Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A
Funções e Gráficos – Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.
Tarefa nº 11 1. Considere as funções da família y=a(x−b)
1.1. De que tipo de funções se trata? Como se representa graficamente?
1.2. Dê um exemplo de uma função desta família que tenha um zero em x=2. Quantas soluções existem?
1.3. Dê um exemplo de uma função desta família cujo gráfico contenha o ponto
(
3, 1−)
. Quantas soluções existem?1.4. Dê um exemplo de uma função desta família cujo gráfico contenha o ponto
(
3, 1−)
e( )
5,2 . Quantas soluções existem?1.5. Qual o significado de cada um dos parâmetros a e b ?
1.6. Represente, por um polinómio, a função desta família em que a=3 e b=2. De que grau é?
2. Considere as funções da família y=a(x−b)(x−c)
2.1. De que tipo de funções se trata? Como se representa graficamente?
2.2. Dê um exemplo de uma função desta família que tenha zeros em x=2 e x= −3. Quantas soluções existem?
2.3. Dê um exemplo de uma função desta família que tenha zeros em x=2 e x= −3 e passe pelo ponto (0,1). Quantas soluções existem?
2.4. Dê um exemplo de uma função desta família que tenha um só zero em x=2. Quantas soluções existem?
2.5. Qual o significado de cada um dos parâmetros a , b e c?
2.6. Represente, por um polinómio, a função desta família em que a=2 e b= −3 e c=1. De que grau é?
3. Dada a função f definida por f(x)=2x2−18x+28, defina-a analiticamente como produto de funções lineares.
(Sugestão: comece por determinar os zeros da função)
4. É sempre possível definir uma função quadrática como produto de funções lineares? Das funções representadas nos gráficos seguintes, indique para quais é possível e para quais não é, justificando.
5. Dê um exemplo de uma função que tenha zeros em x=2, x= −4 e x= −1 . Quantas soluções existem?
6. Considere a família de funções polinomiais:
f(x)=a(x+2)(x−3)(x+5) , a∈ℝ\ 0
{ }
6.1. Represente graficamente as funções da família que se obtêm fazendo: a=1; a=3; 1 a 3 = ; a= −2 e a 1 2 = −
6.2. Caracterize as funções da família relativamente a: Domínio; Contradomínio; Zeros; Sinal e Monotonia
7. A curva C é a representação gráfica da função real de variável
real f definida por um polinómio do 3º grau. Tendo em atenção os valores registados na figura, escreva a
expressão de f(x).
8. A curva G é a representação gráfica da função real de variável
real g definida por um polinómio do 3º grau. Tendo em atenção que cada quadrícula vale um, escreva a
expressão de g(x).
9. A curva H é a representação gráfica da função real de variável
real g definida por um polinómio do 3º grau. Tendo em atenção que cada quadrícula vale um, escreva a
expressão de h(x).
10. Quantos zeros pode ter uma função cúbica? Dê um exemplo de cada uma das situações.
-4
-1 4
2 C
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A
Funções e Gráficos – Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.
Tarefa nº 11 – Proposta de resolução 1. Consideremos as funções da família y=a x
(
−b)
1.1. Trata-se de funções lineares porque y=a(x−b)⇔ =y ax−ab, sendo definida põe um polinómio do primeiro grau e o seu gráfico é uma recta com declive a.
1.2. Uma função desta família que tenha um zero em x = 2 é, por exemplo, y= −x 2 isto é: y=1 x
(
−2)
. Existe uma infinidade de soluções, basta mudar o valor de a.1.3. Uma função desta família cujo gráfico contenha o ponto
(
3, 1−)
é, por exemplo, y= −x 4. Existe uma infinidade de soluções pois qualquer recta não vertical, nem horizontal, que passe em(
3, 1−)
é gráfico de uma função da família.1.4. Uma função da família que contenha os pontos (3,-1) e (5,2) só pode ser definida pela única recta definida por estes dois pontos. Um vector director da recta será (2,3) pelo que o seu declive é 3
2. Vamos agora calcular a ordenada na origem substituindo, em y 3x b
2
= + , x e y pelas coordenadas de um dos pontos
3 15 11 2 5 b b 2 b 2 2 2 = × + ⇔ = − ⇔ = − . A equação da recta é y 3x 11 y 3 x 11 2 2 2 3 = − ⇔ = − .
Neste caso só há esta solução porque dois pontos definem uma e só uma recta.
1.5. O parâmetro a representa o declive da recta que representa a função e o parâmetro b representa o zero da função.
1.6. Fazendo a = 3 e b = 2 a função é definida por: y=3x−6 porque 3 x
(
−2)
=3x−6 e 3x−6 é um polinómio de grau um.2.1. As funções são funções quadráticas porque:
(
)(
)
(
2)
2(
)
y=a x−b x−c ⇔ =y a x −cx−bx+bc ⇔ =y ax −a b+c x+abc e o gráfico é uma parábola.
2.2. Um exemplo de uma função da família que tenha zeros x=2 e x= −3 é:
(
)(
)
y= − −x 2 x+3 .
Pode haver uma infinidade de soluções, basta variar o valor de a em ℝ\ 0
{ }
.2.3. Um exemplo de uma função da família que tenha zeros x = 2 e x= −3 e cujo gráfico passa pelo ponto (0,1) é : y 1
(
x 2 x)(
3)
6
= − − +
Porque y=a(x−2)(x+3) por ter dois zeros que são zeros x = 2 e x= −3 e como o gráfico passa pelo ponto (0,1) vamos substituir, na equação anterior, x por 0 e y por 1:
1
1 a(0 2)(0 3) 1 6a a
6
= − + ⇔ = − ⇔ = − .
Esta é a única solução.
Um exemplo de uma função da família que tenha apenas um zero x = 2 pode ser y=
(
x−2)
2 Há uma infinidade de soluções porque podemos variar o valor de a em ℝ\ 0{ }
.2.4. O parâmetro a dá a forma da parábola com abertura maior ou menor, virada para cima ou virada para baixo. Os parâmetros b e c representam os zeros da função.
2.5. A função desta família em que a = 2, b = - 3 e c = 1 é definida por y=2 x
(
+3)(
x− ⇔1)
y=2 x(
2+3x− −x 3)
2
y 2x 4x 6
⇔ = + − .
O polinómio 2x2+4x−6 é do segundo grau.
3. Dada a função f, definida por f x
( )
=2x2−18x+28, vamos defini-la analiticamente como produto de funções lineares começando por calcular os zeros.2 2
9 81 4 14 9 5
x x x 7 x 2
2 2
± − × ±
= ⇔ = ⇔ = ∨ =
E agora vamos aplicar as conclusões que tirámos em 2.
( ) (
)(
)
f x =2 x−7 x−2 .
4. Desde que as funções tenham zeros é possível defini-las como produto de funções lineares, por isso só a função g não pode ser escrita como produto de funções lineares.
5. Um exemplo de uma função que tenha zeros em x=2, x= −4 e x= −1 , pode ser, por exemplo, f x
( ) (
= x−2 x)(
+4)(
x+1)
. Existem infinitas soluções pois todas as funções da família y=a x(
−2 x)(
+4)(
x+1)
com a≠0 satisfazem as condições dadas.6. Considere a família de funções polinomiais:
f(x)=a(x+2)(x−3)(x+5) , a∈ℝ\ {0}
6.1. A representação gráfica das funções da família que se obtêm fazendo: a=1; a=3; a 1 3 = ; a= −2; a 1 2 = − é: 6.2. Caracterizemos as funções da família relativamente a: Domínio; Contradomínio; Zeros; Sinal e Monotonia
f(x)=a(x+2)(x−3)(x+5) , a>0 f(x)=a(x+2)(x−3)(x+5) , a<0 Domínio = IR Domínio = IR Contradomínio = IR Contradomínio = IR Zeros: -2, 3 e -5 Zeros: -2, 3 e -5 Negativa em
]
−∞ − ∪ −, 5[ ]
2,3[
Positiva em]
− − ∪5, 2[ ]
3,+∞[
Negativa em]
− − ∪5, 2[ ]
3,+∞[
Positiva em]
−∞ − ∪ −, 5[ ]
2,3[
Crescente em]
−∞ −; 3,(6)]
e em[
1,+∞[
[
]
Crescente em[
−3,(6);1]
]
]
[
[
7. A curva C é a representação gráfica da função real de variável real f definida por um polinómio do 3º grau.
Tendo em atenção os valores registados na figura, a expressão de f(x) é do tipo f x
( ) (
=a x+4)(
x+1 x)(
−2)
e como a curva passa no ponto de coordenadas (0,4) podemos calcular o valor de a.( )
14 a 4 1 2 8a 4 a
2
= × × × − ⇔ − = ⇔ = −
A função é então definida por: f x
( )
1(
x 4)(
x 1 x)(
2)
2= − + + −
8. A curva G é a representação gráfica da função real de variável real g
definida por um polinómio do 3º grau. Tendo em atenção que cada quadrícula vale um, uma expressão de
g(x) será do tipo g x
( ) (
=a x+2 x 1)(
−)
2.Como a curva passa no ponto (0,2) será: 2=a 0
(
+2 0 1)(
−)
2 ⇔2a= ⇔ =2 a 1. Uma expressão que define g(x) é: g x( ) (
= x+2 x 1)(
−)
2.9. A curva H é a representação gráfica da função real de variável real g
definida por um polinómio do 3º grau. Tendo em atenção que cada quadrícula vale um, a expressão de h(x)
será do tipo y=
(
ax2+bx+c)
(
x−3)
. Como a curva passa no ponto (0,-3), no ponto (1,-4) e no ponto (2,- 5) será:(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
3 a 0 b 0 c 0 3 3 c 3 c 1 4 a 1 b c 1 3 2 a b 1 b a 1 5 4 a 2b 1 4 4 a 2 a 2 5 a 4 2b c 2 3 − = × + × + − − = − = − = × + + − ⇔ = + + ⇔ = − ⇔ = + + = + − − = × + + − c 1 c 1 b a 1 b 0 6 6a a 1 = = = − ⇔ = = = a expressão que define h(x) é y=
(
x2+1 x)
(
−3)
10. Uma função cúbica pode ter um zero, por exemplo y=
(
x2+1 x)
(
−3)
, dois zeros, por exemplo(
)(
)
2y= x+2 x 1− ou três zeros, por exemplo y 1
