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APONTAMENTOS DE INTRODUÇÃO AO
ESTUDO DE INVESTIGAÇÃO
OPERACIOAL
ProfessorDoutor
José António Fazenda
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PRIMEIRA
PARTE
PROGRAMAÇÃO LINEAR O MÉTODO SIMPLEX ANÁLISE DE SENSIBILIDADE PROBLEMAS RESOLVIDOS3
INDECE
PRIMEIRA PARTE
TEMA UM: Breve historial da Investigação Operacional………3
1. A natureza da Investigação Operacional ………4
2. Objecto de estudo da Investigação Operacional ………6
3. A modelagem em Investigação Operacional ………..6
TEMA DOIS: Programação Linear………..8
1. Fases de estudo de um problema de programação Linear ……….8
2. Exemplos de problemas de Programação Linear ……….13
TEMA TRÉS: Resolução Gráfica de Problema de Programação Linear …………..19
TEMA QUATRO: Forma Padrão ou standard de um Problema de P.L. ………….. 29
TEMA CINCO: O método Simplex ……… 33
1. Conjunto de passos que constituem o Método Simplex ……… 40
2. Modificação do problema com variáveis artificiais ……… 40
TEMA SEIS: Outra forma do Método Simplex ……….. 52
1. Custos e penalizações. Solução inicial admissível ………. 53
2. Desenvolvimento do Método Simplex ………. 55
3. Procedimentos do Método Simplex (problemas de maximização) …….. 58
4. Aspecto matemático singular ………60
5. Método simplex duas fases ………. 61
TEMA SETE: Problemas Modelados……… 65
TEMA OITO: Análise de Sensibilidade ………. 70
1. Análise Pôs Optimalidade ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 71 2. Análise de sensibilidade dos coeficientes da função objectivo ………. 72
2.1. Das variáveis não básicas na solução otima ………. 72
2.2. Das variáveis básicas na solução otima ………. 74
3. Análise de sensibilidade das constantes do lado direito ……… … 75
4. Dualidade ………... 77
4.1.Modelos Primal e Dual ……… 77
4.2.Teorema Dual ………..78
5. Relação entre o Primal e o Dual ……… 78
6. Valor otimo das variáveis do Modelo Dual ………80
7. Significado económico dos valores otimo das variáveis do modelo Dual ………….82
8. Análise de sensibilidade usando o Modelo Dua ……….83
9. Inclusão de uma nova variável ……… 83
4 SEGUNDA PARTE
TEMA NOVE
PROBLEMA DE TRANSPORTE
1. Noções Gerais
2. Um Exemplo de Problema de Transporte 3. Formulação de um Problema de Transporte 4. Arranjos a forma genérica
5. Propriedade do Modelo de Transporte 6. Método de stepping-Stone
5.6.1. O método do custo mínimo por linha 5.6.2. O método do custo mínimo por coluna 5.6.3. Desenvolvimento do método stepping-stone 7. Dificuldades do Problema de transporte
8. Exercícios para resolver
TEMA DEZ
ANÁLISES DE REDES
1. Conceito Básico em Teoria de Grafos
2. O Problema da Árvore Geradora de Custo Mínimo 2.1.O Algoritmo de Kruskal
2.2.O Algoritmo de PRIM
3. O problema do caminho mais curto 3.1.1. O algoritmo de DIJKSTRA
3.1.2. Outra forma de Resolver o Problema 3.1.3. O algoritmo de Ford
3.1.4. O algoritmo de Floyd 4. O problema do Fluxo Máximo 4.1.1. Corte de uma Rede
4.1.2. O algoritmo de Ford – Fukerson 4.1.3. Resolução de Problema
4.1.4. Casos especiais do Fluxo Máximo 5. O Problema do Fluxo de Custo Mínimo 5.1.1. Situação
5.1.2. Formulação do problema
5.1.3. O algoritmo de BUSACRER – GOWEN 5.1.4. Exercícios Proposto
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TEMA UM:
BREVE HISTORIAL DA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
Em sua origem, a pesquisa operacional surge desde o advento da Revolução Industrial, o mundo presencia o crescimento extraordinário no tamanho e na complexidade das organizações. As pequenas oficinas de artesãos de outrora evoluíram para as corporações bilionárias de hoje. Um fator crucial para essa mudança foi o extraordinário aumento na divisão do trabalho e a segmentação das responsabilidades administrativas nessas organizações. Os resultados foram espetaculares. Entretanto, junto com os pontos positivos, essa crescente especialização criou novos problemas, que ainda ocorrem em muitas organizações. Um deles é a tendência das diversas unidades de uma organização formarem impérios relativamente autônomos com os seus próprios objetivos e sistemas de valor, perdendo, consequentemente, a visão de como as suas atividades e objetivos se entremeiam com aquelas da organização como um todo. O que é melhor para uma das unidades com frequência é prejudicial à outra, o que pode levar a objetivos conflitantes. Um problema decorrente é que, à medida que aumentam a complexidade e a especialização, torna-se cada vez mais difícil alocar os recursos disponíveis para as diversas atividades da maneira mais eficiente para toda a organização.
Esses tipos de problema e a necessidade de encontrar o melhor caminho para solucioná-los criaram as condições necessárias para o surgimento da investigação operacional (comumente referida como IO). As origens da IO remontam a décadas,1 quando tentou-se uma abordagem científica da gestão das organizações. Porém, o início da atividade, denominada investigação operacional, geralmente é atribuído às ações militares nos primórdios da Segunda Guerra Mundial. Em razão da guerra, havia a necessidade premente de alocar de forma eficiente os escassos recursos para as diversas operações militares. Por consequência, os comandos britânico e norte-americano convocaram grande número de cientistas para lidar com este e outros problemas táticos e estratégicos. Na prática lhes foi solicitada a realização de pesquisas sobre operações (militares). Essas equipes de cientistas foram as primeiras da área de IO. Utilizando métodos eficientes de emprego da nova ferramenta radar, essas equipes contribuíram para a vitória da Batalha Aérea na Grã-Bretanha. Por intermédio dessas pesquisas sobre como melhor administrar operações de comboio e antissubmarinos, esses cientistas determinaram a vitória da Batalha do Atlântico Norte. Esforços semelhantes ajudaram na Campanha Britânica no Pacífico.
Quando a guerra acabou, o sucesso da IO no empreendimento bélico despertou interesse na sua aplicação fora do ambiente militar. À medida que o boom industrial pós-guerra progredia, os problemas causados pela crescente complexidade e especialização nas organizações ganharam novamente o primeiro plano. Tornava-se aparente para um número cada vez maior de pessoas, entre elas consultores de negócios que trabalharam nas equipes de IO ou em conjunto com elas durante a guerra, que estes eram basicamente os mesmos problemas que tinham enfrentado os militares, porém, agora, em um contexto diferente. No início dos anos 1950, esses indivíduos haviam introduzido a IO nas diversas organizações dos setores comercial, industrial e governamental. Sua rápida disseminação veio a seguir. Identificam-se pelo menos dois fatores que desempenharam papel fundamental no rápido crescimento da IO nesse período. O primeiro foi o progresso substancial das técnicas da IO. Após a guerra, muitos dos cientistas que haviam participado das equipes de IO ou que ouviram falar a
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esse respeito motivaram-se para desenvolver pesquisas relevantes nesse campo, o que resultou em avanços rumo ao que havia de mais novo. Um exemplo essencial é o método simplex para solução de problemas com programação linear, desenvolvido por George Dantzig, em 1947.
Várias ferramentas padrão da IO, como programação linear, programação dinâmica, teoria das filas e teoria do inventário, atingiram um estado relativamente bem desenvolvido antes do final dos anos 1950. Um segundo fator que deu grande ímpacto ao crescimento desse campo foi a “avalanche” da revolução computacional. Requer-se grande volume de processamento de cálculos para o tratamento eficiente dos problemas complexos normalmente considerados pela IO. Fazer isso à mão estaria fora de cogitação. Portanto, o desenvolvimento de computadores eletrônicos digitais, com capacidade de realizar cálculos matemáticos milhões de vezes mais rapidamente que o ser humano, impulsionou muito a IO. Outro estímulo surgiu nos anos 1980, com a criação de computadores pessoais cada vez mais poderosos, munidos de excelentes pacotes de software para a IO.
1. A NATUREZA DA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
Como o próprio nome indica, a pesquisa operacional envolve “pesquisa sobre operações”. Portanto, a PO é aplicada a problemas que compreendem a condução e a coordenação das operações (isto é, as atividades) em uma organização. A natureza das organizações é essencialmente secundária e, de fato, a IO tem sido amplamente aplicada em áreas tão distintas como manufatura, transportes, construção, telecomunicações, planejamento financeiro, assistência médica, militar e serviços públicos, somente para citar algumas delas.
Portanto, a gama de aplicações é excepcionalmente grande. Parte do termo significa que a pesquisa operacional usa uma abordagem que relembra a maneira pela qual são conduzidas as pesquisas em campos científicos usuais. Em grau considerável, o método científico é utilizado para investigar o problema empresarial (de fato, a expressão ciências da administração é algumas vezes usada como sinônimo de pesquisa operacional). Em particular, o processo tem início observando-se e formulando-se cuidadosamente o problema, incluindo a coleta de dados relevantes.
A próxima etapa é construir um modelo científico (tipicamente matemático) que tenta abstrair a essência do problema real. Parte-se, então, da hipótese de que esse modelo é uma representação suficientemente precisa das características essenciais da situação e de que as conclusões (soluções) obtidas do modelo também são válidas para o problema real. A seguir, são realizadas experimentações adequadas para testar essa hipótese, modificá-la conforme necessário e, por fim, verificar alguma forma da hipótese (essa etapa é frequentemente conhecida como validação do modelo). Assim, até certo ponto, a investigação operacional envolve a pesquisa científica criativa das propriedades fundamentais das operações. Entretanto, há outros fatores além desse. Especificamente, a IO também trata da gestão prática da organização.
Portanto, para ser bem-sucedida, a IO também precisa, quando necessário, fornecer conclusões positivas e inteligíveis para o(s) tomador(es) de decisão. Outra característica da IO é seu ponto de vista abrangente. Conforme ficou implícito no tema anterior, a IO adota um ponto de vista organizacional. Assim, tenta solucionar os conflitos de
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interesses entre as unidades de modo que seja a melhor solução para a organização como um todo. Isso não implica que o estudo de cada problema deva considerar explicitamente todos os aspectos da organização, ao contrário, os objetivos devem ser consistentes com aqueles de toda a organização.
Uma característica a mais é que a IO tenta, frequentemente, encontrar uma melhor solução (conhecida como solução ótima) para o modelo que representa o problema considerado. (Dissemos uma melhor solução em vez de a melhor solução, pois pode haver várias soluções, cada uma delas sendo considerada como a melhor). Em vez de simplesmente melhorar o status quo, o objetivo é identificar o melhor caminho a percorrer. Embora ele deva ser interpretado com cuidado em termos das necessidades práticas da administração, a busca pela “otimalidade” é um tema importante na IO. Todas essas características levam quase naturalmente a outra. É evidente que não se espera que ninguém seja um especialista em todos os aspectos do trabalho em IO ou dos problemas normalmente considerados, o que exigiria um grupo de indivíduos com conhecimento prévio (background) e habilidades diversas. Portanto, quando se realiza um estudo de IOtotalmente maduro de um novo problema, geralmente é necessário adotar-se uma abordagem de equipe. Uma equipe de IO desse tipo precisa contar com indivíduos que sejam altamente treinados em matemática, estatística e teoria da probabilidade, economia, administração de empresas, informática, engenharia e física, ciências comportamentais e as técnicas especiais de IO. A equipe também precisa ter experiência necessária e diversas habilidades para dar a devida atenção a todas aquelas ramificações do problema que permeiam a organização.
Uma importante parte destes apontamentos, é a apresentação dos principais algoritmos (procedimentos sistemáticos para solução) da PO para resolver certos tipos de problema. Alguns desses algoritmos são incrivelmente eficientes e são usados no cotidiano em problemas que envolvem centenas ou milhares de variáveis. Faremos a introdução de como esses algoritmos funcionam e o que os torna tão eficientes.
Atualmente,uma abordagem muito conhecida é o uso do programa de planilhas mais utilizado do momento, o Microsoft Excel, para formular pequenos modelos de IO no formato de planilha. O Excel Solver (ou uma versão aperfeiçoada desse programa adicional como o Premium Solver for Education.
Nota importante para estudantes de engenharia informática
Existem outros softwares que podem ser utilizados como o LINDO (e também a linguagem de modelagem que o acompanha, o LINGO) continua a ser um pacote de software de IO popular. O CPLEX é um pacote de software de última geração amplamente utilizado para solucionar problemas de PO abrangentes e desafiadores. Ao lidar com esses problemas, é comum também se usar um sistema de modelagem para formular de modo eficiente o modelo matemático e introduzi-lo no computador. MPL é um bom sistema de modelagem, que utiliza o CPLEX como principal solucionador, mas também possui vários outros solucionadores, entre eles o LINDO, o CoinMP, o CONOPT, o LGO e o BendX (útil para resolver alguns modelos estocásticos). Uma versão educacional do MPL, junto com a versão educacional mais recente do CPLEX e seus outros solucionadores, encontra-se disponível para download gratuito na internet.
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2. OBJECTO DE ESTUDO DA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
Muitos dos problemas atuais baseiam-se em escolher uma alternativa, a melhor entre, muitas ou seja, a tomada de decisão. A investigaçãooperacional (IO) é um dos ramos da matemática que utiliza processos numéricos de chegar a melhor alternativa.
Pesquisa Operacional = Investigação das Operações.
Operação = Conjunto de atos necessários para obter determinados resultado.
Investigação = Pesquisa que conduz o resultado que são imediatamente utilizáveis fora
do domínio da ciência (na vida real); ou seja procura resolver um problema e alguns dos objetivo a atingir são de natureza não científica.
Objetivo de Ensino da IO
Definição: A IOé a ciência aplicada vocacionada na resolução de um problema da vida
real, nos quais se procura trazer para o campo da tomada de decisão (sobre a concepção a planificação ou a operação de sistema) a altitude e os métodos próprios de outras áreas cientificas.
Através de desenvolvimento de base quantitativa, a IO visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão sem descurar no entanto os elementos subjetivos e de enquadramentos organizacional que caracterizam os problemas.
Nota: Diz-se que um individuo (ou um grupo) tem um problema se e só se:
Deseja atingir determinados objetivos, Possui modos alternativos de o alcançar Ignora - se qual a melhor alternativa.
Suponhamos por exemplo, que uma empresa dispõe de diversos recursos (matéria – prima, mão – de – obra, etc.) que os pode combinar de diversos modos para produzir certo bem. Admitindo que o problema consiste em determinar a combinação produtiva que permite obter o bem a um certo custo mínimo, pode sugerir a questão de procurar a técnica matemática mais eficaz para minimizar certo tipo de função – custo.
3. A MODELAGEM NA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
Grande parte destesapontamentos é dedicada aos métodos matemáticos da investigação operacional, já que essas técnicas quantitativas formam a principal parte do que é conhecido como IO. Porém, isso não implica que estudos práticos no campo da IO sejam essencialmente exercícios matemáticos. Na realidade, a análise matemática normalmente representa apenas uma parte relativamente pequena do esforço total requerido.
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Definição: Designa – se por modelo uma representação suficientemente precisa de
características essências da situação a analisar (da realidade) de modo que as conclusões (soluções) obtida a partir dele sejam também validas para o problema real.
Nota: O modelo é um esquema simplificado para a interpretação da realidade. Em
consequência da complexidade do mundo real, é necessário formular modelos simplificados que levem a compreensão de certos fenómenos. A mera acumulação de observação não pode oferecer explicação satisfatória do fenómeno e, portanto, o investigador tem a necessidade de sistematizar e racionalizar os factos conhecidos, selecionando os aspectos mais importantes e desprezando os que considera irrelevante. Existem 3 tipos de modelos:
Modelos Icónicos: São representações reduzidas de estado, objetos ou acontecimentos.
Representam o fenómeno real apenas com uma transformação de escala.
Modelos Analógicos: Em se entrega uma propriedade para representar outra. Por
exemplo utiliza gráficos a cores e com legendas.
Modelos Simbólicos: São aqueles em que as propriedades dos fenómenos reais são
expressas simbolicamente como é o caso dos modelos matemáticos.
Definição: Os modelosmatemáticossão também apresentadas idealizadas, mas
expressas em termos de símbolos e expressões matemáticas. Este modelo consiste num sistema de equações e de expressões matemáticas relacionada, que descrevem os aspectos essenciais do problema.
Os modelos matemáticosutilizados na IOsão técnicas quantitativas que formam a parte
principal do que é conhecido acerca da IO no entanto, muitas vezes as análises matemáticas representam apenas uma parte relativamente pequena do esforço total exigido.
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TEMA DOIS
PROGRAMAÇÃO LINEAR
Definição: A programação linear é uma técnica da PO. Esta denominação se atribui
porque considera-se que as restrições e as condições impostas aos problemas tratados são expressas em termos Lineares.
Ela consiste em dispor os dados de um problema cujas incógnitas guardam relações lineares, sob a forma de um sistema de equações e/ou inequações composto de uma equação chamada funçãoobjectivo para qual deseja-se obter um resultado óptimo (máximo ou mínimo) sujeito a restrições ou condicionamentos, constituído por várias equações ou inequações.
Quando o número de incógnitas é igual a 2 ou 3 o sistema admite uma solução gráfica. Muito complicada no segundo caso por se tratar de um problema no espaço tridimensional. Os problemas com 4 ou mais incógnitas pertencendo a um espaço n-dimensional só admitem soluções algébricas através do cálculo matricial.
Os três principais grupos de problemas que podem ser resolvidos por Programação Linear são:
Misturas de ingredientes com composição e preços conhecidos para atenderem a
determinadas especificações (de composição ou de estoque) a custo mínimo ou lucro máximo: Rações balanceadas para animais, refeições, abastecimento de comunidades ou tropas, combustíveis e lubrificantes, fertilizantes e corretivos, defensivos agrícolas, perfumes e cosméticos, ligas metálicas, Industria de alimentos, etc.
Transporte, distribuição ou alocação, em que se procura determinar as quantidades a
transportar segundo as vias alternativas possíveis a frequência ou períodos de transporte e as especificações quanto a operação levando em conta os custos (fretes, riscos de capital empatado, prémios e multas, embalagem, armazenamento, capacidade dos meios, etc.…). A política de Transporte e o fator a maximizar ou minimizar (custos, quantidades, tempo, etc.…). Entre as áreas de utilização cita-se: abastecimento, distribuição de produtos, transporte de cargas ou pessoas, etc..
Programas de Produção ou limitação de recursos nos sectores agrícolas, industrial ou de serviços.
1. FASES DE ESTUDO EM INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL(para a resolução de um problema)
Uma forma de se sintetizar as fases usuais para resolver um problema Investigação Operacional, é a seguinte:
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1. Formulação do problema. Definir o problema de interesse e anotar dados. 2. Construção do modelo matemático para representar o problema.
3. Resolução do problema: Desenvolver um procedimento a fim de derivar soluções para o problema a partir do modelo.
4. Avaliação do resultado: Testar o modelo e aprimorá-lo conforme necessário. 5. Tomada de decisão: Preparar-se para a aplicação contínua do modelo conforme prescrito pela gerência.
6. Implementação.
I. Formulação do Problema
:Nesta fase, o problema é analisado a partir de um sistema integrado, no sentido de coloca-lo de maneira clara e coerente, definindo os objetivos a alcançar e quais os possíveis caminhos alternativos para que isso ocorra.
Além disso, serão levantadas as limitações técnicas do sistema e as relações desse sistema com outros, com a finalidade de criticar a validade de possíveis soluções em face destes obstáculos.
Deve determinar os objetivos adequados, as restrições necessárias, as inter-relações entre as área a estudar e outras áreas afins, a possível ação alternativa, o tempo limite para produzir uma decisão, etc.
A formulação inicial deve ser continuamente reexaminada, à luz de novos conhecimentos obtidos durante as ultimas fases.
NOTA: É muito difícil procurar uma solução certa para um problema mal formulado
II. Construção do ModeloMatemático
Ummodelo matemático de um problema de optimização é representado por um sistema de equação ou inequação, que represente os aspectos essenciais do problema. Os modelos, ou representações idealizadas, são uma parte integral, do dia-a-dia.
A estrutura modelo matemático é a seguinte:
Variáveis de decisão – correspondem as quantidade de decisões a serem tomadas e cujo os valores são os que se pretendem determinar.
Função objectiva - corresponde a medida de rendimento apropriado (por exemplo, custo) e é expressa por uma função matemática envolvendo as variáveis de decisão e os pesos atribuir a cada uma delas,
Restrições – correspondem as limitações impostas nos valores das variáveis de decisão que irão ser determinados; são também expressas matematicamente (normalmente através de inadequações ou equações); os parâmetros são as constantes presentes nas restrições (coeficiente da parte direita das restrições).
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Um tipo importante de modelos matemáticos é o modelo de programação linear (PL), onde as funções matemáticas que aparecem na função objectivo e nas restrições são lineares.
Quando se desenvolve o modelo, deve-se começar com uma versão muito simples, para depois evoluir-se para modelos mais elaborados e que mais de perto reflita a complexidade do problema real. Este processo de enriquecimento de modelo contínua apenas enquanto o modelo permanecer manejável. Desta forma, o compromisso base a considerar é a entre a precisão e o manejar do modelo.
NOTA: Um passo importante na formulação de modelo matemático é a construção da
função objetivo, o que exige o desenvolvimento de uma medida quantitativa de rendimento, relativo a cada objetivo que foi formulado no estudo. Se existir vários objetivos, normalmente a respectiva medida é então transformada e combinada numa medida composta denominada por medida de rendimento total. Esta medida pode ser muitas vezes evidente (por exemplo, custo) correspondendo a uma grande meta, ou pode ser abstrata (por exemplo, “utilidade”). Neste ultimo caso, a tarefa para desenvolver esta medida tende a ser um certo complexo, exigindo uma comparação cuidadosa dos objetivos e da sua importância relativa. Exprimindo esta medida com uma função matemática das variáveis de decisão.
Simbolicamente, o modelo e apresentado com frequência na seguinte
forma típica:
𝑂𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 (𝑚𝑎𝑥
min )𝑍 = 𝐶1𝑋1+ 𝐶2𝑋2+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑋𝑛 → função objectivo (economia ou critério) 𝑠. 𝑎: { 𝑎11𝑋1+ 𝑎12𝑋2+ ⋯ + 𝑎𝑖𝑛, 𝑋𝑛{≤, =, ≥}𝑏1 𝑎21𝑋1+ 𝑎22𝑋2+ ⋯ + 𝑎2𝑛, 𝑋𝑛{≤, =, ≥}𝑏2 … … … … 𝑎𝑚1𝑋1+ 𝑎𝑚2𝑋2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛, 𝑋𝑛{≤, =, ≥}𝑏𝑚 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 ≥ 0 → condições de não negatividade
Onde:
𝑎𝑖𝑗(𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑗 = 1, … , 𝑛) → são os coeficiente técnicos ou tecnológicos.
𝑏1, 𝑏2, … . , 𝑏𝑚 → são termos independente (constante da restrição ou segundos membro) 𝑐1, 𝑐2, … . , 𝑐𝑛 → coeficiente da função objectivo (coeficiente de custo)
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III.Resolução do problema. Cálculo de uma solução através do modelo.
Depois da construção do modelo matemático para o problema, a etapa seguinte consiste em obter uma solução a partir do modelo. Existem 2 métodos principais para obter uma solução óptima (ou vizinha da solução óptima):
O modelo analítico – consiste em obter a solução por via dedutiva, utilizando diversos
ramos da matemática.
O modelo numérico – recorre ao emprego de técnicas de cálculos que permitem obter
indutivamente a solução, quer ensaiando diversos valores nas variáveis de decisão quer adoptando processos iterativos.
A fase do processo apara obtenção de uma solução são as seguintes:
a) Procura de soluções óptimas
Tem sido desenvolvido muito procedimento para determina estas soluções para certo tipo de problema. No entanto, é necessário reconhecer que estas soluções são óptimas apenas relativamente ao modelo utilizando. Uma vem que o modelo é, necessariamente mais uma idealização do que uma representação exata do problema real, não existe garantia de que a solução óptima do modelo seja o melhor possível que possa ser incompleta no problema real. No entanto, se o modelo estiver bem formulado e testado, a solução resultante tendera a ser uma boa aproximação da ação real.
Combinada numa medida composta denominada por medida de rendimento total. Esta medida pode ser muitas vezes evidente (por exemplo, custo) correspondendo a uma grande meta da organização, ou pode ser abstrata (por exemplo, “utilidade”). Neste ultimo caso, a tarefa para desenvolver esta medida tende a ser um certo complexo, exigindo uma comparação cuidadosa dos objetivos e da sua importância relativa. Exprimindo esta medida com uma função matemática das variáveis de decisão.
b) Optimização vs. Satisfação
Segundo Herbert Simon, a satisfação é muito mais dominante do que é a optimização nas ações reais. Criou-se o termo satisfação com uma combinação das palavras satisfatória e optimização a distinção entre optimização e satisfação reflete a diferença entre as teoria e as realidades, normalmente tentando implementa aquela teoria na prática. Segundo Samuel Eilon, “optimização é a ciência do ultimato; satisfação é a arte do admissível.
c) Procedimentos heurísticos para obter boas soluções óptimas
Oobjectivo de um estudo da PO será conduzir o estudo numa forma óptima. Alem de procurar a optimização deve-se considerar o custo do estudo, as desvantagens da demora na sua realização, e depois tentar maximizar os benefícios líquidos resultantes do estudo. No reconhecimento deste conhecimento, utilizam-se apenas, ocasionalmente, procedimentos heurísticos (i.e., procedimentos designados intuitivamente que
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nãogarantem uma solução óptima) para encontrar uma boa solução, sub –óptima, isto é muito frequente em casos em que o tempo, ou custo, para encontrar uma solução óptima de um modelo adequado do problema deve ser muito elevado.
d) Analise pós - óptimo: análise de sensibilidade para determinar quais os parâmetros do modelo que se revelam mais críticos
Ate aqui, a discussão tem implicado que, o estudo de um problema em PO procure encontrar apenas uma solução, que pode ou exigir-se que seja óptima. De facto, normalmente este não é o caso. Uma solução óptima do modelo original pode estar longe da ideal no problema real. Por isso, a análise pós - otimal implica é uma parte muito importante da maioria dos estudos de PO. Em parte, a análise pós - otimal implica conduzir a análise de sensibilidade para determinar que parâmetros do modelo são mais críticos (os “parâmetro sensíveis”) na determinação da solução. Geralmente, alguns, ou todos, os parâmetros são uma estimativa de alguma quantidade (por exemplo, unidade de custo) cujo valor exato tornasse-a conhecido apenas depois de a solução ter sido implementada.
Por isso, depois de identificar os parâmetro sensíveis. Em alguns casos, certos parâmetros de modelo representam decisões interesse (por exemplo, atribuição de recursos). Existe, então, com frequência alguma flexibilidade nos valore associados àqueles parâmetros. Talvez alguns possam ser aumentados conforme a diminuição dos outros. A análise pós -óptima inclui a investigação de tais compromissos.
Em conjunto com o estudo da fase seguinte, a análise pós - otimal também implica uma obtenção de uma sequência de soluções que incluem uma serie de melhoramentos que se aproximam da acção ideal. Assim, as aparente fraqueza da solução inicial são utilizadas para sugerir melhoramentos no modelo, nos seus dados de entrada e, talvez, o procedimento de obtenção de uma solução. Uma nova solução é então obtida, é o ciclo contínuo, até que o melhoramento nas sucessivas soluções torne-se demasiado pequeno para justificar a continuação.
IV. Avaliação do modelo e da solução:
Nesta fase, pretende-se avaliação quer do modelo escolhido, como da solução encontrada. Dependendo da conclusão desta avaliação, determina-se o passo a seguir.
a) Avaliação satisfatória: Proceder a tomada de decisão que prepara as condições para implementação da solução encontrada, uma situação real.
b) Avaliação não satisfatória: procede-se a reformulação, remodelação e construção do novo modelo a partir dos resultados encontrados no processo de avaliação e também na análise de sensibilidade e pós – optimização.
V.
Tomada de decisão sobre a solução encontrada
Concluída a etapa da avaliação, é necessário elaborar um relatório bem documentado que possibilite a implementação da solução obtida na vida real. Este relatório deve
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incluir o modelo e um procedimento para a tomada de decisão, o que significa, que todas acções a serem realizadas para a implementação dos resultados, devem ser incluídas numa metodologia bem detalhada com todos os passos que sejam necessário seguir para sua implementação.
VI. Implementação
Neste passo efetua-se a implementação das soluções obtidas usando a metodologia elaborada. Neste processo, é preciso envolver ativamente todos os componentes que atuam no sistema em estudo.
Depois de seterem implementado as soluções, tal como se referiu no 2º passo, pode ser necessárioavançar para uma etapa mais complexa, incluindo alguns elementos novos. Neste caso, inicia-se um novo ciclo para a resolução do problema em causa, só que agora com um nível de complexidade superior.
2. EXEMPLOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Exemplo 1.
A empresa KOMFOR, LDA produz mobiliária de escritório e pretende lançar um novo modelo de secretarias e estantes. Pensa-se que o mercado pode absorver toda a produção de estantes, mas aconselha – seque a produçãomensal de secretarias não ultrapasse 160 unidades. Ambos os produtos são produzidos nas unidades de estampagem (UE) e de montagem e acabamento (UMA).A disponibilidade mensal em cada uma destas unidades é de 720 horas – maquina na UE e 880 horas maquina na UMA. Cada secretárianecessita de 2h – m na UE e 4h – m na UMA. Cada estante necessita de 4h – m na UE e 4h-m na UMA.
A margem de lucros utilitário os estimado não de 6,00 cuanzas para a secretaria 3,00 cuanzas as estantes.
O problema: Qual o plano de produção mensal para as secretaria e estantes que
maximiza a margem de lucros. 1. Formulazação do problema:
- Quantidade de secretaria a produzir por mês (𝑋1) - Quantidades de estantes a produzir por mês (𝑋2) a) Função objetivo
- Maximizar a margem bruta total por mês: 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 6𝑥1+ 3𝑥2 b) Restrições
- Disponibilidade mensal de UE. - Disponibilidade mensal de UMA.
16 - Produção mensal de secretarias.
SECRETARIAS ESTANTES DISPONIBILIDADE
UE 2 h 4 h 720 h
UMA 4 h 4 h 880 h
MERCADO 1 0 160
LUCRO 6 3
Modelação matemática
- Cada secretaria necessita de 2h (UE) pelo que o numero de horas necessária na produção de 𝑋1 secretarias é de 2𝑥1.
- Cada estante necessita de 4 h (UE) pelo que o numero de horas necessárias na produção 𝑋2 estantes é de 4𝑥2.
A disponibilidade mensal é de 720 horas. Logo a restrição relativa a UE é:
Algebricamente se traduz na desigualdade linear: 2𝑥1+ 4𝑥2 ≤ 720
OBS: Esta analiseé análoga para as restantes restrições. Resumindo, o problema
consiste em determinar 𝑥1 𝑒 𝑥2 de forma a maximizar a margem de lucros, isto é: Maximizar 𝑍 = 6𝑋1+ 3𝑋2 (lucro mensal em kz)
Sujeito a 2𝑋1+ 4𝑋2 ≤ 720 (UE) 4𝑋1+ 4𝑋2 ≤ 880 (UMA)
𝑋1 ≤ 160 (MERCADO) 𝑋1, 𝑋2, ≥ 0 (não negatividade)
Exemplo.2
Um criador de porco, pretende determinar a quantidade de cada tipo de ração a dar diariamente a cada animal, para conseguir uma dada quantidade nutritiva a custo mínimo.Total de horas gastas em secretarias
Total de horas gastas nas estantes
Disponibilidade em horas
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Os dados relativo ao custo de cada tipo de ração, as qualidades mínima diária de cada ingrediente nutritivo básico a fornecer a cada animal, bem como as quantidades destes existentes em cada tipo de ração (j/kg) constam no seguinte quadro:
Granulado (gr/kg) Farinha (gr. /kg) Quantidade mínima requerida Hidratos de carbono 20 50 200 Vitaminas 50 10 150 Proteínas 30 30 210 Custo (kz/kg) 10 5 1) Formalização do problema a) Variáveis de decisão
- Quantidade (kg) de granulado existente na ração diária (𝑋1). - Quantidade de farinha existente na ração diária (𝑋2). b. Função objetivo
Minimizar o custo da ração diária.
𝑍 = 10𝑋1+ 5𝑋2 b) Restrições
- Quantidademínima diária de hidrato de carbono. - Quantidade mínima diária de vitaminas.
- Quantidade mínima diária de proteínas. 2) Modelação matemática
Minimizar 𝑍 = 20𝑋1+ 50𝑋2 (custo diário) Sujeito a 20𝑋1+ 50𝑋2 ≤ 200 (hidrato de carbono) 50𝑋1+ 10𝑋2 ≤ 150 (vitaminas)
30𝑋1+ 30𝑋2 ≤ 210 (proteínas) 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0 (não negatividade)
Exemplo.3
. As caravanas MARCO POLO,LDA, usam dromedários (1 bossa)e camelos (2 bossas) para transportar figos secos de Bagdade para Meca. Um camelo pode levar no máximo 100 kg e um dromedário 50 kg. Durante a viagem um camelo consome 3 fardos de feno e 100 galões de água. Um dromedário 4 fardos de feno e 80 galões de água.18
As estações de MARCO POLO, situada em vário oásis ao longo do caminho, apenas têm disponíveis 1600 galões de água e 60 fardos de feno.
Os camelos e dromedários são alugados a um pastor de Bagdade a 11 pazuzas por camelo e 5 pazuzas por dromedário. Se as caravanas MARCO POLO, LDA tiveram uma carga de 1.000 kg de figos secos para transportar, quantos camelos e dromedários devem ser usados para minimizar a renda a pagar ao pastor?
1) Formulação do problema a) variáveis de decisão - Quantidade de camelos a usar (𝑋1)
- Quantidade de dromedários a usar (𝑋2) b) Função objectivo
- Minimizar a renda a pagar ao pastor
𝑍 = 11𝑋1+ 5𝑋2 c) Restrições
- Disponibilidade de caravana. - Disponibilidade de feno. - Disponibilidade de água.
Camelos Dromedários Disponíbilidade
Capacidade 100 50 1000 Feno 3 4 60 Agua 100 80 1600 Renda a pagar 11 5 2) Modelação matemática Minimizar 𝑍 = 11𝑋1+ 5𝑋2 (renda) Sujeito a 100𝑋1+ 50𝑋2 ≤ 1000 (capacidade) 3𝑋1+ 4𝑋2 ≤ 60 (feno) 100𝑋1+ 80𝑋2 ≤ 1600 (água) 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0 (não negatividade)
Exemplo.4.
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 hora para fábrica uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essa actividade é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidade de P2 por mês.Construa o modelo de sistema de produção mensal com o objectivo de maximizar o lucro da empresa.
19 Resolução de exercício
Empresa produz 2 produtos (P1 e P2) Com relação a P1
Lucro é 100 u.m.
Tempo para produzir é 2 hora Produção máxima é 40 uni/mês
Tempo disponível para a produção das duas unidades é de 120 horas
Definição das variáveis
- Variável a ser optimizada
Max. Lucro:lucro máximo a ser atingido por mês.
-variáveis básicas
X1: quantidade óptima de produção/mês de P1 X2: quantidade óptima de produção/mês de P2 Função objectivo Max. Lucro= 100𝑥1+ 150𝑥2 Conjunto de restrições { 2𝑥1+ 3𝑥2 ≤ 120 𝑥1 ≤ 40 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐õ𝑒𝑠 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥1 ≤ 30 𝑥1 ≥ 0 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 Exemplo 5
Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufactura das rações são utilizados cerais e carne. Sabe-se que:
A Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais;
O pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30; O kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1;
20
Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro.No modelo deseja maximizar o lucro (Z) a partir da quantidade da ração Tobi (𝑥1) e de ração Rex (𝑥2).
Ração Tobi Ração Rex
Custo de carnes 1 Kg × $ 4 = $ 4 4 Kg × $ 4 = $ 16 Custo de cereais 5 Kg × $ 1 = $ 5 2 Kg × $ 1 $ 2 Custo total $ 9 $ 18 Preço $ 20 $ 30 Lucro $ 11 $ 12 Função objectivo 𝑍 = 11𝑋1+ 12𝑋2 Conjunto de restrições {1𝑥1+ 4𝑥2 ≤ 10000 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒) 5𝑥1+ 2𝑥2 ≤ 30000 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠) 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)
21
TEMA TRÉS
RESOLUÇÃO GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PL
A resolução gráfica de um problema de PL só é possível quando o problema tem duas ou três variáveis de decisão. Nós estudaremos apenas problemas com duas variáveis cujo gráfico ficará representado num plano.
Considera – se um sistema cartesiano com o eixo das abcissas associado a x1 e o eixo das ordenadas associado a x2.
Relaxando ou enfraquecendo a condição de desigualdade das restrições técnicas, estas passam a ser equações que definem retas. Cada uma destas retas divide o plano em duas regiões disjuntas verificando – se a relação de desigualdade apenas em pontos de uma das regiões (sub espaços).
Procedendo desta forma é possível, por interação, definir o conjunto de pontos – solução do problema e neste determinar aquele ou aqueles onde a função objetivo tem o seu extremo (maximizar ou minimizar).
Roteiro básico para resolução de problemas pelo método gráfico 1) Identificar as variáveis de decisão.
2) Montar a função-objetivo. 3) Montar as equações de restrição.
4) Determinar no mínimo 2 pontos para cada reta de restrição. 5) Marcar os pontos e traçar as retas no plano cartesiano. 6) Selecionar (marcar) a área viável.
Obs: Se a restrição for: =, Sobre a reta
>=, Acima da reta e a direita <=, Abaixo e a esquerda da reta
7) Verificar a área comum entre todas as restrições. 8) Achar o ponto óptimo do problema.
9) Formular a resposta.
O processo baseia – se na representação gráfica da reta Z = F (x1, x2) = const., para um conjunto de valores, ou seja, traçar retas Z = constante, até que contenha pelo menos um
22
ponto da região admissível e esteja o mais distante possível da reta Z = 0 (maximizar) ou o mais perto possível (minimizar).
Exemplo nº1: (problemas de maximização)
0 , 14 2 7 12 4 3 : . 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x a s x x Z Max
Nota: A região ou espaço de possibilidades (soluções admissíveis), é o conjunto de
soluções possíveis do problema dado e é formado por todos os pares de valores (x1, x2) que satisfazem simultaneamente todas as condições ou restrições do problema.
a) Flexibilização das restrições:
0 , 14 2 7 12 4 3 : . 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x a s x x Z Max
b) Retas associadas a restrição: 3x14x2 12 3 12 4 0 /x1 x2 x2 p 4 12 3 0 /x2 x1 x1 p
c) A inclinação da reta obtida é de 4 3
. Este valor corresponde ao simétrico do quociente entre os coeficientes de x1 e x2.
d) O conjunto de pontos possíveis que esta reta verifica, corresponde a todo o espaço de pontos a esquerda da reta e sobre ela, uma vez que traduz todas as combinações de x1 e x2 que multiplicadas por 3 e por 4 respectivamente, sejam menores ou iguais a 12.
e) Reta associada a restrição:7x12x2 14 (o processo é análogo ao anterior)
7 14 2 0 /x1 x2 x2 p 2 14 7 0 /x2 x1 x1 p Inclinação da reta: 2 7
23
Nota: Sendo que, a região de soluções admissíveis corresponderá a uma região limitada pelas duas restrições e pelos dois eixos, limitando – se assim a uma figura do primeiro quadrante:
1. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO OBJETIVO
Ao contrário das restrições, na função objetivo não existe termo constante fixo com o qual possamos relacionar os coeficientes das variáveis. Assim sendo, escolhe – se um valor arbitrário para o lucro ou seja, Z = 0 e tenta – se representar a F.O. para esta situação.
Para calcular a inclinação da função objetivo, procura – se a sua forma reduzida, ou seja, transformar a equação por formas a encontrar a expressão da ordenada que é função da abcissa. 1 2 1 2 2 1 2 1 3 4 0 / . . 3 3 4 0 3 4 3 4 x x que se tem Z p reduzida O F Z x x x x Z x x Z Max
Atribuindo valores a x1, encontramos os valores de x2 que correspondem a pontos dessa recta. 0 0 /x1 x2 p 3 4 1 /x1 x2 p
24 OBS: O declive da reta da FO é
4 3
que corresponde a razão entre os coeficientes das abcissas e das ordenadas.
2. IDENTIFICAÇÃO DO PONTO ÓPTIMO. SOLUÇÃO ÓPTIMA
A maximização da F.O efetua-se deslocando paralelamente a reta do F.O aumentando no máximo possível o valor do Z. O sentido da deslocação é definido pela própria F.O.: O aumento do Z consegue-se aumentando se, e X2, uma vez que cada uma dela esta associada a coeficientes positivos.
Ao logo do gradiente, ou ambos variáveis aumentam ou ambos diminuem conforme o sentido de deslocação. O sentido de deslocação da FO será escolhido por forma a garantir a max. Z.
A max. Z será atingido no último ponto de contato com a região de soluções admissíveis que corresponde a máxima deslocação da FO. A este ponto dá-se o nome de P.O. (ponto óptimo) e corresponde a um vértice.
A solução óptima corresponde ao vértice da região de solução admissível formada pela intersecção das duas restrições e será dada pela solução do sistema de equações.
11 21 11 16 14 2 7 12 4 3 2 1 2 1 2 1 x x x x x x Logo: 11 127 11 21 . 3 11 16 . 4 3 4 1 2 x x Z Problema de minimização 0 , 3 2 4 4 7 3 : . 14 12 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x a s x x Z Min Flexibilidade do sistema 0 , 3 2 4 4 7 3 : . 14 12 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x a s x x Z Min
25 Reta associado a 3x17x2 4 3 4 0 / 7 4 0 / 1 2 2 1 x x P x x P Reta associado a 4x1+2x2 = 3 4 3 2 / 2 3 0 / 1 2 2 1 x x P x x P
O conjunto de pontos possíveis (região de soluções possíveis) em cada uma das restrições corresponde aos pontos das próprias retas e todos os pontos que encontra a direita da mesma uma vez que estamos perante inequações de tipo “maior ou igual”. A função objetivo 1 2 2 1 2 1 14 12 0 14 12 0 / 14 12 x x x x Z P x x Z Inclinação: 76 7 3 2 1 / 0 0 / 2 1 2 1 x x P x x P Graficamente:
26
3. PONTO ÓTIMO. SOLUÇÃO ÓTIMA
Uma vez representada a FO na origem do sistema, a minimização de Z exige a consideração de valores para x1 e x2, tão pequenos quanto possível. Assim a deslocação paralela da função em direção a região de soluções admissíveis, deve limitar – se aquela posição em que toca a região num primeiro ponto.
Este ponto denomina – se ponto óptimo e corresponde ao par (x1, x2) de menor valor e traduz a solução óptima.
Uma vez identificada a solução óptima, bastará calcular os valores que a traduzem, considerando o vértice obtido pela intersecção das duas restrições.
22 13 22 7 3 2 4 4 7 3 2 1 2 1 2 1 x x x x x x Logo: 11 127 22 7 . 14 22 13 . 12 14 12 1 2 x x Z O problema de misto 0 , 75 5 5 75 10 15 : . 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x a s x x Z Min
27 Reta associado a 15x110x275 5 0 / 5 , 7 0 / 1 2 2 1 x x P x x P Reta associado a 5x1+5x2 = 75 15 0 / 15 0 / 1 2 2 1 x x P x x P Inclinação: 12 1 2 2 1 0 /Z x x P
Obs: Este é um problema de minimização em que a FO tem declive> 0.
Minimização da PO
Para diminuir Z, teremos que diminuir x1 e aumentar x2, isto é, deslocar paralelamente a reta que traduz a FO para a esquerda, até que esta atinja o ultimo ponto da região de soluções admissíveis.
Este último ponto em que a FO passa, será o ponto em que x1 é mínimo e x2 é máximo. Este ponto torna o valor de Z máximo, logo é o ponto óptimo.
Cálculo da solução óptima
O ponto óptimo corresponde a solução do sistema de equações que segue:
12 3 75 5 5 75 10 15 2 1 2 1 2 1 x x x x x x
Substituindo na FO, teremos:
21 12 2 3 2 2 1 x x Z
28
O problema de soluções múltiplas
0 , 80 2 2 20 40 : . 10 10 2 1 2 1 1 2 2 1 x x x x x x a s x x Z Max Flexibilidade do sistema 0 , 80 2 2 20 40 : . 10 10 2 1 2 1 1 2 2 1 x x x x x x a s x x Z Min Reta associado a 2x12x2 80 40 0 / 40 0 / 1 2 2 1 x x P x x P
Reta associado a x1=20 (reta vertical com abcissa igual a 20); a x2 = 40 (reta horizontal com ordenada igual a 40)
FO: p/ Z = 0; → x2 = x1 Solução óptima: Max Z
Para aumentar Z, teremos que aumentar x1 e diminuir x2 ou seja, deslocar paralelamente a reta que traduz a FO para a direita, até ao último ponto possível da região de soluções admissíveis. Graficamente teremos:
29
Aqui, a FO deverá ser deslocada até coincidir com a última restrição (2x1 – 2x2 = 80) pois é a posição que maximiza o lucro ainda dentro da região de soluções admissíveis. Substituindo na FO, teremos:
400 4 10 80 10 400 0 10 40 10 20 10 1 2 x x Z
Nota: este tipo de solução denomina – se solução óptima múltipla e considera – se um
caso especial.
4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO OBJETIVO
Para calcular a inclinação da função objetivo, procura-se a sua forma reduzida, ou seja, transformar a equação por formas a encontrar a expressão da ordenada que é função da abcissa. Max ZG = 3,50X1 + 0,25X2 Z - 3,50X1 - 0,25X2 = 0 X2 =− 28 2 𝑋1+ 4𝑍 → F.O. reduzida Para Z =0 tem-se que X2=−28
2 𝑋1 → X2=−14𝑋1
Atribuindo valores a X1, encontramos os valores de X2 que correspondem a pontos dessa recta. Para X1= 0 → X1=0 Para X1= 1→ X2=−14 Ponto Óptimo ZG* (X1; X2) ↔ R1∩ R4: 12,06X1 + 0,52X2 = 9.600.000 12,06 X1 = 9.600.000 - 0,52(600.000) X2= 600.000 X2= 600.000 X1 = 770.149,25 litros X2 = 600.000 litros Valor Óptimo ZG* = 3,50X1 + 0,25X2 =3,50(770.149,25) + 0,25(600.000) = 2.845.522,38 $
30
Deve-se lembrar que não se perdeu informação relativamente a quantidade de gasolina comum ( em litros) a ser produzida, que pode ser agora recuperada.
16X1 - X3 = 0 → X3= 16X1 → X3=16 (770.149,25) → X3= 12.322.388 litros
Utilizando a Função Objetivo inicial, vamos obter o mesmo resultado:
Z* = 0,30X1 + 0,25X2 + 0,20X3 Z* = 0,30 (770.149,25) + 0,25 (600.000) + 0,20
(12.322.388)
Z* = 231.044,78 + 150.000 + 2.464.477,60 Z* = 2.845.522.38$
R: O Lucro total do programa de produção (gasolina: verde, azul e comum) é de 2.845.522$, em que 231.044,78$ correspondem a gasolina verde, 150.000$ correspondem a gasolina azul e 2.464.477,60 correspondem a gasolina comum.
31 TEMA QUATRO
FORMA PADRÃO OU STADARD DE UM PROBLEMA DE PL
1. VARIÁVEIS DE FOLGA E VARIÁVEIS DE EXCESSO
Seja:
aijxij biEsta restrição pode ser convertida numa igualdade pela adição de uma nova variável não negativa ao primeiro membro da desigualdade. Tal variável será numericamente igual a diferença entre o segundo membro e o primeiro e designa – se por variável de folga. A variável de folga, representa o desperdício associado ao recurso modelado pela restrição em causa.
Exemplo: x15x24x32x430
Esta desigualdade é transformada na equação x15x24x32x4x530pela adição da variável de folga x5 ao primeiro membro da desigualdade.
Consideremos agora a restrição linear na forma
aijxij biEsta desigualdade pode ser convertida numa equação, bastando subtrair uma nova variável não negativa ao primeiro membro da desigualdade. Esta tal variável designada por variável por variável de excesso, representa numericamente a diferença entre o primeiro e o segundo membro da desigualdade.
Em relação ao recurso modelado pela restrição em questão, esta variável representa o consumo em excesso, além da disponibilidade.
Exemplo: 2x15x2x350
Esta desigualdade transforma – se na equação 2x15x2x3x4 50 pela subtracção da variável de excesso x4 ao primeiro membro.
2. SOLUÇÃO INICIAL ADMISSÍVEL
Depois de transformadas todas as restrições lineares (com os segundos membros das desigualdades positivos) em igualdades, pela introdução de variáveis de folga e de excesso onde necessário, adiciona – se uma nova variável, designada variável
artificial,aos primeiros membros das restrições que não contém a variável de folga.
Assim, todas as equações que representam restrições terão ou uma variável de folga ou uma variável artificial. Uma solução inicial não negativa para este novo conjunto de restrições, obtém – se igualando em cada restrição, a respectiva variável de folga ou
32
artificial, ao correspondente termo independente e igualando – se a zero as restantes variáveis, incluindo as variáveis de excesso.
Exemplo:
Seja o conjunto de restrições:
15 8 7 6 5 4 3 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x
Introduzindo as variáveis de folga e de excesso, transformando o sistema de desigualdades em equações, teremos:
15 8 7 6 5 4 3 2 2 1 4 2 1 3 2 1 x x x x x x x x
Adicionemos em seguida variáveis artificiais nas restrições que não possuem variáveis de folga, ou seja: 15 8 7 6 5 4 3 2 6 2 1 5 4 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x
Nota: Uma solução inicial não negativa para este sistema de equações, será: 0 , 15 , 6 , 3 5 6 1 2 4 3 x x x x x x
Nota: x10 x20,não é uma solução que verifica o conjunto de restrições original.
3. CUSTOS E PENALIZAÇÃO
A introdução no sistema de restrições de variáveis de folga e de excesso, não altera a natureza da função objetivo nem das próprias restrições. Porém, as variáveis artificiais alteram a natureza das restrições. Tendo em conta que cada variável artificial é adicionada a um dos membros das restrições, o novo sistema de equações que representa as restrições e o sistema original coincidirão se e só se as variáveis artificiais tiverem o valor nulo.
Para garantir que isto aconteça na solução óptima (em contraste com a solução inicial), as variáveis artificiais são incorporadas na função objetivo com coeficientes positivos de valores muito elevados nos problemas de minimização, designados por M, e coeficientes negativos de valores muito elevados nos problemas de maximização, designados por – M. estes coeficientes (M e – M), representam uma penalidade muito severa em que se incorre se a respectiva variável artificial tomar valor igual a unidade.
33
4. FORMA PADRÃO
Um problema de PL, diz – se que está na forma padrão, se todas as restrições estiverem representadas põe equações e se for conhecida uma solução inicial admissível. Na notação matricial, a forma padrão tem as seguintes características:
0 : : : X com B AX a Sujeito X C Z Otimizar T Onde:
X→ È o vector coluna de incógnitas, incluindo todas as variáveis de folga, de excesso e artificiais.
A→ É a matriz dos coeficientes das equações das restrições CT → É o vector linha dos custos correspondentes
B→ É o vector coluna dos termos independentes das restrições
Nota: doravante, os vectores serão normalmente representados por matrizes com uma única coluna e designados apenas por “vectores” , em vez de vector coluna. O expoente T, indica a transposição.
Se X0 representar um vector que inclui apenas variáveis de folga e variáveis artificiais, então a solução admissível inicial será dada por X0 = B.
Classificação das soluções
Solução única óptima finita; Infinitas soluções óptimas finitas; Solução no infinito;
Conjunto factível vazio;
Solução única óptima finita:
(faça o gráfico como exercício)
Se a solução é única óptima finita, ela ocorre em ponto extremo
Solução única óptima finita:
(faça o gráfico como exercício)
A região factível não precisa ser necessariamente limitada.
.Infinitas soluções óptimas finita
34
Os dois vértices 𝑥1 e 𝑥2 são soluções óptimas, bem como qualquer outro ponto sobre o segmento que se une.
Solução única óptima finita:
(faça o gráfico como exercício)
Novamente a região factível precisa necessariamente limitada
Solução no infinito:
(faça o gráfico como exercício)
Não é possível alcançar o ponto de óptimo, o mesmo encontra-se no infinito.
Conjunto factível vazio:
(faça o gráfico como exercício)
35
TEMA CINCO MÉTODO SIMPLEX
Agora, estamos prontos a estudar o método simplex, um procedimento para solucionar problemas de programação linear. Desenvolvido por George Dantzig em 1947, provou ser um método extremamente eficiente que é usado rotineiramente para solucionar problemas imensos nos computadores de hoje. Exceto pelo seu emprego em problemas muito pequenos, esse método é sempre executado num computador e pacotes de softwares sofisticados se encontram largamente disponíveis. Extensões e variações do método simplex também são usadas para executar análise de pós-otimalidade (inclusive análise de sensibilidade) no modelo. Este capítulo descreve e executa as principais características do método simplex.
A primeira seção introduz sua natureza genérica, incluindo sua interpretação geométrica. As três seções seguintes desenvolvem, então, o procedimento para solucionar qualquer modelo de programação linear que se encontra em nossa forma-padrão (maximização, todas restrições funcionais na forma e restrições de não-negatividade em todas as variáveis) e possui apenas lados direitos não-negativos biem
suas restrições funcionais. Certos detalhes sobre a resolução de empates referem-se à Seção posterior que descreve como adaptar o método simplex para outras formas de modelo. A seguir, discutimos a análise de pós-otimalidade (caso seu programa comtemple) e descrevemos a implementação em computador do método simplex. Posteriormente, vamos introduzir uma alternativa para o método simplex (o método do ponto interno) para solucionar problemas de programação linear de grande porte.
O método simplex é a técnica utilizada para se determinar, numericamente, a solução óptima de um problema de programação linear, na forma padrão, mas com as seguintes características para o sistema linear de equações:
i) Todas as variáveis são não – negativas: ii) Todos os 𝑏𝑖 são não – negativos;
iii) Todas as equações iniciais do sistema são do tipo “≤”. Assim, na forma padrão, só encontra-se variáveis de folga.
Se uma das características vista não ocorrer, então, casosespeciais métodos devem ser considerado como método simplex de duas fases.
1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS PARA O MÉTODO SIMPLEX
Determinação de soluções básicas num sistema de equações lineares m × n, m ≤ n (sistema lineares)
Se ao resolver um sistema Ax = b, onde 𝑨 ⊂ ℝ𝒎×𝒎,×∈ ℝ𝒎𝒆 𝒃 ∈ ℝ𝒎 𝒆 𝑨fosse uma matriz inversível então a solução seria facilmente determinada.
Porem, se dado um sistema Ax = b, onde: {
𝑨 ∈ ℝ𝑚 ×𝑛 𝒃 ∈ ℝ𝑚 𝒎 ≤ 𝒏
𝒙 ∈ ℝ𝑛
36
Tal que m ≤ n, ou seja, sistema é retaguarda, como determinar soluções de Ax = b? O sistema acima sempre tem solução?
Teorema 1:
Seja a matriz 𝑨 ∈ ℝ𝑚 ×𝑛 com m ≤ n. se a matriz A possui m colunas 𝑎
1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚 linearmente independentes (LI´s) então para qualquer 𝒃 ∈ ℝ𝒎o sistema Ax = b, tem ao menos uma solução em ℝ𝒏.
Definição : Seja Ax = b, A ∈ ℝ𝒎×𝒏, 𝒃 ∈ ℝ𝒎, 𝒙 ∈ ℝ𝒏(𝑚 ≤ 𝑛)
Se A possui uma submatriz B∈ ℝ𝒎×𝒏 onde det B ≠ 0 então diz-se que B é uma submatriz base de A, o que é equivalente a dizer:
Se A tem m colunas LI então a matriz B formada por estas colunas é uma base para
ℝ𝑚,,.
Definição:variáveis básicas e não básicas:
Considerando-se o sistema Ax = b definido em (3.1) e 𝑩 ∈ ℝ𝒎×𝒎uma submatriz base de A, então, as variáveis associadas a submatriz𝑩 ∈ ℝ𝒎×𝒎sao denominadas variáveis básicas.
Notação: variáveis básicas: 𝑿𝑩.
Definida a submatriz base B restam em A (n – m) colunas que chamara-se de submatriz não base. As variáveis associadas a esta submatriz N são denominadas variáveis não básicas.
Notação: variáveis não básicas 𝑿𝑵
Uma possível solução para Ax = b da definição acima
Seja o sistema Ax = be suponha que extrai-se de A uma submatriz B∈ ℝ𝒎×𝒎.
Pela definições anteriores pode-se fazer o seguintes partições no sistemaAx =
b:[𝑩; 𝑵], 𝒙 = (𝒙𝒙𝑩 𝑵). Logo pode se escrever:
Ax = b⇔ [𝑩: 𝑵] [𝒙𝒙𝑩
𝑵] = 𝒃 ⇔ 𝑩𝑿𝑩+ 𝑵𝑿𝑵 = 𝒃. Portanto o sistema Ax = b é equivalente ao sistema:
𝑩𝑿𝑩+ 𝑵𝑿𝑵= 𝒃 Isto define que 𝑥𝐵 = 𝐵−1𝑏 − 𝐵−1𝑁
37
Definição solução básica de Ax = b:Seja o sistema Ax = bdefinido em (3.1) então uma
solução 𝑥̅ de Ax = b ou seja A𝑥 ̅ = b,é denominada solução básica, se e somente se, em (3.2), Xn = 0, então:
𝐴𝑥̅ = 𝑏 ⇔ 𝑥̅𝐵 = 𝐵−1𝑏 𝑥̅𝐵: 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑖𝑐𝑎
Definição solução básica factível (viável):𝑥̅ é combinada a solução básica factível para
Ax = b se, e somente se:
𝑥̅𝐵 = 𝐵−1 𝑒 x̅n = 0, para 𝑥̅𝐵 ≥ 0(ou seja 𝑥̅𝐵 ≥ 0).
Definição e teorema fundamentais: X sera um ponto extremo de S se possuir n-m
variaveis nulas.
Teorema 2:
“O conjuto S de todas as soluções factíveis do modelo de programação linear, é um conjunto convexo”. demonstração : Seja 𝑥1𝑒𝑥2 ∈ 𝑆, 𝜆 ∈ [0,1]. Mostrara-se que: i) 𝜆𝑥1+ (1 − 𝜆)𝑥2𝑆; ii) 𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆) ≥ 0
Para se mostrar i) basta notar que, Se 𝑥1 ∈ 𝑆 𝑒 𝑥2 ∈ 𝑆 ⇒A𝑥1 = b;
Assim, A (𝜆𝒙𝟏+ (1 − 𝜆)𝒙𝟐= 𝜆𝑨𝒙𝟏+ (1 − 𝜆)𝑨𝒙𝟐= 𝜆 𝒃 + (1 − 𝜆)𝒃 = 𝒃. Logo, 𝑨(𝜆𝒙𝟏+ (1 − 𝜆)𝒙𝟐) = 𝑏.
iii) Para se mostrar ii): 𝑥1 ≥ 0 𝑒 𝑥2 ≥ 0 ⇒ 𝜆 𝑥1 ≥ 0 𝑒 (1 − 𝜆)𝑥2 ≥ 0; Assim, ): 𝜆 𝑥1 + (1 − 𝜆) ≥ 𝑥2 ≥ 0.
:. 𝜆𝑥1+ (1 − 𝜆)𝑥2 ∈ 𝑆. :. É convexo
Teorema 3:
“Toda solução básica do sistema Ax = b é ponto extremo do conjunto de soluções factíveis S”.
Prova:
