn retorno de corrente por parte de alguns condutores.

Sejam n condutores separados espacialmente por distiincias D, , percorridos por correntes I i , 1 2 i 5 n

,

de tal mod0 que:

Assumindo um ponto P distante do grupo de condutores, calculemos inicialmente a parcela de fluxo concatenado com o condutor 1 utilizando a formula geral do fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2 genericos no espaqo.

Faremos o ponto P coincidir com o ponto 2 e o ponto 1 estara situado na su- perficie do condutor 1 . Incluindo o fluxo interno e utilizando o conceito de raio corrigido, obternos, utilizando a equaqiio (1.16):

(39)

32 Fundamentos de Sistemas EIBtricos de Potincia

Figura 1.25: Fluxo concatenado corn urn condutor por urn grupo de condutores.

Empregando a equaqgo (1.13), a parcela de fluxo concatenado com o condutor 1, devida ao condutor 2 6 :

Supomos ainda que o fluxo entre os pontos 1 e P, devido ao condutor 2, ngo altera as linhas de fluxo j i existentes do condutor 1. Estendendo esse resultado aos demais condutores, fazemos a superposiqiio dos fluxos, escrevendo genericamente:

que pode ser desmembrada na seguinte expressgo:

(40)

--

Cauitulo I . Introduciio aos Par2rneti-os de Linhas 33

que, substituida na e q u a g o anterior, fornece:

ou ainda:

I

1 1 1 I , 1n7+12 In-+

...+

I, In-+ rl Dl 2 Dl t7

4,

= ~ X I O - ~ P P I, ln-+ I2 In-

+

. . .

-t- It7-l ln D(.-l)P DnP DnP

Drip

Deslocando o ponto P a uma distincia muito grande do condutor 1, tendendo ao infinito, os quocientes Dip 1 D, tendem ao valor unitirio e conseqiientemente os limites:

(Dip 1

Drip

) P'

"

siio nulos, resultando em uma expressgo mais simplificada do fluxo concatenado com o condutor 1 :

A expressgo (1.19) apresenta um resultado interessante, que sera a base de nossas avaliagaes de fluxos concatenados com condutores, na presenya de outros, percorridos por correntes submetidas a restriggo de apresentarem uma soma nula.

Voltemos ao caso simplificado da linha a dois fios, corn o intuit0 de avaliar essa expressiio, aplicando agora o conceit0 de fluxo concatenado corn urn condutor por um grupo de condutores.

Para a fase a, escrevemos:

como Ih =-I,, convencionando como positiva a corrente I, que penetra no plano transversal aos condutores.

(41)

34 Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia

resultando em:

Desse modo, associamos uma indutincia ao condutor a, dada por:

e analogamente para o condutor b,

e desse mod0 obtemos a indutincia total da linha a dois fios:

7 D

L = L,

+

Lh =4x10- ln-

Verificamos assim a equivalencia dos procedimentos, ao compararrnos as e- qua@es (1.1 8) e (1.20). No cilculo de indutincias de linhas de transmissiio, corn varios condutores dispostos espacialmente, usaremos o conceit0 de fluxo concatenado com um condutor, por urn grupo de condutores, que facilita o cilculo.

1.3.9 Linha

B

fbsica corn Condutores Compostos ou

en7

Feixe

Veremos a seguir como tratar o caso de uma linha bifisica, na qua1 cada fase 6 composta por um conjunto de subcondutores, o que introduz algumas vantagens na transmissgo de energia eletrica. Uma primeira vantagem C aumentar a capacidade de corrente de cada fase da linha de transmissiio, pois cada condutor tem urn limite miximo de corrente admissivel. Uma segunda vantagem, igualmente importante, 6 diminuir a indutincia equivalente de cada fase, conforme veremos-a seguir. Esse conjunto de subcondutores C chamado de feixe, tambCm conhecido como bundle, na sua denominaq50 original em ingles.

(42)

--

Capittilo I . Introdupio aos Para^metros de Linhas 35

Figura 1.26: DisposigBo espacial dos subcondutores.

Cilculo da indutincia da fase a, L,

Tomemos o caso corn n subcondutores na fase a e rn subcondutores na fase b, conforrne a figura a seguir.

I l n carga I l m fase a +I fase b - I n sub-condutores m sub-condutores

Figura 1.27: Linha bifasica corn n subcondutores na fase a e m subcondutores na fase 6 .

0 cilculo sera desenvolvido em quatro etapas:

l a etapa: Cilculo do fluxo concatenado com o subcondutor 1 da fase a.

2a etapa: Calculo da indutincia desse subcondutor, percorrido por uma corrente I,

.

3a etapa: Cilculo da indutincia mCdia dos subcondutores de uma inesma fase, estendendo o resultado aos demais subcondutores.

(43)

36 Fundamentos de Sistenlas Elktricos de PotEncia

4" etapa: Cilculo da indutincia equivalente dos n subcondutores em paralelo.

-

.-

Calculamos inicialmente o fluxo concatenado com o subcondutor 1, devido

B

contribuiqiio do conjunto correspondente ii fase a .

Faremos ainda uma hip6tese adicional, admitindo tambkm que os subcondutores s5o aproximadamente iguais e que as correntes se distribuem igualmente por todos os subcondutores. Desse modo:

Nesse caso, calculemos o fluxo concatenado com o condutor 1, devido ao conjunto a , lembrando que nessa parcela contribuem apenas os subcondutores dessa fase:

Em seguida, obtemos o fluxo concatenado com o condutor 1 da fase a , devido ao conjunto 6 , considerando a parcela do fluxo correspondente aos condutores da outra fase, assumindo as mesmas hip6teses de subdivisso de correntes entre condutores da fase b.

resultando no fluxo concatenado total com o condutor 1, colocado na fonna compacta:

7 ~ D 1~D12/...Dlm~ I

$Il =$Il,

+$Ilb

=2x10- I l n

4

-No numerador, encontramos a media geomktrica das distincias do subcondutor 1 , da fase a, a todos os subcondutores da fase b. No denominador encontramos a mkdia geomktrica do raio corrigido do subcondutor a com as distincias a todos os subcondutores da pr6pria fase a. Para o condutor 2, escrevemos analogamente:

(44)

- -

Capitulo I . Introdupio aos Pardmetros de Linhas 37

Estendendo esse resultado aos demais subcondutores, obtemos as indutlncias individuais de cada um, fazendo a divisiio do fluxo pela parcela de corrente I l n :

It...

Dlm)

= A =

~ X I O - ~ ~ I ~ I l n

d . ; o 1 2 '

q D 2 1..

.

Dzm.

L,

= A = 2 x 1 0 - ~ n i n I l n

d41r;..4,'

@

7 I

.

-

~ n n i L, = > = 2 x 1 0 - nln I l n

d-.

Calculando a indutlncia m i d i a z dos subcondutores da fase a (conjunto a), fazendo a soma das expressdes logaritmicas:

Como os n subcondutores estiio ligados em paralelo, a indutiincia do conjunto a 6

dada por:

que pode ser recalculada da seguinte f o m a :

Introduzimos entiio o conceito de distlncia midia geomitrica mutua, entre os con- juntos de subcondutores das fases a e b. Observe que os conjuntos a e b nHo tCm

correntes em fase, sendo que nesse caso particular, na realidade, as correntes estzo em oposiqiio de fases.

Da mesma forma, apresentamos o conceito de raio equivalente do conjunto de subcondutores a ou distlncia midia geomitrica pr6pria do conjunto a. Lernbra-

(45)

38 Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotGncia

mos que todos os subcondutores do conjunto a apresentam a mesma parcela de corrente em mbdulo e sinal I / n , subdividida igualmente por todos os subcondutores. Em corrente alternada admitimos uma hipbtese semelhante, supondo as correntes com o mesmo m6dulo e fase em todos os subcondutores.

Para evitar confus2o de nomenclatura, passaremos a chamar a distincia tne- dia geomktrica propria de raio equivalente do conjunto de subcondutores (ou bun- dle) de uma fase. A letra z tem a finalidade de especificar o cilculo voltado para impedincias ou reatiincias indutivas da linha de transmiss50 que, como veremos, sera um pouco diferente do cilculo de capacitiincias. Definimos o raio equivalente da fase a:

Finalmente, escrevemos a express20 da indutincia da fase a na sua forma compacta:

7 DMG

Lo = 2x10- ln-.

req"',

Chlculo da indutiincia da fase b e total

Analogamente, obtemos a indutincia do conjunto b:

7 DMG

Lb =2x10- ln-,

resultando para a indutiincia total da linha bifasica:

Colocando essa express50 na forma usual, obtemos: DMG

L = ~ x I o - ~ ~ ~

,-.

-

Se as fases possuirem caracteristicas identicas, teremos reqzo = - r, _L4--

,

resultando em uma expressgo aniloga A obtida anteriormente para a linha bifisica a dois fios.

(46)

Capittilo I . Introduq60 aos Pardmetros de Linhas 39

?

linha bifhsica a dois fios

I

D M C

I

Figura 1.28: Cilculo da indutiincia.

Linha com a fase constituida por condutor cilindrico:

Linha com um feixe de subcondutores em cada fase:

7 DMG

L, = 2x10- In---,

na qua1 rev," C o raio equivalente da fase a.

Em vez de continuarmos usando o raio corrigido do condutor s6lido r', vali- d o para corrente continua, passaremos a utilizar o raio mkdio geomktrico, rmg, vali- do para cabos encordoados e corrente alternada, que leva em conta a mkdia geome- trica das distincias entre os fios que cornpaern um cab0 encordoado, de forma semelhante ao conceit0 anterior de mCdia geomktrica propria dos subcondutores de uma fase, alCm de levar em conta a disposiqZo dos condutores em torno do suporte meciinico no caso de cabos CAA (ACSR). Em geral, n5o fazemos o chlculo do raio mkdio geometrico, sendo o mesmo obtido de tabelas de condutores, assim como as demais caracteristicas elCtricas ou mecinicas do cabo, fornecidas pelos fabricantes.

(47)

40 Fundamentos de Sistenlas El~tricos de Potkncia

Como exemplo, a linha com a fase constituida por um cab0 encordoado apre- sentaria a indutincia:

7

D

L, =2x10- ln-. rmg

Resumo da nomenclatura para distincias medias geometricas proprias

Faremos aqui um breve resumo da nomenclatura adotada para os subcondutores de uma fase.

a) Condutor solido e o seu raio corrigido v', que 6 um conceito mais teorico, com a finalidade de incluir o fluxo interno do condutor em corrente continua.

w

Figura 1.29: Condutor cilindrico.

b) Cabo encordoado, para o qua1 usaremos uma extens50 do conceito de distincia midia geomktrica propria, expressa pelo raio midio geomktrico rmg. No caso prati- co de feixes de cabos encordoados e corrente alternada, trocamos r' pelo raio midio geomktrico rmg e as expressdes se mantern.

Figura 1.30: Cabo condutor encordoado. c) Feixe de subcondutores cilindricos e o seu raio equivalente:

(48)

Cauitulo I . Introductio aos Pardmetros de Linhas 41

d) Cabos encordoados em feixe. A expressgo a seguir k utilizada em casos praticos em corrente alternada.

Figura 1.32: Feixe com n cabos encordoados.

Na realidade, os programas existentes de cilculo de par5metros nZo utilizam o conceito do raio mkdio geomktrico, tratando os cabos encordoados como condutores tubulares, utilizando fbrmulas relativamente complexas para correqdes de con- centraqaes de correntes em funqSio da freqiiencia.

Nessa etapa do nosso curso, introdut6ria ao cilculo de pariimetros, continua- remos utilizando o conceito de raio mkdio geomktrico, que k suficientemente preci- so para os nossos prop6sitos. Assim, substituimos o bundle percorrido pela corrente I por um condutor equivalente, dado pela distfincia mkdia geomktrica pr6pria do

bundle, ou raio equivalente, o que facilita muito os cilculos.

0 s casos priticos de cabos em feixe apresentam sempre subcondutores iguais espaqados uniformemente, circunscritos em um circulo. A simetria dessas configu- raqdes permite um cilculo mais simples, como veremos a seguir, nos casos mais comuns de 2 , 3 e 4 subcondutores em um mesmo feixe.

a) Caso de dois subcondutores:

Figura 1.33: Disposiqiio espacial de dois subcondutores em feixe.

(49)

42 Fundarnentos de Sistemas Ele'tricos de PotBncia

A distincia mCdia geomktrica pr6pria

D,,

segundo a referencia [2] ou raio equivalente, re,,

,

C dada por:

Para a resistzncia equivalente do feixe, adotamos:

sendo R,, a resistsncia em corrente alternada para cada condutor, em uma dada temperatura.

b) Caso de tres subcondutores:

Figura Disposi~iio espacial de trts subcondutores

Para a resistencia equivalente:

c) Caso de quatro subcondutores:

feixe.

(50)

Capittilo I . Introduqlio aos Par2metros de Linhas 43

Para a resistencia equivalente:

0 raio equivalente tambBm pode ser calculado, genericamente, pela expressgo a seguir, conhecido o n ~ m e r o de subcondutores e o raio do circulo circunscrito R:

Lembramos ainda que, na nomenclatura da referencia [2], temos: Ds = re,

,

Dm = DMG

.

A distPncia DMG tambim B conhecida por distlncia equivalente, ou D,

.

1.3. I0

ReatZncia Indzltiva da Linha corn Utilizaqiio de Tabelas

Apesar do menor uso de tabelas atualmente, vejamos como utilizar os valores de reatincias indutivas Xi constantes destas tabelas [2,3] que se referem sempre a um condutor por fase, nesse caso

D,,

= rmg e D,, = DMG, e apresentam normalmente valores em unidades inglesas.

Dada a reatlncia distribuida de um condutor, em Qlkrn, sabemos que: Xi = 2nfl (2n f = w )

,

DMG

Xi

= 2 n f 2 x 1 0 - ~ in---- = 4 n f In- DMG Qlm

.

Passando a unidade de comprimento para milhas:

X i

(R/mi) = Xi(R/krn)x 1,609 ;

Observamos que na referencia [2] as expressdes usam log (logaritmo na base 10) em vez de In (logaritmo na base e ) :

DMG

X, = 2,022xl0"fln- Q/mi

.

rmg

(51)

44 Fundarnentos de Sisternas Elktricos de Pot&ncia

Xu 6 definida como a reatincia do condutor para espaqamento de 1 pk: 1

X, = 2 , 0 2 2 ~ 1 0 - ~ f ln-

.

rmg

Observamos que, dispondo da reatincia X u , obtemos o raio midi0 geomitri- co em p6s, ou seja, essa 6 uma maneira indireta de fornecer o raio medio geometrico do condutor.

Xd

6 o fator de espaqamento, tambCm em pCs:

EXEMPLO 1

Calcular a reatincia da fase a de uma linha bifisica com cab0 Grosbeak, com a geometria indicada abaixo:

I I

I 25 p t s 1

Figura 1.36: Disposi@o espacial de dois condutores coln cabo Grosbeak.

D,, = DMG = 25 pes

.

Consultando uma tabela de cabos, obtemos: Grosbeak 636 MCM; 26(A1)/7(aqo),

X,

= 0,4 12 Q/mi para 1 p6 de afastamento.

Sabemos tambCm que a reatincia de uma fase 6 dada por: DMG

(52)

Capitulo I . Introduqiio aos Pardmetros de Linhas 45

Xd = 0,391 nlmi,

Xi

= 0,803 Qlmi.

No caso de linha bifisica a dois fios, multiplicamos o resultado por 2:

Xi

= 2

x

0,803 = 1,606 Qlmi

.

1.3.11 Indutdncia de Linhas Trijibsicas corn Espaqarnento Equilbtero

Vejamos o cilculo da indutincia de uma fase, em um sistema trifasico. Em corrente alternada, no caso de um condutor, utilizamos o rmg e no caso de cabos em feixe utilizamos o r,,, substituindo os subcondutores de uma fase pel0 condutor com raio equivalente, concentrico corn o circulo que circunscreve o feixe.

Figura 1.37: Linha trifhsica com espaqamento equilatero D.

Novamente, admitiremos que a soma das correntes trifisicas 6 nula, conforrne as hip6teses adotadas para o chlculo do fluxo concatenado corn um condutor por urn grupo de condutores. Esse artificio nos perrnitiri introduzir uma simplificagiio signifi- cativa, com boa aproximaqiio, no chlculo da distiincia media geomktrica mhtua (DMG).

Essa restriggo corresponde a assumir que niio temos corrente de seqiiencia zero na linha, ou seja, que os resultados seriio razoaveis apenas para a seqiiencia positiva. Supondo as tres fases identicas, calculamos o fluxo concatenado com a fase n

aplicando a equaqiio (l.l9), trocando r' por reqZ

,

obtemos:

(53)

46 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia

I ,

+

I,

+

I, = 0 =3 I,

+

I , = -I,

,

resultando ern:

ou:

m

= 2 x 1 0 - ~ I~

[

in-

:)

Obteinos a indutincia da fase a:

7 D

L, = 2x10- In- H/m

req:

Figura 1.38: Sistema trifhsico equilibrado.

Observamos que, nessa estrutura particular, o valor de DMG coincide com o espaqamento entre fases D, pois:

Verificamos tambkm que a indutincia (ou reatincia) de urna fase relaciona tensdes e correntes que compdem um sistema trifasico simktrico e equilibrado e, portan- to, as tensdes e correntes de urna fase estiio referidas a urna tens50 de neutro nula.

EXEMPLO 2

Dada urna linha com espaqamento equilitero, com D = 25 pks e um cab0 Grosbeak por fase, calculamos a reatincia de urna fase aplicando (1.29):

(54)

--.

Cauitzrlo I . Introduca'o aos Pardmetros de Linhas 47

x

= m ~ = m x 2 ~ 1 0 - " 1 n 2 5 = 0,499 Rlkm ,

0,0335

que corresponde a 0,803 Rlmi, conforme o exemplo anterior. Observamos que

DMG e r,, devem estar na mesma unidade.

1.3.12 Linhas Tr fbsicas corn Espaqarnento Assirnktrico

No caso de linhas trifisicas com espaqamento assimktrico, o cilculo da indutincia de uma fase com as expressdes anteriores so k possivel em linhas com transposigiio.

Calculamos o fluxo mkdio, concatenado com o condutor da fase a (ou bundle), supondo as fases a , b e c com a mesma composiqiio de subcondutores. Introduzimos a idkia de transposigiio dos condutores, tomando o fluxo mkdio concatenado nos tris trechos da linha de transmiss80. Observamos que cada condutor ocupa, em cada trecho, uma das tris possiveis posiqdes distintas, resultando em um fluxo mkdio para cada condutor ao longo da linha de transmissiio.

Desse modo, subdividimos a linha em tris trechos I, I1 e 111, com uma rotaqiio das posigdes ocupadas por cada condutor, conforrne a figura a seguir.

I trechos I I I I I1 I I I11 I I I I a I c I b I I b a c c b a c 3 I I I I I 1 e l 3 I I

t

/ 3 I I C 13 w z, )

Carte transversal dos (

w I I

e

condutores no trecho I

1

I

r 'I

Posicgo aQea dos condutores

Figura 1.39: Linha trifasica corn espagamento assimetrico.

-

Consideremos uma linha com feixes de mesma caracteristica reyzo = reyzh - -

- rep e assumiremos que os condutores sofreriio uma rotaqzo no sentido anti- horirio. 0 s fluxos mkdios em cada fase seriio obtidos pela mkdia dos fluxos concatenados em cada trecho da linha.